Wzory na figury wypukłe w stereometrii. Objętość ściętej piramidy wynosi Objętość i pole powierzchni bocznej i pełnej stożka

Kurs wideo „Get an A” zawiera wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania egzaminu z matematyki o 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z profilu USE w matematyce. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Sprytne sztuczki do rozwiązywania, przydatne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Baza do rozwiązywania złożonych problemów II części egzaminu.

\((\color(red)(\textbf(Fakt 1. O liniach równoległych)))\)
\(\bullet\) Dwie linie w przestrzeni są równoległe, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i się nie przecinają.
\(\bullet\) Jest tylko jedna płaszczyzna przechodząca przez dwie równoległe linie.
\(\bullet\) Jeżeli jedna z dwóch równoległych linii przecina płaszczyznę, to druga linia również przecina tę płaszczyznę.
\(\bullet\) Jeśli linia \(a\) jest równoległa do linii \(b\) , która z kolei jest równoległa do linii \(c\) , to \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Niech samolot \(\alpha\) i \(\beta\) przecinają się wzdłuż linii \(a\) , płaszczyzny \(\beta\) i \(\pi\) przecinają się wzdłuż linii linii \(b \) , płaszczyzny \(\pi\) i \(\alpha\) przecinają się wzdłuż linii \(p\) . Następnie if \(a\parallel b\) , then \(p\parallel a\) (lub \(p\parallel b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Fakt 2. O równoległości linii i płaszczyzny)))\)
\(\bullet\) Istnieją trzy rodzaje wzajemnego ułożenia linii i płaszczyzny:
1. linia ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną (to znaczy leży w płaszczyźnie);
2. linia ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną (to znaczy przecina płaszczyznę);
3. linia nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną (czyli jest równoległa do płaszczyzny).
\(\bullet\) Jeżeli prosta \(a\) nie leżąca w płaszczyźnie \(\pi\) jest równoległa do jakiejś prostej \(p\) leżącej w płaszczyźnie \(\pi\) , to jest równoległa do danego samolotu.

\(\bullet\) Niech linia \(p\) będzie równoległa do płaszczyzny \(\mu\) . Jeżeli płaszczyzna \(\pi\) przechodzi przez linię \(p\) i przecina płaszczyznę \(\mu\) , to linia przecięcia płaszczyzn \(\pi\) i \(\mu\) jest linią \(m\) - równoległą do linii \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(Fakt 3. O płaszczyznach równoległych)))\)
\(\bullet\) Jeśli dwie płaszczyzny nie mają wspólnych punktów, to nazywa się je płaszczyznami równoległymi.
\(\bullet\) Jeżeli dwie przecinające się linie z jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii z innej płaszczyzny, to takie płaszczyzny będą równoległe.

\(\bullet\) Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny \(\alpha\) i \(\beta\) są przecięte przez trzecią płaszczyznę \(\gamma\) , to linie przecięcia tych płaszczyzn są również równoległe: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Odcinki równoległych linii zawarte między równoległymi płaszczyznami są równe: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Fakt 4. O przecinających się liniach)))\)
\(\bullet\) Dwie proste linie w przestrzeni nazywane są przecinającymi się, jeśli nie leżą na tej samej płaszczyźnie.
\(\bullet\) Znak:
Niech prosta \(l\) będzie leżała w płaszczyźnie \(\lambda\) . Jeżeli prosta \(s\) przecina płaszczyznę \(\lambda\) w punkcie \(S\) nie leżącym na prostej \(l\) , to proste \(l\) i \(s\) przecinać.

\(\pocisk\) algorytm znajdowania kąta między liniami skośnymi \(a\) i \(b\):

Krok 2. W płaszczyźnie \(\pi\) znajdź kąt między liniami \(a\) i \(p\) (\(p\parallel b\) ). Kąt między nimi będzie równy kątowi między liniami skosu \(a\) i \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Fakt 5. O prostopadłości prostej i płaszczyzny)))\)
\(\bullet\) O linii mówi się, że jest prostopadła do płaszczyzny, jeśli jest prostopadła do dowolnej linii na tej płaszczyźnie.
\(\bullet\) Jeśli dwie linie są prostopadłe do płaszczyzny, to są równoległe.
\(\bullet\) Znak: jeśli prosta jest prostopadła do dwóch przecinających się linii leżących w danej płaszczyźnie, to jest prostopadła do tej płaszczyzny.

\((\color(red)(\textbf(Fakt 6. O odległościach)))\)
\(\bullet\) Aby znaleźć odległość między równoległymi liniami, musisz przesunąć prostopadłą z dowolnego punktu jednej linii na drugą. Długość prostopadłej to odległość między tymi liniami.
\(\bullet\) Aby znaleźć odległość między płaszczyzną a linią równoległą do niej, musisz spuścić prostopadłą do tej płaszczyzny z dowolnego punktu na linii. Długość prostopadłej to odległość między tą linią a płaszczyzną.
\(\bullet\) Aby znaleźć odległość między równoległymi płaszczyznami, musisz obniżyć prostopadłą do drugiej płaszczyzny z dowolnego punktu jednej płaszczyzny. Długość tego prostopadłego to odległość między równoległymi płaszczyznami.
\(\pocisk\) algorytm znajdowania odległości między liniami skośnymi \(a\) i \(b\):
Krok 1. Przez jedną z dwóch przecinających się linii \(a\) narysuj płaszczyznę \(\pi\) równoległą do drugiej linii \(b\) . Jak to zrobić: narysuj płaszczyznę \(\beta\) przez prostą \(b\) tak, aby przecinała się z linią \(a\) w punkcie \(P\) ; narysuj linię przez punkt \(P\) \(p\parallel b\) ; wtedy płaszczyzna przechodząca przez \(a\) i \(p\) jest płaszczyzną \(\pi\) .
Krok 2. Znajdź odległość od dowolnego punktu linii \(b\) do płaszczyzny \(\pi\) . Ta odległość to odległość między liniami skosu \(a\) i \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Fakt 7. O twierdzeniu trzech prostopadłych (TTP))))\)
\(\bullet\) Niech \(AH\) będzie prostopadłą do płaszczyzny \(\beta\) . Niech \(AB, BH\) będzie ukośnym i jego rzutem na płaszczyznę \(\beta\) . Wtedy prosta \(x\) w płaszczyźnie \(\beta\) będzie prostopadła do ukośnej wtedy i tylko wtedy, gdy będzie prostopadła do rzutu: \[\begin(wyrównany) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(aligned)\]

Zauważ, że prosta \(x\) nie musi przechodzić przez punkt \(B\) . Jeśli nie przechodzi przez punkt \(B\) , to konstruowana jest prosta \(x"\) przechodząca przez punkt \(B\) i równoległa do \(x\) .Jeżeli na przykład \( x"\perp BH\ ) , podobnie jest \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Fakt 8. O kącie między linią a płaszczyzną oraz o kącie między płaszczyznami)))\)
\(\bullet\) Kąt pomiędzy linią ukośną a płaszczyzną to kąt pomiędzy tą linią a jej rzutem na daną płaszczyznę. Zatem ten kąt przyjmuje wartości z przedziału \((0^\circ;90^\circ)\) .
Jeśli linia leży w płaszczyźnie, to kąt między nimi jest uważany za równy \(0^\circ\) . Jeżeli linia jest prostopadła do płaszczyzny, to zgodnie z definicją kąt między nimi wynosi \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Aby znaleźć kąt między linią ukośną a płaszczyzną, należy na tej linii zaznaczyć jakiś punkt \(A\) i narysować prostopadłą \(AH\) do płaszczyzny. Jeśli \(B\) jest punktem przecięcia prostej z płaszczyzną, to \(\angle ABH\) jest żądanym kątem.

\(\bullet\) W celu wyznaczenia kąta między płaszczyznami \(\alpha\) i \(\beta\) można skorzystać z następującego algorytmu:
Zaznacz dowolny punkt \(A\) na płaszczyźnie \(\alpha\) .
Narysuj \(AH\perp h\) , gdzie \(h\) jest linią przecięcia płaszczyzn.
Narysuj \(AB\) prostopadle do płaszczyzny \(\beta\) .
Wtedy \(AB\) jest prostopadła do płaszczyzny \(\beta\) , \(AH\) jest ukośna, stąd \(HB\) jest rzutem. Następnie przez TTP \(HB\perp h\) .
Dlatego \(\angle AHB\) jest liniowym kątem dwuściennego kąta między płaszczyznami. Miara stopnia tego kąta jest miarą stopnia kąta między płaszczyznami.

Zauważ, że otrzymaliśmy trójkąt prostokątny \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Z reguły wygodnie jest znaleźć z niego \(\angle AHB\).

\((\color(red)(\textbf(Fakt 9. O prostopadłości płaszczyzn)))\)
\(\bullet\) Znak: jeśli samolot przechodzi przez linię prostopadłą do innej płaszczyzny, to jest prostopadła do tej płaszczyzny. \

\(\bullet\) Zauważ, że ponieważ nieskończoną liczbę płaszczyzn można przeciągnąć przez linię \(a\), istnieje nieskończona liczba płaszczyzn prostopadłych do \(\beta\) (i przechodzących przez \(a\) ).

Aby właściwie rozwiązać egzamin z matematyki, należy przede wszystkim przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki jest prezentowana w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów o dowolnym poziomie wykształcenia, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. A znalezienie podstawowych wzorów na egzamin z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego tak ważne jest studiowanie teorii z matematyki, nie tylko dla tych, którzy przystępują do egzaminu?

1. Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego z matematyki jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych ze znajomością świata. Wszystko w naturze jest uporządkowane i ma jasną logikę. Właśnie to znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
2. Ponieważ rozwija intelekt. Studiując materiały pomocnicze do egzaminu z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, człowiek uczy się logicznego myślenia i rozumowania, poprawnego i jasnego formułowania myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania, wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Niektóre definicje:

1. Wielościan jest ciałem geometrycznym ograniczonym skończoną liczbą płaskich wielokątów, z których dwa dowolne, mające wspólny bok, nie leżą na tej samej płaszczyźnie. W tym przypadku same wielokąty nazywane są ścianami, ich boki są krawędziami wielościanu, a ich wierzchołkami są wierzchołkami wielościanu.
2. Figura utworzona przez wszystkie ściany wielościanu nazywana jest jego powierzchnią ( pełna powierzchnia), a suma pól wszystkich jego ścian wynosi (pełna) powierzchnia.
3. jest wielościanem o sześciu ścianach, które są równymi kwadratami. Boki kwadratów nazywane są krawędziami sześcianu, a wierzchołki nazywane są wierzchołkami sześcianu.
4. jest wielościanem, który ma sześć ścian, a każda z nich jest równoległobokiem. Boki równoległoboków nazywane są krawędziami równoległościanu, a ich wierzchołki nazywane są wierzchołkami równoległościanu. Dwie strony równoległościanu są nazywane naprzeciwko, jeśli nie mają wspólnej krawędzi, a te mające wspólną krawędź to związane z. Czasami rozróżnia się i nazywa się dowolne dwie przeciwległe ściany równoległościanu fusy, potem pozostałe twarze twarze boczne, a ich boki, łączące wierzchołki podstaw równoległościanu, są jego boczne żeberka.
5. Prawy równoległościan- jest to równoległościan, którego boczne powierzchnie są prostokątami. jest równoległościanem, którego twarze są prostokątami. Zauważ, że każdy prostopadłościan jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest prostopadłościanem.
6. naprzeciwko. Odcinek linii łączący przeciwległe wierzchołki równoległościanu nazywa się przekątna równoległościan. Równoległościan ma tylko cztery przekątne.
7. Pryzmat ( n-węgiel) jest wielościanem, którego dwie twarze są równe n-gony, a reszta n twarze są równoległobokami. Równy n-gony nazywają się fusy i równoległoboki boczne powierzchnie pryzmatu- to taki pryzmat, w którym boki są prostokątami. Prawidłowy n- pryzmat węglowy- jest to pryzmat, w którym wszystkie ściany boczne są prostokątami, a jego podstawy są regularne n-gonów.
8. Suma pól powierzchni bocznych pryzmatu nazywa się jego powierzchnia boczna(oznaczony S strona). Suma pól wszystkich ścian pryzmatu nazywa się powierzchnia pryzmatu(oznaczony S pełny).
9. Piramida ( n-węgiel)- to jest wielościan, który ma jedną twarz - trochę n-gon, a reszta n twarze - trójkąty o wspólnym wierzchołku; n-gon nazywa się podstawa; trójkąty, które mają wspólny wierzchołek, nazywają się twarze boczne, a ich wspólny wierzchołek nazywa się szczyt piramidy. Boki ścian piramidy nazywane są jego żebra, a krawędzie, które spotykają się w wierzchołku, nazywane są boczny.
10. Suma powierzchni bocznych ścian piramidy nazywa się powierzchnia boczna piramidy(oznaczony S strona). Suma pól wszystkich ścian piramidy nazywa się powierzchnia piramidy(powierzchnia oznaczona S pełny).
11. Prawidłowyn- piramida węglowa- to taka piramida, której podstawa jest prawidłowa n-gon, a wszystkie krawędzie boczne są sobie równe. Boczne ściany regularnej piramidy są równoramiennymi trójkątami równymi sobie.
12. Trójkątna piramida nazywa się czworościan jeśli wszystkie jego powierzchnie są przystającymi regularnymi trójkątami. Czworościan jest szczególnym przypadkiem piramidy trójkątnej foremnej (tzn. nie każda piramida trójkątna foremna będzie czworościanem).

Aksjomaty stereometrii:

1. Przez dowolne trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii, istnieje tylko jedna płaszczyzna.
2. Jeżeli dwa punkty linii leżą na płaszczyźnie, to wszystkie punkty tej linii leżą na tej płaszczyźnie.
3. Jeśli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to mają wspólną linię, na której leżą wszystkie wspólne punkty tych płaszczyzn.

Konsekwencje z aksjomatów stereometrii:

• Twierdzenie 1. Jest tylko jedna płaszczyzna przechodząca przez linię i punkt na niej nie.
• Twierdzenie 2. Przez dwie przecinające się linie jest tylko jedna płaszczyzna.
• Twierdzenie 3. Jest tylko jedna płaszczyzna przechodząca przez dwie równoległe linie.

Budowa przekrojów w stereometrii

Aby rozwiązać problemy w stereometrii, pilnie potrzebna jest możliwość budowania odcinków wielościanów (na przykład piramidy, równoległościanu, sześcianu, graniastosłupa) na rysunku w określonej płaszczyźnie. Podajmy kilka definicji wyjaśniających, czym jest sekcja:

• płaszczyzna cięcia Piramida (graniastosłup, równoległościan, sześcian) to taka płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty tej piramidy (graniastosłup, równoległościan, sześcian).
• przekrój piramidy(pryzmat, równoległościan, sześcian) to figura składająca się ze wszystkich punktów wspólnych dla piramidy (pryzmat, równoległościan, sześcian) i płaszczyzny cięcia.
• Płaszczyzna cięcia przecina ściany ostrosłupa (równoległościanu, pryzmatu, sześcianu) wzdłuż segmentów, dlatego Sekcja jest wielokątem leżącym na siecznej płaszczyźnie, którego boki są wskazanymi segmentami.

Aby skonstruować przekrój ostrosłupa (graniastosłup, równoległościan, sześcian) jest możliwe i konieczne skonstruowanie punktów przecięcia siecznej płaszczyzny z krawędziami ostrosłupa (graniastosłup, równoległościan, sześcian) i połączenie każdego z nich leżących w jedna twarz. Zauważ, że kolejność konstruowania wierzchołków i boków przekroju nie jest istotna. Konstrukcja przekrojów wielościanów opiera się na dwóch zadaniach konstrukcyjnych:

1. Linie przecięcia dwóch płaszczyzn.

Aby skonstruować linię, wzdłuż której przecinają się dwie płaszczyzny α oraz β (na przykład sieczną płaszczyznę i płaszczyznę czoła wielościanu), trzeba zbudować ich dwa wspólne punkty, wtedy linia przechodząca przez te punkty jest linią przecięcia płaszczyzn α oraz β .

1. Punkty przecięcia linii i płaszczyzny.

Aby skonstruować punkt przecięcia prostej ja i samolot α narysuj punkt przecięcia linii ja i bezpośredni ja 1 , wzdłuż której przecina się samolot α i każdy samolot zawierający linię ja.

Wzajemne rozmieszczenie linii prostych i płaszczyzn w stereometrii

Definicja: W trakcie rozwiązywania problemów w stereometrii nazywa się dwie proste w przestrzeni równoległy jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i się nie przecinają. Jeśli prosto a oraz b, lub AB oraz płyta CD są równoległe, piszemy:

Kilka twierdzeń:

• Twierdzenie 1. Przez dowolny punkt w przestrzeni, który nie leży na danej linii, jest tylko jedna linia równoległa do danej linii.
• Twierdzenie 2. Jeżeli jedna z dwóch równoległych linii przecina daną płaszczyznę, to druga linia przecina tę płaszczyznę.
• Twierdzenie 3(znak równoległych linii). Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe do siebie.
• Twierdzenie 4(w punkcie przecięcia przekątnych równoległościanu). Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają ten punkt.

Istnieją trzy przypadki wzajemnego ułożenia linii prostej i płaszczyzny w stereometrii:

• Linia leży w płaszczyźnie (każdy punkt linii leży w płaszczyźnie).
• Linia i płaszczyzna przecinają się (mają jeden wspólny punkt).
• Linia i płaszczyzna nie mają wspólnego punktu.

Definicja: Linia i samolot są nazywane równoległy jeśli nie mają wspólnych punktów. Jeśli prosto a równolegle do płaszczyzny β , wtedy piszą:

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(znak równoległości linii prostej i płaszczyzny). Jeżeli linia nie leżąca w danej płaszczyźnie jest równoległa do jakiejś linii leżącej w tej płaszczyźnie, to jest równoległa do danej płaszczyzny.
• Twierdzenie 2. Jeśli samolot (na rysunku - α ) przechodzi przez linię prostą (na rysunku - z), równolegle do innej płaszczyzny (na rysunku - β ) i przecina tę płaszczyznę, a następnie linię przecięcia płaszczyzn (na rysunku - d) jest równoległa do podanej linii:

Jeśli dwie różne linie leżą na tej samej płaszczyźnie, to albo przecinają się, albo są równoległe. Jednak w przestrzeni (tj. w stereometrii) możliwy jest także trzeci przypadek, gdy nie ma płaszczyzny, na której leżą dwie proste (w tym przypadku nie przecinają się ani nie są równoległe).

Definicja: Dwie linie nazywają się krzyżowanie, jeśli nie ma płaszczyzny, w której obaj leżą.

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(znak przecinających się linii). Jeśli jedna z dwóch linii leży na pewnej płaszczyźnie, a druga linia przecina tę płaszczyznę w punkcie, który nie należy do pierwszej linii, to te linie są skośne.
• Twierdzenie 2. Przez każdą z dwóch przecinających się linii przebiega jedna płaszczyzna równoległa do drugiej linii.

Teraz wprowadzamy pojęcie kąta między liniami skosu. Zostawiać a oraz b O w przestrzeni i rysuj przez nią proste linie. a 1 i b 1 równoległa do linii prostych a oraz b odpowiednio. Kąt między liniami ukośnymi a oraz b zwany kątem między skonstruowanymi przecinającymi się liniami a 1 i b 1 .

Jednak w praktyce punkt O częściej wybierają tak, aby należała do jednej z linii prostych. Zwykle jest to nie tylko elementarne wygodniejsze, ale także bardziej racjonalne i poprawne pod względem konstruowania rysunku i rozwiązywania problemu. Dlatego dla kąta między liniami skosu podajemy następującą definicję:

Definicja: Zostawiać a oraz b to dwie przecinające się linie. Weź dowolny punkt O na jednym z nich (w naszym przypadku na linii prostej b) i narysuj przez nią linię równoległą do innego z nich (w naszym przypadku a 1 równoległa a). Kąt między liniami ukośnymi a oraz b jest kątem między skonstruowaną linią a linią zawierającą punkt O(w naszym przypadku jest to kąt β między prostymi liniami a 1 i b).

Definicja: Dwie linie nazywają się wzajemnie prostopadłe(prostopadle), jeśli kąt między nimi wynosi 90°. Przecinające się linie mogą być prostopadłe, a także linie leżące i przecinające się w tej samej płaszczyźnie. Jeśli prosto a prostopadle do linii b, wtedy piszą:

Definicja: Te dwa samoloty nazywają się równoległy, jeśli się nie przecinają, tj. nie mają wspólnych punktów. Jeśli dwa samoloty α oraz β równolegle, to jak zwykle napisz:

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(znak równoległych płaszczyzn). Jeżeli dwie przecinające się linie jednej płaszczyzny są odpowiednio równoległe do dwóch linii innej płaszczyzny, to te płaszczyzny są równoległe.
• Twierdzenie 2(na własności przeciwległych ścian równoległościanu). Przeciwległe ściany równoległościanu leżą w równoległych płaszczyznach.
• Twierdzenie 3(na liniach przecięcia dwóch równoległych płaszczyzn przez trzecią płaszczyznę). Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, to ich linie przecięcia są do siebie równoległe.
• Twierdzenie 4. Odcinki równoległych linii znajdujących się pomiędzy równoległymi płaszczyznami są równe.
• Twierdzenie 5(o istnieniu unikalnej płaszczyzny równoległej do danej płaszczyzny i przechodzącej przez punkt poza nią). Przez punkt nie leżący na danej płaszczyźnie istnieje tylko jedna płaszczyzna równoległa do danej.

Definicja: Mówi się, że linia przecinająca płaszczyznę jest prostopadła do płaszczyzny, jeśli jest prostopadła do każdej linii na tej płaszczyźnie. Jeśli prosto a prostopadle do płaszczyzny β , a następnie jak zwykle napisz:

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1. Jeśli jedna z dwóch równoległych linii jest prostopadła do trzeciej, to druga linia jest również prostopadła do tej linii.
• Twierdzenie 2. Jeśli jedna z dwóch równoległych linii jest prostopadła do płaszczyzny, to druga linia jest również prostopadła do tej płaszczyzny.
• Twierdzenie 3(o równoległości linii prostopadłych do płaszczyzny). Jeśli dwie linie są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są równoległe.
• Twierdzenie 4(znak prostopadłości linii prostej i płaszczyzny). Jeśli linia jest prostopadła do dwóch przecinających się linii leżących w płaszczyźnie, to jest prostopadła do tej płaszczyzny.
• Twierdzenie 5(o płaszczyźnie przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej linii). Przez dowolny punkt w przestrzeni jest tylko jedna płaszczyzna prostopadła do danej prostej.
• Twierdzenie 6(o linii prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej płaszczyzny). Przez dowolny punkt w przestrzeni jest tylko jedna prosta prostopadła do danej płaszczyzny.
• Twierdzenie 7(na własność przekątnej prostokątnego równoległościanu). Kwadrat długości przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów długości jego trzech krawędzi, które mają wspólny wierzchołek:

Konsekwencja: Wszystkie cztery przekątne prostokątnego równoległościanu są sobie równe.

Twierdzenie o trzech prostopadłych

Niech punkt ALE nie leży płasko α . Przejdźmy przez punkt ALE linia prosta prostopadła do płaszczyzny α i oznaczamy literą O punkt przecięcia tej prostej z płaszczyzną α . Prostopadła narysowana z punktu ALE do samolotu α , nazywa się segmentem UAB, kropka O zwana podstawą prostopadłą. Jeśli UAB- prostopadle do płaszczyzny α , a M jest dowolnym punktem tej płaszczyzny, innym niż punkt O, następnie segment JESTEM nazywa się nachyleniem wyciągniętym z punktu ALE do samolotu α i punkt M- pochylona podstawa. Odcinek OM- rzut prostopadły (lub w skrócie rzut ukośny) JESTEM do samolotu α . Teraz przedstawiamy twierdzenie, które odgrywa ważną rolę w rozwiązywaniu wielu problemów.

Twierdzenie 1 (na trzech prostopadłych): Linia narysowana w płaszczyźnie i prostopadła do rzutu ukośnej płaszczyzny na tę płaszczyznę jest również prostopadła do samej ukośnej. Odwrotność jest również prawdziwa:

Twierdzenie 2 (około trzech prostopadłych): Linia prosta narysowana w płaszczyźnie i prostopadła do nachylonej jest również prostopadła do jej rzutu na tę płaszczyznę. Twierdzenia te, dla zapisu z powyższego rysunku, można pokrótce sformułować w następujący sposób:

Twierdzenie: Jeżeli z jednego punktu, wyprowadzonego poza płaszczyznę, do tej płaszczyzny narysuje się linię prostopadłą i dwie ukośne, to:

• dwa ukośne, mające równe rzuty, są równe;
• z dwóch nachylonych ten, którego rzut jest większy, jest większy.

Definicje odległości według obiektów w przestrzeni:

• Odległość od punktu do płaszczyzny to długość prostopadłej narysowanej od tego punktu do tej płaszczyzny.
• Odległość między równoległymi płaszczyznami to odległość od dowolnego punktu jednej z równoległych płaszczyzn do innej płaszczyzny.
• Odległość między linią a płaszczyzną do niej równoległą to odległość od dowolnego punktu na linii do płaszczyzny.
• Odległość między liniami skośnymi to odległość od jednej z linii skośnych do płaszczyzny przechodzącej przez drugą linię i równoległej do pierwszej linii.

Definicja: W stereometrii rzut prostopadły linii prostej a do samolotu α nazywa się rzutem tej prostej na płaszczyznę α jeśli linia prosta określająca kierunek projektowania jest prostopadła do płaszczyzny α .

Komentarz: Jak widać z poprzedniej definicji, projekcji jest wiele. Inne (oprócz ortogonalnych) rzuty linii prostej na płaszczyznę można wykonać, jeśli linia prosta określająca kierunek rzutowania nie jest prostopadła do płaszczyzny. Jednak to rzut prostopadły linii prostej na płaszczyznę, z którym będziemy mieć problemy w przyszłości. A rzut ortogonalny nazwiemy po prostu rzutem (jak na rysunku).

Definicja: Kąt między linią prostą, która nie jest prostopadła do płaszczyzny, a tą płaszczyzną to kąt między linią prostą a jej prostopadłym rzutem na daną płaszczyznę (kąt AOA’ na powyższym rysunku).

Twierdzenie: Kąt pomiędzy linią a płaszczyzną jest najmniejszym ze wszystkich kątów, jakie dana linia tworzy z liniami leżącymi w danej płaszczyźnie i przechodzącymi przez punkt przecięcia linii i płaszczyzny.

Definicje:

• kąt dwuścienny Figurę nazywamy figurą utworzoną przez dwie półpłaszczyzny ze wspólną linią graniczną i częścią przestrzeni, dla której te półpłaszczyzny służą jako granica.
• Kąt dwuścienny liniowy Nazywa się kąt, którego boki są promieniami o wspólnym pochodzeniu na krawędzi kąta dwuściennego, które są rysowane w jego płaszczyznach prostopadłych do krawędzi.

Zatem kąt liniowy kąta dwuściennego jest kątem utworzonym przez przecięcie kąta dwuściennego z płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi. Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego.

Kąt dwuścienny nazywany jest prawym (ostrym, rozwartym), jeśli jego miara wynosi 90° (mniej niż 90°, więcej niż 90°). W przyszłości, rozwiązując problemy ze stereometrii, przez kąt dwuścienny będziemy zawsze rozumieć ten kąt liniowy, którego miara stopnia spełnia warunek:

Definicje:

• Kąt dwuścienny na krawędzi wielościanu to kąt dwuścienny, którego krawędź zawiera krawędź wielościanu, a ściany kąta dwuściennego zawierają ściany wielościanu przecinające się wzdłuż danej krawędzi wielościanu.
• Kąt między przecinającymi się płaszczyznami to kąt między liniami prostymi narysowanymi odpowiednio w tych płaszczyznach prostopadle do ich linii przecięcia przez niektóre z jego punktów.
• Mówi się, że dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli kąt między nimi wynosi 90°.

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(znak prostopadłości płaszczyzn). Jeśli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, to te płaszczyzny są prostopadłe.
• Twierdzenie 2. Linia leżąca w jednej z dwóch prostopadłych płaszczyzn i prostopadła do prostej, w której się przecinają, jest prostopadła do drugiej płaszczyzny.

Symetria figur

Definicje:

1. zwrotnica M oraz M 1 nazywa się symetryczny względem punktu O , jeśli O jest środkiem segmentu MM 1 .
2. zwrotnica M oraz M 1 nazywa się symetryczny wokół linii prostej ja jeśli prosto ja MM 1 i prostopadle do niej.
3. zwrotnica M oraz M 1 nazywa się symetryczny względem płaszczyzny α jeśli samolot α przechodzi przez środek segmentu MM 1 i jest prostopadła do tego odcinka.
4. Kropka O(prosty ja, samolot α ) jest nazywany środek (oś, płaszczyzna) symetrii figura, jeśli każdy punkt figury jest symetryczny względem punktu O(prosty ja, samolot α ) do pewnego momentu na tej samej figurze.
5. Nazywa się wielościan wypukły Prawidłowy, jeśli wszystkie jego powierzchnie są regularnymi wielokątami równymi sobie i taka sama liczba krawędzi zbiega się w każdym wierzchołku.

Pryzmat

Definicje:

1. Pryzmat- wielościan, którego dwie ściany są równymi wielokątami leżącymi w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są równoległobokami, które mają wspólne boki z tymi wielokątami.
2. Tereny - są to dwie ściany, które są równymi wielokątami leżącymi w równoległych płaszczyznach. Na rysunku jest to: ABCDE oraz KLMNP.
3. Twarze boczne- wszystkie twarze z wyjątkiem podstaw. Każda powierzchnia boczna jest koniecznie równoległobokiem. Na rysunku jest to: ABLK, BCML, CDNM, DEPN oraz EAKP.
4. Powierzchnia boczna- połączenie powierzchni bocznych.
5. Pełna powierzchnia- połączenie podstaw i powierzchni bocznej.
6. Żeberka boczne są wspólne strony ścian bocznych. Na rysunku jest to: AK, BL, CM, DN oraz PE.
7. Wysokość- odcinek łączący podstawy pryzmatu i prostopadły do ​​nich. Na rysunku na przykład KR.
8. Przekątna- odcinek łączący dwa wierzchołki pryzmatu, które nie należą do tej samej ściany. Na rysunku na przykład BP.
9. Płaszczyzna ukośna to płaszczyzna przechodząca przez boczną krawędź pryzmatu i przekątną podstawy. Inna definicja: płaszczyzna ukośna- płaszczyzna przechodząca przez dwie boczne krawędzie pryzmatu, które nie należą do tej samej powierzchni.
10. Przekrój po przekątnej- przecięcie pryzmatu i płaszczyzny przekątnej. W sekcji powstaje równoległobok, w tym czasami jego szczególne przypadki - romb, prostokąt, kwadrat. Na rysunku na przykład EBLP.
11. Przekrój prostopadły (ortogonalny)- przecięcie pryzmatu i płaszczyzny prostopadłej do jego bocznej krawędzi.

Właściwości i wzory na pryzmat:

• Podstawy pryzmatu są równymi wielokątami.
• Boczne powierzchnie pryzmatu to równoległoboki.
• Boczne krawędzie pryzmatu są równoległe i równe.
• Objętość pryzmatu równy iloczynowi jego wysokości i powierzchni podstawy:

gdzie: S podstawa - obszar podstawy (na przykład na rysunku ABCDE), h- wysokość (na rysunku jest to MN).

• Całkowita powierzchnia pryzmatu równa się sumie powierzchni bocznej i dwukrotności powierzchni podstawy:

• Przekrój prostopadły jest prostopadły do ​​wszystkich bocznych krawędzi pryzmatu (na poniższym rysunku przekrój prostopadły jest A 2 B 2 C 2 D 2 mi 2).
• Kąty przekroju prostopadłego są kątami liniowymi kątów dwuściennych na odpowiednich krawędziach bocznych.
• Przekrój prostopadły (ortogonalny) jest prostopadły do ​​wszystkich ścian bocznych.
• Objętość pochylonego pryzmatu jest równy iloczynowi powierzchni przekroju prostopadłego i długości żebra bocznego:

gdzie: S sec - powierzchnia przekroju prostopadłego, ja- długość żebra bocznego (na rysunku poniżej np. AA 1 lub nocleg ze śniadaniem 1 i tak dalej).

• Powierzchnia boczna dowolnego graniastosłupa jest równy iloczynowi obwodu przekroju prostopadłego i długości krawędzi bocznej:

gdzie: P sec - obwód przekroju prostopadłego, ja to długość bocznej krawędzi.

Rodzaje pryzmatów w stereometrii:

• Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się skośny(na zdjęciu powyżej). Podstawy takiego pryzmatu, jak zwykle, znajdują się w równoległych płaszczyznach, boczne krawędzie nie są prostopadłe do tych płaszczyzn, ale równoległe do siebie. Ściany boczne są równoległobokami.
• - pryzmat, w którym wszystkie boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. W prawym pryzmacie boczne krawędzie są wysokościami. Boczne powierzchnie pryzmatu prostego to prostokąty. A pole i obwód podstawy są odpowiednio równe polu i obwodowi przekroju prostopadłego (dla prostego graniastosłupa, ogólnie rzecz biorąc, cały przekrój prostopadły ma taką samą figurę jak podstawa). Dlatego pole powierzchni bocznej pryzmatu prostego jest równe iloczynowi obwodu podstawy i długości krawędzi bocznej (lub w tym przypadku wysokości pryzmatu):

gdzie: P podstawa - obwód podstawy prostego pryzmatu, ja- długość krawędzi bocznej równa w prostopadłym pryzmacie do wysokości ( h). Objętość prostego pryzmatu określa ogólny wzór: V = S główny h = S główny ja.

• Prawidłowy pryzmat- graniastosłup, u którego podstawy leży wielokąt foremny (czyli taki, w którym wszystkie boki i wszystkie kąty są sobie równe), a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Przykłady prawidłowych pryzmatów:

Właściwości prawidłowego pryzmatu:

1. Podstawy pryzmatu foremnego to wielokąty foremne.
2. Boczne powierzchnie zwykłego pryzmatu są równymi prostokątami.
3. Boczne krawędzie zwykłego pryzmatu są sobie równe.
4. Prawidłowy pryzmat jest prosty.

Definicja: równoległościan — Jest to pryzmat, którego podstawą są równoległoboki. W tej definicji słowem kluczowym jest „pryzmat”. Tak więc równoległościan jest szczególnym przypadkiem pryzmatu, który różni się od przypadku ogólnego tylko tym, że jego podstawą nie jest dowolny wielokąt, ale równoległobok. Dlatego wszystkie powyższe właściwości, wzory i definicje dotyczące pryzmatu pozostają aktualne dla równoległościanu. Istnieje jednak kilka dodatkowych właściwości charakterystycznych dla równoległościanu.

Inne właściwości i definicje:

• Nazywa się dwie ściany równoległościanu, które nie mają wspólnej krawędzi naprzeciwko i mający wspólną krawędź - związane z.
• Dwa wierzchołki równoległościanu, które nie należą do tej samej ściany, są nazywane naprzeciwko.
• Odcinek linii łączący przeciwległe wierzchołki nazywa się przekątna równoległościan.
• Równoległościan ma sześć ścian i wszystkie są równoległobokami.
• Przeciwległe ściany równoległościanu są równe i równoległe parami.
• Równoległościan ma cztery przekątne; wszystkie przecinają się w jednym punkcie i każdy z nich jest przecinany przez ten punkt.
• Jeśli cztery ściany boczne równoległościanu są prostokątami (a podstawy są dowolnymi równoległobokami), to nazywa się to bezpośredni(w tym przypadku, podobnie jak w przypadku prostego pryzmatu, wszystkie boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw). Wszystkie właściwości i wzory dla prostego graniastosłupa odnoszą się do prawego równoległościanu.
• Równoległościan nazywa się skośny jeśli nie wszystkie jego powierzchnie boczne są prostokątami.
• Objętość pudełka prostego lub ukośnego oblicza się według ogólnego wzoru na objętość pryzmatu, tj. jest równy iloczynowi powierzchni podstawy równoległościanu i jego wysokości ( V = S główny h).
• Prawy równoległościan, w którym wszystkie sześć ścian jest prostokątami (tj. Oprócz ścian bocznych, podstawy są również prostokątami), nazywa się prostokątny. W przypadku prostopadłościanu istotne są wszystkie właściwości prostopadłościanu, a także:
  • d i jego żebra a, b, c powiązane stosunkiem:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • Z ogólnego wzoru na objętość pryzmatu można otrzymać następujący wzór na objętość prostopadłościanu:

• Prostokątny równoległościan, którego wszystkie powierzchnie są równe kwadratom, nazywa się sześcian. Sześcian to między innymi zwykły czworokątny graniastosłup, a na ogół regularny wielościan. W przypadku sześcianu obowiązują wszystkie właściwości prostopadłościanu prostokątnego i właściwości zwykłych graniastosłupów, a także:
  • Absolutnie wszystkie krawędzie sześcianu są sobie równe.
  • przekątna sześcianu d i długość jego krawędzi a powiązane stosunkiem:

• Ze wzoru na objętość równoległościanu prostokątnego można otrzymać następujący wzór na objętość kostki:

Piramida

Definicje:

• Piramida jest wielościanem, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty o wspólnym wierzchołku. W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są trójkątne, czworokątne i tak dalej. Na rysunku pokazano przykłady: ostrosłupy czworokątne i sześciokątne.

• Baza jest wielokątem, do którego nie należy wierzchołek piramidy. Na rysunku podstawa to BCDE.
• Nazywa się twarze inne niż podstawa boczny. Na rysunku jest to: ABC, ACD, ADE oraz AEB.
• Wspólny wierzchołek ścian bocznych nazywa się szczyt piramidy(dokładnie wierzchołek całej piramidy, a nie tylko wierzchołek, jak wszystkie inne szczyty). Na rysunku to A.
• Krawędzie łączące szczyt piramidy z wierzchołkiem podstawy nazywane są boczny. Na rysunku jest to: AB, AC, OGŁOSZENIE oraz AE.
• Oznaczając piramidę, najpierw nazywają jej szczyt, a następnie - wierzchołki podstawy. W przypadku piramidy z rysunku oznaczenie będzie następujące: ABCDE.

• Wysokośćpiramidy nazywana prostopadłą ciągniętą od szczytu piramidy do jej podstawy. Długość tej prostopadłej oznaczono literą H. Na rysunku wysokość to AG. Notatka: tylko jeśli piramida jest regularną piramidą czworokątną (jak na rysunku), wysokość piramidy spada po przekątnej podstawy. W innych przypadkach tak nie jest. W ogólnym przypadku dla dowolnej piramidy punkt przecięcia wysokości i podstawy może znajdować się w dowolnym miejscu.
• Apotem - wysokość krawędzi bocznej prawidłowy piramida wyciągnięta z jej szczytu. Na rysunku na przykład AF.
• Ukośny przekrój piramidy- przekrój piramidy przechodzący przez szczyt piramidy i przekątną podstawy. Na rysunku na przykład AS.

Kolejny stereometryczny rysunek z symbolami dla lepszego zapamiętywania(na rysunku prawidłowa piramida trójkątna):

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ( SA, SB, SC, SD na poniższym rysunku) piramidy są równe, to:

• Koło podstawy piramidy można opisać, a szczyt piramidy rzutowany jest na jej środek (punkt O). Innymi słowy, wysokość (linia WIĘC), obniżony ze szczytu takiej piramidy do podstawy ( ABCD), wpada w środek okręgu opisanego wokół podstawy, tj. w punkcie przecięcia prostopadłych punktów środkowych podstawy.
• Żebra boczne tworzą z płaszczyzną bazową kąty równe (na rysunku poniżej są to kąty SAO, SBO, SCO, SDO).

Ważny: Prawdą jest również odwrotność, to znaczy, jeśli boczne krawędzie tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy lub jeśli w pobliżu podstawy piramidy można opisać okrąg, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na jej środek, to wszystkie strony krawędzie piramidy są równe.

Jeśli powierzchnie boczne są nachylone do płaszczyzny bazowej pod jednym kątem (narożniki DMN, DKN, DLN na poniższym rysunku są równe), to:

• U podstawy piramidy można wpisać okrąg, a szczyt piramidy rzutowany jest na jej środek (punkt N). Innymi słowy, wysokość (linia DN), obniżona od wierzchołka takiej piramidy do podstawy, wpada w środek okręgu wpisanego w podstawę, tj. do punktu przecięcia dwusiecznych podstawy.
• Wysokości ścian bocznych (apotemów) są równe. Na poniższym rysunku DK, DL, DM- równe apotemy.
• Boczna powierzchnia takiej piramidy równa połowie iloczynu obwodu podstawy i wysokości ściany bocznej (apotema).

gdzie: P- obwód podstawy, a- apotem długość.

Ważny: Prawdą jest również odwrotność, to znaczy, jeśli okrąg można wpisać w podstawę piramidy, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na jej środek, to wszystkie powierzchnie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem i wysokości ścian bocznych (apotema) są równe.

Prawidłowa piramida

Definicja: Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli jego podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek jest rzutowany na środek podstawy. Posiada wtedy następujące właściwości:

• Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są równe.
• Wszystkie ściany boczne ostrosłupa foremnego są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednym kątem.

Ważna uwaga: Jak widać, piramidy regularne są jedną z tych piramid, które posiadają właściwości opisane powyżej. Rzeczywiście, jeśli podstawą ostrosłupa foremnego jest wielokąt foremny, to środki jej okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się, a wierzchołek ostrosłupa foremnego jest rzutowany dokładnie na ten środek (z definicji). Jednak ważne jest, aby to zrozumieć nie tylko poprawne piramidy mogą mieć wymienione wyżej właściwości.

• W regularnej piramidzie wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.
• W każdej regularnej piramidzie możesz zarówno wpisać sferę, jak i opisać sferę wokół niej.
• Powierzchnia bocznej powierzchni regularnej piramidy jest równa połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu.

Wzory na objętość i powierzchnię piramidy

Twierdzenie(o objętości piramid o równych wysokościach i równych powierzchniach podstaw). Dwie piramidy o równych wysokościach i równych powierzchniach podstawy mają równe objętości (oczywiście, prawdopodobnie znasz już wzór na objętość piramidy, albo widzisz go kilka linijek poniżej, a to stwierdzenie wydaje ci się oczywiste, ale w rzeczywistości sądząc „na oko”, to twierdzenie to nie jest tak oczywiste (patrz rysunek poniżej). Nawiasem mówiąc, dotyczy to również innych wielościanów i figur geometrycznych: ich wygląd jest zwodniczy, dlatego rzeczywiście - w matematyce trzeba ufać tylko formułom i poprawnym obliczeniom).

• objętość piramidy można obliczyć za pomocą wzoru:

gdzie: S podstawa to powierzchnia podstawy piramidy, h to wysokość piramidy.

• Boczna powierzchnia piramidy jest równa sumie powierzchni ścian bocznych. Dla obszaru powierzchni bocznej piramidy można formalnie napisać następujący wzór stereometryczny:

gdzie: S bok - powierzchnia boczna, S 1 , S 2 , S 3 - obszary twarzy bocznych.

• Pełna powierzchnia piramidy równa sumie powierzchni bocznej i powierzchni podstawy:

Definicje:

• - najprostszy wielościan, którego ściany to cztery trójkąty, czyli trójkątna piramida. W przypadku czworościanu każda z jego ścian może służyć jako podstawa. W sumie czworościan ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi.
• Czworościan nazywa się Prawidłowy jeśli wszystkie jego twarze są trójkątami równobocznymi. Dla czworościanu foremnego:
  1. Wszystkie krawędzie czworościanu foremnego są równe.
  2. Wszystkie ściany czworościanu foremnego są sobie równe.
  3. Obwody, powierzchnie, wysokości i wszystkie inne elementy wszystkich ścian są odpowiednio sobie równe.

Rysunek przedstawia czworościan foremny, natomiast trójkąty ABC, ADC, CBD, zły są równe. Z ogólnych wzorów na objętość i powierzchnie piramidy, a także wiedzy z planimetrii nie jest trudno uzyskać wzory na objętość i powierzchnia czworościanu foremnego(a- długość żebra):

Definicja: Przy rozwiązywaniu problemów w stereometrii nazywa się piramidę prostokątny, jeśli jedna z bocznych krawędzi piramidy jest prostopadła do podstawy. W tym przypadku ta krawędź jest wysokością piramidy. Poniżej znajdują się przykłady trójkątnych i pięciokątnych ostrosłupów prostokątnych. Obrazek po lewej SA jest krawędzią, która jest również wysokością.

Skrócona piramida

Definicje i właściwości:

• ścięta piramida nazywa się wielościanem zamkniętym między podstawą piramidy a płaszczyzną cięcia równoległą do jej podstawy.
• Figura uzyskana na przecięciu płaszczyzny cięcia i oryginalnej piramidy jest również nazywana podstawaścięta piramida. Tak więc ścięta piramida na rysunku ma dwie podstawy: ABC oraz A 1 B 1 C 1 .
• Boczne ściany ściętej piramidy są trapezami. Na rysunku na przykład AA 1 B1B.
• Boczne krawędzie ściętej piramidy nazywane są częściami krawędzi oryginalnej piramidy, zamkniętymi między podstawami. Na rysunku na przykład AA 1 .
• Wysokość ściętej piramidy to prostopadła (lub długość tej prostopadłej) narysowana od pewnego punktu na płaszczyźnie jednej podstawy do płaszczyzny drugiej podstawy.
• Skrócona piramida nazywa się prawidłowy, jeśli jest to wielościan odcięty przez płaszczyznę równoległą do podstawy prawidłowy piramidy.
• Podstawy ostrosłupa ściętego foremnego to wielokąty foremne.
• Boczne ściany regularnej ściętej piramidy to trapezy równoramienne.
• apotem regularna ścięta piramida nazywana jest wysokością jej bocznej ściany.
• Powierzchnia bocznej powierzchni ściętej piramidy jest sumą powierzchni wszystkich jej bocznych ścian.

Wzory na ściętą piramidę

Objętość ściętej piramidy wynosi:

gdzie: S 1 i S 2 - obszary bazowe, h to wysokość ściętej piramidy. Jednak w praktyce wygodniej jest wyszukać objętość ostrosłupa ściętego w następujący sposób: można uzupełnić ostrosłup ścięty do ostrosłupa, przedłużając boczne krawędzie do przecięcia. Następnie objętość ściętej piramidy można znaleźć jako różnicę między objętościami całej piramidy i ukończonej części. Pole powierzchni bocznej można również znaleźć jako różnicę między polami powierzchni bocznej całej piramidy i ukończonej części. Powierzchnia boczna regularnej ściętej piramidy jest równa połowie iloczynu sumy obwodów jego podstaw i apotem:

gdzie: P 1 i P 2 - obwody podstawy prawidłowyścięta piramida, a- apotem długość. Całkowite pole powierzchni dowolnej ściętej piramidy jest oczywiście sumą pól podstaw i powierzchni bocznej:

Piramida i piłka (kula)

Twierdzenie: Wokół piramidy opisz zakres kiedy u podstawy piramidy leży wielokąt wpisany (tj. wielokąt, wokół którego można opisać kulę). Ten warunek jest konieczny i wystarczający. Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki krawędzi prostopadłych do nich ostrosłupów.

Uwaga: Z twierdzenia tego wynika, że ​​sferę można opisać zarówno wokół dowolnej trójkątnej, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy. Jednak lista piramid, w pobliżu których można opisać kulę, nie ogranicza się do tego typu piramid. Na rysunku po prawej na wysokości CII muszę wybrać punkt O, w równej odległości od wszystkich wierzchołków ostrosłupa: WIĘC = OB = OS = OD = OA. Następnie punkt O jest środkiem ograniczonej kuli.

Twierdzenie: Możesz w piramidzie wpisać kulę gdy dwusieczne płaszczyzny wewnętrznych kątów dwuściennych piramidy przecinają się w jednym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt będzie środkiem kuli.

Komentarz: Oczywiście nie zrozumiałeś, co przeczytałeś w wierszu powyżej. Należy jednak o tym pamiętać każda regularna piramida to taka, w którą można wpisać kulę. Jednocześnie lista piramid, w które można wpisać kulę, nie jest wyczerpana przez prawidłowe.

Definicja: dwusieczna płaszczyzna dzieli kąt dwuścienny na pół, a każdy punkt dwusiecznej płaszczyzny jest w równej odległości od ścian tworzących kąt dwuścienny. Postać na prawej płaszczyźnie γ jest dwusieczną płaszczyzną kąta dwuściennego utworzonego przez płaszczyzny α oraz β .

Poniższy rysunek stereometryczny przedstawia kulę wpisaną w piramidę (lub piramidę opisaną w pobliżu kuli), natomiast punkt O jest środkiem wpisanej kuli. Ten punkt O w równej odległości od wszystkich stron piłki, na przykład:

OM = OO 1

piramida i stożek

W stereometrii stożek nazywa się wpisany w piramidę, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a jego podstawa jest wpisana w podstawę piramidy. Co więcej, możliwe jest wpisanie stożka w piramidę tylko wtedy, gdy apotemy piramidy są sobie równe (warunek konieczny i wystarczający).

Stożek nazywa się wpisany w pobliżu piramidy gdy ich wierzchołki pokrywają się, a jego podstawa jest opisana w pobliżu podstawy piramidy. Ponadto możliwe jest opisanie stożka w pobliżu ostrosłupa tylko wtedy, gdy wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa są sobie równe (warunek konieczny i wystarczający).

Ważna właściwość:

piramida i cylinder

Mówi się, że cylinder jest wpisany w piramidę, jeśli jedna z jego podstaw pokrywa się z okręgiem płaszczyzny wpisanej w przekrój ostrosłupa, równoległej do podstawy, a druga podstawa należy do podstawy ostrosłupa.

Mówi się, że cylinder jest zakreślony w pobliżu piramidy, jeśli wierzchołek piramidy należy do jednej z jej podstaw, a jej druga podstawa jest opisana w pobliżu podstawy piramidy. Co więcej, cylinder w pobliżu piramidy można opisać tylko wtedy, gdy u podstawy piramidy znajduje się wielokąt wpisany (warunek konieczny i wystarczający).

Kula i piłka

Definicje:

1. Kula- powierzchnia zamknięta, czyli umiejscowienie punktów w przestrzeni równoodległych od danego punktu, zwana środek kuli. Kula jest również ciałem obrotowym utworzonym przez obrót półokręgu wokół swojej średnicy. promień kuli nazywa się segmentem łączącym środek kuli z dowolnym punktem kuli.
2. Chordoy kula to odcinek, który łączy dwa punkty na kuli.
3. średnica Kula nazywana jest akordem przechodzącym przez jej środek. Środek kuli dzieli każdą jej średnicę na dwa równe segmenty. Dowolna średnica kuli o promieniu R jest 2 R.
4. Piłka- ciało geometryczne; zbiór wszystkich punktów w przestrzeni, które znajdują się w odległości nie większej niż określona odległość od określonego środka. Ta odległość nazywa się promień kuli. Kulę tworzy się poprzez obrót półokręgiem wokół jej ustalonej średnicy. Notatka: powierzchnia (lub granica) kuli nazywana jest kulą. Można podać następującą definicję kuli: ciało geometryczne nazywamy kulą, składającą się z kuli i części przestrzeni ograniczonej przez tę kulę.
5. Promień, akord oraz średnica kula nazywana jest promieniem, cięciwą i średnicą kuli, która jest granicą tej kuli.
6. Różnica między piłką a sferą jest podobna do różnicy między kołem a kołem. Okrąg to linia, a okrąg to również wszystkie punkty wewnątrz tej linii. Kula to muszla, a kula to także wszystkie punkty wewnątrz tej muszli.
7. Płaszczyzna przechodząca przez środek kuli (kula) nazywa się płaszczyzna średnicowa.
8. Nazywa się odcinek kuli (kula) przez płaszczyznę średnicy wielkie koło (duże koło).

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(na odcinku kuli przez płaszczyznę). Przekrój kuli przez płaszczyznę to okrąg. Zauważ, że twierdzenie twierdzenia pozostaje prawdziwe, nawet jeśli płaszczyzna przechodzi przez środek kuli.
• Twierdzenie 2(na odcinku kuli przez płaszczyznę). Przekrój piłki przez płaszczyznę jest kołem, a podstawą prostopadłej poprowadzonej od środka piłki do płaszczyzny przekroju jest środek okręgu uzyskanego w przekroju.

Największy okrąg spośród tych, które można uzyskać na odcinku danej piłki przez samolot, leży w odcinku przechodzącym przez środek piłki O. Nazywa się wielkim okręgiem. Jego promień jest równy promieniowi kuli. Jakiekolwiek dwa wielkie koła przecinają się na średnicy kuli AB. Ta średnica jest również średnicą przecinających się wielkich okręgów. Przez dwa punkty kulistej powierzchni znajdujące się na końcach o tej samej średnicy (na ryc. A oraz B), możesz narysować nieskończoną liczbę dużych okręgów. Na przykład przez bieguny Ziemi można przeciągnąć nieskończoną liczbę meridianów.

Definicje:

1. Płaszczyzna styczna do sfery nazywa się płaszczyzną, która ma tylko jeden wspólny punkt z kulą, a ich wspólny punkt nazywa się punktem styku płaszczyzny i kuli.
2. Płaszczyzna styczna do kuli nazywana jest płaszczyzną styczną do kuli, która jest granicą tej kuli.
3. Każda linia leżąca w płaszczyźnie stycznej kuli (kula) i przechodząca przez punkt styku nazywa się styczna do linii prostej do kuli (kula). Z definicji płaszczyzna styczna ma tylko jeden punkt wspólny z kulą, dlatego linia styczna ma również tylko jeden punkt wspólny z kulą - punkt styczności.

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(znak płaszczyzny stycznej do kuli). Płaszczyzna prostopadła do promienia kuli przechodząca przez jej koniec leżący na kuli dotyka kuli.
• Twierdzenie 2(na własność płaszczyzny stycznej do kuli). Płaszczyzna styczna do kuli jest prostopadła do promienia narysowanego do punktu kontaktu.

Wielościany i kula

Definicja: W stereometrii nazywa się wielościan (taki jak piramida lub graniastosłup) wpisany w zakres jeśli wszystkie jego wierzchołki leżą na kuli. W tym przypadku sferę nazywa się opisaną w pobliżu wielościanu (piramidy, pryzmaty). Podobnie: wielościan nazywa się wpisany w kulkę jeśli wszystkie jej wierzchołki leżą na granicy tej kuli. W tym przypadku mówi się, że kula jest wpisana w pobliżu wielościanu.

Ważna właściwość: Środek kuli opisanej wokół wielościanu znajduje się w odległości równej promieniowi R sfer z każdego wierzchołka wielościanu. Oto przykłady wielościanów wpisanych w kulę:

Definicja: Wielościan nazywa się opisany o kuli (piłce), jeśli kula (piłka) dotknie wszystko wielościan twarze. W tym przypadku kula i kula są nazywane wpisanymi w wielościan.

Ważne: środek kuli wpisanej w wielościan znajduje się w odległości równej promieniowi r sfer z każdej z płaszczyzn zawierających ściany wielościanu. Oto przykłady wielościanów opisanych w pobliżu kuli:

Objętość i powierzchnia kuli

Twierdzenia:

• Twierdzenie 1(o obszarze kuli). Powierzchnia kuli to:

gdzie: R to promień kuli.

• Twierdzenie 2(o objętości piłki). Objętość kuli o promieniu R obliczona według wzoru:

Segment kulkowy, warstwa, sektor

W stereometrii segment kulkowy nazywana częścią kuli odciętą przez płaszczyznę cięcia. W tym przypadku stosunek wysokości, promienia podstawy segmentu i promienia kuli:

gdzie: h− wysokość segmentu, r− promień podstawy segmentu, R− promień kuli. Powierzchnia podstawy segmentu kulistego:

Powierzchnia zewnętrznej powierzchni segmentu kulistego:

Pełna powierzchnia segmentu kulowego:

Objętość segmentu kuli:

W stereometrii warstwa kulista Nazywana jest część kuli zamknięta między dwiema równoległymi płaszczyznami. Obszar zewnętrznej powierzchni warstwy kulistej:

gdzie: h to wysokość warstwy kulistej, R− promień kuli. Pełna powierzchnia warstwy kulistej:

gdzie: h to wysokość warstwy kulistej, R− promień kuli, r 1 , r 2 to promienie podstaw warstwy kulistej, S 1 , S 2 to obszary tych baz. Objętość warstwy kulistej najprościej określa się jako różnicę między objętościami dwóch segmentów kulistych.

W stereometrii sektor kulowy zwana częścią kuli, składającą się z segmentu kulistego i stożka z wierzchołkiem w środku kuli i podstawą pokrywającą się z podstawą segmentu kulistego. Tutaj zakłada się, że segment kuli jest mniejszy niż połowa kuli. Pełna powierzchnia sektora sferycznego:

gdzie: h jest wysokością odpowiedniego segmentu sferycznego, r jest promieniem podstawy segmentu kulistego (lub stożka), R− promień kuli. Objętość sektora kulistego oblicza się według wzoru:

Definicje:

1. Na jakiejś płaszczyźnie rozważ okrąg ze środkiem O i promień R. Przez każdy punkt koła rysujemy linię prostopadłą do płaszczyzny koła. Powierzchnia cylindryczna figura utworzona przez te linie jest nazywana, a same linie są nazywane tworząc cylindryczną powierzchnię. Wszystkie generatory cylindrycznej powierzchni są do siebie równoległe, ponieważ są prostopadłe do płaszczyzny koła.

1. Prosty okrągły cylinder lub po prostu cylinder zwany geometrycznym ciałem ograniczonym cylindryczną powierzchnią i dwiema równoległymi płaszczyznami, które są prostopadłe do generatorów cylindrycznej powierzchni. Nieformalnie można wyobrazić sobie cylinder jako prosty graniastosłup z kołem u podstawy. Pomoże to w łatwym zrozumieniu i, jeśli to konieczne, wyprowadzeniu wzorów na objętość i powierzchnię bocznej powierzchni cylindra.
2. Boczna powierzchnia cylindra nazywana jest część cylindrycznej powierzchni znajdująca się między płaszczyznami cięcia prostopadłymi do jej tworzącej, a części (okręgi) odcięte przez cylindryczną powierzchnię na równoległych płaszczyznach są nazywane podstawy cylindrów. Podstawy cylindra to dwa równe koła.
3. Generator cylindra zwany segmentem (lub długością tego segmentu) tworzącej powierzchni cylindrycznej, umieszczonej między równoległymi płaszczyznami, w których leżą podstawy cylindra. Wszystkie generatory cylindra są równoległe i równe do siebie, a także prostopadłe do podstaw.
4. Oś cylindra zwany segmentem łączącym środki okręgów będących podstawami cylindra.
5. wysokość cylindra zwana prostopadłą (lub długością tej prostopadłej), poprowadzoną od pewnego punktu na płaszczyźnie jednej podstawy walca do płaszczyzny drugiej podstawy. W cylindrze wysokość jest równa tworzącej.
6. Promień cylindra nazywa się promieniem jego podstaw.
7. Cylinder nazywa się równoboczny jeśli jego wysokość jest równa średnicy podstawy.
8. Walec można uzyskać obracając prostokąt wokół jednego z jego boków o 360°.
9. Jeśli płaszczyzna cięcia jest równoległa do osi cylindra, to przekrój cylindra jest prostokątem, którego dwie strony są generatorami, a pozostałe dwa są cięciwami podstaw cylindra.
10. Przekrój osiowy Cylinder to odcinek cylindra przez płaszczyznę przechodzącą przez jego oś. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego dwa boki to generatory walca, a pozostałe dwa to średnice jego podstaw.
11. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest prostopadła do osi cylindra, to w przekroju równym podstawom powstaje okrąg. Na poniższym rysunku: po lewej - przekrój osiowy; pośrodku - odcinek równoległy do ​​osi cylindra; po prawej - odcinek równoległy do ​​podstawy cylindra.

Cylinder i pryzmat

Mówi się, że pryzmat jest wpisany w cylinder jeśli jego podstawy są wpisane w podstawy cylindra. W tym przypadku mówi się, że cylinder jest otoczony pryzmatem. Wysokość pryzmatu i wysokość cylindra w tym przypadku będą równe. Wszystkie boczne krawędzie pryzmatu będą należeć do bocznej powierzchni walca i pokrywać się z jego generatorami. Ponieważ przez walec rozumiemy tylko walec prosty, w taki walec można wpisać tylko pryzmat prosty. Przykłady:

Mówi się, że pryzmat jest otoczony wokół cylindra, jeśli jego podstawy są opisane w pobliżu podstaw cylindra. W tym przypadku mówi się, że cylinder jest wpisany w pryzmat. Wysokość pryzmatu i wysokość cylindra w tym przypadku również będą równe. Wszystkie boczne krawędzie pryzmatu będą równoległe do tworzącej cylindra. Ponieważ przez walec rozumiemy tylko walec prosty, taki walec można wpisać tylko w prosty graniastosłup. Przykłady:

Cylinder i kula

Kula (kula) nazywana jest wpisaną w cylinder jeśli dotknie podstawy cylindra i każdego z jego generatorów. W tym przypadku walec nazywany jest sferą (kulą). Kulę można wpisać w cylinder tylko wtedy, gdy jest to walec równoboczny, tj. jego podstawowa średnica i wysokość są równe. Środek kuli wpisanej będzie środkiem osi cylindra, a promień tej kuli będzie pokrywał się z promieniem cylindra. Przykład:

Mówi się, że cylinder jest wpisany w kulę, jeśli okręgi podstaw cylindra są przekrojami kuli. Mówi się, że cylinder jest wpisany w kulę, jeśli podstawy cylindra są sekcjami kuli. W tym przypadku kula (kula) nazywana jest wpisaną w pobliżu cylindra. Kulę można opisać wokół dowolnego cylindra. Środek opisywanej kuli będzie jednocześnie środkiem osi cylindra. Przykład:

Opierając się na twierdzeniu Pitagorasa, łatwo udowodnić następujący wzór odnoszący się do promienia kuli opisanej ( R), wysokość cylindra ( h) i promień walca ( r):

Objętość i powierzchnia bocznej i pełnej powierzchni cylindra

Twierdzenie 1(na polu powierzchni bocznej walca): Pole powierzchni bocznej walca jest równe iloczynowi obwodu jego podstawy i wysokości:

gdzie: R jest promieniem podstawy cylindra, h- jego haj. Ten wzór można łatwo wyprowadzić (lub udowodnić) w oparciu o wzór na powierzchnię boczną pryzmatu prostego.

Pełna powierzchnia cylindra, jak zwykle w stereometrii, jest sumą pól powierzchni bocznej i dwóch podstaw. Powierzchnia każdej podstawy cylindra (czyli tylko powierzchnia koła) jest obliczana według wzoru:

Dlatego całkowita powierzchnia cylindra S pełny cylinder oblicza się według wzoru:

Twierdzenie 2(o objętości walca): Objętość walca jest równa iloczynowi powierzchni podstawy i wysokości:

gdzie: R oraz h to odpowiednio promień i wysokość cylindra. Ta formuła jest również łatwa do wyprowadzenia (udowodniona) na podstawie wzoru na objętość pryzmatu.

Twierdzenie 3(Archimedes): Objętość kuli jest półtora raza mniejsza niż objętość opisanego wokół niej cylindra, a powierzchnia takiej kuli jest półtora raza mniejsza niż całkowita powierzchnia ​ten sam cylinder:

Stożek

Definicje:

1. Stożek (a dokładniej okrągły stożek) zwane ciałem, które składa się z koła (tzw podstawa stożka), punkt nie leżący w płaszczyźnie tego okręgu (tzw wierzchołek stożka) i wszystkie możliwe segmenty łączące wierzchołek stożka z punktami podstawy. Nieformalnie możesz postrzegać stożek jako regularną piramidę, która ma okrąg u podstawy. Pomoże to w łatwym zrozumieniu, a jeśli to konieczne, wyprowadzeniu wzorów na objętość i powierzchnię bocznej powierzchni stożka.

1. Nazywa się segmenty (lub ich długości) łączące wierzchołek stożka z punktami koła podstawy tworząc stożek. Wszystkie generatory prawego okrągłego stożka są sobie równe.
2. Powierzchnia stożka składa się z podstawy stożka (koła) i powierzchni bocznej (złożonej ze wszystkich możliwych generatorów).
3. Nazywa się związek generatorów stożka tworząca (lub boczna) powierzchnia stożka. Tworzącą stożka jest powierzchnia stożkowa.
4. Stożek nazywa się bezpośredni jeśli linia łącząca wierzchołek stożka ze środkiem podstawy jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. W dalszej części rozważymy tylko właściwy stożek, nazywając go po prostu stożkiem dla zwięzłości.
5. Wizualnie prosty okrągły stożek można sobie wyobrazić jako ciało uzyskane przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jego nogi jako osi. W tym przypadku boczna powierzchnia stożka jest utworzona przez obrót przeciwprostokątnej, a podstawa jest utworzona przez obrót nogi, która nie jest osią.
6. promień stożka zwany promieniem jego podstawy.
7. wysokość stożka zwany prostopadłem (lub jego długością), obniżony od góry do płaszczyzny podstawy. W przypadku prawego stożka podstawa wysokości pokrywa się ze środkiem podstawy. Oś prawego okrągłego stożka jest linią prostą zawierającą jego wysokość, tj. linia prosta przechodząca przez środek podstawy i wierzchołek.
8. Jeśli płaszczyzna cięcia przechodzi przez oś stożka, to przekrój jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa jest średnicą podstawy stożka, a boki są tworzącą stożka. Taki krój nazywa się osiowy.

1. Jeżeli płaszczyzna cięcia przechodzi przez wewnętrzny punkt wysokości stożka i jest do niego prostopadła, to przekrój stożka jest kołem, którego środek stanowi punkt przecięcia wysokości i tej płaszczyzny.
2. Wysokość ( h), promień ( R) i długość tworzącej ( ja) prawego okrągłego stożka spełniają oczywistą zależność:

Objętość i pole powierzchni bocznej i pełnej stożka

Twierdzenie 1(na obszarze bocznej powierzchni stożka). Powierzchnia bocznej powierzchni stożka jest równa iloczynowi połowy obwodu podstawy i tworzącej:

gdzie: R jest promień podstawy stożka, ja to długość tworzącej stożka. Ta formuła jest łatwo wyprowadzona (lub udowodniona) w oparciu o wzór na powierzchnię boczną regularnej piramidy.

Pełna powierzchnia stożka jest sumą powierzchni bocznej i powierzchni podstawy. Powierzchnia podstawy stożka (czyli po prostu powierzchnia koła) to: S podstawa = πR 2. Dlatego całkowita powierzchnia stożka S pełny stożek oblicza się według wzoru:

Twierdzenie 2(na objętości stożka). Objętość stożka jest równa jednej trzeciej powierzchni podstawy pomnożonej przez wysokość:

gdzie: R jest promień podstawy stożka, h- jego haj. Ta formuła jest również łatwo wyprowadzona (udowodniona) na podstawie wzoru na objętość piramidy.

Definicje:

1. Płaszczyzna równoległa do podstawy stożka i przecinająca stożek odcina od niego mniejszy stożek. Reszta nazywa się stożek ścięty.

1. Podstawa oryginalnego stożka i okrąg uzyskany w przekroju tego stożka przez płaszczyznę nazywa się fusy oraz odcinek łączący ich centra - wysokość stożka ściętego.
2. Linia prosta przechodząca przez wysokość ściętego stożka (tj. przez środki jego podstaw) jest jego oś.
3. Część bocznej powierzchni stożka, która ogranicza ścięty stożek, nazywa się its powierzchnia boczna, a segmenty tworzącej stożka znajdujące się między podstawami ściętego stożka nazywane są jego generowanie.
4. Wszystkie generatory ściętego stożka są sobie równe.
5. Ścięty stożek można uzyskać, obracając prostokątny trapez o 360 ° wokół jego boku prostopadłego do podstaw.

Wzory dla stożka ściętego:

Objętość ściętego stożka jest równa różnicy między objętościami pełnego stożka i stożka odciętego płaszczyzną równoległą do podstawy stożka. Objętość ściętego stożka oblicza się według wzoru:

gdzie: S 1 = π r 1 2 i S 2 = π r 2 2 - obszary podstaw, h to wysokość ściętego stożka, r 1 i r 2 - promienie górnej i dolnej podstawy ściętego stożka. Jednak w praktyce nadal wygodniej jest szukać objętości ściętego stożka jako różnicy między objętościami oryginalnego stożka i odciętej części. Boczną powierzchnię stożka ściętego można również określić jako różnicę między bocznymi polami powierzchni oryginalnego stożka i odciętej części.

Rzeczywiście, obszar powierzchni bocznej stożka ściętego jest równy różnicy między obszarami powierzchni bocznych pełnego stożka i stożka odciętego płaszczyzną równoległą do podstawy stożka. Boczna powierzchnia stożka ściętego obliczona według wzoru:

gdzie: P 1 = 2π r 1 i P 2 = 2π r 2 - obwody podstaw stożka ściętego, ja- długość tworzącej. Całkowita powierzchnia ściętego stożka, oczywiście, znajduje się jako suma powierzchni podstaw i powierzchni bocznej:

Należy pamiętać, że wzory na objętość i powierzchnię bocznej powierzchni ściętego stożka pochodzą z wzorów na podobne cechy regularnej ściętej piramidy.

Stożek i kula

Mówi się, że stożek jest wpisany w kulę(kula), jeśli jej wierzchołek należy do kuli (granicy kuli), a obwód podstawy (sama podstawa) jest wycinkiem kuli (kula). W tym przypadku sferę (kulę) nazywa się ograniczoną w pobliżu stożka. Kulę można zawsze opisać wokół prawego okrągłego stożka. Środek kuli opisanej będzie leżeć na linii prostej zawierającej wysokość stożka, a promień tej kuli będzie równy promieniowi okręgu opisanego wokół osiowej części stożka (ten odcinek jest trójkątem równoramiennym) . Przykłady:

Kula (kula) nazywana jest wpisaną w stożek, jeśli kula (piłka) dotknie podstawy stożka i każdego z jego generatorów. W tym przypadku stożek nazywa się wpisany w pobliżu kuli (kulki). Kulę można zawsze wpisać w prawy okrągły stożek. Jego środek będzie leżał na wysokości stożka, a promień wpisanego kuli będzie równy promieniowi okręgu wpisanego w osiowy przekrój stożka (ten odcinek jest trójkątem równoramiennym). Przykłady:

Stożek i piramida

• Stożek nazywany jest wpisanym w piramidę (ostrosłup jest opisany w pobliżu stożka), jeśli podstawa stożka jest wpisana w podstawę piramidy, a wierzchołki stożka i ostrosłupa pokrywają się.
• Piramida nazywana jest wpisaną w stożek (stożek jest opisany w pobliżu ostrosłupa), jeśli jej podstawa jest wpisana w podstawę stożka, a boczne krawędzie są generatorami stożka.
• Wysokości takich stożków i piramid są sobie równe.

Notatka: Więcej szczegółów na temat tego, jak w geometrii bryłowej stożek pasuje do piramidy lub jest opisany w pobliżu piramidy, zostało już omówione w

Jak skutecznie przygotować się do tomografii komputerowej z fizyki i matematyki?

Aby odnieść sukces przygotować się do CT w fizyce i matematyce między innymi muszą być spełnione trzy podstawowe warunki:

1. Przestudiuj wszystkie tematy i wypełnij wszystkie testy i zadania podane w materiały treningowe na tej stronie. Aby to zrobić, nie potrzebujesz w ogóle niczego, a mianowicie: codziennie od trzech do czterech godzin na przygotowanie się do CT z fizyki i matematyki, studiowanie teorii i rozwiązywanie problemów. Faktem jest, że CT to egzamin, na którym nie wystarczy tylko znać fizykę czy matematykę, trzeba też umieć szybko i bezbłędnie rozwiązać dużą liczbę problemów o różnej tematyce io różnym stopniu złożoności. Tej ostatniej można się nauczyć jedynie rozwiązując tysiące problemów.
2. uczyć się wszystkie wzory i prawa w fizyce oraz wzory i metody w matematyce. W rzeczywistości jest to również bardzo proste, w fizyce jest tylko około 200 niezbędnych wzorów, a w matematyce nawet trochę mniej. W każdym z tych przedmiotów istnieje kilkanaście standardowych metod rozwiązywania problemów o podstawowym poziomie złożoności, których również można się nauczyć, a tym samym całkowicie automatycznie i bez trudności rozwiązać większość cyfrowej transformacji we właściwym czasie. Potem będziesz musiał myśleć tylko o najtrudniejszych zadaniach.
3. Odwiedź wszystkie trzy etapy próby próbne w fizyce i matematyce. Każdy RT można odwiedzić dwukrotnie, aby rozwiązać obie opcje. Ponownie, na DT, oprócz umiejętności szybkiego i sprawnego rozwiązywania problemów oraz znajomości formuł i metod, niezbędna jest również umiejętność właściwego planowania czasu, rozłożenia sił, a co najważniejsze prawidłowego wypełnienia formularza odpowiedzi , nie myląc ani liczby odpowiedzi i zadań, ani własnego nazwiska. Również podczas RT ważne jest, aby przyzwyczaić się do stylu zadawania pytań w zadaniach, co nieprzygotowanej osobie może wydawać się bardzo niezwykłe.

Udane, rzetelne i odpowiedzialne wdrożenie tych trzech punktów pozwoli Ci wykazać się doskonałym wynikiem na CT, maksymalnym, do czego jesteś zdolny.

Znalazłeś błąd?

Jeśli, jak Ci się wydaje, znalazłeś błąd w materiałach szkoleniowych, napisz o tym mailowo. Możesz również napisać o błędzie w sieci społecznościowej (). W liście wskaż przedmiot (fizyka lub matematyka), nazwę lub numer tematu lub testu, numer zadania lub miejsce w tekście (stronie), gdzie Twoim zdaniem jest błąd. Opisz również, na czym polega rzekomy błąd. Twój list nie pozostanie niezauważony, błąd zostanie albo poprawiony, albo zostaniesz wyjaśniony, dlaczego to nie pomyłka.