Tak zwane równania postaci, w których niewiadoma znajduje się zarówno w wykładniku, jak iw podstawie stopnia.

Możesz określić całkowicie jasny algorytm rozwiązywania równania postaci. W tym celu należy zwrócić uwagę na fakt, że Oh) nie zero, jedność i minus jeden, równość stopni o tych samych podstawach (dodatnich lub ujemnych) jest możliwa tylko wtedy, gdy wskaźniki są równe Oznacza to, że wszystkie pierwiastki równania będą pierwiastkami równania f(x) = g(x) Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe, jeśli Oh)< 0 i wartości ułamkowe f(x) oraz g(x) wyrażenia Oh) f(x) oraz

Oh) g(x) tracą sens. To znaczy, kiedy wyjeżdżasz z f(x) = g(x)(dla i mogą pojawić się obce pierwiastki, które należy wykluczyć, sprawdzając zgodnie z pierwotnym równaniem. A przypadki a = 0, a = 1, a = -1 należy rozpatrywać osobno.

Tak więc, aby uzyskać pełne rozwiązanie równania, rozważymy przypadki:

a(x) = 0 f(x) oraz g(x) są liczbami dodatnimi, to jest rozwiązanie. W przeciwnym razie nie

a(x) = 1. Pierwiastki tego równania są również pierwiastkami pierwotnego równania.

a(x) = -1. Jeżeli dla wartości x, która spełnia to równanie, f(x) oraz g(x) są liczbami całkowitymi o tej samej parzystości (albo obie są parzyste, albo obie są nieparzyste), to jest to rozwiązanie. W przeciwnym razie nie

Dla i rozwiązujemy równanie f(x)=g(x) i zastępując otrzymane wyniki w pierwotnym równaniu, odcinamy obce korzenie.

Przykłady rozwiązywania równań potęgowych.

Przykład 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. ponieważ 3 > 0 i 3 2 > 0, wtedy x 1 = 3 jest rozwiązaniem.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Oba wskaźniki są parzyste. To jest rozwiązanie x 3 = 1.

4) x - 3? 0 i x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 lub x \u003d 1. Dla x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, to rozwiązanie wynosi x 4 \u003d 0. Dla x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - to rozwiązanie jest poprawne x 5 = 1.

Odpowiedź: 0, 1, 2, 3, 4.

Przykład #2.

Z definicji arytmetyki pierwiastek kwadratowy: x - 1 ? 0,x? jeden.

1) x - 1 = 0 lub x = 1, = 0, 0 0 nie jest rozwiązaniem.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 nie pasuje do ODZ.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - nie ma korzeni.

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym niewiadome (x) i wyrażenia z nimi zawarte są w wskaźniki niektóre stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z x. Jeśli nagle w równaniu pojawi się x w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

to będzie równanie typ mieszany. Takie równania nie mają jasnych zasad rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj zajmiemy się rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czysty równania wykładnicze nie zawsze są jasno określone. Ale tutaj są pewne rodzaje równania wykładnicze, które można i należy rozwiązać. Oto typy, którym będziemy się przyglądać.

Rozwiązywanie najprostszych równań wykładniczych.

Zacznijmy od czegoś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez żadnej teorii, po prostym doborze jest jasne, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadnych innych rzutów na wartość x. A teraz spójrzmy na rozwiązanie tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same dna (trójki). Całkowicie wyrzucony. I co się cieszy, trafiaj w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym po lewej i po prawej stronie są ten sam liczb w dowolnym stopniu, liczby te można usunąć i mają równe wykładniki. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. To dobrze, prawda?)

Pamiętajmy jednak jak na ironię: zasady można usunąć tylko wtedy, gdy numery zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , lub

Nie możesz usunąć dubletów!

Cóż, najważniejszą rzecz opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„Oto te czasy!” - mówisz. "Kto da taki prymityw na kontrolę i egzaminy!?"

Zmuszony do zgody. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie się udać, gdy rozwiązujesz mylące przykłady. Trzeba o tym pamiętać, gdy ten sam numer bazowy znajduje się po lewej - po prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go w pożądany nas umysł. Oczywiście zgodnie z zasadami matematyki.

Rozważ przykłady, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszego. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Podczas rozwiązywania równań wykładniczych głównymi zasadami są działania z uprawnieniami. Bez wiedzy o tych działaniach nic nie zadziała.

Do działań ze stopniami trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb podstawowych? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy, jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwszy rzut oka na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie na zniechęcenie. Czas o tym pamiętać

Dwóch i ósemki to krewni w stopniu.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie formułę z działań z uprawnieniami:

(a n) m = a nm ,

ogólnie działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład wygląda tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej (nikt nie odwołał elementarnych działań matematyki!), otrzymujemy:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i dostajemy

To jest prawidłowa odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość mocy dwojga pomogła nam. My zidentyfikowany w ósemce zaszyfrowana dwójka. Ta technika (szyfrowanie wspólnych podstaw pod różne liczby) to bardzo popularna technika w równaniach wykładniczych! Tak, nawet logarytmicznie. Trzeba umieć rozpoznać moc innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do jakiejkolwiek władzy nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na kartce papieru i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść 3 do piątej potęgi. 243 okaże się, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej konieczne jest nie podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie ... ile w jakim stopniu? kryje się za liczbą 243, lub powiedzmy 343... Żaden kalkulator ci tu nie pomoże.

Musisz znać moc niektórych liczb z widzenia, tak... Mamy ćwiczyć?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby są liczbami:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Jest więcej odpowiedzi niż pytań! Cóż, zdarza się... Na przykład 2 6 , 4 3 , 8 2 to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o zaznajomieniu się z liczbami.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych stosujemy całość zasób wiedzy matematycznej. W tym z niższych klas średnich. Nie poszedłeś od razu do liceum, prawda?

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych bardzo często pomaga wyjęcie wspólnego współczynnika z nawiasów (witaj do oceny 7!). Zobaczmy przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwsze spojrzenie - na boisku! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. I chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie jest całkiem możliwe!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Zgodnie z tymi samymi zasadami dla akcji ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Świetnie, możesz napisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Trójek nie da się wyrzucić... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętając o najbardziej uniwersalnej i potężnej regule decyzyjnej wszystko zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz!

Wyglądasz, wszystko jest uformowane).

Co znajduje się w tym równaniu wykładniczym Móc robić? Tak, lewa strona bezpośrednio prosi o nawiasy! Wspólny czynnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Przypominamy, że aby wyeliminować podstawy, potrzebujemy czystego stopnia, bez żadnych współczynników. Liczba 70 nas niepokoi. Więc dzielimy obie strony równania przez 70, otrzymujemy:

Op-pa! Wszystko poszło dobrze!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że uzyskuje się kołowanie na tych samych podstawach, ale ich likwidacja nie. Dzieje się tak w równaniach wykładniczych innego typu. Zdobądźmy ten typ.

Zmiana zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze - jak zwykle. Przejdźmy do bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2x +2 = 0

I tu powiesimy. Poprzednie sztuczki nie zadziałają, bez względu na to, jak je obrócisz. Musimy wydostać się z arsenału innego potężnego i wszechstronnego sposobu. To jest nazwane zmienna substytucja.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku 2 x) piszemy inną, prostszą (np. t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Następnie 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

W naszym równaniu zastępujemy wszystkie potęgi przez x przez t:

Cóż, świta?) Nie zapomniałeś jeszcze równań kwadratowych? Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:

Tutaj najważniejsze jest, aby nie przestawać, jak to się dzieje ... To nie jest jeszcze odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wracamy do Xs, czyli dokonanie wymiany. Pierwszy dla t 1:

To znaczy,

Znaleziono jeden korzeń. Poszukujemy drugiego z t 2:

Um... Lewo 2 x, Prawo 1... Zaczep? Tak, wcale nie! Wystarczy pamiętać (z działań ze stopniami, tak...), że jedność to każdy liczba do zera. Każdy. Cokolwiek potrzebujesz, umieścimy to. Potrzebujemy dwóch. Oznacza:

Teraz to wszystko. Ma 2 korzenie:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasami uzyskuje się niezręczną ekspresję. Rodzaj:

Od siódemki dwójka do prostego stopnia nie działa. To nie są krewni... Jak mogę tu być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat "Co to jest logarytm?" , tylko oszczędnie się uśmiechaj i twardą ręką zapisz absolutnie poprawną odpowiedź:

Nie może być takiej odpowiedzi w zadaniach „B” na egzaminie. Wymagana jest konkretna liczba. Ale w zadaniach „C” - łatwo.

Ta lekcja zawiera przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główny.

Praktyczne wskazówki:

1. Przede wszystkim patrzymy na fusy stopni. Zobaczmy, czy nie da się tego zrobić ten sam. Spróbujmy to zrobić, aktywnie używając działania z uprawnieniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na stopnie!

2. Próbujemy sprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy lewa i prawa są ten sam liczby w dowolnym stopniu. Używamy działania z uprawnieniami oraz faktoryzacja. Co można policzyć w liczbach – my liczymy.

3. Jeśli druga rada nie zadziałała, staramy się zastosować podstawienie zmiennej. Rezultatem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadrat. Lub ułamkowe, które również sprowadza się do kwadratu.

4. Aby pomyślnie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać stopnie niektórych liczb „z wzroku”.

Jak zwykle na koniec lekcji zapraszamy do rozwiązania.) Na własną rękę. Od prostych do złożonych.

Rozwiąż równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Znajdź produkt z korzeni:

2 3-x + 2 x = 9

Stało się?

No więc najtrudniejszy przykład(postanowiłem jednak w myślach...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? Oto zły przykład dla ciebie. Całkiem ciągnąc na zwiększonym poziomie trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszystkich zadań matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Przykład jest prostszy, dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Czego nie braliśmy pod uwagę w tej lekcji. A co je wziąć pod uwagę, trzeba je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. Cóż, potrzebna jest pomysłowość ... I tak, siódma klasa ci pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

jeden; 2; 3; cztery; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; cztery; 0.

Czy wszystko się udaje? Doskonały.

Tam jest problem? Nie ma problemu! W sekcji specjalnej 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane ze szczegółowymi wyjaśnieniami. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście są dodatkowe cenne informacje na temat pracy z różnego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko z tymi.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. W tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie powiedziałem tu ani słowa o ODZ? Nawiasem mówiąc, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz ...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

równania wykładnicze. Jak wiesz, USE zawiera proste równania. Rozważaliśmy już niektóre - są to logarytmiczne, trygonometryczne, racjonalne. Oto równania wykładnicze.

W niedawnym artykule pracowaliśmy z wyrażeniami wykładniczymi, będzie to przydatne. Same równania są rozwiązywane w prosty i szybki sposób. Wymagane jest tylko poznanie właściwości wykładników i... O tymDalej.

Podajemy właściwości wykładników:

Potęga zero dowolnej liczby jest równa jeden.

Konsekwencja tej właściwości:

Trochę więcej teorii.

Równanie wykładnicze to równanie zawierające zmienną w wykładniku, to znaczy równanie to ma postać:

f(x) wyrażenie zawierające zmienną

Metody rozwiązywania równań wykładniczych

1. W wyniku przekształceń równanie można sprowadzić do postaci:

Następnie stosujemy właściwość:

2. Przy otrzymywaniu równania postaci a f (x) = b posługujemy się definicją logarytmu, otrzymujemy:

3. W wyniku przekształceń można otrzymać równanie postaci:

Stosowany jest logarytm:

Wyraź i znajdź x.

W zadaniach UŻYJ opcji wystarczy zastosować pierwszą metodę.

Oznacza to, że konieczne jest przedstawienie lewej i prawej części jako stopni o tej samej podstawie, a następnie porównujemy wskaźniki i rozwiązujemy zwykłe równanie liniowe.

Rozważ równania:

Znajdź pierwiastek z równania 4 1-2x = 64.

Konieczne jest upewnienie się, że w lewej i prawej części znajdują się wyrażenia wykładnicze o tej samej podstawie. Możemy przedstawić 64 jako 4 do potęgi 3. Otrzymujemy:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Badanie:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Odpowiedź 1

Znajdź pierwiastek równania 3 x-18 = 1/9.

Wiadomo, że

Czyli 3 x-18 = 3 -2

Podstawy są równe, możemy zrównać wskaźniki:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Badanie:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Odpowiedź: 16

Znajdź pierwiastek równania:

Przedstawmy ułamek 1/64 jako jedną czwartą do potęgi trzeciej:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Badanie:

Odpowiedź: 11

Znajdź pierwiastek równania:

Reprezentujmy 1/3 jako 3 -1, a 9 jako 3 do kwadratu, otrzymujemy:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Teraz możemy zrównać wskaźniki:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Badanie:

Odpowiedź: 5

26654. Znajdź pierwiastek równania:

Rozwiązanie:

Odpowiedź: 8,75

Rzeczywiście, bez względu na to, jaką potęgę podnosimy dodatnią liczbę a, nie możemy w żaden sposób uzyskać ujemnej liczby.

Każde równanie wykładnicze po odpowiednich przekształceniach sprowadza się do rozwiązania jednego lub kilku prostych.W tej sekcji rozważymy również rozwiązanie niektórych równań, nie przegap tego!To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh.

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Wykład: „Metody rozwiązywania równań wykładniczych”.

1 . równania wykładnicze.

Równania zawierające niewiadome w wykładniku nazywane są równaniami wykładniczymi. Najprostszym z nich jest równanie ax = b, gdzie a > 0 i a ≠ 1.

1) Dla b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Dla b > 0, używając monotoniczności funkcji i twierdzenia pierwiastka, równanie ma jeden pierwiastek. Aby to znaleźć, b musi być reprezentowane jako b = añ, ax = bс ó x = c lub x = logab.

Równania wykładnicze, poprzez przekształcenia algebraiczne, prowadzą do standardowych równań, które rozwiązuje się następującymi metodami:

1) sposób redukcji do jednej bazy;

2) sposób oceny;

3) metoda graficzna;

4) sposób wprowadzania nowych zmiennych;

5) metoda faktoryzacji;

6) wykładniczy - równania potęgowe;

7) wykładniczy z parametrem.

2 . Metoda redukcji do jednej podstawy.

Metoda opiera się na następującej własności stopni: jeśli dwa stopnie są równe i ich podstawy są równe, to ich wykładniki są równe, tj. należy spróbować sprowadzić równanie do postaci

Przykłady. Rozwiązać równanie:

1 . 3x=81;

Przedstawmy prawą stronę równania w postaci 81 = 34 i zapiszmy równanie odpowiadające oryginalnemu 3 x = 34; x = 4. Odpowiedź: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> i przejdź do równania dla wykładników 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpowiedź: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Zauważ, że liczby 0.2, 0.04, √5 i 25 są potęgami 5. Użyjmy tego i przekształćmy oryginalne równanie w następujący sposób:

, skąd 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, z którego znajdujemy rozwiązanie x = -1. Odpowiedź 1.

5. 3x = 5. Z definicji logarytmu x = log35. Odpowiedź: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Zapiszmy równanie jako 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, tj. png" width="181" height="49 src="> Stąd x - 4 =0, x = 4. Odpowiedź: cztery.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Wykorzystując własności potęg, zapisujemy równanie w postaci e. x+1 = 2, x =1. Odpowiedź 1.

Bank zadań nr 1.

Rozwiązać równanie:

Test numer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez korzeni
	1) 7;1 2) bez korzeni 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez korzeni 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda oceny.

Twierdzenie pierwiastkowe: jeśli funkcja f (x) rośnie (maleje) w przedziale I, liczba a jest dowolną wartością przyjętą przez f w tym przedziale, to równanie f (x) = a ma pojedynczy pierwiastek w przedziale I.

Przy rozwiązywaniu równań metodą estymacji wykorzystuje się to twierdzenie i właściwości monotoniczności funkcji.

Przykłady. Rozwiąż równania: 1. 4x = 5 - x.

Rozwiązanie. Zapiszmy równanie jako 4x + x = 5.

1. jeśli x \u003d 1, to 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 jest prawdą, to 1 jest pierwiastkiem równania.

Funkcja f(x) = 4x rośnie od R i g(x) = x rośnie od R => h(x)= f(x)+g(x) rośnie od R jako suma funkcji rosnących, więc x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania 4x = 5 – x. Odpowiedź 1.

2.

Rozwiązanie. Przepisujemy równanie w postaci .

1. jeśli x = -1, to , 3 = 3-prawda, więc x = -1 jest pierwiastkiem równania.

2. udowodnić, że jest wyjątkowy.

3. Funkcja f(x) = - maleje od R, a g(x) = - x - maleje od R => h(x) = f(x) + g(x) - maleje od R, jako suma funkcji malejących . Więc według twierdzenia pierwiastka, x = -1 jest jedynym pierwiastkiem równania. Odpowiedź 1.

Bank zadań nr 2. Rozwiązać równanie

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Sposób wprowadzania nowych zmiennych.

Metoda została opisana w punkcie 2.1. Wprowadzenie nowej zmiennej (podstawienie) następuje zwykle po przekształceniach (uproszczeniu) członów równania. Rozważ przykłady.

Przykłady. R jedz równanie: 1. .

Przepiszmy równanie inaczej: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj. png" width="210" height = "45">

Rozwiązanie. Zapiszmy równanie inaczej:

Oznacz https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nieodpowiednie.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irracjonalne równanie. Zauważamy, że

Rozwiązaniem równania jest x = 2,5 ≤ 4, więc 2,5 jest pierwiastkiem równania. Odpowiedź: 2.5.

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie w postaci i podzielmy obie strony przez 56x+6 ≠ 0. Otrzymujemy równanie

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, czyli..png" width="118" height="56">

Pierwiastki równania kwadratowego - t1 = 1 i t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Rozwiązanie . Przepisujemy równanie w postaci

i zauważ, że jest to jednorodne równanie drugiego stopnia.

Podziel równanie przez 42x, otrzymujemy

Zastąp https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odpowiedź: 0; 0,5.

Bank zadań #3. Rozwiązać równanie

b)

G)

Test nr 3 z wyborem odpowiedzi. Poziom minimalny.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez pierwiastków 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez korzeni 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 z wyborem odpowiedzi. Poziom ogólny.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez korzeni

5. Metoda faktoryzacji.

1. Rozwiąż równanie: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , skąd

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Rozwiązanie. Wyjmijmy 6x po lewej stronie równania i 2x po prawej stronie. Otrzymujemy równanie 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Ponieważ 2x >0 dla wszystkich x, możemy podzielić obie strony tego równania przez 2x bez obawy o utratę rozwiązań. Otrzymujemy 3x = 1ó x = 0.

3.

Rozwiązanie. Równanie rozwiązujemy przez faktoring.

Wybieramy kwadrat dwumianu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 jest pierwiastkiem równania.

Równanie x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Poziom ogólny.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3,4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Wykładniczy - równania potęgowe.

Do równań wykładniczych dołączają się tzw. równania wykładniczo-potęgowe, czyli równania postaci (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jeśli wiadomo, że f(x)>0 i f(x) ≠ 1, to równanie, podobnie jak wykładnicze, rozwiązujemy przez przyrównanie wykładników g(x) = f(x).

Jeśli warunek nie wyklucza możliwości f(x)=0 i f(x)=1, to musimy wziąć pod uwagę te przypadki przy rozwiązywaniu wykładniczego równania potęgowego.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Rozwiązanie. x2 +2x-8 - ma sens dla dowolnego x, ponieważ jest wielomianem, więc równanie jest równoważne zbiorowi

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Równania wykładnicze z parametrami.

1. Dla jakich wartości parametru p ma równanie 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) tylko decyzja?

Rozwiązanie. Wprowadźmy zmianę 2x = t, t > 0, wtedy równanie (1) przyjmie postać t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Wyróżnikiem równania (2) jest D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Równanie (1) ma unikalne rozwiązanie, jeśli równanie (2) ma jeden pierwiastek dodatni. Jest to możliwe w następujących przypadkach.

1. Jeśli D = 0, czyli p = 1, to równanie (2) przyjmie postać t2 – 2t + 1 = 0, stąd t = 1, zatem równanie (1) ma unikalne rozwiązanie x = 0.

2. Jeżeli p1, to 9(p – 1)2 > 0, to równanie (2) ma dwa różne pierwiastki t1 = p, t2 = 4p – 3. Zbiór układów spełnia warunek problemu

Podstawiając t1 i t2 do systemów, mamy

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Rozwiązanie. Wynajmować wtedy równanie (3) przyjmie postać t2 – 6t – a = 0. (4)

Znajdźmy wartości parametru a, dla których przynajmniej jeden pierwiastek równania (4) spełnia warunek t > 0.

Wprowadźmy funkcję f(t) = t2 – 6t – a. Możliwe są następujące przypadki.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Przypadek 2. Równanie (4) ma unikalne rozwiązanie dodatnie, jeśli

D = 0, jeśli a = – 9, to równanie (4) przyjmie postać (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Przypadek 3. Równanie (4) ma dwa pierwiastki, ale jeden z nich nie spełnia nierówności t > 0. Jest to możliwe, jeśli

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!JĘZYK:no35_17" width="267" height="63">!}

Zatem przy a 0 równanie (4) ma jeden pierwiastek dodatni . Wtedy równanie (3) ma unikalne rozwiązanie

Dla< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Jeśli< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jeśli a = – 9, to x = – 1;

jeśli  0, to

Porównajmy metody rozwiązywania równań (1) i (3). Zauważ, że przy rozwiązywaniu równania (1) zostało zredukowane do równania kwadratowego, którego wyróżnikiem jest pełny kwadrat; w ten sposób pierwiastki równania (2) zostały natychmiast obliczone ze wzoru pierwiastków równania kwadratowego, a następnie wyciągnięto wnioski dotyczące tych pierwiastków. Równanie (3) zostało zredukowane do równania kwadratowego (4), którego dyskryminator nie jest kwadratem idealnym, dlatego przy rozwiązywaniu równania (3) wskazane jest stosowanie twierdzeń o położeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i model graficzny. Zauważ, że równanie (4) można rozwiązać za pomocą twierdzenia Vieta.

Rozwiążmy bardziej złożone równania.

Zadanie 3. Rozwiąż równanie

Rozwiązanie. ODZ: x1, x2.

Wprowadźmy zamiennik. Niech 2x = t, t > 0, to w wyniku przekształceń równanie przyjmie postać t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Znajdź wartości a, dla których przynajmniej jeden pierwiastek z równanie (*) spełnia warunek t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!JĘZYK:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpowiedź: jeśli a > - 13, a 11, a  5, to jeśli a - 13,

a = 11, a = 5, to nie ma pierwiastków.

Bibliografia.

1. Podstawy technologii edukacyjnej Guzeeva.

2. Technologia Guzeev: od recepcji do filozofii.

M. "Dyrektor" nr 4, 1996

3. Guzeev i organizacyjne formy kształcenia.

4. Guzeev i praktyka integralnej technologii edukacyjnej.

M. " Edukacja publiczna”, 2001

5. Guzeev z form lekcji - seminarium.

Matematyka w szkole nr 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Technologie edukacyjne Selevko.

M. „Edukacja ludowa”, 1998

7. Dzieci w wieku szkolnym Episheva uczą się matematyki.

M. "Oświecenie", 1990

8. Iwanow przygotować lekcje - warsztaty.

Matematyka w Szkole nr 6, 1990, s. 37-40.

9. Model Smirnowa nauczania matematyki.

Matematyka w Szkole nr 1, 1997, s. 32-36.

10. Sposoby organizacji pracy praktycznej Tarasenko.

Matematyka w Szkole nr 1, 1993, s. 27-28.

11. O jednym z rodzajów pracy indywidualnej.

Matematyka w Szkole nr 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Chazankin Umiejętności twórcze uczniowie.

Matematyka w Szkole nr 2, 1989, s. dziesięć.

13. Skanawi. Wydawca, 1997

14. i wsp. Algebra i początki analizy. Materiały dydaktyczne dla

15. Zadania Krivonogova w matematyce.

M. "Pierwszy września", 2002

16. Czerkasow. Podręcznik dla uczniów szkół średnich i

wchodzenie na uniwersytety. "AS T - szkoła prasowa", 2002

17. Zhevnyak dla kandydatów na uniwersytety.

Mińsk i RF "Przegląd", 1996

18. Pisemne D. Przygotowanie do egzaminu z matematyki. M. Rolf, 1999

19. i inne Nauka rozwiązywania równań i nierówności.

M. "Intelekt - Centrum", 2003

20. i inne Materiały edukacyjne i szkoleniowe przygotowujące do E G E.

M. "Intelekt - Centrum", 2003 i 2004

21 i inne Warianty CMM. Centrum Testowe Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej, 2002, 2003

22. Równania Goldberga. „Kwant” nr 3, 1971

23. Volovich M. Jak skutecznie uczyć matematyki.

Matematyka, 1997 nr 3.

24 Okunev na lekcję, dzieci! M. Oświecenie, 1988

25. Yakimanskaya - edukacja zorientowana w szkole.

26. Limity działają na lekcji. Wiedza M., 1975

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zawsze zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że masz już przynajmniej minimalne zrozumienie najprostszych równań - liniowych i kwadratowych: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie konieczna, aby nie „wisać” w temacie, który będzie teraz omawiany.

A więc równania wykładnicze. Podam kilka przykładów:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektóre z nich mogą Ci się wydawać bardziej skomplikowane, inne wręcz przeciwnie, są zbyt proste. Ale wszystkie one łączy jedna ważna cecha: zawierają funkcję wykładniczą $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dlatego wprowadzamy definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie, które zawiera funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie w postaci $((a)^(x))$. Oprócz określonej funkcji takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

OK, więc. Zrozumiałem definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać to całe badziewie? Odpowiedź jest jednocześnie prosta i złożona.

Zacznijmy od dobrej wiadomości: z mojego doświadczenia z wieloma studentami mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale jest też złe wieści: czasami kompilatorzy problemów do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów są odwiedzani przez „inspirację”, a ich mózg zatruty narkotykami zaczyna wytwarzać tak brutalne równania, że ​​ich rozwiązywanie staje się problematyczne nie tylko dla uczniów - nawet wielu nauczycieli utknie takie problemy.

Nie mówmy jednak o smutnych rzeczach. Wróćmy do tych trzech równań, które zostały podane na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $((2)^(x))=4$. Cóż, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 4? Może drugi? W końcu $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. rzeczywiście $x=2$. No cóż, czapeczku, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot mógł je rozwiązać :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ale tutaj jest trochę trudniej. Wielu uczniów wie, że tabliczka mnożenia to $((5)^(2))=25$. Niektórzy podejrzewają również, że $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ jest zasadniczo definicją negatywne moce(przez analogię do formuły $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Wreszcie tylko nieliczni domyślają się, że te fakty można połączyć, a wynik jest następujący:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strzałka w prawo ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz jest to już całkowicie rozwiązane! Po lewej stronie równania jest funkcja wykładnicza, po prawej stronie równania jest funkcja wykładnicza, nigdzie indziej nie ma nic poza nimi. Dlatego możliwe jest „odrzucenie” baz i głupie zrównanie wskaźników:

Otrzymaliśmy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku linijkach. OK, w czterech linijkach:

\[\begin(wyrównaj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

Jeśli nie zrozumiałeś, co działo się w ostatnich czterech wierszach, koniecznie wróć do tematu „ równania liniowe' i powtórz to. Ponieważ bez wyraźnego przyswojenia sobie tego tematu jest za wcześnie na równanie wykładnicze.

\[((9)^(x))=-3\]

Cóż, jak decydujesz? Pierwsza myśl: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, więc oryginalne równanie można przepisać w ten sposób:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Następnie przypominamy sobie, że podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki są mnożone:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(wyrównaj)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

A za taką decyzję dostajemy uczciwie zasłużoną dwójkę. Ponieważ my, ze spokojem Pokémona, wysłaliśmy znak minus przed trójką do potęgi tej właśnie trójki. I nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Spójrz na różne moce trójki:

\[\begin(macierz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(macierz)\]

Kompiluję ten tablet, jak tylko nie zboczyłem :i dodatnie stopnie przemyślane, negatywne, a nawet ułamkowe… no cóż, gdzie jest przynajmniej jeden liczba ujemna? On nie jest! A tak nie może być, ponieważ funkcja wykładnicza $y=((a)^(x))$, po pierwsze, zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie(nieważne ile pomnożysz przez jeden czy podzielisz przez dwa, nadal będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji - liczba $a$ - jest z definicji liczbą dodatnią!

Jak więc rozwiązać równanie $((9)^(x))=-3$? Nie, nie ma korzeni. W tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - może też nie być pierwiastków. Ale jeśli w równaniach kwadratowych liczbę pierwiastków określa wyróżnik (dyskryminant jest dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - bez pierwiastków), to w równaniach wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest po prawej stronie znaku równości.

W ten sposób formułujemy kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $b>0$. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo określić, czy proponowane równanie ma pierwiastki, czy nie. Tych. czy w ogóle warto to rozwiązać, czy od razu napisać, że nie ma korzeni.

Ta wiedza pomoże nam niejednokrotnie, gdy będziemy musieli zdecydować więcej wymagające zadania. W międzyczasie dość tekstów - czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy więc problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Zgodnie z algorytmem „naiwnym”, którego użyliśmy wcześniej, liczbę $b$ należy przedstawić jako potęgę liczby $a$:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ pojawi się wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\koniec(wyrównaj)\]

I co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10%? Pozostałe 10% to nieco „schizofreniczne” równania wykładnicze postaci:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Do jakiej siły potrzebujesz podbić 2, aby uzyskać 3? Na początku? Ale nie: $((2)^(1))=2$ to za mało. W sekundę? Ani: $((2)^(2))=4$ to za dużo. Co wtedy?

Doświadczeni studenci zapewne już zgadli: w takich przypadkach, gdy nie da się „pięknie” rozwiązać, ze sprawą łączy się „ciężka artyleria” – logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jednej):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy opowiadam moim studentom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ta formuła (jest to również podstawowa tożsamość logarytmiczna lub jak kto woli definicja logarytmu) będzie Cię prześladować przez bardzo długi czas i „wynurzyć się” w nieoczekiwane miejsca. Cóż, wynurzyła się. Spójrzmy na nasze równanie i ten wzór:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(wyrównaj) \]

Jeśli założymy, że $a=3$ jest naszą pierwotną liczbą po prawej stronie, a $b=2$ jest samą podstawą funkcji wykładniczej, do której chcemy zredukować prawą stronę, otrzymamy:

\[\begin(wyrównaj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $x=((\log )_(2))3$. W innym zadaniu, z taką odpowiedzią, wielu zwątpiłoby i zaczęłoby dwukrotnie sprawdzać swoje rozwiązanie: a gdyby gdzieś był błąd? Spieszę, żeby cię zadowolić: tu nie ma błędu, a logarytmy w pierwiastkach równań wykładniczych to dość typowa sytuacja. Więc przyzwyczaj się do tego :)

Teraz rozwiązujemy analogicznie pozostałe dwa równania:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można napisać inaczej:

To my wprowadziliśmy mnożnik do argumentu logarytmicznego. Ale nikt nie zabrania nam dodawania tego czynnika do bazy:

W tym przypadku wszystkie trzy opcje są poprawne - po prostu Różne formy rekordy o tym samym numerze. To, który z nich wybrać i zapisać w tej decyzji, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$, gdzie liczby $a$ i $b$ są ściśle dodatnie. Jednakże brutalna rzeczywistość nasz świat jest taki, że podobny proste zadania będzie cię spotykać bardzo, bardzo rzadko. Częściej natkniesz się na coś takiego:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Cóż, jak decydujesz? Czy można to w ogóle rozwiązać? A jeśli tak, to w jaki sposób?

Bez paniki. Wszystkie te równania szybko i łatwo sprowadzają się do proste formuły które już rozważaliśmy. Musisz tylko wiedzieć, żeby zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma tu zasad dotyczących pracy ze stopniami. Porozmawiam o tym wszystkim teraz :)

Transformacja równań wykładniczych

Pierwszą rzeczą do zapamiętania jest to, że każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak złożone może być, w taki czy inny sposób musi zostać zredukowane do najprostszych równań - tych, które już rozważyliśmy i które wiemy, jak je rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda tak:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Zrób jakieś głupie gówno. Albo nawet jakieś bzdury o nazwie „przekształć równanie”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia, takie jak $((4)^(x))=4$ lub coś innego w tym stylu. Co więcej, jedno początkowe równanie może dać kilka takich wyrażeń naraz.

Z pierwszym punktem wszystko jest jasne - nawet mój kot potrafi napisać równanie na liściu. Wydaje się, że również w przypadku trzeciego punktu jest mniej lub bardziej jasne - już rozwiązaliśmy całą masę takich równań powyżej.

Ale co z drugim punktem? Jakie są przemiany? Na co przekonwertować? I jak?

Cóż, wymyślmy to. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następujące. Wszystkie równania wykładnicze dzielą się na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formuła zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Zacznijmy od równań pierwszego typu - są najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika, jak dobór stabilnych wyrażeń.

Podświetlanie stabilnego wyrażenia

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Co widzimy? Czwórka jest podnoszona w różnym stopniu. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $x$ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\[\begin(wyrównaj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\koniec(wyrównaj)\]

Mówiąc najprościej, dodawanie wykładników można zamienić na iloczyn potęg, a odejmowanie łatwo zamienić na dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do potęg z naszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\koniec(wyrównaj)\]

Przepisujemy oryginalne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbieramy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenaście; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $((4)^(x))$ — wyjmijmy go z nawiasu:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pozostaje podzielić obie części równania przez ułamek $-\frac(11)(4)$, czyli zasadniczo pomnóż przez ułamek odwrotny - $-\frac(4)(11)$. Otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszego i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w trakcie rozwiązywania odkryliśmy (a nawet wyjęliśmy z nawiasu) dzielnik wspólny $((4)^(x))$ - jest to wyrażenie stabilne. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu dokładnie ją wyrazić i uzyskać odpowiedź. W każdym razie, kluczowa zasada rozwiązania są następujące:

Znajdź w pierwotnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobrą wiadomością jest to, że prawie każde równanie wykładnicze dopuszcza tak stabilne wyrażenie.

Ale są też złe wieści: takie wyrażenia mogą być bardzo trudne i może być dość trudno je odróżnić. Spójrzmy więc na inny problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Być może ktoś będzie teraz miał pytanie: „Pasza, czy jesteś ukamienowany? Oto różne podstawy - 5 i 0,2. Spróbujmy jednak przeliczyć potęgę o podstawie 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, przenosząc go do zwykłego:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak widać, cyfra 5 nadal się pojawiała, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany jako ujemny. A teraz pamiętamy jeden z podstawowe zasady praca ze stopniami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tutaj oczywiście trochę oszukałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia wzór na pozbycie się negatywnych wskaźników musiał być napisany w następujący sposób:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ prawo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Z drugiej strony nic nie przeszkodziło nam w pracy tylko z jednym ułamkiem:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ right))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść stopień na inny stopień (przypominam: w tym przypadku wskaźniki się sumują). Ale nie musiałem „odwracać” ułamków - może komuś będzie łatwiej :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Okazuje się więc, że pierwotne równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wyróżniać stabilnego wyrażenia - wszystko zostało zredukowane samo. Pozostaje tylko pamiętać, że $1=((5)^(0))$, skąd otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x=-2$. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną sztuczkę, która znacznie uprościła nam wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych należy się pozbyć ułamki dziesiętne, przekonwertuj je na normalne. Pozwoli to zobaczyć te same podstawy stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy teraz do bardziej złożonych równań, w których istnieją różne podstawy, które na ogół nie są redukowane do siebie za pomocą potęg.

Korzystanie z właściwości wykładnika

Przypomnę, że mamy jeszcze dwa szczególnie surowe równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Główną trudnością jest tutaj to, że nie jest jasne, na jakiej podstawie i na jakiej podstawie kierować. Gdzie są stałe wyrażenia? Gdzie są wspólne podstawy? Nic z tego.

Ale spróbujmy pójść w drugą stronę. Jeśli nie jesteś gotowy te same bazy, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając na czynniki dostępne bazy.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Ale w końcu możesz zrobić odwrotnie - uzupełnij liczbę 21 z liczb 7 i 3. Szczególnie łatwo jest to zrobić po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Wyjąłeś wykładnik z produktu i natychmiast uzyskałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku linijkach.

Zajmijmy się teraz drugim równaniem. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli coś da się zmniejszyć, koniecznie to zmniejsz. Często skutkuje to interesującymi podstawami, z którymi możesz już pracować.

Niestety nic nie wymyśliliśmy. Widzimy jednak, że wykładniki po lewej stronie produktu są przeciwne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus w wykładniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Więc przepiszmy oryginalne równanie:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\koniec(wyrównaj)\]

W drugim wierszu po prostu ujęliśmy sumę iloczynu w nawias zgodnie z regułą $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, aw drugim po prostu pomnożyli liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej (u podstawy) i po prawej są nieco podobne. Jak? Tak, oczywiście: są to siły tej samej liczby! Mamy:

\[\begin(wyrównaj)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \prawo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Jednocześnie po prawej stronie możesz również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy „odwrócić” ułamek:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Ostatecznie nasze równanie przyjmie postać:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie. Jego główna idea sprowadza się do tego, że nawet przy różnych podłożach staramy się za pomocą haka lub haka sprowadzić te podłoża do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy z potęgami.

Ale jakie zasady i kiedy stosować? Jak rozumieć, że w jednym równaniu trzeba coś podzielić obie strony, a w innym - rozłożyć podstawę funkcji wykładniczej na czynniki?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie z doświadczeniem. Spróbuj najpierw prostych równań, a następnie stopniowo komplikuj zadania - a już wkrótce twoje umiejętności wystarczą, aby rozwiązać dowolne równanie wykładnicze z tego samego ZASTOSOWANIA lub dowolną niezależną / testową pracę.

Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, sugeruję pobranie zestawu równań na mojej stronie internetowej w celu samodzielnego rozwiązania. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz to sprawdzić.