Fjärdedelar av cosinus av sinus av tangenter. trigonometrisk cirkel. Grundläggande värden för trigonometriska funktioner

11.10.2019

Om du redan är bekant med trigonometrisk cirkel , och du bara vill fräscha upp enskilda element i ditt minne, eller så är du helt otålig, så här är det, :

Här kommer vi att analysera allt i detalj steg för steg.

Den trigonometriska cirkeln är inte en lyx, utan en nödvändighet

Trigonometri många är förknippade med ett oframkomligt snår. Så många betydelser hopar sig plötsligt trigonometriska funktioner, så många formler ... Men det är som att det inte fungerade först, och ... av och på ... rent missförstånd ...

Det är väldigt viktigt att inte vifta med handen värden för trigonometriska funktioner,- säger man, man kan alltid titta på sporren med en värdetabell.

Om du ständigt tittar på tabellen med värdena för trigonometriska formler, låt oss bli av med denna vana!

Kommer att rädda oss! Du kommer att arbeta med det flera gånger, och sedan dyker det upp i ditt huvud av sig själv. Varför är det bättre än ett bord? Ja, i tabellen hittar du ett begränsat antal värden, men på cirkeln - ALLT!

Till exempel, säg att titta på standardvärdetabell för trigonometriska formler , som är sinus av, säg, 300 grader, eller -45.

Inget sätt? .. du kan naturligtvis ansluta reduktionsformler... Och tittar du på den trigonometriska cirkeln kan du enkelt svara på sådana frågor. Och du kommer snart att veta hur!

Och när man löser trigonometriska ekvationer och ojämlikheter utan en trigonometrisk cirkel - ingenstans alls.

Introduktion till den trigonometriska cirkeln

Låt oss gå i ordning.

Skriv först ned följande nummerserie:

Och nu detta:

Och till sist den här:

Naturligtvis är det klart att i själva verket i första hand är, i andra hand är, och i sista hand -. Det vill säga, vi kommer att vara mer intresserade av kedjan.

Men så vackert det blev! I så fall kommer vi att återställa denna "underbara stege".

Och varför behöver vi det?

Denna kedja är huvudvärdena för sinus och cosinus under det första kvartalet.

Låt oss rita en cirkel med enhetsradie i ett rektangulärt koordinatsystem (det vill säga vi tar vilken radie som helst längs längden och förklarar dess längd som enhet).

Från "0-Start" strålen lägger vi åt sidan i pilens riktning (se fig.) hörnen.

Vi får motsvarande punkter på cirkeln. Så om vi projicerar punkterna på var och en av axlarna, kommer vi att få exakt värdena från ovanstående kedja.

Varför är det så, frågar du dig?

Låt oss inte ta isär allt. Överväga princip, vilket gör att du kan hantera andra liknande situationer.

Triangel AOB är en rätvinklig triangel med . Och vi vet att mitt emot vinkeln vid ligger ett ben dubbelt så litet som hypotenusan (vår hypotenusa = cirkelns radie, det vill säga 1).

Därför AB= (och därmed OM=). Och genom Pythagoras sats

Jag hoppas att något är klart nu.

Så punkt B kommer att motsvara värdet och punkt M kommer att motsvara värdet

På samma sätt med resten av värdena för första kvartalet.

Som du förstår kommer den axel som är bekant för oss (oxe) att vara cosinusaxel, och axeln (oy) - sinusaxeln . senare.

Till vänster om noll på cosinusaxeln (under noll på sinusaxeln) kommer naturligtvis att vara negativa värden.

Så här är den, den ALLMÄKTIGE, utan vilken ingenstans i trigonometrin.

Men hur man använder den trigonometriska cirkeln ska vi prata om.

Referensdata för tangent (tg x) och cotangens (ctg x). Geometrisk definition, egenskaper, grafer, formler. Tabell över tangenter och cotangenter, derivator, integraler, serieutvidgningar. Uttryck genom komplexa variabler. Anslutning till hyperboliska funktioner.

Geometrisk definition

|BD| - längden på cirkelbågen centrerad i punkt A.
α är vinkeln uttryckt i radianer.

Tangent ( tgα) är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet rät triangel, lika med förhållandet mellan längden på det motsatta benet |BC| till längden av det intilliggande benet |AB| .

Cotangens ( ctgα) är en trigonometrisk funktion beroende på vinkeln α mellan hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel, lika med förhållandet mellan längden på det intilliggande benet |AB| till längden av det motsatta benet |BC| .

Tangent

Var n- hel.

PÅ Västerländsk litteratur tangent definieras enligt följande:
.
;
;
.

Graf över tangentfunktionen, y = tg x

Cotangens

Var n- hel.

I västerländsk litteratur betecknas cotangenten enligt följande:
.
Följande notation har också antagits:
;
;
.

Graf över cotangensfunktionen, y = ctg x

Egenskaper för tangent och cotangens

Periodicitet

Funktioner y= tg x och y= ctg xär periodiska med period π.

Paritet

Funktionerna tangent och cotangens är udda.

Domäner av definition och värden, stigande, fallande

Funktionerna tangent och cotangens är kontinuerliga på sin definitionsdomän (se kontinuitetsbeviset). Tangentens och cotangensens huvudegenskaper presenteras i tabellen ( n- heltal).

	y= tg x	y= ctg x
Omfattning och kontinuitet
Värdeintervall	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Stigande		-
Nedåtgående	-
Extremer	-	-
Nollor, y= 0
Skärningspunkter med y-axeln, x = 0	y= 0	-

Formler

Uttryck i termer av sinus och cosinus

; ;
; ;
;

Formler för tangent och cotangens av summa och skillnad

Resten av formlerna är till exempel lätta att få tag på

Produkt av tangenter

Formeln för summan och skillnaden av tangenter

Den här tabellen visar värdena för tangenter och cotangenter för vissa värden i argumentet.

Uttryck i termer av komplexa tal

Uttryck i termer av hyperboliska funktioner

;
;

Derivat

; .

.
Derivata av n:e ordningen med avseende på variabeln x i funktionen:
.
Härledning av formler för tangent > > > ; för cotangent > > >

Integraler

Utökningar till serier

För att få expansionen av tangenten i potenser av x måste du ta flera termer av expansionen in kraftserie för funktioner synd x och för x och dela dessa polynom i varandra , . Detta resulterar i följande formler.

Kl.

kl.
var B n- Bernoullis siffror. De bestäms antingen från återfallsrelationen:
;
;
var .
Eller enligt Laplace-formeln:

Omvända funktioner

De inversa funktionerna till tangent och cotangens är arctangent respektive arccotangens.

Arctangens, arctg

, var n- hel.

Bågtangens, bågtangens

, var n- hel.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.
G. Korn, Handbok i matematik för forskare och ingenjörer, 2012.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Personlig information avser data som kan användas för att identifiera viss person eller kontakt med honom.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika information inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
Vi kan även använda personlig information för interna ändamål såsom revision, dataanalys och olika studier för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och för att ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

Om det behövs - i enlighet med lagen, rättsligt förfarande, i rättstvister, och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Räkna vinklar på en trigonometrisk cirkel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Det är nästan samma som i föregående lektion. Det finns yxor, en cirkel, en vinkel, allt är chin-kina. Lägg till antal fjärdedelar (i hörnen av en stor kvadrat) - från den första till den fjärde. Och så plötsligt vem vet inte? Som du kan se, quarters (de kallas också vackert ord"kvadranter") numreras mot draget medurs. Tillagda vinkelvärden på axlar. Allt är klart, inga krusiduller.

Och lade till en grön pil. Med ett plus. Vad menar hon? Låt mig påminna dig om att den fasta sidan av hörnet alltid spikad till den positiva axeln OH. Så, om vi vrider den rörliga sidan av hörnet plus pil, dvs. i stigande kvartalsnummer, vinkeln kommer att betraktas som positiv. Till exempel visar bilden en positiv vinkel på +60°.

Om vi skjuter upp hörnen i baksidan, medurs, vinkeln kommer att betraktas som negativ. Håll muspekaren över bilden (eller tryck på bilden på surfplattan), du kommer att se en blå pil med ett minus. Detta är riktningen för den negativa avläsningen av vinklarna. En negativ vinkel (-60°) visas som ett exempel. Och du kommer också att se hur siffrorna på axlarna har förändrats ... Jag har också översatt dem till negativa vinklar. Numreringen av kvadranter ändras inte.

Här börjar oftast de första missförstånden. Hur så!? Och om den negativa vinkeln på cirkeln sammanfaller med den positiva!? Och i allmänhet visar det sig att samma position för den rörliga sidan (eller en punkt på den numeriska cirkeln) kan kallas både en negativ vinkel och en positiv!?

Ja. Exakt. Låt oss säga att en positiv vinkel på 90 grader tar en cirkel exakt samma position som en negativ vinkel på minus 270 grader. En positiv vinkel, till exempel +110° grader, tar exakt samma läge eftersom den negativa vinkeln är -250°.

Inga problem. Allt är korrekt.) Valet av en positiv eller negativ beräkning av vinkeln beror på tillståndet för uppdraget. Om tillståndet inte säger något oformatterad text om vinkelns tecken, (som "bestäm den minsta positiv vinkel", etc.), då arbetar vi med värden som är bekväma för oss.

Ett undantag (och hur utan dem?!) är trigonometriska ojämlikheter, men där kommer vi att bemästra detta trick.

Och nu en fråga till dig. Hur vet jag att positionen för 110°-vinkeln är densamma som positionen för -250°-vinkeln?
Jag kommer att antyda att detta beror på den fulla omsättningen. I 360°... Inte klart? Sedan ritar vi en cirkel. Vi ritar på papper. Markering av hörnet handla om 110°. Och tro hur mycket som återstår till en hel tur. Bara 250° kvar...

Jag fattar? Och nu - uppmärksamhet! Om vinklarna 110° och -250° upptar cirkeln samma position, vad då? Ja, det faktum att vinklarna är 110 ° och -250 ° exakt samma sinus, cosinus, tangent och cotangens!
De där. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) och så vidare. Nu är detta verkligen viktigt! Och i sig - det finns många uppgifter där det är nödvändigt att förenkla uttryck, och som en grund för den efterföljande utvecklingen av reduktionsformler och andra krångligheter av trigonometri.

Naturligtvis tog jag 110° och -250° på måfå, rent till exempel. Alla dessa likheter fungerar för alla vinklar som upptar samma position på cirkeln. 60° och -300°, -75° och 285° och så vidare. Jag noterar direkt att hörnen i dessa par - olika. Men de har trigonometriska funktioner - det samma.

Jag tror att du förstår vad negativa vinklar är. Det är ganska enkelt. Moturs är en positiv räkning. Längs vägen är det negativt. Överväg vinkeln positiv eller negativ beror på oss. Från vår önskan. Nåväl, och mer från uppgiften, förstås... Jag hoppas att du förstår hur man rör sig i trigonometriska funktioner från negativa till positiva vinklar och vice versa. Rita en cirkel, en ungefärlig vinkel, och se hur mycket som saknas innan ett helt varv, d.v.s. upp till 360°.

Vinklar större än 360°.

Låt oss ta itu med vinklar som är större än 360 °. Och händer sådana saker? Det finns förstås. Hur man ritar dem på en cirkel? Inget problem! Anta att vi måste förstå i vilken fjärdedel en vinkel på 1000° kommer att falla? Lätt! Vi gör ett helt varv moturs (vinkeln gavs oss positiv!). Spola tillbaka 360°. Nåväl, låt oss gå vidare! En annan tur - det har redan visat sig 720 °. Hur mycket är kvar? 280°. Det räcker inte för ett helt varv ... Men vinkeln är mer än 270 ° - och det här är gränsen mellan tredje och fjärde kvartalet. Så vår vinkel på 1000° faller in i fjärde kvartalet. Allt.

Som du kan se är det ganska enkelt. Låt mig återigen påminna er om att vinkeln på 1000° och vinkeln på 280°, som vi fick genom att kassera de "extra" hela varven, strikt sett är, olika hörn. Men de trigonometriska funktionerna för dessa vinklar exakt samma! De där. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° osv. Om jag var en sinus skulle jag inte märka skillnaden mellan dessa två vinklar...

Varför är allt detta nödvändigt? Varför måste vi översätta vinklar från en till en annan? Ja, allt för samma sak.) För att förenkla uttryck. Förenkling av uttryck är faktiskt skolmatematikens huvuduppgift. Tja, på vägen tränar huvudet.)

Tja, ska vi träna?)

Vi svarar på frågor. Enkelt till en början.

1. I vilken fjärdedel faller vinkeln -325°?

2. I vilken fjärdedel faller vinkeln 3000°?

3. I vilken fjärdedel faller vinkeln -3000°?

Det finns ett problem? Eller osäkerhet? Vi går till Sektion 555, Praktiskt arbete med en trigonometrisk cirkel. Där, i den första lektionen av just denna " praktiskt arbete..." allt är detaljerat ... In sådan frågor om osäkerhet borde inte!

4. Vad är tecknet på synd555°?

5. Vad är tecknet på tg555°?

Fast besluten? Bra! Tvivel? Det är nödvändigt att avsnitt 555 ... Förresten, där kommer du att lära dig hur man ritar tangent och cotangens på en trigonometrisk cirkel. En mycket användbar sak.

Och nu de smartare frågorna.

6. För uttrycket sin777° till sinus för den minsta positiva vinkeln.

7. Ta uttrycket cos777° till cosinus för den största negativa vinkeln.

8. Konvertera uttrycket cos(-777°) till cosinus för den minsta positiva vinkeln.

9. För uttrycket sin777° till sinus för den största negativa vinkeln.

Vad, frågor 6-9 förbryllade? Vänj dig, det finns inte sådana formuleringar på provet ... Så var det, jag kommer att översätta det. Bara för dig!

Orden "reducera uttrycket till ..." betyder att omvandla uttrycket så att dess värde har inte förändrats a utseendeändras i enlighet med uppgiften. Så i uppgifterna 6 och 9 bör vi få en sinus, inom vilken är den minsta positiva vinkeln. Allt annat spelar ingen roll.

Jag kommer att ge svaren i ordning (i strid med våra regler). Men vad du ska göra, det finns bara två tecken, och bara fyra fjärdedelar ... Du kommer inte att sprida i alternativ.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Jag antar att svaren på frågorna 6-9 förvirrade vissa människor. Framförallt -sin(-57°), eller hur?) Ja, i de elementära reglerna för att räkna vinklar finns det utrymme för fel ... Det var därför jag var tvungen att göra en lektion: "Hur man bestämmer tecknen på funktioner och ger vinklar på en trigonometrisk cirkel?" I avsnitt 555. Där är uppgifterna 4 - 9 sorterade. Bra sorterat, med alla fallgropar. Och de är här.)

I nästa lektion kommer vi att ta itu med de mystiska radianerna och numret "Pi". Lär dig hur du enkelt och korrekt konverterar grader till radianer och vice versa. Och vi kommer att bli förvånade över att finna att denna elementära information på webbplatsen redan tillräckligt för att lösa några icke-standardiserade trigonometripussel!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Tecknet för den trigonometriska funktionen beror enbart på den koordinatfjärdedel där det numeriska argumentet finns. Förra gången lärde vi oss hur man översätter argument från ett radianmått till ett gradmått (se lektionen " Radian och gradmått för en vinkel") och sedan bestämmer samma koordinatfjärdedel. Låt oss nu ta itu med definitionen av tecknet för sinus, cosinus och tangent.

Sinus för vinkeln α är ordinatan (koordinaten y) för en punkt på en trigonometrisk cirkel, som uppstår när radien vrids genom vinkeln α.

Cosinus för vinkeln α är abskissan (x-koordinaten) för en punkt på en trigonometrisk cirkel som uppstår när radien roterar genom vinkeln α.

Tangensen för vinkeln α är förhållandet mellan sinus och cosinus. Eller, ekvivalent, förhållandet mellan y-koordinaten och x-koordinaten.

Notation: sin α = y ; cosa = x; tgα = y : x .

Alla dessa definitioner är bekanta för dig från gymnasiets algebrakurs. Vi är dock inte intresserade av själva definitionerna, utan av de konsekvenser som uppstår på den trigonometriska cirkeln. Ta en titt:

Blått indikerar den positiva riktningen för OY-axeln (y-axeln), rött indikerar den positiva riktningen för OX-axeln (abskissan). På denna "radar" blir tecknen på trigonometriska funktioner uppenbara. Särskilt:

sin α > 0 om vinkeln α ligger i I eller II koordinatkvarten. Detta beror på att en sinus per definition är en ordinata (y-koordinat). Och y-koordinaten kommer att vara positiv just i I- och II-koordinatkvarteren;
cos α > 0 om vinkeln α ligger i I- eller IV-koordinatkvartalet. För bara där kommer x-koordinaten (det är också abskissan) att vara större än noll;
tg α > 0 om vinkeln α ligger i I- eller III-koordinatkvadranten. Detta följer av definitionen: trots allt, tg α = y : x , så det är positivt endast där tecknen på x och y sammanfaller. Detta händer i det första koordinatkvartalet (här x > 0, y > 0) och det tredje koordinatkvartalet (x< 0, y < 0).

För tydlighetens skull noterar vi tecknen för varje trigonometrisk funktion - sinus, cosinus och tangent - på separat "radar". Vi får följande bild:

Notera: i mitt resonemang talade jag aldrig om den fjärde trigonometriska funktionen - cotangensen. Faktum är att tecknen på cotangenten sammanfaller med tecknen på tangenten - det finns inga speciella regler där.

Nu föreslår jag att överväga exempel som liknar problem B11 från provprov i matematik, som ägde rum den 27 september 2011. Trots allt Det bästa sättet förståelse av teori är praktik. Gärna mycket träning. Givetvis ändrades arbetsuppgifternas förutsättningar något.

Uppgift. Bestäm tecknen på trigonometriska funktioner och uttryck (värdena för funktionerna själva behöver inte beaktas):

sin(3π/4);

cos(7π/6);

brun (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Handlingsplanen är följande: först omvandlar vi alla vinklar från radianmått till gradmått (π → 180°), och tittar sedan i vilken koordinatfjärdedel det resulterande talet ligger. Genom att känna till kvarteren kan vi lätt hitta skyltarna - enligt de regler som just beskrivits. Vi har:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Eftersom 135° ∈ är detta en vinkel från II-koordinatkvadranten. Men sinus i andra kvartalet är positivt, så sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Därför att 210° ∈ , detta är en vinkel från III-koordinatkvadranten där alla cosinus är negativa. Därför cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Eftersom 300° ∈ är vi i kvadrant IV, där tangenten tar negativa värden. Därför tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Låt oss ta itu med sinus: därför 135° ∈ , detta är andra kvartalet, där sinusen är positiv, dvs. sin (3π/4) > 0. Nu arbetar vi med cosinus: 150° ∈ - återigen andra kvartalet är cosinus där negativa. Därför cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Vi tittar på cosinus: 120° ∈ är II-koordinatkvarten, så cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Återigen fick vi en produkt där faktorer av olika tecken. Eftersom "ett minus gånger ett plus ger ett minus", har vi: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Vi arbetar med sinus: sedan 150° ∈ , vi pratar om II-koordinatkvartalet, där sinusen är positiv. Därför är sin (5π/6) > 0. På samma sätt är 315° ∈ IV-koordinatkvartalet, cosinuserna där är positiva. Därför cos (7π/4) > 0. Vi fick produkten av två positiva tal - ett sådant uttryck är alltid positivt. Vi drar slutsatsen: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Men vinkeln 135° ∈ är den andra fjärdedelen, dvs. brun (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Eftersom "ett minus plus ger ett minustecken", har vi: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Vi tittar på cotangensargumentet: 240° ∈ är III-koordinatfjärdedelen, därför ctg (4π/3) > 0. På liknande sätt har vi för tangenten: 30° ∈ är I-koordinatfjärdedelen, dvs. lättaste hörnet. Därför, tg (π/6) > 0. Återigen fick vi två positiva uttryck - deras produkt kommer också att vara positiv. Därför ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Låt oss slutligen ta en titt på några fler utmanande uppgifter. Förutom att ta reda på tecknet för den trigonometriska funktionen måste du här göra en liten beräkning - precis som det görs i verkliga uppgifter B11. I princip är det nästan riktiga uppgifter som verkligen finns på provet i matematik.

Uppgift. Hitta sin α om sin 2 α = 0,64 och α ∈ [π/2; π].

Eftersom sin 2 α = 0,64 har vi: sin α = ±0,8. Det återstår att bestämma: plus eller minus? Genom antagande, vinkeln α ∈ [π/2; π] är II-koordinatkvartalet, där alla sinus är positiva. Därför är sin α = 0,8 - osäkerheten med tecken elimineras.

Uppgift. Hitta cos α om cos 2 α = 0,04 och α ∈ [π; 3π/2].

Vi agerar på liknande sätt, d.v.s. extrahera Roten ur: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Genom antagande, vinkeln α ∈ [π; 3π/2], dvs. vi pratar om III-koordinatkvartalet. Där är alla cosinus negativa, så cos α = −0,2.

Uppgift. Hitta sin α om sin 2 α = 0,25 och α ∈ .

Vi har: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Återigen tittar vi på vinkeln: α ∈ är IV-koordinatfjärdedelen, där sinus, som ni vet, kommer att vara negativ. Därför drar vi slutsatsen: sin α = −0,5.

Uppgift. Hitta tg α om tg 2 α = 9 och α ∈ .

Allt är sig likt, bara för tangenten. Vi tar kvadratroten: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Men enligt villkoret är vinkeln α ∈ I-koordinatkvadranten. Alla trigonometriska funktioner, inkl. tangent, det finns positiva, så tg α = 3. Det är allt!