Kąt wpisany oparty na okręgu. Okrąg i kąt wpisany. Przewodnik wizualny (2019)

W tym artykule powiem ci, jak rozwiązywać problemy, które używają .

Najpierw, jak zwykle, przypominamy definicje i twierdzenia, które musisz znać, aby skutecznie rozwiązywać problemy na .

1.Kąt wpisany jest kątem, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają okrąg:

2.Centralny róg to kąt, którego wierzchołek pokrywa się ze środkiem okręgu:

Stopień wielkości łuku koła mierzony przez centralny róg który na tym polega.

W tym przypadku wartość stopnia łuku AC jest równa wartości kąta AOC.

3. Jeśli kąt wpisany i środkowy opierają się na tym samym łuku, to kąt wpisany jest dwa razy większy od kąta środkowego:

4. Wszystkie kąty wpisane oparte na jednym łuku są sobie równe:

5. Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi 90°:

Rozwiążemy kilka problemów.

1. Zadanie B7 (#27887)

Znajdźmy wartość kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku:

Oczywiście wartość kąta AOC wynosi 90°, więc kąt ABC wynosi 45°

Odpowiedź: 45°

2. Zadanie B7 (nr 27888)

Znajdź kąt ABC. Podaj odpowiedź w stopniach.

Oczywiście kąt AOC wynosi 270°, więc kąt ABC wynosi 135°.

Odpowiedź: 135°

3 . Zadanie B7 (#27890)

Znajdź wartość stopnia łuku AC okręgu, na którym opiera się kąt ABC. Podaj odpowiedź w stopniach.

Znajdźmy wartość kąta środkowego, który opiera się na łuku AC:

Wartość kąta AOC wynosi 45°, zatem miara kąta AC wynosi 45°.

Odpowiedź: 45°.

4 . Zadanie B7 (#27885)

Znajdź kąt ACB, jeśli kąty wpisane ADB i DAE są oparte na łukach koła, których wartości stopni wynoszą odpowiednio i . Podaj odpowiedź w stopniach.

Kąt ADB opiera się na łuku AB, więc kąt środkowy AOB ma miarę 118°, więc kąt BDA ma miarę 59°, a kąt przyległy ADC ma miarę 180°-59°=121°

Podobnie kąt DOE wynosi 38°, a odpowiadający mu kąt wpisany DAE wynosi 19°.

Rozważ trójkąt ADC:

Suma kątów trójkąta wynosi 180°.

Wartość kąta ASV wynosi 180°- (121°+19°)=40°

Odpowiedź: 40°

5. Zadanie B7 (#27872)

Boki czworoboku ABCD AB, BC, CD i AD leżą naprzeciw łuków opisanego koła, których wartości stopni wynoszą odpowiednio , , i . Znajdź kąt B tego czworokąta. Podaj odpowiedź w stopniach.

Kąt B opiera się na łuku ADC, którego wartość jest równa sumie wartości łuków AD i CD, czyli 71°+145°=216°

Kąt wpisany B połowa wielkość łuku ADC, tj. 108°

Odpowiedź: 108°

6. Zadanie B7 (#27873)

Punkty A, B, C, D leżące na okręgu dzielą ten okrąg na cztery łuki AB, BC, CD i AD, których wartości stopni są powiązane odpowiednio jak 4:2:3:6. Znajdź kąt A czworokąta ABCD. Podaj odpowiedź w stopniach.

(patrz rysunek poprzedniego zadania)

Ponieważ podaliśmy stosunek wielkości łuków, wprowadzamy element jednostkowy x. Następnie wielkość każdego łuku zostanie wyrażona w następujący sposób:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Wszystkie łuki tworzą okrąg, to znaczy ich suma wynosi 360 °.

4x+2x+3x+6x=360°, stąd x=24°.

Kąt A opiera się na łukach BC i CD, które w sumie mają wartość 5x=120°.

Zatem kąt A ma miarę 60°

Odpowiedź: 60°

7. Zadanie B7 (#27874)

czworoboczny ABCD wpisany w okrąg. Narożnik ABC równa się, kąt CHAM

Dzisiaj przyjrzymy się kolejnemu rodzajowi problemów 6 - tym razem z kółkiem. Wielu uczniów ich nie lubi i uważa je za trudne. I to zupełnie na próżno, ponieważ takie zadania są rozwiązywane podstawowy jeśli znasz jakieś twierdzenia. Lub w ogóle się nie odważą, jeśli nie są znane.

Zanim omówię główne właściwości, przypomnę definicję:

Kąt wpisany to taki, którego wierzchołek leży na samym okręgu, a boki przecinają cięciwę na tym okręgu.

Kąt środkowy to dowolny kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. Jego boki również przecinają ten okrąg i rzeźbią w nim akord.

Tak więc pojęcia kąta wpisanego i środkowego są nierozerwalnie związane z kołem i znajdującymi się w nim akordami. A teraz główne stwierdzenie:

Twierdzenie. Kąt środkowy jest zawsze dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Pomimo prostoty stwierdzenia, istnieje cała klasa problemów 6, które rozwiązuje się za jego pomocą – i nic więcej.

Zadanie. Znajdź kąt wpisany ostry na podstawie cięciwy równej promieniowi okręgu.

Niech AB będzie rozważaną cięciwą, O środkiem okręgu. Dodatkowa konstrukcja: OA i OB to promienie okręgu. Otrzymujemy:

Rozważmy trójkąt ABO. W nim AB = OA = OB - wszystkie boki są równe promieniowi koła. Zatem trójkąt ABO jest równoboczny, a wszystkie kąty w nim mają miarę 60°.

Niech M będzie wierzchołkiem kąta wpisanego. Ponieważ kąty O i M oparte są na tym samym łuku AB, kąt wpisany M jest 2 razy mniejszy niż kąt środkowy O. Mamy:

M=O:2=60:2=30

Zadanie. Kąt środkowy jest o 36° większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku kołowym. Znajdź kąt wpisany.

Wprowadźmy notację:

1. AB to cięciwa koła;
2. Punkt O jest środkiem okręgu, więc kąt AOB jest środkowy;
3. Punkt C jest wierzchołkiem kąta wpisanego ACB .

Ponieważ szukamy kąta wpisanego ACB , oznaczmy go jako ACB = x . Wtedy kąt środkowy AOB wynosi x + 36. Z drugiej strony kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego. Mamy:

AOB = 2 ACB ;
x + 36 = 2 x;
x=36.

Znaleźliśmy więc kąt wpisany AOB - jest równy 36 °.

Okrąg to kąt 360°

Po przeczytaniu podtytułu doświadczeni czytelnicy prawdopodobnie powiedzą teraz: „Fu!” Rzeczywiście, porównywanie koła z kątem nie jest całkowicie poprawne. Aby zrozumieć, o czym mówimy, spójrz na klasyczne koło trygonometryczne:

Dlaczego to zdjęcie? I do tego, że pełny obrót to kąt 360 stopni. A jeśli podzielisz to na, powiedzmy, 20 równych części, to rozmiar każdej z nich wyniesie 360: 20 = 18 stopni. To jest dokładnie to, co jest wymagane do rozwiązania problemu B8.

Punkty A, B i C leżą na okręgu i dzielą go na trzy łuki, których miary w stopniach są powiązane jak 1:3:5. Znajdź największy kąt trójkąta ABC.

Najpierw znajdźmy miarę stopnia każdego łuku. Niech mniejszy z nich będzie równy x . Ten łuk jest oznaczony na rysunku jako AB. Następnie pozostałe łuki - BC i AC - można wyrazić za pomocą AB: łuk BC = 3x; AC=5x. Te łuki sumują się do 360 stopni:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

Rozważmy teraz duży łuk AC, który nie zawiera punktu B. Ten łuk, podobnie jak odpowiadający mu kąt środkowy AOC, wynosi 5x = 5 40 = 200 stopni.

Kąt ABC jest największym ze wszystkich kątów w trójkącie. Jest to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy AOC. Więc kąt ABC jest 2 razy mniejszy niż AOC. Mamy:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Będzie to miara stopnia największego kąta w trójkącie ABC.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Wiele osób zapomina o tym twierdzeniu. Ale na próżno, ponieważ bez niego niektórych zadań B8 w ogóle nie da się rozwiązać. Dokładniej, są one rozwiązane, ale przy takiej ilości obliczeń, że wolałbyś raczej zasnąć niż dojść do odpowiedzi.

Twierdzenie. Środek okręgu opisanego dookoła trójkąt prostokątny, leży pośrodku przeciwprostokątnej.

Co wynika z tego twierdzenia?

1. Środek przeciwprostokątnej jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta. Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia;
2. Mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej dzieli pierwotny trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. To jest dokładnie to, co jest wymagane do rozwiązania problemu B8.

Mediana CD jest narysowana w trójkącie ABC. Kąt C ma miarę 90°, a kąt B ma miarę 60°. Znajdź kąt ACD.

Ponieważ kąt C ma miarę 90°, trójkąt ABC jest prostokątny. Okazuje się, że CD jest medianą poprowadzoną do przeciwprostokątnej. Zatem trójkąty ADC i BDC są równoramienne.

W szczególności rozważ trójkąt ADC . W nim AD = CD. Ale w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe - patrz „Zadanie B8: odcinki i kąty w trójkątach”. Dlatego żądany kąt ACD = A.

Pozostaje więc dowiedzieć się, co jest równy kątowi A. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do oryginalnego trójkąta ABC. Oznaczmy kąt A = x . Ponieważ suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180°, mamy:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

Oczywiście ostatni problem można rozwiązać w inny sposób. Na przykład łatwo jest udowodnić, że trójkąt BCD nie jest tylko równoramienny, ale równoboczny. Więc kąt BCD ma 60 stopni. Stąd kąt ACD wynosi 90 − 60 = 30 stopni. Jak widzisz, możesz użyć różnych trójkątów równoramiennych, ale odpowiedź zawsze będzie taka sama.

Najczęściej proces przygotowania do egzaminu z matematyki zaczyna się od powtórzenia podstawowych definicji, wzorów i twierdzeń, w tym tematu „Kąt środkowy i wpisany w okrąg”. Z reguły ta sekcja planimetrii jest badana Liceum. Nic dziwnego, że wielu uczniów staje przed koniecznością powtórzenia podstawowych pojęć i twierdzeń na temat „Kąt środkowy koła”. Po ustaleniu algorytmu rozwiązywania takich problemów uczniowie będą mogli liczyć na zdobycie punktów konkursowych na podstawie wyników zdania jednolitego egzaminu państwowego.

Jak łatwo i skutecznie przygotować się do egzaminu certyfikującego?

Nadrabianie zaległości przed poddaniem się singlowi Egzamin państwowy, wielu uczniów szkół średnich boryka się z problemem znalezienia niezbędne informacje na temat „Kąty środkowe i wpisane w okrąg”. Nie zawsze podręcznik szkolny jest pod ręką. A wyszukiwanie formuł w Internecie czasami zajmuje dużo czasu.

Do „pompowania” umiejętności i doskonalenia wiedzy w tak trudnym dziale geometrii jakim jest planimetria, portal edukacyjny. Shkolkovo zaprasza uczniów szkół średnich i ich nauczycieli do zbudowania procesu przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego w nowy sposób. Cały podstawowy materiał jest prezentowany przez naszych specjalistów w najbardziej przystępnej formie. Po zapoznaniu się z informacjami zawartymi w dziale „Podstawa teoretyczna” uczniowie dowiedzą się, jakie właściwości ma kąt środkowy koła, jak znaleźć jego wartość itp.

Następnie, aby utrwalić zdobytą wiedzę i rozwinąć umiejętności, zalecamy wykonanie odpowiednich ćwiczeń. Duży wybór zadania znajdowania wartości kąta wpisanego w okrąg oraz innych parametrów przedstawiono w dziale „Katalog”. Do każdego ćwiczenia nasi eksperci spisali szczegółowy przebieg rozwiązania i wskazali poprawną odpowiedź. Lista zadań na stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.

Licealiści mogą przygotować się do egzaminu, ćwicząc ćwiczenia, na przykład znalezienie wartości kąta środkowego i długości łuku koła, online, będąc w dowolnym regionie Rosji.

W razie potrzeby wykonane zadanie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby później do niego wrócić i jeszcze raz przeanalizować zasadę jego rozwiązania.

Kąt ABC jest kątem wpisanym. Opiera się na łuku AC, zamkniętym między jego bokami (ryc. 330).

Twierdzenie. Kąt wpisany jest mierzony przez połowę łuku, na którym się opiera.

Należy to rozumieć w następujący sposób: kąt wpisany zawiera tyle stopni kątowych, minut i sekund, ile stopni, minut i sekund łuku mieści się w połowie łuku, na którym spoczywa.

Aby udowodnić to twierdzenie, musimy rozważyć trzy przypadki.

Pierwszy przypadek. Środek okręgu leży po stronie kąta wpisanego (ryc. 331).

Niech ∠ABC będzie kątem wpisanym, a środek okręgu O leży na boku BC. Wymagane jest udowodnienie, że mierzy się go połową łuku AC.

Połącz punkt A ze środkiem okręgu. Otrzymujemy równoramienne \(\Delta\)AOB, w którym AO = OB, jako promienie tego samego okręgu. Dlatego ∠A = ∠B.

∠AOC jest zewnętrznym trójkątem AOB, więc ∠AOC = ∠A + ∠B, a ponieważ kąty A i B są równe, ∠B wynosi 1/2 ∠AOC.

Ale ∠AOC jest mierzone łukiem AC, dlatego ∠B jest mierzone przez połowę łuku AC.

Na przykład, jeśli \(\breve(AC)\) zawiera 60°18', to ∠B zawiera 30°9'.

Drugi przypadek. Środek okręgu leży między bokami kąta wpisanego (ryc. 332).

Niech ∠ABD będzie kątem wpisanym. Środek okręgu O leży pomiędzy jego bokami. Należy udowodnić, że ∠ABD jest mierzone przez połowę łuku AD.

Aby to udowodnić, narysujmy średnicę BC. Kąt ABD podzielony na dwa kąty: ∠1 i ∠2.

∠1 jest mierzone przez połowę łuku AC, a ∠2 jest mierzone przez połowę łuku CD, więc całe ∠ABD jest mierzone przez 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), czyli połowa łuku AD.

Na przykład, jeśli \(\breve(AD)\) zawiera 124°, to ∠B zawiera 62°.

Trzeci przypadek. Środek okręgu leży poza kątem wpisanym (ryc. 333).

Niech ∠MAD będzie kątem wpisanym. Środek okręgu O znajduje się poza rogiem. Należy udowodnić, że ∠MAD jest mierzone przez połowę łuku MD.

Aby to udowodnić, narysujmy średnicę AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ale ∠MAB mierzy 1/2 \(\breve(MB)\), a ∠DAB mierzy 1/2 \(\breve(DB)\).

Dlatego ∠MAD mierzy 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), tj. 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Na przykład, jeśli \(\breve(MD)\) zawiera 48° 38", to ∠MAD zawiera 24° 19' 8".

Konsekwencje
1. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe, ponieważ są mierzone przez połowę tego samego łuku (ryc. 334, a).

2. Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym, ponieważ oparty jest na połowie koła. Połowa koła zawiera 180 stopni łukowych, co oznacza, że ​​kąt oparty na średnicy zawiera 90 stopni kątowych (ryc. 334, b).

Instrukcja

Znając promień (R) okręgu i długość łuku (L) odpowiadające żądanemu kątowi środkowemu (θ), można go obliczyć zarówno w stopniach, jak iw radianach. Suma jest określona wzorem 2 * π * R i odpowiada kątowi środkowemu 360 ° lub dwóm liczbom pi, jeśli zamiast stopni stosuje się radiany. Dlatego wyjdź z proporcji 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Wyraź z niego kąt środkowy w radianach θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R lub stopnie θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) i obliczyć zgodnie z otrzymanym wzorem.

Na podstawie długości cięciwy (m) łączącej punkty wyznaczającej kąt środkowy (θ) można również obliczyć jego wartość, jeśli znany jest promień (R) okręgu. Aby to zrobić, rozważ trójkąt utworzony przez dwa promienie i . To jest trójkąt równoramienny, wszyscy są znani, ale musisz znaleźć kąt leżący naprzeciwko podstawy. Sinus jego połowy jest równy stosunkowi długości podstawy - cięciwy - do dwukrotności długości boku - promienia. Dlatego do obliczeń użyj odwrotnej funkcji sinusoidalnej - arcus sinus: θ \u003d 2 * arcsin (½ * m / R).

Kąt środkowy można również określić w ułamkach obrotu lub od pełnego kąta. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć kąt środkowy odpowiadający jednej czwartej pełnego obrotu, podziel 360° przez cztery: θ = 360°/4 = 90°. Ta sama wartość w radianach powinna wynosić 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Kąt rozwinięty jest równy połowie pełnego obrotu, więc na przykład kąt środkowy odpowiadający jednej czwartej będzie miał połowę wartości obliczonych powyżej, zarówno w stopniach, jak iw radianach.

Nazywa się odwrotną sinusoidalną funkcją trygonometryczną sinus łukowy. Może przyjmować wartości mieszczące się w granicach połowy liczby pi, zarówno dodatnie, jak i ujemne. zła strona gdy jest mierzony w radianach. Mierzone w stopniach wartości te będą mieścić się odpowiednio w przedziale od -90° do +90°.

Instrukcja

Niektórych „okrągłych” wartości nie trzeba obliczać, łatwiej je zapamiętać. Na przykład: - jeśli argument funkcji zero, to wartość arcus sinusa od niego jest również równa zeru; - od 1/2 jest równe 30 ° lub 1/6 Pi, jeśli jest mierzone; - arcus sinus od -1/2 jest równy -30 ° lub - 1/6 liczby Pi w; - arcus sinus od 1 jest równy 90° lub 1/2 liczby Pi w radianach; - arcus sinus -1 jest równy -90° lub -1/2 liczby Pi w radianach;

Aby zmierzyć wartości tej funkcji na podstawie innych argumentów, najłatwiej jest użyć standardowego kalkulatora Windows, jeśli masz . Aby rozpocząć, otwórz menu główne przyciskiem „Start” (lub naciskając klawisz WIN), przejdź do sekcji „Wszystkie programy”, a następnie do podsekcji „Akcesoria” i kliknij element „Kalkulator”.

Przełącz interfejs kalkulatora na tryb pracy, który pozwala na obliczenia funkcje trygonometryczne. Aby to zrobić, otwórz w menu sekcję „Widok” i wybierz pozycję „Inżynieria” lub „Naukowa” (w zależności od system operacyjny).

Wprowadź wartość argumentu, na podstawie którego ma zostać obliczony łuk styczny. Można to zrobić klikając przyciskami interfejsu kalkulatora myszką lub naciskając klawisze na lub kopiując wartość (CTRL + C), a następnie wklejając ją (CTRL + V) do pola wprowadzania kalkulatora.

Wybierz jednostki, w których chcesz uzyskać wynik obliczenia funkcji. Poniżej pola wprowadzania znajdują się trzy opcje, z których należy wybrać (klikając myszką) jedną - , radiany lub rady.

Zaznacz pole wyboru, które odwraca funkcje wskazane na przyciskach interfejsu kalkulatora. Obok krótki napis Inv.

Kliknij przycisk grzechu. Kalkulator odwróci dołączoną do niego funkcję, wykona obliczenia i przedstawi wynik w podanych jednostkach.

Powiązane wideo

Jednym z typowych problemów geometrycznych jest obliczenie pola odcinka kołowego - części koła ograniczonej cięciwą i łukiem koła odpowiadającym cięciwie.

Powierzchnia segmentu kołowego jest równa różnicy między obszarem odpowiedniego sektora kołowego a obszarem trójkąta utworzonego przez promienie sektora odpowiadającego segmentowi i cięciwę ograniczającą segment.

Przykład 1

Długość cięciwy leżącej naprzeciw okręgu jest równa a. miara stopniałuk odpowiadający cięciwie wynosi 60°. Znajdź obszar okrągłego segmentu.

Rozwiązanie

Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę jest równoramienny, więc wysokość poprowadzona od wierzchołka kąta środkowego do boku trójkąta utworzonego przez cięciwę będzie również dwusieczną kąta środkowego, dzielącą go na pół i środkową , dzieląc akord na pół. Wiedząc, że sinus kąta β jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, możemy obliczyć wartość promienia:

Grzech 30°= a/2: R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, gdzie h to wysokość poprowadzona od wierzchołka kąta środkowego do cięciwy. Z twierdzenia Pitagorasa h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Odpowiednio, S▲=√3/4*a².

Pole segmentu, obliczone jako Sceg = Sc - S▲, jest równe:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Zastępowanie wartość numeryczna zamiast wartości a można łatwo obliczyć wartość liczbową powierzchni segmentu.

Przykład 2

Promień okręgu jest równy a. Miara stopnia łuku odpowiadającego segmentowi wynosi 60°. Znajdź obszar okrągłego segmentu.

Rozwiązanie:

Powierzchnię sektora odpowiadającego danemu kątowi można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Obszar trójkąta odpowiadającego sektorowi oblicza się w następujący sposób:

S▲=1/2*ah, gdzie h to wysokość poprowadzona od wierzchołka kąta środkowego do cięciwy. Z twierdzenia Pitagorasa h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Odpowiednio, S▲=√3/4*a².

I wreszcie pole segmentu, obliczone jako Sceg = Sc - S▲, jest równe:

Sseg \u003d πa² / 6 - √3 / 4 * a².

Rozwiązania w obu przypadkach są niemal identyczne. Można więc stwierdzić, że do obliczenia pola odcinka w najprostszym przypadku wystarczy znać wartość kąta odpowiadającego łukowi odcinka oraz jeden z dwóch parametrów – albo promień okrąg lub długość cięciwy leżącej naprzeciw łuku koła tworzącego odcinek.

Źródła:

• Segment - Geometria