Cos summor. Grundläggande trigonometriska identiteter, deras formuleringar och härledning
Vi fortsätter vårt samtal om de mest använda formlerna inom trigonometri. De viktigaste av dem är additionsformlerna.
Definition 1
Additionsformler låter dig uttrycka funktionerna för skillnaden eller summan av två vinklar med hjälp av dessa vinklars trigonometriska funktioner.
Till att börja med kommer vi att presentera full lista additionsformler, så kommer vi att bevisa dem och analysera några illustrativa exempel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Grundläggande additionsformler i trigonometri
Det finns åtta grundläggande formler: sinus för summan och sinus för skillnaden mellan två vinklar, cosinus för summan och skillnaden, tangenterna och cotangenserna för summan respektive skillnaden. Nedan följer deras standardformuleringar och beräkningar.
1. Sinus för summan av två vinklar kan erhållas enligt följande:
Vi beräknar produkten av sinus för den första vinkeln med cosinus för den andra;
Multiplicera cosinus för den första vinkeln med sinus för den första;
Lägg ihop de resulterande värdena.
Grafisk skrivning av formeln ser ut så här: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Skillnadens sinus beräknas på nästan samma sätt, endast de resulterande produkterna får inte adderas, utan subtraheras från varandra. Sålunda beräknar vi produkterna av sinus för den första vinkeln med cosinus för den andra och cosinus för den första vinkeln med sinus för den andra och finner deras skillnad. Formeln skrivs så här: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Cosinus av summan. För det hittar vi produkterna av cosinus för den första vinkeln med cosinus för den andra och sinus för den första vinkeln med sinus för den andra, respektive, och finner deras skillnad: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Cosinusskillnad: vi beräknar produkterna av sinus och cosinus för de givna vinklarna, som tidigare, och adderar dem. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent av summan. Denna formel uttrycks som ett bråk, i vars täljare är summan av tangenterna för de önskade vinklarna, och i nämnaren är den enhet från vilken produkten av tangenterna för de önskade vinklarna subtraheras. Allt framgår av hennes grafiska notation: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Tangent av skillnad. Vi beräknar värdena för skillnaden och produkten av tangenterna för dessa vinklar och hanterar dem på ett liknande sätt. I nämnaren lägger vi till ett, och inte vice versa: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Cotangens av summan. För beräkningar med denna formel behöver vi produkten och summan av kotangenserna för dessa vinklar, med vilka vi fortsätter enligt följande: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangens av skillnad . Formeln liknar den föregående, men i täljaren och nämnaren - minus, och inte plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Du har förmodligen märkt att dessa formler är parvis lika. Genom att använda tecknen ± (plus-minus) och ∓ (minus-plus), kan vi gruppera dem för att underlätta notation:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g β α t c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Följaktligen har vi en inspelningsformel för summan och skillnaden för varje värde, bara i ett fall uppmärksammar vi det övre tecknet, i det andra - till det nedre.
Definition 2
Vi kan ta vilka vinklar som helst α och β , och additionsformlerna för cosinus och sinus kommer att fungera för dem. Om vi korrekt kan bestämma värdena för tangenterna och cotangenserna för dessa vinklar, kommer additionsformlerna för tangenten och cotangensen också att vara giltiga för dem.
Liksom de flesta begrepp inom algebra kan additionsformler bevisas. Den första formeln vi kommer att bevisa är skillnaden cosinus formel. Av den kan du sedan enkelt utläsa resten av bevisningen.
Låt oss förtydliga de grundläggande begreppen. Vi behöver en enhetscirkel. Det kommer att visa sig om vi tar en viss punkt A och roterar runt mitten (punkten O) vinklarna α och β. Då blir vinkeln mellan vektorerna O A 1 → och OA → 2 lika med (α - β) + 2 π z eller 2 π - (α - β) + 2 π z (z är vilket heltal som helst). De resulterande vektorerna bildar en vinkel som är lika med α - β eller 2 π - (α - β), eller så kan den skilja sig från dessa värden med ett heltal av fullständiga varv. Ta en titt på bilden:
Vi använde reduktionsformlerna och fick följande resultat:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Summa summarum: cosinus för vinkeln mellan vektorerna OA 1 → och OA 2 → är lika med cosinus för vinkeln α - β, därför cos (O A 1 → OA 2 →) = cos (α - β) .
Kom ihåg definitionerna av sinus och cosinus: sinus är en funktion av en vinkel som är lika med förhållandet mellan benet för den motsatta vinkeln och hypotenusan, cosinus är sinus för den ytterligare vinkeln. Därför punkterna A 1 och A2 har koordinater (cos α , sin α) och (cos β , sin β) .
Vi får följande:
OA 1 → = (cos α , sin α) och OA 2 → = (cos β , sin β)
Om det inte är tydligt, titta på koordinaterna för punkterna i början och slutet av vektorerna.
Längden på vektorerna är lika med 1, eftersom vi har en enda cirkel.
Låt oss nu analysera skalärprodukten av vektorerna OA 1 → och OA 2 → . I koordinater ser det ut så här:
(O A 1 → , OA 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Av detta kan vi härleda jämställdheten:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Således är formeln för skillnadens cosinus bevisad.
Nu kommer vi att bevisa följande formel - summans cosinus. Detta är lättare eftersom vi kan använda de tidigare beräkningarna. Ta representationen α + β = α - (- β) . Vi har:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Detta är beviset på formeln för summans cosinus. Den sista raden använder egenskapen för sinus och cosinus för motsatta vinklar.
Formeln för summans sinus kan härledas från formeln för skillnadens cosinus. Låt oss ta reduktionsformeln för detta:
av formen sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Så
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Och här är beviset på formeln för sinus för skillnaden:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Notera användningen av sinus- och cosinusegenskaperna för motsatta vinklar i den senaste beräkningen.
Därefter behöver vi bevis på additionsformlerna för tangenten och cotangensen. Låt oss komma ihåg de grundläggande definitionerna (tangens är förhållandet mellan sinus och cosinus, och cotangens är vice versa) och ta formlerna som redan härletts i förväg. Vi gjorde det:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Vi har en komplex bråkdel. Därefter måste vi dividera dess täljare och nämnare med cos α cos β , givet att cos α ≠ 0 och cos β ≠ 0 , får vi:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos α β cos β - sin α sin β cos α cos β
Nu minskar vi bråken och får formeln av följande form: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Vi fick t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Detta är beviset på tangentadditionsformeln.
Nästa formel som vi kommer att bevisa är differenstangensformeln. Allt visas tydligt i beräkningarna:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formlerna för cotangenten bevisas på liknande sätt:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Ytterligare:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g
– säkert kommer det att finnas uppgifter inom trigonometri. Trigonometri ogillas ofta för att behöva fylla på en enorm mängd svåra formler som kryllar av sinus, cosinus, tangenter och cotangenter. Webbplatsen gav redan en gång råd om hur man kommer ihåg en glömd formel, med hjälp av exemplet med Euler- och Peel-formlerna.
Och i den här artikeln kommer vi att försöka visa att det räcker att bara känna till fem av de enklaste trigonometriska formlerna och att ha om resten allmän uppfattning och ta ut dem när du går. Det är som med DNA: de lagras inte i en molekyl kompletta ritningar färdig levande varelse. Den innehåller snarare instruktioner för att sätta ihop den från de tillgängliga aminosyrorna. Så det är i trigonometri, att känna till en del generella principer, vi ska få allt nödvändiga formler från en liten uppsättning av dem som måste hållas i åtanke.
Vi kommer att förlita oss på följande formler:
Från formlerna för summornas sinus och cosinus, med vetskapen om att cosinusfunktionen är jämn och att sinusfunktionen är udda, och ersätter -b för b, får vi formler för skillnaderna:
- Skillnadens sinus: synd(a-b) = syndacos(-b)+cosasynd(-b) = syndacosb-cosasyndb
- cosinus skillnad: cos(a-b) = cosacos(-b)-syndasynd(-b) = cosacosb+syndasyndb
Om vi sätter a \u003d b i samma formler får vi formlerna för sinus och cosinus för dubbla vinklar:
- Sinus med dubbel vinkel: synd2a = synd(a+a) = syndacosa+cosasynda = 2syndacosa
- Cosinus av en dubbel vinkel: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-syndasynda = cos2a-synd2a
Formlerna för andra multipla vinklar erhålls på liknande sätt:
- Sinus av en trippel vinkel: synd3a = synd(2a+a) = synd2acosa+cos2asynda = (2syndacosa)cosa+(cos2a-synd2a)synda = 2syndacos2a+syndacos2a-synd 3a = 3 syndacos2a-synd 3a = 3 synda(1-synd2a)-synd 3a = 3 synda-4synd 3a
- Cosinus av en trippel vinkel: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-synd2asynda = (cos2a-synd2a)cosa-(2syndacosa)synda = cos 3a- synd2acosa-2synd2acosa = cos 3a-3 synd2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa
Innan vi går vidare, låt oss överväga ett problem.
Givet: vinkeln är spetsig.
Hitta dess cosinus om
Lösning från en elev:
Därför att , då synda= 3,a cosa = 4.
(Från matematisk humor)
Så, definitionen av tangent förbinder denna funktion med både sinus och cosinus. Men du kan få en formel som ger kopplingen av tangenten endast med cosinus. För att härleda det tar vi den grundläggande trigonometriska identiteten: synd 2 a+cos 2 a= 1 och dividera det med cos 2 a. Vi får:
Så lösningen på detta problem skulle vara:
(Eftersom vinkeln är spetsig, tas +-tecknet när man drar ut roten)
Formeln för summans tangent är en annan som är svår att komma ihåg. Låt oss skriva ut det så här:
omedelbart utmatning och
Från cosinusformeln för en dubbel vinkel kan du få sinus- och cosinusformlerna för en halv vinkel. För att göra detta, till vänster om cosinusformeln med dubbel vinkel:
cos2
a = cos 2
a-synd 2
a
vi lägger till en enhet, och till höger - en trigonometrisk enhet, dvs. summan av kvadraterna av sinus och cosinus.
cos2a+1 = cos2a-synd2a+cos2a+synd2a
2cos 2
a = cos2
a+1
uttrycka cosa genom cos2
a och utför en förändring av variabler får vi:
Tecknet tas beroende på kvadranten.
På liknande sätt, subtrahera en från den vänstra sidan av likheten, och summan av kvadraterna av sinus och cosinus från den högra sidan, får vi:
cos2a-1 = cos2a-synd2a-cos2a-synd2a
2synd 2
a = 1-cos2
a
Och slutligen, för att omvandla summan av trigonometriska funktioner till en produkt, använder vi följande knep. Antag att vi behöver representera summan av sinus som en produkt synda+syndb. Låt oss introducera variablerna x och y så att a = x+y, b+x-y. Sedan
synda+syndb = synd(x+y)+ synd(x-y) = synd x cos y+ cos x synd y+ synd x cos y- cos x synd y=2 synd x cos y. Låt oss nu uttrycka x och y i termer av a och b.
Eftersom a = x+y, b = x-y, då . Det är därför
Du kan dra omedelbart
- Partitionsformel produkter av sinus och cosinus i belopp: syndacosb = 0.5(synd(a+b)+synd(a-b))
Vi rekommenderar att du övar på och härleder formler för att omvandla produkten av skillnaden mellan sinus och summan och skillnaden av cosinus till en produkt, samt för att dela upp produkterna av sinus och cosinus till en summa. Efter att ha gjort dessa övningar kommer du grundligt att bemästra färdigheten att härleda trigonometriska formler och kommer inte att gå vilse ens i den svåraste kontroll, olympiad eller testning.
En av matematikens grenar som skolbarn klarar av de största svårigheterna är trigonometri. Inte konstigt: för att fritt bemästra detta kunskapsområde behöver du rumsligt tänkande, förmågan att hitta sinus, cosinus, tangenter, cotangenter med formler, förenkla uttryck och kunna använda talet pi i beräkningar. Dessutom måste du kunna tillämpa trigonometri när du bevisar satser, och detta kräver antingen ett utvecklat matematiskt minne eller förmåga att härleda komplexa logiska kedjor.
Ursprunget till trigonometri
Bekantskap med denna vetenskap bör börja med definitionen av sinus, cosinus och tangens för vinkeln, men först måste du ta reda på vad trigonometri gör i allmänhet.
Historiskt sett har räta trianglar varit det huvudsakliga studieobjektet i detta avsnitt av matematisk vetenskap. Närvaron av en vinkel på 90 grader gör det möjligt att utföra olika operationer som gör att man kan bestämma värdena för alla parametrar i den aktuella figuren med hjälp av två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida. Tidigare märkte människor detta mönster och började aktivt använda det i byggandet av byggnader, navigering, astronomi och till och med konst.
Första stadiet
Inledningsvis talade man om förhållandet mellan vinklar och sidor enbart på exemplet räta trianglar. Då upptäcktes speciella formler som gjorde det möjligt att vidga gränserna för användning i Vardagsliv denna gren av matematiken.
Studiet av trigonometri i skolan börjar idag med rätvinkliga trianglar, varefter de inhämtade kunskaperna används av elever i fysik och att lösa abstrakta trigonometriska ekvationer, som arbetet med börjar i gymnasiet.
Sfärisk trigonometri
Senare, när vetenskapen nådde nästa utvecklingsnivå, började formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens användas i sfärisk geometri, där andra regler gäller, och summan av vinklarna i en triangel är alltid mer än 180 grader. Detta avsnitt studeras inte i skolan, men det är nödvändigt att veta om dess existens, åtminstone därför jordens yta, och ytan på vilken annan planet som helst är konvex, vilket betyder att varje markering av ytan kommer att vara "bågformad" i tredimensionellt rymden.
Ta jordklotet och tråden. Fäst tråden på två valfria punkter på jordklotet så att den är spänd. Var uppmärksam - den har fått formen av en båge. Det är med sådana former som sfärisk geometri, som används inom geodesi, astronomi och andra teoretiska och tillämpade områden, handlar.
Rätt triangel
Efter att ha lärt oss lite om sätten att använda trigonometri, låt oss återgå till grundläggande trigonometri för att ytterligare förstå vad sinus, cosinus, tangent är, vilka beräkningar som kan utföras med deras hjälp och vilka formler som ska användas.
Det första steget är att förstå begreppen relaterade till en rätvinklig triangel. För det första är hypotenusan den sida som är motsatt 90 graders vinkeln. Hon är längst. Vi kommer ihåg att enligt Pythagoras sats är dess numeriska värde lika med roten av summan av kvadraterna på de andra två sidorna.
Till exempel, om två sidor är 3 respektive 4 centimeter, blir längden på hypotenusan 5 centimeter. Förresten, de gamla egyptierna visste om detta för cirka fyra och ett halvt tusen år sedan.
De två återstående sidorna som bildar en rät vinkel kallas ben. Dessutom måste vi komma ihåg att summan av vinklarna i en triangel i ett rektangulärt koordinatsystem är 180 grader.
Definition
Slutligen, med en gedigen förståelse av den geometriska basen, kan vi vända oss till definitionen av sinus, cosinus och tangens för en vinkel.
En vinkels sinus är förhållandet mellan det motsatta benet (dvs sidan som är motsatt den önskade vinkeln) och hypotenusan. Cosinus för en vinkel är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.
Kom ihåg att varken sinus eller cosinus kan vara större än ett! Varför? Eftersom hypotenusan som standard är den längsta. Oavsett hur lång benet är, kommer den att vara kortare än hypotenusan, vilket innebär att deras förhållande alltid kommer att vara mindre än en. Alltså, om du får en sinus eller cosinus med ett värde större än 1 i svaret på problemet, leta efter ett fel i beräkningar eller resonemang. Detta svar är helt klart fel.
Slutligen är tangenten för en vinkel förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan. Samma resultat kommer att ge divisionen av sinus med cosinus. Titta: i enlighet med formeln delar vi längden på sidan med hypotenusan, varefter vi dividerar med längden på den andra sidan och multiplicerar med hypotenusan. Därmed får vi samma förhållande som i definitionen av tangent.
Cotangensen är respektive förhållandet mellan sidan som gränsar till hörnet och den motsatta sidan. Vi får samma resultat genom att dividera enheten med tangenten.
Så vi har övervägt definitionerna av vad sinus, cosinus, tangent och cotangens är, och vi kan ta itu med formler.
De enklaste formlerna
Inom trigonometri kan man inte klara sig utan formler - hur hittar man sinus, cosinus, tangent, cotangens utan dem? Och det är precis vad som krävs när man löser problem.
Den första formeln som du behöver veta när du börjar studera trigonometri säger att summan av kvadraterna på sinus och cosinus i en vinkel är lika med ett. Denna formel är en direkt följd av Pythagoras sats, men det sparar tid om du vill veta värdet på vinkeln, inte sidan.
Många elever kan inte komma ihåg den andra formeln, som också är mycket populär när man löser skolproblem: summan av ett och kvadraten på tangenten till en vinkel är lika med en dividerad med kvadraten på vinkelns cosinus. Ta en närmare titt: trots allt är detta samma uttalande som i den första formeln, bara båda sidor av identiteten var dividerade med kvadraten på cosinus. Det visar sig att en enkel matematisk operation gör den trigonometriska formeln helt oigenkännlig. Kom ihåg: att veta vad sinus, cosinus, tangent och cotangens är, omvandlingsreglerna och några få grundläggande formler du kan när som helst själv visa de nödvändiga mer komplexa formlerna på ett pappersark.
Dubbelvinkelformler och tillägg av argument
Ytterligare två formler som du behöver lära dig är relaterade till värdena för sinus och cosinus för summan och skillnaden av vinklarna. De visas i figuren nedan. Observera att i det första fallet multipliceras sinus och cosinus båda gångerna, och i det andra läggs den parvisa produkten av sinus och cosinus till.
Det finns också formler förknippade med dubbelvinkelargument. De är helt härledda från de tidigare - som en övning, försök att få dem själv genom att ta alfavinkeln lika med vinkeln beta.
Slutligen, notera att dubbelvinkelformlerna kan konverteras för att sänka graden av sinus, cosinus, tangent alfa.
Satser
De två huvudsatserna i grundläggande trigonometri är sinussatsen och cosinussatsen. Med hjälp av dessa satser kan du enkelt förstå hur man hittar sinus, cosinus och tangent, och därför arean av figuren och storleken på varje sida, etc.
Sinussatsen säger att som ett resultat av att dividera längden på var och en av triangelns sidor med värdet på den motsatta vinkeln får vi samma tal. Dessutom kommer detta nummer att vara lika med två radier i den omskrivna cirkeln, det vill säga cirkeln som innehåller alla punkter i den givna triangeln.
Cosinussatsen generaliserar Pythagoras sats och projicerar den på alla trianglar. Det visar sig att från summan av kvadraterna på de två sidorna, subtrahera deras produkt, multiplicerat med den dubbla cosinus för vinkeln intill dem - det resulterande värdet kommer att vara lika med kvadraten på den tredje sidan. Pythagoras sats visar sig alltså vara ett specialfall av cosinussatsen.
Misstag på grund av ouppmärksamhet
Även om man vet vad sinus, cosinus och tangent är, är det lätt att göra ett misstag på grund av frånvaro eller ett fel i de enklaste beräkningarna. För att undvika sådana misstag, låt oss bekanta oss med de mest populära av dem.
För det första ska du inte konvertera vanliga bråk till decimaler förrän slutresultatet erhålls - du kan lämna svaret i formuläret vanlig bråkdel om inte villkoret säger annat. En sådan transformation kan inte kallas ett misstag, men man bör komma ihåg att i varje skede av uppgiften kan nya rötter dyka upp, som enligt författarens idé bör reduceras. I det här fallet kommer du att slösa tid på onödigt matematiska operationer. Detta gäller särskilt för värden som roten av tre eller två, eftersom de förekommer i uppgifter vid varje steg. Detsamma gäller avrundning av "fula" tal.
Observera vidare att cosinussatsen gäller för vilken triangel som helst, men inte Pythagoras sats! Om du av misstag glömmer att subtrahera två gånger produkten av sidorna multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan dem, kommer du inte bara att få ett helt fel resultat, utan också visa ett fullständigt missförstånd av ämnet. Detta är värre än ett slarvigt misstag.
För det tredje, blanda inte ihop värdena för vinklar på 30 och 60 grader för sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Kom ihåg dessa värden, eftersom sinus på 30 grader är lika med cosinus på 60 och vice versa. Det är lätt att blanda ihop dem, vilket gör att du oundvikligen får ett felaktigt resultat.
Ansökan
Många studenter har ingen brådska att börja studera trigonometri, eftersom de inte förstår dess tillämpade betydelse. Vad är sinus, cosinus, tangent för en ingenjör eller astronom? Detta är begrepp tack vare vilka du kan beräkna avståndet till avlägsna stjärnor, förutsäga en meteorits fall, skicka en forskningssond till en annan planet. Utan dem är det omöjligt att bygga en byggnad, designa en bil, beräkna belastningen på ytan eller ett objekts bana. Och det här är bara de mest uppenbara exemplen! Trots allt används trigonometri i en eller annan form överallt, från musik till medicin.
Till sist
Så du är sinus, cosinus, tangent. Du kan använda dem i beräkningar och framgångsrikt lösa skolproblem.
Hela essensen av trigonometri kokar ner till det faktum att okända parametrar måste beräknas från triangelns kända parametrar. Det finns sex parametrar totalt: längden på tre sidor och storleken på tre vinklar. Hela skillnaden i uppgifterna ligger i att olika indata ges.
Hur man hittar sinus, cosinus, tangent baserat på de kända längderna på benen eller hypotenusan vet du nu. Eftersom dessa termer inte betyder något mer än förhållandet, och förhållandet är en bråkdel, huvudmål att hitta rötterna till en vanlig ekvation eller ett ekvationssystem blir ett trigonometriskt problem. Och här får du hjälp av vanlig skolmatematik.
Vi börjar vår studie av trigonometri med en rätvinklig triangel. Låt oss definiera vad sinus och cosinus är, samt tangent och cotangens spetsig vinkel. Detta är grunderna för trigonometri.
Minnas det rätt vinkelär en vinkel lika med 90 grader. Med andra ord hälften av det utfällda hörnet.
Vasst hörn- mindre än 90 grader.
Trubbig vinkel- mer än 90 grader. I förhållande till en sådan vinkel är "trubbig" inte en förolämpning, utan en matematisk term :-)
Låt oss rita en rätvinklig triangel. En rät vinkel betecknas vanligtvis. Observera att sidan mitt emot hörnet betecknas med samma bokstav, endast liten. Så den sida som ligger mitt emot vinkeln A betecknas.
En vinkel betecknas med motsvarande grekiska bokstav.
Hypotenusa En rätvinklig triangel är sidan mitt emot den räta vinkeln.
Ben- sidor mitt emot skarpa hörn.
Benet mittemot hörnet kallas motsatt(i förhållande till vinkeln). Det andra benet, som ligger på ena sidan av hörnet, kallas intilliggande.
Sinus spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan:
Cosinus spetsig vinkel i en rätvinklig triangel - förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan:
Tangent spetsig vinkel i en rätvinklig triangel - förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande:
En annan (motsvarande) definition: tangenten för en spetsig vinkel är förhållandet mellan en vinkels sinus och dess cosinus:
Cotangens spetsig vinkel i en rätvinklig triangel - förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta (eller motsvarande förhållandet mellan cosinus och sinus):
Var uppmärksam på de grundläggande förhållandena för sinus, cosinus, tangens och cotangens, som ges nedan. De kommer att vara användbara för oss för att lösa problem.
Låt oss bevisa några av dem.
Okej, vi har gett definitioner och skrivit formler. Men varför behöver vi sinus, cosinus, tangent och cotangens?
Vi vet det summan av vinklarna för en triangel är.
Vi vet förhållandet mellan partier rät triangel. Detta är Pythagoras sats: .
Det visar sig att om du känner till två vinklar i en triangel kan du hitta den tredje. Genom att känna till två sidor i en rätvinklig triangel kan du hitta den tredje. Så för vinklar - deras förhållande, för sidor - deras egna. Men vad ska man göra om i en rät triangel är en vinkel (förutom en rät) och en sida kända, men du behöver hitta andra sidor?
Det här är vad människor mötte förr, och gjorde kartor över området och stjärnhimlen. Det är trots allt inte alltid möjligt att direkt mäta alla sidor i en triangel.
Sinus, cosinus och tangent – de kallas också vinkelns trigonometriska funktioner- ange förhållandet mellan partier och hörn triangel. Genom att känna till vinkeln kan du hitta allt trigonometriska funktioner enligt särskilda tabeller. Och genom att känna till sinus, cosinus och tangenter för vinklarna i en triangel och en av dess sidor, kan du hitta resten.
Vi kommer också att rita en tabell med sinus-, cosinus-, tangent- och cotangensvärden för "bra" vinklar från till.
Lägg märke till de två röda strecken i tabellen. För motsvarande värden på vinklarna existerar inte tangenten och cotangensen.
Låt oss analysera flera problem i trigonometri från Bank of FIPI-uppgifter.
1. I en triangel är vinkeln , . Hitta .
Problemet är löst på fyra sekunder.
Eftersom det , .
2. I en triangel är vinkeln , , . Hitta .
Låt oss hitta med Pythagoras sats.
Problemet löst.
Ofta i problem finns trianglar med vinklar och eller med vinklar och . Memorera de grundläggande förhållandena för dem utantill!
För en triangel med vinklar och benet mitt emot vinkeln vid är lika med hälften av hypotenusan.
En triangel med vinklar och är likbent. I den är hypotenusan gånger större än benet.
Vi funderade på problem för att lösa räta trianglar - det vill säga för att hitta okända sidor eller vinklar. Men det är inte allt! PÅ ANVÄND alternativ i matematik finns det många problem där sinus, cosinus, tangent eller cotangens för triangelns yttre vinkel visas. Mer om detta i nästa artikel.
De vanligaste frågorna
Är det möjligt att försegla ett dokument enligt det medföljande provet? Svar Ja det är möjligt. Skicka en skannad kopia eller bild till vår e-postadress bra kvalitet och vi kommer att göra den nödvändiga dubbletten.
Vilka typer av betalningar accepterar du?
Svar Du kan betala för dokumentet vid tidpunkten för mottagandet av kuriren, efter att du kontrollerat att fyllningen är korrekt och kvaliteten på diplomet. Detta kan också göras på postföretagens kontor som erbjuder postförskottstjänster.
Alla leveransvillkor och betalning av dokument beskrivs i avsnittet "Betalning och leverans". Vi är också redo att lyssna på dina förslag på leveransvillkor och betalning för dokumentet.
Kan jag vara säker på att du inte kommer att försvinna med mina pengar efter att ha lagt en beställning? Svar Vi har ganska lång erfarenhet inom diplomproduktion. Vi har flera sajter som ständigt uppdateras. Våra specialister arbetar i olika delar av landet och producerar över 10 dokument om dagen. Genom åren har våra dokument hjälpt många människor att lösa anställningsproblem eller gå över till högre betalda jobb. Vi har förtjänat förtroende och erkännande bland kunder, så det finns absolut ingen anledning för oss att göra detta. Dessutom är det helt enkelt omöjligt att göra det fysiskt: du betalar för din beställning när du tar emot den i dina händer, det finns ingen förskottsbetalning.
Kan jag beställa ett diplom från vilket universitet som helst? Svar I allmänhet, ja. Vi har arbetat inom detta område i nästan 12 år. Under denna tid har en nästan komplett databas med dokument utgivna av nästan alla universitet i landet och utomlands bildats. olika år emission. Allt du behöver är att välja universitet, specialitet, dokument och fylla i ett beställningsformulär.
Vad ska jag göra om jag hittar stavfel och fel i ett dokument?
Svar När du tar emot ett dokument från vårt bud eller postföretag rekommenderar vi att du noggrant kontrollerar alla detaljer. Om ett stavfel, fel eller felaktighet upptäcks har du rätt att inte ta diplomet, och du måste ange de brister som konstaterats personligen för kuriren eller skriftligen genom att skicka ett brev till e-post.
PÅ Så snart som möjligt Vi korrigerar dokumentet och skickar det igen till angiven adress. Självklart kommer frakten att betalas av vårt företag.
För att undvika sådana missförstånd, innan vi fyller i originalformuläret, skickar vi en layout av det framtida dokumentet till kundens mail för verifiering och godkännande av den slutliga versionen. Innan vi skickar dokumentet med bud eller post tar vi också ett extra foto och video (inklusive i ultraviolett ljus) så att du har en visuell uppfattning om vad du kommer att få i slutändan.
Vad behöver du göra för att beställa ett diplom från ditt företag?
Svar För att beställa ett dokument (certifikat, examensbevis, akademiskt intyg etc.) måste du fylla i en onlinebeställningsblankett på vår hemsida eller lämna din e-post så att vi skickar ett frågeformulär, som du behöver fylla i och skicka tillbaka till oss.
Om du inte vet vad du ska ange i något fält i beställningsformuläret/enkäten, lämna dem tomma. Därför kommer vi att klargöra all information som saknas via telefon.
Senaste recensioner
Alexei:
Jag behövde ta ett diplom för att få jobb som chef. Och viktigast av allt, jag har både erfarenhet och kompetens, men utan ett dokument som jag inte kan, kommer jag att få jobb var som helst. Väl på din sida bestämde jag mig ändå för att köpa ett diplom. Diplomet blev klart på 2 dagar! Nu har jag ett jobb som jag aldrig drömt om förut!! Tack!