Hur man hittar spetsen för en parabel i en funktionsgraf. Hur man hittar toppen av en parabel: tre formler

Alla vet vad en parabel är. Men hur man använder det korrekt, kompetent för att lösa olika praktiska problem, kommer vi att förstå nedan.

Låt oss först beteckna de grundläggande begreppen som algebra och geometri ger denna term. Tänk på allt möjliga typer detta diagram.

Vi lär oss alla de viktigaste egenskaperna hos denna funktion. Låt oss förstå grunderna för att konstruera en kurva (geometri). Låt oss lära oss hur man hittar toppen, andra grundläggande värden i grafen av denna typ.

Vi kommer att ta reda på: hur den erforderliga kurvan är korrekt konstruerad enligt ekvationen, vad du behöver vara uppmärksam på. Låt oss se det viktigaste praktisk användning detta unika värde i mänskligt liv.

Vad är en parabel och hur ser den ut

Algebra: Denna term hänvisar till grafen för en kvadratisk funktion.

Geometri: Detta är en andra ordningens kurva som har ett antal specifika egenskaper:

Kanonisk parabelekvation

Figuren visar ett rektangulärt koordinatsystem (XOY), ett extremum, riktningen på funktionen ritar grenar längs abskissaxeln.

Den kanoniska ekvationen är:

y 2 \u003d 2 * p * x,

där koefficienten p är fokalparametern för parabeln (AF).

I algebra skrivs det annorlunda:

y = a x 2 + b x + c (igenkännbart mönster: y = x 2).

Egenskaper och graf för en kvadratisk funktion

Funktionen har en symmetriaxel och ett centrum (extremum). Definitionsdomänen är alla värden på x-axeln.

Värdeintervallet för funktionen - (-∞, M) eller (M, +∞) beror på kurvgrenarnas riktning. Parametern M betyder här värdet på funktionen överst på raden.

Hur man avgör vart grenarna på en parabel är riktade

För att hitta riktningen för denna typ av kurva från ett uttryck måste du ange tecknet framför den första parametern i det algebraiska uttrycket. Om a ˃ 0 är de riktade uppåt. Annars ner.

Hur man hittar toppen av en parabel med hjälp av formeln

Att hitta extremumet är huvudsteget för att lösa många praktiska problem. Naturligtvis kan du öppna special miniräknare online men det är bättre att kunna göra det själv.

Hur definierar man det? Det finns en speciell formel. När b inte är lika med 0 måste vi leta efter koordinaterna för denna punkt.

Formler för att hitta toppen:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• yo = y (x 0).

Exempel.

Det finns en funktion y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Låt oss hitta toppen av denna funktion.

För en sådan rad:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Vi får koordinaterna för vertexet (-2, -41).

Parabel offset

Det klassiska fallet är när i en kvadratisk funktion y = a x 2 + b x + c, de andra och tredje parametrarna är 0, och = 1 - vertexen är vid punkten (0; 0).

Rörelse längs abskissan eller ordinatan beror på en förändring av parametrarna b respektive c. Förskjutningen av linjen på planet kommer att utföras exakt med antalet enheter, vilket är lika med värdet på parametern.

Exempel.

Vi har: b = 2, c = 3.

Detta innebär att den klassiska vyn av kurvan kommer att förskjutas med 2 enhetssegment längs abskissaxeln och med 3 längs ordinataaxeln.

Hur man bygger en parabel med hjälp av en andragradsekvation

Det är viktigt för skolbarn att lära sig hur man korrekt ritar en parabel enligt de givna parametrarna.

Genom att analysera uttryck och ekvationer kan du se följande:

1. Skärningspunkten för den önskade linjen med ordinatvektorn kommer att ha ett värde lika med c.
2. Alla punkter i grafen (längs x-axeln) kommer att vara symmetriska med avseende på funktionens huvudsakliga extremum.

Dessutom kan skärningspunkterna med OX hittas genom att känna till diskriminanten (D) för en sådan funktion:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

För att göra detta måste du likställa uttrycket med noll.

Närvaron av parabelrötter beror på resultatet:

• D˃ 0, sedan x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, sedan x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, då finns det inga skärningspunkter med vektorn OX.

Vi får algoritmen för att konstruera en parabel:

• bestämma grenarnas riktning;
• hitta koordinaterna för vertex;
• hitta skärningspunkten med y-axeln;
• hitta skärningspunkten med x-axeln.

Exempel 1

Givet en funktion y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Det är nödvändigt att bygga en parabel. Vi agerar enligt algoritmen:

1. a \u003d 1, därför är grenarna riktade uppåt;
2. extremumkoordinater: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. skär med y-axeln vid värdet y = 4;
4. hitta diskriminanten: D = 25 - 16 = 9;
5. letar efter rötter

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4,0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (tio).

Exempel 2

För funktionen y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 måste du bygga en parabel. Vi agerar enligt ovanstående algoritm:

1. a \u003d 3, därför är grenarna riktade uppåt;
2. extremumkoordinater: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. med y-axeln kommer att skära vid värdet y \u003d -1;
4. hitta diskriminanten: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Så rötterna:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Från de erhållna poängen kan du bygga en parabel.

Directrix, excentricitet, fokus på en parabel

Baserad kanonisk ekvation, har fokus F koordinater (p/2, 0).

Rak linje AB är en direktrix (ett slags parabelackord av en viss längd). Hennes ekvation är x = -p/2.

Excentricitet (konstant) = 1.

Slutsats

Vi funderade på ämnet som eleverna studerar i gymnasium. Nu vet du, när du tittar på den kvadratiska funktionen för en parabel, hur man hittar dess vertex, i vilken riktning grenarna kommer att riktas, om det finns en förskjutning längs axlarna, och med en konstruktionsalgoritm kan du rita dess graf.

Funktion av formen , där kallas kvadratisk funktion.

Graf över kvadratisk funktion − parabel.

Tänk på fallen:

FALL I, KLASSISK PARABOL

Dvs,

För att bygga, fyll i tabellen genom att ersätta x-värden i formeln:

Markera poäng (0;0); (1;1); (-1;1) osv. på koordinatplanet (ju mindre steg vi tar x-värden (i det här fallet, steg 1), och ju fler x-värden vi tar, desto jämnare är kurvan), får vi en parabel:

Det är lätt att se att om vi tar fallet , , , det vill säga så får vi en parabel symmetrisk kring axeln (oxe). Det är lätt att verifiera detta genom att fylla i en liknande tabell:

II FALL, "a" OLIKA FRÅN ETT

Vad händer om vi tar , , ? Hur kommer parabelns beteende att förändras? With title="(!LANG:Renderd by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Den första bilden (se ovan) visar tydligt att punkterna från tabellen för parabeln (1;1), (-1;1) omvandlades till punkter (1;4), (1;-4), dvs. med samma värden multipliceras ordinatan för varje punkt med 4. Detta kommer att hända med alla nyckelpunkter i den ursprungliga tabellen. Vi argumenterar på liknande sätt i fallet med bild 2 och 3.

Och när parabeln "blir bredare" parabel:

Låt oss sammanfatta:

1)Koefficientens tecken är ansvarig för grenarnas riktning. With title="(!LANG:Renderd by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolutvärde koefficient (modul) är ansvarig för "expansion", "kompression" av parabeln. Ju större, desto smalare parabel, desto mindre |a|, desto bredare parabel.

FALL III, "C" VISAS

Låt oss nu sätta i spel (det vill säga vi överväger fallet när ), vi kommer att överväga paraboler av formen . Det är lätt att gissa (du kan alltid hänvisa till tabellen) att parabeln kommer att röra sig uppåt eller nedåt längs axeln, beroende på tecknet:

IV FALL, "b" VISAS

När kommer parabeln att "rivas av" från axeln och slutligen "gå" längs hela koordinatplanet? När det upphör att vara lika.

Här, för att konstruera en parabel, behöver vi formel för beräkning av vertex: , .

Så vid denna punkt (som vid punkten (0; 0) nytt system koordinater) kommer vi att bygga en parabel, som redan ligger inom vår makt. Om vi ​​har att göra med fallet , så lägger vi från toppen åt sidan ett enhetssegment till höger, ett uppåt, - den resulterande punkten är vår (på samma sätt är ett steg till vänster, ett steg upp vår punkt); om vi till exempel har att göra med, från toppen lägger vi åt sidan ett enskilt segment till höger, två - upp osv.

Till exempel hörn av en parabel:

Nu är det viktigaste att förstå att vid denna vertex kommer vi att bygga en parabel enligt parabelmallen, för i vårt fall.

När man konstruerar en parabel efter att ha hittat koordinaterna för vertex är mycketDet är bekvämt att överväga följande punkter:

1) parabel måste passera genom punkten . I själva verket, genom att ersätta x=0 i formeln får vi det . Det vill säga ordinatan för skärningspunkten för parabeln med axeln (oy), detta är. I vårt exempel (ovan) skär parabeln y-axeln vid , eftersom .

2) symmetriaxel paraboler är en rät linje, så alla punkter i parabeln kommer att vara symmetriska kring den. I vårt exempel tar vi omedelbart punkten (0; -2) och bygger en parabel symmetrisk kring symmetriaxeln, vi får punkten (4; -2), genom vilken parabeln kommer att passera.

3) Likställande med , får vi reda på skärningspunkterna för parabeln med axeln (oxe). För att göra detta löser vi ekvationen. Beroende på diskriminant kommer vi att få en (, ), två ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . I det föregående exemplet har vi en rot från diskriminanten - inte ett heltal, när vi bygger det är det lite meningsfullt för oss att hitta rötterna, men vi kan tydligt se att vi kommer att ha två skärningspunkter med (oh) axel (eftersom titel = "(!LANG: Renderad av QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Så låt oss träna

Algoritm för att konstruera en parabel om den ges i formen

1) bestämma riktningen för grenarna (a>0 - upp, a<0 – вниз)

2) hitta koordinaterna för parabelns vertex genom formeln .

3) vi hittar skärningspunkten för parabeln med axeln (oy) av den fria termen, vi bygger en punkt som är symmetrisk till den givna med avseende på parabelns symmetriaxel (det bör noteras att det händer att det är olönsamt att markera denna punkt, till exempel, eftersom värdet är stort ... vi hoppar över denna punkt ...)

4) Vid den hittade punkten - toppen av parabeln (som vid punkten (0; 0) i det nya koordinatsystemet), bygger vi en parabel. If title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Vi hittar skärningspunkterna för parabeln med axeln (oy) (om de själva ännu inte har "uppstått till ytan"), och löser ekvationen

Exempel 1

Exempel 2

Anmärkning 1. Om parabeln initialt ges till oss i formen , där finns några siffror (till exempel ), blir det ännu lättare att bygga den, eftersom vi redan har fått koordinaterna för vertexet . Varför?

Låt oss ta ett kvadratiskt trinomium och välja en hel kvadrat i det: Titta, här har vi det , . Vi kallade tidigare toppen av parabeln, det vill säga nu.

Till exempel, . Vi markerar toppen av parabeln på planet, vi förstår att grenarna är riktade nedåt, parabeln expanderas (relativt). Det vill säga vi utför steg 1; 3; 4; 5 från algoritmen för att konstruera en parabel (se ovan).

Anmärkning 2. Om parabeln ges i en form som liknar denna (det vill säga representerad som en produkt av två linjära faktorer), så ser vi omedelbart skärningspunkterna för parabeln med (x)-axeln. I detta fall - (0;0) och (4;0). I övrigt agerar vi enligt algoritmen och öppnar parenteserna.

En parabel är grafen för en kvadratisk funktion. Denna linje har en betydande fysiskt värde. För att göra det lättare att hitta toppen av parabeln måste du rita den. Då kan du enkelt se dess topp på diagrammet. Men för att bygga en parabel måste du veta hur man hittar parabelns punkter och hur man hittar parabelns koordinater.

Hitta punkter och vertex för en parabel

PÅ allmän uppfattning den kvadratiska funktionen har följande form: y = ax 2 + bx + c. schema given ekvationär en parabel. När värdet a > 0 är dess grenar riktade uppåt, och när värdet a ‹ 0 - nedåt. För att bygga en parabel på en graf behöver du veta tre punkter om den passerar längs y-axeln. Annars måste fyra byggpunkter vara kända.

När du hittar abskissan (x) är det nödvändigt att ta koefficienten vid (x) från den givna polynomformeln och sedan dividera med två gånger koefficienten vid (x 2) och sedan multiplicera med talet - 1.

För att hitta ordinatan måste du hitta diskriminanten, sedan multiplicera den med - 1 och sedan dividera med koefficienten vid (x 2), efter att ha multiplicerat den med 4.

Vidare, genom att ersätta numeriska värden, beräknas parabelns vertex. För alla beräkningar är det lämpligt att använda en teknisk kalkylator, och när du ritar grafer och paraboler, använd en linjal och en lumograf, detta kommer att avsevärt öka noggrannheten i dina beräkningar.

Betrakta följande exempel för att hjälpa oss förstå hur man hittar spetsen på en parabel.

x 2 -9=0. I detta fall beräknas vertexkoordinaterna enligt följande: punkt 1 (-0/(2*1); punkt 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Således är koordinaterna för vertex värdena (0; 9).

Hitta abskissan på vertexet

När du vet hur man hittar en parabel och kan beräkna dess skärningspunkter med x-axeln, kan du enkelt beräkna abskissan för vertex.

Låt (x 1) och (x 2) vara parabelns rötter. Rötterna till en parabel är punkterna för dess skärningspunkt med x-axeln. Dessa värden annullerar följande andragradsekvation: ax 2 + bx + c.

Dessutom |x 2 | > |x 1 |, då ligger parabelns spets i mitten mellan dem. Således kan det hittas av följande uttryck: x 0 \u003d ½ (|x 2 | - |x 1 |).

Att hitta arean av en figur

För att hitta arean av en figur på koordinatplanet måste du känna till integralen. Och för att tillämpa det räcker det att känna till vissa algoritmer. För att hitta området som begränsas av paraboler är det nödvändigt att producera dess bild i det kartesiska koordinatsystemet.

Först, enligt metoden som beskrivs ovan, bestäms koordinaten för toppen av axeln (x), sedan axeln (y), varefter toppen av parabeln hittas. Nu är det nödvändigt att fastställa gränserna för integration. Som regel anges de i problemformuleringen med hjälp av variablerna (a) och (b). Dessa värden ska placeras i de övre respektive nedre delarna av integralen. Gå sedan in allmän syn funktionsvärdet och multiplicera det med (dx). I fallet med en parabel: (x 2)dx.

Sedan måste du i allmänna termer beräkna funktionens antiderivata värde. För att göra detta, använd en speciell värdetabell. Genom att ersätta gränserna för integration där, hittas skillnaden. Denna skillnad kommer att vara området.

Som ett exempel, betrakta ekvationssystemet: y \u003d x 2 +1 och x + y \u003d 3.

Abskissan för skärningspunkterna finns: x 1 \u003d -2 och x 2 \u003d 1.

Vi tror att y 2 \u003d 3, och y 1 \u003d x 2 + 1, vi ersätter värdena i formeln ovan och får ett värde lika med 4,5.

Nu har vi lärt oss hur man hittar en parabel, och även, baserat på dessa data, beräkna arean av figuren som den begränsar.

Det finns en hel cykel av identiteter i matematik, bland vilka andragradsekvationer upptar en betydande plats. Liknande likheter kan lösas både separat och för att rita grafer på koordinataxeln. ekvationer är skärningspunkterna för parabeln och linjen oxe.

Allmän form

I allmänhet har den följande struktur:

I rollen som "x" kan betraktas både enskilda variabler och hela uttryck. Till exempel:

(x+7) 2+3(x+7)+2=0.

I fallet när ett uttryck fungerar som x, är det nödvändigt att representera det som en variabel och hitta. Efter det, likställ polynomet med dem och hitta x.

Så, om (x + 7) \u003d a, tar ekvationen formen a 2 + 3a + 2 \u003d 0.

D=32-4*1*2=1;

och 1 \u003d (-3-1) / 2 * 1 \u003d -2;

och 2 \u003d (-3 + 1) / 2 * 1 \u003d -1.

Med rötter lika med -2 ​​och -1 får vi följande:

x+7=-2 och x+7=-1;

Rötter är x-koordinatvärdet för skärningspunkten mellan parabeln och x-axeln. I princip är deras värde inte så viktigt om uppgiften bara är att hitta toppen av parabeln. Men för plottning spelar rötterna en viktig roll.

Låt oss gå tillbaka till den ursprungliga ekvationen. För att svara på frågan om hur man hittar spetsen på en parabel måste du känna till följande formel:

där x vp är värdet på x-koordinaten för den önskade punkten.

Men hur hittar man spetsen på en parabel utan ett y-koordinatvärde? Vi ersätter det erhållna värdet av x i ekvationen och hittar den önskade variabeln. Låt oss till exempel lösa följande ekvation:

Hitta värdet på x-koordinaten för toppen av parabeln:

x VP \u003d -b / 2a \u003d -3 / 2 * 1;

Hitta värdet på y-koordinaten för toppen av parabeln:

y \u003d 2x 2 + 4x-3 \u003d (-1,5) 2 + 3 * (-1,5) -5;

Som ett resultat får vi att toppen av parabeln är vid punkten med koordinater (-1,5; -7,25).

En parabel är en koppling av punkter som har en vertikal linje. Av denna anledning är själva konstruktionen inte svår. Det svåraste är att göra korrekta beräkningar av punkternas koordinater.

Värt att betala Särskild uppmärksamhet på andragradsekvationens koefficienter.

Koefficienten a påverkar parabelns riktning. I händelse av att han har negativ betydelse, kommer grenarna att riktas nedåt, och med positivt tecken - uppåt.

Koefficienten b visar hur bred parabelns arm blir. Ju större dess värde, desto bredare blir den.

Koefficienten c indikerar parabelns förskjutning längs y-axeln i förhållande till origo.

Vi har redan lärt oss hur man hittar spetsen på en parabel, och för att hitta rötterna bör vi vägledas av följande formler:

där D är den diskriminant som behövs för att hitta rötterna till ekvationen.

x 1 \u003d (-b + V - D) / 2a

x 2 \u003d (-b-V - D) / 2a

De resulterande x-värdena kommer att motsvara noll y-värden, eftersom de är skärningspunkter med x-axeln.

Efter det markerar vi de erhållna värdena i toppen av parabeln. För mer detaljerad grafik måste hitta några fler punkter. För att göra detta väljer vi valfritt värde på x som är tillåtet av definitionsdomänen och ersätter det i funktionens ekvation. Resultatet av beräkningarna blir koordinaten för punkten längs y-axeln.

För att förenkla ritningsprocessen kan du rita en vertikal linje genom toppen av parabeln och vinkelrätt mot x-axeln. Detta kommer att vara med hjälp av vilken du, med en punkt, kan utse en andra, på samma avstånd från den ritade linjen.

Många tekniska, ekonomiska och sociala frågor förutspått med hjälp av kurvor. Den mest använda typen bland dem är parabeln, eller snarare hälften av den. En viktig komponent i varje parabolisk kurva är dess vertex, vars bestämning av de exakta koordinaterna ibland spelar en nyckelroll inte bara i visningen av själva processen, utan också för efterföljande slutsatser. Hur man hittar dess exakta koordinater kommer att diskuteras i den här artikeln.

I kontakt med

Sök start

Innan vi går vidare till att hitta koordinaterna för parabelns vertex, låt oss bekanta oss med själva definitionen och dess egenskaper. I klassisk mening är en parabel ett sådant arrangemang av punkter som på samma avstånd från en viss punkt(fokus, punkt F), samt från en rät linje som inte går genom punkt F. Överväg denna definition mer detaljerat i figur 1.

Figur 1. Klassisk vy av en parabel

Figuren visar den klassiska formen. Fokus är punkt F. I detta fall kommer riktningen att betraktas som den räta linjen på Y-axeln (markerad i rött). Från definitionen kan man försäkra sig om att absolut vilken punkt som helst på kurvan, utan fokusering, har en liknande på andra sidan, borttagen på samma avstånd från symmetriaxeln som den själv. Dessutom avståndet från någon av punkterna på parabeln lika med avståndet till riktlinjen. Om vi ​​ser framåt, låt oss säga att mitten av funktionen inte behöver vara i origo, och grenarna kan riktas åt olika håll.

En parabel, som alla andra funktioner, har sin egen notation i form av en formel:

I denna formel betecknar bokstaven "s" parabelparametern, som är lika med avståndet från fokus till riktlinjen. Det finns också en annan form av inspelning, indikerad av GMT, som har formen:

En sådan formel används för att lösa problem från matematisk analys och används oftare än den traditionella (på grund av bekvämlighet). I framtiden kommer vi att fokusera på den andra skivan.

Det är intressant!: bevis

Beräkning av parabelns koefficienter och huvudpunkter

Bland huvudparametrarna är det vanligt att inkludera platsen för vertex på abskissaxeln, koordinaterna för vertex på ordinataaxeln och riktningsparametern.

Numeriskt värde för vertexkoordinaten på x-axeln

Om parabelekvationen ges i den klassiska formen (1), då värdet av abskissan vid den önskade punkten kommer att vara lika med halva värdet av parametern s(halva avståndet mellan direktören och fokus). Om funktionen presenteras i formen (2), beräknas noll x med formeln:

Det vill säga, om man tittar på denna formel kan man hävda att vertexet kommer att vara i den högra halvan i förhållande till y-axeln om en av parametrarna a eller b är mindre än noll.

Directricekvationen ges av följande ekvation:

Vertexvärde på y-axeln

Det numeriska värdet för platsen för vertexet för formel (2) på y-axeln kan hittas med följande formel:

Av detta kan vi dra slutsatsen att om a<0, то kurvans spets kommer att vara i det övre halvplanet, annars längst ner. I det här fallet kommer parabelns punkter att ha samma egenskaper som nämndes tidigare.

Om den klassiska notationen ges, skulle det vara mer rationellt att beräkna värdet av platsen för vertexen på abskissaxeln, och genom den det efterföljande värdet på ordinatan. Observera att för notationen (2) kommer parabelns symmetriaxel, i den klassiska representationen, att sammanfalla med y-axeln.

Viktig! När du löser uppgifter med parabelekvationen, markera först och främst huvudvärdena som redan är kända. Dessutom skulle det vara användbart om de saknade parametrarna bestäms. Detta tillvägagångssätt kommer att ge mer "manöverutrymme" i förväg och en mer rationell lösning. Försök i praktiken att använda notation (2). Det är lättare att förstå (du behöver inte "vända på Descartes koordinater"), dessutom är de allra flesta uppgifter anpassade specifikt för denna form av notation.

Konstruktion av en kurva av paraboltyp

Med hjälp av en vanlig notation, innan man konstruerar en parabel, krävs det att man hittar dess vertex. Enkelt uttryckt måste du utföra följande algoritm:

1. Hitta koordinaten för en vertex på x-axeln.
2. Hitta koordinaten för vertexplatsen på Y-axeln.
3. Genom att ersätta olika värden på den beroende variabeln X, hitta motsvarande Y-värden och rita kurvan.

De där. Algoritmen är inget komplicerat, huvudfokus ligger på hur man hittar parabelns vertex. Den fortsatta konstruktionsprocessen kan betraktas som mekanisk.

Förutsatt att tre punkter ges, vars koordinater är kända, är det först och främst nödvändigt att formulera ekvationen för själva parabeln och sedan upprepa proceduren som beskrevs tidigare. Därför att i ekvation (2) finns det 3 koefficienter, sedan, med hjälp av punkternas koordinater, beräknar vi var och en av dem:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

I formlerna (5.1), (5.2), (5.3), respektive, används de punkter som är kända (till exempel A (, B (, C (. På så sätt hittar vi ekvationen för en parabel vid 3 punkter). Ur praktisk synvinkel är detta tillvägagångssätt inte det mest "behagliga", men det ger ett tydligt resultat, på grundval av vilket själva kurvan sedan byggs.

När man konstruerar en parabel, alltid det måste finnas en symmetriaxel. Symmetriaxelformeln för att skriva (2) kommer att se ut så här:

De där. det är inte svårt att hitta den symmetriaxel till vilken alla punkter i kurvan är symmetriska. Mer exakt är det lika med den första koordinaten för vertex.

belysande exempel

Exempel 1. Låt oss säga att vi har en parabelekvation:

Det krävs att man hittar koordinaterna för parabelns vertex, och även kontrollera om punkten D (10; 5) tillhör den givna kurvan.

Lösning: Först och främst kontrollerar vi om den nämnda punkten tillhör själva kurvan

Därifrån drar vi slutsatsen att den angivna punkten inte tillhör den givna kurvan. Hitta koordinaterna för parabelns spets. Från formlerna (4) och (5) får vi följande sekvens:

Det visar sig att koordinaterna i toppen, vid punkt O, är följande (-1,25; -7,625). Det betyder att vår parabeln har sitt ursprung i 3:e kvadranten av det kartesiska systemet koordinater.

Exempel 2. Leta reda på parabelns vertex, och känna till de tre punkter som hör till den: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Med hjälp av formlerna (5.1), (5.2), (5.3) hittar vi koefficienterna för parabelekvationen. Vi får följande:

Med hjälp av de erhållna värdena får vi följande ekvation:

I figuren kommer den givna funktionen att se ut så här (Figur 2):

Figur 2. Rita av en parabel som passerar genom 3 punkter

De där. en parabelgraf som går genom tre givna punkter kommer att ha en vertex i den 1:a kvadranten. Emellertid är denna kurvas grenar riktade nedåt; det finns en förskjutning av parabeln från ursprunget. En sådan konstruktion kunde ha förutsetts genom att uppmärksamma koefficienterna a, b, c.

I synnerhet om a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 kommer kurvan att sträckas ut, och om den är mindre än 1 kommer den att komprimeras.

Konstanten c är ansvarig för kurvans "rörelse" längs y-axeln. Om c>0, så "kryper" parabeln upp, annars nere. När det gäller koefficienten b är det möjligt att bestämma graden av påverkan endast genom att ändra formen på ekvationen, föra den till följande form:

Om koefficienten b>0, kommer koordinaterna för parabelns vertex att förskjutas åt höger med b enheter, om mindre, sedan med b enheter till vänster.

Viktig! Användningen av metoder för att bestämma förskjutningen av en parabel på koordinatplanet hjälper ibland till att spara tid när man löser problem eller att lära sig om den möjliga skärningen av en parabel med en annan kurva redan innan konstruktionen. Vanligtvis tittar de bara på koefficienten a, eftersom det är han som ger ett tydligt svar på den ställda frågan.

Användbar video: hur man hittar spetsen på en parabel

Användbar video: hur man enkelt skriver en parabelekvation från en graf

Slutsats

Som en algebraisk process, som att bestämma hörn på en parabel, är inte svårt, men samtidigt ganska mödosamt. I praktiken försöker de använda den andra formen av notation för att underlätta förståelsen av den grafiska lösningen och lösningen som helhet. Därför rekommenderar vi starkt att du använder just ett sådant tillvägagångssätt, och om du inte kommer ihåg formlerna för vertexkoordinat, så har du åtminstone ett cheat sheet.