Površina paralelograma ako su poznate stranice. Obim i površina paralelograma

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma dužine 4√6 čini sa osnovom ugao od 60°, a druga dijagonala sa istom osnovom čini ugao od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Odluka.

1. AO = 2√6.

2. Primijeniti teoremu sinusa na trougao AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji ugao između dijagonala jednak je manjem uglu paralelograma. Nađite zbir dužina dijagonala.

Odluka.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a ugao između dijagonala i manjeg ugla paralelograma φ.

1. Izbrojimo dva različita
načinima svog područja.

S ABCD \u003d AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobijamo jednakost 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Koristeći omjer između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Napravimo sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožite drugu jednačinu sistema sa 2 i dodajte je prvoj.

Dobijamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Otuda je Id 1 + d 2 I = 24.

Pošto su d 1, d 2 dužine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar ugao između dijagonala je 45 o. Pronađite površinu paralelograma.

Odluka.

1. Iz trougla AOB, koristeći kosinus teoremu, zapisujemo odnos između stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Slično pišemo relaciju za trougao AOD.

Mi to uzimamo u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobijamo jednačinu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Imamo sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Oduzimajući prvu od druge jednačine, dobijamo 2d 1 d 2 √2 = 80 ili

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Bilješka: U ovom i u prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sistem u potpunosti, s obzirom da nam je u ovom zadatku potreban proizvod dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Nađite kvadrat manje dijagonale.

Odluka.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Uradimo zamjenu u formuli.

Dobijamo 96 = 8 15 sin VAD. Otuda je sin VAD = 4/5.

2. Pronađite cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 LOŠ = 1. cos 2 LOŠ = 9/25.

Prema uslovu zadatka nalazimo dužinu manje dijagonale. Dijagonala BD će biti manja ako je ugao BAD oštar. Tada je cos BAD = 3 / 5.

3. Iz trougla ABD, koristeći kosinusnu teoremu, nalazimo kvadrat dijagonale BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

VD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 = 145.

Odgovor: 145.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Paralelogram Zove se četvorougao čije su suprotne strane jedna drugoj paralelne. Glavni zadaci u školi na ovu temu su izračunavanje površine paralelograma, njegovog perimetra, visine, dijagonala. Ove količine i formule za njihov proračun će biti date u nastavku.

Svojstva paralelograma

Suprotne strane paralelograma i suprotni uglovi su međusobno jednaki:
AB=CD, BC=AD ,

Dijagonale paralelograma u tački presjeka podijeljene su na dva jednaka dijela:

AO=OC, OB=OD.

Uglovi susedni sa obe strane (susedni uglovi) iznose 180 stepeni.

Svaka dijagonala paralelograma dijeli ga na dva trokuta jednake površine i geometrijskih dimenzija.

Još jedno izvanredno svojstvo koje se često koristi u rješavanju problema je da je zbir kvadrata dijagonala u paralelogramu jednak zbiru kvadrata svih strana:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Glavne karakteristike paralelograma:

1. Četvorougao čije su suprotne strane parno paralelne je paralelogram.
2. Četvorougao sa jednakim suprotnim stranama je paralelogram.
3. Četvorougao sa jednakim i paralelnim suprotnim stranama je paralelogram.
4. Ako su dijagonale četvorougla u tački preseka podeljene na pola, onda je ovo paralelogram.
5. Četvorougao čiji su suprotni uglovi jednaki u parovima je paralelogram

Simetrale paralelograma

Simetrale suprotnih uglova u paralelogramu mogu biti paralelne ili se poklapati.

Simetrale susednih uglova (susednih jednoj strani) seku se pod pravim uglom (okomito).

Visina paralelograma

Visina paralelograma- ovo je segment koji je povučen iz ugla okomitog na osnovu. Iz ovoga slijedi da se iz svakog ugla mogu povući dvije visine.

Formula površine paralelograma

Područje paralelograma jednak je umnošku stranice i visine povučene na nju. Formula površine je sljedeća

Druga formula nije ništa manje popularna u proračunima i definirana je na sljedeći način: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica na sinus ugla između njih

Na osnovu gornjih formula, znat ćete izračunati površinu paralelograma.

Perimetar paralelograma

Formula za izračunavanje perimetra paralelograma je

to jest, obim je dvostruko veći od zbira stranica. Zadaci na paralelogramu će se razmatrati u susjednim materijalima, ali za sada proučite formule. Većina zadataka za izračunavanje stranica, dijagonala paralelograma je prilično jednostavna i svodi se na poznavanje teoreme sinusa i Pitagorine teoreme.

Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima iz geometrije (paralelogramski dio). Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol √ ili sqrt (), a radikalni izraz je naznačen u zagradama.

Teorijski materijal

Objašnjenja formula za pronalaženje površine paralelograma:

1. Površina paralelograma jednaka je umnošku dužine jedne od njegovih stranica i visine na toj strani.
2. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove dvije susjedne stranice i sinusa ugla između njih
3. Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala i sinusa ugla između njih

Problemi za pronalaženje površine paralelograma

Odluka.
Označimo manju visinu paralelograma ABCD, spuštenog iz tačke B na veću osnovu AD kao BK.
Odrediti vrijednost kraka pravokutnog trougla ABK kojeg čine manja visina, manja stranica i dio veće osnovice. Prema Pitagorinoj teoremi:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Produžimo gornju osnovu paralelograma BC i spustimo na nju visinu AN sa njegove donje osnove. AN = BK kao stranice pravougaonika ANBK. U rezultirajućem pravokutnom trokutu ANC nalazimo krak NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Sada pronađimo veću bazu BC paralelograma ABCD.
BC=NC-NB
Uzimamo u obzir da je NB = AK kao stranice pravougaonika, dakle
BC=12 - 1=11

Površina paralelograma jednaka je umnošku osnove i visine ove baze.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Odgovori: 99 cm2.

Zadatak

Odluka.
Pustimo još jednu okomitu DK na dijagonalu AC.
Prema tome, trouglovi AOB i DKC, COB i AKD su parno podudarni. Jedna od stranica je suprotna strana paralelograma, jedan od uglova je pravi, jer je okomit na dijagonalu, a jedan od preostalih uglova je unutrašnji križ koji leži za paralelne stranice paralelograma i sekante dijagonale.

Dakle, površina paralelograma je jednaka površini navedenih trokuta. tj
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Površina pravokutnog trokuta je polovina proizvoda kateta. Gdje
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Odgovori: 56 cm2.

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Kao u euklidskoj geometriji, tačka i prava su glavni elementi teorije ravni, pa je paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četvorouglova. Iz njega, poput niti iz lopte, teku koncepti "pravougaonika", "kvadrata", "romba" i drugih geometrijskih veličina.

U kontaktu sa

Definicija paralelograma

konveksan četvorougao, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram je četverougao ABCD. Stranice se nazivaju osnovicama (AB, BC, CD i AD), okomice povučene iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu ovog vrha nazivaju se visinom (BE i BF), prave AC i BD su dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravougaonik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i uglovi: karakteristike omjera

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određeno samom oznakom, dokazani su teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Strane koje su suprotne su identične u paru.
2. Uglovi koji su suprotni jedan drugom jednaki su u parovima.

Dokaz: razmotrite ∆ABC i ∆ADC, koji se dobijaju dijeljenjem četverougla ABCD pravom AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, pošto im je AC zajednički (vertikalni uglovi za BC||AD i AB||CD, respektivno). Iz ovoga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij jednakosti trouglova).

Segmenti AB i BC u ∆ABC odgovaraju u parovima linijama CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Pošto su ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su takođe identični u parovima, onda je ∠A = ∠C. Imovina je dokazana.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna karakteristika ove paralelogramske prave: tačka preseka ih deli na pola.

Dokaz: neka je m. E presjek dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni formiraju dva srazmerna trougla - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotne. Prema linijama i sekantima, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Prema drugom znaku jednakosti, ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i, štaviše, oni su srazmjerni dijelovi AC i BD. Imovina je dokazana.

Karakteristike susjednih uglova

Na susjednim stranama, zbir uglova je 180°, budući da leže na istoj strani paralelnih pravih i sekanse. Za četvorougao ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spušteni na jednu stranu, su okomiti;
2. suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobijen povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakteristika paralelograma teoremom

Karakteristike ove figure proizlaze iz njene glavne teoreme, koja glasi: četvorougao se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ova tačka ih dijeli na jednake segmente.

Dokaz: Neka se prave AC i BD četverougla ABCD sijeku u t. E. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (po prvom znaku jednakosti trouglova). To jest, ∠EAD = ∠ECB. Oni su takođe unutrašnji uglovi ukrštanja sekante AC za prave AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || BC. Slično svojstvo pravih BC i CD je također izvedeno. Teorema je dokazana.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure nalazi na nekoliko načina jedan od najjednostavnijih: množenje visine i osnove na koju je nacrtana.

Dokaz: Nacrtajte okomite BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki jer su AB = CD i BE = CF. ABCD je jednak pravougaoniku EBCF, jer se i oni sastoje od proporcionalnih figura: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz toga slijedi da je površina ove geometrijske figure ista kao i pravokutnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, označavamo visinu kao hb, i sa strane b. odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Proračuni površine kroz stranice paralelograma i ugla, koji oni formiraju, je druga poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α - ugao između segmenata a i b.

Ova metoda je praktično zasnovana na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsijeca pravougaoni trougao čiji se parametri nalaze trigonometrijskim identitetima, tj. Transformirajući omjer, dobivamo . U jednadžbi prve metode zamjenjujemo visinu ovim proizvodom i dobivamo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se ukrštaju, možete pronaći i područje.

Dokaz: AC i BD koji se seku formiraju četiri trougla: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbir je jednak površini ovog četvorougla.

Površina svakog od ovih ∆ može se naći iz izraza , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da , tada se u proračunima koristi jedna vrijednost sinusa. tj. Budući da AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Karakteristike sastavnih delova ovog četvorougla našle su primenu u vektorskoj algebri, i to: sabiranje dva vektora. Pravilo paralelograma to kaže ako su dati vektoriinesu kolinearni, onda će njihov zbir biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: sa proizvoljno izabranog početka - tj. - gradimo vektore i . Zatim gradimo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbiru.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sledećim uslovima:

1. a i b, α - stranice i ugao između njih;
2. d 1 i d 2 , γ - dijagonale i u tački njihovog preseka;
3. h a i h b - visine spuštene na strane a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
duž dijagonala i kosinusa ugla između njih
dijagonalno i bočno
kroz visinu i suprotni vrh
Pronalaženje dužine dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih