Praca badawcza „formuła szczytowa”. Wzór piku w szkolnym kursie planimetrii

Starkova Kristina, uczennica klasy 8B

Artykuł rozważa twierdzenie Picka i jego dowód.

Rozważane są problemy ze znalezieniem obszaru wielokątów

Pobierać:

Zapowiedź:

DZIAŁ KSZTAŁCENIA OGÓLNEGO I ZAWODOWEGO

ADMINISTRACJA CZAJKOWSKIEGO POWIATU MIEJSKIEGO

REGION PERM

VI MIEJSKA KONFERENCJA BADAWCZA
STUDENCI

Miejska Autonomiczna Ogólnokształcąca Instytucja Szkolna

„Szkoła Ogólnokształcąca nr 11”

DZIAŁ: MATEMATYKA

Zastosowanie wzoru Picka

Uczeń klasy 8 "B"

MAOU gimnazjum nr 11 Czajkowski

Lider: Batueva L, N.,

Nauczyciel matematyki MAOU gimnazjum nr 11

Czajkowski

rok 2012

I. Wstęp……………………………………………………. 2

II. Formuła szczytowa

2.1.Siatki.Węzły………………………………………………….4

2.2.Triangulacja wielokąta…………………………5

2.3. Dowód twierdzenia Picka………………………6

2.4 Badanie obszarów wielokątów…………9

2.5. Wniosek………………………………………………………..12

III Problemy geometryczne z treścią praktyczną ... 13

IV. Wniosek………………………………………………..14

V. Wykaz wykorzystanej literatury………………………..16

1. Wstęp

Pasja do matematyki często zaczyna się od myślenia o problemie. Tak więc, studiując temat „Obszary wielokątów”, pojawiło się pytanie, czy istnieją zadania różniące się od zadań rozważanych w podręcznikach geometrii. To są zadania na papierze w kratkę. Mieliśmy pytania: jaka jest specyfika takich zadań, czy są? metody specjalne oraz techniki rozwiązywania problemów na papierze w kratkę. Widząc takie zadania w kontroli i pomiarach UŻYWAJ materiałów i GIA, postanowiły zdecydowanie zbadać zadania na papierze w kratkę, związane z odnalezieniem obszaru przedstawianej postaci.

Zacząłem studiować literaturę, zasoby internetowe na ten temat. Wydawałoby się, że to, co fascynujące, można znaleźć na płaszczyźnie w kratkę, czyli na niekończącej się kartce papieru wciągniętej w identyczne kwadraty? Nie oceniaj pochopnie. Okazuje się, że zadania związane z papierem w kratkę są dość zróżnicowane. Nauczyłem się obliczać pola wielokątów narysowanych na kartce w kratkę. Dla wielu zadań na papierze w klatce nie ma ogólnej zasady rozwiązywania, konkretnych metod i technik. To jest ich właściwość, która decyduje o ich wartości dla rozwoju niespecyficznego umiejętność uczenia się czy umiejętności, ale ogólnie umiejętność myślenia, refleksji, analizowania, szukania analogii, czyli zadania te rozwijają umiejętność myślenia w ich najszerszym znaczeniu.

Zdefiniowaliśmy:

Przedmiot studiów: zadania na papierze w kratkę

Przedmiot badań: problemy obliczania powierzchni wielokąta na papierze w kratkę, metody i techniki ich rozwiązywania.

Metody badawcze: modelowanie, porównanie, uogólnienie, analogia, badanie zasobów literackich i internetowych, analiza i klasyfikacja informacji.

1. Cel badania:Wyprowadź i przetestuj wzory do obliczania obszarów kształtów geometrycznych za pomocą wzoru Peak

Aby osiągnąć ten cel, proponujemy rozwiązać następujące kwestie zadania:

1. Wybierz niezbędną literaturę
2. Wybierz materiał do badań, wybierz główne, ciekawe, zrozumiałe informacje
3. Analizuj i porządkuj otrzymane informacje
4. Znaleźć różne metody i techniki rozwiązywania problemów na papierze w kratkę
5. Stwórz elektroniczną prezentację pracy, aby zaprezentować zebrany materiał kolegom z klasy

różne zadania na papierze w pudełku, ich „rozrywka”, brak Główne zasady i metody rozwiązania powodują trudności dla uczniów w ich rozważaniu

1. Hipoteza:. Powierzchnia figury obliczona wzorem Pick jest równa powierzchni figury obliczonej wzorem planimetrycznym.

Przy rozwiązywaniu problemów na papierze w kratkę potrzebujemy wyobraźni geometrycznej i dość prostych informacji geometrycznych, które są wszystkim znane.

II. Formuła szczytowa

2.1 Kraty Węzły.

Rozważ na płaszczyźnie dwie rodziny równoległych linii dzielących płaszczyznę na równe kwadraty; zbiór wszystkich punktów przecięcia tych linii nazywa się kratą punktową lub po prostu kratą, a same punkty nazywane są węzłami kratowymi.

Węzły wewnętrzne wieloboku - czerwony.

Węzły na ścianach wielokąta - niebieski.

Aby oszacować obszar wielokąta na papierze w kratkę, wystarczy obliczyć, ile komórek obejmuje ten wielokąt (przyjmujemy obszar komórki jako jednostkę). Dokładniej, jeśli S to powierzchnia wielokąta, B to liczba komórek leżących całkowicie wewnątrz wielokąta, a G to liczba komórek, które mają co najmniej jeden punkt wspólny z wnętrzem wielokąta.

Rozważymy tylko takie wielokąty, których wszystkie wierzchołki leżą w węzłach szachownicy - w tych, w których przecinają się linie siatki.

Pole dowolnego trójkąta narysowanego na papierze w kratkę można łatwo obliczyć, przedstawiając go jako sumę lub różnicę pól trójkątów prostokątnych i prostokątów, których boki podążają za liniami siatki przechodzącymi przez wierzchołki narysowanego trójkąta.

2.2 Triangulacja wielokąta

Dowolny wielokąt z wierzchołkami w węzłach siatki może być triangulowany - podzielony na "proste" trójkąty.

Niech na płaszczyźnie będzie dany wielokąt i jakiś zbiór skończony W celu punkty leżące wewnątrz wielokąta i na jego granicy (ponadto wszystkie wierzchołki wielokąta należą do zbioru DO ).

Triangulacja z wierzchołkami W celu nazywa się partycjonowaniem dany wielokąt na trójkąty o wierzchołkach w zbiorze W celu tak, że każdy punkt w W celu służy jako wierzchołek dla każdego z tych trójkątów triangulacyjnych, do których należy ten punkt (czyli punktów od W celu nie wpadaj do środka ani na boki trójkątów, ryc. 1,37).

Ryż. 1,37

Twierdzenie 2. a) Dowolna n -gon można pociąć po przekątnej na trójkąty, a liczba trójkątów będzie równa n – 2 (ta partycja jest triangulacją z wierzchołkami w wierzchołkach n-gon).

Rozważmy niezdegenerowany prosty wielokąt całkowity (to znaczy, że jest połączony - dowolne dwa jego punkty mogą być połączone krzywą ciągłą, która jest w nim całkowicie zawarta, a wszystkie jego wierzchołki mają współrzędne całkowite, jego granica jest połączoną polilinią bez samo-skrzyżowań i ma niezerowy obszar) .

Aby obliczyć powierzchnię takiego wielokąta, możesz użyć następującego twierdzenia:

2.3. Dowód twierdzenia Picka.

Niech B będzie liczbą punktów całkowitych wewnątrz wielokąta, Г będzie liczbą punktów całkowitych na jego granicy,- jego powierzchnia. Następnie Wzór picka: S=V+G2-1

Przykład. Dla wielokąta na rysunku B=23 (żółte kropki), D=7, (niebieskie kropki, nie zapominajmy o wierzchołkach!), więcjednostki kwadratowe.

Po pierwsze, zauważ, że wzór Picka jest prawdziwy dla kwadratu jednostkowego. Rzeczywiście, w tym przypadku mamy B=0, D=4 i.

Rozważ prostokąt z bokami leżącymi na liniach kraty. Niech długości jego boków będą równe oraz . Mamy w tym przypadku B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, to według wzoru Picka,

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny z nogami leżącymi na osiach współrzędnych. Taki trójkąt otrzymujemy z prostokąta o bokach oraz , rozważanym w poprzednim przypadku, przecinając go po przekątnej. Niech leżą na przekątnejpunkty całkowite. Następnie za to przypadek B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 i otrzymujemy to4) Rozważmy teraz dowolny trójkąt. Można go uzyskać, odcinając kilka trójkątów prostokątnych i ewentualnie prostokąt z prostokąta (patrz zdjęcia). Ponieważ wzór Picka jest prawdziwy zarówno dla prostokąta, jak i trójkąta prostokątnego, otrzymujemy, że będzie również prawdziwy dla dowolnego trójkąta.

Pozostaje zrobić ostatni krok: przejść od trójkątów do wielokątów. Dowolny wielokąt można podzielić na trójkąty (na przykład przekątne). Dlatego musimy tylko udowodnić, że dodając dowolny trójkąt do dowolnego wielokąta, wzór Picka pozostaje prawdziwy. Niech wielokąt i trójkąt mają wspólną stronę. Załóżmy, że dlaWzór Picka jest poprawny, udowodnimy, że będzie prawdziwy dla wielokąta otrzymanego z dodawanie . Od i mają wspólny bok, to wszystkie punkty całkowite leżące po tej stronie, z wyjątkiem dwóch wierzchołków, stają się wewnętrznymi punktami nowego wielokąta. Wierzchołki będą punktami granicznymi. Oznaczmy liczbę punkty wspólne poprzez i uzyskaj B=MT=BM+BT+c-2 - liczba wewnętrznych punktów całkowitych nowego wielokąta, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - liczba punktów brzegowych nowego wielokąta. Z tych równości otrzymujemy: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Ponieważ założyliśmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla i dla osobno, to S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+(GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .W ten sposób udowodniono formułę Pick.

2.4 Badanie obszarów wielokątów.

2) Na papierze w kratkę przedstawiono komórki o wymiarach 1 cm x 1 cm trójkąt Znajdź jego powierzchnię w centymetrach kwadratowych.
Zdjęcie	Zgodnie z formułą geometrii	Zgodnie z formułą Picka
	S=12ah Sil.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ​​∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S= V+G2-1 G=3 ;V=0. S=0+3/2-1=0,5

3) Na papierze w kratkę przedstawiono kwadrat z komórkami o wymiarach 1 cm x 1 cm. Znajdź jego powierzchnię w centymetrach kwadratowych.
Zdjęcie	Zgodnie z formułą geometrii	Zgodnie z formułą Picka
	S=a∙b kwadrat KMNE=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ​​∙ 3=4,5 Str.AND=Str.BMC=4,5 Spr.= Plac KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4,5-4,5=24	S= V+G2-1 D=14;W=19. S=18+14/2-1=24

4) Na papierze w kratkę przedstawiono komórki o wymiarach 1 cm x 1 cm
Zdjęcie	Zgodnie z formułą geometrii	Zgodnie z formułą Picka
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 kw.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32cm²	S= V+G2-1 D=5; V=31. S=31+ 42 -1=32cm²
5) Na papierze w kratkę z komórkami o wymiarach 1 cm x 1 cm cztery kwadraty. Znajdź jego powierzchnię w centymetrach kwadratowych.
	S= a b a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S= V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36cm 2
6) Na papierze w kratkę przedstawiono komórki o wymiarach 1 cm x 1 cm cztery kwadraty. Znajdź jego powierzchnię w centymetrach kwadratowych
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S= V+G2-1 D=18;W=28. S=28+ 182 -1=36cm²
7) Na papierze w kratkę przedstawiono komórki o wymiarach 1 cm x 1 cm cztery kwadraty. Znajdź jego powierzchnię w centymetrach kwadratowych
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 kw.=9²=81cm² S=81-4,5-18-4,5-18=36cm²	S= V+G2-1 D=18;W=28. S=28+ 182 -1=36cm²

8) Na papierze w kratkę przedstawiono komórki o wymiarach 1 cm x 1 cm cztery kwadraty. Znajdź jego powierzchnię w centymetrach kwadratowych
Zdjęcie	Zgodnie z formułą geometrii	Zgodnie z formułą Picka
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S= G+V2-1 D=16;W=17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Wniosek

1. Porównując wyniki w tabelach i udowadniając twierdzenie Picka doszedłem do wniosku, że powierzchnia figury obliczona za pomocą wzoru Picka jest równa powierzchni figury obliczonej za pomocą wyprowadzonej formuły planimetrycznej

Więc moja hipoteza okazała się słuszna.

III.Zagadnienia geometryczne o treści praktycznej.

Formuła Picka pomoże nam również rozwiązywać problemy geometryczne z praktyczną treścią.

Zadanie 9 . Znajdź obszar lesisty teren(w m²), przedstawiony na planie z kwadratową siatką 1 × 1 (cm) w skali 1 cm - 200 m (ryc. 10)

Decyzja.

Ryż. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Odpowiedź: 420 000 m²

Zadanie 10 . Znajdź obszar pola (w m²) przedstawiony na planie z kwadratową siatką 1 × 1 (cm) w skali 1 cm - 200 m. (ryc. 11)

Decyzja. Znajdźmy S obszar czworoboku przedstawiony na papierze w kratkę za pomocą wzoru Peak: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Ryż. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40000 8 = 320 000 (m²)

Odpowiedź: 320 000 m²

Wniosek

W trakcie badań studiowałem literaturę referencyjną, popularnonaukową, uczyłem się pracy w programie Notebook. dowiedziałam się że

Problem znalezienia obszaru wielokąta z wierzchołkami w węzłach siatki zainspirował austriackiego matematyka Picka w 1899 roku do udowodnienia wspaniałej formuły Picka.

W wyniku mojej pracy poszerzyłem wiedzę na temat rozwiązywania problemów na papierze w kratkę, ustaliłem dla siebie klasyfikację badanych problemów i przekonałem się o ich różnorodności.

Nauczyłem się obliczać pola wielokątów narysowanych na arkuszu w kratkę.Rozważane zadania mają inny poziom trudności - od prostych do olimpijskich. Każdy może znaleźć wśród nich zadania o możliwym do wykonania poziomie złożoności, od którego będzie można przejść do rozwiązywania trudniejszych.

Doszedłem do wniosku, że temat, który mnie interesuje, jest dość różnorodny, różnorodne są zadania na papierze w kratkę, różnorodne są też metody i techniki ich rozwiązywania. Dlatego postanowiłem kontynuować pracę w tym kierunku.

Literatura

1. Geometria na papierze w kratkę. Mały MEHMAT MSU.

2. Zharkovskaya N.M., Riss E. A. Geometria papieru w kratkę. Wzór Picka // Matematyka, 2009, nr 17, s. 24-25.

3. Zadania otwarty bank zadania z matematyki FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov Wielokąty na kratach M.MTsNMO, 2006.

5. Studia tematyczne.etiudy.ru

6. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i inni Geometria Klasy 7-9 M. Oświecenie, 2010

Tekst pracy jest umieszczony bez obrazów i wzorów.
Pełna wersja praca dostępna jest w zakładce "Pliki prac" w formacie PDF

Wstęp

Jestem uczniem 6 klasy. Geometrię zacząłem studiować od zeszłego roku, ponieważ uczę się w szkole z podręcznika „Matematyka. Arytmetyka. Geometria” pod redakcją E.A. Bunimovich, L.V. Kuznetsova, S.S. Minaeva i inni.

Moją największą uwagę przykuły tematy „Kwadraty figur”, „Kompilacja formuł”. Zauważyłem, że można znaleźć obszary tych samych figur różne sposoby. W życiu codziennym często borykamy się z problemem odnalezienia terenu. Na przykład znajdź powierzchnię podłogi do pomalowania. Ciekawe jest przecież, że aby kupić wymaganą ilość tapety do remontu, trzeba znać wielkość pomieszczenia, czyli np. powierzchnia ściany. Obliczenie pola kwadratu, prostokąta i trójkąta prostokątnego nie sprawiło mi żadnych trudności.

Zaintrygowany tym tematem zacząłem szukać dodatkowych materiałów w Internecie. W wyniku poszukiwań natknąłem się na formułę Pick - jest to formuła obliczania powierzchni wielokąta narysowanego na papierze w kratkę. Obliczenie powierzchni za pomocą tego wzoru wydawało mi się przystępne dla każdego ucznia. Dlatego zdecydowałem się Praca badawcza.

Trafność tematu:

Temat ten jest uzupełnieniem i pogłębieniem nauki na kursie geometrii.

Przestudiowanie tego tematu pomoże Ci lepiej przygotować się do olimpiad i egzaminów.

Cel:

Zapoznaj się z formułą Pick.

Opanuj techniki rozwiązywania problemów geometrycznych za pomocą wzoru Pick.

Usystematyzować i uogólnić materiały teoretyczne i praktyczne.

Cele badań:

Sprawdź skuteczność i celowość stosowania formuły w rozwiązywaniu problemów.

Dowiedz się, jak zastosować formułę Pick do problemów o różnej złożoności.

Porównaj problemy rozwiązane za pomocą formuły Pick i w tradycyjny sposób.

Głównym elementem

1.1. Odniesienie do historii

Georg Alexander Pick to austriacki matematyk urodzony 10 sierpnia 1859 r. On był utalentowane dziecko, uczył go ojciec, który kierował prywatnym instytutem. W wieku 16 lat Georg ukończył szkołę średnią i wstąpił na Uniwersytet Wiedeński. W wieku 20 lat otrzymał prawo do nauczania fizyki i matematyki. Światową sławę przyniosła mu formuła wyznaczania powierzchni siatki wielokątów. Swoją formułę opublikował w artykule w 1899 roku. Stało się popularne, gdy polski naukowiec Hugo Steinhaus umieścił je w 1969 roku w publikacji obrazów matematycznych.

Georg Pieck kształcił się na Uniwersytecie Wiedeńskim, a doktorat obronił w 1880 roku. Po uzyskaniu doktoratu został asystentem Ernesta Macha na Uniwersytecie Scherl-Ferdinanda w Pradze. Tam został nauczycielem. W Pradze pozostał do przejścia na emeryturę w 1927 roku, po czym wrócił do Wiednia.

Pick przewodniczył komitetowi na Niemieckim Uniwersytecie w Pradze, który mianował profesora Einsteina fizyki matematycznej w 1911 roku.

Został wybrany członkiem Czeskiej Akademii Nauk i Sztuki, ale został wydalony po przejęciu Pragi przez hitlerowców.

Kiedy naziści wkroczyli do Austrii 12 marca 1938 r., wrócił do Pragi. W marcu 1939 naziści najechali Czechosłowację. 13 lipca 1942 r. Pick został deportowany do obozu Theresienstadt założonego przez nazistów w północnych Czechach, gdzie zmarł dwa tygodnie później w wieku 82 lat.

1.2. Badania i dowód

Swoją pracę badawczą rozpocząłem od pytania: jakie obszary figur mogę znaleźć? Mógłbym sporządzić wzór na obliczenie powierzchni różnych trójkątów i czworokątów. Ale co z pięcioma, sześcioma i ogólnie z wielokątami?

W trakcie badań na różnych stronach widziałem rozwiązania problemów związanych z obliczaniem obszaru pięciu, sześciu i innych wielokątów. Formuła na rozwiązanie tych problemów została nazwana formułą Picka. Wygląda tak :S =B+G/2-1, gdzie W- ilość węzłów leżących wewnątrz wielokąta, G- liczba węzłów leżących na granicy wielokąta. Osobliwością tej formuły jest to, że można ją zastosować tylko do wielokątów narysowanych na papierze w kratkę.

Każdy taki wielokąt można łatwo podzielić na trójkąty z wierzchołkami w węzłach sieci, które nie zawierają węzłów ani wewnątrz, ani po bokach. Można wykazać, że pola wszystkich tych trójkątów są takie same i równe ½, a zatem pole wielokąta jest równe połowie ich liczby T.

Aby znaleźć tę liczbę, oznaczamy przez n liczbę boków wielokąta, przez W- liczba węzłów w nim, poprzez G to liczba węzłów po bokach, łącznie z wierzchołkami. Całkowita suma kątów wszystkich trójkątów wynosi 180°. T.

Teraz znajdźmy sumę w inny sposób.

Suma kątów z wierzchołkiem w dowolnym węźle wewnętrznym wynosi 2,180°, czyli łączna suma kątów wynosi 360°. W; całkowita suma kątów w węzłach po bokach, ale nie w wierzchołkach wynosi ( Pan n)180°, a suma kątów na wierzchołkach wielokąta będzie równa ( G- 2)180°. Zatem, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Rozszerzając nawiasy i dzieląc przez 360° otrzymujemy wzór na obszar S wielokąta, znany jako wzór Picka.

2. Część praktyczna

Postanowiłem sprawdzić tę formułę na zadaniach z kolekcji OGE-2017. Wziąłem zadania do obliczenia pola trójkąta, czworokąta i pięciokąta. Postanowiłem porównać odpowiedzi, rozwiązując na dwa sposoby: 1) dodałem liczby do prostokąta i odjąłem obszar trójkątów prostokątnych od obszaru powstałego prostokąta; 2) zastosował formułę Peak.

S = 18-1,5-4,5 = 12 i S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 i S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 i S = 43+14/2-1 = 49

Porównując wyniki dochodzę do wniosku, że obie formuły dają tę samą odpowiedź. Znalezienie pola figury za pomocą wzoru Peak okazało się szybsze i łatwiejsze, ponieważ obliczeń było mniej. Łatwość podejmowania decyzji i oszczędność czasu na obliczeniach przyda mi się w przyszłości przy zdawaniu OGE.

To skłoniło mnie do przetestowania możliwości zastosowania formuły Pick do bardziej złożonych figur.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Wniosek

Formuła Picka jest łatwa do zrozumienia i łatwa w użyciu. Najpierw wystarczy umieć liczyć, dzielić przez 2, dodawać i odejmować. Po drugie, możesz znaleźć obszar i złożoną sylwetkę bez poświęcania dużej ilości czasu. Po trzecie, ta formuła działa dla dowolnego wielokąta.

Wadą jest to, że Formuła Pick ma zastosowanie tylko do figur rysowanych na papierze w kratkę, a wierzchołki leżą na węzłach komórek.

Jestem pewien, że przy zdawaniu egzaminów końcowych problemy z obliczaniem obszaru figur nie spowodują trudności. W końcu znam już formułę Pick.

Bibliografia

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. itd. Matematyka. Arytmetyka. Geometria. Klasa 5: podręcznik. dla kształcenia ogólnego organizacje z aplikacją. do elektronu. przewoźnik -3 wyd.-M.: Oświecenie, 2014.- 223, s. : chory. - (Kule).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. itd. Matematyka. Arytmetyka. Geometria. Klasa 6: podręcznik. dla kształcenia ogólnego organizacje wyd.-5.-M.: Edukacja, 2016.-240s. : chory- (Kule).

Wasiliew NB. Wokół formuły Pick. //Quantum.- 1974.-№2. -s.39-43

Rassołow W.W. Problemy w planimetrii. / wyd. 5, poprawione. I dodatkowo. - M.: 2006.-640s.

IV. Jaschenko OGE. Matematyka: typowe opcje egzaminacyjne: O-39 36 opcji - M .: Wydawnictwo Edukacji Narodowej, 2017. -240 s. - (OGE. FIPI-szkoła).

"Rozwiążę OGE": matematyka. System szkolenia Dmitrija Guszczina. OGE-2017: zadania, odpowiedzi, rozwiązania [ Zasób elektroniczny]. Tryb dostępu: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (dostęp 04.02.2017)

Opis bibliograficzny: Tatianenko A. A., Tatianenko S. A. Obliczanie obszarów figur przedstawionych na papierze w kratkę // Młody naukowiec. - 2016r. - nr 3.03.2019).



W ramach przygotowań do głównego Egzamin państwowy Spotkałem się z zadaniami, w których wymagane jest obliczenie powierzchni postaci przedstawionej na kraciastej kartce papieru. Z reguły zadania te nie sprawiają większych trudności, jeśli figura jest trapezem, równoległobokiem lub trójkątem. Wystarczy znać formuły obliczania powierzchni tych figur, policzyć liczbę komórek i obliczyć powierzchnię. Jeśli figura jest dowolnym wielokątem, należy tutaj zastosować specjalne sztuczki. zainteresowałem się ten temat. Oczywiście pojawiły się pytania: gdzie in Życie codzienne czy mogą być problemy z obliczaniem powierzchni na papierze w kratkę? Co jest specjalnego w takich zadaniach? Czy istnieją inne metody lub uniwersalna formuła obliczania obszarów figur geometrycznych przedstawionych na papierze w kratkę?

Badanie specjalistycznej literatury i źródeł internetowych wykazało, że istnieje uniwersalna formuła, która pozwala obliczyć powierzchnię figury przedstawionej na komórce. Ta formuła nazywa się formułą Picka. Jednak w ramach szkolnego programu nauczania ta formuła nie jest brana pod uwagę, mimo łatwości jej wykorzystania i uzyskiwania wyników. Ponadto przeprowadziłam ankietę wśród znajomych i kolegów z klasy (w dwóch formach: w rozmowie osobistej oraz w portale społecznościowe), w której wzięło udział 43 uczniów ze szkół miasta Tobolsk. Ankieta ta wykazała, że ​​tylko jedna osoba (uczeń klasy 11) zna formułę Peak do obliczania powierzchni.

Niech zostanie podany prostokątny układ współrzędnych. W tym systemie rozważ wielokąt o współrzędnych całkowitych. W literatura edukacyjna punkty o współrzędnych całkowitych nazywane są węzłami. Ponadto wielokąt nie musi być wypukły. I niech będzie wymagane określenie jego obszaru.

Możliwe są następujące przypadki.

1. Figura to trójkąt, równoległobok, trapez:

1) licząc komórki, musisz znaleźć wysokość, przekątne lub boki, które są wymagane do obliczenia powierzchni;

2) zastąp znalezione wartości formułą powierzchni.

Na przykład chcesz obliczyć obszar figury pokazanej na rysunku 1 z rozmiarem komórki 1 cm na 1 cm.

Ryż. 1. Trójkąt

Decyzja. Liczymy komórki i znajdujemy: . Zgodnie ze wzorem otrzymujemy: .

2 Figura jest wielokątem

Jeśli figura jest wielokątem, możliwe jest użycie następujących metod.

Metoda partycji:

1) podziel wielokąt na trójkąty, prostokąty;

2) obliczyć powierzchnie otrzymanych liczb;

3) znaleźć sumę wszystkich obszarów uzyskanych figur.

Na przykład wymagane jest obliczenie powierzchni figury pokazanej na ryc. 2 przy wielkości komórki 1 cm na 1 cm przy użyciu metody partycjonowania.

Ryż. 2. Wielokąt

Decyzja. Istnieje wiele sposobów na partycjonowanie. Podzielimy figurę na prawe trójkąty i prostokąt, jak pokazano na rysunku 3.

Ryż. 3. Wielokąt. Metoda partycji

Obszary trójkątów to: , , , obszar prostokąta to . Dodając obszary wszystkich figur otrzymujemy:

Dodatkowa metoda budowy

1) uzupełnij figurę do prostokąta

2) znajdź obszary uzyskanych dodatkowych figur oraz obszar samego prostokąta

3) odejmij pola wszystkich „dodatkowych” figur od pola prostokąta.

Na przykład wymagane jest obliczenie powierzchni figury pokazanej na rysunku 2 przy wielkości komórki 1 cm na 1 cm przy użyciu dodatkowej metody konstrukcyjnej.

Decyzja. Zbudujmy naszą figurę do prostokąta, jak pokazano na rysunku 4.

Ryż. 4. Wielokąt. Metoda uzupełniania

Powierzchnia dużego prostokąta to , prostokąt znajdujący się wewnątrz - , obszary "dodatkowych" trójkątów - , to obszar pożądanej figury wynosi .

Przy obliczaniu powierzchni wielokątów na papierze w kratkę można zastosować inną metodę, która od nazwiska naukowca, który ją odkrył, nazywa się formułą Picka.

Formuła szczytowa

Niech wielokąt narysowany na papierze w kratkę ma tylko całkowite wierzchołki. Punkty, dla których obie współrzędne są liczbami całkowitymi, nazywane są węzłami sieci. Ponadto wielokąt może być zarówno wypukły, jak i niewypukły.

Powierzchnia wielokąta z wierzchołkami całkowitymi to , gdzie B to liczba punktów całkowitych wewnątrz wielokąta, a Г to liczba punktów całkowitych na granicy wielokąta.

Na przykład dla wielokąta pokazanego na rysunku 5.

Ryż. 5. Węzły w formule Picka

Na przykład chcesz obliczyć obszar figury pokazanej na rysunku 2 z rozmiarem komórki 1 cm na 1 cm za pomocą formuły Pick.

Ryż. 6. Wielokąt. Formuła szczytowa

Decyzja. Zgodnie z rysunkiem 6: V=9, G=10, to zgodnie ze wzorem Peak mamy:

Poniżej znajdują się przykłady niektórych opracowanych przez autora zadań do obliczania powierzchni figur przedstawionych na papierze w kratkę.

1 w przedszkole dzieci składały w prezencie wnioski dla rodziców (ryc. 7). Znajdź obszar zastosowania. Wielkość każdej komórki to 1cm 1cm.

Ryż. 7. Stan problemu 1

2. Jeden hektar drzewostanów świerkowych może pomieścić do 32 ton pyłu rocznie, sosna - do 35 t, wiąz - do 43 t, dąb - do 50 t, buk - do 68 t. Oblicz ile ton pyłu świerkowy las wytrzyma za 5 lat. Plan lasu świerkowego przedstawiono na rycinie 8 (skala 1 cm - 200 m).

Ryż. 8. Stan problemu 2

3. W ornamentach Chanty i Mansi dominują motywy geometryczne. Często pojawiają się stylizowane wizerunki zwierząt. Rysunek 9 pokazuje fragment ornamentu Mansi „Uszy zająca”. Oblicz obszar zacienionej części ornamentu.

Ryż. 9. Stan zadania 3

4. Wymagane jest pomalowanie ściany budynku fabrycznego (rys. 10). Oblicz wymaganą ilość farby na bazie wody (w litrach). Zużycie farby: 1 litr na 7 m2. metry Skala 1cm - 5m.

Ryż. 10. Stan zadania 4

5. Wielokąt gwiaździsty - płaska figura geometryczna złożona z trójkątnych promieni wychodzących z wspólne centrumłączenie w punkcie zbieżności. specjalna uwaga zasługuje pięcioramienna gwiazda- pentagram. Pentagram jest symbolem doskonałości, inteligencji, mądrości i piękna. To najprostsza forma gwiazdy, którą można przedstawić jednym pociągnięciem pióra, nigdy nie odrywając jej od papieru i jednocześnie nie przechodząc dwa razy wzdłuż tej samej linii. Narysuj pięcioramienną gwiazdę bez podnoszenia ołówka z kartki w kratkę, tak aby wszystkie rogi powstałego wielokąta znajdowały się w węzłach komórki. Oblicz obszar wynikowej figury.

Po przeanalizowaniu literatury matematycznej i analizie duża liczba przykładach na temat badań, doszedłem do wniosku, że wybór metody obliczania pola figury na papierze w kratkę zależy od kształtu figury. Jeśli figura jest trójkątem, prostokątem, równoległobokiem lub trapezem, wygodnie jest użyć dobrze znanych wzorów do obliczania powierzchni. Jeśli figura jest wielokątem wypukłym, można zastosować zarówno metodę podziału, jak i metodę dodawania (w większości przypadków wygodniejsza jest metoda dodawania). Jeśli figura jest wielokątem niewypukłym lub gwiaździstym, wygodniej jest zastosować formułę Pick.

Ponieważ wzór Picka jest uniwersalnym wzorem do obliczania powierzchni (jeśli wierzchołki wielokąta znajdują się w punktach siatki), można go użyć do dowolnego kształtu. Jeśli jednak wielokąt zajmuje wystarczająco dużą powierzchnię (lub komórki są małe), to istnieje duże prawdopodobieństwo popełnienia błędu w obliczeniach węzłów sieci. Generalnie w trakcie badania doszedłem do wniosku, że przy rozwiązywaniu takich problemów w OGE jest lepsze skorzystaj z tradycyjnych metod (przegrody lub dodatki) i sprawdź wynik za pomocą formuły Pick.

Literatura:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Wielokąty na kratach. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 s.
2. Vasiliev I. N. Wokół formuły Picka// Popularne naukowe czasopismo fizyczne i matematyczne „Kvant”. - 1974. - nr 12. Tryb dostępu: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Zharkovskaya N., Riss E. Geometria papieru w kratkę. Formuła szczytowa. // Pierwszy września. Matematyka. - 2009r. - nr 23. - s.24,25.

Wikisłownik zawiera hasło "pika" Pika W sprawach wojskowych: Pika broń przebijająca zimno, rodzaj długiej włóczni. Pikinierzy to rodzaj piechoty w armiach europejskich XVI i początku XVIII wieku. Pickelhelm (p ... Wikipedia

Twierdzenie Picka (geometria kombinatoryczna)- V=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Twierdzenie Picka jest klasycznym wynikiem geometrii kombinatorycznej i geometrii liczb. Obszar wielokąta z liczbą całkowitą ... Wikipedia

Trójkąt- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Trójkąt (znaczenia). Trójkąt (w przestrzeni euklidesowej) to figura geometryczna utworzona przez trzy odcinki linii, które łączą trzy nieliniowe punkty. Trzy kropki, ... ... Wikipedia

Trapez- Termin ten ma inne znaczenia, patrz Trapeze (znaczenia). Trapez (z innego greckiego τραπέζιον „stół”; ... Wikipedia

Czworoboczny- czworokąty ┌─────────────┼─────────────┐ niewypukłe wypukłe samoprzecinające się ... Wikipedia

Bigon- Regularny digon na powierzchni kuli Digon w geometrii to ... Wikipedia

Pięciokąt- Pięciokąt foremny (pięciokąt) Pięciokąt to wielokąt z pięcioma narożnikami. Każdy przedmiot o tym kształcie nazywany jest również pięciokątem. Ilość wewnętrznych ... Wikipedia

Sześciokąt- Sześciokąt foremny Sześciokąt to wielokąt z sześcioma narożnikami. Każdy przedmiot o tym kształcie nazywany jest również sześciokątem. Suma kątów wewnętrznych sześciokąta wypukłego p ... Wikipedia

Dodekagon- Prawidłowy dwunastokąt dwunastokąt (grecki ... Wikipedia

Prostokąt Prostokąt równoległoboczny, w którym wszystkie kąty są kątami prostymi (równymi 90 stopniom). Notatka. W geometrii euklidesowej, aby czworokąt był prostokątem, wystarczy, że przynajmniej trzy jego narożniki są prawe. Czwarty róg (z racji ... Wikipedii

Książki

• Efekt płaskowyżu. Jak przezwyciężyć stagnację i iść dalej, Sullivan, B.
• Klub matematyczny „Kangur”. Zeszyt nr 8. Matematyka na papierze w kratkę. Numer poświęcony jest różnym zadaniom i zabawom związanym z kartką w kratkę. W szczególności szczegółowo oblicza powierzchnię wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w ...

Wielokąt bez samoprzecięć nazywany jest wielokątem kratowym, jeśli wszystkie jego wierzchołki znajdują się w punktach o współrzędnych całkowitych (w kartezjańskim układzie współrzędnych).

Twierdzenie Picka

Formuła

Niech zostanie dany wielokąt kratowy o niezerowej powierzchni.

Oznaczmy jego obszar przez ; liczba punktów o współrzędnych całkowitych leżących ściśle wewnątrz wielokąta; liczba punktów o współrzędnych całkowitych leżących po bokach wielokąta.

Wtedy relacja zwana Formuła Picka:

W szczególności, jeśli wartości I i B są znane dla jakiegoś wielokąta, to jego powierzchnię można obliczyć jako , nawet bez znajomości współrzędnych jego wierzchołków.

Związek ten został odkryty i udowodniony przez austriackiego matematyka Georga Alexandra Picka w 1899 roku.

Dowód

Dowód wykonywany jest w kilku etapach: od najprostszych figur do dowolnych wielokątów:

Uogólnienie na wyższe wymiary

Niestety ta prosta i piękna formuła Picka nie daje się dobrze uogólnić na wyższe wymiary.

Wyraźnie pokazał to Reeve, który w 1957 roku zaproponował rozważenie czworościanu (obecnie zwanego Czworościan Reeve) o następujących wierzchołkach:

gdzie jest dowolna liczba naturalna. Wtedy ten czworościan dla żadnego nie zawiera wewnątrz żadnego punktu o współrzędnych całkowitych, a na jego granicy są tylko cztery punkty , , , i żadnych innych. Zatem objętość i powierzchnia tego czworościanu mogą być różne, podczas gdy liczba punktów wewnątrz i na granicy pozostaje niezmieniona; dlatego formuła Picka nie dopuszcza uogólnień nawet do przypadku trójwymiarowego.

Niemniej jednak nadal istnieje pewne podobne uogólnienie na przestrzenie wyższego wymiaru, to jest Wielomiany Earharta(Wielomian Ehrharta), ale są one bardzo złożone i zależą nie tylko od liczby punktów wewnątrz i na brzegu figury.