Upisani ugao zasnovan na kružnici. Krug i upisani ugao. Vizuelni vodič (2019)

U ovom članku ću vam reći kako riješiti probleme koji koriste .

Prvo, kao i obično, prisjećamo se definicija i teorema koje trebate znati da biste uspješno rješavali probleme na .

1.Upisani ugao je ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku kružnicu:

2.Centralni ugao je ugao čiji se vrh poklapa sa centrom kružnice:

Stepen veličine luka kružnice mereno po centralni ugao koja se na to oslanja.

U ovom slučaju, vrijednost stepena AC luka jednaka je vrijednosti ugla AOC.

3. Ako su upisani i centralni ugao zasnovani na istom luku, onda upisani ugao je dvostruko veći od centralnog ugla:

4. Svi upisani uglovi koji se naslanjaju na jedan luk jednaki su jedan drugom:

5. Upisani ugao na osnovu prečnika je 90°:

Riješit ćemo nekoliko problema.

jedan . Zadatak B7 (#27887)

Nađimo vrijednost centralnog ugla, koji se oslanja na isti luk:

Očigledno, vrijednost ugla AOC je 90°, dakle, ugao ABC je 45°

Odgovor: 45°

2. Zadatak B7 (br. 27888)

Pronađite ugao ABC. Odgovor dajte u stepenima.

Očigledno, ugao AOC je 270°, tada je ugao ABC 135°.

Odgovor: 135°

3 . Zadatak B7 (#27890)

Odrediti vrijednost stepena luka AC kruga na koji počiva ugao ABC. Odgovor dajte u stepenima.

Nađimo vrijednost centralnog ugla, koji se oslanja na luk AC:

Vrijednost ugla AOC je 45°, stoga je stepen stepena luka AC 45°.

Odgovor: 45°.

4 . Zadatak B7 (#27885)

Nađite ugao ACB ako su upisani uglovi ADB i DAE zasnovani na lukovima kružnice, čije su vrednosti stepena, respektivno, i . Odgovor dajte u stepenima.

Ugao ADB leži na luku AB, dakle, vrednost centralnog ugla AOB je 118°, dakle, ugao BDA je 59°, a susedni ugao ADC je 180°-59°=121°.

Slično, ugao DOE je 38°, a odgovarajući upisani ugao DAE je 19°.

Uzmimo u obzir trokut ADC:

Zbir uglova trougla je 180°.

Vrijednost ugla ASV je 180°- (121°+19°)=40°

Odgovor: 40°

5 . Zadatak B7 (#27872)

Stranice četvorougla ABCD AB, BC, CD i AD savijaju lukove opisane kružnice, čije su vrednosti stepena , , i , respektivno. Naći ugao B ovog četvorougla. Odgovor dajte u stepenima.

Ugao B leži na luku ADC, čija je vrijednost jednaka zbiru vrijednosti lukova AD i CD, tj. 71°+145°=216°

Upisani ugao B pola veličina ADC luka, tj. 108°

Odgovor: 108°

6. Zadatak B7 (#27873)

Tačke A, B, C, D, smještene na kružnici, dijele ovu kružnicu na četiri luka AB, BC, CD i AD, čije su vrijednosti stepena povezane kao 4:2:3:6. Naći ugao A četvorougla ABCD. Odgovor dajte u stepenima.

(pogledajte crtež prethodnog zadatka)

Pošto smo dali omjer veličina lukova, uvodimo jedinični element x. Tada će veličina svakog luka biti izražena na sljedeći način:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Svi lukovi formiraju krug, odnosno njihov zbir je 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, dakle x=24°.

Ugao A počiva na lukovima BC i CD, koji ukupno imaju vrijednost 5x=120°.

Dakle, ugao A je 60°

Odgovor: 60°

7. Zadatak B7 (#27874)

četvorougao A B C D upisan u krug. Injekcija ABC jednako , ugao CAD

Danas ćemo se osvrnuti na drugu vrstu problema 6 - ovaj put sa krugom. Mnogi učenici ih ne vole i smatraju ih teškim. I potpuno je uzaludno, jer se takvi zadaci rješavaju osnovno ako znate neke teoreme. Ili se uopšte ne usuđuju, ako nisu poznati.

Prije nego što pričamo o glavnim svojstvima, dopustite mi da vas podsjetim na definiciju:

Upisani ugao je onaj čiji vrh leži na samoj kružnici, a stranice seku tetivu na ovoj kružnici.

Centralni ugao je svaki ugao sa vrhom u centru kružnice. Njegove strane također sijeku ovaj krug i na njemu urezuju tetivu.

Dakle, pojmovi upisanog i centralnog ugla neraskidivo su povezani s krugom i tetivama unutar njega. Sada za glavnu izjavu:

Teorema. Centralni ugao je uvek dvostruko veći od upisanog ugla na osnovu istog luka.

Uprkos jednostavnosti iskaza, postoji čitava klasa problema 6 koji se rješavaju uz pomoć njega - i ništa drugo.

Zadatak. Pronađite oštar upisani ugao na osnovu tetive jednake poluprečniku kružnice.

Neka je AB razmatrana tetiva, O centar kružnice. Dodatna konstrukcija: OA i OB su poluprečnici kruga. Dobijamo:

Razmotrimo trougao ABO. U njemu AB = OA = OB - sve strane su jednake poluprečniku kružnice. Stoga je trougao ABO jednakostraničan i svi uglovi u njemu su 60°.

Neka je M vrh upisanog ugla. Pošto su uglovi O i M zasnovani na istom luku AB, upisani ugao M je 2 puta manji od centralnog ugla O. Imamo:

M=O:2=60:2=30

Zadatak. Centralni ugao je za 36° veći od upisanog ugla na osnovu istog kružnog luka. Pronađite upisani ugao.

Hajde da uvedemo notaciju:

1. AB je tetiva kruga;
2. Tačka O je centar kružnice, tako da je ugao AOB centralni;
3. Tačka C je vrh upisanog ugla ACB.

Pošto tražimo upisani ugao ACB, označimo ga ACB = x. Tada je središnji ugao AOB x + 36. S druge strane, centralni ugao je dvostruko veći od upisanog ugla. Imamo:

AOB = 2 ACB ;
x + 36 = 2 x;
x=36.

Tako smo pronašli upisani ugao AOB - jednak je 36 °.

Krug je ugao od 360°

Nakon čitanja podnaslova, upućeni čitaoci će vjerovatno sada reći: "Fu!" Zaista, nije sasvim ispravno porediti krug sa uglom. Da biste razumjeli o čemu govorimo, pogledajte klasični trigonometrijski krug:

Zašto ova slika? I na činjenicu da je puna rotacija ugao od 360 stepeni. A ako ga podijelite na, recimo, 20 jednakih dijelova, tada će veličina svakog od njih biti 360: 20 = 18 stupnjeva. To je upravo ono što je potrebno za rješavanje problema B8.

Tačke A, B i C leže na kružnici i dijele ga na tri luka, čije su mjere stepena povezane kao 1:3:5. Odredite najveći ugao trougla ABC.

Prvo, hajde da pronađemo stepen mere svakog luka. Neka je manji od njih jednak x. Ovaj luk je na slici označen AB. Tada se preostali lukovi - BC i AC - mogu izraziti u terminima AB: luk BC = 3x; AC=5x. Ovi lukovi zajedno imaju 360 stepeni:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

Sada razmotrite veliki luk AC koji ne sadrži tačku B. Ovaj luk, kao i odgovarajući centralni ugao AOC, je 5x = 5 40 = 200 stepeni.

Ugao ABC je najveći od svih uglova u trouglu. To je upisani ugao zasnovan na istom luku kao i centralni ugao AOC. Dakle, ugao ABC je 2 puta manji od AOC. Imamo:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Ovo će biti stepen stepena najvećeg ugla u trouglu ABC.

Krug opisan oko pravouglog trougla

Mnogi ljudi zaboravljaju ovu teoremu. Ali uzalud, jer se neki zadaci B8 bez njega uopće ne mogu riješiti. Tačnije, oni su riješeni, ali s tolikim obimom proračuna da biste radije zaspali nego došli do odgovora.

Teorema. Centar kružnice opisane okolo pravougaonog trougla, leži u sredini hipotenuze.

Šta slijedi iz ove teoreme?

1. Sredina hipotenuze je jednako udaljena od svih vrhova trougla. Ovo je direktna posljedica teoreme;
2. Medijan povučen na hipotenuzu dijeli originalni trokut na dva jednakokračna trokuta. To je upravo ono što je potrebno za rješavanje problema B8.

Medijan CD je nacrtan u trouglu ABC. Ugao C je 90°, a ugao B je 60°. Pronađite ugao ACD.

Pošto je ugao C 90°, trougao ABC je pravougli trougao. Ispostavilo se da je CD medijan povučen hipotenuzom. Dakle, trouglovi ADC i BDC su jednakokraki.

Konkretno, razmotrite trokut ADC. U njemu AD = CD . Ali u jednakokračnom trouglu, uglovi u osnovi su jednaki - vidi "Problem B8: segmenti i uglovi u trouglovima". Dakle, željeni ugao ACD = A.

Dakle, ostaje da saznamo šta jednak je uglu A. Da bismo to učinili, ponovo se okrećemo originalnom trokutu ABC. Označimo ugao A = x . Pošto je zbir uglova u bilo kom trouglu 180°, imamo:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

Naravno, posljednji problem se može riješiti i na drugi način. Na primjer, lako je dokazati da trokut BCD nije samo jednakokračan, već i jednakostraničan. Dakle, ugao BCD je 60 stepeni. Stoga je ugao ACD 90 − 60 = 30 stepeni. Kao što vidite, možete koristiti različite jednakokračne trouglove, ali odgovor će uvijek biti isti.

Proces pripreme za ispit iz matematike najčešće počinje ponavljanjem osnovnih definicija, formula i teorema, uključujući i temu „Centralni i kružni ugao upisan“. U pravilu se ovaj dio planimetrije proučava u srednja škola. Nije iznenađujuće što se mnogi studenti suočavaju sa potrebom da ponove osnovne pojmove i teoreme na temu „Središnji ugao kruga“. Nakon što su smislili algoritam za rješavanje ovakvih problema, školarci će moći računati na dobijanje takmičarskih bodova na osnovu rezultata položenog jedinstvenog državnog ispita.

Kako se lako i efikasno pripremiti za sertifikacioni test?

Sustizanje prije predaje singla državni ispit, mnogi srednjoškolci se suočavaju sa problemom pronalaženja potrebne informacije na temu "Centralni i upisani uglovi u kružnici." Nije uvijek školski udžbenik pri ruci. A traženje formula na internetu ponekad oduzima dosta vremena.

Za "pumpanje" vještina i poboljšanje znanja u tako teškom dijelu geometrije kao što je planimetrija, edukativni portal. Školkovo poziva srednjoškolce i njihove nastavnike da na novi način izgrade proces pripreme za jedinstveni državni ispit. Sav osnovni materijal naši stručnjaci predstavljaju u najpristupačnijem obliku. Nakon pregleda informacija u odjeljku "Teorijska referenca", učenici će naučiti koja svojstva ima središnji ugao kruga, kako pronaći njegovu vrijednost itd.

Zatim, za konsolidaciju stečenog znanja i razvoj vještina, preporučujemo da izvedete odgovarajuće vježbe. Veliki izbor zadaci za pronalaženje vrijednosti ugla upisanog u krug, a ostali parametri prikazani su u dijelu "Katalog". Za svaku vježbu naši stručnjaci su zapisali detaljan tok rješenja i naznačili tačan odgovor. Lista zadataka na stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

Srednjoškolci se mogu pripremiti za ispit vježbanjem vježbi, na primjer, pronalaženje vrijednosti središnjeg ugla i dužine luka kruga, na mreži, u bilo kojoj ruskoj regiji.

Po potrebi, obavljeni zadatak se može sačuvati u odeljku "Favoriti" da bi se kasnije vratio na njega i još jednom analizirao princip njegovog rešavanja.

Ugao ABC je upisan ugao. Oslanja se na luk AC, zatvoren između njegovih stranica (Sl. 330).

Teorema. Upisani ugao se meri polovinom luka koji preseče.

Ovo treba shvatiti ovako: upisani ugao sadrži onoliko ugaonih stepeni, minuta i sekundi koliko je lučnih stepeni, minuta i sekundi sadržano u polovini luka na kojem počiva.

U dokazivanju ove teoreme moramo razmotriti tri slučaja.

Prvi slučaj. Središte kružnice leži na strani upisanog ugla (sl. 331).

Neka je ∠ABC upisani ugao, a središte kružnice O leži na strani BC. Potrebno je dokazati da se mjeri polovinom luka AC.

Povežite tačku A sa središtem kruga. Dobijamo jednakokračne \(\Delta\)AOB, u kojima je AO = OB, kao poluprečnike iste kružnice. Prema tome, ∠A = ∠B.

∠AOC je van trougla AOB, pa je ∠AOC = ∠A + ∠B, a pošto su uglovi A i B jednaki, ∠B je 1/2 ∠AOC.

Ali ∠AOC se mjeri lukom AC, stoga se ∠B mjeri polovinom luka AC.

Na primjer, ako \(\breve(AC)\) sadrži 60°18', onda ∠B sadrži 30°9'.

Drugi slučaj. Središte kružnice leži između stranica upisanog ugla (sl. 332).

Neka je ∠ABD upisan ugao. Središte kružnice O nalazi se između njegovih stranica. Potrebno je dokazati da se ∠ABD mjeri polovinom luka AD.

Da bismo to dokazali, nacrtajmo prečnik BC. Ugao ABD je podijeljen na dva ugla: ∠1 i ∠2.

∠1 se mjeri polovicom luka AC, a ∠2 se mjeri polovinom luka CD, dakle, cijeli ∠ABD se mjeri sa 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), tj. polovina luka AD.

Na primjer, ako \(\breve(AD)\) sadrži 124°, onda ∠B sadrži 62°.

Treći slučaj. Središte kružnice nalazi se izvan upisanog ugla (sl. 333).

Neka je ∠MAD upisani ugao. Centar kruga O je izvan ugla. Potrebno je dokazati da se ∠MAD mjeri polovinom luka MD.

Da bismo to dokazali, nacrtajmo prečnik AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ali ∠MAB mjeri 1/2 \(\breve(MB)\) a ∠DAB mjeri 1/2 \(\breve(DB)\).

Prema tome, ∠MAD mjeri 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), tj. 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Na primjer, ako \(\breve(MD)\) sadrži 48° 38", onda ∠MAD sadrži 24° 19' 8".

Posljedice
1. Svi upisani uglovi zasnovani na istom luku jednaki su jedan drugom, jer se mere polovinom istog luka (Sl. 334, a).

2. Upisani ugao zasnovan na prečniku je pravi ugao jer se zasniva na pola kruga. Polovina kruga sadrži 180 lučnih stepeni, što znači da ugao na osnovu prečnika sadrži 90 ugaonih stepeni (Sl. 334, b).

Uputstvo

Ako su poluprečnik (R) kružnice i dužina luka (L) koji odgovara željenom centralnom uglu (θ) poznati, on se može izračunati i u stepenima i u radijanima. Zbir se određuje formulom 2 * π * R i odgovara centralnom uglu od 360 ° ili dva broja pi, ako se umjesto stupnjeva koriste radijani. Stoga polazite od proporcije 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Izrazite iz njega centralni ugao u radijanima θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R ili stepenima θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) i izračunajte prema rezultujućoj formuli.

Prema dužini tetive (m) koja povezuje tačke koje definišu centralni ugao (θ), može se izračunati i njena vrednost ako je poznat poluprečnik (R) kružnice. Da biste to učinili, razmotrite trokut formiran od dva polumjera i . Ovo je jednakokraki trokut, svi su poznati, ali morate pronaći ugao koji leži nasuprot osnovici. Sinus njegove polovine jednak je omjeru dužine osnove - tetive - i dvostruke dužine stranice - polumjera. Stoga za proračune koristite inverznu sinusnu funkciju - arksinus: θ \u003d 2 * arcsin (½ * m / R).

Centralni ugao se također može odrediti u dijelovima okreta ili iz punog ugla. Na primjer, ako želite pronaći središnji ugao koji odgovara četvrtini punog okreta, podijelite 360° sa četiri: θ = 360°/4 = 90°. Ista vrijednost u radijanima bi trebala biti 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Razvijeni ugao jednak je polovini punog okreta, tako da će, na primjer, središnji ugao koji odgovara njegovoj četvrtini biti polovina vrijednosti ​​računatih iznad, iu stupnjevima i u radijanima.

Poziva se inverzna sinusna trigonometrijska funkcija arcsine. Može uzeti vrijednosti koje se nalaze unutar polovine broja pi, i pozitivne i negativne. negativnu stranu kada se mjeri u radijanima. Kada se mjere u stepenima, ove vrijednosti će biti u rasponu od -90° do +90°.

Uputstvo

Neke "okrugle" vrijednosti ne moraju se izračunavati, lakše ih je zapamtiti. Na primjer:- if argument funkcije nula, tada je vrijednost arcsinusa iz njega također jednaka nuli; - od 1/2 je jednako 30 ° ili 1/6 Pi, ako se izmjeri; - arksinus od -1/2 je jednak -30 ° ili - 1/6 od broja Pi in; - arksinus od 1 jednak je 90° ili 1/2 broja Pi u radijanima; - arksinus od -1 je jednak -90° ili -1/2 broja Pi u radijanima;

Da biste izmjerili vrijednosti ove funkcije iz drugih argumenata, najlakši način je da koristite standardni Windows kalkulator, ako imate . Za početak otvorite glavni meni na dugmetu "Start" (ili pritiskom na tipku WIN), idite na odjeljak "Svi programi", a zatim na pododjeljak "Dodatna oprema" i kliknite na stavku "Kalkulator".

Prebacite sučelje kalkulatora u način rada koji vam omogućava da izračunate trigonometrijske funkcije. Da biste to učinili, otvorite odjeljak "Prikaz" u njegovom izborniku i odaberite stavku "Inženjering" ili "Naučno" (u zavisnosti od operativni sistem).

Unesite vrijednost argumenta iz kojeg ćete izračunati tangentu luka. Ovo se može uraditi klikom miša na dugmad na interfejsu kalkulatora, ili pritiskom na tastere na , ili kopiranjem vrednosti (CTRL + C), a zatim je lepljenjem (CTRL + V) u polje za unos kalkulatora.

Odaberite jedinice u kojima želite dobiti rezultat proračuna funkcije. Ispod polja za unos nalaze se tri opcije od kojih je potrebno (klikom miša na njega) odabrati jednu - , radijane ili radove.

Označite potvrdni okvir koji invertuje funkcije naznačene na dugmadima interfejsa kalkulatora. Uz nju je kratki natpis Inv.

Kliknite na dugme greh. Kalkulator će invertirati funkciju koja mu je pridružena, izvršiti proračun i prikazati vam rezultat u datim jedinicama.

Povezani video zapisi

Jedan od uobičajenih geometrijskih problema je izračunavanje površine kružnog segmenta - dijela kruga omeđenog tetivom i lukom kruga koji odgovara tetivi.

Površina kružnog segmenta jednaka je razlici između površine odgovarajućeg kružnog sektora i površine trokuta formiranog od polumjera sektora koji odgovara segmentu i tetive koja ograničava segment.

Primjer 1

Dužina tetive koja sažima krug jednaka je a. stepen mera luk koji odgovara tetivi je 60°. Pronađite površinu kružnog segmenta.

Odluka

Trokut koji čine dva poluprečnika i tetiva je jednakokračan, pa će visina povučena od vrha središnjeg ugla do stranice trokuta koji formira tetiva također biti simetrala središnjeg ugla, dijeleći ga na pola i medijanu , dijeleći akord na pola. Znajući da je sinus ugla β jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze, možemo izračunati vrijednost poluprečnika:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, gdje je h visina povučena od vrha centralnog ugla do tetive. Po Pitagorinoj teoremi h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Prema tome, S▲=√3/4*a².

Površina segmenta, izračunata kao Sceg = Sc - S▲, jednaka je:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Zamena numerička vrijednost umjesto vrijednosti a, lako možete izračunati numeričku vrijednost površine segmenta.

Primjer 2

Polumjer kružnice je jednak a. Stepen luka koji odgovara segmentu je 60°. Pronađite površinu kružnog segmenta.

Odluka:

Površina sektora koji odgovara datom kutu može se izračunati pomoću sljedeće formule:

Sc = πa²/360°*60° = πa²/6,

Površina trokuta koji odgovara sektoru izračunava se na sljedeći način:

S▲=1/2*ah, gdje je h visina povučena od vrha centralnog ugla do tetive. Po Pitagorinoj teoremi h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Prema tome, S▲=√3/4*a².

I konačno, površina segmenta, izračunata kao Sceg = Sc - S▲, jednaka je:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Rješenja u oba slučaja su gotovo identična. Dakle, možemo zaključiti da je u najjednostavnijem slučaju, za izračunavanje površine segmenta, dovoljno znati vrijednost ugla koji odgovara luku segmenta i jedan od dva parametra - ili radijus segmenta. krug ili dužina tetive koja se savija od luka kružnice koja formira segment.

Izvori:

• Segment - Geometrija