Cirkelekvation. Ekvation av en cirkel och en rät linje Visa att denna ekvation definierar en cirkel online

Klass: 8

Syftet med lektionen: introducera en cirkels ekvation, lär eleverna att rita upp en cirkelekvation efter en färdig ritning, bygga en cirkel enligt en given ekvation.

Utrustning: interaktiv tavla.

Lektionsplanering:

1. Organisatoriskt ögonblick - 3 min.
2. Upprepning. Organisation av mental aktivitet - 7 min.
3. Förklaring av nytt material. Härledning av cirkelekvationen - 10 min.
4. Konsolidering av det studerade materialet - 20 min.
5. Lektionssammanfattning - 5 min.

Under lektionerna

2. Upprepning:

− (Bilaga 1 glida 2) skriv ner formeln för att hitta koordinaterna för mitten av segmentet;

− (Bild 3) Z skriv formeln för avståndet mellan punkter (längden på segmentet).

3. Förklaring av nytt material.

(Bild 4 - 6) Definiera ekvationen för en cirkel. Härled ekvationerna för en cirkel centrerad i en punkt ( a;b) och centrerad vid ursprunget.

(X – a ) 2 + (på – b ) 2 = R 2 − cirkelekvation med centrum FRÅN (a;b) , radie R , X och på – koordinater för en godtycklig punkt på cirkeln .

X 2 + y 2 = R 2 är ekvationen för en cirkel centrerad vid origo.

(Bild 7)

För att skriva ekvationen för en cirkel behöver du:

• känna till centrumets koordinater;
• känna till längden på radien;
• ersätt koordinaterna för mitten och längden på radien i cirkelekvationen.

4. Problemlösning.

I uppgifter nr 1 - nr 6, rita upp cirkelns ekvationer enligt de färdiga ritningarna.

(Bild 14)

№ 7. Fyll i tabellen.

(Bild 15)

№ 8. Konstruera cirklar i anteckningsboken som ges av ekvationerna:

a) ( X – 5) 2 + (på + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (på– 7) 2 = 7 2 .

(Bild 16)

№ 9. Hitta koordinaterna för mitten och längden på radien if ABär cirkelns diameter.

Given:		Lösning:
		R	Centerkoordinater
1	MEN(0 ; -6) PÅ(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	MEN(0; -6) PÅ(0 ; 2) FRÅN(0 ; – 2) – Centrum
2	MEN(-2 ; 0) PÅ(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	MEN (-2;0) PÅ (4 ;0) FRÅN(1 ; 0) – Centrum

(Bild 17)

№ 10. Skriv ekvationen för en cirkel centrerad vid origo som går genom punkten Till(-12;5).

Lösning.

R2 = OK 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Cirkelekvation: x 2 + y 2 = 169 .

(Bild 18)

№ 11. Skriv en ekvation för en cirkel som går genom origo och centrerad vid punkten FRÅN(3; - 1).

Lösning.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Cirkelekvation: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Bild 19)

№ 12. Skriv ekvationen för en cirkel med ett centrum MEN(3;2) passerar igenom PÅ(7;5).

Lösning.

1. Cirkelns centrum - MEN(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Cirkelekvation ( X – 3) 2 + (på − 2) 2 = 25.

(Bild 20)

№ 13. Kontrollera om poängen ligger MEN(1; -1), PÅ(0;8), FRÅN(-3; -1) på cirkeln som ges av ekvationen ( X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

Lösning.

jag. Ersätt punktens koordinater MEN(1; -1) in i cirkelekvationen:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - jämlikhet är felaktig, vilket betyder MEN(1; -1) ljuger inte på cirkeln som ges av ekvationen ( X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

II. Ersätt punktens koordinater PÅ(0;8) in i cirkelekvationen:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
PÅ(0;8)lögner X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

III. Ersätt punktens koordinater FRÅN(-3; -1) in i cirkelekvationen:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - jämlikhet är sant, så FRÅN(-3; -1) lögner på cirkeln som ges av ekvationen ( X + 3) 2 + (på − 4) 2 = 25.

Sammanfattning av lektionen.

1. Upprepa: en cirkels ekvation, en cirkels ekvation centrerad vid origo.
2. (Bild 21) Läxa.

omkretsär uppsättningen av punkter i planet på samma avstånd från en given punkt, kallad centrum.

Om punkt C är cirkelns mittpunkt, R är dess radie, och M är en godtycklig punkt på cirkeln, då per definition av en cirkel

Jämlikhet (1) är cirkelekvationen radie R centrerad i punkt C.

Låt ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem (Fig. 104) och en punkt C ( a; b) är mitten av en cirkel med radien R. Låt М( X; på) är en godtycklig punkt i denna cirkel.

Sedan |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), då kan ekvation (1) skrivas enligt följande:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Ekvation (2) kallas den allmänna ekvationen för en cirkel eller ekvationen för en cirkel med radien R centrerad vid punkten ( a; b). Till exempel ekvationen

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

är ekvationen för en cirkel med radien R = 5 centrerad vid punkten (1; -3).

Om cirkelns mittpunkt sammanfaller med origo, så tar ekvation (2) formen

x 2 + på 2 = R2. (3)

Ekvation (3) kallas cirkelns kanoniska ekvation .

Uppgift 1. Skriv ekvationen för en cirkel med radien R = 7 centrerad vid origo.

Genom att direkt ersätta radievärdet i ekvation (3) får vi

x 2 + på 2 = 49.

Uppgift 2. Skriv ekvationen för en cirkel med radien R = 9 centrerad i punkten C(3; -6).

Genom att ersätta värdet på koordinaterna för punkt C och värdet på radien i formel (2) får vi

(X - 3) 2 + (på- (-6)) 2 = 81 eller ( X - 3) 2 + (på + 6) 2 = 81.

Uppgift 3. Hitta centrum och radie för en cirkel

(X + 3) 2 + (på-5) 2 =100.

Om vi ​​jämför denna ekvation med den allmänna cirkelekvationen (2), ser vi det a = -3, b= 5, R = 10. Därför är С(-3; 5), R = 10.

Uppgift 4. Bevisa att ekvationen

x 2 + på 2 + 4X - 2y - 4 = 0

är cirkelekvationen. Hitta dess centrum och radie.

Låt oss omvandla den vänstra sidan av denna ekvation:

x 2 + 4X + 4- 4 + på 2 - 2på +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (på - 1) 2 = 9.

Denna ekvation är ekvationen för en cirkel centrerad vid (-2; 1); cirkelns radie är 3.

Uppgift 5. Skriv ekvationen för en cirkel centrerad i punkten C(-1; -1) som rör den räta linjen AB om A (2; -1), B(-1; 3).

Låt oss skriva ekvationen för den räta linjen AB:

eller 4 X + 3y-5 = 0.

Eftersom cirkeln är tangent till den givna linjen, är radien som dras till kontaktpunkten vinkelrät mot denna linje. För att hitta radien måste du hitta avståndet från punkten C (-1; -1) - cirkelns centrum till den räta linjen 4 X + 3y-5 = 0:

Låt oss skriva ekvationen för den önskade cirkeln

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Låt en cirkel ges i ett rektangulärt koordinatsystem x 2 + på 2 = R2. Betrakta dess godtyckliga punkt M( X; på) (Fig. 105).

Låt radievektorn OM> punkt M bildar en storleksvinkel t med O-axelns positiva riktning X, då ändras abskissan och ordinatan för punkten M beroende på t

(0 t x och y igenom t, vi hittar

x= Rcos t ; y= R sin t , 0 t

Ekvationer (4) kallas parametriska ekvationer av en cirkel centrerad vid origo.

Uppgift 6. Cirkeln ges av ekvationerna

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Skriv den kanoniska ekvationen för denna cirkel.

Det följer av villkoret x 2 = 3 cos 2 t, på 2 = 3 synd 2 t. Lägger vi till dessa jämlikheter termin för termin får vi

x 2 + på 2 = 3(cos 2 t+ synd 2 t)

eller x 2 + på 2 = 3

Lektionens ämne: Cirkelekvation

Lektionens mål:

Pedagogisk: Härled cirkelekvationen och betrakta lösningen av detta problem som en av möjligheterna att tillämpa koordinatmetoden.

Kunna:

– Känn igen en cirkels ekvation enligt den föreslagna ekvationen, lär eleverna att rita upp en cirkelekvation enligt en färdig ritning, bygg en cirkel enligt en given ekvation.

Pedagogisk : Bildande av kritiskt tänkande.

Pedagogisk : Utveckling av förmågan att göra algoritmiska ordinationer och förmågan att agera i enlighet med den föreslagna algoritmen.

Kunna:

– Se problemet och planera sätt att lösa det.

– Sammanfatta dina tankar muntligt och skriftligt.

Lektionstyp: assimilering av ny kunskap.

Utrustning Hytt: PC, multimediaprojektor, duk.

Lektionsplanering:

1. Invigningstal - 3 min.

2. Uppdatering av kunskap - 2 min.

3. Redogörelse av problemet och dess lösning -10 min.

4. Frontfästning av det nya materialet - 7 min.

5. Självständigt arbete i grupp - 15 min.

6. Presentation av arbetet: diskussion - 5 min.

7. Resultatet av lektionen. Läxor - 3 min.

Under lektionerna

Syftet med detta steg: Studenternas psykologiska humör; Involvering av alla elever i inlärningsprocessen, skapa en framgångssituation.

1. Organisera tid.

3 minuter

Killar! Du träffade cirkeln redan i 5:an och 8:an. Vad vet du om henne?

Du vet mycket, och dessa data kan användas för att lösa geometriska problem. Men för att lösa problem där koordinatmetoden används räcker detta inte.Varför?

Fullständigt rätt.

Därför är huvudmålet med dagens lektion att härleda ekvationen för en cirkel från de geometriska egenskaperna för en given linje och tillämpa den för att lösa geometriska problem.

Släpp detlektionens motto orden från den centralasiatiska vetenskapsmannen-encyklopedisten Al-Biruni kommer att bli: "Kunskap är den mest utmärkta av ägodelar. Alla strävar efter det, men det kommer inte av sig självt.”

Skriv lektionens ämne i en anteckningsbok.

Definition av en cirkel.

Radie.

Diameter.

Ackord. Etc.

Vi känner ännu inte till cirkelekvationens allmänna form.

Eleverna listar allt de vet om cirkeln.

glida 2

glida 3

Syftet med scenen är att få en uppfattning om kvaliteten på lärandet av studenter av materialet, för att bestämma de grundläggande kunskaperna.

2. Kunskapsuppdatering.

2 minuter

När man härleder cirkelekvationen du behöver den redan kända definitionen av en cirkel och en formel som låter dig hitta avståndet mellan två punkter genom deras koordinater.Låt oss komma ihåg dessa fakta /Pupprepning av material tidigare studerat/:

– Skriv ner formeln för att hitta koordinaterna för mittpunkten av ett segment.

– Skriv ner formeln för att beräkna längden på en vektor.

– Skriv ner formeln för att hitta avståndet mellan punkter (segmentets längd).

Redigerar poster...

Geometrisk träning.

Givna poängA (-1; 7) ochI (7; 1).

Beräkna koordinaterna för mittpunkten av segmentet AB och dess längd.

Kontrollerar utförandets korrekthet, korrigerar beräkningar ...

En elev vid tavlan och resten skriver ner formler i anteckningsböcker

En cirkel är en geometrisk figur som består av alla punkter som ligger på ett givet avstånd från en given punkt.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Beräkna: C (3; 4)

| AB | = 10

FRÅN låg 4

glida 5

3. Bildande av ny kunskap.

12 minuter

Syfte: bildandet av begreppet - cirkelns ekvation.

Lösa problemet:

En cirkel med centrum A(x; y) är konstruerad i ett rektangulärt koordinatsystem. M(x; y) - godtycklig punkt för cirkeln. Hitta cirkelns radie.

Kommer koordinaterna för någon annan punkt att uppfylla denna jämlikhet? Varför?

Låt oss kvadratiska båda sidor av ekvationen.Som ett resultat har vi:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² är ekvationen för cirkeln, där (x; y) är koordinaterna för cirkelns mittpunkt, (x; y) är koordinaterna för en godtycklig punkt som ligger på cirkeln, r är cirkelns radie.

Lösa problemet:

Vad blir ekvationen för en cirkel centrerad vid origo?

Så vad behöver du veta för att skriva ekvationen för en cirkel?

Föreslå en algoritm för att kompilera cirkelekvationen.

Slutsats: ... skriv i en anteckningsbok.

En radie är ett segment som förbinder mitten av en cirkel med en godtycklig punkt som ligger på cirkeln. Därför, r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Vilken punkt som helst på en cirkel ligger på den cirkeln.

Eleverna skriver i anteckningsböcker.

(0;0)-koordinater för cirkelns mittpunkt.

x² + y² = r², där r är cirkelns radie.

Koordinaterna för cirkelns centrum, radien, valfri punkt på cirkeln...

De föreslår en algoritm...

Skriv ner algoritmen i en anteckningsbok.

glida 6

Bild 7

Bild 8

Läraren skriver upp ekvationen på tavlan.

Bild 9

4. Primär infästning.

23 minuter

Mål:reproduktion av eleverna av det material som just har uppfattats för att förhindra förlust av de bildade idéerna och begreppen. Konsolidering av ny kunskap, idéer, koncept baserade på derasapplikationer.

ZUN-kontroll

Låt oss tillämpa den förvärvade kunskapen för att lösa följande problem.

En uppgift: Från de föreslagna ekvationerna, namnge numren på de som är cirkelns ekvationer. Och om ekvationen är ekvationen för en cirkel, namnge koordinaterna för mitten och ange radien.

Inte varje ekvation av andra graden med två variabler definierar en cirkel.

4x² + y² \u003d 4-ellipsekvationen.

x²+y²=0-punkt.

x² + y² \u003d -4-denna ekvation definierar inte någon siffra.

Killar! Vad behöver du veta för att skriva en ekvation för en cirkel?

Lösa problemet Nr 966 s. 245 (lärobok).

Läraren kallar eleven till svarta tavlan.

Är uppgifterna som specificeras i problemets tillstånd tillräckligt för att rita upp en ekvation för en cirkel?

En uppgift:

Skriv ekvationen för en cirkel centrerad vid origo och med en diameter på 8.

En uppgift : ritar en cirkel.

Har centrum koordinater?

Bestäm radien... och bygg

Uppgift på sidan 243 (lärobok) förstås muntligt.

Använd problemlösningsplanen från s.243 för att lösa problemet:

Skriv ekvationen för en cirkel centrerad i punkt A(3;2) om cirkeln går genom punkt B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - cirkelekvation; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - cirkelekvation; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - cirkelekvation; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- cirkelekvation; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 är inte en cirkelekvation.

6) x² + y² = 0- är inte en cirkelekvation.

7) x² + y² = -4- är inte en cirkelekvation.

Känna till koordinaterna för cirkelns mittpunkt.

Radielängd.

Byt ut koordinaterna för mitten och radiens längd med den allmänna ekvationen för en cirkel.

Lös problem nr 966 s 245 (lärobok).

Tillräckligt med data.

De löser problemet.

Eftersom diametern på en cirkel är två gånger dess radie, då är r=8÷2=4. Därför är x² + y² = 16.

Utför konstruktionen av cirklar

Läroboksarbete. Uppgift på sidan 243.

Givet: A (3; 2) - cirkelns centrum; В(7;5)є(А;r)

Hitta: cirkelekvation

Lösning: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r²=25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Svar: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

bild 10-13

Att lösa typiska problem genom att uttala lösningen i ett högt tal.

Läraren kallar en elev att skriva ner den resulterande ekvationen.

Återgå till bild 9

Diskussion om en plan för att lösa detta problem.

Glida. femton. Läraren kallar en elev till tavlan för att lösa detta problem.

glida 16.

glida 17.

5. Sammanfattning av lektionen.

5 minuter

Reflektion av aktiviteter i klassrummet.

Läxa: §3, punkt 91, kontrollfrågor nr 16,17.

Problem nr. 959(b, d, e), 967.

Uppgift för ytterligare bedömning (problemuppgift): Konstruera en cirkel som ges av ekvationen

x² + 2x + y² -4y = 4.

Vad pratade vi om i klassen?

Vad ville du få?

Vad var syftet med lektionen?

Vilka uppgifter kan lösas genom vår "upptäckt"?

Vem av er anser att ni har uppnått det mål som läraren satt upp på lektionen med 100 %, med 50 %; nådde inte målet...?

Betygsättning.

Skriv ner läxor.

Eleverna svarar på frågor som läraren ställer. Gör en självutvärdering av sin egen prestation.

Eleverna behöver i ett ord uttrycka resultatet och sätt att uppnå det.

Ekvation för en linje på ett plan

Låt oss först introducera konceptet med ekvationen för en linje i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Låt en godtycklig linje $L$ konstrueras i det kartesiska koordinatsystemet (Fig. 1).

Figur 1. Godtycklig linje i koordinatsystemet

Definition 1

En ekvation med två variabler $x$ och $y$ kallas en ekvation av linjen $L$ om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna för någon punkt som hör till linjen $L$ och inte är uppfylld av någon punkt som inte hör till rad $L.$

Cirkelekvation

Låt oss härleda cirkelekvationen i det kartesiska koordinatsystemet $xOy$. Låt mitten av cirkeln $C$ ha koordinaterna $(x_0,y_0)$ och cirkelns radie vara lika med $r$. Låt punkten $M$ med koordinaterna $(x,y)$ vara en godtycklig punkt i denna cirkel (Fig. 2).

Figur 2. Cirkel i kartesiska koordinater

Avståndet från cirkelns mittpunkt till punkten $M$ beräknas enligt följande

Men eftersom $M$ ligger på cirkeln får vi $CM=r$. Då får vi följande

Ekvation (1) är ekvationen för en cirkel centrerad vid punkten $(x_0,y_0)$ och radien $r$.

I synnerhet om cirkelns mittpunkt sammanfaller med ursprunget. Då har cirkelns ekvation formen

Ekvation för en rät linje.

Låt oss härleda ekvationen för den räta linjen $l$ i det kartesiska koordinatsystemet $xOy$. Låt punkterna $A$ och $B$ ha koordinaterna $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ respektive $\(x_2,\ y_2\)$ och punkterna $A$ och $B $ väljs så att linjen $l$ är den vinkelräta bisektaren till segmentet $AB$. Vi väljer en godtycklig punkt $M=\(x,y\)$ som hör till raden $l$ (Fig. 3).

Eftersom linjen $l$ är den vinkelräta bisektaren till segmentet $AB$, är punkten $M$ lika långt från ändarna av detta segment, det vill säga $AM=BM$.

Låt oss hitta längden på dessa sidor med hjälp av formeln för avståndet mellan punkter:

Följaktligen

Beteckna med $a=2\vänster(x_1-x_2\höger),\ b=2\vänster(y_1-y_2\höger),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Vi får att ekvationen för en rät linje i det kartesiska koordinatsystemet har följande form:

Ett exempel på ett problem för att hitta linjeekvationerna i ett kartesiskt koordinatsystem

Exempel 1

Hitta ekvationen för en cirkel centrerad i punkten $(2,\ 4)$. Passerar genom origo och en rät linje parallell med $Ox,$-axeln som går genom dess centrum.

Lösning.

Låt oss först hitta ekvationen för den givna cirkeln. För att göra detta kommer vi att använda den allmänna ekvationen för cirkeln (härledd ovan). Eftersom cirkelns mitt ligger i punkten $(2,\ 4)$ får vi

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Hitta cirkelns radie som avståndet från punkten $(2,\ 4)$ till punkten $(0,0)$

Vi får att cirkelns ekvation har formen:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Låt oss nu hitta cirkelekvationen med hjälp av specialfall 1. Vi får