Betrachten wir zunächst den Fall einer Funktion mit zwei Variablen. Das bedingte Extremum der Funktion $z=f(x,y)$ am Punkt $M_0(x_0;y_0)$ ist das Extremum dieser Funktion, das unter der Bedingung erreicht wird, dass die Variablen $x$ und $y$ in der Umgebung dieses Punktes die Bedingungsgleichung $\ varphi(x,y)=0$ erfüllen.

Der Name „bedingtes“ Extremum rührt daher, dass den Variablen die zusätzliche Bedingung $\varphi(x,y)=0$ auferlegt wird. Wenn es möglich ist, eine Variable durch eine andere aus der Verbindungsgleichung auszudrücken, reduziert sich das Problem der Bestimmung des bedingten Extremums auf das Problem des üblichen Extremums einer Funktion einer Variablen. Wenn zum Beispiel $y=\psi(x)$ aus der Beschränkungsgleichung folgt, dann erhalten wir durch Einsetzen von $y=\psi(x)$ in $z=f(x,y)$ eine Funktion einer Variablen $ z=f\links (x,\psi(x)\rechts)$. Im allgemeinen Fall ist diese Methode jedoch wenig hilfreich, sodass ein neuer Algorithmus erforderlich ist.

Methode der Lagrange-Multiplikatoren für Funktionen zweier Variablen.

Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren besteht darin, dass zum Finden des bedingten Extremums die Lagrange-Funktion zusammengesetzt wird: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (der Parameter $\lambda $ wird Lagrange-Multiplikator genannt). Die notwendigen Extrembedingungen sind durch ein Gleichungssystem gegeben, aus dem die stationären Punkte bestimmt werden:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$

Das Zeichen $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Wenn an einem stationären Punkt $d^2F > 0$ ist, dann hat die Funktion $z=f(x,y)$ an dieser Stelle ein bedingtes Minimum, aber wenn $d^2F< 0$, то условный максимум.

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Art des Extremums zu bestimmen. Aus der Nebenbedingungsgleichung erhalten wir: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, also haben wir an jedem stationären Punkt:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\richtig)$$

Der zweite Faktor (in Klammern) kann in dieser Form dargestellt werden:

Elemente von $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ das ist die Hesse-Funktion der Lagrange-Funktion. Wenn $H > 0$ dann $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, d.h. wir haben ein bedingtes Minimum der Funktion $z=f(x,y)$.

Hinweis zur Form der $H$-Determinante. Anzeigen Ausblenden

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

In dieser Situation ändert sich die oben formulierte Regel wie folgt: wenn $H > 0$, dann hat die Funktion ein bedingtes Minimum, und für $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algorithmus zum Untersuchen einer Funktion zweier Variablen für ein bedingtes Extremum

1. Formulieren Sie die Lagrange-Funktion $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Löse System $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
3. Bestimmen Sie die Art des Extremums an jedem der im vorherigen Absatz gefundenen stationären Punkte. Verwenden Sie dazu eine der folgenden Methoden:
   • Bilden Sie die Determinante $H$ und finden Sie ihr Vorzeichen heraus
   • Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Beschränkungsgleichung das Vorzeichen von $d^2F$

Lagrange-Multiplikator-Verfahren für Funktionen von n Variablen

Angenommen, wir haben eine Funktion von $n$ Variablen $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ und $m$ Beschränkungsgleichungen ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Wir bezeichnen die Lagrange-Multiplikatoren als $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ und bilden die Lagrange-Funktion:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Die notwendigen Bedingungen für das Vorhandensein eines bedingten Extremums sind durch ein Gleichungssystem gegeben, aus dem die Koordinaten stationärer Punkte und die Werte der Lagrange-Multiplikatoren ermittelt werden:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Ob eine Funktion an der gefundenen Stelle ein bedingtes Minimum oder ein bedingtes Maximum hat, kann man wie bisher mit dem Zeichen $d^2F$ herausfinden. Wenn am gefundenen Punkt $d^2F > 0$ ist, dann hat die Funktion ein bedingtes Minimum, aber wenn $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matrixdeterminante $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ rot hervorgehoben in der $L$-Matrix ist die Hessische Funktion der Lagrange-Funktion. Wir verwenden die folgende Regel:

• Wenn die Vorzeichen der Eckuntertöne $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ Matrizen $L$ stimmen mit dem Vorzeichen $(-1)^m$ überein, dann ist der untersuchte stationäre Punkt der bedingte Minimalpunkt der Funktion $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Wenn die Vorzeichen der Eckuntertöne $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ wechseln sich ab, und das Vorzeichen des Minors $H_(2m+1)$ stimmt mit dem Vorzeichen der Zahl $(-1)^(m+1) überein )$, dann ist der untersuchte stationäre Punkt der bedingte Maximalpunkt der Funktion $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Beispiel 1

Finden Sie das bedingte Extremum der Funktion $z(x,y)=x+3y$ unter der Bedingung $x^2+y^2=10$.

Die geometrische Interpretation dieses Problems ist wie folgt: Es ist erforderlich, den größten und kleinsten Wert der Applikate der Ebene $z=x+3y$ für die Schnittpunkte ihres Schnittpunkts mit dem Zylinder $x^2+y^2 zu finden =10$.

Es ist etwas schwierig, eine Variable durch eine andere aus der Beschränkungsgleichung auszudrücken und sie in die Funktion $z(x,y)=x+3y$ einzusetzen, daher verwenden wir die Lagrange-Methode.

Mit $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ bilden wir die Lagrange-Funktion:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Schreiben wir das Gleichungssystem zur Bestimmung der stationären Punkte der Lagrange-Funktion auf:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (ausgerichtet)\right.$$

Wenn wir $\lambda=0$ annehmen, dann lautet die erste Gleichung: $1=0$. Der resultierende Widerspruch besagt, dass $\lambda\neq 0$. Unter der Bedingung $\lambda\neq 0$ ergibt sich aus der ersten und zweiten Gleichung: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Setzen wir die erhaltenen Werte in die dritte Gleichung ein, erhalten wir:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Das System hat also zwei Lösungen: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ und $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Lassen Sie uns die Art des Extremums an jedem stationären Punkt herausfinden: $M_1(1;3)$ und $M_2(-1;-3)$. Dazu berechnen wir an jedem der Punkte die Determinante $H$.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \links| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

An der Stelle $M_1(1;3)$ erhalten wir: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, also am Punkt $M_1(1;3)$ die Funktion $z(x,y)=x+3y$ hat ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Ebenso finden wir am Punkt $M_2(-1;-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Seit $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Anstatt den Wert der Determinante $H$ an jedem Punkt zu berechnen, stelle ich fest, dass es viel bequemer ist, sie allgemein zu öffnen. Um den Text nicht mit Details zu überladen, verstecke ich diese Methode unter einer Notiz.

Determinante $H$ Notation in allgemeiner Form. Anzeigen Ausblenden

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Im Prinzip ist schon klar, welches Zeichen $H$ hat. Da keiner der Punkte $M_1$ oder $M_2$ mit dem Ursprung zusammenfällt, ist $y^2+x^2>0$. Daher ist das Vorzeichen von $H$ dem Vorzeichen von $\lambda$ entgegengesetzt. Sie können die Berechnungen auch vervollständigen:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$

Die Frage nach der Art des Extremums an den stationären Punkten $M_1(1;3)$ und $M_2(-1;-3)$ kann ohne Verwendung der Determinante $H$ gelöst werden. Finde das Zeichen von $d^2F$ an jedem stationären Punkt:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Ich stelle fest, dass die Notation $dx^2$ genau $dx$ potenziert bedeutet, d.h. $\links(dx\rechts)^2$. Daher haben wir: $dx^2+dy^2>0$, also erhalten wir für $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Antworten: an der Stelle $(-1;-3)$ hat die Funktion ein bedingtes Minimum, $z_(\min)=-10$. An der Stelle $(1;3)$ hat die Funktion ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=10$

Beispiel #2

Finde das bedingte Extremum der Funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ unter der Bedingung $x+y=0$.

Der erste Weg (die Methode der Lagrange-Multiplikatoren)

Mit $\varphi(x,y)=x+y$ bilden wir die Lagrange-Funktion: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$

Wenn wir das System lösen, erhalten wir: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ und $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Wir haben zwei stationäre Punkte: $M_1(0;0)$ und $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Lassen Sie uns die Natur des Extremums an jedem stationären Punkt mit Hilfe der Determinante $H$ herausfinden.

$$ H=\links| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \links| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Am Punkt $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, also hat die Funktion an dieser Stelle ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Wir untersuchen die Natur des Extremums an jedem der Punkte mit einer anderen Methode, basierend auf dem Vorzeichen von $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Aus der Beschränkungsgleichung $x+y=0$ haben wir: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Da $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ist, ist $M_1(0;0)$ der bedingte Minimalpunkt der Funktion $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Ähnlich ist $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Zweiter Weg

Aus der Nebenbedingungsgleichung $x+y=0$ erhalten wir: $y=-x$. Wenn wir $y=-x$ in die Funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ einsetzen, erhalten wir eine Funktion der Variablen $x$. Lassen Sie uns diese Funktion als $u(x)$ bezeichnen:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Somit haben wir das Problem, das bedingte Extremum einer Funktion zweier Variablen zu finden, auf das Problem der Bestimmung des Extremums einer Funktion einer Variablen reduziert.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Erhielt die Punkte $M_1(0;0)$ und $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Weitere Untersuchungen sind aus dem Verlauf der Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen bekannt. Wenn wir das Vorzeichen von $u_(xx)^("")$ an jedem stationären Punkt untersuchen oder den Vorzeichenwechsel von $u_(x)^(")$ an den gefundenen Punkten überprüfen, erhalten wir die gleichen Schlussfolgerungen wie beim Lösen des ersten Prüfzeichen $u_(xx)^("")$ zum Beispiel:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Da $u_(xx)^("")(M_1)>0$, dann ist $M_1$ der Minimalpunkt der Funktion $u(x)$, während $u_(\min)=u(0)=0 $ . Seit $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Die Werte der Funktion $u(x)$ unter der gegebenen Anschlussbedingung stimmen mit den Werten der Funktion $z(x,y)$ überein, d.h. die gefundenen Extrema der Funktion $u(x)$ sind die gesuchten bedingten Extrema der Funktion $z(x,y)$.

Antworten: an der Stelle $(0;0)$ hat die Funktion ein bedingtes Minimum, $z_(\min)=0$. An der Stelle $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ hat die Funktion ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel, in dem wir die Natur des Extremums herausfinden, indem wir das Vorzeichen von $d^2F$ bestimmen.

Beispiel #3

Finden Sie die maximalen und minimalen Werte der Funktion $z=5xy-4$, wenn die Variablen $x$ und $y$ positiv sind und die Bedingungsgleichung $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Erstellen Sie die Lagrange-Funktion: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Finden Sie die stationären Punkte der Lagrange-Funktion:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0;\;y > 0. \end(aligned) \right.$$

Alle weiteren Transformationen werden unter Berücksichtigung von $x > 0 durchgeführt; \; y > 0$ (dies ist in der Bedingung des Problems festgelegt). Aus der zweiten Gleichung drücken wir $\lambda=-\frac(5x)(y)$ aus und setzen den gefundenen Wert in die erste Gleichung ein: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Setzen wir $x=2y$ in die dritte Gleichung ein, erhalten wir: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Da $y=1$, dann $x=2$, $\lambda=-10$. Die Art des Extremums am Punkt $(2;1)$ wird aus dem Vorzeichen von $d^2F$ bestimmt.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Da $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, dann:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Im Prinzip kann man hier gleich die Koordinaten des stationären Punktes $x=2$, $y=1$ und den Parameter $\lambda=-10$ ersetzen und erhält somit:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Bei anderen Problemen für ein bedingtes Extremum kann es jedoch mehrere stationäre Punkte geben. In solchen Fällen ist es besser, $d^2F$ in einer allgemeinen Form darzustellen und dann die Koordinaten jedes der gefundenen stationären Punkte in den resultierenden Ausdruck einzusetzen:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Wenn wir $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ einsetzen, erhalten wir:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Da $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Antworten: an der Stelle $(2;1)$ hat die Funktion ein bedingtes Maximum, $z_(\max)=6$.

Im nächsten Teil betrachten wir die Anwendung des Lagrange-Verfahrens für Funktionen mit einer größeren Anzahl von Variablen.

Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion zweier Variablen

1. Die Funktion sei in einer Umgebung des Punktes stetig differenzierbar und habe stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung (rein und gemischt).

2. Bezeichne durch die Determinante zweiter Ordnung

Extremum variable Vortragsfunktion

Satz

Wenn der Punkt mit Koordinaten ein stationärer Punkt für die Funktion ist, dann:

A) Wenn es sich um einen Punkt mit lokalem Extremum und bei einem lokalen Maximum um - ein lokales Minimum handelt;

C) wenn der Punkt kein lokaler Extrempunkt ist;

C) wenn, vielleicht beides.

Nachweisen

Wir schreiben die Taylor-Formel für die Funktion, wobei wir uns auf zwei Glieder beschränken:

Da der Punkt nach der Bedingung des Satzes stationär ist, sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gleich Null, d.h. und. Dann

Bezeichnen

Dann nimmt das Inkrement der Funktion die Form an:

Aufgrund der Stetigkeit partieller Ableitungen zweiter Ordnung (rein und gemischt) können wir gemäß der Bedingung des Satzes an einem Punkt schreiben:

Wo oder; ,

1. Seien und, d.h. oder.

2. Wir multiplizieren das Inkrement der Funktion und dividieren durch, wir erhalten:

3. Ergänzen Sie den Ausdruck in geschweiften Klammern zum vollen Quadrat der Summe:

4. Der Ausdruck in geschweiften Klammern ist nichtnegativ, da

5. Also, wenn und daher, und, dann und, daher ist der Punkt laut Definition ein Punkt mit lokalem Minimum.

6. Wenn und bedeutet, und dann ist ein Punkt mit Koordinaten per Definition ein lokaler Maximumpunkt.

2. Betrachten Sie ein quadratisches Trinom, seine Diskriminante, .

3. Wenn, dann gibt es solche Punkte, dass das Polynom

4. Das Gesamtinkrement der Funktion an einem Punkt gemäß dem in I erhaltenen Ausdruck schreiben wir in der Form:

5. Aufgrund der Stetigkeit der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung können wir dies durch die Bedingung des Satzes an einem Punkt schreiben

Daher gibt es eine Umgebung eines Punktes, so dass für jeden Punkt das quadratische Trinom größer als Null ist:

6. Betrachten Sie - die Nachbarschaft des Punktes.

Wählen wir einen beliebigen Wert, das ist also der Punkt. Unter der Annahme, dass in der Formel für das Inkrement der Funktion

Was wir bekommen:

7. Seitdem.

8. Wenn wir ähnlich für die Wurzel argumentieren, erhalten wir, dass es in jeder Umgebung des Punktes einen Punkt gibt, für den es daher in der Umgebung des Punktes kein Vorzeichen gibt, daher gibt es an dem Punkt kein Extremum.

Bedingtes Extremum einer Funktion zweier Variablen

Bei der Suche nach Extrema einer Funktion zweier Variablen treten häufig Probleme im Zusammenhang mit dem sogenannten bedingten Extremum auf. Dieses Konzept kann am Beispiel einer Funktion zweier Variablen erklärt werden.

Gegeben sei eine Funktion und eine Gerade L auf der Ebene 0xy. Die Aufgabe besteht darin, einen solchen Punkt P (x, y) auf der Linie L zu finden, an dem der Wert der Funktion am größten oder am kleinsten ist im Vergleich zu den Werten dieser Funktion an den nahe gelegenen Punkten der Linie L der Punkt P. Solche Punkte P heißen bedingte Extrempunkte Funktionen auf der Linie L. Im Gegensatz zum üblichen Extrempunkt wird der Wert der Funktion am bedingten Extrempunkt nicht an allen Punkten mit den Werten der Funktion verglichen von einigen seiner Nachbarschaft, aber nur von denen, die auf der Linie L liegen.

Es ist ziemlich klar, dass der Punkt des gewöhnlichen Extremums (man spricht auch vom unbedingten Extremum) auch der Punkt des bedingten Extremums für jede Linie ist, die durch diesen Punkt verläuft. Das Gegenteil gilt natürlich nicht: Ein bedingter Extremwert ist möglicherweise kein konventioneller Extremwert. Veranschaulichen wir das Gesagte an einem Beispiel.

Beispiel 1. Der Graph der Funktion ist die obere Hemisphäre (Abb. 2).

Reis. 2.

Diese Funktion hat am Ursprung ein Maximum; es entspricht dem Scheitelpunkt M der Halbkugel. Wenn die Linie L eine Gerade ist, die durch die Punkte A und B geht (ihre Gleichung), dann ist es geometrisch klar, dass für die Punkte dieser Linie der Maximalwert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, der in der Mitte zwischen den Punkten A und liegt B. Dies ist das bedingte Extremum (Maximum) Punktfunktionen auf dieser Linie; er entspricht dem Punkt M 1 auf der Halbkugel, und aus der Figur ist ersichtlich, dass hier von keinem gewöhnlichen Extremum die Rede sein kann.

Beachten Sie, dass man im letzten Teil des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich zu finden, die Extremalwerte der Funktion an der Grenze dieses Bereichs finden muss, d.h. auf irgendeiner Geraden und lösen damit das Problem für ein bedingtes Extremum.

Bestimmung 1. Sie sagen, dass wo ein bedingtes oder relatives Maximum (Minimum) an einem Punkt hat, der die Gleichung erfüllt: Wenn für irgendetwas, das die Gleichung erfüllt, die Ungleichung

Bestimmung 2. Eine Gleichung der Form wird als Nebenbedingungsgleichung bezeichnet.

Satz

Wenn die Funktionen und in der Nähe eines Punktes stetig differenzierbar sind und die partielle Ableitung und der Punkt der Punkt des bedingten Extremums der Funktion in Bezug auf die Nebenbedingungsgleichung sind, dann ist die Determinante zweiter Ordnung gleich Null:

Nachweisen

1. Da, gemäß der Bedingung des Satzes, die partielle Ableitung und der Wert der Funktion, dann in einem Rechteck

implizite Funktion definiert

Eine komplexe Funktion zweier Variablen an einem Punkt hat daher ein lokales Extremum oder.

2. Tatsächlich gemäß der Invarianzeigenschaft der Differentialformel erster Ordnung

3. Die Verbindungsgleichung kann in dieser Form dargestellt werden, das heißt

4. Multipliziere Gleichung (2) mit und (3) mit und addiere sie

Daher bei

willkürlich. h.t.d.

Folge

Die Suche nach bedingten Extrempunkten einer Funktion zweier Veränderlicher erfolgt in der Praxis durch Lösen eines Gleichungssystems

So haben wir im obigen Beispiel Nr. 1 aus der Kommunikationsgleichung. Von hier aus ist es einfach zu überprüfen, was bei ein Maximum erreicht. Aber dann von der Gleichung der Kommunikation. Wir erhalten den geometrisch gefundenen Punkt P.

Beispiel #2. Finden Sie die bedingten Extrempunkte der Funktion in Bezug auf die Nebenbedingungsgleichung.

Finden wir die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion und die Verbindungsgleichung:

Machen wir eine Determinante zweiter Ordnung:

Schreiben wir das Gleichungssystem zum Auffinden bedingter Extrempunkte auf:

daher gibt es vier bedingte Extrempunkte der Funktion mit Koordinaten: .

Beispiel #3. Finden Sie die Extrempunkte der Funktion.

Wenn wir die partiellen Ableitungen mit Null gleichsetzen: , finden wir einen stationären Punkt - den Ursprung. Hier,. Daher ist der Punkt (0, 0) auch kein Extremumpunkt. Die Gleichung ist die Gleichung eines hyperbolischen Paraboloids (Abb. 3), die Abbildung zeigt, dass der Punkt (0, 0) kein Extremumpunkt ist.

Reis. 3.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

1. Die Funktion sei in einem beschränkten abgeschlossenen Gebiet D definiert und stetig.

2. Die Funktion habe in diesem Bereich endliche partielle Ableitungen, mit Ausnahme einzelner Punkte des Bereichs.

3. Nach dem Satz von Weierstraß gibt es in diesem Bereich einen Punkt, an dem die Funktion den größten und den kleinsten Wert annimmt.

4. Wenn diese Punkte innere Punkte des Bereichs D sind, dann ist es offensichtlich, dass sie ein Maximum oder ein Minimum haben werden.

5. In diesem Fall gehören die für uns interessanten Punkte zu den verdächtigen Punkten am Extremum.

6. Die Funktion kann aber auch am Rand des Bereichs D den maximalen oder minimalen Wert annehmen.

7. Um den größten (kleinsten) Wert der Funktion im Bereich D zu finden, müssen Sie alle für ein Extremum verdächtigen internen Punkte finden, den Wert der Funktion in ihnen berechnen und dann mit dem Wert der Funktion bei vergleichen die Grenzpunkte des Bereichs, und der größte aller gefundenen Werte wird der größte in der geschlossenen Region D sein.

8. Das Verfahren zum Auffinden eines lokalen Maximums oder Minimums wurde bereits in Abschnitt 1.2 betrachtet. und 1.3.

9. Es bleibt die Methode zum Ermitteln der Maximal- und Minimalwerte der Funktion an der Grenze der Region zu betrachten.

10. Bei einer Funktion aus zwei Variablen stellt sich die Fläche meist als durch eine Kurve oder mehrere Kurven begrenzt heraus.

11. Entlang einer solchen Kurve (oder mehrerer Kurven) hängen die Variablen und entweder voneinander ab, oder beide hängen von einem Parameter ab.

12. Somit erweist sich die Funktion am Rand als von einer Variablen abhängig.

13. Die Methode, den größten Wert einer Funktion einer Variablen zu finden, wurde bereits besprochen.

14. Die Grenze der Region D sei durch die parametrischen Gleichungen gegeben:

Dann ist auf dieser Kurve die Funktion zweier Variablen eine komplexe Funktion des Parameters: . Für eine solche Funktion wird der größte und kleinste Wert durch das Verfahren zur Bestimmung des größten und kleinsten Werts für eine Funktion einer Variablen bestimmt.

Beispiel

Finden Sie das Extremum der Funktion vorausgesetzt, dass X und bei stehen im Verhältnis: . Geometrisch bedeutet das Problem folgendes: auf einer Ellipse
Flugzeug
.

Dieses Problem kann wie folgt gelöst werden: aus der Gleichung
finden
X:

unter der Vorraussetzung, dass
, reduziert auf das Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen auf dem Intervall zu finden
.

Geometrisch bedeutet das Problem folgendes: auf einer Ellipse erhalten durch Kreuzen des Zylinders
Flugzeug
, ist es erforderlich, den maximalen oder minimalen Wert des Antrags zu finden (Abb. 9). Dieses Problem kann wie folgt gelöst werden: aus der Gleichung
finden
. Indem wir den gefundenen Wert von y in die Gleichung der Ebene einsetzen, erhalten wir eine Funktion einer Variablen X:

Daher das Problem, das Extremum der Funktion zu finden
unter der Vorraussetzung, dass
, reduziert auf das Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen auf einem Segment zu finden.

So, das Problem, ein bedingtes Extremum zu finden ist das Problem, das Extremum der Zielfunktion zu finden
, sofern die Variablen X und bei der Beschränkung unterliegen
genannt Verbindungsgleichung.

Das werden wir sagen Punkt
, die die Nebenbedingungsgleichung erfüllt, ist ein Punkt mit lokalem bedingtem Maximum (Minimum) wenn es eine Nachbarschaft gibt
so dass für alle Punkte
, deren Koordinaten die Nebenbedingungsgleichung erfüllen, gilt die Ungleichung.

Wenn es aus der Kommunikationsgleichung möglich ist, einen Ausdruck für zu finden bei, dann setzen wir diesen Ausdruck in die ursprüngliche Funktion ein und verwandeln letztere in eine komplexe Funktion einer Variablen X.

Die allgemeine Methode zur Lösung des bedingten Extremumproblems ist Lagrange-Multiplikator-Methode. Lassen Sie uns eine Hilfsfunktion erstellen, wo ─ irgendeine Zahl. Diese Funktion wird aufgerufen Lagrange-Funktion, a ─ Lagrange-Multiplikator. Somit wurde das Problem des Auffindens eines bedingten Extremums auf das Auffinden lokaler Extremumspunkte für die Lagrange-Funktion reduziert. Um die Punkte eines möglichen Extremums zu finden, ist es notwendig, ein System von 3 Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen x, y und.

Dann sollte man die folgende hinreichende Extremumsbedingung verwenden.

SATZ. Der Punkt sei ein Punkt eines möglichen Extremums für die Lagrange-Funktion. Wir nehmen an, dass in der Nähe des Punktes
es gibt stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung der Funktionen und . Bezeichnen

Dann wenn
, dann
─ bedingter Extrempunkt der Funktion
bei der Nebenbedingungsgleichung
inzwischen, wenn
, dann
─ bedingter Minimalpunkt, falls
, dann
─ Punkt des bedingten Maximums.

§acht. Gradient und Richtungsableitung

Lassen Sie die Funktion
in einer (offenen) Domäne definiert. Betrachten Sie jeden Punkt
dieser Bereich und jede gerichtete Gerade (Achse) durch diesen Punkt (Abb. 1). Lassen
- ein anderer Punkt dieser Achse,
- die Länge des Segments dazwischen
und
, genommen mit einem Pluszeichen, wenn die Richtung
stimmt mit der Richtung der Achse überein , und mit einem Minuszeichen, wenn ihre Richtungen entgegengesetzt sind.

Lassen
nähert sich unendlich
. Grenze

genannt Funktion Ableitung
gegenüber (oder entlang der Achse ) und wird wie folgt bezeichnet:

.

Diese Ableitung charakterisiert die "Änderungsrate" der Funktion an dem Punkt
gegenüber . Insbesondere und gewöhnliche partielle Ableitungen ,können auch als Ableitungen "in Bezug auf die Richtung" betrachtet werden.

Nehmen wir nun an, dass die Funktion
im betrachteten Bereich stetige partielle Ableitungen hat. Lassen Sie die Achse Winkel mit den Koordinatenachsen bildet
und . Unter den getroffenen Annahmen die gerichtete Ableitung existiert und wird durch die Formel ausgedrückt

.

Wenn der Vektor
durch seine Koordinaten festgelegt
, dann die Ableitung der Funktion
in Richtung des Vektors
kann mit der Formel berechnet werden:

.

Vektor mit Koordinaten
genannt Gradientenvektor Funktionen
am Punkt
. Der Gradientenvektor gibt die Richtung des schnellsten Anstiegs der Funktion an einem bestimmten Punkt an.

Beispiel

Gegeben sei eine Funktion , ein Punkt A(1, 1) und ein Vektor
. Gesucht: 1) grad z am Punkt A; 2) die Ableitung am Punkt A in Richtung des Vektors .

Partielle Ableitungen einer gegebenen Funktion an einem Punkt
:

;
.

Dann ist der Steigungsvektor der Funktion an dieser Stelle:
. Der Gradientenvektor kann auch mit einer Vektorerweiterung geschrieben werden und :

. Ableitung der Funktion in Richtung des Vektors :

So,
,
.◄

Definition1: Eine Funktion hat an einem Punkt ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jeden Punkt M mit Koordinaten (x, y) Ungleichung erfüllt ist: . In diesem Fall also das Inkrement der Funktion< 0.

Definition2: Eine Funktion hat an einem Punkt ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jeden Punkt M mit Koordinaten (x, y) Ungleichung erfüllt ist: . In diesem Fall also das Inkrement der Funktion > 0.

Bestimmung 3: Lokale Minimum- und Maximumpunkte werden aufgerufen Extrempunkte.

Bedingte Extreme

Bei der Suche nach Extrema einer Funktion mit vielen Variablen treten oft Probleme im Zusammenhang mit den sogenannten auf Bedingtes Extrem. Dieses Konzept kann am Beispiel einer Funktion zweier Variablen erklärt werden.

Gegeben sei eine Funktion und eine Gerade L auf der Oberfläche 0xy. Die Aufgabe ist es, Linie L einen solchen Punkt finden P(x,y), in denen der Wert der Funktion im Vergleich zu den Werten dieser Funktion an den Punkten der Linie am größten oder am kleinsten ist L befindet sich in der Nähe des Punktes P. Solche Punkte P genannt bedingte Extrempunkte Linienfunktionen L. Im Gegensatz zum üblichen Extrempunkt wird der Funktionswert am bedingten Extrempunkt nicht an allen Punkten seiner Nachbarschaft mit den Funktionswerten verglichen, sondern nur an denen, die auf der Geraden liegen L.

Es ist ziemlich klar, dass der Punkt des üblichen Extremums (man sagt auch unbedingtes Extremum) ist auch ein bedingter Extrempunkt für jede Linie, die durch diesen Punkt verläuft. Das Gegenteil gilt natürlich nicht: Ein bedingter Extremwert ist möglicherweise kein konventioneller Extremwert. Lassen Sie mich dies an einem einfachen Beispiel erläutern. Der Graph der Funktion ist die obere Hemisphäre (Anhang 3 (Abb. 3)).

Diese Funktion hat am Ursprung ein Maximum; es entspricht der Spitze M Halbkugeln. Wenn die Linie L Es gibt eine Linie, die durch die Punkte geht ABER und BEI(Ihre Gleichung x+y-1=0), so ist geometrisch klar, dass für die Punkte dieser Geraden der Maximalwert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, der in der Mitte zwischen den Punkten liegt ABER und BEI. Dies ist der Punkt des bedingten Extremums (Maximums) der Funktion auf der gegebenen Linie; er entspricht dem Punkt M 1 auf der Halbkugel, und aus der Figur ist ersichtlich, dass hier von keinem gewöhnlichen Extremum die Rede sein kann.

Beachten Sie, dass wir im letzten Teil des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich zu finden, die Extremalwerte der Funktion an der Grenze dieses Bereichs finden müssen, d.h. auf irgendeiner Geraden und lösen damit das Problem für ein bedingtes Extremum.

Fahren wir nun mit der praktischen Suche nach den Punkten des bedingten Extremums der Funktion Z= f(x, y) fort, vorausgesetzt, dass die Variablen x und y durch die Gleichung (x, y) = 0 verbunden sind. Diese Beziehung wird sein wird als Nebenbedingungsgleichung bezeichnet. Wenn y aus der Verbindungsgleichung explizit durch x ausgedrückt werden kann: y \u003d (x), erhalten wir eine Funktion einer Variablen Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Nachdem wir den Wert von x gefunden haben, bei dem diese Funktion ein Extremum erreicht, und dann die entsprechenden Werte von y aus der Verbindungsgleichung bestimmt haben, erhalten wir die gewünschten Punkte des bedingten Extremums.

Im obigen Beispiel haben wir also aus der Kommunikationsgleichung x+y-1=0 y=1-x. Von hier

Es ist leicht zu überprüfen, dass z sein Maximum bei x = 0,5 erreicht; dann aber aus der Verbindungsgleichung y = 0,5, und wir bekommen genau den Punkt P, gefunden aus geometrischen Überlegungen.

Das Problem des bedingten Extremums wird sehr einfach gelöst, selbst wenn die Nebenbedingungsgleichung durch Parametergleichungen x=x(t), y=y(t) dargestellt werden kann. Indem wir die Ausdrücke für x und y in diese Funktion einsetzen, kommen wir wieder zu dem Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen zu finden.

Wenn die Zwangsgleichung eine komplexere Form hat und wir eine Variable weder explizit durch eine andere ausdrücken noch durch parametrische Gleichungen ersetzen können, wird das Problem, ein bedingtes Extremum zu finden, schwieriger. Wir nehmen weiterhin an, dass im Ausdruck der Funktion z= f(x, y) die Variable (x, y) = 0 ist. Die totale Ableitung der Funktion z= f(x, y) ist gleich:

Wo ist die Ableitung y`, gefunden durch die Ableitungsregel der impliziten Funktion. An den Punkten des bedingten Extremums muss die gefundene Gesamtableitung gleich Null sein; dies ergibt eine Gleichung, die x und y betrifft. Da sie auch die Nebenbedingungsgleichung erfüllen müssen, erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

Lassen Sie uns dieses System in ein viel bequemeres umwandeln, indem wir die erste Gleichung als Proportion schreiben und eine neue Hilfsunbekannte einführen:

(Der Einfachheit halber ist ein Minuszeichen vorangestellt). Von diesen Gleichheiten kann man leicht zu folgendem System übergehen:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

die zusammen mit der Nebenbedingungsgleichung (x, y) = 0 ein System aus drei Gleichungen mit den Unbekannten x, y und bildet.

Diese Gleichungen (*) sind am einfachsten zu merken, wenn man die folgende Regel verwendet: um Punkte zu finden, die Punkte des bedingten Extremums der Funktion sein können

Z= f(x, y) mit der Nebenbedingungsgleichung (x, y) = 0 müssen Sie eine Hilfsfunktion bilden

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Wo ist eine Konstante, und stellen Sie Gleichungen auf, um die Extrempunkte dieser Funktion zu finden.

Das angegebene Gleichungssystem liefert in der Regel nur die notwendigen Bedingungen, d.h. nicht jedes Paar von x- und y-Werten, das dieses System erfüllt, ist notwendigerweise ein bedingter Extrempunkt. Ich werde keine hinreichenden Bedingungen für bedingte Extrempunkte angeben; Sehr oft legt der spezifische Inhalt des Problems selbst nahe, was der gefundene Punkt ist. Die beschriebene Technik zum Lösen von Problemen für ein bedingtes Extremum wird als Methode der Lagrange-Multiplikatoren bezeichnet.

Die Funktion z - f(x, y) sei in einem Bereich D definiert und Mo(xo, y0) sei ein innerer Punkt dieses Bereichs. Definition. Wenn es eine solche Zahl gibt, dass die Ungleichung für alle gilt, die die Bedingungen erfüllen, dann heißt der Punkt Mo(xo, yo) Punkt des lokalen Maximums der Funktion f(x, y); falls jedoch für alle Dx, Du die Bedingungen | erfüllen dann heißt der Punkt Mo(x0, y0) ein feines lokales Minimum. Mit anderen Worten, der Punkt M0(x0, y0) ist der Punkt des Maximums oder Minimums der Funktion f(x, y), falls es überhaupt eine 6-Nachbarschaft des Punktes A/o(x0, y0) gibt Punkte M(x, y) dieser Nachbarschaft, behält das Inkrement der Funktion das Vorzeichen bei. Beispiele. 1. Für eine Funktion ist ein Punkt ein Minimalpunkt (Abb. 17). 2. Für die Funktion ist der Punkt 0(0,0) der Maximalpunkt (Abb. 18). 3. Für die Funktion ist der Punkt 0(0,0) der lokale Maximalpunkt. 4 In der Tat gibt es eine Umgebung des Punktes 0(0, 0), zum Beispiel einen Kreis mit Radius j (siehe Abb. 19), an jedem Punkt, der sich vom Punkt 0(0, 0) unterscheidet, der Wert der Funktion f(x, y) kleiner als 1 = Wir werden nur Punkte mit strengem Maximum und Minimum von Funktionen betrachten, wenn die strenge Ungleichung oder strenge Ungleichung für alle Punkte M(x) y) aus einer punktierten 6-Nachbarschaft gilt der Punkt Mq. Der Wert der Funktion am Maximumpunkt wird als Maximum bezeichnet, und der Wert der Funktion am Minimumpunkt wird als Minimum dieser Funktion bezeichnet. Die Maximal- und Minimalpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion selbst werden als ihre Extrema bezeichnet. Satz 11 (notwendige Bedingung für ein Extremum). If-Funktion Extremum einer Funktion mehrerer Variablen Das Konzept eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen haben an der Stelle ein Extremum, dann verschwindet an dieser Stelle jede partielle Ableitung und u verschwindet oder existiert nicht. Die Funktion z = f(x) y) habe ein Extremum im Punkt M0(x0, y0). Geben wir der Variablen y den Wert yo. Dann ist die Funktion z = /(x, y) eine Funktion einer Variablen x\ Da sie bei x = xo ein Extremum (Maximum oder Minimum, Abb. 20) hat, ist ihre Ableitung nach x = „o, | (*o,l>)" ist gleich Null oder existiert nicht. In ähnlicher Weise verifizieren wir, dass) oder gleich Null ist oder nicht existiert. Punkte, an denen = 0 und u = 0 oder nicht existieren, werden aufgerufen kritische Punkte der Funktion z = Dx, y) Die Punkte an denen $£ = u = 0 heißen auch stationäre Punkte der Funktion Satz 11 drückt nur notwendige Bedingungen für ein Extremum aus, die nicht hinreichend sind. 18 Abb.20 immt-Derivate, die bei verschwinden. Aber diese Funktion ist auf dem imvat „straumum“ eher dünn. Tatsächlich ist die Funktion am Punkt 0(0, 0) gleich Null und nimmt an den Punkten M(x, y) beliebig nahe am Punkt 0(0, 0) kkk positive und negative Werte an. Dafür, also bei Punkten an Punkten (0, y) für beliebig kleine Punkte, wird der Punkt 0(0, 0) dieser Art als Mini-Max-Punkt bezeichnet (Abb. 21). Ausreichende Bedingungen für ein Extremum einer Funktion zweier Variablen werden durch den folgenden Satz ausgedrückt. Satz 12 (hinreichende Bedingungen für ein Extremum von Fuzzy-Variablen). Der Punkt Mo(xo, y0) sei ein stationärer Punkt der Funktion f(x, y), und in irgendeiner Umgebung des Punktes / einschließlich des Punktes Mo selbst hat die Funktion f(r, y) kontinuierliche partielle Ableitungen nach oben bis zur zweiten Bestellung inklusive. Dann "1) an der Stelle Mq(xq, V0) hat die Funktion f(x, y) ein Maximum, wenn die Determinante an dieser Stelle liegt 2) an der Stelle Mo(x0, V0) die Funktion f(x, y) hat ein Minimum, wenn im Punkt Mo(xo, yo) die Funktion f(x, y) kein Extremum hat, wenn D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) das Extremum der Funktion f(x, y) sein kann oder nicht. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen erforderlich. Wir beschränken uns auf den Beweis der Behauptungen 1) und 2) des Satzes. Schreiben wir die Taylor-Formel zweiter Ordnung für die Funktion /(i, y): wobei. Durch Annahme, woraus klar ist, dass das Vorzeichen des Inkrements D/ durch das Vorzeichen des Trinoms auf der rechten Seite von (1) bestimmt ist, d. h. durch das Vorzeichen des zweiten Differentials d2f. Lassen Sie uns der Kürze halber bezeichnen. Dann kann Gleichheit (l) wie folgt geschrieben werden: An dem Punkt MQ(so, y0) haben wir Nachbarschaft des Punktes M0(s0,yo). Wenn die Bedingung (am Punkt A/0) erfüllt ist und wegen der Stetigkeit die Ableitung /,z(s, y) in irgendeiner Umgebung des Punktes Af0 ihr Vorzeichen behält, dann gilt im Bereich A ∆ 0, wir haben 0 in irgendeiner Nachbarschaft des Punktes M0(x0) y0), dann stimmt das Vorzeichen des Trinoms AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 mit dem Vorzeichen A am Punkt C überein und kann kein anderes Vorzeichen haben). Da das Vorzeichen der Summe AAs2 + 2BAxAy + CAy2 an der Stelle (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) das Vorzeichen der Differenz bestimmt, kommen wir zu folgendem Schluss: Wenn die Funktion f(s, y) an der stationärer Punkt (s0, yo) erfüllt Bedingung, dann gilt für hinreichend kleines || Ungleichheit wird gelten. An der Stelle (sq, y0) hat die Funktion /(s, y) also ein Maximum. Ist die Bedingung aber im stationären Punkt (s0, y0) erfüllt, dann gilt für alle hinreichend kleinen |Ar| und |Tun| die Ungleichung ist wahr, was bedeutet, dass die Funktion /(s, y) an der Stelle (so, yo) ein Minimum hat. Beispiele. 1. Untersuche die Funktion 4 auf ein Extremum Unter Verwendung der notwendigen Bedingungen für ein Extremum suchen wir stationäre Punkte der Funktion. Dazu finden wir die partiellen Ableitungen u und setzen sie mit Null gleich. Wir bekommen ein Gleichungssystem von wo - einem stationären Punkt. Wenden wir nun Satz 12 an. Wir haben Also gibt es am Punkt M1 ein Extremum. Denn das ist das Mindeste. Wenn wir die Funktion g in die Form umwandeln, dann ist es leicht zu sehen, dass die rechte Seite (")" minimal ist, wenn das absolute Minimum dieser Funktion ist. 2. Untersuche die Funktion auf ein Extremum Wir finden die stationären Punkte der Funktion, für die wir von hier aus ein Gleichungssystem aufstellen, so dass der Punkt stationär ist. Da es nach Satz 12 im Punkt M kein Extremum gibt. * 3. Untersuchen Sie die Funktion auf ein Extremum Finden Sie die stationären Punkte der Funktion. Aus dem Gleichungssystem erhalten wir das, so dass der Punkt stationär ist. Weiterhin haben wir, dass Satz 12 keine Antwort auf die Frage nach dem Vorhandensein oder Fehlen eines Extremums gibt. Machen wir es so. Für eine Funktion über alle Punkte außer einem Punkt, so dass per Definition am Punkt A/o(0,0) die Funktion r ein absolutes Minimum hat. Durch analoges Trocknen stellen wir fest, dass die Funktion an dem Punkt ein Maximum hat, aber die Funktion an dem Punkt kein Extremum hat. Sei eine Funktion von η unabhängigen Variablen an einem Punkt differenzierbar, der Punkt Mo heißt stationärer Punkt der Funktion if, Satz 13 (hinreichende Bedingungen für ein Extremum). Die Funktion sei definiert und habe stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung in irgendeiner Umgebung der feinen Linie Mc(xi..., die eine stationäre feine Funktion ist, wenn die quadratische Form (das zweite Differential der Funktion f im feinen Punkt ist positiv-definit (negativ-definit), Minimumpunkt (bzw. feines Maximum) der Funktion f ist fein Wenn die quadratische Form (4) vorzeichenwechselnd ist, dann gibt es im feinen LG0 kein Extremum 15.2 Bedingung Extremum Bisher haben wir lokale Extrema einer Funktion im gesamten Definitionsbereich gesucht, wenn die Argumente der Funktion nicht an zusätzliche Bedingungen gebunden sind.Solche Extrema heißen unbedingt.Probleme bei der Suche nach sog bedingte Extrema werden oft angetroffen. Lassen Sie die Funktion z \u003d / (x, y) in der Region D definieren. Nehmen wir an, dass die Kurve L in dieser Region gegeben ist und es notwendig ist, nur die Extrema der Funktion f (x> y) zu finden unter denen seiner Werte, die den Punkten der Kurve L entsprechen. Dieselben Extrema werden als bedingte Extrema der Funktion z = f(x) y) auf der Kurve L bezeichnet. Definition Es wird gesagt, dass an einem Punkt liegt auf der Kurve L hat die Funktion f(x, y) ein bedingtes Maximum (Minimum), wenn die Ungleichung jeweils an allen Punkten M (s, y) der Kurve L erfüllt ist, die zu einer Umgebung des Punktes M0(x0, Yo) und sich vom Punkt M0 unterscheidet (Wenn die Kurve L durch eine Gleichung gegeben ist, dann ist das Problem, das bedingte Extremum der Funktion r - f(x, y) auf der Kurve zu finden! kann wie folgt formuliert werden: Finden Sie die Extrema der Funktion x = /(z, y) im Bereich D, vorausgesetzt, dass also beim Finden der bedingten Extrema der Funktion z = y) die Argumente zn nicht mehr berücksichtigt werden können als unabhängige Variablen: Sie sind durch die Beziehung y ) = 0 miteinander verbunden, die als Nebenbedingungsgleichung bezeichnet wird. Um den Unterschied zwischen m «* D y als unbedingtem und bedingtem Extremum zu verdeutlichen, betrachten wir ein weiteres Beispiel, das unbedingte Maximum der Funktion (Abb. 23) ist gleich eins und wird am Punkt (0,0) erreicht. Er entspricht genau M - dem Scheitelpunkt des pvvboloids.Lassen Sie uns die Beschränkungsgleichung y = j hinzufügen. Dann ist offensichtlich das bedingte Maximum gleich, es wird am Punkt (o, |) erreicht und entspricht dem Scheitelpunkt Afj des pvvboloids, der die Schnittlinie des pvvboloids mit der Ebene y = j ist. Im Fall eines unbedingten Minimums s haben wir die kleinste Anwendung unter allen Expliziten der Fläche * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv bedingt - nur unter vllkvt Punkten pvrboloidv, entsprechend einem Punkt * der geraden Linie y = j nicht der xOy-Ebene. Eine der Methoden zum Finden des bedingten Extremums einer Funktion in Anwesenheit und Verbindung ist wie folgt. Die Verbindungsgleichung y)-0 definiere y als einwertig differenzierbare Funktion des Arguments x: Setzt man statt y eine Funktion in die Funktion ein, so erhält man eine Funktion eines Arguments, in der die Verbindungsbedingung bereits berücksichtigt ist . Das (unbedingte) Extremum der Funktion ist das gewünschte bedingte Extremum. Beispiel. Finden Sie das Extremum einer Funktion unter der Bedingung Extremum einer Funktion mehrerer Variablen Das Konzept eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen. Notwendige und ausreichende Bedingungen für Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen A \u003d 1 - kritischer Punkt;, so dass ein bedingtes Minimum der Funktion r geliefert wird (Abb. 24). Lassen Sie uns einen anderen Lösungsweg angeben das Problem des bedingten Extremums, genannt Lagrange-Multiplikator-Verfahren. Angenommen, es gibt einen Punkt des bedingten Extremums der Funktion bei Vorhandensein einer Verbindung. Nehmen wir an, dass die Verbindungsgleichung eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes definiert xi Angenommen, wir erhalten, dass die Ableitung nach x der Funktion /(r, ip(x)) im Punkt xq gleich Null sein muss oder, was dazu äquivalent ist, das Differential von f (x, y ) am Punkt Mo "O) Aus der Verbindungsgleichung haben wir (5) Dann erhalten wir aufgrund der Willkür von dx die Gleichungen (6) und (7) drücken die notwendigen Bedingungen für ein unbedingtes Extremum an einem Punkt einer Funktion aus, die Lagrange-Funktion genannt wird. Somit ist der Punkt des bedingten Extremums der Funktion / (x, y), wenn, notwendigerweise ein stationärer Punkt der Lagrange-Funktion, wobei A ein numerischer Koeffizient ist. Daraus erhalten wir eine Regel zum Finden bedingter Extrema: Um Punkte zu finden, die Punkte des absoluten Extremums einer Funktion sein können, wenn eine Verbindung vorhanden ist, 1) bilden wir die Lagrange-Funktion, 2) setzen die Ableitungen und W dieser Funktion gleich auf Null und Addieren der Verbindungsgleichung zu den resultierenden Gleichungen erhalten wir ein System von drei Gleichungen, aus denen wir die Werte von A und die Koordinaten x, y möglicher Extrempunkte finden. Die Frage nach der Existenz und Art des bedingten Extremums wird auf der Grundlage der Untersuchung des Vorzeichens des zweiten Differentials der Lagrange-Funktion für das betrachtete Wertesystem x0, Yo, A, erhalten aus (8) unter der Bedingung, gelöst dass Wenn, dann hat die Funktion f(x, y ) am Punkt (x0, Yo) ein bedingtes Maximum; wenn d2F > 0 - dann das bedingte Minimum. Insbesondere wenn an einem stationären Punkt (xo, J/o) die Determinante D für die Funktion F(x, y) positiv ist, dann gibt es am Punkt (®o, V0) ein bedingtes Maximum der Funktion /( x, y) falls und bedingtes Minimum der Funktion /(x, y), falls Beispiel. Wenden wir uns wieder den Bedingungen des vorherigen Beispiels zu: Finde das Extremum der Funktion unter der Voraussetzung, dass x + y = 1 ist. Wir werden das Problem mit der Lagrange-Multiplikatormethode lösen. Die Lagrange-Funktion hat in diesem Fall die Form Um stationäre Punkte zu finden, stellen wir ein System zusammen. Aus den ersten beiden Gleichungen des Systems erhalten wir x = y. Dann finden wir aus der dritten Gleichung des Systems (Kopplungsgleichung), dass x - y = j - die Koordinaten des Punktes eines möglichen Extremums. In diesem Fall (es wird angezeigt, dass A \u003d -1. Somit ist die Lagrange-Funktion. ist ein bedingter Minimalpunkt der Funktion * \u003d x2 + y2 unter der Bedingung, dass es kein unbedingtes Extremum für die Lagrange-Funktion gibt. P ( x, y) bedeutet noch nicht das Fehlen eines bedingten Extremums für die Funktion /(x, y) bei Vorhandensein eines Zusammenhangs Beispiel: Finde das Extremum der Funktion unter der Bedingung y 4 Bilde die Lagrange-Funktion und schreibe die aus System zur Bestimmung von A und der Koordinaten möglicher Extrempunkte: y = A = 0. Die zugehörige Lagrange-Funktion hat also die Form Am Punkt (0, 0) hat die Funktion F(x, y; 0) kein an unbedingtes Extremum, sondern das bedingte Extremum der Funktion r = xy. Wenn y = x, gibt es „Tatsächlich, in diesem Fall r = x2 . "Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren wird auf den Fall von Funktionen mit beliebig vielen Argumenten übertragen / Gesucht wird das Extremum der Funktion in Gegenwart der Verbindungsgleichungen Sostaalyaem der Lagrange-Funktion mit A|, Az,..., A ", - nicht bestimmte konstante Faktoren. Indem wir alle partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion F gleich Null setzen und zu den erhaltenen Gleichungen die Verbindungsgleichungen (9) hinzufügen, erhalten wir ein System von n + m Gleichungen, aus denen wir Ab A3|..., Am und bestimmen die Koordinaten x\) x2) . » xn mögliche Punkte des bedingten Extremums. Die Frage, ob es sich bei den durch das Lagrange-Verfahren gefundenen Punkten wirklich um bedingte Extrempunkte handelt, lässt sich oft anhand von Überlegungen physikalischer oder geometrischer Natur klären. 15.3. Maximal- und Minimalwerte stetiger Funktionen Es soll gefordert werden, den maximalen (kleinsten) Wert einer Funktion z = /(x, y) stetig in einem erweiterten beschränkten Bereich D zu finden. Nach Theorem 3 gibt es in diesem Bereich einen Punkt (xo, V0), an dem die Funktion den größten (kleinsten) Wert annimmt. Liegt der Punkt (xo, y0) innerhalb des Definitionsbereichs D, dann hat die Funktion / ein Maximum (Minimum), sodass in diesem Fall der für uns interessante Punkt unter den kritischen Punkten der Funktion /(x , ja). Die Funktion /(x, y) kann aber auch am Rand der Region ihren maximalen (kleinsten) Wert erreichen. Um den größten (kleinsten) Wert der Funktion z = /(x, y) in einem begrenzten geschlossenen Bereich 2) zu finden, ist es daher notwendig, alle Maxima (Minima) der innerhalb dieses Bereichs erreichten Funktion zu finden , sowie der größte (kleinste) Wert der Funktion an der Grenze dieses Bereichs. Die größte (kleinste) dieser Zahlen ist der gewünschte maximale (kleinste) Wert der Funktion z = /(x, y) im Bereich 27. Zeigen wir, wie das im Fall einer differenzierbaren Funktion gemacht wird. Prmmr. Finden Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion von Bereich 4. Wir finden die kritischen Punkte der Funktion innerhalb des Bereichs D. Dazu stellen wir ein Gleichungssystem zusammen, von dem aus wir x \u003d y \u003e 0 erhalten , sodass der Punkt 0 (0,0) der kritische Punkt der Funktion x ist. Da Lassen Sie uns nun den größten und kleinsten Wert der Funktion an der Grenze Г der Region D finden. Auf dem Teil der Grenze haben wir so, dass y \u003d 0 ein kritischer Punkt ist, und seit \u003d dann an diesem Punkt Die Funktion z \u003d 1 + y2 hat ein Minimum gleich eins. An den Enden des Segments G", an Punkten (, haben wir. Unter Verwendung von Symmetrieüberlegungen erhalten wir die gleichen Ergebnisse für andere Teile der Grenze. Schließlich erhalten wir: den kleinsten Wert der Funktion z \u003d x2 + y2 in der Bereich "B" ist gleich Null und wird am inneren Punkt 0 (0, 0)-Bereich erreicht, und der Maximalwert dieser Funktion, gleich zwei, wird an vier Punkten der Grenze erreicht (Fig. 25). Abb.25 Aufgaben Funktionen: Finden Sie die partiellen Ableitungen von Funktionen und ihre totalen Differentiale: Finden Sie die Ableitungen komplexer Funktionen: 3 Finden Sie J. Extremum einer Funktion mehrerer Variablen Begriff eines Extremums einer Funktion mehrerer Variablen Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein Extremum Bedingtes Extremum Die größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen 34. Verwenden der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion zwei Variablen, Finden und Funktionen: 35. Verwenden der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion in zwei Variablen finde |J und Funktionen: Finde jj implizite Funktionen: 40. Finde die Steigung der Tangentenkurve am Schnittpunkt mit der Geraden x = 3. 41. Finden Sie die Punkte, an denen die Tangente der x-Kurve parallel zur x-Achse ist. . Suchen Sie in den folgenden Aufgaben und Z: Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen der Oberfläche: 49. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentialebenen der Oberfläche x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 parallel zur Ebene x + 4y + 6z \u003d 0. Finden Sie die ersten drei bis vier Terme der Erweiterung mit der Taylor-Formel : 50. y in der Nähe des Punktes (0, 0). Untersuchen Sie anhand der Definition des Extremums einer Funktion die folgenden Funktionen auf ein Extremum:). Untersuchen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen für das Extremum einer Funktion zweier Variablen das Extremum der Funktion: 84. Finden Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion z \u003d x2 - y2 in einem geschlossenen Kreis 85. Finden Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion * \u003d x2y (4-x-y) in einem durch Linien begrenzten Dreieck x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechteckigen offenen Beckens mit der kleinsten Oberfläche, vorausgesetzt, sein Volumen ist gleich V. 87. Bestimmen Sie die Abmessungen eines rechteckigen Parallelepipeds mit einer gegebenen Gesamtoberfläche von 5 maximalem Volumen. Antworten 1. und | Ein Quadrat, das aus Liniensegmenten x einschließlich seiner Seiten gebildet wird. 3. Familie konzentrischer Ringe 2= 0,1,2,... .4. Die ganze Ebene mit Ausnahme der Punkte der Geraden y. Der Teil der Ebene, der sich über der Parabel befindet y \u003d -x?. 8. Punkte x einkreisen. Die ganze Ebene außer den Geraden x Der Wurzelausdruck ist in zwei Fällen nichtnegativ j * ^ bzw. j x ^ ^ was einer unendlichen Reihe von Ungleichungen entspricht Der Definitionsbereich sind schattierte Quadrate (Abb. 26) ; l was einer unendlichen Reihe entspricht. Die Funktion ist an Punkten definiert. a) Geraden parallel zur Geraden x b) Konzentrische Kreise mit Mittelpunkt im Ursprung. 10. a) Parabeln y) Parabeln y a) Parabeln b) Hyperbeln | .Flugzeuge xc. 13.Prim - Rotationshyperboloide mit einem Hohlraum um die Oz-Achse; da und zweiblättrige Rotationshyperboloide um die Oz-Achse sind, sind beide Oberflächenfamilien durch einen Kegel getrennt; Es gibt keine Grenze, b) 0. 18. Sei y = kxt dann z lim z = -2, so dass die gegebene Funktion am Punkt (0,0) keine Grenze hat. 19. a) Punkt (0,0); b) Punkt (0,0). 20. a) Bruchlinie - Kreis x2 + y2 = 1; b) die Bruchlinie ist eine gerade Linie y \u003d x. 21. a) Bruchlinien – Koordinatenachsen Ox und Oy; b) 0 (leere Menge). 22. Alle Punkte (m, n), wobei und n ganze Zahlen sind