ที่เรียกว่าสมการของรูปแบบ โดยที่ความไม่รู้เป็นทั้งเลขชี้กำลังและฐานของดีกรี

คุณสามารถระบุอัลกอริธึมที่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์สำหรับการแก้สมการของแบบฟอร์ม สำหรับสิ่งนี้ต้องให้ความสนใจกับความจริงที่ว่า โอ้)ไม่ ศูนย์หนึ่งและลบหนึ่งความเท่าเทียมกันขององศาที่มีฐานเดียวกัน (ไม่ว่าจะบวกหรือลบ) เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อตัวบ่งชี้เท่ากัน นั่นคือรากของสมการทั้งหมดจะเป็นรากของสมการ ฉ(x) = ก.(x)ประโยคสนทนาไม่เป็นความจริง ถ้า โอ้)< 0 และค่าเศษส่วน เอฟ(x)และ กรัม(x)สำนวน โอ้) เอฟ(x) และ

โอ้) กรัม(x) สูญเสียความหมายของพวกเขา นั่นคือเมื่อจะออกจาก ฉ(x) = ก.(x)(สำหรับและรากภายนอกอาจปรากฏขึ้นซึ่งต้องยกเว้นโดยการตรวจสอบตามสมการเดิม และกรณี a = 0, a = 1, a = -1ต้องพิจารณาแยกกัน

ดังนั้น สำหรับการแก้สมการที่สมบูรณ์ เราพิจารณากรณีต่างๆ:

a(x) = 0 เอฟ(x)และ กรัม(x)เป็นจำนวนบวก, แล้วนี่คือคำตอบ มิฉะนั้น ไม่

a(x) = 1. รากของสมการนี้ก็คือรากของสมการเดิมด้วย

a(x) = -1. ถ้าสำหรับค่า x ที่เป็นไปตามสมการนี้ เอฟ(x)และ กรัม(x)เป็นจำนวนเต็มของพาริตีเดียวกัน (ทั้งคู่เป็นคู่หรือทั้งคู่เป็นคี่) นี่คือคำตอบ มิฉะนั้น ไม่

สำหรับและเราแก้สมการ ฉ(x)=ก.(x)และโดยการแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการดั้งเดิม เราก็ตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป

ตัวอย่างของการแก้สมการกำลังยกกำลัง

ตัวอย่าง # 1

1) x - 3 = 0, x = 3. เพราะ 3 > 0 และ 3 2 > 0 แล้ว x 1 = 3 คือคำตอบ

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2 ตัวบ่งชี้ทั้งสองมีค่าเท่ากัน นี่คือคำตอบ x 3 = 1

4) x - 3? 0 และ x? ± 1 x \u003d x 2, x \u003d 0 หรือ x \u003d 1 สำหรับ x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, โซลูชันนี้คือ x 4 \u003d 0 สำหรับ x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - คำตอบนี้ถูกต้อง x 5 = 1

คำตอบ: 0, 1, 2, 3, 4

ตัวอย่าง # 2

โดยนิยามของเลขคณิต รากที่สอง: x - 1 ? 0,x? หนึ่ง.

1) x - 1 = 0 หรือ x = 1, = 0, 0 0 ไม่ใช่คำตอบ

2) x - 1 = 1 x 1 = 2

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 ไม่พอดีกับ ODZ

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - ไม่มีราก

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

อะไร สมการเลขชี้กำลัง? นี่คือสมการที่ค่านิรนาม (x) และนิพจน์ที่อยู่ใน ตัวชี้วัดบางองศา และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ

นั่นแหละ ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

3 x 2 x = 8 x + 3

บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - เฉพาะตัวเลข. ที่ ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x หากทันใดนั้น x ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น

นี่จะเป็นสมการ แบบผสม. สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ แก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

แท้จริงถึงแม้จะบริสุทธิ์ สมการเลขชี้กำลังไม่ได้กำหนดไว้ชัดเจนเสมอไป แต่มี บางชนิดสมการเลขชี้กำลังที่สามารถและควรแก้ได้ เหล่านี้คือประเภทที่เราจะดู

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มจากสิ่งที่พื้นฐานมาก ตัวอย่างเช่น:

แม้จะไม่มีทฤษฎีใด ๆ โดยการเลือกอย่างง่าย ๆ เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรมากใช่มั้ย!? ไม่มีม้วนค่า x อื่น ๆ ทีนี้มาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้กัน:

เราทำอะไรลงไปบ้าง? อันที่จริงเราเพิ่งโยนก้นเดียวกันออก (สามเท่า) ไล่ออกให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเครื่องหมาย!

แท้จริงแล้วถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและทางขวาคือ เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกและเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์ช่วยให้ มันยังคงแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันดีใช่มั้ย?)

อย่างไรก็ตาม ขอให้จำไว้อย่างแดกดัน: คุณจะถอดฐานออกได้ก็ต่อเมื่อเลขฐานทางซ้ายและขวาแยกจากกันอย่างยอดเยี่ยมเท่านั้น!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , หรือ

ลบดับเบิ้ลไม่ได้!

เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีเปลี่ยนจากนิพจน์เลขชี้กำลังที่ชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า

“นี่มันยุคสมัยนี่นะ!” - คุณพูด. "ใครจะให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการควบคุมและการสอบ!"

บังคับให้ตกลง ไม่มีใครจะ แต่ตอนนี้ คุณรู้แล้วว่าจะต้องไปที่ใดเมื่อต้องแก้ตัวอย่างที่สับสน จำเป็นต้องระลึกไว้เสมอว่าเมื่อเลขฐานเดียวกันอยู่ทางซ้าย - ทางขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น อันที่จริง นี่คือความคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เรานำตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อให้ง่ายที่สุด มาเรียกพวกเขาว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง กฎหลักคือ การกระทำที่มีอำนาจหากปราศจากความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น

ในการดำเนินการกับองศา เราต้องเพิ่มการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาพวกเขาในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส

เรามาดูกันว่าสิ่งนี้ทำได้อย่างไรในทางปฏิบัติ?

ให้เรายกตัวอย่าง:

2 2x - 8 x+1 = 0

แวบแรกที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่างกัน! สองและแปด แต่มันเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาต้องจำไว้

สองและแปดเป็นญาติกันในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:

8 x+1 = (2 3) x+1

หากเราจำสูตรจากการกระทำที่มีอำนาจ:

(n) m = นาโนเมตร ,

โดยทั่วไปแล้วมันใช้งานได้ดี:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ตัวอย่างเดิมมีลักษณะดังนี้:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

นั่นคือทั้งหมดที่ การถอดฐาน:

เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราได้ เรา ระบุในแปด ผีสางที่เข้ารหัส เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสบริเวณทั่วไปภายใต้ ตัวเลขต่างๆ) เป็นเทคนิคที่นิยมอย่างมากในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ แม้แต่ในลอการิทึม ต้องสามารถรับรู้พลังของตัวเลขอื่น ๆ เป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใด ๆ ให้กับกำลังใด ๆ นั้นไม่ใช่ปัญหา ทวีคูณ แม้กระทั่งบนแผ่นกระดาษ แค่นั้นเอง ตัวอย่างเช่น ทุกคนสามารถยกกำลัง 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะกลายเป็นถ้าคุณรู้ตารางการคูณ) แต่ในสมการเลขชี้กำลังบ่อยครั้งมากขึ้นไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน ... เลขอะไร ขนาดไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขจะช่วยคุณที่นี่

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยสายตา ครับ ... เรามาฝึกกันไหม?

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

คำตอบ (แน่นอน!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

หากมองใกล้จะมองเห็น ข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด. มีคำตอบมากกว่าคำถาม! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6 , 4 3 , 8 2 คือ 64 ทั้งหมด

สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณว่าเราใช้สำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้คลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งจากชนชั้นกลางตอนล่าง คุณไม่ได้ตรงไปโรงเรียนมัธยมใช่ไหม

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมในวงเล็บมักจะช่วยได้มาก (สวัสดีถึงเกรด 7!) มาดูตัวอย่างกัน:

3 2x+4 -11 9 x = 210

และอีกครั้งกับลุคแรก - บนสนาม! ฐานขององศาต่างกัน ... สามและเก้า และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาค่อนข้างเป็นไปได้!) เพราะ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ตามกฎเดียวกันสำหรับการกระทำที่มีองศา:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียน:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วยังไงต่อ!? สามไม่สามารถโยนออก ... ทางตัน?

ไม่เลย. จดจำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทั้งหมดงานคณิตศาสตร์:

ถ้าไม่รู้จะทำอะไร ก็ทำซะ!

คุณดูทุกอย่างถูกสร้างขึ้น)

อะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางซ้ายขอวงเล็บโดยตรง! ปัจจัยทั่วไปของ 3 2x บ่งบอกถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองดูกัน แล้วเราจะเห็นว่า:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ตัวอย่างดีขึ้นเรื่อยๆ!

เราจำได้ว่าเพื่อที่จะกำจัดฐาน เราจำเป็นต้องมีระดับบริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เลข 70 กวนใจเรา เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย 70 เราจะได้:

โอปป้า! ทุกอย่างเรียบร้อยดี!

นี่คือคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแท็กซี่ออกไปบนพื้นที่เดียวกัน แต่การชำระบัญชีไม่ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาประเภทนี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกัน:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ครั้งแรก - ตามปกติ ไปที่ฐานกันเถอะ ไปที่ผีสาง

4 x = (2 2) x = 2 2x

เราได้รับสมการ:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

และที่นี่เราจะแขวน เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ทำงาน ไม่ว่าคุณจะหมุนอย่างไร เราจะต้องได้รับจากคลังแสงของวิธีที่มีประสิทธิภาพและหลากหลายวิธีอื่น ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร

สาระสำคัญของวิธีการนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นหนึ่งไอคอนที่ซับซ้อน (ในกรณีของเราคือ 2 x) เราเขียนอีกอันหนึ่งที่ง่ายกว่า (เช่น t) การแทนที่ที่ดูเหมือนไร้ความหมายเช่นนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!

ดังนั้นให้

จากนั้น 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่สมการกำลังทั้งหมดด้วย x ด้วย t:

มันเช้าแล้วเหรอ?) ยังไม่ลืมสมการกำลังสองเหรอ? เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:

ที่นี่สิ่งสำคัญคือไม่หยุดเมื่อมันเกิดขึ้น ... นี่ไม่ใช่คำตอบเราต้องการ x ไม่ใช่ t เรากลับไปที่ Xs นั่นคือ ทำการทดแทน ครั้งแรกสำหรับเสื้อ 1:

นั่นคือ,

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:

อืม... ซ้าย 2 x ขวา 1... มีปัญหา? ใช่ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจำ (จากการกระทำที่มีองศาใช่ ... ) ว่าความสามัคคีคือ ใดๆตัวเลขเป็นศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่คุณต้องการ เราจัดให้ เราต้องการสอง วิธี:

ตอนนี้นั่นคือทั้งหมด มี 2 ​​ราก:

นี่คือคำตอบ

ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังในตอนท้ายบางครั้งมีการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:

จากเจ็ดคนผีผ่านระดับง่าย ๆ ไม่ทำงาน พวกเขาไม่ใช่ญาติ ... ฉันจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร บางคนอาจสับสน ... แต่ผู้ที่อ่านหัวข้อ "ลอการิทึมคืออะไร" ในไซต์นี้ ยิ้มเท่าที่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:

ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ มีจำนวนเฉพาะที่ต้องการ แต่ในงาน "C" - ได้อย่างง่ายดาย

บทเรียนนี้แสดงตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด มาเน้นที่ตัวหลักกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนอื่นเรามาดูที่ บริเวณองศา มาดูกันว่าทำไม่ได้ เหมือน.ลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีอำนาจอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x ก็เปลี่ยนเป็นยกกำลังได้เช่นกัน!

2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปเมื่อด้านซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใดก็ได้ เราใช้ การกระทำที่มีอำนาจและ การแยกตัวประกอบสิ่งที่สามารถนับเป็นตัวเลขได้ - เรานับ

3. หากคำแนะนำที่สองไม่ได้ผล เราพยายามใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการที่แก้ได้ง่าย บ่อยที่สุด - สี่เหลี่ยม หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4. ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้องรู้องศาของตัวเลขบางตัว "จากการมอง"

ตามปกติ เมื่อสิ้นสุดบทเรียน คุณจะได้รับเชิญให้แก้ไขเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน

แก้สมการเลขชี้กำลัง:

ยากขึ้น:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

ค้นหาผลิตภัณฑ์จากราก:

2 3-x + 2 x = 9

เกิดขึ้น?

ดีละถ้าอย่างนั้น ตัวอย่างที่ยากที่สุด(ตัดสินใจ แต่ในใจ ... ):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

อะไรน่าสนใจกว่ากัน? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างดึงยากขึ้น ฉันจะบอกใบ้ว่าในตัวอย่างนี้ ความเฉลียวฉลาดและกฎที่เป็นสากลที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะช่วยประหยัดได้)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ตัวอย่างง่ายกว่าเพื่อการผ่อนคลาย):

9 2 x - 4 3 x = 0

และสำหรับขนม หาผลรวมของรากของสมการ:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ และสิ่งที่ต้องพิจารณาพวกเขาจะต้องได้รับการแก้ไข!) บทเรียนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแก้สมการ ต้องใช้ความฉลาด ... และใช่เกรดเจ็ดจะช่วยคุณได้ (นี่เป็นคำใบ้!)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):

หนึ่ง; 2; 3; สี่; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; สี่; 0.

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ยอดเยี่ยม.

มีปัญหา? ไม่มีปัญหา! ในส่วนพิเศษ 555 สมการเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้รับการแก้ไขพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่ายังมีข้อมูลที่มีค่าเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท ไม่เพียงแต่กับสิ่งเหล่านี้)

คำถามสุดท้ายที่น่าพิจารณา ในบทนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่ในสมการนี่เป็นสิ่งสำคัญมาก อย่างไรก็ตาม ...

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

สมการเลขชี้กำลัง ดังที่คุณทราบ USE มีสมการอย่างง่าย เราได้พิจารณาบางอย่างแล้ว - สิ่งเหล่านี้คือลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, ตรรกยะ นี่คือสมการเลขชี้กำลัง

ในบทความล่าสุด เราทำงานกับนิพจน์เลขชี้กำลัง ซึ่งจะเป็นประโยชน์ สมการนั้นได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายและรวดเร็ว เพียงต้องรู้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังและ ... เกี่ยวกับเรื่องนี้ไกลออกไป.

เราแสดงรายการคุณสมบัติของเลขชี้กำลัง:

เลขยกกำลังศูนย์ของจำนวนใด ๆ เท่ากับหนึ่ง

ผลของคุณสมบัตินี้:

ทฤษฎีเพิ่มเติมเล็กน้อย

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง กล่าวคือ สมการนี้มีรูปแบบดังนี้

ฉ(x) นิพจน์ที่มีตัวแปร

วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง

1. จากการแปลงรูป สมการสามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

จากนั้นเราใช้คุณสมบัติ:

2. เมื่อได้สมการของแบบฟอร์ม ฉ (x) = ขใช้คำจำกัดความของลอการิทึมเราได้รับ:

3. จากการแปลงคุณจะได้สมการของแบบฟอร์ม:

ลอการิทึมถูกนำไปใช้:

แสดงและค้นหา x

ในงาน ใช้ตัวเลือกมันจะเพียงพอที่จะใช้วิธีแรก

กล่าวคือ จำเป็นต้องแสดงส่วนซ้ายและขวาเป็นองศาที่มีฐานเดียวกัน จากนั้นเราจัดอินดิเคเตอร์ให้เท่ากันและแก้สมการเชิงเส้นปกติ

พิจารณาสมการ:

หารากของสมการ 4 1-2x = 64

จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าในส่วนซ้ายและขวามีนิพจน์เลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน เราสามารถแทน 64 เป็น 4 ยกกำลัง 3 เราได้รับ:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

การตรวจสอบ:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

คำตอบ: -1

หารากของสมการ 3 x-18 = 1/9

เป็นที่ทราบกันดีว่า

ดังนั้น 3 x-18 = 3 -2

ฐานเท่ากัน เราสามารถเทียบอินดิเคเตอร์ได้:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

การตรวจสอบ:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

คำตอบ: 16

ค้นหารากของสมการ:

ลองแทนเศษส่วน 1/64 เป็นหนึ่งในสี่ยกกำลังสาม:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

การตรวจสอบ:

คำตอบ: 11

ค้นหารากของสมการ:

ลองแทน 1/3 เป็น 3 -1 และ 9 เป็น 3 กำลังสอง เราได้:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

ตอนนี้เราสามารถเทียบอินดิเคเตอร์ได้:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

การตรวจสอบ:

คำตอบ: 5

26654. หารากของสมการ:

วิธีการแก้:

คำตอบ: 8.75

ที่จริงแล้ว ไม่ว่าเราจะยกกำลังอะไรเป็นจำนวนบวก a เราก็ไม่สามารถหาจำนวนติดลบได้ไม่ว่าด้วยวิธีใด

สมการเลขชี้กำลังใดๆ หลังจากการแปลงที่เหมาะสมจะลดเหลือการแก้สมการง่าย ๆ หนึ่งอย่างหรือมากกว่าในส่วนนี้เราจะพิจารณาการแก้สมการบางสมการด้วย อย่าพลาด!นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดีกับคุณ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

PS: ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณบอกเกี่ยวกับไซต์ในเครือข่ายสังคมออนไลน์

การบรรยาย: "วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง"

1 . สมการเลขชี้กำลัง

สมการที่มีค่าไม่ทราบค่าในเลขชี้กำลังเรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง สมการที่ง่ายที่สุดคือ ax = b โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1

1) สำหรับ b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) สำหรับ b > 0 โดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและทฤษฎีบทรูท สมการจะมีรากเดียว ในการค้นหา b ต้องแสดงเป็น b = aс, ax = bс ó x = c หรือ x = logab

สมการเลขชี้กำลังผ่านการแปลงพีชคณิตนำไปสู่สมการมาตรฐาน ซึ่งแก้ไขโดยใช้วิธีการต่อไปนี้

1) วิธีการลดเหลือฐานเดียว

2) วิธีการประเมิน

3) วิธีการแบบกราฟิก

4) วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

5) วิธีการแยกตัวประกอบ;

6) เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

7) เลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

2 . วิธีการลดให้เหลือพื้นฐานเดียว

วิธีการนี้ยึดตามคุณสมบัติของดีกรีต่อไปนี้: ถ้าสองดีกรีเท่ากันและฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจะเท่ากัน กล่าวคือ ต้องพยายามลดสมการให้อยู่ในรูป

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

1 . 3x=81;

มาแทนด้านขวาของสมการในรูปแบบ 81 = 34 และเขียนสมการที่เทียบเท่ากับ 3 x = 34 เดิม x = 4. คำตอบ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> และไปที่สมการของเลขชี้กำลัง 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 คำตอบ: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

โปรดทราบว่าตัวเลข 0.2, 0.04, √5 และ 25 ยกกำลัง 5 มาใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้และแปลงสมการดั้งเดิมดังนี้:

, ดังนั้น 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 จากที่เราพบคำตอบ x = -1 คำตอบ: -1.

5. 3x = 5. ตามนิยามของลอการิทึม x = log35 คำตอบ: บันทึก35.

6. 62x+4 = 33x 2x+8.

ลองเขียนสมการใหม่เป็น 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> ดังนั้น x - 4 =0, x = 4 คำตอบ: สี่

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9 โดยใช้คุณสมบัติของยกกำลัง เราเขียนสมการในรูปแบบ e. x+1 = 2, x =1 คำตอบ: 1.

ธนาคารงานครั้งที่ 1

แก้สมการ:

การทดสอบหมายเลข 1

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ไม่มีราก
	1) 7;1 2) ไม่มีราก 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

การทดสอบ #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ไม่มีราก 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 วิธีการประเมิน

ทฤษฎีบทราก: หากฟังก์ชัน f (x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลา I ตัวเลข a คือค่าใดๆ ที่ f นำมาใช้ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นสมการ f (x) = a จะมีรากเดียวบนช่วง I

เมื่อแก้สมการด้วยวิธีการประมาณค่า จะใช้ทฤษฎีบทนี้และคุณสมบัติความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: 1. 4x = 5 - x

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่เป็น 4x + x = 5

1. ถ้า x \u003d 1 แล้ว 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 เป็นจริง แล้ว 1 คือรากของสมการ

ฟังก์ชัน f(x) = 4x เพิ่มขึ้นใน R และ g(x) = x กำลังเพิ่มขึ้นบน R => h(x)= f(x)+g(x) เพิ่มขึ้นใน R โดยเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ดังนั้น x = 1 จึงเป็นรากเดียวของสมการ 4x = 5 – x คำตอบ: 1.

2.

วิธีการแก้. เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ .

1. ถ้า x = -1 แล้ว , 3 = 3 จริง ดังนั้น x = -1 จึงเป็นรากของสมการ

2. พิสูจน์ว่าเป็นเอกลักษณ์

3. ฟังก์ชัน f(x) = - ลดลงใน R และ g(x) = - x - ลดลงใน R => h(x) = f(x) + g(x) - ลดลงใน R เป็นผลรวม ของฟังก์ชันที่ลดลง ดังนั้นโดยทฤษฎีบทรูท x = -1 เป็นรูทเดียวของสมการ คำตอบ: -1.

ธนาคารงานครั้งที่ 2 แก้สมการ

ก) 4x + 1 = 6 - x;

ข)

ค) 2x – 2 =1 – x;

4. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

วิธีการอธิบายไว้ในหัวข้อ 2.1 การแนะนำตัวแปรใหม่ (การแทนที่) มักจะเกิดขึ้นหลังจากการแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของเงื่อนไขของสมการ พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง. Rกินสม: 1. .

มาเขียนสมการใหม่กัน: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ด้วยวิธีอื่น:

แสดงว่า https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ไม่เหมาะสม

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - สมการอตรรกยะ. เราสังเกตว่า

คำตอบของสมการคือ x = 2.5 ≤ 4 ดังนั้น 2.5 จึงเป็นรากของสมการ คำตอบ: 2.5.

วิธีการแก้. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแล้วหารทั้งสองข้างด้วย 56x+6 ≠ 0 เราจะได้สมการ

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1 ดังนั้น..png" width="118" height="56">

รากของสมการกำลังสอง - t1 = 1 และ t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

วิธีการแก้ . เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

และสังเกตว่ามันเป็นสมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

หารสมการด้วย 42x เราจะได้

แทนที่ https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">

คำตอบ: 0; 0.5.

ธนาคารงาน #3. แก้สมการ

ข)

ช)

ทดสอบ #3 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับต่ำสุด

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0	1) 2;1 2) -1;0 3) ไม่มีราก 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ไม่มีราก 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ทดสอบ #4 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับทั่วไป.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ไม่มีราก

5. วิธีการแยกตัวประกอบ.

1. แก้สมการ: 5x+1 - 5x-1 = 24

Solution..png" width="169" height="69"> จากที่ไหน

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2

วิธีการแก้. ให้เราเอา 6x ออกมาทางซ้ายของสมการและ 2x ทางขวา เราได้สมการ 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x

เนื่องจาก 2x >0 สำหรับ x ทั้งหมด เราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 2x โดยไม่ต้องกลัวว่าจะสูญเสียคำตอบ เราได้ 3x = 1ó x = 0

3.

วิธีการแก้. เราแก้สมการโดยแฟคตอริ่ง

เราเลือกกำลังสองของทวินาม

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 คือรากของสมการ

สมการ x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

การทดสอบ #6 ระดับทั่วไป.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) บันทึก43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

สมการเลขชี้กำลังติดกับสิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังยกกำลัง กล่าวคือ สมการของรูปแบบ (f(x))g(x) = (f(x))h(x)

หากทราบว่า f(x)>0 และ f(x) ≠ 1 สมการเช่นเดียวกับเลขชี้กำลังจะได้รับการแก้ไขโดยการหาค่าเลขชี้กำลัง g(x) = f(x)

หากเงื่อนไขไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของ f(x)=0 และ f(x)=1 เราต้องพิจารณากรณีเหล่านี้เมื่อแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

วิธีการแก้. x2 +2x-8 - สมเหตุสมผลสำหรับ x ใดๆ เพราะพหุนาม ดังนั้นสมการจึงเท่ากับเซต

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ข)

7. สมการเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

1. สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ p ในสมการ 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) มี การตัดสินใจเท่านั้น?

วิธีการแก้. ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลง 2x = t, t > 0 จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 (2)

ตัวจำแนกสมการ (2) คือ D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2

สมการ (1) มีคำตอบเฉพาะถ้าสมการ (2) มีรากเป็นบวกหนึ่งราก เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้

1. ถ้า D = 0 นั่นคือ p = 1 สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 2t + 1 = 0 ดังนั้น t = 1 ดังนั้น สมการ (1) จึงมีคำตอบเฉพาะ x = 0

2. ถ้า p1 แล้ว 9(p – 1)2 > 0 สมการ (2) จะมีรากต่างกันสองราก t1 = p, t2 = 4p – 3 ชุดของระบบเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

แทน t1 และ t2 ลงในระบบ เรามี

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11"" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

วิธีการแก้. อนุญาต จากนั้นสมการ (3) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 6t – a = 0 (4)

ให้เราหาค่าของพารามิเตอร์ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของสมการ (4) ตรงตามเงื่อนไข t > 0

ให้เราแนะนำฟังก์ชัน f(t) = t2 – 6t – a กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

กรณีที่ 2 สมการ (4) มีคำตอบที่เป็นบวกเฉพาะ if

D = 0 ถ้า a = – 9 แล้วสมการ (4) จะอยู่ในรูปแบบ (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1

กรณีที่ 3 สมการ (4) มีสองราก แต่หนึ่งในนั้นไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน t > 0 สิ่งนี้เป็นไปได้ถ้า

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17"" width="267" height="63">!}

ดังนั้น ที่สมการ a 0 (4) มีรูตบวกเดียว . จากนั้นสมการ (3) จะมีคำตอบเฉพาะ

สำหรับ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ถ้า< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ถ้า a = – 9 แล้ว x = – 1;

ถ้า  0 แล้ว

ให้เราเปรียบเทียบวิธีการแก้สมการ (1) และ (3) สังเกตว่าเมื่อแก้สมการ (1) ถูกลดให้เป็นสมการกำลังสอง การเลือกปฏิบัติจะเป็นกำลังสองเต็ม ดังนั้น รากของสมการ (2) ถูกคำนวณทันทีโดยสูตรของรากของสมการกำลังสอง จากนั้นจึงสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับรากเหล่านี้ สมการ (3) ถูกลดขนาดเป็นสมการกำลังสอง (4) ซึ่งดิสคริมิแนนต์นั้นไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นเมื่อแก้สมการ (3) ขอแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทกับตำแหน่งของรากของไตรโนเมียลกำลังสองและ แบบจำลองกราฟิก โปรดทราบว่าสมการ (4) สามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

มาแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ

วิธีการแก้. ODZ: x1, x2.

มาแนะนำตัวแทนกัน ให้ 2x = t, t > 0 จากนั้นผลลัพธ์ของการแปลงสมการจะอยู่ในรูปแบบ t2 + 2t – 13 – a = 0 (*) ค้นหาค่าของ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของ สมการ (*) เป็นไปตามเงื่อนไข t > 0

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

คำตอบ: ถ้า a > - 13, a  11, a  5, แล้วถ้า a - 13,

a = 11, a = 5 แล้วไม่มีราก

บรรณานุกรม.

1. Guzeev รากฐานของเทคโนโลยีการศึกษา

2. เทคโนโลยี Guzeev: จากการต้อนรับสู่ปรัชญา

ม. "อาจารย์ใหญ่" ครั้งที่ 4, 2539

3. Guzeev และรูปแบบการศึกษาขององค์กร

4. Guzeev และการฝึกฝนเทคโนโลยีการศึกษาแบบบูรณาการ

ม. " การศึกษาของรัฐ", 2001

5. Guzeev จากรูปแบบของบทเรียน - สัมมนา

คณิตศาสตร์ ม.2 ปี 2530 หน้า 9 - 11

6. เทคโนโลยีการศึกษาของ Selevko

M. "การศึกษาของประชาชน", 1998

7. เด็กนักเรียน Episheva เรียนรู้คณิตศาสตร์

M. "การตรัสรู้", 1990

8. Ivanov เพื่อเตรียมบทเรียน - เวิร์กช็อป

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 6, 1990, p. 37-40.

9. แบบจำลองการสอนคณิตศาสตร์ของ Smirnov

คณิตศาสตร์ ม.1 พ.ศ.2540 น. 32-36.

10. Tarasenko วิธีการจัดระเบียบการทำงานจริง

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 1, 1993, p. 27 - 28.

11. เกี่ยวกับงานประเภทใดประเภทหนึ่ง

คณิตศาสตร์ในโรงเรียนหมายเลข 2, 1994, หน้า 63 - 64.

12. Khazankin ทักษะความคิดสร้างสรรค์เด็กนักเรียน

คณิตศาสตร์โรงเรียน ครั้งที่ 2, 1989, น. สิบ.

13. สกานาวี สำนักพิมพ์, 1997

14. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สื่อการสอนสำหรับ

15. งาน Krivonogov ในวิชาคณิตศาสตร์

ม. "1 กันยายน", 2002

16. เชอร์กาซอฟ คู่มือสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและ

เข้ามหาวิทยาลัย "เอเอสที - โรงเรียนข่าว", 2545

17. Zhevnyak สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย

มินสค์และ RF "ทบทวน" พ.ศ. 2539

18. เขียน D. การเตรียมตัวสอบวิชาคณิตศาสตร์. M. Rolf, 1999

19. และอื่นๆ เรียนรู้การแก้สมการและอสมการ

ม. "ปัญญา - ศูนย์กลาง", 2546

20. และอื่นๆ สื่อการศึกษาและฝึกอบรมเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับ E G E.

M. "Intellect - Center", 2546 และ 2547

21 และอื่น ๆ รูปแบบของ CMM ศูนย์ทดสอบของกระทรวงกลาโหมของสหพันธรัฐรัสเซีย, 2002, 2003

22. สมการโกลด์เบิร์ก "ควอนตัม" ครั้งที่ 3 พ.ศ. 2514

23. Volovich M. วิธีสอนคณิตศาสตร์ให้ประสบความสำเร็จ

คณิตศาสตร์ 1997 ครั้งที่ 3

24 Okunev สำหรับบทเรียนเด็ก ๆ ! M. การตรัสรู้, 1988

25. Yakimanskaya - การศึกษาเชิงรุกที่โรงเรียน

26. Liimets ทำงานในบทเรียน ม. ความรู้, 1975

บทเรียนนี้จัดทำขึ้นสำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้สมการเลขชี้กำลัง และเช่นเคย มาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างง่ายๆ กัน

หากคุณกำลังอ่านบทเรียนนี้ ฉันสงสัยว่าอย่างน้อยคุณก็มีความเข้าใจในสมการที่ง่ายที่สุดแล้ว - เชิงเส้นและกำลังสอง: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ เป็นต้น เพื่อให้สามารถแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวได้มีความจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อไม่ให้ "ค้าง" ในหัวข้อที่จะกล่าวถึงในตอนนี้

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง ให้ฉันยกตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

บางอย่างอาจดูซับซ้อนสำหรับคุณ ในทางกลับกัน บางอย่างอาจดูง่ายเกินไป แต่ทั้งหมดนั้นรวมกันเป็นหนึ่งคุณลักษณะที่สำคัญ: พวกมันมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความ:

สมการเลขชี้กำลังคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง กล่าวคือ นิพจน์ของแบบฟอร์ม $((a)^(x))$ นอกเหนือจากฟังก์ชันที่ระบุ สมการดังกล่าวสามารถมีโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ เช่น พหุนาม ราก ตรีโกณมิติ ลอการิทึม เป็นต้น

โอเคถ้าอย่างนั้น. เข้าใจความหมายแล้ว ตอนนี้คำถามคือ: จะแก้ปัญหาอึทั้งหมดนี้ได้อย่างไร? คำตอบนั้นทั้งง่ายและซับซ้อนในเวลาเดียวกัน

เริ่มต้นด้วยข่าวดี: จากประสบการณ์ของฉันกับนักเรียนหลายๆ คน ฉันสามารถพูดได้ว่าสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ สมการเลขชี้กำลังง่ายกว่าลอการิทึมเดียวกันมาก และตรีโกณมิติยิ่งกว่านั้นอีก

แต่ก็ยังมี ข่าวร้าย: บางครั้งผู้รวบรวมปัญหาสำหรับหนังสือเรียนและข้อสอบทุกประเภทล้วนถูก "ดลใจ" เข้าเยี่ยมชม และสมองที่ติดยาก็เริ่มสร้างสมการที่โหดเหี้ยมจนกลายเป็นปัญหา ไม่เพียงแต่ให้นักเรียนแก้ปัญหาเท่านั้น - แม้แต่ครูจำนวนมากก็ยังติดอยู่ ปัญหาดังกล่าว

อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงเรื่องน่าเศร้า และกลับมาที่สมการทั้งสามที่ให้ไว้ตอนต้นเรื่อง มาลองแก้ปัญหาแต่ละข้อกัน

สมการแรก: $((2)^(x))=4$. แล้วเลข 2 ต้องยกกำลังอะไรถึงจะได้เลข 4? บางทีที่สอง? ท้ายที่สุด $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — และเราได้ค่าความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้องแล้ว นั่นคือ แน่นอน $x=2$ อืม ขอบคุณมาก แต่สมการนี้ง่ายมากที่แม้แต่แมวของฉันก็แก้ได้ :)

ลองดูสมการต่อไปนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

แต่ที่นี่ยากขึ้นเล็กน้อย นักเรียนหลายคนรู้ว่า $((5)^(2))=25$ เป็นตารางสูตรคูณ บางคนยังสงสัยว่า $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ เป็นคำจำกัดความโดยพื้นฐานแล้ว พลังลบ(โดยการเปรียบเทียบกับสูตร $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$)

สุดท้าย มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่เดาได้ว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถรวมกันได้และผลลัพธ์ที่ได้คือผลลัพธ์ต่อไปนี้:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ดังนั้นสมการเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

และตอนนี้ก็ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว! ทางด้านซ้ายของสมการจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทางด้านขวาของสมการจะมีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไม่มีอะไรเลยนอกจากฟังก์ชันดังกล่าวในที่อื่น ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ "ละทิ้ง" ฐานและเทียบเคียงตัวชี้วัดอย่างโง่เขลา:

เราได้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนทุกคนสามารถแก้ได้ในเวลาเพียงไม่กี่บรรทัด โอเค ในสี่บรรทัด:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

หากคุณไม่เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในสี่บรรทัดสุดท้าย ให้กลับไปที่หัวข้อ “ สมการเชิงเส้น' และทำซ้ำ เนื่องจากหากไม่มีการซึมซับที่ชัดเจนของหัวข้อนี้ มันเร็วเกินไปสำหรับคุณที่จะใช้สมการเลขชี้กำลัง

\[((9)^(x))=-3\]

แล้วคุณล่ะ ตัดสินใจอย่างไร? ความคิดแรก: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ ดังนั้นสมการเดิมจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

จากนั้นเราจำได้ว่าเมื่อเพิ่มระดับเป็นกำลัง ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

และสำหรับการตัดสินใจเช่นนี้ เราได้ผีสางที่สมควรได้รับอย่างแท้จริง สำหรับเรา ด้วยความใจเย็นของโปเกมอน เราส่งเครื่องหมายลบที่อยู่ข้างหน้าทั้งสามไปยังกำลังของสามตัวนี้ และคุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และนั่นเป็นเหตุผล ดูพลังที่แตกต่างกันของสาม:

\[\begin(เมทริกซ์) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(เมทริกซ์)\]

รวบรวมแท็บเล็ตนี้ทันทีที่ฉันไม่ได้บิดเบือน: และ องศาบวกพิจารณาและลบและแม้กระทั่งเศษส่วน ... อย่างน้อยหนึ่ง ตัวเลขติดลบ? เขาไม่ได้! และเป็นไปไม่ได้ เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $y=((a)^(x))$ อย่างแรก จะใช้เพียง ค่าบวก(ไม่ว่าคุณจะคูณหนึ่งหรือหารด้วยสองเท่าไหร่ มันก็ยังคงเป็นจำนวนบวก) และประการที่สอง ฐานของฟังก์ชันดังกล่าว - จำนวน $a$ - โดยนิยามว่าเป็นจำนวนบวก!

แล้วจะแก้สมการ $((9)^(x))=-3$ ได้อย่างไร? ไม่ไม่มีราก และในแง่นี้ สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับสมการกำลังสองมาก อาจไม่มีรากก็ได้ แต่ถ้าในสมการกำลังสอง จำนวนของรากถูกกำหนดโดย discriminant (ตัวจำแนกเป็นค่าบวก - 2 ราก, ค่าลบ - ไม่มีราก) ดังนั้นในสมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าอะไรอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

ดังนั้นเราจึงกำหนดข้อสรุปที่สำคัญ: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ มีรากก็ต่อเมื่อ $b>0$ เมื่อทราบข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ คุณก็สามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าสมการที่เสนอให้คุณมีรากหรือไม่ เหล่านั้น. มันคุ้มค่าที่จะแก้เลยหรือเขียนทันทีว่าไม่มีราก

ความรู้นี้จะช่วยเราได้มากกว่าหนึ่งครั้ง เมื่อเราต้องตัดสินใจมากกว่านี้ งานที่ท้าทาย. ในระหว่างนี้เนื้อเพลงเพียงพอ - ถึงเวลาศึกษาอัลกอริทึมพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

วิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง

ดังนั้น มากำหนดปัญหากัน จำเป็นต้องแก้สมการเลขชี้กำลัง:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

ตามอัลกอริธึม "ไร้เดียงสา" ที่เราใช้ก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดงตัวเลข $b$ เป็นกำลังของตัวเลข $a$:

นอกจากนี้ หากมีนิพจน์แทนตัวแปร $x$ เราก็จะได้สมการใหม่ที่แก้ได้อยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((2)^(x))=8\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(3))\ลูกศรขวา x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

และน่าแปลกที่โครงการนี้ใช้ได้ประมาณ 90% ของกรณีทั้งหมด แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? ส่วนที่เหลืออีก 10% เป็นสมการเลขชี้กำลัง "โรคจิตเภท" เล็กน้อยของรูปแบบ:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

ต้องยก 2 ถึง 3 ให้ได้กำลังเท่าไหร่? ในครั้งแรก? แต่ไม่: $((2)^(1))=2$ ไม่เพียงพอ ในวินาที? ไม่เลย: $((2)^(2))=4$ มากเกินไป แล้วไง?

นักเรียนที่มีความรู้คงเดาไปแล้ว: ในกรณีเช่นนี้ เมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ "อย่างสวยงาม", "ปืนใหญ่" ก็เชื่อมโยงกับคดีนี้ - ลอการิทึม ผมขอเตือนคุณว่าการใช้ลอการิทึม จำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นกำลังของจำนวนบวกอื่นๆ (ยกเว้นหนึ่ง)

จำสูตรนี้ได้หรือไม่? เมื่อฉันบอกนักเรียนเกี่ยวกับลอการิทึม ฉันมักจะเตือนคุณเสมอว่า สูตรนี้ (มันคือเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน หรือถ้าคุณชอบ นิยามของลอการิทึม) จะหลอกหลอนคุณเป็นเวลานานมากและ "โผล่ออกมา" มากที่สุด สถานที่ที่ไม่คาดคิด เธอก็โผล่มา ลองดูสมการของเราและสูตรนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(จัดตำแหน่ง) \]

หากเราคิดว่า $a=3$ เป็นจำนวนเดิมทางด้านขวา และ $b=2$ เป็นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งเราต้องการลดด้านขวาลง เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้คำตอบแปลก ๆ เล็กน้อย: $x=((\log )_(2))3$ ในงานอื่นๆ ด้วยคำตอบดังกล่าว หลายคนอาจสงสัยและเริ่มตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาซ้ำอีกครั้ง: จะเกิดอะไรขึ้นหากมีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่ง ฉันรีบเร่งให้คุณพอใจ: ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่ และลอการิทึมในรากของสมการเลขชี้กำลังเป็นสถานการณ์ทั่วไป ดังนั้นจงชินกับมัน :)

ตอนนี้เราแก้โดยการเปรียบเทียบสองสมการที่เหลือ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x))=15\ลูกศรขวา ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \ลูกศรขวา x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! อย่างไรก็ตาม คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนได้แตกต่างออกไป:

เราเป็นผู้แนะนำตัวคูณในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ไม่มีใครป้องกันเราจากการเพิ่มปัจจัยนี้เข้ากับฐาน:

ในกรณีนี้ทั้งสามตัวเลือกนั้นถูกต้อง - มันก็แค่ รูปแบบต่างๆบันทึกหมายเลขเดียวกัน อันไหนที่จะเลือกและจดไว้ในการตัดสินใจนี้ขึ้นอยู่กับคุณ

ดังนั้น เราได้เรียนรู้ที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ โดยที่ตัวเลข $a$ และ $b$ เป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ความเป็นจริงที่รุนแรงโลกของเราก็คล้ายกัน งานง่ายๆจะพบคุณน้อยมาก บ่อยครั้งคุณจะเจอสิ่งนี้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วคุณล่ะ ตัดสินใจอย่างไร? สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้หรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นอย่างไร?

ไม่มีความตื่นตระหนก สมการทั้งหมดเหล่านี้ลดลงอย่างรวดเร็วและง่ายดายเป็น สูตรง่ายๆที่เราได้พิจารณาแล้ว คุณเพียงแค่ต้องรู้เพื่อจำเทคนิคสองสามข้อจากหลักสูตรพีชคณิต และแน่นอนว่าไม่มีกฎเกณฑ์ในการทำงานกับปริญญาที่นี่ ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ทั้งหมดตอนนี้ :)

การแปลงสมการเลขชี้กำลัง

สิ่งแรกที่ต้องจำไว้คือสมการเลขชี้กำลังใดๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง จะต้องถูกลดทอนให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุด - อันที่เราได้พิจารณาไปแล้วและเรารู้วิธีแก้สมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แบบแผนสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ จะมีลักษณะดังนี้:

1. เขียนสมการเดิม. ตัวอย่างเช่น: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. ทำเหี้ยไรเนี่ย. หรือแม้แต่เรื่องไร้สาระที่เรียกว่า "เปลี่ยนสมการ";
3. ที่เอาต์พุต รับนิพจน์ที่ง่ายที่สุด เช่น $((4)^(x))=4$ หรืออย่างอื่นที่ต้องการ นอกจากนี้ สมการตั้งต้นหนึ่งสมการสามารถให้นิพจน์ดังกล่าวได้หลายนิพจน์ในคราวเดียว

ในประเด็นแรก ทุกอย่างชัดเจน แม้แต่แมวของฉันสามารถเขียนสมการลงบนใบไม้ได้ ด้วยจุดที่สาม ดูเหมือนว่าจะชัดเจนไม่มากก็น้อย - เราได้แก้สมการดังกล่าวทั้งหมดข้างต้นแล้ว

แต่ประเด็นที่สองล่ะ? การเปลี่ยนแปลงคืออะไร? จะแปลงเป็นอะไร แล้วยังไง?

เอาล่ะลองคิดดู ก่อนอื่นฉันอยากจะชี้ให้เห็นต่อไปนี้ สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

1. สมการประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ตัวอย่าง: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. สูตรประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่าง: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ and $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

เริ่มจากสมการประเภทแรกกัน - พวกมันแก้ได้ง่ายที่สุด และในการแก้ปัญหานั้น เราจะได้รับความช่วยเหลือจากเทคนิค เช่น การเลือกนิพจน์ที่เสถียร

เน้นการแสดงออกที่มั่นคง

ลองดูสมการนี้อีกครั้ง:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

เราเห็นอะไร? ทั้งสี่ถูกยกขึ้นในระดับที่แตกต่างกัน แต่ยกกำลังทั้งหมดเหล่านี้เป็นผลรวมอย่างง่ายของตัวแปร $x$ กับตัวเลขอื่น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำกฎสำหรับการทำงานกับองศา:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ การเพิ่มเลขชี้กำลังสามารถแปลงเป็นผลคูณของยกกำลัง และการลบจะถูกแปลงเป็นการหารอย่างง่ายดาย ลองใช้สูตรเหล่านี้กับกำลังจากสมการของเรา:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(จัดตำแหน่ง)\]

เราเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ แล้วรวบรวมเงื่อนไขทั้งหมดทางด้านซ้าย:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -สิบเอ็ด; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-(4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

คำศัพท์สี่คำแรกมีองค์ประกอบ $((4)^(x))$ — ลองเอามันออกจากวงเล็บ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

มันยังคงหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยเศษส่วน $-\frac(11)(4)$ เช่น คูณด้วยเศษส่วนที่กลับหัว - $-\frac(4)(11)$ เราได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! เราลดสมการดั้งเดิมให้ง่ายที่สุดและได้คำตอบสุดท้าย

ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการแก้ไข เราค้นพบ (และแม้กระทั่งเอาออกจากวงเล็บ) ปัจจัยร่วม $((4)^(x))$ - นี่คือนิพจน์ที่เสถียร มันสามารถกำหนดให้เป็นตัวแปรใหม่ หรือคุณสามารถแสดงออกมาให้ถูกต้องและรับคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม, หลักการสำคัญโซลูชั่นมีดังต่อไปนี้:

ค้นหานิพจน์คงที่ในสมการดั้งเดิมซึ่งมีตัวแปรที่แยกแยะได้ง่ายจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมด

ข่าวดีก็คือว่าเกือบทุกสมการเลขชี้กำลังยอมรับนิพจน์ที่มีเสถียรภาพดังกล่าว

แต่ก็มีข่าวร้ายเช่นกัน: สำนวนดังกล่าวอาจเป็นเรื่องยากมาก และอาจแยกแยะได้ยากทีเดียว ลองดูปัญหาอื่น:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

บางทีตอนนี้บางคนอาจมีคำถาม:“ มหาอำมาตย์คุณเมาแล้วหรือยัง? นี่คือฐานที่แตกต่างกัน - 5 และ 0.2 แต่ลองแปลงกำลังด้วยฐาน 0.2 ตัวอย่างเช่น กำจัดเศษส่วนทศนิยมให้กลายเป็นปกติ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

อย่างที่คุณเห็น เลข 5 ยังคงปรากฏอยู่ แม้ว่าจะอยู่ในตัวส่วนก็ตาม ในเวลาเดียวกัน ตัวบ่งชี้ถูกเขียนใหม่เป็นค่าลบ และตอนนี้เราจำหนึ่งใน กฎสำคัญทำงานกับองศา:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

แน่นอนว่าที่นี่ฉันโกงนิดหน่อย เพราะเพื่อให้เข้าใจอย่างถ่องแท้ ต้องเขียนสูตรการกำจัดตัวบ่งชี้เชิงลบดังนี้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ ขวา))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

ในทางกลับกัน ไม่มีอะไรขัดขวางเราไม่ให้ทำงานกับเศษส่วนเพียงส่วนเดียว:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1))] \ ขวา))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

แต่ในกรณีนี้ คุณต้องสามารถยกระดับขึ้นไปอีกระดับหนึ่งได้ (ฉันขอเตือนคุณว่า: ในกรณีนี้ ตัวชี้วัดจะถูกรวมเข้าด้วยกัน) แต่ฉันไม่ต้อง "พลิก" เศษส่วน - บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับบางคน :)

ไม่ว่าในกรณีใด สมการเลขชี้กำลังเดิมจะถูกเขียนใหม่เป็น:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้น ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมแก้ได้ง่ายกว่าสมการที่พิจารณาก่อนหน้านี้: ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องแยกนิพจน์ที่เสถียรออกมา - ทุกอย่างลดขนาดลงด้วยตัวมันเอง ยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่า $1=((5)^(0))$ ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด! เราได้คำตอบสุดท้าย: $x=-2$ ในเวลาเดียวกัน ฉันต้องการทราบเคล็ดลับหนึ่งข้อที่ทำให้การคำนวณทั้งหมดของเราง่ายขึ้นมาก:

ในสมการเลขชี้กำลัง ต้องแน่ใจว่าได้กำจัด เศษส่วนทศนิยม, แปลงให้เป็นปกติ นี้จะช่วยให้คุณเห็นค่าฐานเดียวกันของดีกรีและทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งมีฐานต่างกัน ซึ่งโดยทั่วไปจะไม่ลดขนาดลงซึ่งกันและกันด้วยความช่วยเหลือของยกกำลัง

การใช้คุณสมบัติเลขชี้กำลัง

ผมขอเตือนคุณว่าเรามีสมการที่รุนแรงมากขึ้นอีกสองสมการ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ปัญหาหลักในที่นี้คือยังไม่ชัดเจนว่าจะนำไปสู่อะไรและพื้นฐานอะไร นิพจน์คงที่อยู่ที่ไหน พื้นที่ส่วนกลางอยู่ที่ไหน? ไม่มีสิ่งนี้

แต่เราลองไปทางอื่น ถ้าไม่พร้อม ฐานเดียวกันคุณสามารถลองค้นหาได้โดยแยกตัวประกอบฐานที่มีอยู่

เริ่มจากสมการแรกกันก่อน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - สร้างตัวเลข 21 จากตัวเลข 7 และ 3 ทางด้านซ้ายโดยเฉพาะ เนื่องจากตัวบ่งชี้ของทั้งสององศาเหมือนกัน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทั้งหมด! คุณเอาเลขชี้กำลังออกจากผลคูณและได้สมการที่สวยงามในทันทีที่แก้ได้ในสองสามบรรทัด

ทีนี้มาจัดการกับสมการที่สองกัน ทุกอย่างซับซ้อนกว่านี้มาก:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ในกรณีนี้ เศษส่วนกลับกลายเป็นว่าลดไม่ได้ แต่ถ้ามีอะไรลดได้ ให้ลดมันลง ซึ่งมักจะส่งผลให้เกิดประเด็นที่น่าสนใจที่คุณสามารถใช้งานได้อยู่แล้ว

ขออภัย เราไม่ได้คิดอะไร แต่เราเห็นว่าเลขชี้กำลังทางซ้ายในผลคูณอยู่ตรงข้าม:

ผมขอเตือนคุณว่า: เพื่อกำจัดเครื่องหมายลบในตัวยกกำลัง คุณเพียงแค่ "พลิก" เศษส่วน ลองเขียนสมการเดิมใหม่:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100) \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ในบรรทัดที่สอง เราเพิ่งวงเล็บรวมจากผลิตภัณฑ์ตามกฎ $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$ และสุดท้ายพวกเขาก็คูณตัวเลข 100 ด้วยเศษส่วน

ตอนนี้โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านซ้าย (ที่ฐาน) และด้านขวาค่อนข้างคล้ายกัน ยังไง? ใช่ เห็นได้ชัดว่ามันเป็นพลังของเลขเดียวกัน! เรามี:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& \frac(1000)(27)=\frac((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

ในเวลาเดียวกัน ทางด้านขวา คุณสามารถรับปริญญาด้วยฐานเดียวกัน ซึ่งเพียงพอที่จะ "พลิก" เศษส่วน:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

ในที่สุด สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือทางออกทั้งหมด แนวคิดหลักมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าถึงแม้จะใช้พื้นที่ต่างกัน แต่เราพยายามใช้เบ็ดหรือข้อพับเพื่อลดพื้นที่เหล่านี้ให้เป็นแบบเดียวกัน ในเรื่องนี้ เราได้รับความช่วยเหลือจากการแปลงสมการเบื้องต้นและกฎสำหรับการทำงานกับกำลัง

แต่กฎอะไรและเมื่อใดควรใช้? จะเข้าใจได้อย่างไรว่าในสมการหนึ่งคุณต้องหารทั้งสองข้างด้วยบางอย่างและในอีกสมการหนึ่ง - เพื่อแยกตัวประกอบฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

คำตอบสำหรับคำถามนี้จะมาพร้อมกับประสบการณ์ ลองใช้สมการง่ายๆ ก่อน แล้วค่อยๆ ทำให้งานซับซ้อนขึ้น และในไม่ช้า ทักษะของคุณจะเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังจาก USE เดียวกันหรืองานอิสระ/ทดสอบใดๆ

และเพื่อช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ ฉันแนะนำให้ดาวน์โหลดชุดสมการบนเว็บไซต์ของฉันเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ สมการทั้งหมดมีคำตอบ ดังนั้นคุณสามารถตรวจสอบตัวเองได้ตลอดเวลา