Piramida. Skrócona piramida

Piramida nazywa się wielościanem, którego jedna z powierzchni jest wielokątem ( baza ), a wszystkie inne twarze są trójkątami o wspólnym wierzchołku ( twarze boczne ) (rys. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jej podstawa jest wielokątem foremnym, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Trójkątna piramida, w której wszystkie krawędzie są równe, nazywa się czworościan .

Boczne żebro piramida nazywana jest stroną ściany bocznej, która nie należy do podstawy Wysokość ostrosłup to odległość od jego wierzchołka do płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne żeberka poprawna piramida są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa foremnego narysowanego z wierzchołka nazywa się apotema . przekrój przekątny Sekcja piramidy nazywana jest płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida nazywana jest sumą powierzchni wszystkich ścian bocznych. powierzchnia pełna powierzchnia to suma powierzchni wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek koła opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie boczne krawędzie mają jednakową długość, to wierzchołek ostrosłupa jest rzutowany na środek koła opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli w piramidzie wszystkie ściany są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, formuła jest poprawna:

gdzie V- tom;

S główne- powierzchnia bazowa;

H to wysokość piramidy.

W przypadku regularnej piramidy prawdziwe są następujące formuły:

gdzie p- obwód podstawy;

ha- apotem;

H- Wysokość;

S pełne

Strona S

S główne- powierzchnia bazowa;

V to objętość regularnej piramidy.

ścięta piramida zwana częścią piramidy zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Prawidłowa ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy, zamkniętą między podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Podwaliny ostrosłup ścięty - podobne wielokąty. Twarze boczne - trapez. Wysokość ścięta piramida nazywana jest odległością między jej podstawami. Przekątna Ścięty ostrosłup to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej powierzchni. przekrój przekątny Sekcja ściętej piramidy nazywana jest płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku ściętej piramidy obowiązują formuły:

(4)

gdzie S 1 , S 2 - obszary górnej i dolnej podstawy;

S pełne to całkowita powierzchnia;

Strona S to powierzchnia boczna;

H- Wysokość;

V to objętość ściętej piramidy.

W przypadku regularnej ściętej piramidy prawdziwy jest następujący wzór:

gdzie p 1 , p 2 - obwody bazowe;

ha- apotem regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1 Po prawej trójkątna piramida kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60º. Znajdź styczną kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​podstawą jest trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej powierzchni ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy będzie kątem a między dwoma prostopadłymi: tj. Wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek trójkąta (środek koła opisanego i koła wpisanego w trójkącie ABC). Kąt nachylenia żebra bocznego (na przykład SB) to kąt między samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę bazową. na żeberka SB ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC oraz OB. Niech długość odcinka BD jest 3 a. kropka O odcinek BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Od znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2 Znajdź objętość regularnej ściętej piramidy czworokątnej, jeśli przekątne jej podstawy wynoszą cm i cm, a wysokość 4 cm.

Decyzja. Aby obliczyć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszary baz, musisz znaleźć boki kwadratów bazowych, znając ich przekątne. Boki podstaw mają odpowiednio 2 cm i 8 cm, co oznacza pola podstaw i podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112 cm3.

Przykład 3 Znajdź obszar powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstawy mają 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy to trapez równoramienny. Aby obliczyć powierzchnię trapezu, musisz znać podstawy i wysokość. Podstawy są podane według warunków, tylko wysokość pozostaje nieznana. Znajdź to skąd ALE 1 mi prostopadle od punktu ALE 1 w płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D- prostopadle od ALE 1 dnia AC. ALE 1 mi\u003d 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Za znalezienie DE wykonamy dodatkowy rysunek, na którym przedstawimy widok z góry (ryc. 20). Kropka O- rzut środków podstawy górnej i dolnej. od (patrz rys. 20) i Z drugiej strony OK jest promieniem okręgu wpisanego i OM jest promieniem okręgu wpisanego:

MK=DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4 U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy a oraz b (a> b). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy j. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Decyzja. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD jest równa sumie powierzchni i powierzchni trapezu ABCD.

Posługujemy się stwierdzeniem, że jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O- rzutowanie wierzchołków S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny bazowej. Zgodnie z twierdzeniem o polu rzutu ortogonalnego figury płaskiej otrzymujemy:

Podobnie oznacza to Tym samym problem sprowadzał się do znalezienia obszaru trapezu ABCD. Narysuj trapez ABCD oddzielnie (ryc. 22). Kropka O jest środkiem koła wpisanym w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Według twierdzenia Pitagorasa mamy

Definicja

Piramida jest wielościanem złożonym z wielokąta \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trójkątów o wspólnym wierzchołku \(P\) (nie leżącym w płaszczyźnie wielokąta) i przeciwległych bokach pokrywających się z bokami wielokąt.
Oznaczenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Przykład: piramida pięciokątna \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trójkąty \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) itp. nazywa twarze boczne piramidy, segmenty \(PA_1, PA_2\) itp. - boczne żeberka, wielokąt \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – podstawa, punkt \(P\) – szczyt.

Wysokość Piramidy są prostopadłe opadające ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.

Nazywa się piramidę z trójkątem u podstawy czworościan.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny i spełniony jest jeden z następujących warunków:

\((a)\) boczne krawędzie ostrosłupa są równe;

\((b)\) wysokość piramidy przechodzi przez środek koła opisanego w pobliżu podstawy;

\((c)\) boczne żebra są nachylone do płaszczyzny bazowej pod tym samym kątem.

\((d)\) powierzchnie boczne są nachylone do płaszczyzny bazowej pod tym samym kątem.

czworościan foremny jest trójkątną piramidą, której wszystkie ściany są równe trójkątom równobocznym.

Twierdzenie

Warunki \((a), (b), (c), (d)\) są równoważne.

Dowód

Narysuj wysokość piramidy \(PH\) . Niech \(\alpha\) będzie płaszczyzną podstawy piramidy.

1) Udowodnijmy, że \((a)\) implikuje \((b)\) . Niech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Ponieważ \(PH\perp \alpha\) , to \(PH\) jest prostopadłe do dowolnej linii leżącej na tej płaszczyźnie, więc trójkąty są prostokątne. Czyli te trójkąty są równe we wspólnej nodze \(PH\) i przeciwprostokątnej \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Tak więc \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Oznacza to, że punkty \(A_1, A_2, ..., A_n\) znajdują się w tej samej odległości od punktu \(H\) , a zatem leżą na tym samym okręgu o promieniu \(A_1H\) . Okrąg ten z definicji jest opisany wielokątem \(A_1A_2...A_n\) .

2) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątne i równe w dwóch nogach. Stąd ich kąty są również równe, dlatego \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Udowodnijmy, że \((c)\) implikuje \((a)\) .

Podobnie jak w pierwszym punkcie, trójkąty \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i wzdłuż nogawki oraz ostry róg. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne również są równe, czyli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((d)\) .

Ponieważ w wielokącie foremnym środki okręgów opisanego i wpisanego pokrywają się (ogólnie punkt ten nazywamy środkiem wielokąta foremnego), wtedy \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego. Narysujmy prostopadłe od punktu \(H\) do boków podstawy: \(HK_1, HK_2\) itd. Są to promienie koła wpisanego (z definicji). Wtedy zgodnie z TTP (\(PH\) jest prostopadłą do płaszczyzny, \(HK_1, HK_2\) itd. są rzutami prostopadłymi do boków) ukośne \(PK_1, PK_2\) itd. prostopadle do boków \(A_1A_2, A_2A_3\) itp. odpowiednio. Tak więc z definicji \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H\) równe kątom między bocznymi ścianami a podstawą. Ponieważ trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokątne na dwóch ramionach), to kąty \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H, ...\) są równe.

5) Udowodnijmy, że \((d)\) implikuje \((b)\) .

Podobnie jak w punkcie czwartym, trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokąt wzdłuż ramienia i kąt ostry), co oznacza, że ​​odcinki \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) są równe. Stąd z definicji \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Lecz odkąd dla wielokątów foremnych środki okręgów wpisanego i opisanego pokrywają się, wtedy \(H\) jest środkiem okręgu opisanego. Chtd.

Konsekwencja

Boczne ściany regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.

Definicja

Wysokość bocznej ściany ostrosłupa foremnego, ciągnącego się od jej wierzchołka, nazywa się apotema.
Apotemy wszystkich bocznych ścian regularnej piramidy są sobie równe i są również medianami i dwusiecznymi.

Ważne notatki

1. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy spada do punktu przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) podstawy (podstawa jest trójkątem foremnym).

2. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy spada do punktu przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest kwadratem).

3. Wysokość poprawna sześciokątna piramida spada do punktu przecięcia przekątnych podstawy (podstawą jest sześciokąt foremny).

4. Wysokość piramidy jest prostopadła do dowolnej linii prostej leżącej u podstawy.

Definicja

Piramida nazywa się prostokątny jeśli jedna z jego bocznych krawędzi jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Ważne notatki

1. W przypadku ostrosłupa prostokątnego krawędź prostopadła do podstawy jest wysokością ostrosłupa. Oznacza to, że \(SR\) to wysokość.

2. Ponieważ \(SR\) prostopadle do dowolnej prostej od bazy, to \(\trójkąt SRM, \trójkąt SRP\) są trójkąty prostokątne.

3. Trójkąty \(\trójkąt SRN, \trójkąt SRK\) są również prostokątne.
Oznacza to, że każdy trójkąt utworzony przez tę krawędź i przekątną wychodzącą z wierzchołka tej krawędzi, która leży u podstawy, będzie prostokątny.

\[(\Large(\text(Objętość i powierzchnia piramidy)))\]

Twierdzenie

Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu powierzchni podstawy i wysokości piramidy: \

Konsekwencje

Niech \(a\) będzie bokiem podstawy, \(h\) będzie wysokością piramidy.

1. Objętość regularnej trójkątnej piramidy wynosi \(V_(\text(trójkąt prostokątny pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.cztery.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Objętość czworościanu foremnego wynosi \(V_(\text(prawy tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Twierdzenie

Powierzchnia bocznej powierzchni regularnej piramidy jest równa połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu.

\[(\Large(\text(Ostrosłup ścięty)))\]

Definicja

Rozważ dowolną piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujmy płaszczyznę równoległą do podstawy piramidy przez pewien punkt leżący na bocznej krawędzi piramidy. Płaszczyzna ta podzieli piramidę na dwie wielościany, z których jedna jest piramidą (\(PB_1B_2...B_n\) ), a druga nazywa się ścięta piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Ścięty ostrosłup ma dwie podstawy - wielokąty \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\) , które są do siebie podobne.

Wysokość ściętej piramidy jest prostopadłą narysowaną od pewnego punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.

Ważne notatki

1. Wszystkie ściany boczne ściętej piramidy są trapezami.

2. Odcinek łączący środki podstaw ostrosłupa regularnego ściętego (czyli ostrosłupa uzyskanego z odcinka ostrosłupa regularnego) to wysokość.

Tutaj zebrane są podstawowe informacje o piramidach i związanych z nimi formułach i koncepcjach. Wszystkie są uczone z korepetytorem z matematyki w ramach przygotowań do egzaminu.

Rozważ płaszczyznę, wielokąt leży w nim i punkt S nie leży w nim. Połącz S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są krawędziami bocznymi. Wielokąt nazywamy podstawą, a punkt S nazywamy wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n piramida nazywana jest trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. alternatywne imie piramida trójkątna - czworościan. Wysokość piramidy to prostopadła poprowadzona od jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Piramida nazywana jest poprawną, jeśli wielokąt foremny, a podstawą wysokości piramidy (podstawa pionu) jest jej środek.

Komentarz korepetytora:
Nie myl pojęcia „regularnej piramidy” i „regularnego czworościanu”. W ostrosłupie foremnym krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w czworościanie foremnym wszystkie 6 krawędzi krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika, że ​​środek wielokąta P z podstawą wysokości, więc czworościan foremny jest regularną piramidą.

Czym jest apotem?
Apotem piramidy jest wysokość jej bocznej ściany. Jeśli piramida jest regularna, wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą.

Nauczyciel matematyki o swojej terminologii: praca z piramidami składa się w 80% z dwóch rodzajów trójkątów:
1) Zawiera apotem SK i wysokość SP
2) Zawiera krawędź boczną SA i jej występ PA

Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest, aby nauczyciel matematyki wymienił pierwszy z nich apotemiczny, i drugi żebrowy. Niestety nie znajdziesz tej terminologii w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.

Formuła objętości piramidy:
1) , gdzie jest pole powierzchni podstawy piramidy, a wysokość piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli i jest całkowitą powierzchnią piramidy.
3) , gdzie MN jest odległością dowolnych dwóch przecinających się krawędzi i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez punkty środkowe czterech pozostałych krawędzi.

Właściwość podstawy wysokości piramidy:

Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie powierzchnie boczne są jednakowo nachylone w kierunku podstawy
3) Wszystkie apotemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych

Komentarz nauczyciela matematyki: zauważ, że wszystkie elementy są połączone jednym własność wspólna: tak czy inaczej, boczne twarze uczestniczą wszędzie (apotemy są ich elementami). W związku z tym prowadzący może zaproponować mniej precyzyjne, ale wygodniejsze sformułowanie do zapamiętywania: punkt P pokrywa się ze środkiem koła wpisanego, podstawą piramidy, jeśli istnieją jakiekolwiek równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy wykazać, że wszystkie apotemiczne trójkąty są równe.

Punkt P pokrywa się ze środkiem opisanego okręgu w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie boczne żebra są jednakowo nachylone w kierunku podstawy
3) Wszystkie boczne żebra są równomiernie nachylone do wysokości

Nadal rozważamy zadania zawarte w egzaminie z matematyki. Przeanalizowaliśmy już problemy, w których warunek jest podany i wymagane jest znalezienie odległości między dwoma podanymi punktami lub kąta.

Piramida to wielościan, którego podstawą jest wielokąt, pozostałe ściany są trójkątami i mają wspólny wierzchołek.

Piramida foremna to piramida, u podstawy której leży wielokąt foremny, a jej wierzchołek jest rzutowany na środek podstawy.

Piramida czworokątna foremna - podstawa jest kwadratem Wierzchołek piramidy jest rzutowany na punkt przecięcia przekątnych podstawy (kwadrat).

ML - apotem
∠MLO - kąt dwuścienny u podstawy piramidy
∠MCO - kąt między boczną krawędzią a płaszczyzną podstawy piramidy

W tym artykule rozważymy zadania do rozwiązania prawidłowej piramidy. Wymagane jest znalezienie dowolnego elementu, powierzchni bocznej, objętości, wysokości. Oczywiście musisz znać twierdzenie Pitagorasa, wzór na powierzchnię bocznej powierzchni piramidy, wzór na znalezienie objętości piramidy.

W artykule Przedstawiono wzory « », które są niezbędne do rozwiązywania problemów w stereometrii. Więc zadania to:

SABCD kropka O- centrum bazoweS wierzchołek, WIĘC = 51, AC= 136. Znajdź krawędź bocznąSC.

W tym przypadku podstawą jest kwadrat. Oznacza to, że przekątne AC i BD są równe, przecinają się i przecinają w punkcie przecięcia. Zauważ, że w regularnej piramidzie wysokość obniżona od jej szczytu przechodzi przez środek podstawy piramidy. Więc SO to wysokość i trójkątSOCprostokątny. Następnie przez twierdzenie Pitagorasa:

Jak zakorzenić się w dużej liczbie.

Odpowiedź: 85

Zdecyduj sam:

Po prawej piramida czworokątna SABCD kropka O- centrum bazowe S wierzchołek, WIĘC = 4, AC= 6. Znajdź krawędź boczną SC.

W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD kropka O- centrum bazowe S wierzchołek, SC = 5, AC= 6. Znajdź długość odcinka WIĘC.

W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD kropka O- centrum bazowe S wierzchołek, WIĘC = 4, SC= 5. Znajdź długość odcinka AC.

SABC R- środek żebra pne, S- szczyt. Wiadomo, że AB= 7 i SR= 16. Znajdź powierzchnię boczną.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa trójkątnego foremnego jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apotem (apotem jest wysokością ściany bocznej ostrosłupa foremnego narysowanego od jej wierzchołka):

Lub możesz powiedzieć tak: powierzchnia bocznej powierzchni piramidy jest równa sumie powierzchni trzech bocznych ścian. Boczne ściany w regularnej trójkątnej piramidzie są trójkątami o równej powierzchni. W tym przypadku:

Odpowiedź: 168

Zdecyduj sam:

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC R- środek żebra pne, S- szczyt. Wiadomo, że AB= 1 i SR= 2. Znajdź obszar powierzchni bocznej.

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC R- środek żebra pne, S- szczyt. Wiadomo, że AB= 1, a powierzchnia boczna wynosi 3. Znajdź długość odcinka SR.

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC L- środek żebra pne, S- szczyt. Wiadomo, że SL= 2, a powierzchnia boczna wynosi 3. Znajdź długość odcinka AB.

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC M. Obszar trójkąta ABC wynosi 25, objętość piramidy wynosi 100. Znajdź długość odcinka SM.

Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny. Więc Mjest środkiem podstawy iSM- wysokość regularnej piramidySABC. Objętość piramidy SABC równa się: sprawdź rozwiązanie

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC mediany bazowe przecinają się w punkcie M. Obszar trójkąta ABC to 3, SM= 1. Znajdź objętość piramidy.

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC mediany bazowe przecinają się w punkcie M. Objętość piramidy wynosi 1, SM= 1. Znajdź obszar trójkąta ABC.

Skończmy na tym. Jak widać, zadania rozwiązuje się w jednym lub dwóch krokach. W przyszłości rozważymy z Wami inne problemy z tej części, w której podane są ciała rewolucji, nie przegap tego!

Życzę Ci sukcesu!

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.