Araştırma çalışması "tepe formülü". Planimetri okul kursunda en yüksek formül

Starkova Kristina, 8B sınıfı öğrencisi

Kağıt, Pick teoremini ve kanıtını ele alıyor.

Çokgenlerin alanını bulma sorunları göz önünde bulundurulur

İndirmek:

Ön izleme:

GENEL VE ​​MESLEKİ EĞİTİM BÖLÜMÜ

ÇAYKOVSKİ BELEDİYESİ BÖLGE MÜDÜRLÜĞÜ

PERM BÖLGESİ

VI BELEDİYE ARAŞTIRMA KONFERANSI
ÖĞRENCİLER

Belediye Özerk Genel Eğitim Kurumu

"11 Numaralı Ortaokul"

BÖLÜM: MATEMATİK

Pick formülünün uygulanması

8 "B" sınıfı öğrencisi

MAOU orta okulu №11Çaykovski

Lider: Batueva L, N.,

Matematik öğretmeni MAOU orta okulu №11

Çaykovski

yıl2012

I.Giriş……………………………………………………. 2

II. tepe formülü

2.1.Izgaralar.Düğümler…………………………………………….4

2.2.Bir çokgenin üçgenlenmesi……………………………5

2.3. Pick teoreminin ispatı………………………6

2.4 Çokgenlerin alanlarını incelemek…………9

2.5. Sonuç…………………………………………………..12

III Pratik içerikli geometrik problemler ... 13

IV. Sonuç………………………………………………..14

V. Kullanılan literatür listesi………………………..16

1. Tanıtım

Matematik tutkusu genellikle bir problem hakkında düşünmekle başlar. Bu nedenle, "Çokgenlerin alanları" konusunu incelerken, geometri ders kitaplarında ele alınan görevlerden farklı görevlerin olup olmadığı sorusu ortaya çıktı. Bunlar kareli kağıt üzerindeki görevlerdir. Sorularımız vardı: bu tür görevlerin özelliği nedir, var mı? özel yöntemler ve kareli kağıt üzerinde problem çözme teknikleri. Bu tür görevleri kontrol ve ölçmede görmek KULLANIM malzemeleri ve GIA, tasvir edilen şeklin alanını bulma ile ilgili kareli kağıt üzerindeki görevleri kesinlikle araştırmaya karar verdi.

Bu konuyla ilgili literatürü, İnternet kaynaklarını incelemeye başladım. Büyüleyici olanın damalı bir düzlemde, yani aynı karelere çizilmiş sonsuz bir kağıt parçasında bulunabileceği anlaşılıyor? Aceleyle yargılamayın. Damalı kağıtla ilgili görevlerin oldukça çeşitli olduğu ortaya çıktı. Kareli bir kağıda çizilen çokgenlerin alanlarını hesaplamayı öğrendim. Bir kafeste kağıt üzerinde yapılan birçok görevin çözümü için genel bir kural, özel yöntem ve teknikler yoktur. Bu, spesifik olmayan bir gelişimin değerini belirleyen onların özelliğidir. öğrenme becerisi veya beceri, ancak genel olarak düşünme, yansıtma, analiz etme, analoji arama yeteneği, yani bu görevler en geniş anlamda düşünme becerilerini geliştirir.

Tanımladık:

Çalışmanın amacı: kareli kağıt üzerindeki görevler

Çalışma konusu: kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanını hesaplama problemleri, bunları çözme yöntemleri ve teknikleri.

Araştırma Yöntemleri: modelleme, karşılaştırma, genelleme, analoji, edebi ve İnternet kaynaklarının incelenmesi, bilgilerin analizi ve sınıflandırılması.

1. Bu çalışmanın amacı:Peak formülünü kullanarak geometrik şekillerin alanlarını hesaplamak için formüller türetme ve test etme

Bu hedefe ulaşmak için aşağıdakileri çözmeyi öneriyoruz görevler:

1. Gerekli literatürü seçin
2. Araştırma için materyal seçin, ana, ilginç, anlaşılır bilgileri seçin
3. Alınan bilgileri analiz edin ve düzenleyin
4. Bulmak çeşitli metodlar ve kareli kağıt üzerinde problem çözme teknikleri
5. Toplanan materyali sınıf arkadaşlarına sunmak için çalışmanın elektronik bir sunumunu oluşturun

bir kutuda kağıt üzerinde çeşitli görevler, "eğlenceleri", eksikliği Genel kurallar ve çözüm yöntemleri, okul çocukları için onları değerlendirmede zorluklara neden olur.

1. Hipotez:. Pick formülü ile hesaplanan şeklin alanı, planimetri formülü ile hesaplanan şeklin alanına eşittir.

Kareli kağıttaki problemleri çözerken, geometrik hayal gücüne ve herkes tarafından bilinen oldukça basit geometrik bilgilere ihtiyacımız var.

II. tepe formülü

2.1 Kafesler Düğümler.

Düzlemde, düzlemi eşit karelere bölen iki paralel çizgi ailesini düşünün; bu çizgilerin tüm kesişme noktalarının kümesine nokta kafes veya basitçe kafes denir ve noktaların kendilerine kafes düğümleri denir.

Bir çokgenin iç düğümleri - kırmızı.

Bir çokgenin yüzlerindeki düğümler - mavi.

Kareli kağıt üzerinde bir çokgenin alanını tahmin etmek için, bu çokgenin kaç hücreyi kapsadığını hesaplamak yeterlidir (hücrenin alanını bir birim olarak alıyoruz). Daha doğrusu, eğer S çokgenin alanı, B tamamı çokgenin içinde kalan hücre sayısı ve G çokgenin içi ile en az bir ortak noktası olan hücre sayısıdır.

Yalnızca, tüm köşeleri kareli kağıdın düğümlerinde - ızgara çizgilerinin kesiştiği yerlerde bulunan bu tür çokgenleri ele alacağız.

Kareli kağıda çizilen herhangi bir üçgenin alanı, kenarları çizilen üçgenin köşelerinden geçen ızgara çizgilerini takip eden dik üçgenlerin ve dikdörtgenlerin alanlarının toplamı veya farkı olarak temsil edilerek kolayca hesaplanabilir.

2.2 Bir çokgenin üçgenlenmesi

Köşeleri ızgara düğümlerinde olan herhangi bir çokgen üçgenlenebilir - "basit" üçgenlere bölünebilir.

Düzlemde bir çokgen ve bir sonlu küme verilsinİle çokgenin içinde ve sınırında bulunan noktalar (ayrıca, çokgenin tüm köşeleri kümeye aittir)İLE ).

Köşelerle üçgenlemeİle bölme denir verilen çokgen kümede köşeleri olan üçgenlereİle öyle ki her noktaİle bu noktanın ait olduğu üçgenleme üçgenlerinin her biri için bir tepe noktası görevi görür (yani,İle üçgenlerin içine veya kenarlarına düşmeyin, şek. 1.37)

Pirinç. 1.37

Teorem 2. a) herhangi bir n -gon köşegenlerle üçgenler halinde kesilebilir ve üçgenlerin sayısı şuna eşit olacaktır: n – 2 (bu bölüm, köşeleri köşelerde olan bir üçgenlemedir. n-gon).

Dejenere olmayan basit bir tamsayılı çokgen düşünün (yani, bağlıdır - noktalarından herhangi ikisi tamamen içinde bulunan sürekli bir eğri ile bağlanabilir ve tüm köşeleri tamsayı koordinatlarına sahiptir, sınırı bağlı bir çoklu çizgidir. kendi kendine kesişir ve sıfır olmayan bir alana sahiptir).

Böyle bir çokgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki teoremi kullanabilirsiniz:

2.3. Pick teoreminin ispatı.

B çokgenin içindeki tam sayı noktalarının sayısı olsun, Г sınırındaki tam sayı noktalarının sayısı olsun,- onun alanı. Sonra Pick'in formülü: S=V+G2-1

Misal. Şekildeki çokgen için B=23 (sarı noktalar), D=7, (mavi noktalar, köşeleri unutmayalım!), yanikare birimler.

İlk olarak, Pick formülünün birim kare için doğru olduğuna dikkat edin. Gerçekten de, bu durumda elimizde B=0, D=4 ve.

Kafes çizgileri üzerinde uzanan kenarları olan bir dikdörtgen düşünün. Kenar uzunlukları eşit olsun ve . Bu durumda, B=(a-1)(b-1), G=2a+2b, sonra Pick formülüyle,

Şimdi koordinat eksenlerinde uzanan bacakları olan bir dik üçgen düşünün. Böyle bir üçgen, kenarları olan bir dikdörtgenden elde edilir. ve , önceki durumda ele alındığında, çapraz olarak kesilerek. Köşegen üzerinde uzanmalarına izin verintamsayı noktaları. O zaman bunun için durum B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 ve bunu anlıyoruz4) Şimdi keyfi bir üçgen düşünün. Birkaç dik açılı üçgen ve muhtemelen bir dikdörtgenden bir dikdörtgen kesilerek elde edilebilir (resimlere bakın). Pick'in formülü hem dikdörtgen hem de dik açılı üçgen için doğru olduğundan, bunun keyfi bir üçgen için de doğru olacağını anlıyoruz.

Son adımı atmaya devam ediyor: üçgenlerden çokgenlere geçin. Herhangi bir çokgen üçgenlere bölünebilir (örneğin, köşegenlerle). Bu nedenle, rastgele bir çokgene herhangi bir üçgen eklerken Pick'in formülünün doğru kaldığını kanıtlamamız gerekiyor. çokgen olsun ve üçgen ortak bir yanı var. için olduğunu varsayalımPick'in formülü geçerlidir, elde edilen çokgen için bunun doğru olacağını kanıtlayacağız. ekleme . beri ve ortak bir kenarı varsa, iki köşe hariç bu kenarda bulunan tüm tamsayı noktaları yeni çokgenin iç noktaları olur. Köşeler sınır noktaları olacaktır. sayıyı belirtelim ortak noktalar vasıtasıyla ve B=MT=BM+BT+c-2 olsun - yeni çokgenin iç tamsayı noktalarının sayısı, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - yeni çokgenin sınır noktalarının sayısı. Bu eşitliklerden şunu elde ederiz: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Teoremin doğru olduğunu varsaydığımız için ve için ayrı ayrı, sonra S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Böylece Pick formülü ispatlanmış olur.

2.4 Çokgen alanlarının incelenmesi.

2) 1 cm x 1 cm boyutlarında hücrelere sahip kareli kağıt üzerinde tasvir edilmiştir. üçgen Alanı santimetre kare olarak bulun.
Resim	Geometri formülüne göre	Pick'in formülüne göre
	S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ​​​​∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S= V+G2-1 G=3 ;V=0. S=0+3/2-1=0.5

3) Kareli kağıda 1 cm x 1 cm boyutlarında hücrelerle bir kare tasvir edilmiştir. Alanı santimetre kare olarak bulun.
Resim	Geometri formülüne göre	Pick'in formülüne göre
	S=a∙b KMNE=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ​​​​∙ 3=4.5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S= V+G2-1 D=14;G=19. S=18+14/2-1=24

4) Kareli kağıda 1 cm x 1 cm boyutlarında hücreler tasvir edilmiştir.
Resim	Geometri formülüne göre	Pick'in formülüne göre
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3.5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 Kare= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32cm²	S= V+G2-1 D=5; V=31. S=31+ 42 -1=32cm²
5) 1 cm x 1 cm boyutlarında kareli kağıt üzerine dört kare. Alanı santimetre kare olarak bulun.
	S = bir b a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S= V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36cm 2
6) Kareli kağıda 1 cm x 1 cm boyutlarında hücreler tasvir edilmiştir. dört kare. Alanı santimetre kare olarak bulun
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 Ö=4,5+18+4,5=27 cm²	S= V+G2-1 D=18; G=28. S=28+ 182 -1=36cm²
7) Kareli kağıda 1 cm x 1 cm boyutlarında hücreler tasvir edilmiştir. dört kare. Alanı santimetre kare olarak bulun
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Metrekare=9²=81cm² S=81-4.5-18-4.5-18=36cm²	S= V+G2-1 D=18; G=28. S=28+ 182 -1=36cm²

8) Kareli kağıda 1 cm x 1 cm boyutlarında hücreler tasvir edilmiştir. dört kare. Alanı santimetre kare olarak bulun
Resim	Geometri formülüne göre	Pick'in formülüne göre
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Yay.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S= G+V2-1 D=16;G=17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Çözüm

1. Tablolardaki sonuçları karşılaştırarak ve Pick teoremini kanıtlayarak, Pick formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanının, türetilen planimetri formülü kullanılarak hesaplanan şeklin alanına eşit olduğu sonucuna vardım.

Böylece hipotezim doğru çıktı.

III.Uygulamalı içerikli geometrik problemler.

Pick formülü, pratik içerikli geometrik problemleri çözmemize de yardımcı olacaktır.

Görev 9. Alanı bul ormanlık alan(m² olarak), 1 × 1 (cm) kare ızgaralı bir planda 1 cm - 200 m ölçeğinde tasvir edilmiştir (Şek. 10)

Karar.

Pirinç. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40.000 10,5 = 420.000 (m²)

Cevap: 420.000 m²

Görev 10 . 1 cm - 200 m ölçeğinde 1 × 1 (cm) kare ızgaralı bir planda gösterilen alanın alanını (m² olarak) bulun (Şek. 11)

Karar. Peak formülünü kullanarak kareli kağıt üzerinde gösterilen dörtgenin alanını S bulalım: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Pirinç. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40000 8 = 320.000 (m²)

Cevap: 320.000 m²

Çözüm

Araştırma sürecinde referans, popüler bilim literatürü okudum, Defter programında çalışmayı öğrendim. bunu öğrendim

Izgara düğümlerinde köşeleri olan bir çokgenin alanını bulma sorunu, 1899'da Avusturyalı matematikçi Pick'e harika Pick formülünü kanıtlaması için ilham verdi.

Çalışmalarım sonucunda damalı kağıt üzerinde problem çözme bilgimi genişlettim, kendim için incelenen problemlerin sınıflandırmasını belirledim ve çeşitliliklerine ikna oldum.

Damalı bir kağıda çizilen çokgenlerin alanlarını nasıl hesaplayacağımı öğrendim. farklı seviye zorluklar - basitten Olimpiyata. Herkes aralarında uygulanabilir bir karmaşıklık düzeyinde görevler bulabilir, bundan başlayarak daha zor olanları çözmeye devam etmek mümkün olacaktır.

Beni ilgilendiren konunun oldukça çok yönlü olduğu, kareli kağıt üzerindeki görevlerin çeşitli olduğu, bunları çözme yöntem ve tekniklerinin de çeşitli olduğu sonucuna vardım. Bu nedenle çalışmalarımızı bu yönde sürdürmeye karar verdim.

Edebiyat

1. Kareli kağıt üzerinde geometri. Küçük MEHMAT MSU.

2. Zharkovskaya N.M., Riss E.A.. Damalı kağıt geometrisi. Pick'in formülü // Matematik, 2009, sayı 17, s. 24-25.

3. Görevler açık banka matematik görevleri FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov Kafesler üzerinde çokgenler M.MTsNMO, 2006.

5. Tematik çalışmalar.etudes.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri Geometri 7-9 sınıf M. Aydınlanma, 2010

Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Tam versiyonçalışma, PDF formatında "İş dosyaları" sekmesinde mevcuttur

Tanıtım

6. sınıf öğrencisiyim. Geçen yıldan beri geometri çalışmaya başladım çünkü okulda “Matematik” ders kitabını kullanarak çalışıyorum. Aritmetik. Geometri” E.A. Bunimoviç, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva ve diğerleri.

En çok dikkatimi "Rakamların kareleri", "Formüllerin derlenmesi" konuları çekti. Aynı şekillerin alanlarının bulunabileceğini fark ettim. Farklı yollar. Günlük yaşamda, genellikle alanı bulma sorunuyla karşı karşıya kalırız. Örneğin, boyanacak zemin alanını bulun. Ne de olsa yenileme için gerekli miktarda duvar kağıdı satın almak için odanın boyutunu bilmeniz gerekir, yani. duvar alanı. Bir karenin, bir dikdörtgenin ve bir dik açılı üçgenin alanını hesaplamak bana herhangi bir zorluk getirmedi.

Bu konu ilgimi çekti, İnternette ek materyal aramaya başladım. Arama sonucunda Pick formülüne rastladım - bu, kareli kağıda çizilmiş bir çokgenin alanını hesaplamak için bir formül. Bu formülü kullanarak alanı hesaplamak bana her öğrenci için erişilebilir görünüyordu. Bu yüzden karar verdim Araştırma çalışması.

Konunun alaka düzeyi:

Bu konu, geometri dersi çalışmasının bir ilavesi ve derinleştirilmesidir.

Bu konuyu incelemek, olimpiyatlara ve sınavlara daha iyi hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

Amaç:

Pick formülünü öğrenin.

Pick formülünü kullanarak geometrik problemleri çözme tekniklerinde ustalaşın.

Teorik ve pratik materyalleri sistematize eder ve genelleştirir.

Araştırma hedefleri:

Problem çözmede formülü uygulamanın etkinliğini ve uygunluğunu kontrol edin.

Seç formülünü değişen karmaşıklıktaki sorunlara nasıl uygulayacağınızı öğrenin.

Pick formülü ve geleneksel yöntemle çözülen sorunları karşılaştırın.

Ana bölüm

1.1. Geçmiş referansı

Georg Alexander Pick, 10 Ağustos 1859 doğumlu Avusturyalı bir matematikçidir. o Yetenekli çocuk, özel bir enstitüye başkanlık eden babası tarafından öğretildi. 16 yaşında Georg liseden mezun oldu ve Viyana Üniversitesi'ne girdi. 20 yaşında fizik ve matematik öğretme hakkını aldı. Bir çokgen kafesinin alanını belirleme formülü ona dünya çapında ün kazandırdı. Formülünü 1899'da bir makalede yayınladı. Polonyalı bilim adamı Hugo Steinhaus 1969'da matematiksel resimlerin bir yayınına dahil ettiğinde popüler oldu.

Georg Pieck, Viyana Üniversitesi'nde eğitim gördü ve 1880'de doktorasını tamamladı. Doktorasını aldıktan sonra Prag'daki Scherl-Ferdinand Üniversitesi'nde Ernest Mach'ın asistanlığına atandı. Orada öğretmen oldu. 1927'de emekli olana kadar Prag'da kaldı ve ardından Viyana'ya döndü.

Pick, 1911'de Einstein'ı matematiksel fizik profesörü olarak atayan Prag Alman Üniversitesi'ndeki komiteye başkanlık etti.

Çek Bilim ve Sanat Akademisi üyeliğine seçildi, ancak Nazilerin Prag'ı ele geçirmesinden sonra ihraç edildi.

Naziler 12 Mart 1938'de Avusturya'ya girdiğinde Prag'a döndü. Mart 1939'da Naziler Çekoslovakya'yı işgal etti. 13 Temmuz 1942'de Pick, Naziler tarafından kuzey Bohemya'da kurulan Theresienstadt kampına sürüldü ve iki hafta sonra 82 yaşında öldü.

1.2. Araştırma ve kanıt

Araştırma çalışmalarıma şu soruyu sorarak başladım: Figürlerin hangi alanlarını bulabilirim? Çeşitli üçgenlerin ve dörtgenlerin alanını hesaplamak için bir formül yapabilirim. Peki ya beş, altı ve genel olarak çokgenlerle?

Çeşitli sitelerdeki araştırmalar sırasında, beş, altı ve diğer çokgenlerin alanını hesaplama problemlerine çözümler gördüm. Bu sorunları çözme formülü, Pick formülü olarak adlandırıldı. ona benziyor :S =B+G/2-1, nerede AT- poligonun içinde bulunan düğüm sayısı, G- poligonun sınırında yatan düğüm sayısı. Bu formülün özelliği, sadece kareli kağıda çizilen çokgenlere uygulanabilmesidir.

Bu tür herhangi bir çokgen, kafesin düğümlerinde köşeleri olan, içeride veya yanlarda hiçbir düğüm içermeyen üçgenlere kolayca bölünebilir. Tüm bu üçgenlerin alanlarının aynı ve ½'ye eşit olduğu ve bu nedenle çokgenin alanının sayısının yarısına eşit olduğu gösterilebilir. T.

Bu sayıyı bulmak için çokgenin kenar sayısını n ile, AT- içindeki düğüm sayısı, G köşeler dahil kenarlardaki düğüm sayısıdır. Tüm üçgenlerin iç açıları toplamı 180° dir. T.

Şimdi toplamı farklı bir şekilde bulalım.

Herhangi bir iç düğümde bir tepe noktası olan açıların toplamı 2.180°'dir, yani. açıların toplamı 360 derecedir. AT; köşelerde olmayan kenarlardaki düğümlerdeki açıların toplamı ( Bay n)180° ve çokgenin köşelerindeki açıların toplamı ( G- 2)180°. Böylece, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Köşeli parantezleri genişletip 360°'ye bölerek, bir çokgenin S alanı için, Pick formülü olarak bilinen formülü elde ederiz.

2. Pratik kısım

Bu formülü OGE-2017 koleksiyonundaki görevlerde kontrol etmeye karar verdim. Bir üçgen, bir dörtgen ve bir beşgenin alanını hesaplamak için görevler aldım. Cevapları karşılaştırmaya karar verdim, iki şekilde çözdüm: 1) Rakamları bir dikdörtgene ekledim ve ortaya çıkan dikdörtgenin alanından dik açılı üçgenlerin alanını çıkardım; 2) Tepe formülünü uyguladı.

Ö = 18-1.5-4.5 = 12 ve Ö = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 ve S = 7+12/2-1 = 12

Ö = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 ve Ö = 43+14/2-1 = 49

Sonuçları karşılaştırarak, her iki formülün de aynı cevabı verdiği sonucuna varıyorum. Peak formülünü kullanarak bir şeklin alanını bulmak, daha az hesaplama olduğu için daha hızlı ve daha kolay olduğu ortaya çıktı. Karar verme kolaylığı ve hesaplamalarda zamandan tasarruf, gelecekte OGE'yi geçerken benim için faydalı olacaktır.

Bu, Pick formülünü daha karmaşık rakamlara uygulama olasılığını test etmemi istedi.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

S=4+16/2-1=1

Çözüm

Pick'in formülünün anlaşılması ve kullanılması kolaydır. Öncelikle sayabilmeniz, 2'ye bölmeniz, toplamanız ve çıkarmanız yeterlidir. İkincisi, çok fazla zaman harcamadan alanı ve karmaşık bir rakamı bulabilirsiniz. Üçüncüsü, bu formül herhangi bir çokgen için çalışır.

Dezavantajı ise Pick Formülünün sadece kareli kağıda çizilen şekiller için geçerli olması ve köşelerin hücrelerin düğümlerinde bulunmasıdır.

Final sınavlarını geçerken, şekillerin alanını hesaplama sorunlarının zorluklara neden olmayacağından eminim. Sonuçta, Pick formülüne zaten aşinayım.

bibliyografya

Bunimoviç E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. vb. Matematik. Aritmetik. Geometri. 5. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için uygulaması olan kuruluşlar. bir elektrona. taşıyıcı -3. baskı-M.: Aydınlanma, 2014.- 223, s. : hasta. -(Küreler).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. vb. Matematik. Aritmetik. Geometri. 6. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar-5. baskı.-M.: Eğitim, 2016.-240s. : ill.- (Küreler).

Vasilyev N.B. Seçim formülü etrafında. //Kuantum.- 1974.-№2. -s.39-43

Rassolov V.V. Planimetrideki problemler. / 5. baskı, düzeltildi. Ve ekstra. - E.: 2006.-640'lar.

I.V. Yaschenko, OGE. Matematik: tipik sınav seçenekleri: O-39 36 seçenek - M.: Milli Eğitim Yayınevi, 2017. -240 s. - (OGE. FIPI-okulu).

"OGE'yi çözeceğim": matematik. Dmitry Gushchin'in eğitim sistemi. OGE-2017: görevler, cevaplar, çözümler [ elektronik kaynak]. Erişim modu: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Erişim tarihi 04/02/2017)

Bibliyografik açıklama: Tatyanenko A. A., Tatyanenko S. A. Damalı kağıda gösterilen figür alanlarının hesaplanması // Genç bilim adamı. - 2016. - Sayı 3..03.2019).



Ana hazırlık için Devlet sınavı Damalı bir kağıda gösterilen şeklin alanını hesaplamanın gerekli olduğu görevlerle tanıştım. Kural olarak, şekil bir yamuk, paralelkenar veya üçgen ise, bu görevler büyük zorluklara neden olmaz. Bu şekillerin alanlarını hesaplamak için formülleri bilmek, hücre sayısını saymak ve alanı hesaplamak yeterlidir. Şekil rastgele bir çokgen ise, burada özel numaralar kullanılmalıdır. ilgimi çekti bu konu. Doğal olarak, sorular ortaya çıktı: nerede Günlük yaşam kareli kağıtta alanları hesaplamada sorun olabilir mi? Bu tür görevler hakkında özel olan nedir? Kareli kağıt üzerinde gösterilen geometrik şekillerin alanlarını hesaplamak için başka yöntemler veya evrensel bir formül var mı?

Özel literatür ve İnternet kaynaklarının incelenmesi, hücrede gösterilen şeklin alanını hesaplamanıza izin veren evrensel bir formül olduğunu gösterdi. Bu formüle Pick formülü denir. Ancak okul müfredatı çerçevesinde bu formül, kullanım ve sonuç alma kolaylığına rağmen dikkate alınmamaktadır. Ayrıca, arkadaşlar ve sınıf arkadaşlarımla (iki biçimde: kişisel görüşmede ve sosyal ağlar Tobolsk kentindeki okullardan 43 öğrenci katıldı. Bu anket, yalnızca bir kişinin (11. sınıf öğrencisi) alanları hesaplamak için Peak formülüne aşina olduğunu gösterdi.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi verilsin. Bu sistemde, tamsayı koordinatlarına sahip bir çokgen düşünün. AT eğitim literatürü koordinatları tamsayı olan noktalara düğüm denir. Ayrıca, çokgenin dışbükey olması gerekmez. Ve alanını belirlemesi istensin.

Aşağıdaki durumlar mümkündür.

1. Şekil bir üçgen, paralelkenar, yamuktur:

1) hücreleri sayarak, alanı hesaplamak için gerekli olan yüksekliği, köşegenleri veya kenarları bulmanız gerekir;

2) Bulunan değerleri alan formülüyle değiştirin.

Örneğin, Şekil 1'de gösterilen şeklin alanını 1 cm x 1 cm hücre boyutu ile hesaplamak istiyorsunuz.

Pirinç. 1. Üçgen

Karar. Hücreleri sayarız ve buluruz: . Formüle göre şunları elde ederiz: .

2 Şekil bir çokgendir

Şekil bir çokgen ise, aşağıdaki yöntemleri kullanmak mümkündür.

Bölme yöntemi:

1) çokgeni üçgenlere, dikdörtgenlere ayırın;

2) ortaya çıkan rakamların alanlarını hesaplayın;

3) Elde edilen şekillerin tüm alanlarının toplamını bulunuz.

Örneğin, Şekil 2'de gösterilen şeklin alanını bölme yöntemi kullanılarak 1 cm x 1 cm hücre boyutu ile hesaplamak gerekir.

Pirinç. 2. Çokgen

Karar. Bölmenin birçok yolu vardır. Rakamı kıracağız dik üçgenler ve Şekil 3'te gösterildiği gibi bir dikdörtgen.

Pirinç. 3. Çokgen. bölme yöntemi

Üçgenlerin alanları: , , , dikdörtgenin alanı . Aldığımız tüm rakamların alanlarını ekleyerek:

Ek inşaat yöntemi

1) şekli bir dikdörtgene tamamlayın

2) elde edilen ek şekillerin alanlarını ve dikdörtgenin alanını bulun

3) tüm "ekstra" şekillerin alanlarını dikdörtgenin alanından çıkarın.

Örneğin Şekil 2'de gösterilen şeklin alanını 1 cm x 1 cm hücre boyutunda ek yapım yöntemi kullanılarak hesaplamak gerekir.

Karar. Figürümüzü Şekil 4'teki gibi bir dikdörtgen oluşturalım.

Pirinç. 4. Çokgen. Tamamlayıcı Yöntem

Büyük dikdörtgenin alanı , içinde bulunan bir dikdörtgen - , "ekstra" üçgenlerin alanları - , , daha sonra istenilen şeklin alanıdır.

Kareli kağıt üzerinde çokgenlerin alanlarını hesaplarken, onu keşfeden bilim adamının adından sonra Pick formülü adı verilen başka bir yöntem kullanmak mümkündür.

tepe formülü

Damalı kağıda çizilen çokgenin yalnızca tamsayı köşeleri olmasına izin verin. Her iki koordinatı da tam sayı olan noktalara kafes düğümler denir. Ayrıca, çokgen hem dışbükey hem de dışbükey olmayabilir.

Köşeleri tamsayı olan bir çokgenin alanı , burada B çokgenin içindeki tamsayı noktalarının sayısıdır ve Г çokgenin sınırındaki tamsayı noktalarının sayısıdır.

Örneğin, Şekil 5'te gösterilen çokgen için.

Pirinç. 5. Pick'in Formülündeki Düğümler

Örneğin, Şekil 2'de gösterilen şeklin alanını 1 cm x 1 cm hücre boyutu ile Pick formülünü kullanarak hesaplamak istiyorsunuz.

Pirinç. 6. Çokgen. tepe formülü

Karar. Şekil 6'ya göre: V=9, G=10, Peak formülüne göre:

Aşağıda, damalı kağıt üzerinde tasvir edilen şekillerin alanlarını hesaplamak için yazar tarafından geliştirilen bazı görevlere örnekler verilmiştir.

1. İçinde çocuk Yuvasıçocuklar anne babalarına hediye olarak başvuruda bulundular (Şekil 7). Uygulama alanını bulun. Her hücrenin boyutu 1cm 1cm'dir.

Pirinç. 7. Problem 1'in durumu

2. Bir hektar ladin standı yılda 32 tona kadar toz tutabilir, çam - 35 tona kadar, karaağaç - 43 tona kadar, meşe - 50 tona kadar Kayın - 68 tona kadar Kaç ton olduğunu hesaplayın bir ladin ormanı 5 yıl içinde toz tutacak. Ladin ormanının planı Şekil 8'de gösterilmiştir (ölçek 1 cm - 200 m).

Pirinç. 8. Problem 2'nin durumu

3. Khanty ve Mansi süslemelerinde geometrik motifler hakimdir. Genellikle hayvanların stilize edilmiş görüntüleri vardır. Şekil 9, Mansi süsü "Tavşan kulakları"nın bir parçasını göstermektedir. Süslemenin gölgeli kısmının alanını hesaplayın.

Pirinç. 9. Problem 3'ün durumu

4. Fabrika binasının duvarının boyanması gerekmektedir (Fig. 10). Gerekli su bazlı boya miktarını (litre olarak) hesaplayın. Boya tüketimi: 7 metrekare başına 1 litre. metre Ölçek 1cm - 5m.

Pirinç. 10. Problem 4'ün durumu

5. Yıldız poligonu - üçgen ışınlardan oluşan düz bir geometrik şekil ortak merkez yakınsama noktasında birleşir. özel dikkat hak ediyor beş köşeli yıldız- pentagram. Pentagram mükemmellik, zeka, bilgelik ve güzelliğin bir sembolüdür. Bu, bir kalemin tek bir vuruşuyla tasvir edilebilen, onu asla kağıttan ayırmayan ve aynı zamanda asla iki kez aynı çizgide gitmeyen bir yıldızın en basit şeklidir. Kareli kağıttan kaleminizi kaldırmadan beş köşeli bir yıldız çizin, böylece ortaya çıkan çokgenin tüm köşeleri hücrenin düğümlerinde olur. Ortaya çıkan şeklin alanını hesaplayın.

Matematik literatürünü analiz ettikten ve analiz ettikten sonra çok sayıda araştırma konusuyla ilgili örnekler, kareli kağıt üzerinde bir şeklin alanını hesaplamak için yöntem seçiminin şeklin şekline bağlı olduğu sonucuna vardım. Şekil bir üçgen, dikdörtgen, paralelkenar veya yamuk ise, alanları hesaplamak için iyi bilinen formülleri kullanmak uygundur. Şekil dışbükey bir çokgen ise, hem bölme yöntemini hem de toplama yöntemini kullanmak mümkündür (çoğu durumda toplama yöntemi daha uygundur). Şekil dışbükey olmayan veya yıldız şeklinde bir çokgen ise, Pick formülünü uygulamak daha uygundur.

Pick formülü, alanları hesaplamak için evrensel bir formül olduğundan (bir çokgenin köşeleri kafes noktalarındaysa), herhangi bir şekil için kullanılabilir. Bununla birlikte, çokgen yeterince geniş bir alanı kaplıyorsa (veya hücreler küçükse), kafes düğümlerinin hesaplanmasında yüksek bir hata yapma olasılığı vardır. Genel olarak, çalışma sırasında, bu tür sorunları çözerken OGE daha iyi geleneksel yöntemleri (bölümler veya eklemeler) kullanın ve Seçim formülünü kullanarak sonucu kontrol edin.

Edebiyat:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Kafesler üzerinde çokgenler. - E.: MTSNMO, 2006. - 72 s.
2. Vasiliev I. N. Pick formülü etrafında // Popüler bilimsel fiziksel ve matematiksel dergi "Kvant". - 1974. - No. 12. Erişim modu: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Zharkovskaya N., Riss E. Damalı kağıdın geometrisi. Tepe formülü. // Eylül ayının ilk günü. Matematik. - 2009. - No. 23. - s.24,25.

Vikisözlük'te "pika" için bir giriş var Pika Askeri ilişkilerde: Pika soğuk delici bir silah, bir tür uzun mızrak. Pikemen, 16. ve 18. yüzyılın başlarında Avrupa ordularında bulunan bir piyade türüdür. Pickelhelm (s ... Wikipedia

Pick teoremi (kombinatoryal geometri)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Pick teoremi, sayıların kombinatoryal geometrisi ve geometrisinin klasik bir sonucudur. Tamsayılı bir çokgenin alanı ... Wikipedia

Üçgen- Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Üçgen (anlamlar). Bir üçgen (Öklid uzayında), doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasından oluşan geometrik bir şekildir. Üç nokta, ... ... Wikipedia

Trapez- Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Trapez (anlamları). Trapez (diğer Yunanca τραπέζιον "tablo" dan; ... Wikipedia

dörtgen- DÖRTGENLER ┌────────────┼────────────┐ dışbükey olmayan dışbükey kendi kendini kesen ... Wikipedia

Büyükçe- Bir kürenin yüzeyinde düzenli bir digon Geometride bir digon ... Wikipedia

Pentagon- Düzgün beşgen (beşgen) Beşgen, beş köşesi olan bir çokgendir. Bu şekle sahip herhangi bir nesneye beşgen de denir. İç miktar ... Wikipedia

Altıgen- Düzgün altıgen Altıgen, altı köşeli bir çokgendir. Bu şekle sahip herhangi bir nesneye altıgen de denir. Bir dışbükey altıgenin iç açılarının toplamı p ... Wikipedia

onikigen- Doğru onikigen Onikigen (Yunanca ... Wikipedia

Dikdörtgen Tüm açıların dik açı olduğu (90 dereceye eşit) bir paralelkenar dikdörtgen. Not. Öklid geometrisinde bir dörtgenin dikdörtgen olabilmesi için en az üç köşesinin doğru olması yeterlidir. Dördüncü köşe (... Wikipedia sayesinde)

Kitabın

• Plato etkisi. Durgunluğun üstesinden nasıl gelinir ve devam edilir, Sullivan, B.
• Matematik kulübü "Kanguru". Sayı No. 8. Damalı kağıt üzerinde matematik. Bu sayı, damalı kağıtla ilgili çeşitli görevlere ve oyunlara ayrılmıştır. Özellikle, köşeleri şu konumda bulunan bir çokgenin alanının hesaplanmasını detaylandırır ...

Kendinden kesişimi olmayan bir çokgene, tüm köşeleri tamsayı koordinatlarına sahip noktalardaysa (Kartezyen koordinat sisteminde) kafes çokgen olarak adlandırılır.

seçim teoremi

formül

Alanı sıfır olmayan bir kafes çokgen verilsin.

Alanı ile gösterelim; tamsayı koordinatları çokgenin içinde tam olarak yer alan noktaların sayısı; çokgenin kenarlarında uzanan tamsayı koordinatlarına sahip noktaların sayısı.

Sonra ilişki denilen seçim formülü:

Özellikle bazı çokgenler için I ve B değerleri biliniyorsa, köşelerinin koordinatları bilinmeden bile alanı olarak hesaplanabilir.

Bu bağıntı, 1899'da Avusturyalı matematikçi Georg Alexander Pick tarafından keşfedildi ve kanıtlandı.

Kanıt

Kanıt birkaç aşamada yapılır: en basit rakamlardan keyfi çokgenlere:

Daha yüksek boyutlara genelleme

Ne yazık ki, bu basit ve güzel Pick formülü daha yüksek boyutlara genelleme yapmıyor.

Bu, 1957'de tetrahedron'u (şimdi Reeve tetrahedron) aşağıdaki köşelerle:

herhangi bir doğal sayı nerede O zaman bu tetrahedron, herhangi biri için, içinde tamsayı koordinatları olan tek bir nokta içermez ve sınırında sadece dört nokta vardır , , , ve başkaları yok. Böylece, bu tetrahedronun hacmi ve yüzey alanı farklı olabilirken, iç ve sınırdaki noktaların sayısı değişmez; bu nedenle, Pick'in formülü, üç boyutlu durum için bile genellemelere izin vermez.

Yine de, daha yüksek boyutlu uzaylar için hala bazı benzer genellemeler vardır. Earhart polinomları(Ehrhart Polinomu), ancak bunlar çok karmaşıktır ve yalnızca şeklin içindeki ve sınırındaki noktaların sayısına bağlı değildir.