In welchen Vierteln ist der Kotangens positiv? Grundlegende Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Gerade, Ungerade, Periodizität. Vorzeichen der Werte trigonometrischer Funktionen nach Quartalen

11.10.2019

Winkel auf einem trigonometrischen Kreis zählen.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Es ist fast dasselbe wie in der vorherigen Lektion. Es gibt Äxte, einen Kreis, einen Winkel, alles ist Chin-Porzellan. Zusätzliche Viertelzahlen (in den Ecken eines großen Quadrats) - vom ersten bis zum vierten. Und dann plötzlich, wer weiß es nicht? Wie Sie sehen können, Viertel (sie werden auch genannt schönes Wort"Quadranten") sind gegen die Bewegung nummeriert im Uhrzeigersinn. Winkelwerte auf Achsen hinzugefügt. Alles ist klar, kein Schnickschnack.

Und fügte einen grünen Pfeil hinzu. Mit Plus. Was meint sie? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die feste Seite der Ecke stets an die positive Achse OH genagelt. Also, wenn wir die bewegliche Seite der Ecke drehen plus Pfeil, d.h. in aufsteigenden Viertelzahlen, der Winkel wird als positiv betrachtet. Das Bild zeigt beispielsweise einen positiven Winkel von +60°.

Wenn wir die Ecken verschieben in Rückseite, im Uhrzeigersinn, Winkel wird als negativ betrachtet. Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf dem Tablett), Sie sehen einen blauen Pfeil mit einem Minus. Dies ist die Richtung der negativen Ablesung der Winkel. Als Beispiel ist ein negativer Winkel (-60°) dargestellt. Und Sie werden auch sehen, wie sich die Zahlen auf den Achsen geändert haben ... Ich habe sie auch in negative Winkel übersetzt. Die Nummerierung der Quadranten ändert sich nicht.

Hier beginnen meist die ersten Missverständnisse. Wie!? Und wenn der negative Winkel auf dem Kreis mit dem positiven zusammenfällt!? Und im Allgemeinen stellt sich heraus, dass dieselbe Position der beweglichen Seite (oder ein Punkt auf dem Zahlenkreis) sowohl als negativer als auch als positiver Winkel bezeichnet werden kann!?

Ja. Genau so. Nehmen wir an, ein positiver Winkel von 90 Grad nimmt einen Kreis an genauso Position als negativer Winkel von minus 270 Grad. Ein positiver Winkel, zum Beispiel +110° Grad, wird angenommen genauso Position, da der negative Winkel -250° beträgt.

Kein Problem. Alles ist richtig.) Die Wahl einer positiven oder negativen Berechnung des Winkels hängt von der Bedingung der Zuordnung ab. Wenn die Bedingung nichts sagt Klartext über das Vorzeichen des Winkels, (wie "bestimme den kleinsten positiv Winkel" usw.), dann arbeiten wir mit Werten, die für uns bequem sind.

Eine Ausnahme (und wie ohne sie?!) sind trigonometrische Ungleichungen, aber da werden wir diesen Trick beherrschen.

Und jetzt eine Frage an Sie. Woher weiß ich, dass die Position des 110°-Winkels dieselbe ist wie die Position des -250°-Winkels?
Ich werde darauf hinweisen, dass dies auf den vollen Umsatz zurückzuführen ist. In 360°... Unklar? Dann zeichnen wir einen Kreis. Wir zeichnen auf Papier. Ecke markieren um 110°. Und glauben wie viel bleibt bis zu einer vollen Umdrehung. Bleiben nur noch 250°...

Ich habs? Und jetzt - Achtung! Wenn die Winkel 110° und -250° den Kreis einnehmen gleich Stellung, was dann? Ja, die Tatsache, dass die Winkel 110 ° und -250 ° betragen genauso Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens!
Diese. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) und so weiter. Das ist jetzt wirklich wichtig! Und an sich - es gibt viele Aufgaben, bei denen es notwendig ist, Ausdrücke zu vereinfachen, und als Grundlage für die anschließende Entwicklung von Reduktionsformeln und anderen Feinheiten der Trigonometrie.

Natürlich habe ich 110° und -250° zufällig genommen, rein zum Beispiel. Alle diese Gleichheiten funktionieren für jeden Winkel, der dieselbe Position auf dem Kreis einnimmt. 60° und -300°, -75° und 285° und so weiter. Ich stelle sofort fest, dass die Ecken in diesen Paaren - verschiedene. Aber sie haben trigonometrische Funktionen - das Gleiche.

Ich denke, Sie verstehen, was negative Winkel sind. Es ist ganz einfach. Gegen den Uhrzeigersinn ist eine positive Zählung. Unterwegs ist es negativ. Betrachten Sie den Winkel als positiv oder negativ hängt von uns ab. Von unserer Sehnsucht. Nun, und natürlich mehr von der Aufgabe ... Ich hoffe, Sie verstehen, wie man sich in trigonometrischen Funktionen von negativen zu positiven Winkeln und umgekehrt bewegt. Zeichnen Sie einen Kreis, einen ungefähren Winkel, und sehen Sie, wie viel vor einer vollen Umdrehung fehlt, d.h. bis 360°.

Winkel größer als 360°.

Betrachten wir Winkel, die größer als 360° sind. Und solche Dinge passieren? Es gibt natürlich. Wie zeichnet man sie auf einen Kreis? Kein Problem! Angenommen, wir müssen verstehen, in welches Viertel ein Winkel von 1000 ° fällt? Leicht! Wir machen eine volle Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (der Winkel wurde uns positiv gegeben!). 360° zurückspulen. Nun, lass uns weitermachen! Eine weitere Wendung - es hat sich bereits 720 ° herausgestellt. Wieviel ist übrig? 280°. Für eine volle Drehung reicht es nicht ... Aber der Winkel beträgt mehr als 270 ° - und das ist die Grenze zwischen dem dritten und vierten Viertel. Unser Winkel von 1000° fällt also in das vierte Viertel. Alles.

Wie Sie sehen können, ist es ganz einfach. Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass der Winkel von 1000° und der Winkel von 280°, die wir erhalten haben, indem wir die "zusätzlichen" vollen Umdrehungen verworfen haben, streng genommen verschiedene Ecken. Aber die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel genauso! Diese. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° usw. Wenn ich ein Sinus wäre, würde ich den Unterschied zwischen diesen beiden Winkeln nicht bemerken ...

Warum ist das alles notwendig? Warum müssen wir Winkel von einem zum anderen übersetzen? Ja, alle für dasselbe.) Um Ausdrücke zu vereinfachen. Die Vereinfachung von Ausdrücken ist in der Tat die Hauptaufgabe der Schulmathematik. Nun, nebenbei trainiert der Kopf.)

Sollen wir üben?)

Wir beantworten Fragen. Zunächst einfach.

1. In welches Viertel fällt der Winkel -325°?

2. In welches Viertel fällt der Winkel 3000°?

3. In welches Viertel fällt der Winkel -3000°?

Es gibt ein Problem? Oder Unsicherheit? Wir gehen zu Abschnitt 555, Praktische Arbeit mit einem trigonometrischen Kreis. Dort, in der ersten Lektion dieses sehr " praktische Arbeit..." alles ist detailliert ... In eine solche Fragen der Ungewissheit sollte nicht!

4. Was ist das Zeichen der Sünde555°?

5. Was ist das Vorzeichen von tg555°?

Bestimmt? Exzellent! Zweifel? Es ist notwendig, Abschnitt 555 ... Übrigens, dort lernen Sie, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet. Eine sehr nützliche Sache.

Und jetzt die klügeren Fragen.

6. Bringen Sie den Ausdruck sin777° auf den Sinus des kleinsten positiven Winkels.

7. Bringe den Ausdruck cos777° auf den Kosinus des größten negativen Winkels.

8. Wandeln Sie den Ausdruck cos(-777°) in den Kosinus des kleinsten positiven Winkels um.

9. Bringen Sie den Ausdruck sin777° auf den Sinus des größten negativen Winkels.

Was, Fragen 6-9 verwirrt? Gewöhn dich dran, solche Formulierungen gibt es nicht in der Klausur ... So sei es, ich werde es übersetzen. Nur für Sie!

Die Worte "den Ausdruck reduzieren auf ..." bedeuten, den Ausdruck so umzuwandeln, dass er seinen Wert erhält hat sich nicht geändert a Aussehen je nach Aufgabenstellung verändert. In den Aufgaben 6 und 9 sollten wir also einen Sinus bekommen, in dem sich befindet der kleinste positive Winkel. Alles andere spielt keine Rolle.

Ich werde die Antworten der Reihe nach geben (unter Verstoß gegen unsere Regeln). Aber was zu tun ist, es gibt nur zwei Zeichen und nur vier Viertel ... Sie werden nicht in Optionen streuen.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sünde(-57°)

Ich nehme an, dass die Antworten auf die Fragen 6-9 einige Leute verwirrt haben. Besonders -sünde(-57°), richtig?) Tatsächlich gibt es in den elementaren Regeln zum Zählen von Winkeln Raum für Fehler ... Deshalb musste ich eine Lektion machen: "Wie bestimmt man die Vorzeichen von Funktionen und gibt Winkel auf einem trigonometrischen Kreis an?" In Abschnitt 555. Dort werden die Aufgaben 4 - 9 aussortiert. Gut sortiert, mit allen Fallstricken. Und sie sind hier.)

In der nächsten Lektion beschäftigen wir uns mit dem mysteriösen Bogenmaß und der Zahl „Pi“. Erfahren Sie, wie Sie Grad einfach und korrekt in Radiant umwandeln und umgekehrt. Und wir werden überrascht sein, diese elementaren Informationen auf der Website zu finden Das ist genug um einige nicht standardmäßige Trigonometrie-Rätsel zu lösen!

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Unterrichtstyp: Systematisierung von Wissen und Zwischenkontrolle.

Ausrüstung: trigonometrischer Kreis, Tests, Karten mit Aufgaben.

Unterrichtsziele: das Gelernte systematisieren theoretischer Stoff nach den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens eines Winkels; Überprüfen Sie den Grad der Assimilation von Wissen zu diesem Thema und die Anwendung in der Praxis.

Aufgaben:

Verallgemeinern und konsolidieren Sie die Konzepte von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels.
Um eine komplexe Vorstellung von trigonometrischen Funktionen zu bilden.
Zur Entwicklung des Wunsches und der Notwendigkeit, trigonometrisches Material zu studieren, bei den Schülern beitragen; eine Kultur der Kommunikation, die Fähigkeit zur Gruppenarbeit und die Notwendigkeit zur Selbstbildung zu pflegen.

„Wer von Jugend auf tut und denkt, der
wird dann zuverlässiger, stärker, klüger.

(V. Shukschin)

WÄHREND DER KLASSEN

I. Organisatorischer Moment

Die Klasse wird durch drei Gruppen vertreten. Jede Gruppe hat einen Berater.
Der Lehrer berichtet über das Thema, die Ziele und die Ziele des Unterrichts.

II. Aktualisierung des Wissens (Frontalarbeit mit der Klasse)

1) Arbeiten Sie in Gruppen an Aufgaben:

1. Formulieren Sie die Definition des Sinuswinkels.

– Welche Vorzeichen hat sin α in jedem Koordinatenviertel?
– Bei welchen Werten macht der Ausdruck sin α Sinn und welche Werte kann er annehmen?

2. Die zweite Gruppe sind die gleichen Fragen für cos α.

3. Die dritte Gruppe bereitet Antworten auf die gleichen Fragen tg α und ctg α vor.

Zurzeit arbeiten drei Studierende selbstständig am Board on Cards (Vertreter verschiedener Gruppen).

Kartennummer 1.

Praktische Arbeit.
Berechnen Sie mit dem Einheitskreis die Werte von sin α, cos α und tg α für die Winkel 50, 210 und -210.

Kartennummer 2.

Bestimmen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks: tg 275; cos 370; Sünde 790; tg 4.1 und Sünde 2.

Kartennummer 3.

1) Berechnen:
2) Vergleiche: cos 60 und cos 2 30 - sin 2 30

2) Mündlich:

a) Es werden mehrere Nummern vorgeschlagen: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Einige von ihnen sind überflüssig. Welche Eigenschaft sin α oder cos α kann diese Zahlen ausdrücken (Kann sin α oder cos α diese Werte annehmen).
b) Macht der Ausdruck Sinn: cos (-); Sünde2; tg3:ctg(-5); ; ctg0;
ctg(-π). Wieso den?
c) Gibt es mindestens und Höchster Wert sin oder cos, tg, ctg.
d) Ist es wahr?
1) α = 1000 ist der Winkel des II. Viertels;
2) α \u003d - 330 ist der Winkel des IV-Viertels.
e) Zahlen entsprechen demselben Punkt auf dem Einheitskreis.

3) Whiteboard-Arbeit

#567 (2; 4) - Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
#583 (1-3) Bestimme das Vorzeichen des Ausdrucks

Hausaufgaben: Tabelle in einem Notizbuch. Nr. 567 (1, 3) Nr. 578

III. Erwerb von zusätzlichem Wissen. Trigonometrie in der Handfläche

Lehrer: Es stellt sich heraus, dass die Werte der Sinus- und Kosinuswinkel in Ihrer Handfläche "liegen". Strecken Sie Ihre Hand (beliebig) aus und spreizen Sie Ihre Finger so weit wie möglich (wie auf dem Poster). Ein Student ist eingeladen. Wir messen die Winkel zwischen unseren Fingern.
Wir nehmen ein Dreieck mit einem Winkel von 30, 45 und 60 90 und wenden die Spitze des Winkels auf den Hügel des Mondes in unserer Handfläche an. Der Mondberg befindet sich am Schnittpunkt der Verlängerungen des kleinen Fingers und Daumen. Wir kombinieren eine Seite mit dem kleinen Finger und die andere Seite mit einem der anderen Finger.
Es stellt sich heraus, dass der Winkel zwischen dem kleinen Finger und dem Daumen 90 beträgt, zwischen dem kleinen Finger und dem Ringfinger - 30, zwischen dem kleinen Finger und dem Mittelfinger - 45, zwischen dem kleinen Finger und dem Zeigefinger - 60. Und dies gilt für alle Menschen ohne Ausnahme

kleiner Finger Nummer 0 - entspricht 0,
namenlose Zahl 1 - entspricht 30,
mittlere Zahl 2 - entspricht 45,
Indexnummer 3 - entspricht 60,
große Zahl 4 - entspricht 90.

Somit haben wir 4 Finger an unserer Hand und erinnern uns an die Formel:

Fingernummer	Ecke	Bedeutung

Das ist nur eine Merkregel. Im Allgemeinen muss der Wert von sin α oder cos α auswendig bekannt sein, aber manchmal hilft diese Regel in schwierigen Zeiten.
Denken Sie sich eine Regel für cos aus (Winkel ohne Änderung, aber vom Daumen aus gezählt). Eine physische Pause, die mit den Zeichen sin α oder cos α verbunden ist.

IV. Überprüfung der Assimilation von ZUN

Eigenständiges Arbeiten mit Feedback

Jeder Schüler erhält einen Test (4 Optionen) und der Antwortbogen ist für alle gleich.

Prüfen

Variante 1

1) Bei welchem Drehwinkel nimmt der Radius die gleiche Position ein wie bei einer Drehung um einen Winkel von 50.
2) Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 4cos 60 - 3sin 90.
3) Welche der Zahlen ist kleiner als Null: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Option 2

1) Bei welchem Drehwinkel nimmt der Radius die gleiche Position ein wie bei einer Drehung um einen Winkel von 10.
2) Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 4cos 90 - 6sin 30.
3) Welche der Zahlen ist größer als Null: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

Möglichkeit 3

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Welche der Zahlen ist kleiner als Null: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140.
3) Der Winkel, dessen Viertel der Winkel α ist, wenn sin α > 0, cos α< 0.

Möglichkeit 4

1) Finden Sie den Wert des Ausdrucks: tg 60 - 6ctg 90.
2) Welche der Zahlen ist kleiner als Null: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Der Winkel, dessen Viertel der Winkel α ist, wenn ctg α< 0, cos α> 0.

ABER 0	B Sünde50	BEI 1	G – 350	D – 1	E Kos(– 140)
UND 3	W 310	Und Kosten 140		L 350	M 2
H Preis 340	Ö – 3	P kostet 250	R	AUS Sünde 140	T – 310
Bei – 2	F 2	X Tg50	W TG 250	YU Sünde 340	ich 4

(das Wort ist Trigonometrie ist der Schlüssel)

V. Informationen aus der Geschichte der Trigonometrie

Lehrer: Trigonometrie ist ein ziemlich wichtiger Zweig der Mathematik für das menschliche Leben. Modernes Aussehen Die Trigonometrie wurde vom größten Mathematiker des 18. Jahrhunderts, Leonhard Euler, einem gebürtigen Schweizer, entwickelt lange Jahre der in Russland arbeitete und Mitglied der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften war. Er stellte vor berühmte Definitionen trigonometrische Funktionen formulierte und bewährte bekannte Formeln, wir werden sie später lernen. Eulers Leben ist sehr interessant und ich rate Ihnen, es aus Jakowlews Buch "Leonard Euler" kennenzulernen.

(Nachricht Jungs zu diesem Thema)

VI. Zusammenfassung der Lektion

Tic-Tac-Toe-Spiel

Die beiden aktivsten Schüler nehmen teil. Dabei werden sie von Gruppen unterstützt. Die Lösung der Aufgaben wird in einem Notizbuch festgehalten.

Aufgaben

1) Finden Sie den Fehler

a) Sünde 225 = - 1,1 c) Sünde 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Geben Sie den Winkel in Grad an
3) Geben Sie den Winkel 300 im Bogenmaß an
4) Was ist das größte und kleinster Wert kann den Ausdruck haben: 1+ sin α;
5) Bestimmen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks: sin 260, cos 300.
6) In welchem Viertel des Zahlenkreises liegt der Punkt
7) Bestimmen Sie die Vorzeichen des Ausdrucks: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Berechnen:
9) Vergleiche: Sünde 2 und Sünde 350

VII. Unterrichtsreflexion

Lehrer: Wo können wir der Trigonometrie begegnen?
In welchen Unterrichtsstunden in der 9. Klasse und sogar jetzt verwenden Sie die Konzepte von sin α, cos α; tga; ctg α und zu welchem Zweck?

Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktion hängt ausschließlich von dem Koordinatenviertel ab, in dem sich das numerische Argument befindet. Letztes Mal haben wir gelernt, wie man Argumente von einem Bogenmaß in ein Gradmaß umwandelt (siehe die Lektion „Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels“) und dann dasselbe Koordinatenviertel bestimmen. Kommen wir nun tatsächlich zur Definition der Vorzeichen von Sinus, Cosinus und Tangens.

Der Sinus des Winkels α ist die Ordinate (Koordinate y) eines Punktes auf einem trigonometrischen Kreis, der entsteht, wenn der Radius um den Winkel α gedreht wird.

Der Kosinus des Winkels α ist die Abszisse (x-Koordinate) eines Punktes auf einem trigonometrischen Kreis, der auftritt, wenn sich der Radius um den Winkel α dreht.

Der Tangens des Winkels α ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus. Oder äquivalent das Verhältnis der y-Koordinate zur x-Koordinate.

Schreibweise: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

All diese Definitionen sind Ihnen aus dem Algebrakurs der Oberstufe bekannt. Uns interessieren jedoch nicht die Definitionen selbst, sondern die Konsequenzen, die sich auf dem trigonometrischen Kreis ergeben. Schau mal:

Die blaue Farbe zeigt die positive Richtung der OY-Achse (Ordinatenachse), die rote Farbe zeigt die positive Richtung der OX-Achse (Abszissenachse) an. Auf diesem „Radar“ werden die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen deutlich. Insbesondere:

sin α > 0, wenn der Winkel α im I- oder II-Koordinatenviertel liegt. Dies liegt daran, dass ein Sinus per Definition eine Ordinate (y-Koordinate) ist. Und die y-Koordinate wird genau in den Koordinatenvierteln I und II positiv sein;
cos α > 0, wenn der Winkel α im I- oder IV-Koordinatenviertel liegt. Denn nur dort ist die x-Koordinate (sie ist auch die Abszisse) größer als Null;
tg α > 0, wenn der Winkel α im I- oder III-Koordinatenquadranten liegt. Das folgt aus der Definition: Immerhin ist tg α = y : x , also nur dort positiv, wo die Vorzeichen von x und y übereinstimmen. Dies geschieht im 1. Koordinatenviertel (hier x > 0, y > 0) und im 3. Koordinatenviertel (x< 0, y < 0).

Zur Verdeutlichung notieren wir die Vorzeichen jeder trigonometrischen Funktion – Sinus, Cosinus und Tangens – auf einem separaten „Radar“. Wir erhalten folgendes Bild:

Hinweis: In meiner Argumentation habe ich nie über die vierte trigonometrische Funktion gesprochen - den Kotangens. Tatsache ist, dass die Zeichen des Kotangens mit den Zeichen des Tangens übereinstimmen - es gibt dort keine besonderen Regeln.

Jetzt schlage ich vor, Beispiele zu betrachten, die den Problemen B11 ähneln Probeprüfung in Mathematik, die am 27. September 2011 stattfand. Immerhin Der beste Weg Theorie verstehen ist Praxis. Am besten viel üben. Natürlich wurden die Bedingungen der Aufgaben leicht verändert.

Eine Aufgabe. Bestimmen Sie die Vorzeichen von trigonometrischen Funktionen und Ausdrücken (die Werte der Funktionen selbst müssen nicht berücksichtigt werden):

sin(3π/4);

cos(7π/6);

Tan (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Der Aktionsplan sieht wie folgt aus: Zuerst rechnen wir alle Winkel vom Bogenmaß in Gradmaß um (π → 180°) und schauen dann, in welchem Koordinatenviertel die resultierende Zahl liegt. Wenn wir die Quartiere kennen, können wir die Zeichen leicht finden - gemäß den gerade beschriebenen Regeln. Wir haben:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Wegen 135° ∈ ist dies ein Winkel aus dem II-Koordinatenquadranten. Aber der Sinus im zweiten Viertel ist positiv, also sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Da 210° ∈ , das ist ein Winkel aus dem III. Koordinatenquadranten, in dem alle Kosinusse negativ sind. Daher ist cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Seit 300° ∈ befinden wir uns im vierten Quadranten, wo die Tangente verläuft negative Werte. Also tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Beschäftigen wir uns mit dem Sinus: weil 135° ∈ , das ist das zweite Viertel, in dem die Sinus positiv sind, also sin (3π/4) > 0. Jetzt arbeiten wir mit dem Kosinus: 150° ∈ - wieder das zweite Viertel, dort sind die Kosinus negativ. Also cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Wir betrachten den Kosinus: 120° ∈ ist das II-Koordinatenviertel, also cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Wieder haben wir ein Produkt bekommen, bei dem Faktoren mit unterschiedlichen Vorzeichen. Da „ein Minus mal ein Plus ein Minus ergibt“, gilt: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Wir arbeiten mit dem Sinus: seit 150° ∈ , wir reden um das II-Koordinatenviertel, wo die Sinus positiv sind. Daher ist sin (5π/6) > 0. Ebenso ist 315° ∈ das IV-Koordinatenviertel, die Kosinusse dort sind positiv. Daher ist cos (7π/4) > 0. Wir haben das Produkt zweier positiver Zahlen erhalten - ein solcher Ausdruck ist immer positiv. Wir schließen: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Aber der Winkel 135° ∈ ist das zweite Viertel, also Tan (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Da „ein Minus plus ein Minuszeichen ergibt“, gilt: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Wir betrachten das Kotangens-Argument: 240° ∈ ist das III-Koordinatenviertel, also ctg (4π/3) > 0. Analog gilt für die Tangente: 30° ∈ ist das I-Koordinatenviertel, d.h. einfachste Ecke. Daher ist tg (π/6) > 0. Wieder haben wir zwei positive Ausdrücke – ihr Produkt wird ebenfalls positiv sein. Also ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Schauen wir uns zum Schluss noch ein paar an herausfordernde Aufgaben. Neben dem Herausfinden des Vorzeichens der trigonometrischen Funktion musst du hier ein wenig rechnen – so wie es auch in echten Aufgaben B11 gemacht wird. Im Prinzip sind das fast schon echte Aufgaben, die in der Klausur in Mathematik wirklich zu finden sind.

Eine Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn sin 2 α = 0,64 und α ∈ [π/2; π].

Da sin 2 α = 0,64 ist, gilt: sin α = ±0,8. Es bleibt zu entscheiden: Plus oder Minus? Der Winkel α ∈ [π/2; π] ist das II-Koordinatenviertel, bei dem alle Sinuswerte positiv sind. Daher ist sin α = 0,8 - die Unsicherheit mit Vorzeichen wird eliminiert.

Eine Aufgabe. Finden Sie cos α, wenn cos 2 α = 0,04 und α ∈ [π; 3π/2].

Wir handeln ähnlich, d.h. Extrakt Quadratwurzel: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Der Winkel α ∈ [π; 3π/2], d.h. wir sprechen über das III-Koordinatenviertel. Dort sind alle Kosinusse negativ, also cos α = −0,2.

Eine Aufgabe. Finden Sie sin α, wenn sin 2 α = 0,25 und α ∈ .

Es gilt: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Betrachten wir wieder den Winkel: α ∈ ist das IV-Koordinatenviertel, in dem bekanntlich der Sinus negativ wird. Daraus schließen wir: sin α = −0,5.

Eine Aufgabe. Finde tg α wenn tg 2 α = 9 und α ∈ .

Alles ist gleich, nur für die Tangente. Wir ziehen die Quadratwurzel: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Aber nach der Bedingung ist der Winkel α ∈ der I-Koordinatenquadrant. Alle trigonometrischen Funktionen, inkl. Tangens, es gibt positive, also tg α = 3. Das war's!

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, um zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen wissenschaftliche Gemeinschaft bisher war es nicht möglich ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze wurden in das Studium des Problems einbezogen; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Aber es ist nicht komplette Lösung Probleme. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie logisches Paradoxon es wird sehr einfach überwunden - es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Worauf möchte ich mich konzentrieren Besondere Aufmerksamkeit ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Ähnliche Logik der Absurdität fühlende Wesen niemals verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.

So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den ganzen Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedene Stapel, in die wir Scheine gleichen Werts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente angesehen werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier wird der Mathematiker beginnen, sich krampfhaft an die Physik zu erinnern: verschiedene Münzen verfügbar unterschiedlicher Betrag Schmutz, Kristallstruktur und atomare Anordnung jeder Münze ist einzigartig...

Und jetzt habe ich die meisten Interesse fragen: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.

Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. AUS eine große Anzahl 12345 Ich will mir nichts vormachen, betrachte die Zahl 26 aus dem Artikel über. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse nachdem man sie verglichen hat, dann hat es nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist ein „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in Hexadezimalsystem rechnen. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Bezugsdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - die Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tga) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel abhängt rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| auf die Länge des angrenzenden Schenkels |AB| .

Kotangens ( ctgα) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist auf die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| .

Tangente

Wo n- ganz.

BEI Westliche Literatur Tangente ist wie folgt definiert:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tg x

Kotangens

Wo n- ganz.

In der westlichen Literatur wird der Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Die folgende Notation wurde ebenfalls übernommen:
;
;
.

Graph der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y= tg x und y= ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, aufsteigend, absteigend

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind auf ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( n- Ganzzahl).

	y= tg x	y= ctg x
Reichweite und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Aufsteigend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y= 0
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	-

Formeln

Ausdrücke in Bezug auf Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens von Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu beschaffen

Produkt von Tangenten

Die Formel für die Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangens für einige Werte des Arguments.

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion :
.
Herleitung von Formeln für Tangens > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Erweiterungen zur Serie

Um die Erweiterung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Erweiterung in nehmen Power-Reihe für Funktionen Sünde x und cos x und dividiere diese Polynome ineinander , . Daraus ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
wo B n- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
wo .
Oder nach der Laplace-Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arctangens, arctg

, wo n- ganz.

Bogentangente, arcctg