Miara stopnia kąta. Radiana miara kąta. Zamiana stopni na radiany i odwrotnie

29.09.2019

W tym artykule ustalimy zależność między podstawowymi jednostkami miary kąta - stopniami i radianami. To połączenie w końcu pozwoli nam na wykonanie zamiana stopni na radiany i odwrotnie. Aby te procesy nie powodowały trudności, otrzymamy wzór na przeliczanie stopni na radiany oraz wzór na przeliczanie z radianów na stopnie, po czym szczegółowo przeanalizujemy rozwiązania przykładów.

Nawigacja po stronach.

Związek między stopniami a radianami

Związek między stopniami i radianami zostanie ustalony, jeśli znane są zarówno stopień, jak i miara kąta w radianach (stopień i miara kąta w radianach można znaleźć w sekcji).

Weźmy centralny róg, na podstawie średnicy okręgu o promieniu r . Możemy obliczyć miarę tego kąta w radianach: w tym celu musimy podzielić długość łuku przez długość promienia okręgu. Ten kąt odpowiada długości łuku, połowa obwód, tj, . Dzieląc tę długość przez długość promienia r, otrzymujemy radianową miarę kąta, który przyjęliśmy. Więc nasz kąt to rad. Z drugiej strony ten kąt jest rozszerzony, wynosi 180 stopni. Dlatego pi radiany to 180 stopni.

Wyraża się to więc wzorem π radiany = 180 stopni, tj, .

Wzory do przeliczania stopni na radiany i radiany na stopnie

Z równości formy, którą uzyskaliśmy w poprzednim akapicie, łatwo jest wyprowadzić wzory do przeliczania radianów na stopnie i stopnie na radiany.

Dzieląc obie strony równania przez pi, otrzymujemy wzór wyrażający jeden radian w stopniach: . Ten wzór oznacza, że miara kąta jednego radiana wynosi 180/π. Jeśli zamienimy lewą i prawą część równości, a następnie podzielimy obie części przez 180, to otrzymamy wzór postaci . Wyraża jeden stopień w radianach.

Aby zaspokoić naszą ciekawość, obliczamy przybliżoną wartość kąta jednego radiana w stopniach oraz wartość kąta jednego stopnia w radianach. Aby to zrobić, weź wartość liczby pi z dokładnością do dziesięciu tysięcznych i zastąp ją wzorami oraz i wykonaj obliczenia. Mamy oraz . Tak więc jeden radian to około 57 stopni, a jeden stopień to 0,0175 radianów.

Wreszcie z uzyskanych relacji oraz przejdźmy do wzorów na przeliczanie radianów na stopnie i odwrotnie, a także rozważmy przykłady zastosowania tych wzorów.

Wzór na przeliczanie radianów na stopnie wygląda jak: . Zatem jeśli znana jest wartość kąta w radianach, to mnożąc ją przez 180 i dzieląc przez pi, otrzymujemy wartość tego kąta w stopniach.

Przykład.

Biorąc pod uwagę kąt 3,2 radiana. Jaka jest miara tego kąta w stopniach?

Decyzja.

Używamy wzoru do przeliczania radianów na stopnie, mamy

Odpowiedź:

Wzór na przeliczanie stopni na radiany ma formę . To znaczy, jeśli znana jest wartość kąta w stopniach, to mnożąc ją przez pi i dzieląc przez 180, otrzymujemy wartość tego kąta w radianach. Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Kąty są mierzone w stopniach lub radianach. Ważne jest, aby zrozumieć związek między tymi jednostkami miary. Zrozumienie tej zależności pozwala na operowanie kątami i przejście od stopni do radianów i odwrotnie. W tym artykule wyprowadzimy wzór na przeliczanie stopni na radiany i radiany na stopnie, a także przeanalizujemy kilka przykładów z praktyki.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Związek między stopniami a radianami

Aby ustalić związek między stopniami a radianami, musisz znać stopień i miarę kąta w radianach. Na przykład weźmy kąt środkowy, który opiera się na średnicy okręgu o promieniu r. Aby obliczyć miarę radiacyjną tego kąta, musisz podzielić długość łuku przez długość promienia okręgu. Rozważany kąt odpowiada długości łuku równej połowie długości okręgu π · r . Podziel długość łuku przez promień i uzyskaj radiacyjną miarę kąta: π · r r = π rad.

Zatem kąt, o którym mowa, to radiany π. Z drugiej strony jest to kąt prosty równy 180°. Stąd 180° = π rad.

Stosunek stopni do radianów

Zależność między radianami a stopniami wyraża wzór

π radiany = 180°

Wzory do przeliczania radianów na stopnie i odwrotnie

Ze wzoru otrzymanego powyżej można wyprowadzić inne wzory do konwersji kątów z radianów na stopnie i ze stopni na radiany.

Wyraź jeden radian w stopniach. Aby to zrobić, dzielimy lewą i prawą część promienia przez pi.

1 rad \u003d 180 π ° - miara stopnia kąta w 1 radianie wynosi 180 π.

Możesz również wyrazić jeden stopień w radianach.

1 ° = π 180 r a d

Możesz dokonać przybliżonych obliczeń wartości kątów w radianach i odwrotnie. Aby to zrobić, przyjmujemy wartości liczby π do dziesięciu tysięcznych i podstawiamy je do otrzymanych formuł.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Zatem w jednym radianie jest około 57 stopni.

1° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Jeden stopień zawiera 0,0175 radianów.

Wzór na przeliczanie radianów na stopnie

x ra d = x 180 π °

Aby przekonwertować kąt z radianów na stopnie, pomnóż kąt w radianach przez 180 i podziel przez pi.

Przykłady zamiany stopni na radiany i radiany na stopnie

Rozważ przykład.

Przykład 1: Konwersja z radianów na stopnie

Niech α = 3 , 2 rad. Musisz znać miarę tego kąta w stopniach.

Spójrzmy na zdjęcie. Wektor \(AB \) „obrócił się” względem punktu \(A \) o określoną wartość. Tak więc miarą tego obrotu w stosunku do pozycji początkowej będzie kąt \(\alfa \).

Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Oczywiście jednostki kąta!

Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.

Kąt w \(1()^\circ \) (jeden stopień) jest kątem centralnym w okręgu opartym na łuku kołowym równym \(\dfrac(1)(360) \) części okręgu.

Tak więc cały okrąg składa się z \(360 \) „kawałków” łuków kołowych, lub kąt opisany przez okrąg to \(360()^\circ \) .

Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje kąt \(\beta \) równy \(50()^\circ \) , czyli ten kąt jest oparty na łuku kołowym o rozmiarze \(\dfrac(50)(360 ) \) obwodu.

Kąt w \(1 \) radianach to kąt środkowy okręgu, oparty na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu.

Rysunek pokazuje więc kąt \(\gamma \) równy \(1 \) radianowi, to znaczy kąt ten jest oparty na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość \ (AB \) jest równy długości \(BB" \) lub promień \(r \) jest równy długości łuku \(l \) ) Zatem długość łuku oblicza się według wzoru:

\(l=\theta \cdot r \) , gdzie \(\theta \) to kąt środkowy w radianach.

Wiedząc o tym, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera kąt opisany przez okrąg? Tak, w tym celu musisz zapamiętać wzór na obwód koła. Tutaj jest:

\(L=2\pi \cdot r\)

Cóż, teraz skorelujmy te dwie formuły i uzyskajmy, że kąt opisany przez okrąg to \(2\pi \) . Oznacza to, że korelując wartość w stopniach i radianach, otrzymujemy \(2\pi =360()^\circ \) . W związku z tym \(\pi =180()^\circ \) . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radiany” jest pomijane, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.

Funkcje trygonometryczne są funkcjami podstawowymi, których argumentem jest zastrzyk. Przez funkcje trygonometryczne opisuje relacje między stronami i ostre rogi w prawym trójkącie. Obszary zastosowań funkcji trygonometrycznych są niezwykle zróżnicowane. Na przykład dowolne procesy okresowe można przedstawić jako sumę funkcji trygonometrycznych (szereg Fouriera). Funkcje te często pojawiają się podczas rozwiązywania równań różniczkowych i funkcyjnych.

Funkcje trygonometryczne obejmują 6 następujących funkcji: Zatoka, cosinus, tangens, cotangens, sieczna oraz cosecant. Dla każdej z tych funkcji istnieje odwrotna funkcja trygonometryczna.

Geometryczna definicja funkcji trygonometrycznych jest wygodnie wprowadzana za pomocą koło jednostkowe. Poniższy rysunek przedstawia okrąg o promieniu r= 1. Na okręgu zaznaczony jest punkt M(x,y). Kąt między wektorem promienia OM i dodatni kierunek osi Wół równa się α .

Zatoka narożnik α tak zwrotnica M(x,y) do promienia r: grzech α = tak/r. O ile r= 1, to sinus jest równy rzędnej punktu M(x,y).

cosinus narożnik α x zwrotnica M(x,y) do promienia r: cos α = x/r = x

tangens narożnik α nazywa się stosunkiem rzędnej tak zwrotnica M(x,y) do jej odciętej x:dębnik α = tak/x, x ≠ 0

Cotangens narożnik α zwany stosunkiem odciętych x zwrotnica M(x,y) do jego rzędnej tak: kot α = x/tak, tak ≠ 0

Sieczna narożnik α to stosunek promienia r do odciętej x zwrotnica M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Cosecans narożnik α to stosunek promienia r do rzędnej tak zwrotnica M(x,y): cosec α = r/tak = 1/tak, tak ≠ 0

W jednym okręgu projekcyjnym x, tak zwrotnica M(x,y) i promień r tworzą trójkąt prostokątny, w którym x, y są nogi i r− przeciwprostokątna. Dlatego powyższe definicje funkcji trygonometrycznych w odniesieniu do trójkąta prostokątnego są sformułowane w następujący sposób: Zatoka narożnik α jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej. cosinus narożnik α to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. tangens narożnik α zwana przeciwległą nogą do sąsiedniej. Cotangens narożnik α zwana sąsiednią nogą do przeciwnej.