สมการอตรรกยะ. คู่มือฉบับสมบูรณ์ การแปลงนิพจน์อตรรกยะ

นิพจน์อตรรกยะและการเปลี่ยนแปลง

ครั้งล่าสุดที่เราจำได้ (หรือค้นพบ - ใครๆ ก็ชอบ) คืออะไร เรียนรู้วิธีสกัดรากดังกล่าว แยกคุณสมบัติหลักของรากออกทีละชิ้น และตัดสินใจไม่ทำ ตัวอย่างที่ซับซ้อนมีราก

บทเรียนนี้จะต่อเนื่องจากบทที่แล้ว และจะทุ่มเทให้กับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่หลากหลายซึ่งมีรากเหง้าทุกประเภท นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่า ไม่มีเหตุผล. ที่นี่จะมีการแสดงออกด้วยตัวอักษร เงื่อนไขเพิ่มเติม และการกำจัดอตรรกยะในเศษส่วน และเทคนิคขั้นสูงบางอย่างในการทำงานกับราก เทคนิคเหล่านั้นที่จะนำมาพิจารณาในบทเรียนนี้จะกลายเป็นพื้นฐานที่ดีสำหรับการแก้ปัญหาของการสอบแบบรวมศูนย์ (และไม่เพียงเท่านั้น) ในเกือบทุกระดับของความซับซ้อน มาเริ่มกันเลย

ก่อนอื่นฉันจะทำซ้ำสูตรพื้นฐานและคุณสมบัติของรากที่นี่ เพื่อไม่ให้ข้ามจากหัวข้อหนึ่งไปยังอีกหัวข้อหนึ่ง พวกเขาอยู่ที่นี่:

ที่

สูตรเหล่านี้ต้องรู้และนำไปใช้ได้ และทั้งสองทิศทาง - ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย มันอยู่ที่วิธีแก้ปัญหาของงานส่วนใหญ่ที่มีรากของระดับความซับซ้อนใด ๆ เริ่มจากวิธีที่ง่ายที่สุด - ด้วยการใช้สูตรหรือชุดค่าผสมโดยตรง

ใช้สูตรได้ง่าย

ในส่วนนี้จะพิจารณาตัวอย่างที่เรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย - โดยไม่มีตัวอักษร เงื่อนไขเพิ่มเติม และเทคนิคอื่นๆ อย่างไรก็ตามแม้จะมีตัวเลือกให้เลือกตามกฎแล้ว และยิ่งตัวอย่างแฟนซีมากเท่าไหร่ตัวเลือกดังกล่าวก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์ก็มี ปัญหาหลัก– จะเริ่มต้นที่ไหน? คำตอบที่นี่ง่ายมาก - คุณไม่รู้จะทำอย่างไร ทำในสิ่งที่คุณทำได้. หากการกระทำของคุณดำเนินไปอย่างสันติและสอดคล้องกับกฎของคณิตศาสตร์และไม่ขัดแย้งกับกฎเหล่านั้น) ตัวอย่างเช่น งานดังกล่าว:

คำนวณ:

แม้แต่ในตัวอย่างง่ายๆ ก็ยังมีเส้นทางไปสู่คำตอบได้หลายทาง

วิธีแรกคือการคูณรากด้วยคุณสมบัติแรกและแยกรากออกจากผลลัพธ์:

ตัวเลือกที่สองคือ ห้ามแตะต้อง ทำงานกับ . เรานำปัจจัยออกจากใต้สัญลักษณ์ของรูตแล้ว - ตามคุณสมบัติแรก แบบนี้:

คุณสามารถตัดสินใจได้ตามที่คุณต้องการ ในตัวเลือกใด ๆ คำตอบคือหนึ่งถึงแปด ตัวอย่างเช่น มันง่ายกว่าสำหรับฉันที่จะคูณ 4 กับ 128 แล้วได้ 512 และรากที่สามก็แยกออกมาจากตัวเลขนี้ได้อย่างสมบูรณ์แบบ หากมีคนจำไม่ได้ว่า 512 คือ 8 ลูกบาศก์ ก็ไม่เป็นไร คุณสามารถเขียน 512 เป็น 2 9 (ฉันหวังว่าคุณจะจำ 10 ยกกำลัง 10 ของสองได้?) และใช้สูตรของรากของดีกรี:

ตัวอย่างอื่น.

คำนวณ: .

หากคุณทำงานในคุณสมบัติแรก (ขับทุกอย่างภายใต้รูทเดียว) คุณจะได้ตัวเลขจำนวนมากซึ่งรูตจะถูกแยกออกมา - ไม่ใช่น้ำตาลด้วย และไม่ใช่ความจริงที่ว่าจะถูกดึงออกมาเท่าๆ กัน) ดังนั้น จึงเป็นประโยชน์ในการดึงตัวประกอบจากใต้รากของจำนวนออกมา และนำไปให้สูงสุด:

และตอนนี้ทุกอย่างเรียบร้อยดี:

มันยังคงเขียนแปดและสองภายใต้รูทเดียว (ตามคุณสมบัติแรก) และ - เคสพร้อมแล้ว :)

ทีนี้มาบวกเศษส่วนกัน

คำนวณ:

ตัวอย่างค่อนข้างดั้งเดิม แต่ก็มีตัวเลือกเช่นกัน คุณสามารถใช้ตัวคูณเพื่อแปลงตัวเศษและลดด้วยตัวส่วน:

และคุณสามารถใช้สูตรหารรากได้ทันที:

อย่างที่คุณเห็นวิธีนี้และนั่น - ทุกอย่างถูกต้อง) หากคุณไม่สะดุดกลางคันและทำผิดพลาด แต่ผิดตรงไหน...

ให้เราพิจารณาตัวอย่างล่าสุดของ การบ้านบทเรียนสุดท้าย:

ลดความซับซ้อน:

ชุดรากที่คิดไม่ถึงและแม้กระทั่งชุดที่ซ้อนกัน จะเป็นอย่างไร? สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกลัว! ก่อนอื่นเราจะสังเกตใต้รากของเลข 2, 4 และ 32 ซึ่งเป็นเลขยกกำลังสอง สิ่งแรกที่ต้องทำคือนำตัวเลขทั้งหมดเป็นสอง: ยิ่งในตัวอย่างมีตัวเลขที่เหมือนกันมากขึ้นและยิ่งต่างกันน้อยลงเท่าไรก็ยิ่งง่ายขึ้นเท่านั้น) เรามาเริ่มแยกกันด้วยปัจจัยแรก:

ตัวเลขสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการลดสองภายใต้รากด้วยสี่ในเลขชี้กำลังของราก:

ตอนนี้ตามรากของงาน:

.

ในจำนวนที่เรานำผีสางออกเพื่อเป็นสัญลักษณ์แห่งราก:

และเราจัดการกับนิพจน์ตามสูตรของรูทจากรูท:

ดังนั้นปัจจัยแรกจะเขียนดังนี้:

รากที่ซ้อนกันหายไปจำนวนก็น้อยลงซึ่งเป็นที่พอใจแล้ว นั่นเป็นเพียงรากที่แตกต่างกัน แต่สำหรับตอนนี้เราจะปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น มันจะจำเป็น - เราจะเปลี่ยนเป็นแบบเดียวกัน เราใช้ปัจจัยที่สอง)

เราเปลี่ยนปัจจัยที่สองด้วยวิธีเดียวกันตามสูตรของรูทจากผลิตภัณฑ์และรูทจากรูท หากจำเป็น เราจะลดตัวบ่งชี้ตามสูตรที่ห้า:

เราวางทุกอย่างลงในตัวอย่างต้นฉบับและรับ:

เราได้ผลผลิตจากรากที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง จะเป็นการดีหากนำทั้งหมดมาไว้ในตัวบ่งชี้เดียว แล้วเราจะมาดูกัน มันค่อนข้างเป็นไปได้ ดัชนีรากที่ใหญ่ที่สุดคือ 12 และส่วนที่เหลือทั้งหมด - 2, 3, 4, 6 - เป็นตัวหารของจำนวน 12 ดังนั้นเราจะนำรากทั้งหมดตามคุณสมบัติที่ห้ามาไว้ที่ตัวบ่งชี้เดียว - ถึง 12:

เรานับและรับ:

เราไม่ได้รับหมายเลขที่ดี แต่ก็ไม่เป็นไร เราถูกถาม ลดความซับซ้อนการแสดงออกไม่ใช่ นับ. ง่าย? แน่นอน! และประเภทของคำตอบ (จำนวนเต็มหรือไม่ก็ได้) ไม่ได้มีบทบาทใดๆ ในที่นี้

บางสูตรการบวก/ลบและการคูณแบบย่อ

น่าเสียดาย, สูตรทั่วไปสำหรับ การบวกและการลบรากไม่ใช่ในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ในงานต่างๆ มักจะพบการกระทำเหล่านี้โดยมีราก ที่นี่จำเป็นต้องเข้าใจว่ารากใด ๆ เป็นไอคอนทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกันทุกประการกับตัวอักษรในพีชคณิต) และเทคนิคและกฎเดียวกันนี้ใช้กับรากเช่นเดียวกับตัวอักษร - วงเล็บเปิด, นำสิ่งที่คล้ายกัน, สูตรคูณแบบย่อ ฯลฯ P.

ตัวอย่างเช่น เป็นที่ชัดเจนสำหรับทุกคนว่า คล้ายกัน เหมือนรากสามารถเพิ่ม / ลบระหว่างกันได้อย่างง่ายดาย:

หากรูทแตกต่างกัน เรากำลังมองหาวิธีที่จะทำให้เหมือนกัน - โดยการเพิ่ม / ลบตัวประกอบหรือด้วยคุณสมบัติที่ห้า ถ้าอย่างนั้น มันไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้น แต่อย่างใด บางทีการแปลงอาจยุ่งยากกว่า

ลองดูตัวอย่างแรก

ค้นหาค่าของนิพจน์: .

รากทั้งสามแม้จะเป็นลูกบาศก์ แตกต่างตัวเลข พวกมันไม่ได้แยกออกมาอย่างหมดจดและถูกเพิ่ม / ลบออกจากกัน ดังนั้นการใช้สูตรทั่วไปจึงใช้ไม่ได้ที่นี่ จะเป็นอย่างไร? แล้วลองแยกตัวประกอบในแต่ละรูทออกมา ไม่ว่าในกรณีใดมันจะไม่เลวร้ายไปกว่านี้) ยิ่งไปกว่านั้นไม่มีทางเลือกอื่น:

นั่นคือ, .

นั่นคือทางออกทั้งหมด ที่นี่เราย้ายจากรากที่แตกต่างกันไปยังรากเดียวกันด้วยความช่วยเหลือของ นำตัวคูณออกจากใต้รูท. จากนั้นพวกเขาก็นำสิ่งที่คล้ายกันมา) เราตัดสินใจเพิ่มเติม

ค้นหาค่าของนิพจน์:

ด้วยรากของสิบเจ็ด ไม่มีอะไรที่คุณสามารถทำได้อย่างแน่นอน เราทำงานตามคุณสมบัติแรก - เราสร้างหนึ่งรูทจากผลคูณของสองรูต:

ทีนี้ลองมาดูกันดีกว่า เรามีอะไรอยู่ใต้รากลูกบาศก์ใหญ่? ความแตกต่างคือ kva.. แน่นอน! ความแตกต่างของสแควร์:

ตอนนี้เหลือเพียงการแตกรูท: .

คำนวณ:

ที่นี่คุณต้องแสดงความฉลาดทางคณิตศาสตร์) เราคิดดังนี้: “ในตัวอย่างคือผลคูณของราก ภายใต้รากหนึ่งคือผลต่าง และอีกรากคือผลรวม คล้ายกันมากกับความแตกต่างของสูตรกำลังสอง แต่… รากเหง้าต่างกัน! อันแรกคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและอันที่สองคือองศาที่สี่ ... มันคงจะดีถ้าทำให้มันเหมือนกัน ด้วยคุณสมบัติข้อที่ ๕ ย่อมละได้โดยง่าย รากที่สองสร้างรากที่สี่ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะยกกำลังสองนิพจน์รูท

หากคุณคิดเหมือนกันแสดงว่าคุณประสบความสำเร็จไปแล้วครึ่งหนึ่ง ถูกต้อง! ลองเปลี่ยนปัจจัยที่หนึ่งเป็นรากที่สี่ แบบนี้:

ตอนนี้ ทำอะไรไม่ได้ แต่คุณต้องจำสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง เมื่อนำไปใช้กับรากเท่านั้น แล้วไง ทำไมรูตถึงแย่กว่าตัวเลขหรือนิพจน์อื่นๆ! เรากำลังสร้าง:

“อืม พวกเขาสร้างมันขึ้นมา แล้วไงล่ะ? มะรุมหัวไชเท้าไม่หวาน หยุด! และถ้าคุณเอาสี่ตัวที่อยู่ใต้รูตออก? จากนั้นนิพจน์เดียวกันจะปรากฏขึ้นภายใต้รูทที่สองโดยมีเครื่องหมายลบเท่านั้นและนี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ!

ขวา! มารับสี่:

.

และตอนนี้ - เรื่องของเทคโนโลยี:

นี่คือวิธีที่ตัวอย่างที่ซับซ้อนคลี่คลาย) ตอนนี้ถึงเวลาฝึกกับเศษส่วนแล้ว

คำนวณ:

เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องเปลี่ยนตัวเศษ ยังไง? ตามสูตรกำลังสองของผลรวมแน่นอน เรามีทางเลือกอื่นอีกไหม? :) กำลังสอง ถอดตัวคูณ ลดตัวบ่งชี้ (หากจำเป็น):

ยังไง! เราได้ตัวส่วนของเศษส่วนพอดีเป๊ะ) ดังนั้น เศษส่วนทั้งหมดเท่ากับหนึ่งแน่นอน:

ตัวอย่างอื่น. ตอนนี้ไปที่สูตรอื่นสำหรับการคูณแบบย่อ)

คำนวณ:

เป็นที่ชัดเจนว่าต้องใช้กำลังสองของความแตกต่างในธุรกิจ เราเขียนตัวส่วนแยกกันและ - ไปกันเถอะ!

เรานำตัวคูณออกจากใต้ราก:

เพราะฉะนั้น,

ตอนนี้ทุกสิ่งที่ไม่ดีลดลงอย่างมากและปรากฎว่า:

ไปที่ระดับถัดไปกันเถอะ :)

จดหมายและเงื่อนไขเพิ่มเติม

การแสดงออกของตัวอักษรที่มีรากเป็นสิ่งที่ยุ่งยากกว่า นิพจน์ตัวเลขและเป็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญและร้ายแรงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด บล็อกแหล่งที่มานี้กันเถอะ) ข้อผิดพลาดปรากฏขึ้นเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขและนิพจน์เชิงลบมักปรากฏในงานดังกล่าว พวกเขามอบให้เราโดยตรงในงานหรือซ่อนอยู่ใน จดหมายและเงื่อนไขเพิ่มเติม. และในกระบวนการทำงานกับรูท เราจำเป็นต้องจดจำสิ่งนั้นในรูทอยู่เสมอ แม้แต่ระดับทั้งใต้รากเองและเป็นผลจากการถอนรากควรเป็น นิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบ. สูตรหลักในงานของย่อหน้านี้จะเป็นสูตรที่สี่:

ด้วยรากของระดับคี่ไม่มีคำถาม - ทุกอย่างจะถูกดึงออกมาด้วยเครื่องหมายบวกและลบเสมอ และลบหากมีสิ่งใดให้ยกมา เราจะจัดการกับรากทันที สม่ำเสมอองศา) ตัวอย่างเช่นงานสั้น ๆ

ลดความซับซ้อน: , ถ้า .

ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะง่าย มันจะกลายเป็นแค่ x) แต่ทำไมล่ะ เงื่อนไขเพิ่มเติม ? ในกรณีเช่นนี้ การคาดคะเนด้วยตัวเลขจะเป็นประโยชน์ เพื่อตัวเองล้วนๆ) ถ้าแล้ว x เป็นจำนวนลบ เช่น ลบสาม หรือลบสี่สิบ. อนุญาต . ยกกำลังสามยกกำลังสี่ได้ไหม แน่นอน! ปรากฎว่า 81 เป็นไปได้ไหมที่จะแยกรากของระดับที่สี่ออกจาก 81 ทำไมจะไม่ล่ะ? สามารถ! รับสาม ตอนนี้มาวิเคราะห์ห่วงโซ่ทั้งหมดของเรา:

เราเห็นอะไร? อินพุตเป็นลบและเอาต์พุตเป็นบวก มันเป็นลบสามตอนนี้มันเป็นบวกสาม) กลับไปที่ตัวอักษรกันเถอะ ไม่ต้องสงสัยเลยว่าโมดูโลจะเป็น X ทุกประการ แต่มีเพียง X เท่านั้นที่มีเครื่องหมายลบ (ตามเงื่อนไข!) และผลลัพธ์ของการสกัด (เนื่องจากรากเลขคณิต!) ควรมีเครื่องหมายบวก จะบวกได้อย่างไร? ง่ายมาก! เท่านี้ก็เพียงพอก่อน จำนวนลบใส่เครื่องหมายลบ) และ วิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องดูเหมือนว่า:

อย่างไรก็ตาม ถ้าเราใช้สูตรแล้วจำนิยามของโมดูลได้ เราก็จะได้คำตอบที่ถูกต้องทันที เพราะว่า

|x| = -x ที่ x<0.

นำปัจจัยออกจากเครื่องหมายรูท: , ที่ไหน .

รูปลักษณ์แรกคือการแสดงออกของราก ทุกอย่างโอเคที่นี่ ไม่ว่าในกรณีใด มันจะไม่เป็นลบ เราเริ่มสกัด ตามสูตรของรูตของผลิตภัณฑ์ เราแยกรูตออกจากแต่ละปัจจัย:

ฉันคิดว่าโมดูลมาจากไหน ไม่จำเป็นต้องอธิบายอีกต่อไป) และตอนนี้เรามาวิเคราะห์แต่ละโมดูล

ตัวคูณ | ก | ดังนั้นเราจึงไม่เปลี่ยนแปลง: เราไม่มีเงื่อนไขใด ๆ ในจดหมายก. เราไม่รู้ว่ามันเป็นบวกหรือลบ โมดูลถัดไป |ข 2 | สามารถละเว้นได้อย่างปลอดภัย: ไม่ว่าในกรณีใด ๆ นิพจน์ข 2 ไม่เป็นลบ แล้ว |ค 3 | - นี่เป็นปัญหาอยู่แล้ว) ถ้าแล้ว และ ค 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть ด้วยเครื่องหมายลบ: | ค 3 | = - ค 3 . ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องคือ:

และตอนนี้ - ภารกิจย้อนกลับ ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ฉันเตือนคุณทันที!

ป้อนปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของราก: .

หากคุณเขียนวิธีแก้ปัญหาทันทีเช่นนี้

ถ้าอย่างนั้นคุณ ตกหลุมพราง. นี้ ตัดสินใจผิด! เกิดอะไรขึ้น?

มาดูการแสดงออกภายใต้ราก ภายใต้รากของระดับที่สี่อย่างที่เราทราบควรเป็น ไม่เป็นลบการแสดงออก. มิฉะนั้นรากจะไม่มีความหมาย) ดังนั้นในทางกลับกันหมายความว่าและดังนั้นจึงไม่เป็นบวกด้วย: .

และข้อผิดพลาดที่นี่คือเรานำมาใต้ราก ไม่เป็นบวกตัวเลข: ยกกำลังสี่เปลี่ยนเป็น ไม่เป็นลบและได้รับผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง - ลบโดยเจตนาทางด้านซ้ายและบวกทางด้านขวาแล้ว และนำไปใต้ราก สม่ำเสมอระดับที่เรามีสิทธิ์เท่านั้น ไม่เป็นลบตัวเลขหรือนิพจน์ และปล่อยให้เครื่องหมายลบ (ถ้ามี) นำหน้าราก) เราจะเลือกตัวประกอบที่ไม่เป็นลบในจำนวนได้อย่างไร, รู้ว่าตัวเองเป็นลบ? ใช่เหมือนกันเป๊ะ! ใส่เครื่องหมายลบ) และเพื่อให้ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงให้ชดเชยด้วยเครื่องหมายลบอื่น แบบนี้:

และตอนนี้ ไม่เป็นลบหมายเลข (-b) ถูกป้อนอย่างใจเย็นภายใต้รูทตามกฎทั้งหมด:

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่า คำตอบที่ถูกต้องในรากไม่ได้เป็นไปตามอัตโนมัติจากสูตรเสมอไป ซึ่งไม่เหมือนกับคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ คุณต้องคิดและตัดสินใจให้ถูกต้องเป็นการส่วนตัว) คุณควรระวังสัญญาณเข้าเป็นพิเศษ สมการอตรรกยะและอสมการ.

เราจัดการกับเทคนิคสำคัญต่อไปนี้ในการทำงานกับราก - การกำจัดความไร้เหตุผล.

การกำจัดอตรรกยะในเศษส่วน

หากมีรากในนิพจน์ ฉันขอเตือนคุณว่านิพจน์ดังกล่าวเรียกว่า แสดงออกด้วยความไร้เหตุผล. ในบางกรณี การกำจัดความไร้เหตุผลนี้ออกไป (เช่น รากเหง้า) ก็มีประโยชน์ คุณจะกำจัดต้นตอได้อย่างไร? รากของเราหายไปเมื่อ ... เพิ่มพลัง ด้วยเลขชี้กำลังเท่ากับเลขชี้กำลังของรูทหรือทวีคูณ แต่ถ้าเราเพิ่มรูทเป็นยกกำลัง (เช่น คูณรูทด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่ต้องการ) นิพจน์จะเปลี่ยนจากนี้ ไม่ดี) อย่างไรก็ตาม ในวิชาคณิตศาสตร์มีหัวข้อที่การคูณค่อนข้างไม่เจ็บปวด ในรูปเศษส่วน เช่น ตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ถ้าตัวเศษและตัวส่วนคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมมติว่าเราได้รับเศษส่วนต่อไปนี้:

เป็นไปได้ไหมที่จะกำจัดรากในตัวส่วน? สามารถ! ในการทำเช่นนี้รากจะต้องเป็นก้อน เราขาดอะไรในตัวส่วนของลูกบาศก์เต็ม เราขาดตัวคูณ นั่นคือ. เราจึงคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย

รากในตัวส่วนหายไป แต่... เขาปรากฏตัวในตัวเศษ ไม่มีอะไรต้องทำนั่นคือโชคชะตา) สิ่งนี้ไม่สำคัญสำหรับเราอีกต่อไป: เราถูกขอให้ปลดปล่อยส่วนออกจากราก ปล่อยแล้ว? อย่างไม่ต้องสงสัย)

โดยวิธีการที่ผู้ที่ขัดแย้งกับตรีโกณมิติอยู่แล้วอาจให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าในตำราเรียนและตารางบางเล่มพวกเขาแสดงแตกต่างกัน: ที่ไหนสักแห่ง แต่ที่ไหนสักแห่ง คำถามคือสิ่งที่ถูกต้อง? คำตอบ: ทุกอย่างถูกต้อง!) หากคุณเดาว่าเป็นเพียงผลลัพธ์ของการปลดปล่อยจากความไม่มีเหตุผลในตัวส่วนของเศษส่วน. :)

เหตุใดเราจึงควรปลดปล่อยตนเองจากความไม่มีเหตุผลในเศษส่วน รากอยู่ในตัวเศษหรือตัวส่วนต่างกันอย่างไร เครื่องคิดเลขจะคำนวณทุกอย่างอยู่แล้ว) สำหรับผู้ที่ไม่ได้มีส่วนร่วมกับเครื่องคิดเลขจริง ๆ แล้วไม่มีความแตกต่าง ... แต่แม้จะใช้เครื่องคิดเลขคุณสามารถใส่ใจกับข้อเท็จจริงที่ว่า แบ่งบน ทั้งหมดเบอร์สะดวกและรวดเร็วกว่าเสมอ ไม่มีเหตุผล. และฉันจะนิ่งเงียบเกี่ยวกับการแบ่งเป็นคอลัมน์)

ตัวอย่างต่อไปนี้จะยืนยันคำพูดของฉันเท่านั้น

จะกำจัดรากที่สองในตัวส่วนได้อย่างไร? ถ้าตัวเศษและตัวส่วนคูณด้วยนิพจน์ ตัวส่วนจะเป็นกำลังสองของผลรวม ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวที่หนึ่งและตัวที่สองจะทำให้เราได้ตัวเลขที่ไม่มีรากซึ่งน่ายินดีมาก อย่างไรก็ตาม ... มันจะปรากฏขึ้น สินค้าคู่เลขตัวแรกถึงตัวที่สองโดยที่รากของสามจะยังคงอยู่ ไม่ช่อง จะเป็นอย่างไร? จำอีกสูตรที่ยอดเยี่ยมสำหรับการคูณแบบย่อ! ในกรณีที่ไม่มีผลิตภัณฑ์สองเท่า แต่มีเพียงสี่เหลี่ยม:

นิพจน์ดังกล่าวซึ่งเมื่อคูณด้วยผลรวม (หรือผลต่าง) จะนำไปสู่ ความแตกต่างของกำลังสองเรียกอีกอย่างว่า ผันการแสดงออก. ในตัวอย่างของเรา นิพจน์ที่อยู่ติดกันจะเป็นผลต่าง ดังนั้นเราจึงคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยผลต่างนี้:

สิ่งที่สามารถพูดได้ที่นี่? อันเป็นผลมาจากการจัดการของเรา ไม่เพียงแต่รากของตัวส่วนเท่านั้นที่หายไป - เศษส่วนก็หายไปโดยทั่วไปด้วย! :) แม้จะใช้เครื่องคิดเลข การลบรากของสามจากสามก็ยังง่ายกว่าการนับเศษส่วนที่มีรากในตัวส่วน ตัวอย่างอื่น.

กำจัดความไม่ลงตัวในส่วนของเศษส่วน:

จะออกจากที่นี่ได้อย่างไร? สูตรสำหรับการคูณแบบย่อด้วยกำลังสองไม่ทำงานทันที - จะไม่สามารถกำจัดรากได้อย่างสมบูรณ์เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าเวลานี้รูทของเราไม่ใช่กำลังสอง แต่ ลูกบาศก์. มันเป็นสิ่งจำเป็นที่รากจะถูกยกขึ้นเป็นลูกบาศก์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้สูตรบางอย่างกับลูกบาศก์ อะไร ลองคิดดู ตัวส่วนคือผลรวม เราจะบรรลุรากที่สามได้อย่างไร คูณด้วย ผลต่างกำลังสองไม่สมบูรณ์! ดังนั้นเราจะใช้สูตร ผลรวมของลูกบาศก์. อันนี้:

เช่น กเรามีสามและเป็น ขคือรากที่สามของห้า:

และเศษส่วนก็หายไปอีกครั้ง) สถานการณ์ดังกล่าวเมื่อเป็นอิสระจากความไม่ลงตัวในตัวส่วนของเศษส่วนเศษส่วนจะหายไปพร้อมกับรากเป็นเรื่องปกติมาก คุณชอบตัวอย่างนี้อย่างไร!

คำนวณ:

แค่ลองบวกเศษส่วนทั้งสามนี้! ไม่มีข้อผิดพลาด! :) ตัวหารร่วมหนึ่งตัวมีค่าบางอย่าง แต่ถ้าเราพยายามกำจัดความไม่มีเหตุผลในตัวส่วนของแต่ละเศษส่วนล่ะ มาลองกัน:

ว้าว น่าสนใจจัง! เศษส่วนหมดแล้ว! อย่างสมบูรณ์. และตอนนี้ตัวอย่างได้รับการแก้ไขในสองค่า:

เรียบง่ายและสง่างาม และไม่มีการคำนวณที่ยาวและน่าเบื่อ :)

นั่นคือเหตุผลที่การดำเนินการปลดปล่อยจากความไม่มีเหตุผลในเศษส่วนจะต้องสามารถทำได้ ในตัวอย่างแฟนซีมีเพียงเธอเท่านั้นที่ช่วยได้) แน่นอนว่าไม่มีใครยกเลิกความเอาใจใส่ มีงานที่พวกเขาถูกขอให้กำจัดความไร้เหตุผลใน เศษ. งานเหล่านี้ไม่แตกต่างจากที่พิจารณา มีเพียงตัวเศษเท่านั้นที่ถูกล้างออกจากราก)

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

มันยังคงต้องพิจารณาเทคนิคพิเศษบางอย่างในการทำงานกับรากและฝึกฝนการคลี่คลายไม่ใช่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด จากนั้นข้อมูลที่ได้รับจะเพียงพอที่จะแก้ไขงานที่มีรากฐานของความซับซ้อนทุกระดับ ดังนั้น - ไปข้างหน้า) ขั้นแรกให้คิดออกว่าจะทำอย่างไรกับรูทที่ซ้อนกันเมื่อสูตรรูทจากรูทไม่ทำงาน ตัวอย่างเช่น นี่คือตัวอย่าง

คำนวณ:

รากใต้ราก ... นอกจากนี้ ใต้รากคือผลรวมหรือผลต่าง ดังนั้นสูตรของรากจากราก (ด้วยการคูณของตัวบ่งชี้) อยู่ที่นี่ มันไม่ทำงาน. ดังนั้นสิ่งที่ต้องทำเกี่ยวกับ การแสดงออกที่รุนแรงตอบ: เราแค่ไม่มีทางเลือกอื่น ในตัวอย่างดังกล่าว ส่วนใหญ่มักจะเข้ารหัสภายใต้รูทขนาดใหญ่ เต็มตารางจำนวนหนึ่ง. หรือความแตกต่าง. และรากของสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็แยกออกมาอย่างสมบูรณ์แล้ว! และตอนนี้งานของเราคือการถอดรหัส) การถอดรหัสดังกล่าวทำได้อย่างสวยงาม ระบบสมการ. ตอนนี้คุณสามารถเห็นตัวเอง)

ดังนั้นภายใต้รากแรกเรามีนิพจน์นี้:

ถ้าคุณไม่เดาล่ะ ตรวจสอบกัน! กำลังสองโดยใช้สูตรผลรวมกำลังสอง:

ถูกต้องแล้ว) แต่... สำนวนนี้ผมเอามาจากไหน? จากฟากฟ้า?

ไม่) เราจะทำให้มันลดลงเล็กน้อยโดยสุจริต เพียงแค่ใช้นิพจน์นี้ ฉันแสดงให้เห็นว่าคอมไพเลอร์ของภารกิจเข้ารหัสสี่เหลี่ยมดังกล่าวอย่างไร :) 54 คืออะไร? นี้ ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวที่หนึ่งและตัวที่สอง. และให้ความสนใจโดยไม่มีราก! แต่รากยังคงอยู่ สินค้าคู่ซึ่งในกรณีของเราเท่ากับ ดังนั้นการคลี่คลายตัวอย่างดังกล่าวจึงเริ่มต้นด้วยการค้นหาผลิตภัณฑ์สองเท่า หากคุณคลี่คลายด้วยการเลือกตามปกติ และโดยวิธีการเกี่ยวกับสัญญาณ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากก่อนบวกสองเท่า ให้ยกกำลังสองของผลรวม ถ้าลบแล้วความแตกต่าง) เรามีบวก - ซึ่งหมายถึงกำลังสองของผลรวม) และตอนนี้ - วิธีการวิเคราะห์ที่สัญญาไว้ในการถอดรหัส ผ่านระบบ)

ดังนั้นภายใต้รากเหง้าของเราการแสดงออกจึงชัดเจน (ก+ข) 2และหน้าที่ของเราคือค้นหา กและ ข. ในกรณีของเรา ผลรวมของกำลังสองได้ 54 เราจึงเขียนว่า

ตอนนี้เพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า เรามีมัน. ดังนั้นเราจึงเขียน:

เราได้ระบบดังต่อไปนี้:

เราแก้ไขด้วยวิธีทดแทนตามปกติ เราแสดงจากสมการที่สอง ตัวอย่างเช่น และแทนที่ลงในสมการแรก:

มาแก้สมการแรกกันเถอะ:

ได้รับ ไบสแควร์สมการสำหรับก . เราพิจารณาการเลือกปฏิบัติ:

วิธี,

เรามีค่าที่เป็นไปได้มากถึงสี่ค่าก. เราไม่กลัว ตอนนี้เราจะกำจัดทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไป) หากตอนนี้เราคำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละค่าที่พบทั้งสี่ค่า เราจะได้โซลูชันสี่แบบสำหรับระบบของเรา พวกเขาอยู่ที่นี่:

แล้วคำถามก็คือ - โซลูชั่นใดที่เหมาะกับเรา? ลองคิดดู วิธีแก้ปัญหาเชิงลบสามารถทิ้งได้ทันที: เมื่อทำการยกกำลังสอง เครื่องหมายลบจะ "หมดไฟ" และนิพจน์รากทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยรวม) ตัวเลือกสองตัวแรกยังคงอยู่ คุณสามารถเลือกได้โดยพลการทั้งหมด: ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงใหม่ของข้อกำหนดอยู่ดี) ตัวอย่างเช่น อนุญาต และ

โดยรวมแล้ว เราได้กำลังสองของจำนวนต่อไปนี้ใต้รูท:

ทุกอย่างชัดเจน.)

ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันอธิบายแนวทางการแก้ปัญหาในรายละเอียดดังกล่าว เพื่อให้ชัดเจนว่าการถอดรหัสเกิดขึ้นได้อย่างไร) แต่มีปัญหาอย่างหนึ่ง วิธีการวิเคราะห์ของการถอดรหัสแม้ว่าจะเชื่อถือได้ แต่ก็ยาวและยุ่งยากมาก: คุณต้องแก้สมการกำลังสอง, รับคำตอบสี่ข้อสำหรับระบบแล้วคิดว่าจะเลือกข้อใด ... ลำบากไหม? เห็นด้วยค่ะ ยาก วิธีนี้ใช้ได้ผลอย่างไม่มีที่ติในตัวอย่างเหล่านี้ส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม การลดงานลงและหาตัวเลขทั้งสองอย่างสร้างสรรค์มักจะเป็นเรื่องดี การเลือก) ใช่ใช่! ตอนนี้โดยใช้ตัวอย่างเทอมที่สอง (รูทที่สอง) ฉันจะแสดงวิธีที่ง่ายและรวดเร็วขึ้นในการเลือกสแควร์เต็มภายใต้รูท

ตอนนี้เรามีรูทนี้แล้ว: .

เราคิดแบบนี้: “ภายใต้รูทน่าจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เข้ารหัส เวลาอยู่หน้าสองเท่า ลบ หมายถึง กำลังสองของผลต่าง ผลรวมของกำลังสองของตัวเลขตัวที่หนึ่งและตัวที่สองทำให้เราได้จำนวนนั้น 54. แต่สี่เหลี่ยมเหล่านี้คืออะไร? 1 และ 53? 49 และ 5 ? ตัวเลือกมากเกินไป ... ไม่ จะดีกว่าถ้าเริ่มคลี่คลายด้วยผลิตภัณฑ์สองชิ้น ของเราสามารถเขียนเป็น . เมื่อทำงาน สองเท่าจากนั้นเราจะปฏิเสธผีสางทันที จากนั้นผู้สมัครรับบทบาท a และ b เหลือ 7 และ . และทันใดนั้นก็อายุ 14 และ/2 ? ไม่ได้รับการยกเว้น แต่เราเริ่มต้นด้วยสิ่งง่ายๆ เสมอ!ดังนั้น ให้ , ก . ลองตรวจสอบผลรวมของกำลังสอง:

เกิดขึ้น! นิพจน์รากของเราคือกำลังสองของผลต่าง:

นี่เป็นทางสว่างเพื่อไม่ให้ยุ่งกับระบบ มันไม่ได้ผลเสมอไป แต่ในหลายตัวอย่างก็เพียงพอแล้ว ดังนั้น ใต้รากจึงเป็นกำลังสองเต็ม มันยังคงอยู่เพียงเพื่อแยกรากอย่างถูกต้องและนับตัวอย่าง:

และตอนนี้มาวิเคราะห์งานที่ไม่ได้มาตรฐานมากยิ่งขึ้นในราก)

จงพิสูจน์ว่าเลข กเป็นจำนวนเต็มถ้า .

ไม่มีการสกัดโดยตรงรากซ้อนกันและแม้กระทั่งในระดับต่างๆ ... ฝันร้าย! อย่างไรก็ตามงานนี้สมเหตุสมผล) ดังนั้นจึงมีกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหา) และนี่คือกุญแจสำคัญ พิจารณาความเท่าเทียมกันของเรา

ยังไง สมการสำหรับ ก. ใช่ ๆ! เป็นการดีที่จะกำจัดราก รากของเราเป็นลูกบาศก์ ดังนั้นลองยกทั้งสองข้างของสมการเป็นลูกบาศก์กัน ตามสูตร ลูกบาศก์รวม:

ลูกบาศก์และรากลูกบาศก์ชดเชยซึ่งกันและกัน และภายใต้แต่ละรูทขนาดใหญ่ เรานำวงเล็บหนึ่งตัวจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วเปลี่ยนผลคูณของผลต่างและผลรวมเป็นผลต่างของกำลังสอง:

เราคำนวณความแตกต่างของกำลังสองภายใต้รากแยกกัน:

เมื่อแปลงรากเลขคณิต จะใช้คุณสมบัติ (ดูข้อ 35)

ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการใช้คุณสมบัติของรากเลขคณิตสำหรับการแปลงอนุมูลอย่างง่ายที่สุด ในกรณีนี้ ตัวแปรทั้งหมดจะถือว่ารับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 1 แยกรากออกจากการตัดสินใจของผลิตภัณฑ์ การใช้คุณสมบัติ 1° เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 2 นำปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรูท

สารละลาย.

การแปลงดังกล่าวเรียกว่าการแยกตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท จุดประสงค์ของการแปลงคือเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก

ตัวอย่างที่ 3: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ตามคุณสมบัติ 3° เรามักจะพยายามลดความซับซ้อนของนิพจน์ราก ซึ่งใช้ปัจจัยนอกเหนือจากสัญลักษณ์ของราก เรามี

ตัวอย่างที่ 4: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. เราแปลงนิพจน์โดยแนะนำตัวประกอบภายใต้สัญลักษณ์ของรูท: โดยคุณสมบัติ 4° เรามี

ตัวอย่างที่ 5: ลดความซับซ้อน

สารละลาย. ด้วยคุณสมบัติ 5° เรามีสิทธิ์แบ่งเลขชี้กำลังของรากและเลขชี้กำลังของนิพจน์รากด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน หากในตัวอย่างที่กำลังพิจารณาเราหารตัวบ่งชี้ที่ระบุด้วย 3 เราจะได้

ตัวอย่างที่ 6 ลดความซับซ้อนของนิพจน์: a)

วิธีแก้ปัญหา a) ด้วยคุณสมบัติ 1° เราพบว่าการคูณรากที่มีดีกรีเท่ากัน ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณการแสดงออกของรูทและแยกรากที่มีดีกรีเท่ากันจากผลลัพธ์ที่ได้ วิธี,

b) ก่อนอื่น เราต้องลดอนุมูลให้เป็นหนึ่งดัชนี ตามคุณสมบัติ 5° เราสามารถคูณเลขชี้กำลังของรูทและเลขชี้กำลังของนิพจน์รูทด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน ดังนั้นเราจึงมีเพิ่มเติม และตอนนี้ในผลลัพธ์ที่ได้จากการหารตัวบ่งชี้ของรูทและระดับของการแสดงออกที่รุนแรงด้วย 3 เราได้รับ

ผู้ฝึกสอนหมายเลข 1

หัวข้อ: การแปลงกำลังและนิพจน์อตรรกยะ

1. โครงการเรียนวิชาเลือก คณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่

   โปรแกรม

   แอปพลิเคชัน. การประยุกต์ใช้สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน การเปลี่ยนแปลง การแสดงออก. เรื่อง 4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติและกราฟ สรุป.... 16.01-20.01 18 การเปลี่ยนแปลง พลังและ ไม่มีเหตุผล การแสดงออก. 23.01-27.01 19 ...

2. การวางแผนเนื้อหาตามปฏิทินของพีชคณิตเพื่อการศึกษาและการเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 11

   การวางแผนตามปฏิทิน

   และตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล การเปลี่ยนแปลง พลังและ ไม่มีเหตุผล การแสดงออก. 2 2 2 กันยายน คุณสมบัติของลอการิทึม การเปลี่ยนแปลงลอการิทึม การแสดงออก. 1 1 1 ... จัดการให้เต็มที่ เหล่านั้นนักเรียนที่มีความใฝ่ฝันสูง...

3. หัวข้อบทเรียน ประเภทบทเรียน (4)

   บทเรียน

   ... การเปลี่ยนแปลงตัวเลขและตัวอักษร การแสดงออกที่มี ระดับ ... องศารู้: แนวคิด ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว คุณสมบัติพื้นฐาน องศา. สามารถ: ค้นหาความหมาย ระดับกับ ไม่มีเหตุผล... 3 โดย หัวข้อ « ระดับจำนวนบวก...

4. หัวข้อ รากฐานทางวัฒนธรรมและประวัติศาสตร์สำหรับการพัฒนาความรู้ทางจิตวิทยาด้านแรงงาน หัวข้อ แรงงานในฐานะความเป็นจริงทางสังคมและจิตวิทยา

   เอกสาร

   และอื่น ๆ.) เรื่องแรงงานมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเศรษฐกิจและสังคม การเปลี่ยนแปลง. ตัวอย่างเช่น ... การปรับโครงสร้างของจิตสำนึก สัญชาตญาณ ไม่มีเหตุผลแนวโน้มเช่น ความขัดแย้งภายใน ... ตรวจสอบการมีอยู่และ ระดับ การแสดงออกบุคคลมีความแน่นอน...

5. การแปลงนิพจน์ที่มีรากที่สอง (1)

   บทเรียน

   แก้ไขโดย S.A. เทเลียคอฟสกี้. เรื่องบทเรียน: การเปลี่ยนแปลง การแสดงออกมีสี่เหลี่ยม...) การเปลี่ยนแปลงรากจากผลิตภัณฑ์เศษส่วนและ ระดับ, การคูณ ... (การก่อตัวของทักษะที่เหมือนกัน การเปลี่ยนแปลง ไม่มีเหตุผล การแสดงออก). หมายเลข 421 (ที่กระดานดำ...

คุณสมบัติของรากรองรับการเปลี่ยนแปลงสองอย่างต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าการนำภายใต้สัญลักษณ์ของรากและการออกจากภายใต้สัญลักษณ์ของราก ซึ่งตอนนี้เราหันไป

ป้อนปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของรูท

การป้อนตัวประกอบใต้เครื่องหมายหมายถึงการแทนที่นิพจน์ โดยที่ B และ C เป็นตัวเลขหรือนิพจน์บางส่วน และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหนึ่ง โดยนิพจน์ที่เท่ากันทุกประการของแบบฟอร์ม หรือ

ตัวอย่างเช่น นิพจน์อตรรกยะหลังจากเพิ่มตัวประกอบ 2 ใต้เครื่องหมายรูทจะอยู่ในรูปแบบ

รากฐานทางทฤษฎีของการเปลี่ยนแปลงนี้ กฎสำหรับการนำไปปฏิบัติ เช่นเดียวกับแนวทางแก้ไขสำหรับตัวอย่างทั่วไปทุกประเภทมีให้ในบทความแนะนำปัจจัยภายใต้เครื่องหมายรูท

นำตัวคูณออกจากใต้สัญลักษณ์ของรูต

การแปลง ในแง่หนึ่ง การย้อนกลับของการแนะนำตัวประกอบภายใต้เครื่องหมายรูท คือการนำตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท ประกอบด้วยการแทนรากเป็นผลคูณของเลขคี่ n หรือเป็นผลคูณของเลขคู่ โดยที่ B และ C เป็นตัวเลขหรือนิพจน์

ตัวอย่างเช่น ลองกลับไปที่ย่อหน้าก่อนหน้า: หลังจากแยกตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูทแล้ว นิพจน์อตรรกยะจะอยู่ในรูปแบบ อีกตัวอย่างหนึ่ง: การนำปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรูทในนิพจน์จะให้ผลิตภัณฑ์ที่สามารถเขียนใหม่เป็น

การเปลี่ยนแปลงนี้มีพื้นฐานมาจากอะไรและตามกฎที่ดำเนินการเราจะวิเคราะห์ในบทความแยกต่างหากเกี่ยวกับการลบปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรูท ในที่เดียวกัน เราให้คำตอบแก่ตัวอย่างและรายการวิธีการนำนิพจน์รากไปอยู่ในแบบฟอร์มที่สะดวกสำหรับการนำตัวคูณออก

การแปลงเศษส่วนที่มีราก

นิพจน์อตรรกยะสามารถมีเศษส่วนในตัวเศษและส่วนที่มีราก ด้วยเศษส่วนดังกล่าวคุณสามารถดำเนินการหลักใดก็ได้ การแปลงเศษส่วนที่เหมือนกัน.

ประการแรก ไม่มีอะไรขัดขวางคุณจากการทำงานกับนิพจน์ในตัวเศษและตัวส่วน ลองใช้เศษส่วนเป็นตัวอย่าง นิพจน์อตรรกยะในตัวเศษเห็นได้ชัดว่าเท่ากับ และ อ้างถึงคุณสมบัติของราก นิพจน์ในตัวส่วนสามารถแทนที่ด้วยรากได้ เป็นผลให้เศษส่วนเดิมถูกแปลงเป็นรูปแบบ

ประการที่สอง คุณสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนได้โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือส่วน ตัวอย่างเช่น มีการแปลงนิพจน์อตรรกยะดังนี้ .

ประการที่สาม บางครั้งก็เป็นไปได้และสมควรที่จะลดเศษส่วนลง ตัวอย่างเช่น วิธีปฏิเสธความสุขในการลดเศษส่วน เป็นการแสดงออกที่ไม่ลงตัว ด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับ .

เป็นที่ชัดเจนว่าในหลายกรณี ก่อนที่จะดำเนินการลดเศษส่วน นิพจน์ในตัวเศษและตัวส่วนจะต้องแยกตัวประกอบ ซึ่งในกรณีง่ายๆ สามารถทำได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ และบางครั้งการแทนที่ตัวแปรช่วยลดเศษส่วน ทำให้คุณสามารถย้ายจากเศษส่วนเดิมที่มีความอตรรกยะไปเป็นเศษส่วนอตรรกยะ ซึ่งสะดวกและคุ้นเคยในการทำงานมากกว่า

ลองใช้นิพจน์เป็นตัวอย่าง ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ และในตัวแปรเหล่านี้นิพจน์เดิมมีรูปแบบ ดำเนินการในตัวเศษ

บทความนี้จะเปิดเผยความหมายของการแสดงออกที่ไม่ลงตัวและการเปลี่ยนแปลงกับพวกเขา พิจารณาแนวคิดของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว การแปลง และนิพจน์ลักษณะเฉพาะ

Yandex.RTB R-A-339285-1

นิพจน์อตรรกยะคืออะไร?

เมื่อเราคุ้นเคยกับรากศัพท์ที่โรงเรียน เราจะศึกษาแนวคิดของนิพจน์อตรรกยะ นิพจน์ดังกล่าวเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับราก

คำจำกัดความ 1

นิพจน์ที่ไม่ลงตัวเป็นนิพจน์ที่มีราก นั่นคือนิพจน์เหล่านี้มีอนุมูล

ตามนิยามนี้ เราได้ว่า x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 เป็นนิพจน์ประเภทอตรรกยะทั้งหมด

เมื่อพิจารณานิพจน์ x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 เราจะพบว่านิพจน์นั้นมีเหตุผล นิพจน์ที่มีเหตุผลประกอบด้วยพหุนามและเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต อตรรกยะรวมถึงการทำงานกับนิพจน์ลอการิทึมหรือนิพจน์ราก

ประเภทหลักของการแปลงนิพจน์ที่ไม่ลงตัว

เมื่อคำนวณนิพจน์ดังกล่าว จำเป็นต้องให้ความสนใจกับ ODZ บ่อยครั้งที่พวกเขาต้องการการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมในรูปแบบของการขยายวงเล็บ การคัดเลือกสมาชิก การจัดกลุ่ม และอื่นๆ พื้นฐานของการแปลงดังกล่าวคือการดำเนินการกับตัวเลข การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์อตรรกยะเป็นไปตามคำสั่งที่เข้มงวด

ตัวอย่างที่ 1

แปลงนิพจน์ 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .

สารละลาย

จำเป็นต้องแทนที่หมายเลข 9 ด้วยนิพจน์ที่มีราก แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

นิพจน์ผลลัพธ์มีคำที่คล้ายกัน ดังนั้นมาดำเนินการลดขนาดและจัดกลุ่ม รับ

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
คำตอบ: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

ตัวอย่างที่ 2

แสดงนิพจน์ x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 เป็นผลคูณของจำนวนอตรรกยะสองตัวโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ

โซลูชั่น

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

เราแทนค่า 9 ในรูปของ 3 2 และเราใช้สูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสอง:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

ผลลัพธ์ของการแปลงที่เหมือนกันนำไปสู่ผลคูณของนิพจน์เชิงเหตุผลสองนิพจน์ ซึ่งต้องพบ

คำตอบ:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

คุณสามารถดำเนินการแปลงอื่นๆ อีกจำนวนมากที่ใช้กับนิพจน์อตรรกยะได้

การแปลงนิพจน์ที่รุนแรง

เป็นสิ่งสำคัญที่นิพจน์ภายใต้สัญลักษณ์ของรูทสามารถถูกแทนที่ด้วยค่าเท่ากัน คำสั่งนี้ทำให้สามารถทำงานกับนิพจน์ที่รุนแรงได้ ตัวอย่างเช่น 1 + 6 สามารถแทนที่ด้วย 7 หรือ 2 · a 5 4 - 6 โดย 2 · a 4 · a 4 - 6 พวกมันเท่ากัน ดังนั้นการเปลี่ยนตัวจึงสมเหตุสมผล

เมื่อไม่มี 1 ที่แตกต่างจาก a โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ a n \u003d a 1 n เป็นจริง ความเท่าเทียมกันดังกล่าวจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ a \u003d a 1 ค่าของนิพจน์ดังกล่าวจะเท่ากับค่าใดๆ ของตัวแปร

การใช้คุณสมบัติรูท

คุณสมบัติรูทใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ เมื่อต้องการใช้คุณสมบัติ a · b = a · b โดยที่ a ≥ 0 , b ≥ 0 จากนั้นจากรูปแบบอตรรกยะ 1 + 3 · 12 หนึ่งจะกลายเป็นเท่ากับ 1 + 3 · 12 คุณสมบัติ. . . n k n 2 n 1 = n 1 n 2 , . . . , · n k โดยที่ ≥ 0 หมายความว่า x 2 + 4 4 3 สามารถเขียนในรูป x 2 + 4 24

มีความแตกต่างบางประการเมื่อแปลงนิพจน์ที่รุนแรง หากมีนิพจน์ - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 เราไม่สามารถเขียนลงไปได้เนื่องจากสูตร a b n \u003d a n b n ใช้สำหรับค่าที่ไม่ใช่ค่าลบ a และค่าบวก b เท่านั้น หากใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้องจะได้นิพจน์ของแบบฟอร์ม 7 4 81 4

สำหรับการแปลงที่ถูกต้อง จะใช้การแปลงนิพจน์อตรรกยะโดยใช้คุณสมบัติของราก

ป้อนปัจจัยภายใต้สัญลักษณ์ของรูท

นิยาม 3

ป้อนภายใต้สัญลักษณ์ของรูท– หมายถึง แทนที่นิพจน์ B · C n และ B และ C เป็นจำนวนหรือนิพจน์ โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 โดยมีนิพจน์ที่เท่ากันซึ่งมีรูปแบบ B n · C n หรือ - B n · ซีเอ็น .

หากเราลดความซับซ้อนของนิพจน์ในรูปแบบ 2 x 3 หลังจากเพิ่มภายใต้รูท เราจะได้ 2 3 x 3 การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเป็นไปได้หลังจากการศึกษารายละเอียดของกฎสำหรับการแนะนำปัจจัยภายใต้เครื่องหมายรูตเท่านั้น

นำตัวคูณออกจากใต้สัญลักษณ์ของรูต

หากมีนิพจน์ในรูปแบบ B n · C n จากนั้นจะลดลงเป็นรูปแบบ B · C n ซึ่งมีเลขคี่ n ซึ่งอยู่ในรูป B · C n โดยมีเลขคู่ , B และ C เป็นตัวเลขบางตัว และการแสดงออก

นั่นคือถ้าเราใช้นิพจน์อตรรกยะในรูปแบบ 2 3 · x 3 เอาตัวประกอบออกมาจากใต้รูท แล้วเราจะได้นิพจน์ 2 · x 3 . หรือ x + 1 2 · 7 จะส่งผลให้มีนิพจน์เช่น x + 1 · 7 ซึ่งมีรูปแบบอื่นในรูปแบบ x + 1 · 7

จำเป็นต้องถอดตัวคูณออกจากใต้รูทเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์และการแปลงอย่างรวดเร็ว

การแปลงเศษส่วนที่มีราก

นิพจน์อตรรกยะอาจเป็นจำนวนธรรมชาติหรือเศษส่วนก็ได้ ในการแปลงนิพจน์เศษส่วน ให้ให้ความสนใจอย่างมากกับตัวส่วน หากเรานำเศษส่วนของแบบฟอร์ม (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3 ตัวเศษจะอยู่ในรูปแบบ 5 x 4 และเมื่อใช้คุณสมบัติของรากเราจะได้ว่าตัวส่วนจะกลายเป็น x 2 + 5 6. เศษส่วนเดิมสามารถเขียนเป็น 5 x 4 x 2 + 5 6

โปรดทราบว่าต้องเปลี่ยนเฉพาะเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เราเข้าใจแล้ว

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

การลดเศษส่วนมักใช้เมื่อลดความซับซ้อน เราเข้าใจแล้ว

3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 เราลดลง x + 4 3 - 1 . เราได้นิพจน์ 3 · x x + 4 3 - 1 2 .

ก่อนการลดลง จำเป็นต้องทำการแปลงที่ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและทำให้สามารถแยกตัวประกอบของนิพจน์ที่ซับซ้อนได้ สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดคือการคูณแบบย่อ

หากเราใช้เศษส่วนของรูปแบบ 2 · x - y x + y จำเป็นต้องแนะนำตัวแปรใหม่ u \u003d x และ v \u003d x นิพจน์ที่กำหนดจะเปลี่ยนรูปแบบและกลายเป็น 2 · u 2 - v 2 คุณ + v. ตัวเศษควรแยกย่อยเป็นพหุนามตามสูตรแล้วเราจะได้

2 คุณ 2 - v 2 คุณ + v = 2 (u - v) คุณ + v คุณ + v = 2 คุณ - v . หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับเราจะมาที่แบบฟอร์ม 2 · x - y ซึ่งเท่ากับแบบเดิม

อนุญาตให้ลดจำนวนส่วนใหม่ได้ จากนั้นจำเป็นต้องคูณตัวเศษด้วยปัจจัยเพิ่มเติม ถ้าเราใช้เศษส่วนในรูปแบบ x 3 - 1 0, 5 · x เราจะลดให้เหลือส่วน x สำหรับสิ่งนี้คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์ 2 x จากนั้นเราจะได้นิพจน์ x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

การลดเศษส่วนหรือนำเศษส่วนที่คล้ายกันมาใช้ใน ODZ ของเศษส่วนที่กำหนดเท่านั้น เมื่อคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์อตรรกยะ เราจะได้ว่าเรากำจัดอตรรกยะในตัวส่วนออกไป

การกำจัดความไม่สมเหตุสมผลในตัวส่วน

เมื่อนิพจน์กำจัดรากในตัวส่วนด้วยการแปลง สิ่งนี้เรียกว่าการกำจัดความไม่ลงตัว พิจารณาตัวอย่างเศษส่วนในรูปแบบ x 3 3 . หลังจากกำจัดความไม่สมเหตุสมผลแล้ว เราจะได้เศษส่วนใหม่ในรูปแบบ 9 3 · x 3 .

เปลี่ยนจากรากเป็นองศา

การเปลี่ยนจากรากไปสู่อำนาจเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของการแสดงออกที่ไม่ลงตัว หากเราพิจารณาความเท่าเทียมกัน a m n = a mn ก็เป็นที่ชัดเจนว่าการใช้เป็นไปได้เมื่อ a เป็นจำนวนบวก m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ หากเราพิจารณานิพจน์ 5 - 2 3 มิฉะนั้นเรามีสิทธิ์เขียนเป็น 5 - 2 3 . นิพจน์เหล่านี้เทียบเท่ากัน

เมื่อมีตัวเลขติดลบหรือตัวเลขที่มีตัวแปรอยู่ใต้รูท สูตร a mn = a mn จะใช้ไม่ได้เสมอไป หากคุณต้องการแทนที่รูตดังกล่าว (- 8) 3 5 และ (- 16) 2 4 ด้วยกำลัง เราจะได้ - 8 3 5 และ - 16 2 4 ตามสูตร a m n = a m n ใช้ไม่ได้กับค่าลบ a เพื่อที่จะวิเคราะห์รายละเอียดเกี่ยวกับหัวข้อของการแสดงออกที่รุนแรงและการทำให้เข้าใจง่าย จำเป็นต้องศึกษาบทความเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากรากสู่อำนาจและในทางกลับกัน ควรจำไว้ว่าสูตร a mn = a mn ใช้ไม่ได้กับนิพจน์ประเภทนี้ทั้งหมด การกำจัดความไร้เหตุผลช่วยให้การแสดงออก การเปลี่ยนแปลง และการแก้ปัญหาง่ายขึ้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter