Objętość regularnej sześciokątnej piramidy ma 6 boków. Piramida

Piramidy to: trójkątne, czworokątne itp. W zależności od podstawy - trójkąt, czworokąt itp.
Piramidę nazywamy poprawną (ryc. 286b), jeśli po pierwsze jej podstawa jest wielokątem foremnym, a po drugie wysokość przechodzi przez środek tego wielokąta.
W przeciwnym razie piramida nazywana jest nieregularną (ryc. 286, c). W regularnym ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie są sobie równe (pochylone z równymi rzutami). Dlatego wszystkie boczne ściany regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.
Analiza elementów ostrosłupa heksagonalnego foremnego i ich przedstawienie na złożonym rysunku (ryc.287).

a) Złożony rysunek foremnej sześciokątnej piramidy. Podstawa piramidy znajduje się na płaszczyźnie P 1 ; dwa boki podstawy piramidy są równoległe do płaszczyzny rzutów П 2 .
b) Podstawa ABCDEF - sześciokąt znajdujący się w płaszczyźnie rzutów П 1 .
c) Boczna ściana ASF - trójkąt położony w płaszczyźnie w pozycji ogólnej.
d) Powierzchnia boczna FSE - trójkąt umieszczony w profilu - płaszczyzna wystająca.
e) Krawędź SE jest segmentem w pozycji ogólnej.
f) Edge SA - segment czołowy.
g) Szczyt S piramidy jest punktem w przestrzeni.
Wł. (ryc. 288 i ryc. 289) pokazuje przykłady sekwencyjnych operacji graficznych podczas wykonywania złożonego rysunku i obrazów wizualnych (aksonometrii) piramid.

Dany:
1. Baza znajduje się na płaszczyźnie P 1.
2. Jeden z boków podstawy jest równoległy do ​​osi x12.
I. Zintegrowany rysunek.
ja, Projektujemy podstawę piramidy - wielokąt, zgodnie z tym warunkiem, leżący w płaszczyźnie П 1 .
Projektujemy wierzchołek - punkt znajdujący się w przestrzeni. Wysokość punktu S jest równa wysokości piramidy. Rzut poziomy S 1 punktu S będzie w środku rzutu podstawy piramidy (według warunku).
ja, ur. Projektujemy krawędzie piramidy - segmenty; w tym celu łączymy rzuty bezpośrednie wierzchołków podstawy ABCDE z odpowiednimi rzutami wierzchołka piramidy S. Rzuty czołowe S 2 C 2 i S 2 D 2 krawędzi piramidy są przedstawione liniami przerywanymi, jako niewidoczne, zamknięte ścianami piramidy (SBA i SAE).
ja, ok. Podano rzut poziomy K 1 punktu K na lico boczne SBA, należy znaleźć jego rzut czołowy. Aby to zrobić, narysuj linię pomocniczą S 1 F 1 przez punkty S 1 i K 1, znajdź jej przedni rzut i na niej, używając pionowej linii komunikacyjnej, określ miejsce pożądanego przedniego rzutu K 2 punktu K.
II. Rozwinięcie powierzchni piramidy to płaska figura składająca się z bocznych ścian - identycznych trójkątów równoramiennych, z których jeden bok jest równy bokowi podstawy, a pozostałe dwa - do krawędzi bocznych i z wielokąta foremnego - baza.
Naturalne wymiary boków podstawy uwidaczniają się na jej rzucie poziomym. Nie ujawniono naturalnych wymiarów żeber na ryzalitach.
Hipoprostokątna S 2 ¯A 2 (ryc. 288, 1 , b) trójkąt prostokątny S 2 O 2 ¯A 2 , w którym duża noga jest równa wysokości S 2 O 2 piramidy, a mała noga równa się poziomemu rzutowi krawędzi S 1 A 1 jest naturalnym wymiarem krawędzi piramidy. Przeciągnięcie powinno być zbudowane w następującej kolejności:
a) z dowolnego punktu S (wierzchołek) rysujemy łuk o promieniu R równym krawędzi ostrosłupa;
b) na narysowanym łuku odłożyć pięć cięciw o rozmiarze R 1 równym bokowi podstawy;
c) łączymy punkty D, C, B, A, E, D szeregowo ze sobą i z punktem S liniami prostymi otrzymujemy pięć równoramiennych trójkąty równe, które tworzą rozwinięcie powierzchni bocznej tej piramidy, przecięta wzdłuż krawędzi SD ;
d) do dowolnej ściany przyczepiamy podstawę piramidy - pięciokąt, metodą triangulacji np. do ściany DSE.
Punkt K przenosi się do wymiata za pomocą pomocniczej linii prostej o rozmiarze B 1 F 1 pobranej na rzucie poziomym, a wielkości A 2 K 2 na naturalnej wielkości żebra.
III. Wizualna reprezentacja piramidy w izometrii.
III a. Przedstawiamy podstawę piramidy, używając współrzędnych zgodnie z (ryc. 288, 1 , a).
Przedstawiamy wierzchołek piramidy, używając współrzędnych (ryc. 288, 1 , a).
III, ur. Przedstawiamy boczne krawędzie piramidy, łącząc górę z wierzchołkami podstawy. Krawędź S"D" i boki podstawy C"D" i D"E" są pokazane liniami przerywanymi, jako niewidoczne, zamknięte ścianami piramidy C"S"B", B"S"A" i A"S"E".
III, odc. Wyznaczamy punkt na powierzchni piramidy K, korzystając z wymiarów y F i x K. W przypadku dimetrycznego obrazu piramidy należy postępować zgodnie z tą samą kolejnością.
Obraz nieregularnej trójkątnej piramidy.

Dany:
1. Baza znajduje się na płaszczyźnie P 1.
2. Bok BC podstawy jest prostopadły do ​​osi X.
I. Zintegrowany rysunek
ja, Projektujemy podstawę piramidy - trójkąt równoramienny leżący w płaszczyźnie P 1, a szczyt S - punkt znajdujący się w przestrzeni, którego wysokość jest równa wysokości piramidy.
ja, ur. Projektujemy krawędzie piramidy - segmenty, dla których łączymy tak samo nazwane rzuty wierzchołków podstawy z tak samo nazwanymi rzutami wierzchołka piramidy liniami prostymi. Poziomy rzut boku podstawy samolotu przedstawiamy linią przerywaną, jako niewidoczną, zamkniętą dwoma ścianami piramidy ABS, ACS.
ja, ok. Na rzucie czołowym A 2 C 2 S 2 ściany bocznej podany jest rzut D 2 punktu D. Wymagane jest znalezienie jego rzutu poziomego. W tym celu przez punkt D 2 rysujemy pomocniczą linię prostą równoległą do osi x 12 - rzut czołowy poziomu, następnie znajdujemy jego rzut poziomy i na nim za pomocą pionowej linii komunikacyjnej określamy położenie żądany rzut poziomy D 1 punktu D.
II. Budowa gzymsu ostrosłupowego.
W rzucie poziomym widoczne są naturalne wymiary boków podstawy. W projekcji czołowej widoczny jest naturalny rozmiar żebra AS; w rzutach nie ma naturalnej wielkości żeber BS i CS, wielkość tych żeber ujawnia się obracając je wokół osi i, prostopadłej do płaszczyzny P 1 przechodzącej przez wierzchołek ostrosłupa S. Nowa projekcja czołowa ¯C 2 S 2 jest naturalną wartością krawędzi CS .
Kolejność konstruowania rozwinięcia powierzchni piramidy:
a) narysuj trójkąt równoramienny - twarz CSB, której podstawa jest równa boku podstawy piramidy CB, oraz boki- naturalna wielkość żebra SC;
b) do boków zbudowanego trójkąta SC i SB dodajemy dwa trójkąty - ściany ostrosłupa CSA i BSA oraz do podstawy CB konstruowanego trójkąta - podstawę ostrosłupa CBA, w wyniku czego otrzymujemy zupełny rozwinięcie powierzchni tej piramidy.
Przeniesienie punktu D na rozwinięcie odbywa się w następującej kolejności: najpierw narysuj poziomą linię na rozwinięciu ściany bocznej ASC za pomocą wymiaru R 1, a następnie wyznacz położenie punktu D na linii poziomej za pomocą R 2 wymiar.
III. Wizualna reprezentacja piramidy i rzutu dimetrycznego czołowego
III a. Przedstawiamy podstawę A ​​„B” C i górę S „piramidy, używając współrzędnych zgodnie z (

Obliczanie objętości figur przestrzennych jest jednym z ważnych zadań stereometrii. W tym artykule rozważymy kwestię określenia objętości takiego wielościanu jako piramidy, a także nadamy regularny sześciokątny.

Piramida sześciokątna

Na początek zastanówmy się, jaka jest liczba, która zostanie omówiona w artykule.

Miejmy dowolny sześciokąt, którego boki niekoniecznie są sobie równe. Załóżmy również, że wybraliśmy punkt w przestrzeni, który nie znajduje się na płaszczyźnie sześciokąta. Łącząc wszystkie rogi tego ostatniego z wybranym punktem, otrzymujemy piramidę. Na poniższym rysunku pokazano dwie różne piramidy o sześciokątnej podstawie.

Widać, że oprócz sześciokąta figura składa się z sześciu trójkątów, których punkt połączenia nazywa się wierzchołkiem. Różnica pomiędzy przedstawionymi piramidami polega na tym, że wysokość h prawej nie przecina sześciokątnej podstawy w jej geometrycznym środku, podczas gdy wysokość lewej figury przypada dokładnie w tym środku. Dzięki temu kryterium lewą piramidę nazwano prostą, a prawą nachyloną.

Ponieważ podstawa lewej figury na rysunku jest utworzona przez sześciokąt o równych bokach i kątach, nazywa się to poprawną. W dalszej części artykułu porozmawiamy tylko o tej piramidzie.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, obowiązuje następująca formuła:

Tutaj h to długość wysokości postaci, S o to powierzchnia jej podstawy. Użyjmy tego wyrażenia, aby określić objętość regularnej sześciokątnej piramidy.

Ponieważ rozważana figura opiera się na równobocznym sześciokątie, do obliczenia jego powierzchni można użyć następującego ogólnego wyrażenia dla n-kąta:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Tutaj n jest liczbą całkowitą równą liczbie boków (rogów) wielokąta, a jest długością jego boku, funkcja cotangens jest obliczana przy użyciu odpowiednich tabel.

Stosując wyrażenie dla n = 6, otrzymujemy:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √ 3/2 * a 2

Teraz pozostaje zamienić to wyrażenie na ogólna formuła dla tomu V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Tak więc, aby obliczyć objętość rozważanej piramidy, konieczne jest poznanie jej dwóch parametrów liniowych: długości boku podstawy i wysokości figury.

Przykład rozwiązania problemu

Pokażmy, jak otrzymane wyrażenie dla V 6 można wykorzystać do rozwiązania następującego problemu.

Wiadomo, że prawidłowa objętość to 100 cm3. Konieczne jest określenie boku podstawy i wysokości figury, jeśli wiadomo, że są one powiązane ze sobą następującą równością:

Ponieważ tylko a i h są zawarte we wzorze na objętość, każdy z tych parametrów może być do niego podstawiony, wyrażony przez drugi. Na przykład podstawiamy a, otrzymujemy:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Aby znaleźć wartość wysokości figury, należy wziąć pierwiastek trzeciego stopnia z objętości, która odpowiada wymiarowi długości. Podstawiamy wartość objętości V 6 piramidy od warunku problemu, otrzymujemy wysokość:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈3,0676 cm

Ponieważ bok podstawy, zgodnie ze stanem problemu, jest dwukrotnością znalezionej wartości, otrzymujemy dla niego wartość:

a = 2*h = 2*3.0676 = 6.1352 cm

Objętość sześciokątnej piramidy można określić nie tylko poprzez wysokość figury i wartość boku jej podstawy. Wystarczy znać dwa różne parametry liniowe piramidy, aby ją obliczyć, na przykład apotem i długość bocznej krawędzi.

Rysunek jest pierwszy i bardzo ważny krok w rozwiązywaniu problemu geometrycznego. Jaki powinien być rysunek zwykłej piramidy?

Pamiętajmy najpierw równoległe właściwości projektowe:

- równoległe segmenty figury są przedstawione jako równoległe segmenty;

- zachowany jest stosunek długości odcinków linii równoległych do odcinków jednej prostej.

Rysunek regularnej trójkątnej piramidy

Najpierw narysuj bazę. Ponieważ kąty i stosunki długości nierównoległych odcinków nie są zachowane w układzie równoległym, regularny trójkąt u podstawy piramidy jest reprezentowany przez dowolny trójkąt.

Środek trójkąta równobocznego jest punktem przecięcia środkowych trójkąta. Ponieważ mediany w punkcie przecięcia są podzielone w stosunku 2: 1, licząc od góry, mentalnie łączymy górę podstawy ze środkiem przeciwnej strony, w przybliżeniu dzielimy ją na trzy części i umieszczamy punkt na odległość 2 części od góry. Narysuj prostopadłą od tego punktu w górę. To jest wysokość piramidy. Prostopadły rysujemy tak długo, aby boczna krawędź nie zasłaniała obrazu wysokości.

rysunek poprawny piramida czworokątna

Rysowanie regularnej czworokątnej piramidy również zaczyna się od podstawy. Ponieważ równoległość segmentów jest zachowana, ale wielkości kątów nie, kwadrat u podstawy jest przedstawiony jako równoległobok. Pożądany ostry róg zmniejsz ten równoległobok, wtedy boczne powierzchnie będą większe. Środek kwadratu to punkt przecięcia jego przekątnych. Rysujemy przekątne, od punktu przecięcia przywracamy prostopadłość. Ta prostopadłość to wysokość piramidy. Długość pionu dobieramy tak, aby boczne krawędzie nie łączyły się ze sobą.

Rysunek regularnej sześciokątnej piramidy

Ponieważ rzut równoległy zachowuje równoległość segmentów, podstawa ostrosłupa sześciokątnego foremnego - sześciokąta foremnego - jest przedstawiana jako sześciokąt, którego przeciwległe boki są równoległe i równe. Środek sześciokąta foremnego jest punktem przecięcia jego przekątnych. Aby nie zaśmiecać rysunku, nie rysujemy przekątnych, ale ten punkt znajdujemy w przybliżeniu. Z niego przywracamy prostopadłość - wysokość piramidy - tak, aby boczne krawędzie nie łączyły się ze sobą.

Data: 2015-01-19

Jeśli potrzebujesz instrukcja krok po kroku jak zbudować zamiatanie piramidy, to proszę o naszą lekcję. Przede wszystkim oceń, czy twoja piramida jest rozłożona w taki sam sposób, jak na rysunku 1.

Jeśli masz go obrócony o 90 stopni, to krawędź oznaczoną na rysunku jako „znane wartości rzeczywiste” w twoim przypadku znajduje się na rzucie profilu, który będziesz musiał zbudować. W moim przypadku nie jest to wymagane, mamy już wszystkie ilości potrzebne do budowy. Należy pamiętać, że na tym rysunku tylko krawędzie SA i SD na rzucie czołowym są wyświetlane w pełnym rozmiarze. Wszystkie inne są wyświetlane ze zniekształceniem długości. Ponadto w widoku z góry wszystkie boki sześciokąta są również rzutowane w pełnym rozmiarze. Na tej podstawie zacznijmy.

1. Aby uzyskać większe piękno, narysujmy pierwszą linię poziomo (rysunek 1). Następnie narysujemy szeroki łuk o promieniu R=a, czyli o promieniu równym długości bocznej krawędzi piramidy. Otrzymujemy punkt A. Z niego wykonujemy wycięcie na łuku za pomocą kompasu o promieniu r \u003d b (długość boku podstawy piramidy). Przejdźmy do punktu B. Mamy już pierwszą ścianę piramidy!

2. Z punktu B zrobimy kolejne wycięcie o tym samym promieniu - otrzymamy punkt C i łącząc go z punktami B i S otrzymamy drugą ścianę boczną ostrosłupa (rysunek 2).

3. Powtarzając te kroki wymaganą ilość razy (wszystko zależy od tego ile ścian ma twoja piramida) otrzymamy taki wachlarz (rysunek 3). Przy prawidłowej konstrukcji powinieneś uzyskać wszystkie punkty podstawy, a skrajne powtórzyć.

4. Nie zawsze jest to wymagane, ale nadal konieczne: dodaj podstawę piramidy do rozwinięcia powierzchni bocznej. Uważam, że każdy, kto przeczytał do tego momentu, wie, jak narysować sześcio-ośmiokątny (jak narysować pięciokąt szczegółowo opisano w lekcji). Trudność polega na tym, że figurę należy narysować właściwe miejsce i pod odpowiednim kątem. Narysuj oś przechodzącą przez środek dowolnej twarzy. Od punktu przecięcia z linią podstawy wykreślamy odległość m, jak pokazano na rysunku 4.


Rysując prostopadle przez ten punkt, otrzymujemy osie przyszłego sześciokąta. Z powstałego środka rysujemy okrąg, tak jak robiłeś to podczas budowania widoku z góry. Należy pamiętać, że okrąg musi przechodzić przez dwa punkty powierzchni bocznej (w moim przypadku są to F i A)

5. Rysunek 5 przedstawia końcowy, rozłożony widok sześciokątnego pryzmatu.


To kończy budowę wymiatanej piramidy. Twórz swoje akcje, naucz się znajdować rozwiązania, bądź żrący i nigdy się nie poddawaj. Dzięki, że wpadłeś. Nie zapomnij polecić nas swoim znajomym :) Wszystkiego najlepszego!

lub zapisz nasz numer telefonu i powiedz o nas znajomym - ktoś pewnie szuka sposobu na wykonanie rysunków

lub stwórz notatkę o naszych lekcjach na swojej stronie lub blogu - a ktoś inny będzie mógł opanować rysunek.