Derivada de multiplicadores. Derivada de la suma y diferencia de funciones. La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas

Si seguimos la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la razón de incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero trata de calcular con esta fórmula, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, luego de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por lo tanto, hay formas más simples y efectivas.

Para empezar, notemos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de toda la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, las derivadas de funciones elementales:

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no muy elementales, pero sí diferenciables según ciertas reglas. Estas reglas se discuten a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Deja que las funciones F(X) y gramo(X), cuyos derivados nos son conocidos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales discutidas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y la diferencia de estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Hay un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto, la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (−1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, entonces:

F ’(X) = (X 2+ pecado X)’ = (X 2)' + (pecado X)’ = 2X+ cosx;

Argumentamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Responder:
F ’(X) = 2X+ cosx;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado de un producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que mucha gente cree que si la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto Huelga"\u003e igual al producto de derivados. ¡Pero higos para ti! La derivada del producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es simple, pero a menudo olvidada. Y no solo escolares, sino también estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 cosx; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es un producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer multiplicador es un poco más complicado, pero el esquema general no cambia a partir de esto. Obviamente, el primer multiplicador de la función gramo(X) es un polinomio, y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Responder:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada se factoriza. Formalmente, esto no es necesario, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para explorar la función. Esto significa que, además, la derivada se igualará a cero, se descubrirán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión descompuesta en factores.

Si hay dos funciones F(X) y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir una nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puedes encontrar la derivada:

No es débil, ¿verdad? ¿De dónde vino el menos? Por qué gramo 2? ¡Pero así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes descifrarla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo con ejemplos específicos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

Hay funciones elementales en el numerador y denominador de cada fracción, por lo que solo necesitamos la fórmula de la derivada del cociente:

Por tradición, factorizamos el numerador en factores; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de largo. Por ejemplo, basta con tomar la función F(X) = pecado X y reemplaza la variable X, digamos, en X 2+ln X. Resulta F(X) = pecado ( X 2+ln X) es una función compleja. Ella también tiene un derivado, pero no funcionará para encontrarlo de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.

¿Cómo ser? En tales casos, la sustitución de una variable y la fórmula para la derivada de una función compleja ayudan:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación con la comprensión de esta fórmula es aún más triste que con la derivada del cociente. Por eso, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con una descripción detallada de cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2+ln X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos una sustitución: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Estamos buscando la derivada de una función compleja por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizando una sustitución inversa: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado. X 2+ln X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2+ln X. Entonces:

gramo ’(X) = porque( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = porque ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como se puede ver en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la derivada de la suma.

Responder:
F ’(X) = 2 mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque( X 2+ln X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivado", uso la palabra "carrera". Por ejemplo, el trazo de la suma es igual a la suma de los trazos. ¿Está más claro? Bueno, eso es bueno.

Por lo tanto, el cálculo de la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como último ejemplo, volvamos a la potencia derivada con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocos saben que en el papel norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0.5 . Pero, ¿y si hay algo complicado debajo de la raíz? Nuevamente, resultará una función compleja: les gusta dar tales construcciones en pruebas y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de una función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos una sustitución: sea X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0,5 t ’.

Realizamos una sustitución inversa: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, de vuelta a las raíces:

La calculadora calcula las derivadas de todas las funciones elementales, dando una solución detallada. La variable de diferenciación se determina automáticamente.

Derivada de función es uno de los conceptos más importantes en el análisis matemático. Problemas de este tipo llevaron a la aparición de la derivada, como por ejemplo calcular la velocidad instantánea de un punto en un momento del tiempo, si se conoce la trayectoria en función del tiempo, el problema de encontrar una tangente a una función en un punto .

La mayoría de las veces, la derivada de una función se define como el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, si existe.

Definición. Sea la función definida en alguna vecindad del punto. Entonces la derivada de la función en el punto se llama límite, si existe

¿Cómo calcular la derivada de una función?

Para aprender a diferenciar funciones, uno debe aprender y comprender reglas de diferenciación y aprende a usar tabla de derivadas.

Reglas de diferenciación

Sean y funciones derivables arbitrarias de una variable real y alguna constante real. Entonces

es la regla para derivar el producto de funciones

es la regla para diferenciar funciones cocientes

0 alto = 33 ancho = 370 estilo = "alineación vertical: -12px;"> — derivación de una función con un exponente variable

- la regla de diferenciación de una función compleja

es la regla de diferenciación de la función de potencia

Derivada de una función en línea

Nuestra calculadora calculará de forma rápida y precisa la derivada de cualquier función en línea. El programa no cometerá errores al calcular la derivada y ayudará a evitar cálculos largos y tediosos. La calculadora en línea también será útil en el caso de que sea necesario verificar la corrección de su solución y, si es incorrecta, encontrar rápidamente el error.

Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a, b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

El significado físico de la derivada: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:

Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: sacar la constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: la derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Decisión:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes ponerte en contacto con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver las tareas de control y manejo más difíciles, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.