Summia. Trigonometriset perusidentiteetit, niiden muotoilut ja johtaminen
Jatkamme keskustelua trigonometrian eniten käytetyistä kaavoista. Tärkeimmät niistä ovat summauskaavat.
Määritelmä 1
Summauskaavojen avulla voit ilmaista eron tai kahden kulman summan funktiot näiden kulmien trigonometristen funktioiden avulla.
Aluksi esittelemme täydellinen lista summauskaavat, todistamme ne ja analysoimme muutamia havainnollistavia esimerkkejä.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Perussummauskaavat trigonometriassa
Peruskaavoja on kahdeksan: summan sini ja kahden kulman eron sini, summan ja erotuksen kosinit, summan ja erotuksen tangentit ja kotangentit. Alla on niiden standardiformulaatiot ja laskelmat.
1. Kahden kulman summan sini voidaan saada seuraavasti:
Laskemme ensimmäisen kulman sinin tulon toisen kulman kosinilla;
Kerro ensimmäisen kulman kosini ensimmäisen kulman sinillä;
Laske yhteen saadut arvot.
Kaavan graafinen kirjoitus näyttää tältä: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Eron sini lasketaan lähes samalla tavalla, vain saatuja tuloja ei saa laskea yhteen, vaan vähentää toisistaan. Näin ollen laskemme ensimmäisen kulman sinin tulot toisen kosinin ja ensimmäisen kulman kosinin tulot toisen kulman sinillä ja löydämme niiden eron. Kaava kirjoitetaan näin: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Summan kosini. Sitä varten löydämme ensimmäisen kulman kosinin tulot toisen kosinin ja ensimmäisen kulman sinin tulot toisen kulman sinillä, ja löydämme niiden eron: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Kosiniero: laskemme annettujen kulmien sinien ja kosinien tulot, kuten aiemmin, ja laskemme ne yhteen. Kaava: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Summan tangentti. Tämä kaava ilmaistaan murtolukuna, jonka osoittajassa on haluttujen kulmien tangenttien summa ja nimittäjässä on yksikkö, josta haluttujen kulmien tangenttien tulo vähennetään. Kaikki on selvää hänen graafisesta merkinnästä: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Eron tangentti. Laskemme näiden kulmien eron ja tangenttien tulon ja käsittelemme niitä samalla tavalla. Nimittäjässä lisätään yhteen, eikä päinvastoin: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Summan kotangentti. Tätä kaavaa käyttäviä laskelmia varten tarvitsemme näiden kulmien tulon ja kotangenttien summan, jolla edetään seuraavasti: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Eron kotangentti . Kaava on samanlainen kuin edellinen, mutta osoittajassa ja nimittäjässä - miinus, eikä plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Olet todennäköisesti huomannut, että nämä kaavat ovat pareittain samanlaisia. Käyttämällä merkkejä ± (plus-miinus) ja ∓ (miinus-plus), voimme ryhmitellä ne merkinnän helpottamiseksi:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β t β t 1 ∓ c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Näin ollen meillä on yksi tallennuskaava kunkin arvon summalle ja erolle, vain yhdessä tapauksessa kiinnitämme huomiota ylempään merkkiin, toisessa - alempaan.
Määritelmä 2
Voimme ottaa mitkä tahansa kulmat α ja β , ja kosinin ja sinin summauskaavat toimivat niille. Jos voimme määrittää oikein näiden kulmien tangenttien ja kotangenttien arvot, tangentin ja kotangentin summauskaavat pätevät myös niille.
Kuten useimmat algebran käsitteet, summauskaavat voidaan todistaa. Ensimmäinen kaava, jonka todistamme, on erokosinikaava. Siitä voit helposti päätellä loput todisteet.
Selvitetään peruskäsitteet. Tarvitsemme yksikköympyrän. Se käy ilmi, jos otamme tietyn pisteen A ja kierrämme kulmat α ja β keskustan (piste O) ympäri. Tällöin vektorien O A 1 → ja O A → 2 välinen kulma on yhtä suuri kuin (α - β) + 2 π z tai 2 π - (α - β) + 2 π z (z on mikä tahansa kokonaisluku). Tuloksena olevat vektorit muodostavat kulman, joka on yhtä suuri kuin α - β tai 2 π - (α - β) tai se voi poiketa näistä arvoista kokonaislukumäärällä täydellisiä kierroksia. Katsokaa kuvaa:
Käytimme pelkistyskaavoja ja saimme seuraavat tulokset:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Pohjaviiva: vektorien O A 1 → ja O A 2 → välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin kulman α - β kosini, joten cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Muista sinin ja kosinin määritelmät: sini on kulman funktio, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen kulman haaran suhde hypotenuusaan, kosini on lisäkulman sini. Siksi pisteet A 1 ja A2 on koordinaatit (cos α , sin α) ja (cos β , sin β) .
Saamme seuraavat:
O A 1 → = (cos α , sin α) ja O A 2 → = (cos β , sin β)
Jos se ei ole selvä, katso vektorien alussa ja lopussa olevien pisteiden koordinaatit.
Vektorien pituudet ovat yhtä kuin 1, koska meillä on yksi ympyrä.
Analysoidaan nyt vektorien O A 1 → ja O A 2 → skalaarituloa. Koordinaateissa se näyttää tältä:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Tästä voimme päätellä tasa-arvon:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Siten erotuksen kosinin kaava on todistettu.
Nyt todistamme seuraavan kaavan - summan kosini. Tämä on helpompaa, koska voimme käyttää aikaisempia laskelmia. Otetaan esitys α + β = α - (- β) . Meillä on:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Tämä on todiste summan kosinin kaavasta. Viimeisellä rivillä käytetään vastakkaisten kulmien sinin ja kosinin ominaisuutta.
Summan sinin kaava voidaan johtaa erotuksen kosinin kaavasta. Otetaan tähän pelkistyskaava:
muotoa sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Niin
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Ja tässä on todiste eron sinin kaavasta:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Huomaa vastakkaisten kulmien sini- ja kosiniominaisuuksien käyttö viimeisessä laskelmassa.
Seuraavaksi tarvitsemme tangentin ja kotangentin summauskaavojen todisteita. Muistetaan perusmääritelmät (tangentti on sinin ja kosinin suhde ja kotangentti päinvastoin) ja otetaan jo etukäteen johdetut kaavat. Me teimme sen:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Meillä on monimutkainen murto-osa. Seuraavaksi meidän on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä cos α cos β :lla, koska cos α ≠ 0 ja cos β ≠ 0 , saamme:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α α cos cos β - sin α sin β cos α cos β
Nyt vähennetään murtoluvut ja saadaan seuraavan muotoinen kaava: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Saimme t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Tämä on todiste tangentin lisäyskaavasta.
Seuraava kaava, jonka todistamme, on erotangentin kaava. Kaikki näkyy selvästi laskelmissa:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kotangentin kaavat todistetaan samalla tavalla:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = t g + c =t g αctgβ ctgα + ctgβ
Edelleen:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t gtα
- Trigonometriassa tulee varmasti tehtäviä. Trigonometriaa ei usein pidä ahdata valtavasti vaikeita kaavoja, jotka ovat täynnä sinejä, kosineja, tangentteja ja kotangentteja. Sivusto antoi jo kerran neuvoja unohdetun kaavan muistamiseen Eulerin ja Peelin kaavojen esimerkin avulla.
Ja tässä artikkelissa yritämme osoittaa, että riittää, että tiedät tiukasti vain viisi yksinkertaisinta trigonometrista kaavaa ja tiedät loput yleinen idea ja ota ne pois matkallasi. Se on kuin DNA:n kanssa: niitä ei varastoida molekyyliin täydelliset piirustukset valmis elävä olento. Se sisältää pikemminkin ohjeet sen kokoamiseksi saatavilla olevista aminohapoista. Näin on trigonometriassa, tietäen joitakin yleiset periaatteet, me saamme kaiken tarvittavat kaavat pienestä joukosta niitä, jotka on pidettävä mielessä.
Luotamme seuraaviin kaavoihin:
Summien sinin ja kosinin kaavoista, tietäen, että kosinifunktio on parillinen ja että sinifunktio on pariton, korvaamalla b:n, saadaan kaavat eroille:
- Eron sini: synti(a-b) = syntiacos(-b)+cosasynti(-b) = syntiacosb-cosasyntib
- kosini ero: cos(a-b) = cosacos(-b)-syntiasynti(-b) = cosacosb+syntiasyntib
Laittamalla a \u003d b samoihin kaavoihin, saadaan kaavat kaksoiskulmien sinille ja kosinille:
- Kaksoiskulman sini: synti2a = synti(a+a) = syntiacosa+cosasyntia = 2syntiacosa
- Kaksoiskulman kosini: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-syntiasyntia = cos2a-synti2a
Muiden useiden kulmien kaavat saadaan samalla tavalla:
- Kolmoiskulman sini: synti3a = synti(2a+a) = synti2acosa+cos2asyntia = (2syntiacosa)cosa+(cos2a-synti2a)syntia = 2syntiacos2a+syntiacos2a-synti 3a = 3 syntiacos2a-synti 3a = 3 syntia(1-synti2a)-synti 3a = 3 syntia-4synti 3a
- Kolmoiskulman kosini: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-synti2asyntia = (cos2a-synti2a)cosa-(2syntiacosa)syntia = cos 3a- synti2acosa-2synti2acosa = cos 3a-3 synti2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa
Ennen kuin siirrymme eteenpäin, pohditaanpa yhtä ongelmaa.
Annettu: kulma on terävä.
Etsi sen kosini jos
Yhden opiskelijan ratkaisu:
Koska , sitten syntia= 3,a cosa = 4.
(matemaattisesta huumorista)
Joten tangentin määritelmä yhdistää tämän funktion sekä siniin että kosiniin. Mutta voit saada kaavan, joka antaa tangentin yhteyden vain kosinin kanssa. Sen johtamiseksi otamme trigonometrisen perusidentiteetin: synti 2 a+cos 2 a= 1 ja jaa se arvolla cos 2 a. Saamme:
Joten ratkaisu tähän ongelmaan olisi:
(Koska kulma on terävä, +-merkki otetaan juurta poimittaessa)
Summan tangentin kaava on toinen, jota on vaikea muistaa. Tulostetaan se näin:
heti ulostulo ja
Kaksoiskulman kosinikaavasta saat puolikulman sini- ja kosinikaavat. Voit tehdä tämän kaksoiskulmakosinikaavan vasemmalla puolella:
cos2
a = cos 2
a-synti 2
a
lisäämme yksikön ja oikealle - trigonometrisen yksikön, ts. sinin ja kosinin neliöiden summa.
cos2a+1 = cos2a-synti2a+cos2a+synti2a
2cos 2
a = cos2
a+1
ilmaiseva cosa kautta cos2
a ja suorittamalla muuttujien muutoksen, saamme:
Merkki otetaan kvadrantista riippuen.
Vastaavasti vähentämällä yhtä tasa-arvon vasemmalta puolelta yksi ja oikealta puolelta sinin ja kosinin neliöiden summa, saadaan:
cos2a-1 = cos2a-synti2a-cos2a-synti2a
2synti 2
a = 1-cos2
a
Ja lopuksi, muuntaaksesi trigonometristen funktioiden summan tuotteeksi, käytämme seuraavaa temppua. Oletetaan, että meidän on esitettävä sinien summa tulona syntia+syntib. Otetaan käyttöön muuttujat x ja y siten, että a = x+y, b+x-y. Sitten
syntia+syntib = synti(x+y)+ synti(x-y) = synti x cos y+ cos x synti y+ synti x cos y- cos x synti y = 2 synti x cos y. Esitetään nyt x ja y a:n ja b:n ehdoilla.
Koska a = x+y, b = x-y, niin . Niin
Voit peruuttaa heti
- Osiokaava sinin ja kosinin tuotteet sisään määrä: syntiacosb = 0.5(synti(a+b)+synti(a-b))
Suosittelemme, että harjoittelet ja johdat kaavoja sinien eron ja kosinien summan ja erotuksen tulon muuntamiseksi tuloksi sekä sinien ja kosinien tulojen jakamiseen summaksi. Kun olet tehnyt nämä harjoitukset, hallitset perusteellisesti trigonometristen kaavojen johtamisen etkä eksy vaikeimmassakaan kontrollissa, olympiassa tai testauksessa.
Yksi matematiikan haaroista, jonka kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavojen avulla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään pi-lukua laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia loogisia ketjuja.
Trigonometrian alkuperä
Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria tekee yleensä.
Historiallisesti suorakulmaiset kolmiot ovat olleet pääasiallinen tutkimuskohde tässä matemaattisen tieteen osassa. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää tarkasteltavan kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän mallin ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.
Ensimmäinen taso
Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta vain esimerkin perusteella suorakulmaiset kolmiot. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat käytön rajojen laajentamisen Jokapäiväinen elämä tämä matematiikan ala.
Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijoiden käytössä on fysiikka ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, joiden kanssa työ alkaa lukiossa.
Pallomainen trigonometria
Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi maanpinta, ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pinnan merkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteisessa avaruudessa.
Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.
Suorakulmainen kolmio
Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.
Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.
Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.
Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.
Määritelmä
Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.
Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin. Riippumatta siitä kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina vähemmän kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.
Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.
Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.
Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.
Yksinkertaisimmat kaavat
Trigonometriassa ei tule toimeen ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.
Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.
Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: tietää mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaavat voit milloin tahansa itse näyttää vaaditut monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.
Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen
Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa ja toisessa lisätään sinin ja kosinin parillinen tulo.
Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu edellisistä - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suuri kuin kulma beeta.
Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.
Lauseet
Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti ja siten myös kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.
Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän kaksi sädettä, eli ympyrä, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.
Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että kahden sivun neliöiden summasta vähennetään niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.
Virheitä huolimattomuudesta
Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.
Ensinnäkin, sinun ei pitäisi muuntaa tavallisia murtolukuja desimaaliluvuiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen muotoon murtoluku ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomaan matemaattisia operaatioita. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.
Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.
Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.
Sovellus
Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.
Lopulta
Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.
Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.
Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhde on murto-osa, päätavoite tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juurien löytämisestä tulee trigonometrinen ongelma. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.
Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä tangentti ja kotangentti terävä kulma. Nämä ovat trigonometrian perusteet.
Muista tuo oikea kulma on 90 asteen kulma. Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.
Terävä kulma- alle 90 astetta.
Tylppä kulma- yli 90 astetta. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhmä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)
Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Joten kulmaa A vastapäätä olevaa sivua merkitään.
Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.
Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.
Jalat- teräviä kulmia vastapäätä olevat sivut.
Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):
Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.
Todistakaamme joitain niistä.
Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?
Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.
Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .
Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omansa. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (paitsi oikea) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?
Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.
Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna välinen suhde juhlia ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää sen kaiken trigonometriset funktiot erikoistaulukoiden mukaan. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.
Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.
Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.
Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.
1. Kolmion kulma on , . Löytö .
Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.
Sikäli kuin , .
2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö .
Etsitään Pythagoraan lauseella.
Ongelma ratkaistu.
Usein ongelmissa on kolmioita, joissa on kulmat ja tai kulmat ja . Muista niiden perussuhteet ulkoa!
Kolmiolle, jossa on kulmat ja kulmaa vastapäätä oleva jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.
Kolmio, jossa on kulmia ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.
Pohdimme tehtäviä suorakulmaisten kolmioiden ratkaisemiseksi - eli tuntemattomien sivujen tai kulmien löytämiseksi. Mutta ei siinä vielä kaikki! AT KÄYTÄ vaihtoehtoja matematiikassa on monia ongelmia, joissa esiintyy kolmion ulkokulman sini, kosini, tangentti tai kotangentti. Tästä lisää seuraavassa artikkelissa.
Usein kysytyt kysymykset
Onko asiakirjaan mahdollista tehdä sinetti toimitetun näytteen mukaan? Vastaus Kyllä, se on mahdollista. Lähetä skannattu kopio tai valokuva sähköpostiosoitteeseemme hyvä laatu ja teemme tarvittavat kaksoiskappaleet.
Millaisia maksutyyppejä hyväksyt?
Vastaus Voit maksaa asiakirjan vastaanotettuasi kuriirin, kun olet tarkistanut täytön oikeellisuuden ja tutkintotodistuksen laadun. Tämän voi tehdä myös postiennakkopalveluja tarjoavien postiyhtiöiden toimipisteissä.
Kaikki asiakirjojen toimitus- ja maksuehdot on kuvattu kohdassa "Maksu ja toimitus". Olemme myös valmiita kuuntelemaan ehdotuksiasi asiakirjan toimitus- ja maksuehdoista.
Voinko olla varma, että et katoa rahojeni kanssa tilauksen tekemisen jälkeen? Vastaus Meillä on melko pitkä kokemus diplomituotannosta. Meillä on useita sivustoja, joita päivitetään jatkuvasti. Asiantuntijamme työskentelevät eri puolilla maata ja tuottavat yli 10 dokumenttia päivässä. Vuosien mittaan asiakirjamme ovat auttaneet monia ihmisiä ratkaisemaan työllisyysongelmia tai siirtymään korkeapalkkaisiin töihin. Olemme ansainneet asiakkaidemme luottamuksen ja tunnustuksen, joten meillä ei ole mitään syytä tehdä niin. Lisäksi se on yksinkertaisesti mahdotonta tehdä fyysisesti: maksat tilauksestasi, kun saat sen käsiisi, ennakkomaksua ei ole.
Voinko tilata tutkinnon mistä tahansa yliopistosta? Vastaus Yleisesti ottaen kyllä. Olemme työskennelleet tällä alalla lähes 12 vuotta. Tänä aikana on muodostunut lähes täydellinen tietokanta lähes kaikkien maan ja ulkomaisten yliopistojen myöntämistä asiakirjoista. eri vuosia liikkeeseenlasku. Sinun tarvitsee vain valita yliopisto, erikoisala, asiakirja ja täyttää tilauslomake.
Mitä minun tulee tehdä, jos löydän asiakirjasta kirjoitusvirheitä?
Vastaus Kun vastaanotat asiakirjan kuriiriltamme tai postiyritykseltämme, suosittelemme tarkistamaan kaikki tiedot huolellisesti. Mikäli kirjoitusvirheen, virheen tai epätarkkuuden havaitaan, sinulla on oikeus jättää tutkintotodistus vastaanottamatta ja sinun tulee ilmoittaa havaitsemistasi puutteista henkilökohtaisesti kuriirille tai kirjallisesti lähettämällä kirje osoitteeseen sähköposti.
AT niin pian kuin mahdollista Korjaamme asiakirjan ja lähetämme sen uudelleen määritettyyn osoitteeseen. Toimituskulut maksaa tietysti yrityksemme.
Tällaisten väärinkäsitysten välttämiseksi ennen alkuperäisen lomakkeen täyttöä lähetämme tulevan asiakirjan ulkoasun asiakkaan postiin tarkistettavaksi ja lopullisen version hyväksymiseksi. Ennen asiakirjan lähettämistä kuriiri- tai postitse otamme myös lisäkuvan ja -videon (myös ultraviolettivalossa), jotta sinulla on visuaalinen käsitys siitä, mitä saat loppujen lopuksi.
Mitä sinun tulee tehdä, jotta voit tilata tutkinnon yrityksestäsi?
Vastaus Tilataksesi asiakirjan (todistus, tutkintotodistus, akateeminen todistus jne.) sinun tulee täyttää verkkotilauslomake verkkosivuillamme tai antaa sähköpostiosoitteesi, jotta voimme lähettää sinulle kyselylomakkeen, joka sinun tulee täyttää ja lähettää. takaisin meille.
Jos et tiedä mitä merkitä johonkin tilauslomakkeen/kyselyn kenttään, jätä ne tyhjäksi. Siksi selvitämme kaikki puuttuvat tiedot puhelimitse.
Uusimmat arvostelut
Aleksei:
Minun piti hankkia tutkinto, jotta voisin työskennellä johtajana. Ja mikä tärkeintä, minulla on sekä kokemusta että taitoja, mutta ilman asiakirjaa en voi, saan työpaikan missä tahansa. Sivustollasi päätin silti ostaa tutkintotodistuksen. Diplomi valmistui 2 päivässä! Nyt minulla on työ, josta en koskaan ennen unelmoinut!! Kiitos!