Vastupidisest tipust) ja jagage saadud korrutis kahega. Vormis näeb see välja selline:

S = ½ * a * h,

kus:
S on kolmnurga pindala,
a on selle külje pikkus,
h on sellele küljele langetatud kõrgus.

Külje pikkus ja kõrgus tuleb esitada samades ühikutes. Sel juhul osutub kolmnurga pindala vastavates "" ühikutes.

Näide.
20 cm pikkuse skaala kolmnurga ühel küljel on langetatud 10 cm pikkune risti vastupidisest tipust.
Kolmnurga pindala on nõutav.
Otsus.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Kui teate skaala kolmnurga mis tahes kahe külje pikkust ja nende vahelist nurka, kasutage valemit:

S = ½ * a * b * sinγ,

kus: a, b on kahe suvalise külje pikkused ja γ on nendevaheline nurk.

Praktikas näiteks mõõtmisel maatükid, on ülaltoodud valemite kasutamine mõnikord keeruline, kuna see nõuab täiendavaid konstruktsioone ja nurkade mõõtmist.

Kui teate skaala kolmnurga kõigi kolme külje pikkust, kasutage Heroni valemit:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c on kolmnurga külgede pikkused,
р – poolperimeeter: p = (a+b+c)/2.

Kui lisaks kõigi külgede pikkustele on teada ka kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius, kasutage järgmist kompaktset valemit:

kus: r on sisse kirjutatud ringi raadius (p on poolperimeeter).

Piiratud ringi skaala kolmnurga pindala ja selle külgede pikkuse arvutamiseks kasutage valemit:

kus: R on piiritletud ringi raadius.

Kui kolmnurga ühe külje ja kolme nurga pikkus on teada (põhimõtteliselt piisab kahest - kolmanda väärtus arvutatakse kolmnurga kolme nurga summa võrdusest - 180º), siis kasutage valem:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kus α on külje a vastasnurga väärtus;
β, γ on kolmnurga ülejäänud kahe nurga väärtused.

Vajadus leida erinevaid elemente, sealhulgas ala kolmnurk, ilmus astronoomide seas palju sajandeid enne meie ajastut Vana-Kreeka. Ruut kolmnurk saab arvutada erinevaid viise kasutades erinevaid valemeid. Arvutusmeetod sõltub sellest, millistest elementidest kolmnurk teatud.

Juhend

Kui tingimusest teame kahe külje b, c väärtused ja nende poolt moodustatud nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = (bcsin?)/2.

Kui tingimusest teame kahe külje a, b väärtused ja nende poolt moodustamata nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmiselt:
Nurga leidmine?, patt? = bsin? / a, määrame tabelis edasi nurga enda.
Nurga leidmine? = 180°-?-?.
Leia ala ise S = (absin?)/2.

Kui tingimusest teame ainult kolme külje väärtusi kolmnurk a, b ja c, seejärel pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , kus p on poolperimeeter p = (a+b+c)/2

Kui probleemi seisukorra järgi teame kõrgust kolmnurk h ja külg, kuhu see kõrgus on langetatud, seejärel ala kolmnurk ABC valemi järgi:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kui me teame külgede väärtusi kolmnurk a, b, c ja piiritletava raadius antud lähedal kolmnurk R, siis selle pindala kolmnurk ABC määratakse järgmise valemiga:
S = abc/4R.
Kui on teada kolm külge a, b, c ja sisse kirjutatud raadius, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = pr, kus p on poolperimeeter, p = (a+b+c)/2.

Kui ABC on võrdkülgne, leitakse pindala valemiga:
S = (a^2v3)/4.
Kui kolmnurk ABC on võrdhaarne, määratakse pindala valemiga:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kus c on kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk, määratakse pindala valemiga:
S = ab/2, kus a ja b on jalad kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, määratakse pindala valemiga:
S = c^2/4 = a^2/2, kus c on hüpotenuus kolmnurk, a=b - jalg.

Seotud videod

Allikad:

• kuidas mõõta kolmnurga pindala

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala, kui tead nurka

Ainult ühe parameetri (nurga väärtuse) teadmisest pindala leidmiseks ei piisa tre ruut . Kui on lisamõõtmeid, siis pindala määramiseks saab valida ühe valemitest, milles ühe teadaoleva muutujana kasutatakse ka nurga väärtust. Allpool on loetletud mõned kõige sagedamini kasutatavad valemid.

Juhend

Kui lisaks kahe külje moodustatud nurgale (γ). tre ruut , siis on teada ka nende külgede (A ja B) pikkused ruut(S) arvud võib defineerida poolena külje pikkuste ja selle teadaoleva nurga siinuse korrutisest: S=½×A×B×sin(γ).

Kolmnurga pindala - ülesannete lahendamise valemid ja näited

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või mõõtmetest. Valemid on toodud pildi kujul, siin on selgitused nende rakendamiseks või nende õigsuse põhjendus. Samuti on eraldi joonisel näidatud tähemärkide vastavus valemites ja graafilised sümbolid joonisel.

Märge . Kui kolmnurgal on eriomadused (võrdhaarne, ristkülikukujuline, võrdkülgne), võite kasutada allolevaid valemeid ja lisaks spetsiaalseid valemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

• "Võrdkülgse kolmnurga pindala valemid"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- kolmnurga ümber oleva ringjoone raadius
h- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga a vastaskülje nurk
β - kolmnurga vastaskülje b nurk
γ - kolmnurga vastaskülje c nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele a, b, c

Pange tähele, et antud tähistus vastab ülaltoodud joonisele, nii et geomeetria reaalse ülesande lahendamisel oleks teil lihtsam visuaalselt asendada õiged kohad valemid õiged väärtused.

• Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, millele see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui täiendame neist igaüks ristkülikuks, mille mõõtmed on b ja h, siis ilmselgelt võrdub nende kolmnurkade pindala täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
• Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Hoolimata asjaolust, et see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti muuta. Kui alandame kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis võrdub siinuse omaduste järgi täisnurkses kolmnurgas joonestatud kolmnurga kõrgusega. meile, mis annab meile eelmise valemi
• Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(valem 3), teisisõnu peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (nii on lihtsam meeles pidada)
• Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
• Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine selle külgede pikkuste ja poolperimeetri järgi (pool kõigi külgede summast)
• Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
• Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
• Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ümber piiritletud ringi kahe ruudu ja selle iga nurga siinuste korrutisena. (Vormel 8)
• Kui ühe külje pikkus ja kahe sellega külgneva nurga suurus on teada, siis võib kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende kootangentide topeltsummaga. nurgad (vormel 9)
• Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
• Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala vastavalt selle tippude koordinaatidele, mis on antud (x;y) väärtustena iga tipu jaoks. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetria probleemide lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mille sarnast siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes sümboli "" asemel Ruutjuur" saab kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Mõnikord saab sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm Nende vaheline nurk on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Otsus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala on võimalik leida läbi kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemis asendada ainult ülesande tingimuse väärtused:
S=1/2*5*6*sin60

Väärtuste tabelis trigonomeetrilised funktsioonid leida ja asendada avaldises siinuse väärtus 60 kraadi. See võrdub kolme kahega juurega.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest on ilmselt võimalik jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Otsus .

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a \u003d b \u003d c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui küljed neljakordistada?

Otsus.

Kuna me ei tea kolmnurga külgede mõõtmeid, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks selle kolmnurga pindala ja seejärel kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Järgmisena anname ülesande lahenduse tekstilise selgituse sammude kaupa. Päris lõpus esitatakse aga sama lahendus graafilisel kujul, mis on tajumiseks mugavam. Soovijad saavad lahenduse kohe alla panna.

Lahendamiseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused on antud muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta. üldreeglid matemaatika.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Numbrist 256 on ruutjuur suurepäraselt välja võetud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva joonise viiendat rida)

Ülesandes püstitatud küsimusele vastamiseks piisab, kui jagame saadud kolmnurga pindala esialgse kolmnurga pindalaga.
Pindala suhted määrame, jagades avaldised üksteiseks ja vähendades saadud murdosa.

Juhend

Peod ja nurki peetakse põhielementideks a. Kolmnurk on täielikult määratletud mis tahes selle järgmiste põhielementidega: kas kolm külge või üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja nendevaheline nurk. Olemasolu eest kolmnurk defineeritud kolme küljega a, b, c, on vajalik ja piisav, et ebavõrdsused, mida nimetatakse ebavõrdsusteks kolmnurk:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Ehitamiseks kolmnurk kolmel küljel a, b, c on vaja lõigu CB=a punktist C, kuidas tõmmata kompassiga ring raadiusega b. Seejärel tõmmake samamoodi punktist B ring, mille raadius on võrdne küljega c. Nende lõikepunkt A on soovitud kolmas tipp kolmnurk ABC, kus AB=c, CB=a, CA=b - küljed kolmnurk. Ülesanne on , kui küljed a, b, c rahuldavad ebavõrdsust kolmnurk 1. sammus määratletud.

Sel viisil konstrueeritud S-ala kolmnurk ABC koos tuntud peod a, b, c arvutatakse Heroni valemiga:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kus a, b, c on küljed kolmnurk, p on poolperimeeter.
p = (a+b+c)/2

Kui kolmnurk on võrdkülgne, st kõik selle küljed on võrdsed (a=b=c). Pindala kolmnurk arvutatakse valemiga:
S=(a^2 v3)/4

Kui kolmnurk on täisnurkne, st üks selle nurkadest on 90 ° ja selle moodustavad küljed on jalad, on kolmas külg hüpotenuus. Sel juhul ruut võrdub jalgade korrutisega, mis on jagatud kahega.
S=ab/2

Leidma ruut kolmnurk, võite kasutada ühte paljudest valemistest. Valige valem sõltuvalt sellest, millised andmed on juba teada.

Sa vajad

• kolmnurga pindala leidmise valemite tundmine

Juhend

Kui teate ühe külje väärtust ja vastasnurgast sellele küljele langetatud kõrguse väärtust, saate selle ala leida järgmiselt: S = a*h/2, kus S on ​Kolmnurk, a on kolmnurga üks külgedest ja h - kõrgus külje a juures.

On teada viis kolmnurga pindala määramiseks, kui selle kolm külge on teada. Ta on Heroni valem. Selle salvestamise lihtsustamiseks võetakse kasutusele vaheväärtus - poolperimeeter: p \u003d (a + b + c) / 2, kus a, b, c - . Siis on Heroni valem järgmine: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ astendamine.

Oletame, et tead kolmnurga ühte külge ja kolme nurka. Siis on lihtne leida kolmnurga pindala: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kus β on külje a vastasnurk ning α ja γ on küljega külgnevad nurgad.

Seotud videod

Märge

Kõige üldisem valem, mis sobib kõikidel juhtudel, on Heroni valem.

Allikad:

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala, millel on kolm külge

Kolmnurga pindala leidmine on üks levinumaid ülesandeid kooli planimeetria. Mis tahes kolmnurga pindala määramiseks piisab kolmnurga kolme külje teadmisest. Erijuhtudel ja võrdkülgsete kolmnurkade puhul piisab vastavalt kahe ja ühe külje pikkuse teadmisest.

Sa vajad

• kolmnurkade küljepikkused, Heroni valem, koosinusteoreem

Juhend

Heroni valem kolmnurga pindala jaoks on järgmine: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Kui värvite poolperimeetri p, saate: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Samuti saate kaalutluste põhjal tuletada kolmnurga pindala valemi, rakendades näiteks koosinusteoreemi.

Koosinuste seaduse järgi AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kasutades sissejuhatavat tähistust, võivad need olla ka kujul: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Seega cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmnurga pindala leitakse ka valemiga S = a*c*sin(ABC)/2 läbi kahe külje ja nendevahelise nurga. Nurga ABC siinust saab väljendada selle kaudu, kasutades põhilist trigonomeetriline identiteet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Asendades siinuse pindala valemisse ja värvides selle, saame kolmnurga ABC pindala valemini.

Seotud videod

Sest remonditööd võib olla vaja mõõta ruut seinad. Vajalikku värvi- või tapeedikogust on lihtsam välja arvutada. Mõõtmiseks on kõige parem kasutada mõõdulinti või sentimeetrit. Mõõtmised tuleks teha pärast seinad on joondatud.

Sa vajad

• -rulett;
• -redel.

Juhend

Loendama ruut seinad, peate teadma täpne kõrgus laed, samuti pikkuse mõõtmiseks mööda põrandat. Seda tehakse järgmiselt: võtke sentimeeter, asetage see sokli kohale. Tavaliselt ei piisa kogu pikkuse jaoks sentimeetrist, nii et kinnitage see nurka, seejärel kerige see maksimaalse pikkuseni lahti. Siinkohal pange pliiatsiga märk, kirjutage tulemus üles ja teostage edasine mõõtmine samal viisil, alustades viimane punkt mõõtmine.

Tüüpilised standardlaed - 2 meetrit 80 sentimeetrit, 3 meetrit ja 3 meetrit 20 sentimeetrit, olenevalt majast. Kui maja on ehitatud enne 50ndaid, siis suure tõenäosusega on tegelik kõrgus näidatust veidi väiksem. Kui te arvutate ruut remonditöödeks, siis väike varu ei tee paha - kaaluge standardi alusel. Kui teil on siiski vaja teada tegelikku pikkust - võtke mõõtmised. Põhimõte on sarnane pikkuse mõõtmisega, kuid selleks on vaja astmeredelit.

Korrutage saadud arvud - see on ruut sinu seinad. Tõsi, värvimistöödeks või selleks on vaja lahutada ruut ukse- ja aknaavad. Selleks asetage piki ava sentimeetrit. Kui a me räägime ukse kohta, mida te hiljem vahetate, siis tehke seda eemaldatud ukseraamiga, võttes arvesse ainult ruut ava ise. Akna pindala arvutatakse piki selle raami perimeetrit. Pärast ruut arvutatud aken ja ukseava, lahutage tulemus saadud ruumi kogupindalast.

Pange tähele, et ruumi pikkuse ja laiuse mõõtmised tehakse koos, sentimeetrit või mõõdulint on lihtsam fikseerida ja vastavalt saada täpsem tulemus. Mõõtke sama mõõtmist mitu korda, et veenduda saadud numbrite täpsuses.

Seotud videod

Kolmnurga ruumala leidmine on tõepoolest mittetriviaalne ülesanne. Fakt on see, et kolmnurk on kahemõõtmeline kujund, st. see asub täielikult ühel tasapinnal, mis tähendab, et sellel lihtsalt pole helitugevust. Muidugi ei leia midagi, mida poleks olemas. Kuid ärgem andkem alla! Võime teha järgmise oletuse - kahemõõtmelise kujundi ruumala, see on selle pindala. Otsime kolmnurga pindala.

Sa vajad

• paberileht, pliiats, joonlaud, kalkulaator

Juhend

Joonistage joonlaua ja pliiatsiga paberilehele. Kolmnurka hoolikalt uurides saate veenduda, et sellel tõesti pole, kuna see on joonistatud tasapinnale. Märgistage kolmnurga küljed: olgu üks külg külg "a", teine ​​külg "b" ja kolmas külg "c". Märgistage kolmnurga tipud tähtedega "A", "B" ja "C".

Mõõtke joonlauaga kolmnurga mis tahes külg ja kirjutage tulemus üles. Pärast seda taastage risti mõõdetud küljega vastastipust, selline rist on kolmnurga kõrgus. Joonisel kujutatud juhul taastatakse risti "h" tipust "A" olevale küljele "c". Mõõtke saadud kõrgus joonlauaga ja fikseerige mõõtmise tulemus.

Võib juhtuda, et täpset risti taastada on raske. Sel juhul peaksite kasutama teist valemit. Mõõtke joonlauaga kolmnurga kõik küljed. Pärast seda arvutage kolmnurga "p" poolperimeeter, lisades saadud külgede pikkused ja jagades nende summa pooleks. Kui teie käsutuses on poolperimeetri väärtus, saate kasutada Heroni valemit. Selleks tuleb võtta ruutjuur järgmisest: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olete saanud kolmnurga soovitud pindala. Kolmnurga ruumala leidmise probleem ei ole lahendatud, kuid nagu eespool mainitud, ei ole ruumala . Võite leida helitugevust, mis on 3D-maailmas sisuliselt kolmnurk. Kui kujutame ette, et meie algsest kolmnurgast on saanud kolmemõõtmeline püramiid, siis on sellise püramiidi ruumala selle aluse pikkuse ja saadud kolmnurga pindala korrutis.

Märge

Arvutused on seda täpsemad, mida hoolikamalt mõõdate.

Allikad:

• Kõik-kõik-kalkulaator – teabeportaal
• kolmnurga maht 2019. aastal

Kolm punkti, mis üheselt määratlevad kolmnurga Descartes'i koordinaatsüsteemis, on selle tipud. Teades nende asukohta iga koordinaattelje suhtes, saate arvutada selle lameda kujundi mis tahes parameetrid, sealhulgas selle ümbermõõduga piiratud parameetrid. ruut. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhend

Kasutage pindala arvutamiseks Heroni valemit kolmnurk. See hõlmab joonise kolme külje mõõtmeid, nii et alustage arvutusi. Iga külje pikkus peab olema võrdne selle projektsioonide pikkuste ruutude summa juurega koordinaattelgedel. Kui tähistame koordinaate A(X₁,Y₁,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), saab nende külgede pikkused väljendada järgmiselt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Arvutuste lihtsustamiseks sisestage abimuutuja - poolperimeeter (P). Sellest on see pool kõigi külgede pikkuste summast: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Nagu kooli geomeetria õppekavast mäletate, on kolmnurk kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis on ühendatud kolme punktiga, mis ei asu ühel sirgel. Kolmnurk moodustab kolm nurka, sellest ka kujundi nimi. Määratlus võib olla erinev. Kolmnurka võib nimetada ka kolme nurgaga hulknurgaks, vastus on sama tõene. Kolmnurgad jagatakse vastavalt võrdsete külgede arvule ja joonistel olevate nurkade suurusele. Seega eristage selliseid kolmnurki nagu võrdhaarsed, võrdkülgsed ja skaala, aga ka vastavalt ristkülikukujulised, teravnurksed ja nürinurgad.

Kolmnurga pindala arvutamiseks on palju valemeid. Valige, kuidas leida kolmnurga pindala, st. millist valemit kasutada, ainult teie. Kuid väärib märkimist ainult mõned tähistused, mida kasutatakse paljudes kolmnurga pindala arvutamise valemites. Nii et pidage meeles:

S on kolmnurga pindala,

a, b, c on kolmnurga küljed,

h on kolmnurga kõrgus,

R on piiritletud ringi raadius,

p on poolperimeeter.

Siin on põhilised tähistused, mis võivad kasuks tulla, kui olete geomeetria kulgemise täielikult unustanud. Allpool on toodud kõige arusaadavad ja mitte keerulisemad võimalused kolmnurga tundmatu ja salapärase ala arvutamiseks. See pole keeruline ja tuleb kasuks nii teie majapidamisvajaduste jaoks kui ka laste abistamiseks. Tuletagem meelde, kuidas arvutada kolmnurga pindala sama lihtsalt kui pirnide koorimine:

Meie puhul on kolmnurga pindala: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 ruutcm. Pidage meeles, et pindala mõõdetakse ruutsentimeetrites (ruutmeetrites).

Täisnurkne kolmnurk ja selle pindala.

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi (seetõttu nimetatakse seda täisnurkseks kolmnurgaks). Täisnurga moodustavad kaks risti asetsevat sirget (kolmnurga puhul kaks risti asetsevat lõiku). Täisnurkses kolmnurgas saab olla ainult üks täisnurk, sest mis tahes kolmnurga kõigi nurkade summa on 180 kraadi. Selgub, et 2 muud nurka peaksid ülejäänud 90 kraadi omavahel ära jagama, näiteks 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Niisiis, peamine asi jäi teile meelde, jääb üle välja selgitada, kuidas piirkonda leida täisnurkne kolmnurk. Kujutage ette, et meie ees on selline täisnurkne kolmnurk ja me peame leidma selle pindala S.

1. Lihtsaim viis täisnurkse kolmnurga pindala määramiseks arvutatakse järgmise valemi abil:

Meie puhul on täisnurkse kolmnurga pindala: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 ruutsentimeetrit.

Põhimõtteliselt ei ole enam vaja kolmnurga pindala muul viisil kontrollida, kuna igapäevaelus tuleb see kasuks ja ainult see üks aitab. Kuid on ka võimalusi kolmnurga pindala mõõtmiseks teravnurkade kaudu.

2. Teiste arvutusmeetodite jaoks peab teil olema koosinuste, siinuste ja puutujate tabel. Otsustage ise, siin on mõned võimalused täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, mida saate endiselt kasutada:

Otsustasime kasutada esimest valemit ja väikeste täppidega (joonistasime vihikusse ja kasutasime vana valitseja ja nurgamõõtja), kuid saime õige arvutuse:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Sellised tulemused saime 3,6=3,7, kuid lahtrinihet arvesse võttes võib selle nüansi andeks anda.

Võrdhaarne kolmnurk ja selle pindala.

Kui seisate silmitsi võrdhaarse kolmnurga valemi arvutamise ülesandega, on lihtsaim viis kasutada põhivalemit ja, nagu peetakse kolmnurga pindala klassikaliseks valemiks.

Kuid kõigepealt, enne kui leiame võrdhaarse kolmnurga pindala, selgitame välja, milline kujund see on. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on ühepikkused. Neid kahte külge nimetatakse külgedeks, kolmandat külgedeks. Ärge ajage segi võrdhaarset kolmnurka võrdkülgse kolmnurgaga, s.t. võrdkülgne kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Sellises kolmnurgas ei ole erilisi kalduvusi nurkadele, õigemini nende suurusele. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on aga võrdsed, kuid erinevad võrdsete külgede vahelisest nurgast. Niisiis, teate juba esimest ja peamist valemit, jääb üle välja selgitada, millised muud valemid võrdhaarse kolmnurga pindala määramiseks on teada:

Kolmnurk on selline geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest sirgjoonest, mis ühenduvad punktides, mis ei asu ühel sirgel. Sirgede ühenduspunktideks on kolmnurga tipud, mis on tähistatud ladina tähtedega(näiteks A, B, C). Kolmnurga ühendavaid sirgeid nimetatakse lõikudeks, mida tavaliselt tähistatakse ka ladina tähtedega. Kolmnurki on järgmist tüüpi:

• Ristkülikukujuline.
• nüri.
• Teravnurkne.
• Mitmekülgne.
• Võrdkülgne.
• Võrdhaarsed.

Üldvalemid kolmnurga pindala arvutamiseks

Kolmnurga pindala valem pikkuse ja kõrguse jaoks

S=a*h/2,
kus a on selle kolmnurga külje pikkus, mille pindala tuleb leida, h on aluse kõrguse pikkus.

Heroni valem

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
kus √ on ruutjuur, p on kolmnurga poolperimeeter, a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus. Kolmnurga poolperimeetrit saab arvutada valemiga p=(a+b+c)/2.

Kolmnurga pindala valem lõigu nurga ja pikkuse järgi

S = (a*b*sin(α))/2,
kus b,c on kolmnurga külgede pikkus, sin (α) on kahe külje vahelise nurga siinus.

Kolmnurga pindala valem, kui on antud sisse kirjutatud ringi raadius ja kolm külge

S=p*r,
kus p on selle kolmnurga poolperimeeter, mille pindala tuleb leida, r on sellesse kolmnurka kantud ringi raadius.

Valem kolmnurga pindala kohta, millel on kolm külge ja selle ümber piiratud ringi raadius

S= (a*b*c)/4*R,
kus a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus, R on kolmnurka ümbritseva ringjoone raadius.

Kolmnurga pindala valem punktide Descartes'i koordinaatides

Punktide ristkoordinaadid on koordinaadid xOy süsteemis, kus x on abstsiss ja y on ordinaat. Tasapinnal asuvat Descartes'i koordinaatide süsteemi xOy nimetatakse vastastikku risti asetsevateks arvtelgedeks Ox ja Oy, millel on ühine alguspunkt punktis O. Kui selle tasandi punktide koordinaadid on antud kujul A (x1, y1), siis B ( x2, y2) ja C (x3, y3 ), siis saate kolmnurga pindala arvutada järgmise valemi abil, mis saadakse kahe vektori ristkorrutisest.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kus || tähistab moodulit.

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgal võib olla ainult üks selline nurk.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem kahel jalal

S=a*b/2,
kus a,b on jalgade pikkus. Jalgu nimetatakse täisnurgaga külgnevateks külgedeks.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem, arvestades hüpotenuusi ja teravnurka

S = a*b*sin(α)/2,
kus a, b on kolmnurga jalad ja sin(α) on nurga siinus, mille all sirged a, b ristuvad.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem jala ja vastasnurga järgi

S = a*b/2*tg(β),
kus a, b on kolmnurga jalad, tg(β) on nurga puutuja, mille all jalad a, b on ühendatud.

Kuidas arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala

Võrdhaarne kolmnurk on selline, millel on kaks võrdset külge. Neid külgi nimetatakse külgedeks ja teine ​​pool on alus. Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada ühte järgmistest valemitest.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamise põhivalem

S=h*c/2,
kus c on kolmnurga alus, h on selle kolmnurga kõrgus, mis on langetatud alusele.

Võrdhaarse kolmnurga valem külgküljel ja alusel

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kus c on kolmnurga alus, a on võrdhaarse kolmnurga ühe külje väärtus.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
S = (√3*a*a)/4,
kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.

Ülaltoodud valemid võimaldavad teil arvutada kolmnurga vajaliku pindala. Oluline on meeles pidada, et kolmnurkade vahekauguse arvutamiseks peate arvestama kolmnurga tüübi ja olemasolevate andmetega, mida saab arvutamiseks kasutada.