Keskitaso

Suorakulmainen kolmio. Täydellinen kuvitettu opas (2019)

SUORAKULMAINEN KOLMIO. ENSIMMÄINEN TASO.

Ongelmissa suora kulma ei ole ollenkaan välttämätön - alempi vasen, joten sinun on opittava tunnistamaan suorakulmainen kolmio tässä muodossa,

ja sellaisissa

ja sellaisissa

Mitä hyvää suorakulmaisessa kolmiossa on? No... Ensinnäkin on olemassa erityisiä kauniita nimiä hänen puolilleen.

Huomio piirustukseen!

Muista äläkä sekoita: jalat - kaksi ja hypotenuusa - vain yksi(ainoa, ainutlaatuinen ja pisin)!

No, keskustelimme nimistä, nyt tärkein asia: Pythagoraan lause.

Pythagoraan lause.

Tämä lause on avain monien ongelmien ratkaisemiseen suorakulmainen kolmio. Pythagoras osoitti sen täydellisesti ikimuistoinen aika, ja siitä lähtien hän on tuonut monia etuja niille, jotka tuntevat hänet. Ja parasta hänessä on, että hän on yksinkertainen.

Niin, Pythagoraan lause:

Muistatko vitsin: "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia joka puolelta!"?

Piirretään nämä hyvin pythagoralaiset housut ja katsotaan niitä.

Näyttääkö se todella shortsilta? No, millä puolella ja missä ne ovat tasa-arvoisia? Miksi ja mistä vitsi tuli? Ja tämä vitsi liittyy juuri Pythagoraan lauseeseen, tarkemmin sanottuna tapaan, jolla Pythagoras itse muotoili lauseensa. Ja hän muotoili sen näin:

"Summa neliöiden pinta-ala, rakennettu jalkoihin, on yhtä suuri kuin neliön alue rakennettu hypotenuusalle.

Eikö se kuulosta hieman erilaiselta, eikö? Ja niin, kun Pythagoras piirsi lauseensa lausunnon, juuri tällainen kuva osoittautui.

Tässä kuvassa pienten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suuren neliön pinta-ala. Ja jotta lapset muistavat paremmin, että jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, joku nokkela keksi tämän vitsin Pythagoran housuista.

Miksi muotoilemme nyt Pythagoraan lausetta

Kärsikö Pythagoras ja puhuiko neliöistä?

Muinaisina aikoina ei ollut... algebraa! Ei ollut merkkejä ja niin edelleen. Ei ollut kirjoituksia. Voitteko kuvitella kuinka kauheaa oli muinaisten köyhien opiskelijoiden muistaa kaikki sanoin??! Ja voimme olla iloisia, että meillä on yksinkertainen Pythagoraan lauseen muotoilu. Toistetaan se uudelleen muistaakseni paremmin:

Nyt sen pitäisi olla helppoa:

Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin summa jalkojen neliöt.

No, tärkein lause suorakulmaisesta kolmiosta keskusteltiin. Jos olet kiinnostunut kuinka se todistetaan, lue teorian seuraavat tasot, ja nyt siirrytään ... trigonometrian pimeään metsään! Vastaanottaja kauheita sanoja sini, kosini, tangentti ja kotangentti.

Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa.

Itse asiassa kaikki ei ole ollenkaan niin pelottavaa. Tietenkin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin "todellista" määritelmää tulisi tarkastella artikkelissa. Mutta et todellakaan halua, ethän? Voimme iloita: ratkaistaksesi suorakulmaista kolmiota koskevat ongelmat, voit yksinkertaisesti täyttää seuraavat yksinkertaiset asiat:

Miksi kaikki on kiinni nurkasta? Missä kulma on? Tämän ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä, kuinka lauseet 1 - 4 kirjoitetaan sanoin. Katso, ymmärrä ja muista!

1.
Se itse asiassa kuulostaa tältä:

Entä kulma? Onko kulmaa vastapäätä oleva jalka, toisin sanoen vastakkainen jalka (kulmalle)? Tietysti on! Tämä on kateti!

Mutta entä kulma? Katso tarkkaan. Mikä jalka on kulman vieressä? Tietysti kissa. Joten kulman osalta jalka on vierekkäinen ja

Ja nyt huomio! Katso mitä saimme:

Katso kuinka hieno se on:

Siirrytään nyt tangenttiin ja kotangenttiin.

Miten se nyt puetaan sanoiksi? Mikä on jalka suhteessa kulmaan? Tietenkin vastapäätä - se "makaa" nurkkaa vastapäätä. Ja kateti? Kulman vieressä. Mitä saimme?

Katso kuinka osoittaja ja nimittäjä käännetään?

Ja nyt taas kulmat ja vaihto tehty:

Yhteenveto

Kirjoitetaan lyhyesti ylös, mitä olemme oppineet.

Pythagoraan lause:

Oikean kolmion päälause on Pythagoraan lause.

Pythagoraan lause

Muuten, muistatko hyvin, mitä jalat ja hypotenuusa ovat? Jos ei, katso kuvaa - päivitä tietosi

On mahdollista, että olet jo käyttänyt Pythagoraan lausetta monta kertaa, mutta oletko koskaan miettinyt, miksi tällainen lause on totta. Miten sen todistaisit? Tehdään kuten muinaiset kreikkalaiset. Piirretään neliö, jossa on sivu.

Näet kuinka ovelasti jaoimme sen sivut pituisiksi segmenteiksi ja!

Yhdistämme nyt merkityt pisteet

Tässä kuitenkin huomautimme jotain muuta, mutta sinä itse katsot kuvaa ja mieti miksi.

Mikä on suuremman neliön pinta-ala? Oikein,. Entä pienempi alue? Varmasti,. Neljän kulman kokonaispinta-ala säilyy. Kuvittele, että otimme niistä kaksi ja nojasimme toisiamme vasten hypotenuusilla. Mitä tapahtui? Kaksi suorakulmiota. Joten "pistokkaiden" pinta-ala on yhtä suuri.

Laitetaan nyt kaikki yhteen.

Muunnetaan:

Joten vierailimme Pythagorassa - todistimme hänen lauseensa muinaisella tavalla.

Suorakulmainen kolmio ja trigonometria

Suorakulmaiselle kolmiolle seuraavat suhteet ovat voimassa:

Sinus terävä kulma yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan

Terävän kulman kosini on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.

Terävän kulman kotangentti on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde vastakkaiseen jalkaan.

Ja jälleen kerran, kaikki tämä lautasen muodossa:

Se on erittäin mukava!

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

I. Kahdella jalalla

II. Jalkojen ja hypotenuusan kautta

III. Hypotenuusan ja terävän kulman mukaan

IV. Jalkaa pitkin ja terävä kulma

a)

b)

Huomio! Tässä on erittäin tärkeää, että jalat ovat "vastaavia". Jos se menee esimerkiksi näin:

SITÄ KOLMIOT EIVÄT OLE SAMALLA, huolimatta siitä, että niillä on yksi identtinen terävä kulma.

Tarvitsee molemmissa kolmioissa jalka oli vierekkäinen tai molemmissa - vastapäätä.

Oletko huomannut, kuinka suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit eroavat tavallisista kolmioiden tasa-arvomerkeistä? Katso aihetta "ja kiinnitä huomiota siihen, että "tavallisten" kolmioiden yhtäläisyyteen tarvitaan niiden kolmen elementin yhtäläisyys: kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tai kolme sivua. Mutta suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyteen riittää vain kaksi vastaavaa elementtiä. Se on hienoa, eikö?

Suunnilleen sama tilanne, jossa on merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta.

Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta

I. Akuutti kulma

II. Kahdella jalalla

III. Jalkojen ja hypotenuusan kautta

Mediaani suorakulmaisessa kolmiossa

Miksi se on niin?

Harkitse kokonaista suorakulmiota suorakulmaisen kolmion sijaan.

Piirretään diagonaali ja tarkastellaan pistettä - diagonaalien leikkauspistettä. Mitä tiedät suorakulmion diagonaaleista?

Ja mitä tästä seuraa?

Niin kävi niin

1. - mediaani:

Muista tämä tosiasia! Auttaa paljon!

Vielä yllättävämpää on, että myös päinvastainen on totta.

Mitä hyötyä voidaan saada siitä, että hypotenuusaan vedetty mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta? Katsotaanpa kuvaa

Katso tarkkaan. Meillä on: , eli etäisyydet pisteestä kaikkiin kolme huippua kolmiot ovat yhtä suuret. Mutta kolmiossa on vain yksi piste, etäisyydet, joista suurin piirtein kaikki kolmion kolme kärkeä ovat yhtä suuret, ja tämä on kuvatun YMPÄRISTÖN KESKUS. Mitä tapahtui?

Joten aloitetaan tästä "paitsi...".

Katsotaanpa i.

Mutta samanlaisissa kolmioissa kaikki kulmat ovat yhtä suuret!

Samaa voidaan sanoa ja

Piirretään se nyt yhdessä:

Mitä hyötyä tästä "kolminkertaisesta" samankaltaisuudesta voi olla.

No esimerkiksi - kaksi kaavaa suorakulmaisen kolmion korkeudelle.

Kirjoitamme vastaavien osapuolten suhteet:

Korkeuden löytämiseksi ratkaisemme suhteet ja saamme ensimmäinen kaava "Korkeus suorakulmaisessa kolmiossa":

Joten sovelletaan samankaltaisuutta: .

Mitä nyt tapahtuu?

Jälleen ratkaisemme suhteet ja saamme toisen kaavan:

Molemmat näistä kaavoista on muistettava erittäin hyvin ja se, joka on helpompi soveltaa. Kirjoitetaan ne uudestaan ​​muistiin.

Pythagoraan lause:

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa:.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit:

• kahdella jalalla:
• jalkaa ja hypotenuusaa pitkin: tai
• jalkaa ja sen vieressä olevaa terävää kulmaa pitkin: tai
• jalkaa pitkin ja vastakkaiseen terävään kulmaan: tai
• hypotenuusan ja terävän kulman mukaan: tai.

Merkkejä suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta:

• yksi terävä kulma: tai
• kahden jalan suhteellisuudesta:
• jalan ja hypotenuusan suhteellisuudesta: tai.

Sini, kosini, tangentti, kotangentti suorakulmaisessa kolmiossa

• Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
• Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
• Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
• Suorakulmaisen kolmion terävän kulman kotangentti on viereisen haaran suhde vastakkaiseen:.

Suorakulmaisen kolmion korkeus: tai.

Suorakulmaisessa kolmiossa huippupisteestä vedetty mediaani oikea kulma, on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta: .

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala:

• katetrien kautta:

Sinus Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on suhde vastapäätä katetri hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: sin α.

Kosini Suorakulmaisen kolmion terävä kulma α on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Se merkitään seuraavasti: cos α.

Tangentti terävä kulma α on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan.
Se merkitään seuraavasti: tg α.

Kotangentti terävä kulma α on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.
Se on merkitty seuraavasti: ctg α.

Kulman sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuvat vain kulman suuruudesta.

Säännöt:

Main trigonometriset identiteetit suorakulmaisessa kolmiossa:

(α - terävä kulma jalkaa vastapäätä b ja jalan vieressä a . Sivu kanssa - hypotenuusa. β - toinen terävä kulma).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Terävän kulman kasvaessasinα jatg α:n nousu jacos α pienenee.

Kaikille terävälle kulmille α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Selittävä esimerkki:

Merkitään suorakulmainen kolmio ABC
AB = 6,
BC = 3,
kulma A = 30º.

Etsi kulman A sini ja kulman B kosini.

Päätös.

1) Ensin löydämme kulman B arvon. Tässä kaikki on yksinkertaista: koska suorakulmaisessa kolmiossa terävien kulmien summa on 90º, niin kulma B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Laske sini A. Tiedämme, että sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kulman A vastakkainen jalka on sivu BC. Niin:

eKr. 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nyt lasketaan cos B. Tiedämme, että kosini on yhtä suuri kuin viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kulman B viereinen haara on sama sivu BC. Tämä tarkoittaa, että meidän on jälleen jaettava BC: ksi AB - eli suoritettava samat toiminnot kuin laskettaessa kulman A siniä:

eKr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulos on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Tästä seuraa, että suorakulmaisessa kolmiossa yhden terävän kulman sini on yhtä suuri kuin toisen terävän kulman kosini - ja päinvastoin. Juuri tätä kaksi kaavaamme tarkoittavat:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Katsotaanpa uudestaan:

1) Olkoon α = 60º. Korvaamalla α:n arvon sinikaavaan saadaan:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olkoon α = 30º. Korvaamalla α:n arvon kosinikaavaan, saamme:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Lisätietoja trigonometriasta on Algebra-osiossa)

Luento: Mielivaltaisen kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti

Sini, mielivaltaisen kulman kosini

Ymmärtääkseen mikä on trigonometriset funktiot, käännymme ympyräksi, jonka säde on yksikkö. Annettu ympyrä on keskitetty koordinaattitason origoon. Määritettäessä annettuja funktioita käytämme sädevektoria TAI, joka alkaa ympyrän keskeltä ja pisteestä R on piste ympyrässä. Tämä sädevektori muodostaa kulman alfan akselin kanssa VAI NIIN. Koska ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, niin TAI = R = 1.

Jos pisteestä R pudota kohtisuora akselille VAI NIIN, niin saadaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yhtä suuri.

Jos sädevektori liikkuu myötäpäivään, tätä suuntaa kutsutaan negatiivinen, mutta jos se liikkuu vastapäivään - positiivinen.

Kulman sini TAI, on pisteen ordinaatti R vektorit ympyrässä.

Toisin sanoen tietyn kulman alfa sinin arvon saamiseksi on tarpeen määrittää koordinaatti klo pinnalla.

Miten annettu arvo oli vastaanotettu? Koska tiedämme, että suorakulmaisen kolmion mielivaltaisen kulman sini on vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan, saamme sen

Ja siitä lähtien R = 1, sitten sin(α) = y 0 .

Yksikköympyrässä ordinaatin arvo ei voi olla pienempi kuin -1 ja suurempi kuin 1, mikä tarkoittaa sitä

Sinus hyväksyy positiivinen arvo yksikköympyrän ensimmäisellä ja toisella neljänneksellä ja negatiivinen kolmannella ja neljännellä.

Kulman kosini annettu sädevektorin muodostama ympyrä TAI, on pisteen abskissa R vektorit ympyrässä.

Toisin sanoen tietyn kulman alfa kosinin arvon saamiseksi on tarpeen määrittää koordinaatti X pinnalla.

Suorakulmaisen kolmion mielivaltaisen kulman kosini on viereisen haaran suhde hypotenuusaan, saamme sen

Ja siitä lähtien R = 1, sitten cos(α) = x 0 .

Yksikköympyrässä abskissan arvo ei voi olla pienempi kuin -1 ja suurempi kuin 1, mikä tarkoittaa, että

Kosini on positiivinen yksikköympyrän ensimmäisessä ja neljännessä neljänneksessä ja negatiivinen toisessa ja kolmannessa.

tangenttimielivaltainen kulma lasketaan sinin ja kosinin suhde.

Jos tarkastelemme suorakulmaista kolmiota, tämä on vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Jos me puhumme yksikköympyrän osalta tämä on ordinaatin suhde abskissaan.

Näistä suhteista päätellen voidaan ymmärtää, että tangenttia ei voi olla olemassa, jos abskissan arvo on nolla, eli 90 asteen kulmassa. Tangentti voi ottaa kaikki muut arvot.

Tangentti on positiivinen yksikköympyrän ensimmäisessä ja kolmannessa neljänneksessä ja negatiivinen toisessa ja neljännessä.

Viitetiedot tangentille (tg x) ja kotangentille (ctg x). Geometrinen määritelmä, ominaisuudet, kuvaajat, kaavat. Taulukko tangenteista ja kotangenteista, derivaatoista, integraaleista, sarjalaajennuksista. Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta. Yhteys hyperbolisiin funktioihin.

Geometrinen määritelmä

|BD| - pisteessä A keskitetyn ympyrän kaaren pituus.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .

Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .

Tangentti

Missä n-kokonainen.

AT Länsimainen kirjallisuus tangentti määritellään seuraavasti:
.
;
;
.

Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x

Kotangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.

Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x

Tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.

Pariteetti

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.

Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).

	y= tg x	y= ctg x
Laajuus ja jatkuvuus
Arvoalue	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Nouseva		-
Laskeva	-
Äärimmäisyydet	-	-
Nollat, y= 0
Leikkauspisteet y-akselin kanssa, x = 0	y= 0	-

Kaavat

Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen

; ;
; ;
;

Kaavat summan ja erotuksen tangentille ja kotangentille

Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada

Tangenttien tulo

Tangenttien summan ja eron kaava

Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet kompleksilukuina

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; .

.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>

Integraalit

Laajennukset sarjoiksi

Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssilla x, sinun on otettava useita termejä teho sarja toimintoja varten synti x ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.

klo .

osoitteessa .
missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan:

Käänteiset funktiot

Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arctangentti ja arkotangentti.

Arktangentti, arktg

, missä n-kokonainen.

Kaaretangentti, arcctg

, missä n-kokonainen.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille, 2012.

Tässä artikkelissa tarkastelemme kattavasti . Trigonometriset perusidentiteetit ovat yhtäläisyyksiä, jotka muodostavat suhteen yhden kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välille ja antavat sinun löytää minkä tahansa näistä trigonometrisista funktioista tunnetun toisen kulman kautta.

Luettelemme välittömästi tärkeimmät trigonometriset identiteetit, joita analysoimme tässä artikkelissa. Kirjoitamme ne taulukkoon, ja alla annamme näiden kaavojen johtamisen ja annamme tarvittavat selitykset.

Sivulla navigointi.

Yhden kulman sinin ja kosinin suhde

Joskus he eivät puhu yllä olevassa taulukossa luetelluista trigonometrisista perusidentiteeteistä, vaan yhdestä yksittäisestä trigonometrinen perusidentiteetti ystävällinen . Selitys tälle tosiasialle on melko yksinkertainen: yhtäläisyydet saadaan trigonometrisesta perusidentiteetistä sen jälkeen, kun sen molemmat osat on jaettu vastaavasti ja yhtäläisyydet ja seuraa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Keskustelemme tästä tarkemmin seuraavissa kappaleissa.

Toisin sanoen tasa-arvo on erityisen kiinnostava, jolle annettiin trigonometrisen pääidentiteetin nimi.

Ennen trigonometrisen perusidentiteetin todistamista annamme sen muotoilun: yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Nyt todistetaan se.

Trigonometristä perusidentiteettiä käytetään hyvin usein trigonometristen lausekkeiden muunnos. Se mahdollistaa yhden kulman sinin ja kosinin neliöiden summan korvaamisen yhdellä. Yhtä usein trigonometristä perusidentiteettiä käytetään käänteisessä järjestyksessä: yksikkö korvataan minkä tahansa kulman sinin ja kosinin neliöiden summalla.

Tangentti ja kotangentti sinin ja kosinin kautta

Identiteetit, jotka yhdistävät tangentin ja kotangentin muodon ja yhden kulman siniin ja kosiniin seuraa välittömästi sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmistä. Itse asiassa, määritelmän mukaan sini on y:n ordinaatta, kosini on x:n abskissa, tangentti on ordinaatin suhde abskissaan, eli , ja kotangentti on abskissan suhde ordinaataan, eli .

Tämän ilmeisyyden vuoksi identiteetit ja usein tangentin ja kotangentin määritelmää ei anneta abskissan ja ordinaatan suhteen, vaan sinin ja kosinin suhteen kautta. Joten kulman tangentti on tämän kulman sinin ja kosinin suhde, ja kotangentti on kosinin suhde siniin.

Tämän jakson päätteeksi on huomattava, että identiteetit ja pidä kiinni kaikista sellaisista kulmista, joille niissä olevilla trigonometrisilla funktioilla on järkeä. Joten kaava pätee mille tahansa muulle kuin (muuten nimittäjä on nolla, emmekä määrittäneet jakoa nollalla) ja kaava - kaikille erilainen kuin , jossa z on mikä tahansa.

Tangentin ja kotangentin välinen suhde

Vielä ilmeisempi trigonometrinen identiteetti kuin kaksi edellistä on identiteetti, joka yhdistää muodon yhden kulman tangentin ja kotangentin . On selvää, että se tapahtuu kaikille muille kulmille kuin , muuten tangenttia tai kotangenttia ei ole määritelty.

Todiste kaavasta erittäin yksinkertainen. Määritelmän mukaan ja mistä . Todistus olisi voitu tehdä hieman eri tavalla. Siitä lähtien ja , sitten .

Joten yhden kulman tangentti ja kotangentti, jossa niillä on järkeä, on.