Mellannivå

Rätt triangel. Komplett illustrerad guide (2019)

HÖGER TRIANGEL. FÖRSTA NIVÅN.

I problem är en rät vinkel inte alls nödvändig - den nedre vänstra, så du måste lära dig att känna igen en rät triangel i denna form,

och i sådant

och i sådant

Vad är bra med en rätvinklig triangel? Tja... först och främst, det finns speciella vackra namn för hans sidor.

Uppmärksamhet på ritningen!

Kom ihåg och förväxla inte: ben - två, och hypotenusan - bara en(den enda, unika och längsta)!

Jo, vi diskuterade namnen, nu det viktigaste: Pythagoras sats.

Pythagoras sats.

Detta teorem är nyckeln till att lösa många problem som involverar rät triangel. Pythagoras bevisade det perfekt urminnes tider, och sedan dess har hon medfört många fördelar för dem som känner henne. Och det bästa med henne är att hon är enkel.

Så, Pythagoras sats:

Kommer du ihåg skämtet: "Pythagoreiska byxor är lika på alla sidor!"?

Låt oss rita dessa mycket Pythagoras byxor och titta på dem.

Ser det verkligen ut som shorts? Tja, på vilka sidor och var är de lika? Varför och var kom skämtet ifrån? Och detta skämt hänger just ihop med Pythagoras sats, närmare bestämt med hur Pythagoras själv formulerade sin sats. Och han formulerade det så här:

"Belopp område av torg, byggd på benen, är lika med kvadratisk yta byggd på hypotenusan.

Låter det inte lite annorlunda, eller hur? Och så, när Pythagoras ritade uttalandet om sitt teorem, blev just en sådan bild.

I den här bilden är summan av ytorna på de små kvadraterna lika med arean på den stora kvadraten. Och för att barnen bättre ska komma ihåg att summan av kvadraterna på benen är lika med kvadraten på hypotenusan, uppfann någon kvick det här skämtet om Pythagoras byxor.

Varför formulerar vi nu Pythagoras sats

Lidde Pythagoras och pratade om rutor?

Du förstår, i gamla tider fanns det ingen ... algebra! Det fanns inga skyltar och så vidare. Det fanns inga inskriptioner. Kan ni föreställa er hur hemskt det var för de stackars forntida studenterna att memorera allt med ord??! Och vi kan vara glada att vi har en enkel formulering av Pythagoras sats. Låt oss upprepa det igen för att bättre komma ihåg:

Nu borde det vara enkelt:

Kvadraten på hypotenusan är lika med summan fyrkanter av ben.

Jo, den viktigaste satsen om en rätvinklig triangel diskuterades. Om du är intresserad av hur det bevisas, läs nästa teorinivå, och låt oss nu gå vidare ... in i den mörka skogen ... av trigonometri! Till hemska ord sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Sinus, cosinus, tangent, cotangens i en rätvinklig triangel.

Faktum är att allt inte alls är så läskigt. Naturligtvis bör den "riktiga" definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens tittas på i artikeln. Men du vill verkligen inte, eller hur? Vi kan glädjas: för att lösa problem om en rätvinklig triangel kan du helt enkelt fylla i följande enkla saker:

Varför handlar det om hörnet? Var är hörnet? För att förstå detta behöver du veta hur påståendena 1 - 4 skrivs i ord. Titta, förstå och kom ihåg!

1.
Det låter faktiskt så här:

Hur är det med vinkeln? Finns det ett ben som är mittemot hörnet, det vill säga det motsatta benet (för hörnet)? Har såklart! Det här är en katet!

Men hur är det med vinkeln? Titta noggrant. Vilket ben ligger intill hörnet? Naturligtvis, katten. Så, för vinkeln, är benet intill, och

Och nu, uppmärksamhet! Titta vad vi fick:

Se hur bra det är:

Låt oss nu gå vidare till tangent och cotangens.

Hur ska man sätta ord på det nu? Vad är benet i förhållande till hörnet? Mittemot förstås - den "ligger" mitt emot hörnet. Och kateten? I anslutning till hörnet. Så vad fick vi?

Ser du hur täljaren och nämnaren är omvända?

Och nu igen hörnen och gjorde utbytet:

Sammanfattning

Låt oss kort skriva ner vad vi har lärt oss.

Pythagoras sats:

Den huvudsakliga rätvinkliga triangelsatsen är Pythagoras sats.

Pythagoras sats

Kommer du förresten väl ihåg vad benen och hypotenusan är? Om inte, titta på bilden - uppdatera dina kunskaper

Det är mycket möjligt att du redan har använt Pythagoras sats många gånger, men har du någonsin undrat varför en sådan sats är sann. Hur skulle du bevisa det? Låt oss göra som de gamla grekerna. Låt oss rita en kvadrat med en sida.

Du ser hur listigt vi delade in dess sidor i segment av längder och!

Låt oss nu ansluta de markerade punkterna

Här noterade vi dock något annat, men du själv tittar på bilden och funderar över varför.

Vad är arean på det större torget? Rätt, . Hur är det med det mindre området? Visst, . Den totala arean av de fyra hörnen återstår. Föreställ dig att vi tog två av dem och lutade oss mot varandra med hypotenusor. Vad hände? Två rektanglar. Så området för "sticklingar" är lika.

Låt oss lägga ihop allt nu.

Låt oss förvandla:

Så vi besökte Pythagoras - vi bevisade hans teorem på ett urgammalt sätt.

Rätt triangel och trigonometri

För en rätvinklig triangel gäller följande relationer:

Sinus spetsig vinkel lika med förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan

Cosinus för en spetsig vinkel är lika med förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.

Tangensen för en spetsig vinkel är lika med förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet.

Cotangensen för en spetsig vinkel är lika med förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta benet.

Och återigen, allt detta i form av en tallrik:

Det är väldigt bekvämt!

Tecken på likhet av räta trianglar

I. På två ben

II. Genom benet och hypotenusan

III. Genom hypotenusa och spetsig vinkel

IV. Längs benet och spetsig vinkel

a)

b)

Uppmärksamhet! Här är det väldigt viktigt att benen är "motsvarande". Om det till exempel går så här:

DÅ ÄR TREANGLARNA INTE LIKA, trots att de har en identisk spetsig vinkel.

Behöver i båda trianglarna låg benet intill, eller i båda - mitt emot.

Har du märkt hur tecknen på likhet i räta trianglar skiljer sig från de vanliga tecknen på likhet i trianglar? Titta på ämnet "och var uppmärksam på det faktum att för likheten mellan "vanliga" trianglar behöver du likheten mellan deras tre element: två sidor och en vinkel mellan dem, två vinklar och en sida mellan dem, eller tre sidor. Men för rätvinkliga trianglars likhet räcker bara två motsvarande element. Det är bra, eller hur?

Ungefär samma situation med tecken på likhet av räta trianglar.

Tecken på likhet mellan räta trianglar

I. Akut hörn

II. På två ben

III. Genom benet och hypotenusan

Median i en rätvinklig triangel

Varför är det så?

Betrakta en hel rektangel istället för en rätvinklig triangel.

Låt oss rita en diagonal och överväga en punkt - skärningspunkten för diagonalerna. Vad vet du om diagonalerna i en rektangel?

Och vad följer av detta?

Så det blev det

1. - median:

Kom ihåg detta faktum! Hjälper mycket!

Vad som är ännu mer förvånande är att det omvända också är sant.

Vad kan man vinna på att medianen som dras till hypotenusan är lika med halva hypotenusan? Låt oss titta på bilden

Titta noggrant. Vi har: , det vill säga avstånden från punkten till alla tre toppar trianglar är lika. Men i en triangel finns det bara en punkt, avstånden från vilken ungefär alla tre hörn av triangeln är lika, och detta är CENTRUM AV CIRKUMET som beskrivs. Så vad hände?

Så låt oss börja med detta "förutom...".

Låt oss titta på i.

Men i liknande trianglar är alla vinklar lika!

Detsamma kan sägas om och

Låt oss nu rita det tillsammans:

Vilken nytta kan dras av denna "trippel" likhet.

Tja, till exempel - två formler för höjden av en rätvinklig triangel.

Vi skriver relationerna mellan de motsvarande parterna:

För att hitta höjden löser vi proportionen och får första formeln "Höjd i en rätvinklig triangel":

Så låt oss tillämpa likheten: .

Vad kommer att hända nu?

Återigen löser vi proportionen och får den andra formeln:

Båda dessa formler måste komma ihåg mycket väl och den som är mer bekväm att applicera. Låt oss skriva ner dem igen.

Pythagoras sats:

I en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av benens kvadrater:.

Tecken på likhet i räta trianglar:

• på två ben:
• längs benet och hypotenusan: eller
• längs benet och den intilliggande spetsiga vinkeln: eller
• längs benet och motsatt spetsig vinkel: eller
• genom hypotenusa och spetsig vinkel: eller.

Tecken på likhet mellan räta trianglar:

• ett skarpt hörn: eller
• från proportionaliteten mellan de två benen:
• från proportionaliteten mellan benet och hypotenusan: eller.

Sinus, cosinus, tangent, cotangens i en rätvinklig triangel

• Sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan:
• Cosinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan:
• Tangensen för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande:
• Kotangensen för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta:.

Höjd på en rätvinklig triangel: eller.

I en rätvinklig triangel, medianen dragen från vertex rätt vinkel, är lika med hälften av hypotenusan: .

Arean av en rätvinklig triangel:

• genom katetrarna:

Sinus den spetsiga vinkeln α för en rätvinklig triangel är förhållandet motsatt kateter till hypotenusan.
Den betecknas enligt följande: sin α.

Cosinus spetsig vinkel α i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.
Den betecknas enligt följande: cos α.

Tangent spetsig vinkel α är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet.
Den betecknas enligt följande: tg α.

Cotangens spetsig vinkel α är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta.
Den betecknas enligt följande: ctg α.

En vinkels sinus, cosinus, tangent och cotangens beror endast på vinkelns storlek.

Regler:

Main trigonometriska identiteter i en rätvinklig triangel:

(α - spetsig vinkel mittemot benet b och intill benet a . Sida med - hypotenusa. β - den andra spetsiga vinkeln).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

När den spetsiga vinkeln ökarsinα ochtg α ökning, ochcos α minskar.

För varje spetsig vinkel α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Förklarande exempel:

Släpp in en rätvinklig triangel ABC
AB = 6,
BC = 3,
vinkel A = 30º.

Hitta sinus för vinkel A och cosinus för vinkel B.

Beslut .

1) Först hittar vi värdet på vinkel B. Allt är enkelt här: eftersom summan av spetsa vinklar i en rät triangel är 90º, då är vinkel B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Beräkna sin A. Vi vet att sinus är lika med förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan. För vinkel A är det motsatta benet sidan BC. Så:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nu beräknar vi cos B. Vi vet att cosinus är lika med förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan. För vinkel B är det intilliggande benet samma sida BC. Det betyder att vi återigen behöver dela BC i AB - det vill säga utföra samma åtgärder som när vi beräknar sinus för vinkel A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Resultatet är:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Av detta följer att i en rätvinklig triangel är sinus för en spetsig vinkel lika med cosinus för en annan spetsig vinkel - och vice versa. Detta är exakt vad våra två formler betyder:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Låt oss kolla upp det igen:

1) Låt α = 60º. Genom att ersätta värdet av α i sinusformeln får vi:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Låt α = 30º. Genom att ersätta värdet av α i cosinusformeln får vi:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(För mer om trigonometri, se avsnittet Algebra)

Föreläsning: Sinus, cosinus, tangent, cotangens av en godtycklig vinkel

Sinus, cosinus av en godtycklig vinkel

För att förstå vad som är trigonometriska funktioner, vi vänder oss till en cirkel med en enhetsradie. Given cirkelär centrerad vid origo i koordinatplanet. För att bestämma de givna funktionerna använder vi radievektorn ELLER, som börjar i mitten av cirkeln och punkten Rär en punkt på cirkeln. Denna radievektor bildar en vinkel alfa med axeln ÅH. Eftersom cirkeln har en radie lika med ett, alltså ELLER = R = 1.

Om från punkten R släpp en vinkelrät på axeln ÅH, då får vi en rätvinklig triangel med hypotenusan lika med ett.

Om radievektorn rör sig medurs kallas denna riktning negativ, men om den rör sig moturs - positiv.

Sinus för en vinkel ELLER, är ordinatan för punkten R vektorer på en cirkel.

Det vill säga, för att få värdet på sinus för en given vinkel alfa, är det nödvändigt att bestämma koordinaten På på ytan.

på vilket sätt givet värde var mottagen? Eftersom vi vet att sinus för en godtycklig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan, får vi att

Och sedan R=1, då sin(α) = y 0 .

I enhetscirkeln kan ordinatan inte vara mindre än -1 och större än 1, vilket betyder att

Sinus accepterar positivt värde i den första och andra fjärdedelen av enhetscirkeln, och negativ i den tredje och fjärde.

Cosinus av en vinkel given cirkel som bildas av radievektorn ELLER, är abskissan av punkten R vektorer på en cirkel.

Det vill säga, för att få värdet på cosinus för en given vinkel alfa, är det nödvändigt att bestämma koordinaten X på ytan.

Cosinus för en godtycklig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan, vi får det

Och sedan R=1, då cos(α) = x 0 .

I enhetscirkeln får abskissans värde inte vara mindre än -1 och större än 1, vilket betyder att

Cosinus är positivt i den första och fjärde kvadranten av enhetscirkeln och negativ i den andra och tredje.

tangentgodtycklig vinkel förhållandet mellan sinus och cosinus beräknas.

Om vi ​​betraktar en rätvinklig triangel, är detta förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande. Om vi pratar om enhetscirkeln, då är detta förhållandet mellan ordinatan och abskissan.

Att döma av dessa samband kan det förstås att tangenten inte kan existera om värdet på abskissan är noll, det vill säga i en vinkel på 90 grader. Tangenten kan ta alla andra värden.

Tangenten är positiv i den första och tredje fjärdedelen av enhetscirkeln och negativ i den andra och fjärde.

Referensdata för tangent (tg x) och cotangens (ctg x). Geometrisk definition, egenskaper, grafer, formler. Tabell över tangenter och cotangenter, derivator, integraler, serieutvidgningar. Uttryck genom komplexa variabler. Anslutning till hyperboliska funktioner.

Geometrisk definition

|BD| - längden på cirkelbågen centrerad i punkt A.
α är vinkeln uttryckt i radianer.

Tangent ( tgα) är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det motsatta benet |BC| till längden av det intilliggande benet |AB| .

Cotangens ( ctgα) är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det intilliggande benet |AB| till längden av det motsatta benet |BC| .

Tangent

Var n- hel.

PÅ Västerländsk litteratur tangent definieras enligt följande:
.
;
;
.

Graf över tangentfunktionen, y = tg x

Cotangens

Var n- hel.

I västerländsk litteratur betecknas cotangenten enligt följande:
.
Följande notation har också antagits:
;
;
.

Graf över cotangensfunktionen, y = ctg x

Egenskaper för tangent och cotangens

Periodicitet

Funktioner y= tg x och y= ctg xär periodiska med period π.

Paritet

Funktionerna tangent och cotangens är udda.

Domäner av definition och värden, stigande, fallande

Funktionerna tangent och cotangens är kontinuerliga på sin definitionsdomän (se kontinuitetsbeviset). Tangentens och cotangensens huvudegenskaper presenteras i tabellen ( n- heltal).

	y= tg x	y= ctg x
Omfattning och kontinuitet
Värdeintervall	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Stigande		-
Nedåtgående	-
Extremer	-	-
Nollor, y= 0
Skärningspunkter med y-axeln, x = 0	y= 0	-

Formler

Uttryck i termer av sinus och cosinus

; ;
; ;
;

Formler för tangent och cotangens av summa och skillnad

Resten av formlerna är till exempel lätta att få tag på

Produkt av tangenter

Formeln för summan och skillnaden av tangenter

Den här tabellen visar värdena för tangenter och cotangenter för vissa värden i argumentet.

Uttryck i termer av komplexa tal

Uttryck i termer av hyperboliska funktioner

;
;

Derivat

; .

.
Derivata av n:e ordningen med avseende på variabeln x i funktionen:
.
Härledning av formler för tangent > > > ; för cotangens > > >

Integraler

Utökningar till serier

För att få expansionen av tangenten i potenser av x måste du ta flera termer av expansionen in kraftserie för funktioner synd x och för x och dela dessa polynom i varandra , . Detta resulterar i följande formler.

Kl.

kl.
var B n- Bernoullis siffror. De bestäms antingen från återfallsrelationen:
;
;
var .
Eller enligt Laplace-formeln:

Omvända funktioner

De inversa funktionerna till tangent och cotangens är arctangent respektive arccotangens.

Arctangens, arctg

, var n- hel.

Bågtangens, bågtangens

, var n- hel.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.
G. Korn, Handbok i matematik för forskare och ingenjörer, 2012.

I den här artikeln kommer vi att ta en omfattande titt på . Grundläggande trigonometriska identiteter är likheter som upprättar ett samband mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel, och låter dig hitta någon av dessa trigonometriska funktioner genom en känd annan.

Vi listar omedelbart de viktigaste trigonometriska identiteterna, som vi kommer att analysera i den här artikeln. Vi skriver ner dem i en tabell, och nedan ger vi härledningen av dessa formler och ger de nödvändiga förklaringarna.

Sidnavigering.

Förhållandet mellan sinus och cosinus för en vinkel

Ibland talar de inte om de viktigaste trigonometriska identiteterna som anges i tabellen ovan, utan om en enda grundläggande trigonometrisk identitet snäll . Förklaringen till detta faktum är ganska enkel: likheterna erhålls från den grundläggande trigonometriska identiteten efter att ha dividerat båda dess delar med respektive, och likheterna och följer av definitionerna av sinus, cosinus, tangens och cotangens. Vi kommer att diskutera detta mer i detalj i följande stycken.

Det vill säga att det är jämställdheten som är av särskilt intresse, som fick namnet på den trigonometriska huvudidentiteten.

Innan vi bevisar den grundläggande trigonometriska identiteten ger vi dess formulering: summan av kvadraterna av sinus och cosinus i en vinkel är identiskt lika med en. Låt oss nu bevisa det.

Den grundläggande trigonometriska identiteten används mycket ofta i transformation av trigonometriska uttryck. Det gör att summan av kvadraterna av sinus och cosinus för en vinkel kan ersättas med en. Inte mindre ofta används den grundläggande trigonometriska identiteten i omvänd ordning: enheten ersätts av summan av kvadraterna av sinus och cosinus i vilken vinkel som helst.

Tangent och cotangens genom sinus och cosinus

Identiteter som förbinder tangenten och cotangensen med sinus och cosinus för en vinkel av formen och följer omedelbart av definitionerna av sinus, cosinus, tangent och cotangens. Faktum är att per definition är sinus ordinatan till y, cosinus är abskissan till x, tangenten är förhållandet mellan ordinatan och abskissan, det vill säga, , och cotangenten är förhållandet mellan abskissan och ordinatan, det vill säga .

På grund av denna självklarhet av identiteter och ofta ges definitionerna av tangent och cotangens inte genom förhållandet mellan abskissan och ordinatan, utan genom förhållandet mellan sinus och cosinus. Så tangenten för en vinkel är förhållandet mellan sinus och cosinus för denna vinkel, och cotangens är förhållandet mellan cosinus och sinus.

För att avsluta detta avsnitt bör det noteras att identiteterna och hålla för alla sådana vinklar för vilka de trigonometriska funktionerna i dem är meningsfulla. Så formeln är giltig för något annat än (annars kommer nämnaren att vara noll, och vi definierade inte division med noll), och formeln - för alla , olika från , där z är vilken som helst .

Samband mellan tangent och cotangens

En ännu mer uppenbar trigonometrisk identitet än de två föregående är identiteten som förbinder tangenten och cotangensen för en vinkel i formen . Det är tydligt att det sker för andra vinklar än , annars är antingen tangenten eller cotangensen inte definierad.

Bevis på formeln väldigt enkelt. Per definition och varifrån . Beviset kunde ha genomförts på ett lite annat sätt. Sedan och , då .

Så, tangenten och cotangensen för en vinkel, vid vilken de är meningsfulla, är.