Równania irracjonalne. Wyczerpujący przewodnik. Transformacje wyrażeń irracjonalnych
Wyrażenia irracjonalne i ich przekształcenia
Ostatnim razem przypomnieliśmy sobie (lub dowiedzieliśmy się - jak to się komuś podoba) co to jest , nauczyła się wydobywać takie korzenie, rozebrała kawałek po kawałku główne właściwości korzeni i postanowiła tego nie robić złożone przykłady z korzeniami.
Ta lekcja będzie kontynuacją poprzedniej i będzie poświęcona transformacji szerokiej gamy wyrażeń zawierających wszelkiego rodzaju korzenie. Takie wyrażenia nazywają się irracjonalny. Tutaj pojawią się wyrażenia z literami i dodatkowymi warunkami, pozbycie się irracjonalności w ułamkach i kilka zaawansowanych sztuczek w pracy z pierwiastkami. Techniki, które zostaną omówione w tej lekcji, staną się dobrą podstawą do rozwiązywania problemów UŻYTKOWANIA (i nie tylko) o niemal każdym poziomie złożoności. Więc zacznijmy.
Przede wszystkim powiem tutaj podstawowe formuły i właściwości korzeni. Aby nie przeskakiwać z tematu na temat. Tutaj są:
w
Te formuły muszą być znane i być w stanie zastosować. I w obu kierunkach - zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. To na nich opiera się rozwiązanie większości zadań z korzeniami o dowolnym stopniu złożoności. Zacznijmy od najprostszego - od bezpośredniego zastosowania formuł lub ich kombinacji.
Łatwa aplikacja formuł
W tej części rozważone zostaną proste i nieszkodliwe przykłady - bez liter, dodatkowych warunków i innych sztuczek. Jednak nawet w nich z reguły istnieją opcje. A im bardziej wymyślny przykład, tym więcej takich opcji. A niedoświadczony uczeń ma główny problem- Gdzie zacząć? Odpowiedź tutaj jest prosta - nie wiesz co robić, rób co możesz. Gdyby tylko twoje działania przebiegały w zgodzie i harmonii z zasadami matematyki i nie były z nimi sprzeczne.) Na przykład takie zadanie:
Oblicz:
Nawet w tak prostym przykładzie możliwych jest kilka ścieżek do odpowiedzi.
Pierwszym z nich jest po prostu pomnożenie pierwiastków przez pierwszą właściwość i wyodrębnienie korzenia z wyniku:
Druga opcja to: nie dotykaj, pracuj z . Wyciągamy czynnik spod znaku korzenia, a następnie - zgodnie z pierwszą właściwością. Lubię to:
Możesz zdecydować, co chcesz. W każdej z opcji odpowiedź brzmi jeden – osiem. Na przykład łatwiej jest mi pomnożyć 4 i 128 i uzyskać 512, a pierwiastek sześcienny jest idealnie wydobyty z tej liczby. Jeśli ktoś nie pamięta, że 512 to 8 w kostkach, to nie ma to znaczenia: możesz napisać 512 jako 2 9 (pierwsze 10 potęg dwójki, mam nadzieję, że pamiętasz?) I korzystając ze wzoru na pierwiastek stopnia:
Inny przykład.
Oblicz: .
Jeśli pracujesz nad pierwszą właściwością (napędzasz wszystko pod jednym korzeniem), to otrzymujesz potężną liczbę, z której następnie wydobywany jest korzeń - również nie cukier. I nie jest faktem, że zostanie wydobyty równomiernie.) Dlatego przydaje się tutaj wyciągnięcie czynników spod pierwiastka w liczbie. I podnieś to do maksimum:
A teraz wszystko jest w porządku:
Pozostaje spisać ósemkę i dwa pod jednym pierwiastkiem (według pierwszej własności) i - sprawa gotowa. :)
Teraz dodajmy kilka ułamków.
Oblicz:
Przykład jest dość prymitywny, ale ma też opcje. Możesz użyć mnożnika, aby przekonwertować licznik i zmniejszyć z mianownikiem:
I możesz od razu użyć wzoru na dzielenie korzeni:
Jak widać, tak i owo - wszystko jest w porządku.) Jeśli nie potkniesz się w połowie i nie popełnisz błędu. Ale gdzie tu jest błąd...
Rozważmy teraz najnowszy przykład zadanie domowe Ostatnia lekcja:
Uproszczać:
Kompletnie nie do pomyślenia zestaw korzeni, a nawet zagnieżdżonych. Jak być? Najważniejsze, żeby się nie bać! Tutaj najpierw zauważamy pod korzeniami liczb 2, 4 i 32 - potęgi dwójki. Pierwszą rzeczą do zrobienia jest sprowadzenie wszystkich liczb do dwójek: w końcu im więcej identycznych liczb w przykładzie i im mniej różnych, tym łatwiej. Zacznijmy osobno od pierwszego czynnika:
Liczbę można uprościć, zmniejszając dwa pod pierwiastkiem o cztery w wykładniku pierwiastka:
Teraz, zgodnie z korzeniem pracy:
.
W liczbie wyjmujemy dwójkę na znak korzenia:
I mamy do czynienia z wyrażeniem według formuły korzenia z korzenia:
Tak więc pierwszy czynnik zostanie napisany tak:
Zagnieżdżone korzenie zniknęły, liczby stały się mniejsze, co już cieszy. Tylko że korzenie są inne, ale na razie tak to zostawimy. Będzie to konieczne - przeliczymy się na to samo. Bierzemy drugi czynnik.)
Drugi czynnik przekształcamy w ten sam sposób, zgodnie z formułą korzeń z produktu i korzeń z korzenia. W razie potrzeby zmniejszamy wskaźniki zgodnie z piątą formułą:
Wklejamy wszystko do oryginalnego przykładu i otrzymujemy:
Otrzymaliśmy produkt z całej masy zupełnie innych korzeni. Byłoby miło sprowadzić je wszystkie do jednego wskaźnika, a potem zobaczymy. Cóż, to całkiem możliwe. Największy z indeksów pierwiastkowych to 12, a wszystkie pozostałe - 2, 3, 4, 6 - są dzielnikami liczby 12. Dlatego wszystkie pierwiastki zgodnie z piątą właściwością sprowadzimy do jednego wskaźnika - do 12:
Liczymy i otrzymujemy:
Nie dostaliśmy ładnego numeru, ale w porządku. Poproszono nas uproszczać wyrażenie, nie liczyć. Uproszczony? Na pewno! A rodzaj odpowiedzi (liczba całkowita lub nie) nie odgrywa tu żadnej roli.
Niektóre wzory dodawania/odejmowania i skrócone wzory mnożenia
Niestety, ogólne formuły dla dodawanie i odejmowanie korzeni nie w matematyce. Jednak w zadaniach bardzo często te akcje mają korzenie. Tutaj trzeba zrozumieć, że wszelkie pierwiastki są dokładnie tymi samymi ikonami matematycznymi, co litery w algebrze.) I te same techniki i zasady dotyczą pierwiastków, co do liter - otwieranie nawiasów, przynoszenie podobnych, skrócone wzory mnożenia itp. P.
Na przykład dla wszystkich jest jasne, że . Podobny to samo Korzenie można łatwo dodawać/odejmować między sobą:
Jeśli pierwiastki są różne, to szukamy sposobu, aby były takie same - przez dodanie/usunięcie czynnika lub przez piątą właściwość. Jeśli dobrze, to w żaden sposób się nie upraszcza, to być może transformacje są trudniejsze.
Spójrzmy na pierwszy przykład.
Znajdź wartość wyrażenia: .
Wszystkie trzy korzenie, choć sześcienne, są różne liczby. Nie są one wyłącznie wyodrębniane i są od siebie dodawane/odejmowane. Dlatego zastosowanie ogólnych formuł nie działa tutaj. Jak być? I usuńmy czynniki w każdym korzeniu. W każdym razie nie będzie gorzej.) Co więcej, w rzeczywistości nie ma innych opcji:
To jest, .
To całe rozwiązanie. Tutaj przenieśliśmy się od różnych korzeni do tych samych z pomocą wyjęcie mnożnika spod korzenia. A potem po prostu przynieśli podobne.) Decydujemy dalej.
Znajdź wartość wyrażenia:
Z pierwiastkiem siedemnaście zdecydowanie nic nie możesz na to poradzić. Pracujemy według pierwszej własności - z iloczynu dwóch korzeni robimy jeden korzeń:
Przyjrzyjmy się teraz bliżej. Co mamy pod dużym korzeniem sześcianu? Różnica to kva.. Oczywiście! Różnica kwadratów:
Teraz pozostaje tylko wyodrębnić korzeń: .
Oblicz:
Tutaj musisz wykazać się matematyczną pomysłowością.) Myślimy w przybliżeniu w następujący sposób: „A więc w tym przykładzie produkt korzeni. Pod jednym pierwiastkiem jest różnica, a pod drugim suma. Bardzo podobny do różnicy w formule kwadratów. Ale… Korzenie są inne! Pierwsza jest kwadratowa, a druga czwartego stopnia… Fajnie byłoby zrobić je tak samo. Przez piątą właściwość można łatwo od pierwiastek kwadratowy zrobić czwarty korzeń. Aby to zrobić, wystarczy podnieść do kwadratu wyrażenie pierwiastka.
Jeśli myślałeś o tym samym, jesteś w połowie drogi do sukcesu. Całkiem dobrze! Zamieńmy pierwszy czynnik w czwarty pierwiastek. Lubię to:
Teraz nic nie można zrobić, ale musisz zapamiętać wzór na kwadrat różnicy. Tylko po nałożeniu na korzenie. Więc co? Dlaczego pierwiastki są gorsze od innych liczb lub wyrażeń?! Budujemy:
„Hmm, cóż, oni to zbudowali, więc co z tego? Chrzan z rzodkwi nie jest słodszy. Zatrzymać! A jeśli usuniesz cztery pod korzeniem? Wtedy pojawi się to samo wyrażenie, co pod drugim pierwiastkiem, tylko z minusem i to jest dokładnie to, co staramy się osiągnąć!
Dobrze! Zdobądźmy cztery:
.
A teraz - kwestia technologii:
W ten sposób ujawniają się złożone przykłady.) Teraz czas na ćwiczenie z ułamkami.
Oblicz:
Oczywiste jest, że konieczne jest przekształcenie licznika. Jak? Oczywiście zgodnie z formułą kwadratu sumy. Czy mamy inne opcje? :) Kwadratowanie, odejmowanie mnożników, zmniejszanie wskaźników (w razie potrzeby):
Jak! Otrzymaliśmy dokładnie mianownik naszego ułamka.) Tak więc cały ułamek jest oczywiście równy jeden:
Inny przykład. Dopiero teraz do innego wzoru na skrócone mnożenie.)
Oblicz:
Oczywiste jest, że w biznesie trzeba zastosować kwadrat różnicy. Wypisujemy mianownik osobno i - chodźmy!
Wyciągamy mnożniki spod korzeni:
Stąd,
Teraz wszystko, co złe, jest znakomicie zredukowane i okazuje się:
Cóż, przejdźmy do następnego poziomu. :)
Listy i dodatkowe warunki
Wyrażenia literowe z korzeniami są trudniejsze niż wyrażenia numeryczne i jest niewyczerpanym źródłem irytujących i bardzo rażących błędów. Zablokujmy to źródło.) Pojawiają się błędy, ponieważ w takich zadaniach często pojawiają się liczby i wyrażenia ujemne. Są albo nam dane bezpośrednio w zadaniu, albo ukryte w litery i dodatkowe warunki. A w procesie pracy z korzeniami musimy stale pamiętać, że w korzeniach nawet stopień zarówno pod samym korzeniem, jak i w wyniku wydobycia korzenia powinna być wyrażenie nieujemne. Kluczową formułą w zadaniach tego paragrafu będzie formuła czwarta:
Z korzeniami nieparzystego stopnia nie ma pytań - wszystko jest tam zawsze wyciągane z plusem, z minusem. A minus, jeśli w ogóle, jest przesunięty do przodu. Od razu zajmiemy się korzeniami parzysty stopnie.) Na przykład takie krótkie zadanie.
Uproszczać: , jeśli .
Wydawałoby się, że wszystko jest proste. Okaże się po prostu x.) Ale dlaczego w takim razie? dodatkowy warunek ? W takich przypadkach przydatne jest szacowanie liczbowe. Wyłącznie dla siebie.) Jeśli, wtedy x jest liczbą ujemną. Na przykład minus trzy. Albo minus czterdzieści. Niech będzie. Czy możesz podnieść minus trzy do czwartej potęgi? Na pewno! Okazuje się, że 81. Czy można wydobyć pierwiastek czwartego stopnia z 81? Dlaczego nie? Mogą! Zdobądź trzy. Przeanalizujmy teraz cały nasz łańcuch:
Co widzimy? Wejście było ujemne, a wyjście było dodatnie. Było minus trzy, teraz jest plus trzy.) Wróćmy do liter. Bez wątpienia modulo będzie to dokładnie X, ale tylko sam X jest z minusem (według warunku!), a wynik ekstrakcji (ze względu na pierwiastek arytmetyczny!) powinien być z plusem. Jak zdobyć plusa? Bardzo prosta! Do tego wystarczy wcześniej Liczba ujemna postaw minus.) I prawidłowe rozwiązanie na to wygląda:
Nawiasem mówiąc, gdybyśmy użyli formuły, to pamiętając definicję modułu, od razu otrzymalibyśmy poprawną odpowiedź. O ile
|x| = -x w x<0.
Wyjmij czynnik ze znaku korzenia: , gdzie .
Pierwsze spojrzenie dotyczy wyrażenia root. Tutaj wszystko jest w porządku. W każdym razie będzie nieujemny. Zaczynamy wydobywać. Zgodnie z formułą korzenia produktu, wydobywamy korzeń z każdego czynnika:
Skąd wzięły się moduły, myślę, że nie trzeba już wyjaśniać.) A teraz analizujemy każdy z modułów.
Mnożnik | a | więc zostawiamy to bez zmian: nie mamy żadnego warunku na piśmiea. Nie wiemy, czy jest to pozytywne czy negatywne. Następny moduł |b 2 | można bezpiecznie pominąć: w każdym razie wyrażenieb 2 nieujemna. A co z |c 3 | - to już jest problem.) Jeśli, wtedy i c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть z minusem: | c 3 | = - c 3 . Więc poprawnym rozwiązaniem byłoby:
A teraz - zadanie odwrotne. Nie najłatwiejsze, od razu Cię ostrzegam!
Wpisz czynnik pod znakiem korzenia: .
Jeśli od razu napiszesz rozwiązanie w ten sposób
wtedy ty wpadł w pułapkę. To jest zła decyzja! O co chodzi?
Przyjrzyjmy się wyrażeniu pod korzeniem. Pod korzeniem czwartego stopnia, jak wiemy, powinno być nieujemny wyrażenie. W przeciwnym razie korzeń nie ma znaczenia).
A błąd polega na tym, że sprowadzamy pod korzeń niepozytywny numer: czwarta potęga zamienia to w nieujemny i uzyskuje się błędny wynik - celowy minus po lewej stronie, a już plus po prawej. I sprowadź pod korzeń! parzysty stopień mamy tylko prawo nieujemny liczby lub wyrażenia. I zostaw minus, jeśli istnieje, przed korzeniem.) Jak możemy wybrać nieujemny czynnik w liczbie, wiedząc, że sama w sobie jest negatywna? Tak, dokładnie to samo! Umieść minus.) Aby nic się nie zmieniło, zrekompensuj to kolejnym minusem. Lubię to:
I teraz nieujemny liczba (-b) jest spokojnie wprowadzana pod korzeniem zgodnie ze wszystkimi zasadami:
Ten przykład wyraźnie pokazuje, że w przeciwieństwie do innych działów matematyki, poprawna odpowiedź w pierwiastkach nie zawsze wynika automatycznie ze wzorów. Musisz pomyśleć i osobiście podjąć właściwą decyzję.) Powinieneś szczególnie uważać na znaki w irracjonalne równania i nierówności.
Zajmujemy się następującą ważną techniką pracy z korzeniami - pozbycie się irracjonalności.
Pozbywanie się irracjonalności w ułamkach
Jeśli w wyrażeniu są korzenie, to przypomnę, że takie wyrażenie nazywa się ekspresja z irracjonalnością. W niektórych przypadkach warto pozbyć się tej irracjonalności (tj. korzeni). Jak możesz wyeliminować korzeń? Nasz korzeń znika, gdy... wznosi się do potęgi. Z wykładnikiem równym wykładnikowi pierwiastka lub jego wielokrotnością. Ale jeśli podniesiemy korzeń do potęgi (tj. pomnożymy sam korzeń wymaganą liczbę razy), to wyrażenie zmieni się z tego. Niedobrze.) Jednak w matematyce są tematy, w których mnożenie jest dość bezbolesne. Na przykład w ułamkach. Zgodnie z podstawową właściwością ułamka, jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, wartość ułamka nie zmieni się.
Załóżmy, że otrzymaliśmy następujący ułamek:
Czy można pozbyć się korzenia w mianowniku? Mogą! Aby to zrobić, korzeń musi być pokrojony w kostkę. Czego brakuje nam w mianowniku dla pełnej kostki? Brakuje mnożnika, czyli. Zatem mnożymy licznik i mianownik ułamka przez
Korzeń w mianowniku zniknął. Ale… pojawił się w liczniku. Nie ma nic do zrobienia, taki los.) To już nie jest dla nas ważne: poproszono nas o uwolnienie mianownika od korzeni. Wydany? Niewątpliwie.)
Nawiasem mówiąc, ci, którzy już spierają się z trygonometrią, mogli zwrócić uwagę na to, że na przykład w niektórych podręcznikach i tabelach oznaczają one inaczej: gdzieś, ale gdzieś. Pytanie brzmi, co jest słuszne? Odpowiedź: wszystko się zgadza!) Jeśli tak się domyślaszjest po prostu wynikiem wyzwolenia się z irracjonalności w mianowniku ułamka. :)
Dlaczego mielibyśmy uwalniać się od irracjonalności w ułamkach? Jaka to różnica, czy pierwiastek znajduje się w liczniku, czy w mianowniku? Kalkulator i tak wszystko obliczy.) Cóż, dla tych, którzy nie rozstają się z kalkulatorem, tak naprawdę nie ma praktycznie żadnej różnicy ... Ale nawet licząc na kalkulator, możesz zwrócić uwagę na to, że udział na cały numer jest zawsze wygodniejszy i szybszy niż irracjonalny. A o podziale przemilczę w kolumnie.)
Poniższy przykład tylko potwierdzi moje słowa.
Jak tutaj wyeliminować pierwiastek kwadratowy w mianowniku? Jeśli licznik i mianownik pomnoży się przez wyrażenie, to mianownik będzie kwadratem sumy. Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby da nam same liczby bez pierwiastków, co jest bardzo przyjemne. Jednak... wyskoczy podwójny produkt pierwsza liczba do drugiej, gdzie pierwiastek z trzech nadal pozostanie. Nie przekazuje. Jak być? Zapamiętaj kolejną wspaniałą formułę skróconego mnożenia! Gdzie nie ma podwójnych produktów, a tylko kwadraty:
Takie wyrażenie, które po pomnożeniu przez pewną sumę (lub różnicę) prowadzi do: różnica kwadratów, nazywane również wyrażenie sprzężone. W naszym przykładzie różnicę będzie stanowić wyrażenie sprzężone. Więc mnożymy licznik i mianownik przez tę różnicę:
Co tu można powiedzieć? W wyniku naszych manipulacji zniknął nie tylko korzeń mianownika - zniknął w ogóle ułamek! :) Nawet z kalkulatorem odjęcie pierwiastka z trzech od trzech jest łatwiejsze niż liczenie ułamka z pierwiastkiem w mianowniku. Inny przykład.
Pozbądź się irracjonalności w mianowniku ułamka:
Jak się stąd wydostać? Skrócone wzory mnożenia z kwadratami nie działają od razu - całkowite wyeliminowanie pierwiastków nie będzie możliwe ze względu na to, że tym razem nasz pierwiastek nie jest kwadratem, ale sześcienny. Konieczne jest, aby korzeń został w jakiś sposób podniesiony w kostkę. Dlatego konieczne jest zastosowanie niektórych formuł za pomocą kostek. Co? Pomyślmy. Mianownik to suma. Jak uzyskujemy korzeń sześcienny? Pomnożyć przez niepełna różnica kwadratów! Więc zastosujemy formułę sumy kostek. Ten:
Jak a mamy trzy i jak b jest pierwiastkiem sześciennym z pięciu:
I znowu ułamek zniknął.) Takie sytuacje, gdy uwolniony od irracjonalności w mianowniku ułamka, sam ułamek całkowicie znika wraz z pierwiastkami, są bardzo powszechne. Jak ci się podoba ten przykład!
Oblicz:
Po prostu spróbuj dodać te trzy ułamki! Bez błędów! :) Jeden wspólny mianownik jest coś wart. A co, jeśli spróbujemy pozbyć się irracjonalności w mianowniku każdego ułamka? Cóż, spróbujmy:
Wow, jakie to ciekawe! Wszystkie frakcje zniknęły! Całkowicie. A teraz przykład jest rozwiązany w dwóch przypadkach:
Prosty i elegancki. I bez długich i żmudnych obliczeń. :)
Dlatego operacja wyzwolenia z irracjonalności w ułamkach musi być możliwa do wykonania. W takich wymyślnych przykładach tylko ona ratuje, tak.) Oczywiście nikt nie odwołał uwagi. Są zadania, w których prosi się ich o pozbycie się irracjonalności w licznik ułamka. Zadania te nie różnią się od tych rozważanych, tylko licznik jest oczyszczony z pierwiastków.)
Bardziej złożone przykłady
Pozostaje rozważyć kilka specjalnych technik pracy z korzeniami i poćwiczyć odkrywanie nie najprostszych przykładów. A wtedy otrzymane informacje wystarczą już do rozwiązywania zadań z korzeniami o dowolnym poziomie złożoności. Więc - śmiało.) Najpierw zastanówmy się, co zrobić z zagnieżdżonymi korzeniami, gdy formuła korzenia z korzenia nie działa. Na przykład oto przykład.
Oblicz:
Korzeń pod korzeniem... Dodatkowo pod korzeniami jest suma lub różnica. Dlatego wzór na pierwiastek z pierwiastka (z mnożeniem wskaźników) jest tutaj To nie działa. Więc trzeba coś zrobić radykalne wyrażenia O: Po prostu nie mamy innych opcji. W takich przykładach najczęściej pod dużym rootem jest zaszyfrowany pełny kwadrat jakaś kwota. Albo różnice. A pierwiastek kwadratu jest już doskonale wydobyty! A teraz naszym zadaniem jest go rozszyfrować.) Takie odszyfrowanie jest pięknie wykonane układ równań. Teraz możesz sam się przekonać.)
Tak więc pod pierwszym korzeniem mamy to wyrażenie:
A jeśli nie zgadłeś? Sprawdźmy! Podnoszenie do kwadratu za pomocą wzoru sumy kwadratów:
Zgadza się.) Ale… Skąd wziąłem to wyrażenie? Z nieba?
Nie.) Szczerze to trochę obniżymy. Za pomocą tego wyrażenia pokazuję dokładnie, w jaki sposób kompilatory zadań szyfrują takie kwadraty. :) Co to jest 54? To jest suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby. I uważaj, już bez korzeni! Ale korzeń pozostaje podwójny produkt, co w naszym przypadku jest równe . Dlatego odkrywanie takich przykładów zaczyna się od poszukiwania podwójnego produktu. Jeśli rozwiążesz zwykły wybór. A tak przy okazji, o znakach. Tutaj wszystko jest proste. Jeśli przed podwojonym plusem, to kwadrat sumy. Jeśli minus, to różnica.) Mamy plus - co oznacza kwadrat sumy.) A teraz - obiecana analityczna metoda dekodowania. przez system.)
Tak więc pod naszym korzeniem wyrażenie wyraźnie się zawiesza (a+b) 2, a naszym zadaniem jest znalezienie a oraz b. W naszym przypadku suma kwadratów daje 54. Piszemy więc:
Teraz podwajamy produkt. mamy to. Piszemy więc:
Otrzymaliśmy następujący system:
Rozwiązujemy zwykłą metodą substytucji. Wyrażamy na przykład z drugiego równania i podstawiamy do pierwszego:
Rozwiążmy pierwsze równanie:
Dostał dwukwadratowy równanie dlaa . Rozważamy wyróżnik:
Znaczy,
Otrzymaliśmy aż cztery możliwe wartościa. Nie boimy się. Teraz usuniemy wszystko, co zbędne.) Jeśli teraz obliczymy odpowiednie wartości dla każdej z czterech znalezionych wartości, otrzymamy cztery rozwiązania do naszego systemu. Tutaj są:
A potem pojawia się pytanie – które z rozwiązań nam odpowiada? Pomyślmy. Negatywne rozwiązania można natychmiast odrzucić: podczas kwadratury minusy „wypalą się”, a cała radykalna ekspresja nie zmieni się jako całość.) Dwie pierwsze opcje pozostają. Możesz je wybrać całkowicie dowolnie: suma i tak nie zmienia się od przestawienia terminów.) Niech na przykład , i .
W sumie pod pierwiastek otrzymaliśmy kwadrat o następującej wartości:
Wszystko jasne.)
Nie bez powodu tak szczegółowo opisuję przebieg rozwiązania. Aby było jasne, w jaki sposób odbywa się odszyfrowanie.) Ale jest jeden problem. Analityczna metoda dekodowania, choć niezawodna, jest bardzo długa i kłopotliwa: trzeba rozwiązać równanie dwukwadratowe, uzyskać cztery rozwiązania układu, a potem zastanowić się, które wybrać… Kłopotliwe? Zgadzam się, to trudne. Ta metoda działa bezbłędnie w większości tych przykładów. Jednak często dobrze jest ograniczyć pracę i twórczo znaleźć obie liczby. Wybór.) Tak, tak! Teraz na przykładzie drugiego wyrazu (drugi pierwiastek) pokażę łatwiejszy i szybszy sposób zaznaczenia pełnego kwadratu pod pierwiastkiem.
Więc teraz mamy ten korzeń: 
.
Myślimy tak: „Pod pierwiastkiem najprawdopodobniej znajduje się zaszyfrowany pełny kwadrat. Czasy przed podwojonym minusem oznaczają kwadrat różnicy. Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby daje nam liczbę 54. Ale czym są te kwadraty? 1 i 53? 49 i 5 ? Za dużo opcji... Nie, lepiej zacząć od podwójnego produktu. Naszmożna zapisać jako . Raz praca podwójnie, wtedy natychmiast odrzucamy dwójkę. Następnie kandydaci do roli aib pozostają 7 i . I nagle jest 14 i/2 ? Nie wykluczone. Ale zawsze zaczynamy od prostego! Więc niech , . Sprawdźmy je pod kątem sumy kwadratów:
Stało się! Zatem nasze wyrażenie pierwiastkowe jest w rzeczywistości kwadratem różnicy:
Oto taki sposób lekki, żeby nie zadzierać z systemem. Nie zawsze to działa, ale w wielu takich przykładach wystarczy. Tak więc pod korzeniami są pełne kwadraty. Pozostaje tylko poprawnie wyodrębnić korzenie i policzyć przykład:
A teraz przeanalizujmy jeszcze bardziej niestandardowe zadanie w korzeniach.)
Udowodnij, że liczba Ajest liczbą całkowitą, jeśli .
Nic nie jest wydobywane bezpośrednio, korzenie są zagnieżdżone, a nawet w różnym stopniu… Koszmar! Jednak zadanie ma sens.) Dlatego jest klucz do jego rozwiązania.) I oto klucz. Rozważ naszą równość
jak równanie dla A. Tak tak! Miło byłoby pozbyć się korzeni. Nasze pierwiastki są sześcienne, więc podnieśmy obie strony równania do sześcianu. Zgodnie ze wzorem kostka sumy:
Sześciany i pierwiastki sześcienne kompensują się nawzajem, a pod każdym dużym pierwiastkiem bierzemy jeden nawias z kwadratu i iloczyn różnicy i sumy zamieniamy na różnicę kwadratów:
Oddzielnie obliczamy różnicę kwadratów pod pierwiastkami:
Przy przeliczaniu pierwiastków arytmetycznych wykorzystuje się ich właściwości (patrz punkt 35).
Rozważmy kilka przykładów zastosowania właściwości pierwiastków arytmetycznych do najprostszych przekształceń rodników. W takim przypadku wszystkie zmienne będą traktowane jako przyjmujące tylko wartości nieujemne.
Przykład 1. Wyodrębnij korzeń z decyzji produktu. Stosując właściwość 1°, otrzymujemy:
Przykład 2. Wyjmij czynnik spod znaku pierwiastka
Decyzja.
Taka transformacja nazywa się faktoringiem spod znaku pierwiastka. Celem transformacji jest uproszczenie radykalnego wyrażenia.
Przykład 3: Uprość
Decyzja. Zgodnie z własnością 3°, zwykle staramy się uprościć wyrażenie radykalne, dla którego usuwają czynniki poza znakiem korzenia. Mamy
Przykład 4: Uprość
Decyzja. Przekształcamy wyrażenie, wprowadzając czynnik pod znakiem pierwiastka: Według własności 4° mamy
Przykład 5: Uprość
Decyzja. Przez własność 5° mamy prawo podzielić wykładnik pierwiastka i wykładnik wyrażenia radykalnego przez tę samą liczbę naturalną. Jeżeli w rozważanym przykładzie podzielimy wskazane wskaźniki przez 3, to otrzymamy
Przykład 6. Uprość wyrażenia: a)
Rozwiązanie, a) Z właściwości 1° otrzymujemy, że aby pomnożyć pierwiastki tego samego stopnia, wystarczy pomnożyć wyrażenia pierwiastka i wyciągnąć pierwiastek tego samego stopnia z otrzymanego wyniku. Znaczy,
b) Przede wszystkim musimy zredukować rodniki do jednego wskaźnika. Zgodnie z własnością 5°, możemy pomnożyć wykładnik pierwiastka i wykładnik wyrażenia pierwiastka przez tę samą liczbę naturalną. Dlatego dalej mamy A teraz w wyniku uzyskanym przez podzielenie wskaźników korzenia i stopnia radykalnej ekspresji przez 3, otrzymujemy
Trener numer 1
Temat: Konwersja potęgi i wyrażeń irracjonalnych
Program zajęć fakultatywnych z matematyki dla uczniów klas 10
ProgramPodanie. Zastosowanie podstawowych wzorów trygonometrycznych do transformacja wyrażenia. Podmiot 4. Funkcje trygonometryczne i ich wykresy. Podsumować... . 16.01-20.01 18 transformacja moc oraz irracjonalny wyrażenia. 23.01-27.01 19 ...
Planowanie kalendarzowo-tematyczne algebry materiałów edukacyjnych i początek analizy, klasa 11
Planowanie kalendarzowo-tematyczneI racjonalny wskaźnik. transformacja moc oraz irracjonalny wyrażenia. 2 2 2 wrzesień Własności logarytmów. transformacja logarytmiczny wyrażenia. 1 1 1 ... w pełni rozwiązane tych studenci, którzy dążą do wysokich...
Temat lekcji Rodzaj lekcji (4)
Lekcja... przekształcenia numeryczne i alfabetyczne wyrażenia zawierający stopień ... stopnie Wiesz: koncepcja stopień z irracjonalnym wykładnikiem; podstawowe właściwości stopnie. Umieć: znaleźć znaczenie stopień z irracjonalny... 3 przez temat « Stopień Liczba dodatnia...
Temat Kulturowe i historyczne podstawy rozwoju wiedzy psychologicznej w pracy Temat Praca jako rzeczywistość społeczno-psychologiczna
DokumentItd.) Przedmiot praca jest ściśle związana ze społeczno-ekonomiczną przekształcenia. Na przykład ... restrukturyzacja świadomości, instynkty, irracjonalny trendy, tj. konflikty wewnętrzne...stwierdzenie obecności i stopień wyrazistość osoba ma pewne...
Konwersja wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe (1)
LekcjaRedakcja S.A. Teliakowski. Podmiot lekcja: transformacja wyrażenia zawierający kwadrat...) przekształcenia korzenie z produktu, frakcje i stopień, mnożenie ... (kształtowanie umiejętności identycznego przekształcenia irracjonalny wyrażenia). nr 421. (przy tablicy...
Właściwości korzeni leżą u podstaw dwóch kolejnych przekształceń, nazywanych sprowadzeniem pod znak korzenia i wyjęciem spod znaku korzenia, do którego teraz się zwracamy.
Wprowadzanie czynnika pod znakiem korzenia
Wpisanie współczynnika pod znakiem oznacza zastąpienie wyrażenia , gdzie B i C to pewne liczby lub wyrażenia, a n jest liczbą naturalną większą od jedności, przez identycznie równe wyrażenie postaci lub .
Na przykład wyrażenie irracjonalne po dodaniu współczynnika 2 pod znakiem pierwiastka przyjmuje postać .
Teoretyczne podstawy tej transformacji, zasady jej realizacji, a także rozwiązania wszelkiego rodzaju typowych przykładów podane są w artykule wprowadzającym czynnik pod znakiem pierwiastka.
Wyjęcie mnożnika spod znaku korzenia
Przekształcenie, w pewnym sensie odwrotność wprowadzenia czynnika pod znak pierwiastka, to usunięcie czynnika spod znaku pierwiastka. Polega na przedstawieniu pierwiastka jako iloczynu nieparzystego n lub jako iloczynu parzystego n, gdzie B i C to pewne liczby lub wyrażenia.
Na przykład wróćmy do poprzedniego akapitu: po wyjęciu czynnika spod znaku pierwiastka wyrażenie irracjonalne przyjmuje postać . Inny przykład: usunięcie czynnika spod znaku korzenia w wyrażeniu daje produkt, który można przepisać jako .
Na czym opiera się ta transformacja i według jakich zasad jest przeprowadzana, przeanalizujemy w osobnym artykule usunięcie czynnika spod znaku korzenia. W tym samym miejscu podajemy rozwiązania przykładów i wymieniamy sposoby na sprowadzenie radykalnego wyrażenia do formy wygodnej do usunięcia mnożnika.
Konwersja frakcji zawierających pierwiastki
Wyrażenia niewymierne mogą zawierać ułamki, w liczniku i mianowniku są pierwiastki. Dzięki takim ułamkom możesz przeprowadzić dowolne z głównych identyczne przekształcenia ułamków.
Po pierwsze, nic nie stoi na przeszkodzie, aby pracować z wyrażeniami w liczniku i mianowniku. Weźmy jako przykład ułamek. Wyrażenie irracjonalne w liczniku jest oczywiście identycznie równe , a odnosząc się do właściwości pierwiastków, wyrażenie w mianowniku można zastąpić pierwiastkiem. W rezultacie pierwotny ułamek jest konwertowany do postaci .
Po drugie, możesz zmienić znak przed ułamkiem, zmieniając znak licznika lub mianownika. Na przykład istnieją takie przekształcenia wyrażenia irracjonalnego: 
.
Po trzecie, czasami możliwe i celowe jest zmniejszenie frakcji. Na przykład, jak odmówić sobie przyjemności zmniejszenia ułamka? 
do irracjonalnego wyrażenia , w wyniku czego otrzymujemy 
.
Oczywiste jest, że w wielu przypadkach przed wykonaniem redukcji ułamka należy rozłożyć na czynniki wyrażenia w jego liczniku i mianowniku, co w prostych przypadkach można osiągnąć za pomocą skróconych wzorów mnożenia. Czasami zastąpienie zmiennej pomaga zmniejszyć ułamek, umożliwiając przejście z oryginalnego ułamka z irracjonalnością do ułamka wymiernego, który jest wygodniejszy i znajomy w pracy.
Weźmy na przykład wyrażenie. Wprowadźmy nowe zmienne iw tych zmiennych oryginalne wyrażenie ma postać . Wykonywanie w liczniku
Artykuł ujawnia znaczenie irracjonalnych wyrażeń i przekształceń za ich pomocą. Rozważ samą koncepcję wyrażeń irracjonalnych, transformacji i charakterystycznych wyrażeń.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Czym są wyrażenia irracjonalne?
Kiedy zapoznajemy się z korzeniem w szkole, studiujemy pojęcie wyrażeń irracjonalnych. Takie wyrażenia są ściśle związane z korzeniami.
Definicja 1
Wyrażenia irracjonalne są wyrażeniami, które mają korzeń. Oznacza to, że są to wyrażenia, które mają radykały.
Na podstawie tej definicji mamy, że x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 są wyrażeniami typu niewymiernego.
Rozważając wyrażenie x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, stwierdzamy, że wyrażenie jest wymierne. Wyrażenia wymierne obejmują wielomiany i ułamki algebraiczne. Te irracjonalne obejmują pracę z wyrażeniami logarytmicznymi lub wyrażeniami radykalnymi.
Główne typy przekształceń wyrażeń irracjonalnych
Przy obliczaniu takich wyrażeń należy zwrócić uwagę na ODZ. Często wymagają dodatkowych przekształceń w postaci rozszerzających się nawiasów, rzutowania podobnych członków, grupowania i tak dalej. Podstawą takich przekształceń są operacje na liczbach. Przekształcenia wyrażeń irracjonalnych mają ścisły porządek.
Przykład 1
Przekształć wyrażenie 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .
Decyzja
Konieczne jest zastąpienie liczby 9 wyrażeniem zawierającym pierwiastek. Wtedy to rozumiemy
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
Otrzymane wyrażenie ma podobne terminy, więc przeprowadźmy redukcję i grupowanie. Otrzymać
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Odpowiedź: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Przykład 2
Przedstaw wyrażenie x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 jako iloczyn dwóch nieracjonalnych, używając skróconych wzorów mnożenia.
Rozwiązania
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Reprezentujemy 9 w postaci 3 2 i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Wynik identycznych przekształceń prowadził do produktu dwóch wyrażeń wymiernych, które trzeba było znaleźć.
Odpowiedź:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Możesz wykonać wiele innych przekształceń, które mają zastosowanie do wyrażeń niewymiernych.
Radykalna transformacja ekspresji
Ważne jest, aby wyrażenie pod znakiem korzenia można było zastąpić identycznie mu równym. To stwierdzenie umożliwia pracę z radykalnym wyrazem. Na przykład 1 + 6 można zastąpić 7 lub 2 · a 5 4 - 6 przez 2 · a 4 · a 4 - 6 . Są identycznie równe, więc podstawienie ma sens.
Gdy nie ma 1 różnej od a, gdzie nierówność postaci a n \u003d a 1 n jest prawdziwa, wówczas taka równość jest możliwa tylko wtedy, gdy a \u003d a 1. Wartości takich wyrażeń są równe dowolnym wartościom zmiennych.
Korzystanie z właściwości root
Właściwości root służą do uproszczenia wyrażeń. Stosując właściwość a · b = a · b , gdzie a ≥ 0 , b ≥ 0 , to z nieracjonalnej postaci 1 + 3 · 12 można stać się identycznie równym 1 + 3 · 12 . Nieruchomość. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2 , . . . , · n k , gdzie a ≥ 0 oznacza, że x 2 + 4 4 3 można zapisać w postaci x 2 + 4 24 .
Podczas konwertowania wyrażeń radykalnych istnieją pewne niuanse. Jeśli istnieje wyrażenie, to - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 nie możemy zapisać, ponieważ formuła a b n \u003d a n b n służy tylko dla nieujemnych a i dodatnich b. Jeśli właściwość zostanie zastosowana poprawnie, uzyskamy wyrażenie w postaci 7 4 81 4.
Do poprawnego przekształcenia używa się przekształceń wyrażeń nieracjonalnych przy użyciu właściwości pierwiastków.
Wprowadzanie czynnika pod znakiem korzenia
Definicja 3Wpisz pod znakiem korzenia– oznacza zastąpienie wyrażenia B · C n , a B i C to pewne liczby lub wyrażenia, gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1 , wyrażeniem równym, które ma postać B n · C n lub - B n · Cn.
Jeśli uprościmy wyrażenie postaci 2 x 3, to po dodaniu go pod pierwiastek otrzymamy 2 3 x 3. Takie przekształcenia są możliwe dopiero po szczegółowym przestudiowaniu zasad wprowadzania czynnika pod znakiem pierwiastka.
Wyjęcie mnożnika spod znaku korzenia
Jeśli istnieje wyrażenie w postaci B n · C n , to sprowadza się ono do postaci B · C n , gdzie są nieparzyste n , które przyjmują postać B · C n z parzystym n , B i C są pewnymi liczbami i wyrażenia.
To znaczy, jeśli weźmiemy irracjonalne wyrażenie postaci 2 3 · x 3 , wyjmij czynnik spod pierwiastka, to otrzymamy wyrażenie 2 · x 3 . Lub x + 1 2 · 7 da w wyniku wyrażenie takie jak x + 1 · 7 , które ma inną notację w postaci x + 1 · 7 .
Wyjęcie mnożnika spod korzenia jest niezbędne do uproszczenia wyrażenia i jego szybkiej transformacji.
Konwersja frakcji zawierających pierwiastki
Wyrażenie irracjonalne może być liczbą naturalną lub ułamkiem. Aby przekonwertować wyrażenia ułamkowe, wiele uwagi poświęca się ich mianownikowi. Jeśli weźmiemy ułamek postaci (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, to licznik przyjmie postać 5 x 4 i korzystając z właściwości pierwiastków otrzymamy, że mianownik będzie x 2 + 5 6. Oryginalny ułamek można zapisać jako 5 x 4 x 2 + 5 6 .
Zwróć uwagę, że należy zmienić tylko znak licznika lub tylko mianownik. Rozumiemy to
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
Przy upraszczaniu najczęściej stosuje się redukcję frakcji. Rozumiemy to
3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 zmniejszamy o x + 4 3 - 1 . Otrzymujemy wyrażenie 3 · x x + 4 3 - 1 2 .
Przed redukcją konieczne jest wykonanie przekształceń upraszczających wyrażenie i umożliwiających faktoryzację wyrażenia złożonego. Najczęściej używane wzory to skrócone mnożenie.
Jeśli weźmiemy ułamek postaci 2 · x - y x + y, konieczne jest wprowadzenie nowych zmiennych u \u003d x i v \u003d x, wówczas dane wyrażenie zmieni formę i stanie się 2 · u 2 - v 2 u + w. Licznik należy rozłożyć na wielomiany zgodnie ze wzorem, wtedy otrzymujemy
2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v . Po wykonaniu podstawienia odwrotnego dojdziemy do postaci 2 · x - y , która jest równa pierwotnej postaci.
Dozwolona jest redukcja do nowego mianownika, wówczas konieczne jest pomnożenie licznika przez dodatkowy współczynnik. Jeśli weźmiemy ułamek postaci x 3 - 1 0, 5 · x, to sprowadzimy do mianownika x. w tym celu musisz pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie 2 x, wtedy otrzymujemy wyrażenie x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
Zmniejszenie frakcji lub doprowadzenie podobnych jest konieczne tylko na ODZ wskazanej frakcji. Mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie irracjonalne, otrzymujemy, że pozbywamy się irracjonalności w mianowniku.
Pozbycie się irracjonalności w mianowniku
Kiedy wyrażenie pozbywa się pierwiastka w mianowniku poprzez transformację, nazywa się to pozbyciem się irracjonalności. Rozważmy przykład ułamka postaci x 3 3 . Po pozbyciu się irracjonalności otrzymujemy nowy ułamek postaci 9 3 · x 3 .
Przejście od korzeni do stopni
Przejścia od korzeni do władzy są niezbędne do szybkiej transformacji irracjonalnych wyrażeń. Jeśli weźmiemy pod uwagę równość a m n = a m n , jasne jest, że jej użycie jest możliwe, gdy a jest liczbą dodatnią, m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Jeśli weźmiemy pod uwagę wyrażenie 5 - 2 3 , to w przeciwnym razie mamy prawo zapisać je jako 5 - 2 3 . Te wyrażenia są równoważne.
Gdy istnieje liczba ujemna lub liczba ze zmiennymi pod pierwiastkiem, to formuła a m n = a m n nie zawsze ma zastosowanie. Jeśli musisz zastąpić takie pierwiastki (- 8) 3 5 i (- 16) 2 4 potęgami, to otrzymujemy, że - 8 3 5 i - 16 2 4 zgodnie ze wzorem a m n = a m n nie działa z ujemną a. aby szczegółowo przeanalizować temat wyrażeń radykalnych i ich uproszczeń, konieczne jest przestudiowanie artykułu o przejściu od korzeni do władzy i odwrotnie. Należy pamiętać, że formuła a m n = a m n nie ma zastosowania do wszystkich wyrażeń tego rodzaju. Pozbycie się irracjonalności przyczynia się do dalszego uproszczenia wyrazu, jego przekształcenia i rozwiązania.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter