Tutkimustyö "huippukaava". Huippukaava planimetrian koulukurssilla

Starkova Kristina, 8B luokan oppilas

Paperi käsittelee Pickin lausetta ja sen todistetta.

Pohditaan polygonien alueen löytämisen ongelmia

Ladata:

Esikatselu:

YLEIS- JA AMMATTIKOULUTUKSEN LAITOS

TSAIKOVSKIN KUNTAPIIRIN HALLINTO

PERMIN ALUE

VI KUNTAINEN TUTKIMUSKONFERENSSI
OPISKELIJAT

Kunnan autonominen yleinen oppilaitos

"Yleiskoulu nro 11"

OSA: MATEMATIIKKA

Pickin kaavan soveltaminen

8 "B"-luokan oppilas

MAOU lukio №11 Tšaikovski

Johtaja: Batueva L, N.,

Matematiikan opettaja MAOU lukio №11

Tšaikovski

vuosi 2012

I. Johdanto……………………………………………………. 2

II. Huippukaava

2.1.Ristikot.Solmut………………………………………………….4

2.2. Monikulmion kolmio………………………………5

2.3. Todistus Pickin lauseesta………………………………………………………………………………………………………

2.4 Monikulmioiden pinta-alojen tutkiminen…………9

2.5. Johtopäätös……………………………………………………..12

III Geometriset ongelmat käytännön sisällöllä ... 13

IV. Johtopäätös…………………………………………………..14

V. Luettelo käytetystä kirjallisuudesta…………………………..16

1. Johdanto

Intohimo matematiikkaan alkaa usein ongelman pohtimisesta. Joten tutkittaessa aihetta "Monikulmion alueet" heräsi kysymys, onko olemassa tehtäviä, jotka poikkesivat geometrian oppikirjoissa käsitellyistä tehtävistä. Nämä ovat tehtäviä ruudulliselle paperille. Meillä oli kysymyksiä: mikä on tällaisten tehtävien erikoisuus, onko niitä erityisiä menetelmiä ja tekniikoita ruudullisen paperin ongelmien ratkaisemiseen. Tällaisten tehtävien näkeminen kontrollissa ja mittauksessa KÄYTÄ materiaaleja ja GIA, päättivät ehdottomasti tutkia ruudulliselle paperille tehtäviä, jotka liittyvät kuvatun hahmon alueen löytämiseen.

Aloin tutkia kirjallisuutta, Internet-resursseja tästä aiheesta. Vaikuttaa siltä, ​​että mikä on kiehtovaa, löytyy ruudullisesta tasosta, toisin sanoen loputtomasta paperista, joka on piirretty identtisiksi neliöiksi? Älä tuomitse hätäisesti. Osoittautuu, että ruudulliseen paperiin liittyvät tehtävät ovat varsin erilaisia. Opin laskemaan ruudulliselle paperille piirrettyjen polygonien pinta-alat. Monille paperille tehtävälle häkissä ei ole yleistä ratkaisusääntöä, erityisiä menetelmiä ja tekniikoita. Tämä on niiden ominaisuus, joka määrittää niiden arvon epäspesifisen kehityksen kannalta oppimistaito tai taitoa, mutta yleensä kykyä ajatella, reflektoida, analysoida, etsiä analogioita, eli nämä tehtävät kehittävät ajattelukykyä niiden laajimmassa merkityksessä.

Määritimme:

Tutkimuksen kohde: tehtävät ruudulliselle paperille

Opintojen aihe: monikulmion pinta-alan laskentatehtävät ruudulliselle paperille, menetelmät ja tekniikat niiden ratkaisemiseksi.

Tutkimusmenetelmät: mallintaminen, vertailu, yleistäminen, analogia, kirjallisten ja Internet-resurssien tutkiminen, tiedon analysointi ja luokittelu.

1. Tutkimuksen tarkoitus:Johda ja testaa kaavoja geometristen muotojen pinta-alojen laskemiseksi Peak-kaavalla

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi ehdotamme seuraavan ratkaisua tehtävät:

1. Valitse tarvittava kirjallisuus
2. Valitse materiaali tutkimusta varten, valitse tärkeimmät, mielenkiintoiset, ymmärrettävät tiedot
3. Analysoi ja organisoi saamasi tiedot
4. löytö erilaisia ​​menetelmiä ja tekniikoita ruudullisen paperin ongelmien ratkaisemiseen
5. Luo työstä sähköinen esitys esitelläksesi kerättyä materiaalia luokkatovereille

erilaisia ​​tehtäviä paperilla laatikossa, niiden "viihde", puute yleiset säännöt ja ratkaisutavat aiheuttavat koululaisille vaikeuksia harkinnassa

1. Hypoteesi:. Pick-kaavalla lasketun kuvan pinta-ala on yhtä suuri kuin planimetriakaavalla lasketun kuvan pinta-ala.

Kun ratkaistaan ​​tehtäviä ruudulliselle paperille, tarvitsemme geometrista mielikuvitusta ja melko yksinkertaista geometristä tietoa, joka on kaikkien tiedossa.

II. Huippukaava

2.1. Ristikot. Solmut.

Tarkastellaan tasossa kahta rinnakkaisten viivojen perhettä, jotka jakavat tason yhtäläisiksi neliöiksi; näiden suorien kaikkien leikkauspisteiden joukkoa kutsutaan pistehilaksi tai yksinkertaisesti hilaksi, ja itse pisteitä kutsutaan hilasolmuiksi.

Monikulmion sisäiset solmut - punainen.

Solmuja monikulmion pinnoilla - sininen.

Monikulmion alueen arvioimiseksi ruudullisella paperilla riittää laskea kuinka monta solua tämä polygoni kattaa (otamme solun alueen yksikkönä). Tarkemmin sanottuna, jos S on polygonin pinta-ala, B on niiden solujen lukumäärä, jotka sijaitsevat kokonaan polygonin sisällä, ja G on niiden solujen lukumäärä, joilla on vähintään yksi yhteinen piste polygonin sisäosan kanssa.

Tarkastellaan vain sellaisia ​​polygoneja, joiden kaikki kärjet sijaitsevat ruudullisen paperin solmuissa - niissä, joissa ruudukon viivat leikkaavat.

Minkä tahansa ruudulliselle paperille piirretyn kolmion pinta-ala voidaan laskea helposti esittämällä se suorakulmaisten kolmioiden ja suorakulmioiden pinta-alojen summana tai erotuksena, joiden sivut seuraavat piirretyn kolmion kärkien kautta kulkevia ruudukkoviivoja.

2.2 Monikulmion kolmio

Mikä tahansa monikulmio, jonka kärjet ovat ruudukon solmuissa, voidaan kolmioida - jakaa "yksinkertaisiin" kolmioihin.

Olkoon tasossa jokin monikulmio ja jokin äärellinen joukko Vastaanottaja pisteet, jotka sijaitsevat monikulmion sisällä ja sen rajalla (lisäksi kaikki polygonin kärjet kuuluvat joukkoon TO ).

Triangulaatio pisteillä Vastaanottaja kutsutaan osiointiksi annettu monikulmio kolmioksi, joiden kärjet ovat joukossa Vastaanottaja siten, että jokainen piste sisään Vastaanottaja toimii huippupisteenä jokaiselle kolmiolle, johon tämä piste kuuluu (eli pisteet Vastaanottaja älä pudota kolmioiden sisään tai sivuille, kuva 1,37).

Riisi. 1.37

Lause 2. a) Mikä tahansa n -gon voidaan leikata diagonaaleilla kolmioiksi, ja kolmioiden lukumäärä on yhtä suuri n – 2 (tämä osio on kolmio, jonka kärjet ovat kärjessä n-gon).

Tarkastellaan ei-degeneroitunutta yksinkertaista kokonaislukumonikulmiota (eli se on yhdistetty - mitkä tahansa kaksi sen pistettä voidaan yhdistää jatkuvalla käyrällä, joka on kokonaan sen sisältämä, ja sen kaikilla kärjeillä on kokonaislukukoordinaatit, sen raja on yhdistetty monikulmio ilman itseleikkauspisteet, ja sen pinta-ala on nollasta poikkeava) .

Tällaisen monikulmion alueen laskemiseksi voit käyttää seuraavaa lausetta:

2.3. Todiste Pickin lauseesta.

Olkoon B monikulmion sisällä olevien kokonaislukupisteiden lukumäärä, Г sen rajalla olevien kokonaislukupisteiden lukumäärä,- sen alue. Sitten Valinnan kaava: S=V+G2-1

Esimerkki. Kuvan monikulmiolle B = 23 (keltaiset pisteet), D=7, (siniset pisteet, älkäämme unohtako pisteitä!), jotenneliöyksiköitä.

Ensinnäkin huomaa, että Pickin kaava pätee yksikköneliöön. Todellakin, tässä tapauksessa meillä on B=0, D=4 ja.

Tarkastellaan suorakulmiota, jonka sivut ovat hilaviivojen päällä. Olkoon sen sivujen pituudet yhtä suuret ja . Meillä on tässä tapauksessa B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, sitten Pick-kaavalla,

Tarkastellaan nyt suorakulmaista kolmiota, jonka jalat ovat koordinaattiakseleilla. Tällainen kolmio saadaan suorakulmiosta, jossa on sivut ja , jota tarkasteltiin edellisessä tapauksessa, leikkaamalla se vinosti. Anna niiden makaa diagonaalillakokonaislukupisteet. Sitten tähän tapaus B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 ja saamme sen4) Tarkastellaan nyt mielivaltaista kolmiota. Se voidaan saada leikkaamalla useita suorakulmaisia ​​kolmioita ja mahdollisesti suorakulmiota suorakulmiosta (katso kuvat). Koska Pickin kaava on totta sekä suorakulmiolle että suorakulmaiselle kolmiolle, saadaan, että se on totta myös mielivaltaiselle kolmiolle.

Jäljelle jää viimeinen askel: siirry kolmioista monikulmioihin. Mikä tahansa monikulmio voidaan jakaa kolmioihin (esimerkiksi diagonaaleilla). Siksi meidän on vain todistettava, että kun lisätään mikä tahansa kolmio mielivaltaiseen monikulmioon, Pickin kaava pysyy tosi. Anna monikulmion ja kolmio on yhteinen puoli. Oletetaan, että vartenPickin kaava on pätevä, todistamme, että se on totta monikulmiolle, joka on saatu lisäämällä . Siitä lähtien ja joilla on yhteinen puoli, niin kaikista tällä puolella sijaitsevista kokonaislukupisteistä kahta kärkeä lukuun ottamatta tulee uuden polygonin sisäpisteitä. Vertices ovat rajapisteitä. Merkitään numero yhteisiä kohtia kautta ja saa B=MT=BM+BT+c-2 - uuden polygonin sisäisten kokonaislukupisteiden lukumäärä, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - uuden monikulmion rajapisteiden lukumäärä. Näistä yhtäläisyyksistä saamme: BM+BT+c-2 G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Koska oletimme, että lause pitää paikkansa ja varten erikseen, sitten S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Täten Pick-kaava on todistettu.

2.4 Monikulmioiden alueiden tutkimus.

2) Kuvassa on ruudullinen paperi, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm Etsi sen pinta-ala neliösenttimetrinä.
Kuva	Geometrian kaavan mukaan	Pickin kaavan mukaan
	S = 12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S = V+G2-1 G = 3; V = 0. S = 0+3/2-1 = 0,5

3) Ruutupaperille on kuvattu neliö, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm. Etsi sen pinta-ala neliösenttimetrinä.
Kuva	Geometrian kaavan mukaan	Pickin kaavan mukaan
	S=a∙b KMNE = 7 ∙ 7 = 49 Str.AKB = 1/2 ∙ kt ∙ AK = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN = 1/2 ∙ 3∙ 3 = 4,5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S = V+G2-1 D = 14, W = 19. S=18+14/2-1=24

4) Kuvassa on ruudullinen paperi, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm
Kuva	Geometrian kaavan mukaan	Pickin kaavan mukaan
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4 = 12a∙b=1/2∙5∙1 = 2,5 S5=a²=1²=1 neliö = a² = 7² = 49 S = 49-3,5-7-2-2,5-1 = 32 cm²	S = V+G2-1 D = 5, V = 31. S = 31 + 42 - 1 = 32 cm²
5) Ruutupaperille, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm neljä neliötä. Etsi sen pinta-ala neliösenttimetrinä.
	S = a b a=36+36=62 b = 9 + 9 = 32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S = V+G2-1 D = 18, V = 28 S = 28+ 182 -1 = 36 cm2
6) Kuvassa on ruudullinen paperi, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm neljä neliötä. Etsi sen pinta-ala neliösenttimetrinä
	S1 = 12a∙b=1/2∙3∙3 = 4,5 S2=12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3 = 12a∙b=1/2∙3∙3 = 4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S = V+G2-1 D = 18, W = 28. S = 28+ 182 -1 = 36 cm²
7) Kuvassa on ruudullinen paperi, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm neljä neliötä. Etsi sen pinta-ala neliösenttimetrinä
	S1 = 12a∙b=1/2∙3∙3 = 4,5 S2=12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3 = 12a∙b=1/2∙3∙3 = 4,5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Neliö = 9² = 81 cm² S = 81-4,5-18-4,5-18 = 36 cm²	S = V+G2-1 D = 18, W = 28. S = 28+ 182 -1 = 36 cm²

8) Kuvassa on ruudullinen paperi, jonka solut ovat kooltaan 1 cm x 1 cm neljä neliötä. Etsi sen pinta-ala neliösenttimetrinä
Kuva	Geometrian kaavan mukaan	Pickin kaavan mukaan
	S1=12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2 = 12ah = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 S3 = 12ah = 1/2 ∙ 8 ∙ 2 = 8 S4 = 12ah = 1/2 ∙ 4 ∙ 1 = 2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S = G+V2-1 D = 16, W = 17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Johtopäätös

1. Vertailemalla taulukoiden tuloksia ja todentaen Pickin lausetta, tulin siihen tulokseen, että Pick-kaavalla lasketun kuvan pinta-ala on yhtä suuri kuin johdetun planimetriakaavan avulla lasketun kuvan pinta-ala.

Joten hypoteesini osoittautui oikeaksi.

III.Geometriset ongelmat käytännön sisällöllä.

Pick-kaava auttaa meitä myös ratkaisemaan geometrisia ongelmia käytännön sisällöllä.

Tehtävä 9. Etsi alue metsämaata(m²), kuvattu suunnitelmassa neliöruudukolla 1 × 1 (cm) mittakaavassa 1 cm - 200 m (kuva 10)

Ratkaisu.

Riisi. 10 V \u003d 8, G = 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Vastaus: 420 000 m²

Tehtävä 10 . Etsi kentän pinta-ala (m²), joka on kuvattu suunnitelmassa neliöruudukolla 1 × 1 (cm) asteikolla 1 cm - 200 m. (Kuva 11)

Ratkaisu. Etsitään S nelikulmion pinta-ala ruudulliselle paperille käyttäen Peak-kaavaa: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S = 7 + 4/2 - 1 = 8 (cm²)

Riisi. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40 000 8 = 320 000 (m²)

Vastaus: 320 000 m²

Johtopäätös

Tutkimusprosessissa opiskelin viite-, populaaritieteellistä kirjallisuutta, opin työskentelemään Notebook-ohjelmassa. Sain sen selville

Ongelma monikulmion alueen löytämisestä, jossa on kärkipisteet ruudukon solmuissa, inspiroi itävaltalaista matemaatikkoa Pickiä vuonna 1899 todistamaan upean Pick-kaavan.

Työni tuloksena laajenin tietämystäni ruudullisen paperin tehtävien ratkaisemisesta, määritin itselleni tutkittavien ongelmien luokituksen ja vakuuttuin niiden monimuotoisuudesta.

Opin laskemaan ruudulliselle arkille piirrettyjen polygonien pinta-alat eri taso vaikeuksia - yksinkertaisista olympialaisiin. Jokainen voi löytää niiden joukosta toteuttamiskelpoisen monimutkaisia ​​tehtäviä, joista alkaen on mahdollista siirtyä vaikeampien ratkaisemiseen.

Tulin siihen tulokseen, että minua kiinnostanut aihe on varsin monitahoinen, ruudullisen paperin tehtävät ovat monipuolisia, myös niiden ratkaisumenetelmät ja tekniikat ovat monipuolisia. Siksi päätin jatkaa työskentelyä tähän suuntaan.

Kirjallisuus

1. Geometria ruudullisella paperilla. Pieni MEHMAT MSU.

2. Žarkovskaja N. M., Riss E. A. Ruudullinen paperigeometria. Pickin kaava // Matematiikka, 2009, nro 17, s. 24-25.

3. Tehtävät avoin pankki matematiikan tehtäviä FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov. Monikulmiot ristikoilla. M.MTsNMO, 2006.

5. Temaattiset opinnot.etudes.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ym. Geometria. 7-9 luokkaa. M. Valaistus, 2010

Teoksen teksti on sijoitettu ilman kuvia ja kaavoja.
Täysversio työ on saatavilla "Työtiedostot" -välilehdeltä PDF-muodossa

Johdanto

Olen 6. luokan oppilas. Aloitin geometrian opiskelun viime vuodesta, koska opiskelen koulussa käyttämällä oppikirjaa ”Matematiikka. Aritmeettinen. Geometry” toimittanut E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ja muut.

Eniten huomioni herättivät aiheet "Figuurien neliöt", "Kaavojen kokoaminen". Huomasin, että samojen lukujen alueet löytyvät eri tavoilla. Jokapäiväisessä elämässä kohtaamme usein alueen löytämisen ongelman. Etsi esimerkiksi maalattava lattiapinta-ala. Se on utelias, kunhan tarvittavan määrän tapettia remonttiin ostaakseen pitää tietää huoneen koko, ts. seinän alue. Neliön, suorakulmion ja suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskeminen ei aiheuttanut minulle vaikeuksia.

Tästä aiheesta kiinnostuneena aloin etsiä lisämateriaalia Internetistä. Haun tuloksena törmäsin Pick-kaavaan - tämä on kaava ruudulliselle paperille piirretyn polygonin alueen laskemiseksi. Pinta-alan laskeminen tällä kaavalla näytti minusta kaikkien opiskelijoiden käytettävissä. Siksi päätin tutkimustyö.

Aiheen relevanssi:

Tämä aihe on geometrian kurssin opiskelun lisäys ja syvennys.

Tämän aiheen opiskelu auttaa sinua valmistautumaan paremmin olympialaisiin ja kokeisiin.

Tavoite:

Tutustu Pick-kaavaan.

Hallitse geometristen ongelmien ratkaisutekniikat Pick-kaavan avulla.

Systematisoida ja yleistää teoreettisia ja käytännön materiaaleja.

Tutkimustavoitteet:

Tarkista kaavan soveltamisen tehokkuus ja tarkoituksenmukaisuus ongelmien ratkaisemisessa.

Opi soveltamaan Pick-kaavaa monimutkaisiin ongelmiin.

Vertaa Pick-kaavalla ja perinteisellä tavalla ratkaistuja ongelmia.

Pääosa

1.1. Historiallinen viittaus

Georg Alexander Pick on itävaltalainen matemaatikko, syntynyt 10. elokuuta 1859. Hän oli lahjakas lapsi, häntä opetti hänen isänsä, joka johti yksityistä instituuttia. 16-vuotiaana Georg valmistui lukiosta ja astui Wienin yliopistoon. 20-vuotiaana hän sai oikeuden opettaa fysiikkaa ja matematiikkaa. Kaava monikulmioiden hilan alueen määrittämiseksi toi hänelle maailmanlaajuista mainetta. Hän julkaisi kaavansa artikkelissa vuonna 1899. Siitä tuli suosittu, kun puolalainen tiedemies Hugo Steinhaus sisällytti sen vuonna 1969 matemaattisten kuvien julkaisuun.

Georg Pieck opiskeli Wienin yliopistossa ja valmistui tohtoriksi vuonna 1880. Tohtorin tutkinnon jälkeen hänet nimitettiin Ernest Machin assistentiksi Scherl-Ferdinandin yliopistoon Prahassa. Siellä hänestä tuli opettaja. Hän pysyi Prahassa eläkkeelle jäämiseensä vuonna 1927 ja palasi sitten Wieniin.

Pick johti Prahan saksalaisen yliopiston komiteaa, joka nimitti Einsteinin matemaattisen fysiikan professoriksi vuonna 1911.

Hänet valittiin Tšekin tiede- ja taideakatemian jäseneksi, mutta hänet erotettiin natsien vallattua Prahan.

Kun natsit saapuivat Itävaltaan 12. maaliskuuta 1938, hän palasi Prahaan. Maaliskuussa 1939 natsit hyökkäsivät Tšekkoslovakiaan. 13. heinäkuuta 1942 Pick karkotettiin natsien perustamaan Theresienstadtin leiriin Pohjois-Böömiin, missä hän kuoli kaksi viikkoa myöhemmin 82-vuotiaana.

1.2. Tutkimus ja todisteet

Aloitin tutkimustyöni esittämällä kysymyksen: mitä hahmoalueita löydän? Voisin tehdä kaavan eri kolmioiden ja nelikulmioiden pinta-alan laskemiseksi. Mutta entä viisi-, kuusi- ja yleensä monikulmiot?

Eri sivustojen tutkimuksen aikana näin ratkaisuja ongelmiin viiden, kuuden ja muiden polygonien alueen laskemiseksi. Kaavaa näiden ongelmien ratkaisemiseksi kutsuttiin Pickin kaavaksi. Hän näyttää tältä :S =B+G/2-1, missä AT- polygonin sisällä olevien solmujen lukumäärä, G- monikulmion reunalla olevien solmujen lukumäärä. Tämän kaavan erikoisuus on, että sitä voidaan soveltaa vain ruudulliselle paperille piirrettyihin polygoneihin.

Mikä tahansa tällainen monikulmio voidaan helposti jakaa kolmioihin, joiden kärjet ovat hilan solmuissa ja joissa ei ole solmuja sisällä tai sivuilla. Voidaan osoittaa, että kaikkien näiden kolmioiden pinta-alat ovat samat ja yhtä suuri kuin ½, ja siksi monikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet niiden lukumäärästä T.

Tämän luvun löytämiseksi merkitsemme monikulmion sivujen lukumäärää n:llä AT- sen sisällä olevien solmujen lukumäärä, läpi G on sivuilla olevien solmujen lukumäärä, mukaan lukien kärjet. Kaikkien kolmioiden kulmien yhteissumma on 180°. T.

Etsitään nyt summa eri tavalla.

Kulmien summa missä tahansa sisäisessä solmupisteessä on 2,180°, ts. kulmien yhteissumma on 360°. AT; sivujen solmujen, mutta ei kärkien kulmien kokonaissumma on ( herra n)180°, ja monikulmion kärkien kulmien summa on yhtä suuri kuin ( G-2) 180°. Tällä tavalla, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Laajentamalla sulkuja ja jakamalla 360°, saadaan monikulmion alueen S kaava, joka tunnetaan nimellä Pickin kaava.

2. Käytännön osa

Päätin tarkistaa tämän kaavan OGE-2017-kokoelman tehtävistä. Tein tehtäviä laskeakseni kolmion, nelikulmion ja viisikulmion pinta-alan. Päätin verrata vastauksia kahdella tavalla: 1) Lisäsin luvut suorakulmioon ja vähennin suorakulmaisten kolmioiden pinta-alan tuloksena olevan suorakulmion pinta-alasta; 2) sovellettiin Peak-kaavaa.

S = 18-1,5-4,5 = 12 ja S = 7+12/2-1 = 12

S = 24-9-3 = 12 ja S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 ja S = 43 + 14/2-1 = 49

Vertaamalla tuloksia päätän, että molemmat kaavat antavat saman vastauksen. Kuvan alueen löytäminen Peak-kaavalla osoittautui nopeammaksi ja helpommaksi, koska laskutoimituksia oli vähemmän. Päätöksenteon helppous ja ajan säästö laskelmissa on hyödyksi minulle tulevaisuudessa OGE:n läpäisyssä.

Tämä sai minut testaamaan mahdollisuutta soveltaa Pick-kaavaa monimutkaisempiin kuvioihin.

S = 0 + 4/2-1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Johtopäätös

Pickin kaava on helppo ymmärtää ja helppokäyttöinen. Ensinnäkin riittää, että osaat laskea, jakaa kahdella, lisätä ja vähentää. Toiseksi voit löytää alueen ja monimutkaisen hahmon ilman paljon aikaa. Kolmanneksi tämä kaava toimii mille tahansa polygonille.

Haittapuolena on, että Pick Formula soveltuu vain kuvioille, jotka on piirretty ruudulliselle paperille ja kärjet ovat solujen solmuissa.

Olen varma, että loppukokeita suoritettaessa ongelmat lukualueen laskemisessa eivät aiheuta vaikeuksia. Loppujen lopuksi olen jo tutustunut Pick-kaavaan.

Bibliografia

Bunimovich E.A., Dorofejev G.V., Suvorova S.B. jne. Matematiikka. Aritmeettinen. Geometria. luokka 5: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten organisaatiot, joilla on sovellus. elektronille. harjoittaja -3. painos - M.: Enlightenment, 2014.- 223, s. : sairas. - (Pallot).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. jne. Matematiikka. Aritmeettinen. Geometria. luokka 6: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten organisaatiot-5. painos-M.: Koulutus, 2016.-240s. : sairas.- (Pallot).

Vasiliev N.B. Pick-kaavan ympärillä. //Kvantti.- 1974.-№2. -s. 39-43

Rassolov V.V. Ongelmia planimetriassa. / 5. painos, korjattu. Ja ylimääräistä. - M.: 2006.-640s.

I.V. Yaschenko, OGE. Matematiikka: tyypilliset tenttivaihtoehdot: O-39 36 vaihtoehtoa - M .: National Education Publishing House, 2017. -240 s. - (OGE. FIPI-koulu).

"Minä ratkaisen OGE:n": matematiikka. Dmitri Gushchinin koulutusjärjestelmä. OGE-2017: tehtäviä, vastauksia, ratkaisuja [ Sähköinen resurssi]. Pääsytila: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Käytetty 04.02.2017)

Bibliografinen kuvaus: Tatyanenko A. A., Tatyanenko S. A. Ruutupaperille kuvattujen hahmojen pinta-alojen laskeminen // Nuori tiedemies. 2016. Nro 3..03.2019).



Valmistautumassa päätapahtumaan valtion tentti Tapasin tehtäviä, joissa on laskettava ruudulliselle paperiarkille kuvatun kuvan pinta-ala. Yleensä nämä tehtävät eivät aiheuta suuria vaikeuksia, jos kuvio on puolisuunnikkaan, suunnikkaan tai kolmion. Riittää, kun tietää näiden lukujen pinta-alojen laskentakaavat, laskee solujen lukumäärän ja laskee pinta-alan. Jos kuvio on mielivaltainen monikulmio, tässä on käytettävä erityisiä temppuja. Kiinnostuin Tämä aihe. Luonnollisesti heräsi kysymyksiä: missä Jokapäiväinen elämä voiko pinta-alojen laskemisessa ruudulliselle paperille olla ongelmia? Mitä erityistä tällaisissa tehtävissä on? Onko olemassa muita menetelmiä tai yleiskaavaa ruudulliselle paperille kuvattujen geometristen muotojen pinta-alojen laskemiseen?

Erikoiskirjallisuuden ja Internet-lähteiden tutkiminen osoitti, että on olemassa yleinen kaava, jonka avulla voit laskea solussa kuvatun kuvan alueen. Tätä kaavaa kutsutaan Pickin kaavaksi. Tätä kaavaa ei kuitenkaan oteta huomioon koulun opetussuunnitelman puitteissa, vaikka se on helppokäyttöinen ja tuloksellinen. Lisäksi tein ystäville ja luokkatovereille kyselyn (kahdessa muodossa: henkilökohtaisessa keskustelussa ja sisällä sosiaalisissa verkostoissa), johon osallistui 43 oppilasta Tobolskin kaupungin kouluista. Tämä kysely osoitti, että vain yksi henkilö (luokka 11) tuntee pinta-alojen laskemisen Peak-kaavan.

Olkoon suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä. Tarkastellaan tässä järjestelmässä monikulmiota, jolla on kokonaislukukoordinaatit. AT opetuskirjallisuutta Pisteitä, joilla on kokonaislukukoordinaatit, kutsutaan solmuiksi. Lisäksi monikulmion ei tarvitse olla kupera. Ja vaaditaan sen alueen määrittämistä.

Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia.

1. Kuvio on kolmio, suuntaviiva, puolisuunnikkaan muotoinen:

1) laskemalla solut, sinun on löydettävä korkeus, lävistäjät tai sivut, jotka tarvitaan alueen laskemiseen;

2) korvaa löydetyt arvot pinta-alakaavassa.

Haluat esimerkiksi laskea kuvassa 1 esitetyn kuvan alueen solun koolla 1 cm x 1 cm.

Riisi. 1. Kolmio

Ratkaisu. Laskemme solut ja löydämme: . Kaavan mukaan saamme: .

2 Kuvio on monikulmio

Jos kuvio on monikulmio, on mahdollista käyttää seuraavia menetelmiä.

Ositusmenetelmä:

1) murtaa monikulmio kolmioiksi, suorakulmioiksi;

2) laskea saatujen lukujen pinta-alat;

3) laske saatujen lukujen pinta-alojen summa.

Esimerkiksi kuvassa 2 esitetyn kuvan pinta-ala, jonka solukoko on 1 cm x 1 cm, on laskettava osiointimenetelmällä.

Riisi. 2. Monikulmio

Ratkaisu. Osiointiin on monia tapoja. Jaotamme hahmon suorakulmaiset kolmiot ja suorakulmio kuvan 3 mukaisesti.

Riisi. 3. Monikulmio. Osiomenetelmä

Kolmioiden alueet ovat: , , , suorakulmion pinta-ala on . Lisäämällä kaikkien lukujen alueet saamme:

Lisärakennusmenetelmä

1) täydennä kuvio suorakaiteen muotoiseksi

2) etsi saatujen lisälukujen pinta-alat ja itse suorakulmion pinta-ala

3) vähennä kaikkien "ylimääräisten" lukujen pinta-alat suorakulmion pinta-alasta.

Esimerkiksi on tarpeen laskea kuvassa 2 esitetyn kuvan pinta-ala solukoolla 1 cm x 1 cm käyttämällä lisärakennusmenetelmää.

Ratkaisu. Rakennetaan kuviomme suorakulmioksi kuvan 4 mukaisesti.

Riisi. 4. Monikulmio. Täydennysmenetelmä

Suuren suorakulmion pinta-ala on , sisällä oleva suorakulmio - , "ylimääräisten" kolmioiden alueet - , , silloin halutun kuvan pinta-ala on .

Laskettaessa polygonien pinta-aloja ruudulliselle paperille voidaan käyttää toista menetelmää, jota kutsutaan Pick-kaavaksi sen löytäneen tiedemiehen nimen mukaan.

Huippukaava

Olkoon ruudulliselle paperille piirretyllä polygonilla vain kokonaislukuja. Pisteitä, joiden molemmat koordinaatit ovat kokonaislukuja, kutsutaan hilasolmuiksi. Lisäksi monikulmio voi olla sekä kupera että ei-kupera.

Monikulmion pinta-ala kokonaislukupisteillä on , jossa B on monikulmion sisällä olevien kokonaislukupisteiden lukumäärä ja Г on kokonaislukupisteiden lukumäärä monikulmion rajalla.

Esimerkiksi kuvassa 5 esitetylle polygonille.

Riisi. 5. Solmut Pick's Formulassa

Haluat esimerkiksi laskea kuvassa 2 esitetyn kuvan alueen solukoolla 1 cm x 1 cm käyttämällä Pick-kaavaa.

Riisi. 6. Monikulmio. Huippukaava

Ratkaisu. Kuvan 6 mukaan: V=9, G=10, sitten Peak-kaavan mukaan meillä on:

Alla on esimerkkejä joistakin kirjoittajan kehittämistä tehtävistä ruudullisen paperin kuvien pinta-alojen laskemiseksi.

1. Sisään päiväkoti lapset tekivät hakemukset vanhemmilleen lahjaksi (kuva 7). Etsi sovellusalue. Kunkin solun koko on 1cm 1cm.

Riisi. 7. Ongelma 1

2. Yhdelle hehtaarille kuusikoita mahtuu jopa 32 tonnia pölyä vuodessa, mänty - 35 tonnia, jalava - 43 tonnia, tammi - jopa 50 tonnia. Pyökki - jopa 68 tonnia Laske kuinka monta tonnia pölyä kuusimetsä kestää 5 vuodessa. Kuusimetsän suunnitelma on esitetty kuvassa 8 (mittakaava 1 cm - 200 m).

Riisi. 8. Ongelman 2 tila

3. Hanti- ja mansikoristeita hallitsevat geometriset aiheet. Usein on tyyliteltyjä kuvia eläimistä. Kuvassa 9 on fragmentti mansi-koristeesta "Janiksen korvat". Laske koristeen varjostetun osan pinta-ala.

Riisi. 9. Ongelman tila 3

4. Tehdasrakennuksen seinä on maalattava (kuva 10). Laske tarvittava vesiohenteisen maalin määrä (litroina). Maalin kulutus: 1 litra per 7 neliömetriä. metriä Mittakaava 1cm - 5m.

Riisi. 10. Ongelma 4

5. Tähtipolygoni - litteä geometrinen hahmo, joka koostuu kolmiomaisista säteistä, jotka lähtevät yhteinen keskus sulautuvat lähentymispisteessä. erityistä huomiota ansaitsee viisisakarainen tähti- pentagrammi. Pentagrammi on täydellisyyden, älykkyyden, viisauden ja kauneuden symboli. Tämä on yksinkertaisin tähden muoto, joka voidaan kuvata yhdellä kynän vedolla, eikä se koskaan repeä sitä paperista ja samalla ei koskaan kulje kahdesti samalla linjalla. Piirrä viisisakarainen tähti nostamatta kynää ruudulliselta paperiarkilta niin, että tuloksena olevan monikulmion kaikki kulmat ovat solun solmuissa. Laske tuloksena olevan kuvan pinta-ala.

Matemaattisen kirjallisuuden analysoinnin ja analysoinnin jälkeen suuri määrä Esimerkkejä tutkimusaiheesta tulin siihen tulokseen, että ruudullisen paperin hahmon pinta-alan laskentamenetelmän valinta riippuu hahmon muodosta. Jos kuva on kolmio, suorakulmio, suunnikas tai puolisuunnikkaan muotoinen, on kätevää käyttää tunnettuja kaavoja alueiden laskemiseen. Jos kuva on kupera monikulmio, on mahdollista käyttää sekä osiomenetelmää että summausmenetelmää (useimmissa tapauksissa summausmenetelmä on kätevämpi). Jos kuvio on ei-kupera tai tähtitetty monikulmio, on helpompi käyttää Pick-kaavaa.

Koska Pickin kaava on yleinen kaava pinta-alojen laskemiseen (jos monikulmion kärjet ovat hilapisteissä), sitä voidaan käyttää mihin tahansa kuvioon. Kuitenkin, jos monikulmio vie riittävän suuren alueen (tai solut ovat pieniä), on suuri todennäköisyys tehdä virhe hilasolmujen laskennassa. Yleisesti ottaen tulin tutkimuksen aikana siihen tulokseen, että kun ratkaisin tällaisia ​​ongelmia OGE on parempi käytä perinteisiä menetelmiä (osioita tai lisäyksiä) ja tarkista tulos Pick-kaavalla.

Kirjallisuus:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Polygonit ristikoissa. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 s.
2. Vasiliev I. N. Pick-kaavan ympärillä// Suosittu tieteellinen fysikaalinen ja matemaattinen lehti "Kvant". - 1974. - Nro 12. Käyttötila: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Zharkovskaya N., Riss E. Ruudullisen paperin geometria. Huippukaava. // Ensimmäinen syyskuu. Matematiikka. - 2009. - nro 23. - s. 24,25.

Wikisanakirjassa on sana "pika" Pika Sotilasasioissa: Pika kylmä lävistysase, eräänlainen pitkä keihäs. Pikemen ovat eräänlainen jalkaväki Euroopan armeijassa 1500- ja 1700-luvun alussa. Pickelhelm (s... Wikipedia

Pickin lause (kombinatorinen geometria)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Pickin lause on klassinen tulos kombinatorisesta geometriasta ja lukugeometriasta. Monikulmion pinta-ala, jossa on kokonaisluku ... Wikipedia

Kolmio- Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Kolmio (merkityksiä). Kolmio (euklidisessa avaruudessa) on geometrinen kuvio, joka muodostuu kolmesta janasta, jotka yhdistävät kolme epälineaarista pistettä. Kolme pistettä, ... ... Wikipedia

Trapetsi- Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Trapetsi (merkityksiä). Trapetsi (muista kreikkalaisista sanoista τραπέζιον "taulukko"; ... Wikipedia

Nelikulmainen- NELIKULMAT ┌─────────────┼────────────────────────

Bigon- Säännöllinen digoni pallon pinnalla Geometrian digoni on ... Wikipedia

Pentagon- Säännöllinen viisikulmio (pentagon) Viisikulmio on monikulmio, jossa on viisi kulmaa. Mitä tahansa tämän muotoista esinettä kutsutaan myös viisikulmioksi. Sisäisten ... Wikipedia

Kuusikulmio- Säännöllinen kuusikulmio Kuusikulmio on monikulmio, jossa on kuusi kulmaa. Mitä tahansa tämän muotoista esinettä kutsutaan myös kuusikulmioksi. Kuperan kuusikulmion sisäkulmien summa p ... Wikipedia

Dodecagon- Oikea kaksikulmainen Dodecagon (kreikaksi ... Wikipedia

Suorakulmio Suunnikkainen suorakulmio, jossa kaikki kulmat ovat suoria kulmia (yhtä kuin 90 astetta). Merkintä. Euklidisessa geometriassa, jotta nelikulmio olisi suorakulmio, riittää, että vähintään kolme sen kulmista ovat oikeassa. Neljäs kulma (... Wikipedian perusteella

Kirjat

• Plateau vaikutus. Kuinka murtautua pysähtyneisyydestä ja jatkaa eteenpäin, Sullivan B.
• Matemaattinen kerho "Kenguru". Numero 8. Matematiikka ruudullisella paperilla,. Numero on omistettu erilaisiin ruudulliseen paperiarkkiin liittyviin tehtäviin ja peleihin. Erityisesti se kertoo yksityiskohtaisesti sellaisen monikulmion alueen laskemisesta, jonka kärjet sijaitsevat ...

Monikulmiota, jossa ei ole itseleikkauksia, kutsutaan hilamonikulmioksi, jos sen kaikki kärjet ovat pisteissä, joissa on kokonaislukukoordinaatit (carteesisessa koordinaatistossa).

Pickin lause

Kaava

Olkoon jokin hilamonikulmio, jonka pinta-ala ei ole nolla.

Merkitään sen pinta-ala ; niiden pisteiden lukumäärä, joiden kokonaislukukoordinaatit sijaitsevat tiukasti monikulmion sisällä; monikulmion sivuilla olevien kokonaislukukoordinaateilla varustettujen pisteiden lukumäärä .

Sitten suhde soitti Valinnan kaava:

Erityisesti, jos I:n ja B:n arvot tunnetaan jollekin monikulmiolle, sen pinta-ala voidaan laskea muodossa , vaikka sen kärkipisteiden koordinaatteja ei tiedetä.

Tämän suhteen löysi ja todisti itävaltalainen matemaatikko Georg Alexander Pick vuonna 1899.

Todiste

Todistus tehdään useissa vaiheissa: yksinkertaisimmista kuvioista mielivaltaisiin monikulmioihin:

Yleistäminen korkeampiin ulottuvuuksiin

Valitettavasti tämä yksinkertainen ja kaunis Pickin kaava ei yleisty hyvin korkeampiin ulottuvuuksiin.

Tämän osoitti selvästi Reeve, joka ehdotti vuonna 1957 tetraedrin (nykyisin ns. Reeven tetraedri) seuraavilla pisteillä:

missä on mikä tahansa luonnollinen luku. Sitten tämä tetraedri ei sisällä mitään pistettä kokonaislukukoordinaateilla, ja sen rajalla on vain neljä pistettä , , , eikä muita. Siten tämän tetraedrin tilavuus ja pinta-ala voivat olla erilaisia, kun taas pisteiden lukumäärä sisällä ja reunalla ei muutu; siksi Pickin kaava ei salli yleistyksiä edes kolmiulotteiseen tapaukseen.

Siitä huolimatta, on edelleen olemassa jonkinlainen samanlainen yleistys korkeamman ulottuvuuden tiloihin, se on Earhartin polynomit(Ehrhart Polynomial), mutta ne ovat hyvin monimutkaisia ​​ja riippuvat paitsi pisteiden lukumäärästä kuvion sisällä ja reunalla.