Kenarları biliniyorsa paralelkenarın alanı. Paralelkenarın çevresi ve alanı

Görev 4.

4√6 uzunluğundaki bir paralelkenarın köşegenlerinden biri tabanla 60°, ikinci köşegen aynı tabanla 45° açı yapar. İkinci köşegeni bulun.

Karar.

1. AO = 2√6.

2. Sinüs teoremini AOD üçgenine uygulayın.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / günah 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Cevap: 12.

Görev 5.

Kenarları 5√2 ve 7√2 olan bir paralelkenar için, köşegenler arasındaki daha küçük açı, paralelkenarın daha küçük açısına eşittir. Köşegenlerin uzunluklarının toplamını bulun.

Karar.

Paralelkenarın köşegenleri d 1, d 2 olsun ve köşegenler ile paralelkenarın daha küçük açısı arasındaki açı φ olsun.

1. İki farklı sayalım
kendi alanının yolları.

S ABCD \u003d AB AD günah A \u003d 5√2 7√2 günah f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD günah AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 günah f.

5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f veya

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Paralelkenarın kenarları ve köşegenleri arasındaki oranı kullanarak eşitliği yazıyoruz

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Bir sistem yapalım:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Sistemin ikinci denklemini 2 ile çarpın ve birinciye ekleyin.

(d 1 + d 2) 2 = 576 elde ederiz. Dolayısıyla Id 1 + d 2 I = 24.

d 1, d 2 paralelkenarın köşegenlerinin uzunlukları olduğundan, d 1 + d 2 = 24 olur.

Cevap: 24.

Görev 6.

Paralelkenarın kenarları 4 ve 6'dır. Köşegenler arasındaki dar açı 45 o'dur. Paralelkenarın alanını bulun.

Karar.

1. AOB üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak paralelkenarın kenarı ile köşegenler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO çünkü AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) çünkü 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Benzer şekilde, AOD üçgeninin bağıntısını yazıyoruz.

bunu dikkate alıyoruz<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 denklemini elde ederiz.

3. Bir sistemimiz var
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

İlkini ikinci denklemden çıkararak 2d 1 d 2 √2 = 80 veya

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD günah AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 günah α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Not: Bu ve önceki problemde, bu problemde alanı hesaplamak için köşegenlerin çarpımına ihtiyacımız olduğunu öngörerek, sistemi tamamen çözmeye gerek yoktur.

Cevap: 10.

Görev 7.

Paralelkenarın alanı 96 ve kenarları 8 ve 15'tir. Daha küçük köşegenin karesini bulun.

Karar.

1. S ABCD \u003d AB AD günah VAD. Formülde bir ikame yapalım.

96 = 8 15 sin VAD elde ederiz. Dolayısıyla günah VAD = 4/5.

2. çünkü KÖTÜ'yü bulun. günah 2 VAD + çünkü 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + çünkü 2 KÖTÜ = 1. çünkü 2 KÖTÜ = 9/25.

Problemin durumuna göre daha küçük olan köşegenin uzunluğunu buluyoruz. BAD açısı dar ise diyagonal BD daha küçük olacaktır. O zaman çünkü KÖTÜ = 3 / 5.

3. ABD üçgeninden kosinüs teoremini kullanarak BD köşegeninin karesini buluruz.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD çünkü KÖTÜ.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Cevap: 145.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Bir geometri problemini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Paralelkenar Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgen denir. Okuldaki bu konudaki ana görevler, bir paralelkenarın alanını, çevresini, yüksekliğini, köşegenlerini hesaplamaktır. Bu miktarlar ve bunların hesaplanması için formüller aşağıda verilecektir.

Paralelkenar Özellikleri

Bir paralelkenarın karşılıklı kenarları ve zıt açılar birbirine eşittir:
AB=CD, BC=AD ,

Bir paralelkenarın kesişme noktasındaki köşegenleri iki eşit parçaya bölünür:

AO=OC, OB=OD.

Her iki tarafa bitişik açılar (komşu açılar) 180 dereceye kadar eklenir.

Bir paralelkenarın köşegenlerinin her biri onu eşit alan ve geometrik boyutlara sahip iki üçgene böler.

Bir paralelkenardaki köşegenlerin karelerinin toplamının tüm kenarların karelerinin toplamına eşit olduğu problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılan bir diğer dikkat çekici özelliktir:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Paralelkenarların ana özellikleri:

1. Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgen bir paralelkenardır.
2. Karşılıklı kenarları eşit olan bir dörtgen paralelkenardır.
3. Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan bir dörtgen bir paralelkenardır.
4. Dörtgenin kesişme noktasındaki köşegenleri yarıya bölünürse, bu bir paralelkenardır.
5. Karşılıklı açıları çiftler halinde eşit olan bir dörtgen bir paralelkenardır.

Paralelkenarın açıortayları

Bir paralelkenarda zıt açıların açıortayları paralel veya çakışık olabilir.

Bitişik açıların açıortayları (bir tarafa bitişik) dik açılarda (dik) kesişir.

paralelkenar yüksekliği

paralelkenar yüksekliği- bu, tabana dik bir açıdan çizilen bir segmenttir. Bundan, her açıdan iki yükseklik çizilebileceği sonucu çıkar.

Paralelkenar alan formülü

paralelkenar alanı bir kenarın ürününe ve ona çizilen yüksekliğe eşittir. Alan formülü aşağıdaki gibidir

İkinci formül, hesaplamalarda daha az popüler değildir ve şu şekilde tanımlanır: paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına, aralarındaki açının sinüsüne eşittir.

Yukarıdaki formüllere dayanarak, bir paralelkenarın alanını nasıl hesaplayacağınızı bileceksiniz.

paralelkenar çevre

Bir paralelkenarın çevresini hesaplama formülü şu şekildedir:

yani çevre, kenarların toplamının iki katıdır. Bir paralelkenardaki görevler komşu malzemelerde ele alınacaktır, ancak şimdilik formülleri inceleyin. Bir paralelkenarın kenarlarını, köşegenlerini hesaplama görevlerinin çoğu oldukça basittir ve sinüs teoremini ve Pisagor teoremini bilmekle ilgilidir.

Not. Bu, geometrideki problemlerin olduğu dersin bir parçasıdır (paralelkenar bölümü). Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa - forumda bunun hakkında yazın. Problem çözmede karekök çıkarma eylemini belirtmek için √ veya sqrt () sembolü kullanılır ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.

teorik malzeme

Paralelkenarın alanını bulmak için formüllerin açıklamaları:

1. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğu ile o taraftaki yüksekliğin çarpımına eşittir.
2. Bir paralelkenarın alanı, iki bitişik kenarının ürününe ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.
3. Paralelkenarın alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.

Paralelkenar alanını bulma problemleri

Karar.
ABCD paralelkenarının B noktasından daha büyük AD tabanına indirilmiş daha küçük yüksekliğini BK olarak gösterelim.
Daha küçük bir yükseklik, daha küçük bir kenar ve daha büyük bir tabanın bir parçasından oluşan bir ABK dik üçgeninin bacak değerini bulun. Pisagor teoremine göre:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

BC paralelkenarının üst tabanını uzatalım ve AN yüksekliğini alt tabanından onun üzerine düşürelim. AN = BK, ANBK dikdörtgeninin kenarları olarak. Ortaya çıkan ANC dik üçgeninde NC ayağını buluyoruz.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NK 2 = 15 2
NC2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Şimdi ABCD paralelkenarının daha büyük BC tabanını bulalım.
BC=NC-NB
Dikdörtgenin kenarları olarak NB = AK olduğunu dikkate alıyoruz, o zaman
M.Ö.=12 - 1=11

Paralelkenarın alanı, tabanın ürününe ve bu tabanın yüksekliğine eşittir.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Cevap: 99 cm2.

Görev

Karar.
AC köşegenine bir tane daha dik DK bırakalım.
Buna göre AOB ve DKC, COB ve AKD üçgenleri ikili eştir. Kenarlardan biri paralelkenarın karşı tarafıdır, köşegenlere dik olduğu için açılardan biri diktir ve kalan açılardan biri paralelkenarın paralel tarafları için uzanan iç haç ve sekanttır. diyagonalin.

Böylece paralelkenarın alanı, belirtilen üçgenlerin alanına eşittir. yani
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Bir dik üçgenin alanı, bacakların çarpımının yarısıdır. Neresi
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Cevap: 56 cm2.

"A Alın" video kursu, matematik sınavını 60-65 puanla başarılı bir şekilde geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil KULLANIMI'nın 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIM'ı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazladır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Sınavın hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Bankası görevlerinden 1. bölümün tüm ilgili görevleri analiz edilmiştir. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. Teori, referans materyal, her türlü KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.

Öklid geometrisinde olduğu gibi, nokta ve doğru, düzlemler teorisinin ana unsurlarıdır, bu nedenle paralelkenar, dışbükey dörtgenlerin anahtar figürlerinden biridir. Ondan, bir topun iplikleri gibi, "dikdörtgen", "kare", "eşkenar dörtgen" ve diğer geometrik miktarlar kavramlarını akar.

Temas halinde

Paralelkenarın tanımı

dışbükey dörtgen, Her bir çifti paralel olan parçalardan oluşan, geometride paralelkenar olarak bilinir.

Klasik bir paralelkenar dörtgen bir ABCD'ye benziyor. Kenarlara tabanlar (AB, BC, CD ve AD), herhangi bir tepe noktasından bu tepenin karşı tarafına çizilen dikme yükseklik (BE ve BF), AC ve BD doğruları köşegenlerdir.

Dikkat! Kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Kenarlar ve açılar: oran özellikleri

Temel özellikler, genel olarak, atamanın kendisi tarafından önceden belirlenmiş, teorem ile ispatlanırlar. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:

1. Zıt taraflar çiftler halinde aynıdır.
2. Birbirine zıt açılar çift olarak eşittir.

İspat: ABCD dörtgeninin AC doğrusuna bölünmesiyle elde edilen ∆ABC ve ∆ADC'yi ele alalım. ∠BCA=∠CAD ve ∠BAC=∠ACD, çünkü AC onlar için ortaktır (sırasıyla BC||AD ve AB||CD için dikey açılar). Buradan şu sonuç çıkar: ∆ABC = ∆ADC (üçgenlerin eşitliği için ikinci kriter).

∆ABC'deki AB ve BC segmentleri, ∆ADC'deki CD ve AD satırlarına çiftler halinde karşılık gelir, bu da aynı oldukları anlamına gelir: AB = CD, BC = AD. Böylece, ∠B, ∠D'ye karşılık gelir ve eşittirler. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD çiftler halinde aynı olduğundan, ∠A = ∠C. Mülkiyet kanıtlanmıştır.

Figürün köşegenlerinin özellikleri

Ana özellik bu paralelkenar çizgileri: kesişme noktası onları ikiye böler.

İspat: ABCD şeklinin AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası m E olsun. İki orantılı üçgen oluştururlar - ∆ABE ve ∆CDE.

AB=CD zıt oldukları için. Doğrulara ve sekanslara göre ∠ABE = ∠CDE ve ∠BAE = ∠DCE.

İkinci eşitlik işaretine göre, ∆ABE = ∆CDE. Bu, ∆ABE ve ∆CDE öğelerinin AE = CE, BE = DE olduğu ve ayrıca AC ve BD'nin orantılı parçaları olduğu anlamına gelir. Mülkiyet kanıtlanmıştır.

Bitişik köşelerin özellikleri

Bitişik kenarlarda, açıların toplamı 180°'dir., çünkü paralel çizgiler ve sekantın aynı tarafında bulunurlar. ABCD dörtgeni için:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektör özellikleri:

1. , bir tarafa düşürüldü, dik;
2. zıt köşeler paralel açıortaylara sahiptir;
3. bisektör çizilerek elde edilen üçgen ikizkenar olacaktır.

Bir paralelkenarın karakteristik özelliklerini teoremle belirleme

Bu şeklin özellikleri, aşağıdaki gibi okunan ana teoreminden kaynaklanmaktadır: dörtgen paralelkenar olarak kabul edilir köşegenlerinin kesişmesi durumunda ve bu nokta onları eşit parçalara böler.

İspat: ABCD dörtgeninin AC ve BD doğruları t.E'de kesişsin. ∠AED = ∠BEC ve AE+CE=AC BE+DE=BD olduğundan, ∆AED = ∆BEC (üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretiyle). Yani, ∠EAD = ∠ECB. Bunlar aynı zamanda AD ve BC doğruları için AC sekantının iç kesişim açılarıdır. Böylece, paralellik tanımı gereği - AD || M.Ö. BC ve CD çizgilerinin benzer bir özelliği de türetilmiştir. Teorem kanıtlanmıştır.

Bir figürün alanını hesaplama

Bu rakamın alanı birkaç şekilde bulunur en basitlerinden biri: çizildiği yüksekliği ve tabanı çarpmak.

İspat: B ve C köşelerinden BE ve CF diklerini çizin. AB = CD ve BE = CF olduğundan ∆ABE ve ∆DCF eşittir. ABCD, EBCF dikdörtgenine eşittir, çünkü bunlar orantılı rakamlardan da oluşur: S ABE ve S EBCD'nin yanı sıra S DCF ve S EBCD. Bu geometrik şeklin alanının bir dikdörtgenin alanıyla aynı olduğu sonucu çıkar:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Bir paralelkenarın alanı için genel formülü belirlemek için yüksekliği şu şekilde belirtiriz: hb, ve yan b. Sırasıyla:

Alan bulmanın diğer yolları

Alan hesaplamaları paralelkenar ve açının kenarları boyunca oluşturdukları, bilinen ikinci yöntemdir.

,

Spr-ma - alan;

a ve b onun kenarları

α - a ve b segmentleri arasındaki açı.

Bu yöntem pratik olarak ilkine dayanmaktadır, ancak bilinmiyor olması durumunda. her zaman parametreleri trigonometrik özdeşlikler tarafından bulunan bir dik üçgeni keser, yani . Oranı dönüştürerek elde ederiz. Birinci yöntemin denkleminde yüksekliği bu çarpımla değiştiriyoruz ve bu formülün geçerliliğine dair bir kanıt elde ediyoruz.

Bir paralelkenar ve bir açının köşegenlerinden, kesiştiklerinde oluşturdukları alanı da bulabilirsiniz.

Kanıt: AC ve BD kesişen dört üçgen oluşturur: ABE, BEC, CDE ve AED. Toplamları bu dörtgenin alanına eşittir.

Bunların her birinin alanı ∆ ifadesinden bulunabilir, burada a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. olduğundan, hesaplamalarda sinüsün tek bir değeri kullanılır. yani AE+CE=AC= d 1 ve BE+DE=BD= d 2 olduğundan, alan formülü şuna indirgenir:

.

Vektör cebirinde uygulama

Bu dörtgenin bileşenlerinin özellikleri vektör cebirinde uygulama bulmuştur, yani: iki vektörün eklenmesi. Paralelkenar kuralı şunu belirtir: vektörler verilirseveolumsuzlukdoğrusaldır, o zaman toplamları, tabanları bu vektörlere karşılık gelen bu şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Kanıt: keyfi olarak seçilmiş bir başlangıçtan - yani. - vektörler oluşturuyoruz ve . Ardından, OA ve OB segmentlerinin yan olduğu bir paralelkenar OASV oluşturuyoruz. Bu nedenle, işletim sistemi vektör veya toplam üzerinde bulunur.

Paralelkenarın parametrelerini hesaplamak için formüller

Kimlikler aşağıdaki koşullar altında verilir:

1. a ve b, a - taraflar ve aralarındaki açı;
2. d 1 ve d 2 , γ - köşegenler ve kesişme noktalarında;
3. h a ve h b - a ve b kenarlarına indirilen yükseklikler;

Parametre	formül
taraf bulma
köşegenler boyunca ve aralarındaki açının kosinüsü
çapraz ve yanlamasına
yükseklik ve karşı köşe boyunca
Köşegenlerin uzunluğunu bulma
yanlarda ve aralarındaki üst boyutu