Suunnikkaan pinta-ala, jos sivut tunnetaan. Suunnikkaan kehä ja pinta-ala

Tehtävä 4.

Yksi suunnikkaan, jonka pituus on 4√6, lävistäjä muodostaa 60° kulman kantaan ja toinen diagonaali muodostaa 45° kulman saman kantaosan kanssa. Etsi toinen diagonaali.

Päätös.

1. AO = 2√6.

2. Käytä sinilausetta kolmioon AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Vastaus: 12.

Tehtävä 5.

Suunnikkaalle, jonka sivut ovat 5√2 ja 7√2, diagonaalien välinen pienempi kulma on yhtä suuri kuin suunnikkaan pienempi kulma. Etsi diagonaalien pituuksien summa.

Päätös.

Olkoon d 1, d 2 suunnikkaan lävistäjät ja diagonaalien ja suunnikkaan pienemmän kulman välinen kulma φ.

1. Lasketaan kaksi erilaista
sen alueen tapoja.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Saadaan yhtälö 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Käytämme suunnikkaan sivujen ja diagonaalien välistä suhdetta, kirjoitetaan yhtälö

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Tehdään järjestelmä:

(p 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Kerro järjestelmän toinen yhtälö kahdella ja lisää se ensimmäiseen.

Saamme (d 1 + d 2) 2 = 576. Siten Id 1 + d 2 I = 24.

Koska d 1, d 2 ovat suunnikkaan diagonaalien pituudet, niin d 1 + d 2 = 24.

Vastaus: 24.

Tehtävä 6.

Suunnikkaan sivut ovat 4 ja 6. Diagonaalien välinen terävä kulma on 45 o. Etsi suunnikkaan pinta-ala.

Päätös.

1. Kolmiosta AOB kirjoitetaan kosinilauseen avulla suuntaviivan sivun ja diagonaalien välinen suhde.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (p 1/2) (p 2/2) √ 2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Samoin kirjoitetaan kolmion AOD relaatio.

Otamme sen huomioon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Saamme yhtälön d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Meillä on järjestelmä
(p 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(p 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Kun ensimmäinen vähennetään toisesta yhtälöstä, saadaan 2d 1 d 2 √2 = 80 tai

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Huomautus: Tässä ja edellisessä tehtävässä järjestelmää ei tarvitse ratkaista kokonaan, koska tässä tehtävässä tarvitsemme diagonaalien tuloa alueen laskemiseen.

Vastaus: 10.

Tehtävä 7.

Suunnikkaan pinta-ala on 96 ja sen sivut 8 ja 15. Etsi pienemmän lävistäjän neliö.

Päätös.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Tehdään korvaus kaavassa.

Saamme 96 = 8 15 sin VAD. Siten sin VAD = 4/5.

2. Etsi cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 HUONO = 1. cos 2 HUONO = 9/25.

Tehtävän ehdon mukaan löydämme pienemmän diagonaalin pituuden. Diagonaali BD on pienempi, jos kulma BAD on terävä. Sitten cos BAD = 3/5.

3. Kolmiosta ABD saadaan kosinilauseen avulla diagonaalin BD neliö.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Vastaus: 145.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista geometriaongelma?
Saadaksesi ohjaajan apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Suunnikas Sitä kutsutaan nelikulmioksi, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa. Koulun päätehtävät tästä aiheesta ovat suunnikkaan alueen, sen kehän, korkeuden, lävistäjän laskeminen. Nämä suuret ja niiden laskentakaavat annetaan alla.

Parallelogrammin ominaisuudet

Suunnikkaan vastakkaiset sivut ja vastakkaiset kulmat ovat keskenään yhtä suuret:
AB = CD, BC = AD ,

Suunnikkaan leikkauspisteen diagonaalit jaetaan kahteen yhtä suureen osaan:

AO = OC, OB = OD.

Kummankin sivun viereiset kulmat (viereiset kulmat) laskevat yhteen 180 astetta.

Kukin suunnikkaan lävistäjä jakaa sen kahteen kolmioon, joiden pinta-ala ja geometriset mitat ovat samat.

Toinen merkittävä ominaisuus, jota usein käytetään tehtävien ratkaisemisessa, on se, että suunnikkaan diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kaikkien sivujen neliöiden summa:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Suunkkaiden pääominaisuudet:

1. Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset, on suunnikas.
2. Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret, on suunnikas.
3. Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhtäläiset ja yhdensuuntaiset, on suunnikas.
4. Jos nelikulmion lävistäjät leikkauspisteessä jaetaan puoliksi, niin tämä on suuntaviiva.
5. Nelikulmio, jonka vastakkaiset kulmat ovat pareittain yhtä suuret, on suunnikas

Suunnikkaan puolittimet

Suunnikkaan vastakkaisten kulmien puolittajat voivat olla yhdensuuntaisia ​​tai yhteneviä.

Vierekkäisten kulmien puolittajat (saman puolen vierekkäiset) leikkaavat suorassa kulmassa (pystysuorassa).

Parallelogrammin korkeus

Parallelogrammin korkeus- tämä on segmentti, joka on piirretty kulmasta, joka on kohtisuorassa pohjaan nähden. Tästä seuraa, että kustakin kulmasta voidaan vetää kaksi korkeutta.

Parallelogram-alueen kaava

Rinnakkaisalue on yhtä suuri kuin sivun ja siihen piirretyn korkeuden tulo. Alueen kaava on seuraava

Toinen kaava ei ole yhtä suosittu laskelmissa, ja se määritellään seuraavasti: suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen tulo niiden välisen kulman sinillä

Yllä olevien kaavojen perusteella tiedät kuinka laskea suunnikkaan pinta-ala.

Rinnakkaiskehä

Suunnikkaan kehän laskemisen kaava on

eli ympärysmitta on kaksi kertaa sivujen summa. Suunnikkaan tehtäviä käsitellään viereisissä materiaaleissa, mutta toistaiseksi tutkikaa kaavoja. Suurin osa suunnikkaan sivujen, diagonaalien laskentatehtävistä on melko yksinkertaista ja rajoittuu sinilauseen ja Pythagoraan lauseen tuntemiseen.

Huomautus. Tämä on osa oppituntia, jossa on geometrian ongelmia (rinnakkaiskaavio). Jos sinun on ratkaistava geometrian ongelma, jota ei ole täällä - kirjoita siitä foorumille. Merkitsemään neliöjuuren erottamista tehtävien ratkaisemisessa käytetään symbolia √ tai sqrt () ja radikaalilauseke on merkitty suluissa.

Teoreettinen materiaali

Selitykset kaavoille suunnikkaan alueen löytämiseksi:

1. Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen yhden sivun pituuden ja sen sivun korkeuden tulo.
2. Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen sivun ja niiden välisen kulman sini tulo
3. Suunnikkaan pinta-ala on puolet sen diagonaalien ja niiden välisen kulman sinistä tulosta

Ongelmia suunnikkaan alueen löytämisessä

Päätös.
Merkitään pisteestä B suurempaan kantaan AD lasketun suunnikkaan ABCD pienempi korkeus BK:ksi.
Etsi pienemmän korkeuden, pienemmän sivun ja suuremman kantan osan muodostaman suorakulmaisen kolmion ABK haaran arvo. Pythagoraan lauseen mukaan:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Jatketaan suunnikkaan BC yläkanta ja pudotetaan korkeus AN sen alemmalta pohjalta. AN = BK suorakulmion ANBK sivuina. Tuloksena olevasta suorakulmaisesta kolmiosta ANC löydämme haaran NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Etsitään nyt suunnikkaan ABCD suurempi kanta BC.
BC=NC-NB
Otetaan tällöin huomioon, että NB = AK suorakulmion sivuina
BC = 12 - 1 = 11

Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin kannan ja tämän kannan korkeuden tulo.
S=ah
S=BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Vastaus: 99 cm2.

Tehtävä

Päätös.
Pudotetaan vielä yksi kohtisuora DK diagonaaliin AC.
Vastaavasti kolmiot AOB ja DKC, COB ja AKD ovat pareittain yhteneviä. Yksi sivuista on suunnikkaan vastakkainen puoli, yksi kulmista on suora, koska se on kohtisuorassa diagonaaliin nähden, ja yksi jäljelle jäävistä kulmista on suunnikkaan ja sekantin yhdensuuntaisten sivujen sisäinen risti. diagonaalista.

Siten suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin ilmoitettujen kolmioiden pinta-ala. Eli
Sparal = 2S AOB + 2S BOC

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet jalkojen tulosta. Missä
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Vastaus: 56 cm2.

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 KÄYTÄ matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.

Kuten euklidisessa geometriassa, piste ja suora ovat tasoteorian pääelementtejä, niin suunnikas on yksi kuperoiden nelikulmioiden avainkuvista. Siitä, kuten pallon langoista, virtaavat käsitteet "suorakulmio", "neliö", "rombi" ja muut geometriset suureet.

Yhteydessä

Suunnikkaan määritelmä

kupera nelikulmio, Se koostuu segmenteistä, joiden jokainen pari on yhdensuuntainen, tunnetaan geometriassa suunnikkaana.

Miltä klassinen suuntaviiva näyttää, on nelikulmio ABCD. Sivuja kutsutaan kantaviksi (AB, BC, CD ja AD), mistä tahansa kärjestä tämän kärjen vastakkaiselle puolelle vedettyä kohtisuoraa kutsutaan korkeudeksi (BE ja BF), viivoja AC ja BD ovat diagonaalit.

Huomio! Neliö, rombi ja suorakulmio ovat suuntaviivan erikoistapauksia.

Sivut ja kulmat: suhdeominaisuudet

Tärkeimmät ominaisuudet, yleisesti itse nimityksen määräämä, ne todistetaan lauseella. Nämä ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Vastakkaiset sivut ovat identtisiä pareittain.
2. Toisiaan vastakkaiset kulmat ovat pareittain yhtä suuret.

Todistus: harkitse ∆ABC ja ∆ADC, jotka saadaan jakamalla nelikulmio ABCD suoralla AC. ∠BCA=∠CAD ja ∠BAC=∠ACD, koska AC on niille yhteinen (pystykulmat BC||AD:lle ja AB||CD:lle, vastaavasti). Tästä seuraa: ∆ABC = ∆ADC (toinen kolmioiden yhtäläisyyden kriteeri).

Jaksot AB ja BC ∆ABC:ssä vastaavat pareittain ∆ADC:n viivoja CD ja AD, mikä tarkoittaa, että ne ovat identtisiä: AB = CD, BC = AD. Siten ∠B vastaa arvoa ∠D ja ne ovat yhtä suuret. Koska ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, jotka ovat myös identtisiä pareittain, niin ∠A = ∠C. Omaisuus on todistettu.

Figuurin diagonaalien ominaisuudet

Pääominaisuus nämä suunnikasviivat: leikkauspiste jakaa ne kahtia.

Todistus: olkoon m. E kuvion ABCD diagonaalien AC ja BD leikkauspiste. Ne muodostavat kaksi vastaavaa kolmiota - ∆ABE ja ∆CDE.

AB = CD, koska ne ovat vastakkaisia. Viivojen ja sekanttien mukaan ∠ABE = ∠CDE ja ∠BAE = ∠DCE.

Toisen tasa-arvon mukaan ∆ABE = ∆CDE. Tämä tarkoittaa, että elementit ∆ABE ja ∆CDE ovat: AE = CE, BE = DE ja lisäksi ne ovat AC:n ja BD:n suhteellisia osia. Omaisuus on todistettu.

Vierekkäisten kulmien ominaisuudet

Vierekkäisillä sivuilla kulmien summa on 180°, koska ne sijaitsevat samalla puolella yhdensuuntaisia ​​viivoja ja sekanttia. Nelikulmio ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisectorin ominaisuudet:

1. , pudonneet toiselle puolelle, ovat kohtisuorassa;
2. vastakkaisilla pisteillä on yhdensuuntaiset puolittajat;
3. puolittajaa piirtämällä saatu kolmio on tasakylkinen.

Suunnikkaan ominaispiirteiden määrittäminen lauseella

Tämän kuvion ominaisuudet seuraavat sen päälauseesta, joka kuuluu seuraavasti: nelikulmiota pidetään suunnikkaana siinä tapauksessa, että sen lävistäjät leikkaavat, ja tämä piste jakaa ne yhtäläisiksi segmenteiksi.

Todistus: Leikkaavat nelikulmion ABCD suorat AC ja BD pisteessä t. E. Koska ∠AED = ∠BEC ja AE+CE=AC BE+DE=BD, niin ∆AED = ∆BEC (kolmioiden ensimmäisellä yhtäläisyysmerkillä). Eli ∠EAD = ∠EKP. Ne ovat myös sekantin AC sisäiset risteyskulmat linjoille AD ja BC. Siten rinnakkaisuuden määritelmän mukaan - AD || eKr. Myös rivien BC ja CD samanlainen ominaisuus johdetaan. Lause on todistettu.

Kuvan pinta-alan laskeminen

Tämän hahmon pinta-ala löytyy monella tapaa yksi yksinkertaisimmista: kerrotaan korkeus ja pohja, johon se on vedetty.

Todistus: Piirrä pisteitä B ja C kohtisuorat BE ja CF. ∆ABE ja ∆DCF ovat yhtä suuret, koska AB = CD ja BE = CF. ABCD on yhtä suuri kuin suorakulmio EBCF, koska ne koostuvat myös suhteellisista luvuista: S ABE ja S EBCD sekä S DCF ja S EBCD. Tästä seuraa, että tämän geometrisen kuvion pinta-ala on sama kuin suorakulmion pinta-ala:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Suunnikkaan alueen yleisen kaavan määrittämiseksi merkitsemme korkeutta as hb, ja sivu b. Vastaavasti:

Muita tapoja löytää alue

Pinta-alalaskelmat suunnikkaan ja kulman sivujen läpi, jonka ne muodostavat, on toinen tunnettu menetelmä.

,

Spr-ma - alue;

a ja b ovat sen sivut

α - segmenttien a ja b välinen kulma.

Tämä menetelmä perustuu käytännössä ensimmäiseen, mutta jos sitä ei tunneta. leikkaa aina suorakulmaisen kolmion, jonka parametrit löytyvät trigonometristen identiteettien avulla, eli . Muuttamalla suhdetta saamme . Ensimmäisen menetelmän yhtälössä korvaamme korkeuden tällä tuotteella ja saamme todisteen tämän kaavan pätevyydestä.

Suunnikkaan ja kulman lävistäjien kautta, jonka ne luovat risteäessään, voit myös löytää alueen.

Todistus: AC ja BD leikkaavat neljä kolmiota: ABE, BEC, CDE ja AED. Niiden summa on yhtä suuri kuin tämän nelikulmion pinta-ala.

Jokaisen näiden ∆:n pinta-ala löytyy lausekkeesta , jossa a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Koska , silloin laskelmissa käytetään yhtä sinin arvoa. Eli Koska AE+CE=AC= d 1 ja BE+DE=BD= d 2 , pinta-alakaava pienenee muotoon:

.

Sovellus vektorialgebrassa

Tämän nelikulmion muodostavien osien ominaisuudet ovat löytäneet sovelluksen vektorialgebrassa, nimittäin: kahden vektorin yhteenlasku. Suunnikkasääntö sanoo sen jos vektorit annetaanjaeiovat kollineaarisia, niin niiden summa on yhtä suuri kuin tämän kuvan diagonaali, jonka kantakohdat vastaavat näitä vektoreita.

Todiste: mielivaltaisesti valitusta alusta - eli. - Rakennamme vektoreita ja . Seuraavaksi rakennetaan suunnikas OASV, jossa segmentit OA ja OB ovat sivuja. Siten käyttöjärjestelmä on vektorissa tai summassa.

Kaavat suunnikkaan parametrien laskentaan

Henkilöllisyydet annetaan seuraavin ehdoin:

1. a ja b, α - sivut ja niiden välinen kulma;
2. d 1 ja d 2 , γ - diagonaalit ja niiden leikkauspisteet;
3. h a ja h b - korkeudet laskettu sivuille a ja b;

Parametri	Kaava
Puolien löytäminen
diagonaaleja ja niiden välisen kulman kosinia pitkin
vinosti ja sivuttain
korkeuden ja vastakkaisen kärjen läpi
Diagonaalien pituuden löytäminen
sivuilla ja yläosan koko niiden välissä