Średni poziom

Okrąg i wpisany kąt. wizualny przewodnik (2019)

Podstawowe warunki.

Jak dobrze pamiętasz wszystkie nazwiska związane z kręgiem? Na wszelki wypadek przypomnimy sobie - spójrz na zdjęcia - odśwież swoją wiedzę.

Po pierwsze - Środek okręgu to punkt, od którego wszystkie punkty na okręgu znajdują się w tej samej odległości.

Po drugie - promień - segment linii łączący środek i punkt na okręgu.

Promieni jest dużo (tyle, ile jest punktów na okręgu), ale wszystkie promienie mają tę samą długość.

Czasami na krótko promień oni to nazywają długość segmentu„środek to punkt na okręgu”, a nie sam odcinek.

A oto co się dzieje jeśli połączysz dwa punkty na okręgu? Również cięcie?

Tak więc ten segment nazywa się "akord".

Podobnie jak w przypadku promienia, średnicę często nazywa się długością odcinka łączącego dwa punkty na okręgu i przechodzącego przez środek. Przy okazji, jak są powiązane średnica i promień? Przypatrz się. Oczywiście, promień połowaśrednica.

Oprócz akordów są też sieczna.

Pamiętasz najprostsze?

Kąt środkowy to kąt pomiędzy dwoma promieniami.

A teraz wpisany kąt

Kąt wpisany to kąt między dwoma cięciwami, które przecinają się w punkcie na okręgu.

W tym przypadku mówią, że kąt wpisany opiera się na łuku (lub cięciwie).

Zobacz zdjęcie:

Pomiar łuków i kątów.

Obwód. Łuki i kąty są mierzone w stopniach i radianach. Najpierw o stopniach. Nie ma problemów z kątami - trzeba nauczyć się mierzyć łuk w stopniach.

Miara stopnia (wartość łuku) to wartość (w stopniach) odpowiedniego kąta środkowego

Co oznacza tutaj słowo „odpowiadający”? Przyjrzyjmy się uważnie:

Widzisz dwa łuki i dwa środkowe kąty? Cóż, większy łuk odpowiada większemu kątowi (i dobrze, że jest większy), a mniejszy łuk odpowiada mniejszemu kątowi.

Więc zgodziliśmy się: łuk zawiera taką samą liczbę stopni, jak odpowiadający mu kąt centralny.

A teraz o okropnościach - o radianach!

Jakim zwierzęciem jest ten „radian”?

Wyobraź to sobie: radiany to sposób pomiaru kąta... w promieniach!

Kąt w radianach to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Wtedy pojawia się pytanie - ile radianów znajduje się pod kątem wyprostowanym?

Innymi słowy: ile promieni „pasuje” w pół okręgu? Albo inaczej: ile razy długość pół okręgu jest większa niż promień?

To pytanie zadawali naukowcy w starożytnej Grecji.

I tak po długich poszukiwaniach stwierdzili, że stosunek obwodu do promienia nie chce być wyrażony w liczbach „ludzkich”, takich jak itp.

I nie da się nawet wyrazić tej postawy przez korzenie. To znaczy, okazuje się, że nie można powiedzieć, że połowa koła to dwukrotność lub krotność promienia! Czy możesz sobie wyobrazić, jak niesamowite było odkrywanie ludzi po raz pierwszy?! Dla stosunku długości półkola do promienia wystarczyły „normalne” liczby. Musiałem wpisać list.

Jest to więc liczba wyrażająca stosunek długości półokręgu do promienia.

Teraz możemy odpowiedzieć na pytanie: ile radianów jest pod kątem prostym? Ma radian. Właśnie dlatego, że połowa koła to dwukrotność promienia.

Starożytni (i nie tacy) ludzie na przestrzeni wieków (!) próbował dokładniej obliczyć tę tajemniczą liczbę, aby lepiej wyrazić ją (przynajmniej w przybliżeniu) za pomocą „zwykłych” liczb. A teraz jesteśmy niemożliwie leniwi - wystarczą nam dwa znaki po zajęciu, jesteśmy do tego przyzwyczajeni

Pomyśl o tym, oznacza to na przykład, że y koła o promieniu jednego ma w przybliżeniu taką samą długość, a zapisanie tej długości za pomocą liczby „ludzkiej” jest po prostu niemożliwe - potrzebujesz litery. A wtedy ten obwód będzie równy. I oczywiście obwód promienia jest równy.

Wróćmy do radianów.

Dowiedzieliśmy się już, że kąt prosty zawiera radian.

Co mamy:

Tak się cieszę, że się cieszę. W ten sam sposób uzyskuje się płytę o najpopularniejszych kątach.

Stosunek wartości kątów wpisanych i środkowych.

Jest niesamowity fakt:

Wartość kąta wpisanego jest o połowę mniejsza od odpowiedniego kąta centralnego.

Zobacz, jak wygląda to stwierdzenie na zdjęciu. „Odpowiadający” kąt środkowy to taki, w którym końce pokrywają się z końcami kąta wpisanego, a wierzchołek znajduje się w środku. Jednocześnie „odpowiadający” kąt środkowy musi „wyglądać” na ten sam cięciw () co kąt wpisany.

Dlaczego tak? Spójrzmy najpierw na prosty przypadek. Niech jeden z akordów przejdzie przez środek. W końcu to się czasem zdarza, prawda?

co się tutaj stało? Rozważać. W końcu są równoramienne i są promieniami. Tak więc (oznaczono je).

Teraz spójrzmy. To jest zewnętrzny róg! Przypominamy, że kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują i piszemy:

Tj! Nieoczekiwany efekt. Ale jest też kąt środkowy dla wpisanego.

Tak więc w tym przypadku udowodniliśmy, że kąt środkowy jest dwukrotnie większy niż kąt wpisany. Ale jest to boleśnie szczególny przypadek: czy to prawda, że ​​akord nie zawsze przechodzi prosto przez środek? Ale nic, teraz ten szczególny przypadek bardzo nam pomoże. Patrz: przypadek drugi: niech centrum leży w środku.

Zróbmy to: narysuj średnicę. A potem… widzimy dwa zdjęcia, które zostały już przeanalizowane w pierwszym przypadku. Dlatego już mamy

Więc (na rysunku a)

Cóż, pozostaje ostatni przypadek: środek jest poza rogiem.

Robimy to samo: narysuj średnicę przez punkt. Wszystko jest takie samo, ale zamiast sumy - różnica.

To wszystko!

Sformułujmy teraz dwie główne i bardzo ważne konsekwencje stwierdzenia, że ​​kąt wpisany jest połową kąta środkowego.

Następstwo 1

Wszystkie wpisane kąty przecinające ten sam łuk są równe.

Ilustrujemy:

Istnieje niezliczona ilość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku (my mamy ten łuk), mogą wyglądać zupełnie inaczej, ale wszystkie mają ten sam kąt środkowy (), co oznacza, że ​​wszystkie te kąty wpisane są między sobą równe.

Konsekwencja 2

Kąt oparty na średnicy jest kątem prostym.

Spójrz: który róg jest centralny?

Na pewno, . Ale jest równy! No właśnie dlatego (a także wiele kątów wpisanych na podstawie) i jest równy.

Kąt między dwoma cięciwami i siecznymi

A co jeśli kąt, który nas interesuje, NIE jest wpisany i NIE jest centralny, a np. taki:

czy tak?

Czy da się to jakoś wyrazić poprzez jakieś centralne kąty? Okazuje się, że możesz. Posłuchaj, jesteśmy zainteresowani.

a) (jako narożnik zewnętrzny). Ale - wpisany, oparty na łuku - . - wpisany, oparty na łuku - .

Dla urody mówią:

Kąt między cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Jest to napisane dla zwięzłości, ale oczywiście używając tego wzoru, musisz pamiętać o kątach środkowych

b) A teraz - „na zewnątrz”! Jak być? Tak, prawie to samo! Dopiero teraz (ponownie zastosuj właściwość narożnika zewnętrznego do). To jest teraz.

I to oznacza, że ​​. Wprowadźmy piękno i zwięzłość do zapisów i sformułowań:

Kąt między siecznymi jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków zawartych w tym kącie.

Cóż, teraz jesteś uzbrojony w całą podstawową wiedzę na temat kątów związanych z kołem. Naprzód, do szturmu zadań!

OKRĄG I KĄT WPISANY. ŚREDNI POZIOM

Co to jest koło, nawet pięcioletnie dziecko wie, prawda? Matematycy, jak zawsze, mają na ten temat zawiłą definicję, ale nie podamy jej (patrz), ale raczej pamiętaj, jak nazywają się punkty, linie i kąty związane z okręgiem.

Ważne warunki

Po pierwsze:

środek okręgu- punkt, od którego odległości do wszystkich punktów okręgu są takie same.

Po drugie:

Jest tu inne akceptowane wyrażenie: „akord ściąga łuk”. Na przykład tutaj, na rysunku, akord kurczy łuk. A jeśli akord nagle przechodzi przez środek, ma specjalną nazwę: „średnica”.

Przy okazji, jak są powiązane średnica i promień? Przypatrz się. Oczywiście,

A teraz - nazwy rogów.

Oczywiście, prawda? Boki narożnika wychodzą ze środka, co oznacza, że ​​narożnik jest centralny.

Tutaj czasami pojawiają się trudności. Zwróć uwagę - ŻADNY kąt wewnątrz koła nie jest wpisany, ale tylko taki, którego wierzchołek „siedzi” na samym okręgu.

Zobaczmy różnicę na zdjęciach:

Mówią też inaczej:

Jest tutaj jeden trudny punkt. Co to jest „odpowiadający” lub „własny” kąt środkowy? Tylko kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu i kończy się na końcach łuku? Nie na pewno w ten sposób. Zobacz zdjęcie.

Jeden z nich jednak nawet nie wygląda jak narożnik – jest większy. Ale w trójkącie nie może być więcej kątów, ale w kole - może dobrze! A więc: mniejszy łuk AB odpowiada mniejszemu kątowi (pomarańczowy), a większy większemu. Tak jak, prawda?

Związek między kątami wpisanymi i centralnymi

Zapamiętaj bardzo ważne stwierdzenie:

W podręcznikach lubią pisać ten sam fakt w ten sposób:

To prawda, że ​​przy kącie centralnym sformułowanie jest prostsze?

Ale mimo to znajdźmy zgodność między tymi dwoma sformułowaniami, a jednocześnie nauczmy się znajdować na rysunkach „odpowiadający” kąt środkowy i łuk, na którym wpisany kąt „opiera się”.

Spójrz, tutaj jest okrąg i wpisany kąt:

Gdzie jest jego „odpowiadający” kąt środkowy?

Spójrzmy jeszcze raz:

Jaka jest zasada?

Ale! W tym przypadku ważne jest, aby kąty wpisany i środkowy „wyglądały” po tej samej stronie łuku. Na przykład:

Co dziwne, niebieski! Ponieważ łuk jest długi, dłuższy niż połowa okręgu! Więc nigdy się nie pomyl!

Jakie konsekwencje można wywnioskować z „połowowości” wpisanego kąta?

A tutaj np.:

Kąt na podstawie średnicy

Zauważyłeś już, że matematycy bardzo lubią mówić o tym samym. różne słowa? Dlaczego to dla nich? Widzisz, chociaż język matematyki jest formalny, jest żywy i dlatego, tak jak w języku potocznym, za każdym razem, gdy chcesz to powiedzieć w wygodniejszy sposób. Cóż, już widzieliśmy, czym jest „kąt opiera się na łuku”. I wyobraź sobie, ten sam obrazek nazywa się „kąt opiera się na cięciwie”. Na czym? Tak, oczywiście, na tym, który ciągnie ten łuk!

Kiedy wygodniej jest polegać na cięciwie niż na łuku?

Cóż, w szczególności, gdy ten akord jest średnicą.

W takiej sytuacji istnieje zdumiewająco proste, piękne i przydatne stwierdzenie!

Spójrz: tutaj jest okrąg, średnica i kąt, na którym się opiera.

OKRĄG I KĄT WPISANY. KRÓTKO O GŁÓWNYM

1. Podstawowe pojęcia.

3. Pomiary łuków i kątów.

Kąt w radianach to kąt środkowy, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu.

Jest to liczba wyrażająca stosunek długości półokręgu do promienia.

Obwód promienia jest równy.

4. Stosunek wartości kątów wpisanych i środkowych.

Pojęcie kąta wpisanego i środkowego

Najpierw wprowadźmy pojęcie kąta środkowego.

Uwaga 1

Zauważ, że miara stopnia kąt środkowy jest równy mierze stopnia łuku, na którym się opiera.

Wprowadzamy teraz pojęcie kąta wpisanego.

Definicja 2

Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają ten sam okrąg, nazywany jest kątem wpisanym (rys. 2).

Rysunek 2. Kąt wpisany

Twierdzenie o kątach wpisanych

Twierdzenie 1

Miara kąta wpisanego jest połową miary łuku, który przecina.

Dowód.

Daj nam okrąg o środku w punkcie $O$. Oznacz kąt wpisany $ACB$ (rys. 2). Możliwe są następujące trzy przypadki:

• Promień $CO$ pokrywa się z pewną stroną kąta. Niech to będzie strona $CB$ (rys. 3).

Rysunek 3

W tym przypadku łuk $AB$ jest mniejszy niż $(180)^(()^\circ )$, stąd kąt środkowy $AOB$ jest równy łukowi $AB$. Ponieważ $AO=OC=r$, trójkąt $AOC$ jest równoramienny. Stąd kąty bazowe $CAO$ i $ACO$ są równe. Zgodnie z twierdzeniem o kącie zewnętrznym trójkąta mamy:

• Promień $CO$ dzieli kąt wewnętrzny na dwa kąty. Niech przecina okrąg w punkcie $D$ (rys. 4).

Rysunek 4

dostajemy

• Promień $CO$ nie dzieli kąta wewnętrznego na dwa kąty i nie pokrywa się z żadnym z jego boków (rys. 5).

Rysunek 5

Rozważ oddzielnie kąty $ACD$ i $DCB$. Na podstawie tego, co zostało udowodnione w punkcie 1, otrzymujemy

dostajemy

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przynieśmy konsekwencje z tego twierdzenia.

Wniosek 1: Wpisane kąty przecinające ten sam łuk są równe.

Konsekwencja 2: Kąt wpisany, który przecina średnicę, jest kątem prostym.

Najczęściej proces przygotowania do egzaminu z matematyki rozpoczyna się od powtórzenia podstawowych definicji, wzorów i twierdzeń, w tym tematu „Centralny i wpisany pod kątem koła”. Z reguły ta sekcja planimetrii jest badana w Liceum. Nic dziwnego, że wielu uczniów staje przed koniecznością powtórzenia podstawowych pojęć i twierdzeń na temat „Kąt centralny koła”. Po ustaleniu algorytmu rozwiązywania takich problemów uczniowie będą mogli liczyć na zdobycie punktów konkurencyjnych na podstawie wyników zdawania ujednoliconego egzaminu państwowego.

Jak łatwo i skutecznie przygotować się do testu certyfikacyjnego?

Nadrabianie zaległości przed poddaniem się singla Egzamin państwowy wielu licealistów boryka się z problemem znalezienia niezbędne informacje na temat „Kąty środkowe i wpisane w kole”. Nie zawsze podręcznik szkolny jest pod ręką. A wyszukiwanie formuł w Internecie czasami zajmuje dużo czasu.

„Pompować” umiejętności i doskonalić wiedzę w tak trudnym dziale geometrii jak planimetria, portal edukacyjny. Szkołkowo zaprasza uczniów szkół średnich i ich nauczycieli do budowania w nowy sposób procesu przygotowania do ujednoliconego egzaminu państwowego. Cały podstawowy materiał jest prezentowany przez naszych specjalistów w najbardziej przystępnej formie. Po zapoznaniu się z informacjami w sekcji „Odniesienia teoretyczne” uczniowie dowiedzą się, jakie właściwości ma kąt środkowy koła, jak znaleźć jego wartość itp.

Następnie, aby utrwalić zdobytą wiedzę i rozwinąć umiejętności, zalecamy wykonanie odpowiednich ćwiczeń. Duży wybór zadania do znalezienia wartości kąta wpisanego w okrąg i inne parametry są przedstawione w sekcji „Katalog”. Do każdego ćwiczenia nasi eksperci spisali szczegółowy przebieg rozwiązania i wskazywali poprawną odpowiedź. Lista zadań na stronie jest stale uzupełniana i aktualizowana.

Uczniowie szkół średnich mogą przygotować się do egzaminu, ćwicząc ćwiczenia, na przykład odnajdywanie wartości kąta środkowego i długości łuku koła, online, będąc w dowolnym regionie Rosji.

W razie potrzeby ukończone zadanie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby później do niego wrócić i jeszcze raz przeanalizować zasadę jego rozwiązania.

Jest to kąt utworzony przez dwa akordy pochodzące z jednego punktu na okręgu. Mówi się, że wpisany kąt jest polega na łuku zamkniętym między jego bokami.

Wpisany kąt równy połowie łuku, na którym spoczywa.

Innymi słowy, wpisany kąt zawiera tyle stopni, minut i sekund ile stopnie łuku, minuty i sekundy są zawarte w połowie łuku, na którym się opiera. Dla uzasadnienia analizujemy trzy przypadki:

Pierwszy przypadek:

Centrum O znajduje się z boku wpisany kąt ABS. Rysując promień AO, otrzymujemy ΔABO, w którym OA = OB (jako promienie) i odpowiednio ∠ABO = ∠BAO. W związku z tym trójkąt, kąt AOC jest zewnętrzny. A to oznacza, że ​​on… jest równa sumie kąty ABO i BAO lub równe podwójnemu kątowi ABO. Więc ∠ABO jest w połowie centralny róg AOC. Ale ten kąt jest mierzony łukiem AC. Oznacza to, że kąt wpisany ABC jest mierzony przez połowę łuku AC.

Drugi przypadek:

Środek O znajduje się między bokami wpisany kąt ABC Po narysowaniu średnicy BD podzielimy kąt ABC na dwa kąty, z których zgodnie z ustalonym w pierwszym przypadku jeden jest mierzony o połowę łuki AD, a druga połowa łuku CD. I odpowiednio kąt ABC jest mierzony przez (AD + DC) / 2, tj. 1/2 AC.

Trzeci przypadek:

Centrum O znajduje się na zewnątrz wpisany kąt ABS. Po narysowaniu średnicy BD otrzymamy: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ale kąty ABD i CBD są mierzone na podstawie wcześniej potwierdzonych połówek łuki AD i CD. A ponieważ ∠ABС jest mierzony przez (AD-CD)/2, czyli połowę łuku prądu przemiennego.

Konsekwencja 1. Wszelkie , oparte na tym samym łuku są takie same, to znaczy są sobie równe. Ponieważ każdy z nich jest mierzony o połowę tego samego łuki .

Konsekwencja 2. Wpisany kąt, na podstawie średnicy - prosty kąt. Ponieważ każdy taki kąt jest mierzony przez pół półokręgu i odpowiednio zawiera 90 °.

Kąt wpisany, teoria problemu. Przyjaciele! W tym artykule porozmawiamy o zadaniach, do rozwiązania których konieczne jest poznanie właściwości kąta wpisanego. To jest cała grupa zadania, są one uwzględnione w egzaminie. Większość z nich rozwiązuje się bardzo prosto, w jednym kroku.

Są trudniejsze zadania, ale nie sprawią ci one większych trudności, musisz znać właściwości kąta wpisanego. Stopniowo będziemy analizować wszystkie prototypy zadań, zapraszam na bloga!

Teraz niezbędna teoria. Przypomnij sobie, na jakim środkowym i wpisanym kącie, cięciwie, łuku opierają się te kąty:

Kąt środkowy w okręgu nazywany jest kątem płaskim zszczyt w jego centrum.

Część koła znajdująca się w płaskim narożnikuzwany łukiem koła.

Miarą stopnia łuku koła jest miara stopniaodpowiedni kąt środkowy.

Kąt nazywany jest wpisanym w okrąg, jeśli wierzchołek kąta leżyna okręgu, a boki kąta przecinają ten okrąg.

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa sięakord. Najdłuższy akord przechodzi przez środek koła i nazywa sięśrednica.

Aby rozwiązać problemy dotyczące kątów wpisanych w okrąg,musisz znać następujące właściwości:

1. Kąt wpisany jest równy połowie kąta centralnego opartego na tym samym łuku.

2. Wszystkie kąty wpisane na tym samym łuku są równe.

3. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym cięciwie, których wierzchołki leżą po tej samej stronie tego cięciwy, są równe.

4. Dowolna para kątów opartych na tym samym cięciwie, których wierzchołki leżą po przeciwnych stronach cięciwy, sumują się do 180°.

Następstwo: przeciwne kąty czworokąta wpisanego w okrąg sumują się do 180 stopni.

5. Wszystkie kąty wpisane na podstawie średnicy są proste.

Ogólnie rzecz biorąc, własność ta jest konsekwencją własności (1), jest to jej szczególny przypadek. Spójrz - kąt środkowy to 180 stopni (a ten rozwinięty kąt to tylko średnica), co oznacza, że ​​zgodnie z pierwszą właściwością kąt wpisany C jest równy swojej połowie, czyli 90 stopni.

Wiedza, umiejętności dana nieruchomość pomaga w rozwiązaniu wielu problemów i często pozwala uniknąć zbędnych obliczeń. Mając ją dobrze opanowaną, będziesz w stanie rozwiązać ponad połowę tego typu problemów ustnie. Dwie konsekwencje, które można ponieść:

Wniosek 1: jeśli trójkąt jest wpisany w okrąg i jeden z jego boków pokrywa się ze średnicą tego koła, to trójkąt jest prostokątny (wierzchołek prosty kąt leży na kole).

Wniosek 2: centrum opisanego około trójkąt prostokątny okrąg pokrywa się ze środkiem przeciwprostokątnej.

Wiele prototypów problemów stereometrycznych jest również rozwiązywanych przy użyciu tej właściwości i tych zależności. Zapamiętaj sam fakt: jeśli średnica koła jest bokiem wpisanego trójkąta, to ten trójkąt jest prostokątny (kąt przeciwny do średnicy wynosi 90 stopni). Wszystkie inne wnioski i konsekwencje możesz wyciągnąć sam, nie musisz ich uczyć.

Z reguły połowa problemów dla kąta wpisanego jest podawana za pomocą szkicu, ale bez notacji. Aby zrozumieć proces rozumowania przy rozwiązywaniu problemów (poniżej w artykule), wprowadzono oznaczenia wierzchołków (rogów). Na egzaminie nie możesz tego zrobić.Rozważ zadania:

Co to jest ostry kąt wpisany, który przecina cięciwę równą promieniowi okręgu? Podaj swoją odpowiedź w stopniach.

Zbudujmy kąt środkowy dla danego kąta wpisanego, oznaczmy wierzchołki:

Zgodnie z właściwością kąta wpisanego w okrąg:

Kąt AOB jest równy 60 0, ponieważ trójkąt AOB jest równoboczny, a w trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe 60 0 . Boki trójkąta są równe, ponieważ warunek mówi, że cięciwa jest równa promieniowi.

Zatem wpisany kąt DIA wynosi 30 0 .

Odpowiedź: 30

Znajdź cięciwę, na której spoczywa kąt 30 0, wpisany w okrąg o promieniu 3.

Jest to zasadniczo problem odwrotny (z poprzedniego). Zbudujmy centralny róg.

Jest dwa razy większy niż wpisany, czyli kąt AOB wynosi 60 0 . Z tego możemy wywnioskować, że trójkąt AOB jest równoboczny. Tak więc cięciwa jest równa promieniowi, czyli trzem.

Odpowiedź: 3

Promień okręgu wynosi 1. Znajdź wartość kąta wpisanego rozwartego opartego na cięciwie równej pierwiastkowi z dwójki. Podaj swoją odpowiedź w stopniach.

Zbudujmy kąt środkowy:

Znając promień i cięciwę, możemy znaleźć kąt środkowy DIA. Można to zrobić za pomocą prawa cosinusów. Znając kąt środkowy możemy łatwo znaleźć kąt wpisany ACB.

Twierdzenie cosinusowe: kwadrat dowolnego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków, bez podwajania iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi.

Dlatego drugi kąt środkowy to 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Zgodnie z właściwością kąta wpisanego, kąt DIA jest równy jego połowie, czyli 135 stopni.

Odpowiedź: 135

Znajdź cięciwę, na której kąt 120 stopni, pierwiastek trójki, jest wpisany w okrąg o promieniu.

Połącz punkty A i B ze środkiem okręgu. Nazwijmy to O:

Znamy promień i kąt wpisany DIA. Możemy znaleźć kąt środkowy AOB (większy niż 180 stopni), a następnie znaleźć kąt AOB w trójkącie AOB. A następnie, korzystając z twierdzenia cosinusów, oblicz AB.

Z właściwości kąta wpisanego, kąt środkowy AOB (który jest większy niż 180 stopni) będzie równy dwukrotności kąta wpisanego, czyli 240 stopni. Oznacza to, że kąt AOB w trójkącie AOB wynosi 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Zgodnie z prawem cosinusów:

Odpowiedź:3

Znajdź wpisany kąt na podstawie łuku stanowiącego 20% okręgu. Podaj swoją odpowiedź w stopniach.

Ze względu na właściwość kąta wpisanego jest to połowa wielkości kąta środkowego opartego na tym samym łuku, w tym przypadku mówimy o łuku AB.

Mówi się, że łuk AB stanowi 20 procent obwodu. Oznacza to, że kąt środkowy AOB również wynosi 20 procent 360 0 .* Okrąg to kąt 360 stopni. Znaczy,

Zatem wpisany kąt ACB wynosi 36 stopni.

Odpowiedź: 36

łuk koła AC, nie zawierający punktów B, wynosi 200 stopni. I łuk okręgu BC, który nie zawiera punktów A, wynosi 80 stopni. Znajdź wpisany kąt ACB. Podaj swoją odpowiedź w stopniach.

Oznaczmy dla jasności łuki, których miary kątowe są podane. Łuk odpowiadający 200 stopniom - niebieski kolor, łuk odpowiadający 80 stopniom jest czerwony, reszta okręgu to żółty.

Zatem miara stopnia łuku AB (żółty), a więc kąt środkowy AOB wynosi: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Kąt wpisany DAB jest połową kąta środkowego AOB, czyli równym 40 stopni.

Odpowiedź: 40

Jaki jest kąt wpisany na podstawie średnicy okręgu? Podaj swoją odpowiedź w stopniach.