Słuchając nauczyciela matematyki, większość uczniów postrzega materiał jako aksjomat. Jednocześnie niewiele osób próbuje dotrzeć do sedna i dowiedzieć się, dlaczego „minus” do „plus” daje znak „minus”, a po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych wychodzi dodatnia.

Prawa Matematyki

Większość dorosłych nie jest w stanie wyjaśnić sobie ani swoim dzieciom, dlaczego tak się dzieje. W szkole dokładnie nauczyli się tego materiału, ale nawet nie próbowali dowiedzieć się, skąd się wzięły takie zasady. Ale na próżno. Często współczesne dzieci nie są tak łatwowierne, muszą dotrzeć do sedna sprawy i zrozumieć, powiedzmy, dlaczego „plus” na „minus” daje „minus”. A czasami chłopczycy celowo zadają podchwytliwe pytania, aby cieszyć się chwilą, w której dorośli nie mogą udzielić zrozumiałej odpowiedzi. I to naprawdę katastrofa, jeśli młody nauczyciel wpadnie w kłopoty ...

Przy okazji należy zauważyć, że wspomniana powyżej zasada dotyczy zarówno mnożenia, jak i dzielenia. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej da tylko minus. Jeśli mówimy o dwóch cyfrach ze znakiem „-”, wynik będzie liczbą dodatnią. To samo dotyczy podziału. Jeśli jedna z liczb jest ujemna, to iloraz będzie również oznaczony znakiem „-”.

Aby wyjaśnić poprawność tego prawa matematyki, konieczne jest sformułowanie aksjomatów pierścienia. Ale najpierw musisz zrozumieć, co to jest. W matematyce zwyczajowo nazywa się pierścień zestawem, w którym zaangażowane są dwie operacje z dwoma elementami. Ale lepiej to zrozumieć na przykładzie.

Aksjomat pierścienia

Istnieje kilka praw matematycznych.

• Pierwsza z nich jest przemieszczalna, według niego, C + V = V + C.
• Drugi nazywa się asocjacyjnym (V + C) + D = V + (C + D).

Mnożenie (V x C) x D \u003d V x (C x D) również ich przestrzega.

Nikt nie odwołał zasad otwierania nawiasów (V + C) x D = V x D + C x D, prawdą jest również, że C x (V + D) = C x V + C x D.

Ponadto ustalono, że do pierścienia można wprowadzić specjalny, neutralny addycyjnie element, za pomocą którego prawdziwe będzie: C + 0 = C. Dodatkowo dla każdego C istnieje przeciwstawny element, który może być oznaczone jako (-C). W takim przypadku C + (-C) \u003d 0.

Wyprowadzenie aksjomatów dla liczb ujemnych

Akceptując powyższe stwierdzenia, możemy odpowiedzieć na pytanie: „Plus” na „minus” daje jaki znak? Znając aksjomat o mnożeniu liczb ujemnych, trzeba potwierdzić, że rzeczywiście (-C) x V = -(C x V). A także, że prawdziwa jest następująca równość: (-(-C)) = C.

Aby to zrobić, musimy najpierw udowodnić, że każdy z elementów ma tylko jednego przeciwnego „brata”. Rozważmy następujący przykład dowodu. Spróbujmy sobie wyobrazić, że dwie liczby są przeciwne dla C - V i D. Z tego wynika, że ​​C + V = 0 i C + D = 0, czyli C + V = 0 = C + D. Pamiętając o prawach przesunięcia a jeśli chodzi o własności liczby 0, możemy rozważyć sumę wszystkich trzech liczb: C, V i D. Spróbujmy obliczyć wartość V. Logiczne jest, że V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ponieważ wartość C + D, jak przyjęto powyżej, jest równa 0. Stąd V = V + C + D.

Wartość D wyprowadza się w ten sam sposób: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na tej podstawie staje się jasne, że V = D.

Aby jednak zrozumieć, dlaczego „plus” na „minusie” daje „minus”, musisz zrozumieć, co następuje. Tak więc dla elementu (-C) przeciwieństwem są C i (-(-C)), czyli są sobie równe.

Wtedy jest oczywiste, że 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Wynika z tego, że C x V jest przeciwne do (-) C x V , co oznacza (- C) x V = -(C x V).

Dla pełnego rygoru matematycznego konieczne jest również potwierdzenie, że 0 x V = 0 dla dowolnego elementu. Jeśli postępujesz zgodnie z logiką, to 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Oznacza to, że dodanie produktu 0 x V w żaden sposób nie zmienia ustawionej kwoty. W końcu ten produkt jest równy zero.

Znając wszystkie te aksjomaty, można nie tylko wydedukować, ile daje „plus” przez „minus”, ale także co się dzieje, gdy mnoży się liczby ujemne.

Mnożenie i dzielenie dwóch liczb ze znakiem „-”

Jeśli nie zagłębisz się w matematyczne niuanse, możesz spróbować wyjaśnić zasady działania liczbami ujemnymi w prostszy sposób.

Załóżmy, że C - (-V) = D, na tej podstawie C = D + (-V), czyli C = D - V. Przenosimy V i otrzymujemy, że C + V = D. To znaczy C + V = C - (-V). Ten przykład wyjaśnia, dlaczego w wyrażeniu, w którym są dwa „minus” z rzędu, wspomniane znaki należy zmienić na „plus”. Zajmijmy się teraz mnożeniem.

(-C) x (-V) \u003d D, do wyrażenia można dodać i odjąć dwa identyczne produkty, co nie zmieni jego wartości: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Pamiętając o zasadach pracy z nawiasami, otrzymujemy:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Wynika z tego, że C x V \u003d (-C) x (-V).

Podobnie możemy udowodnić, że wynik dzielenia dwóch liczb ujemnych będzie dodatni.

Ogólne zasady matematyczne

Oczywiście takie wyjaśnienie nie jest odpowiednie dla uczniów szkół podstawowych, którzy dopiero zaczynają uczyć się abstrakcyjnych liczb ujemnych. Lepiej dla nich jest wyjaśniać na widocznych przedmiotach, manipulując znanym terminem przez lustro. Na przykład znajdują się tam wymyślone, ale nie istniejące zabawki. Mogą być wyświetlane ze znakiem „-”. Mnożenie dwóch zwierciadeł przenosi je do innego świata, utożsamianego z teraźniejszością, czyli w efekcie mamy liczby dodatnie. Ale pomnożenie abstrakcyjnej liczby ujemnej przez dodatnią daje tylko wynik znany wszystkim. W końcu „plus” pomnożony przez „minus” daje „minus”. To prawda, że ​​dzieci nie próbują zbyt mocno zagłębiać się we wszystkie matematyczne niuanse.

Chociaż, jeśli spojrzeć prawdzie w oczy, dla wielu osób, nawet z wyższym wykształceniem, wiele zasad pozostaje tajemnicą. Każdy przyjmuje za pewnik to, czego uczą ich nauczyciele, nie tracąc możliwości zagłębienia się we wszystkie zawiłości, którymi jest najeżona matematyka. „Minus” na „minus” daje „plus” - wszyscy o tym wiedzą bez wyjątku. Dotyczy to zarówno liczb całkowitych, jak i ułamkowych.

Linia UMK G.K. Muravina, O.V. Murawina. Matematyka (5-6)

Matematyka

Dlaczego minus razy minus zawsze daje plus?

Korzyści z liczb naturalnych

Najpierw zagłębmy się w historię arytmetyki. To całkiem naturalne, że na samym początku używano tylko liczb naturalnych – jeden, dwa, trzy i tak dalej. Wykorzystano je do obliczenia rzeczywistej liczby przedmiotów. Tak po prostu, w oderwaniu od wszystkiego, liczby były bezużyteczne, więc zaczęły pojawiać się akcje, za pomocą których stało się możliwe operowanie liczbami. Jest całkowicie logiczne, że dodatek stał się najbardziej potrzebny dla osoby. Ta operacja jest prosta i naturalna - łatwiej było liczyć liczbę przedmiotów, teraz nie trzeba było liczyć za każdym razem - „jeden, dwa, trzy”. Zastąpienie wyniku jest teraz możliwe za pomocą akcji „jeden plus dwa równa się trzy”. Dodano liczby naturalne, odpowiedzią była również liczba naturalna.

Mnożenie było zasadniczo tym samym dodawaniem. W praktyce nawet teraz, np. robiąc zakupy, również stosujemy dodawanie i mnożenie, tak jak robili to nasi przodkowie dawno temu. Czasami jednak konieczne było wykonanie operacji odejmowania i dzielenia. A liczby nie zawsze były równoważne - czasami liczba, od której odjęli, była mniejsza niż liczba, która została odjęta. To samo z podziałem. W ten sposób pojawiły się liczby ułamkowe.

Pojawienie się liczb ujemnych

Zapisy liczb ujemnych pojawiły się w dokumentach indyjskich w VII wieku naszej ery. W chińskich dokumentach istnieją starsze zapisy tego matematycznego „faktu”.

W życiu najczęściej odejmujemy mniejszą liczbę od większej. Na przykład: mam 100 rubli, chleb i mleko kosztują 65 rubli; 100 - 65 = zmiana 35 rubli. Jeśli chcę kupić jakiś inny produkt, którego koszt przekracza moje pozostałe 35 rubli, na przykład jeszcze jedno mleko, to bez względu na to, ile chcę go kupić, nie mam więcej pieniędzy, więc nie mam Potrzebujesz liczb ujemnych.

Jednak kontynuując rozmowę o współczesnym życiu, wspomnijmy o kartach kredytowych lub zdolności operatora komórkowego do „wchodzenia w minus” podczas wykonywania połączeń. Staje się możliwe wydawanie więcej pieniędzy niż masz, ale pieniądze, które jesteś winien, nie znikają, ale są odpisywane w długi. I tu na ratunek przychodzą już liczby ujemne: na karcie jest 100 rubli, chleb i dwa mleko kosztują mnie 110 rubli; po zakupie moje saldo na karcie wynosi -10 rubli.

Praktycznie w tych samych celach po raz pierwszy zaczęli używać liczb ujemnych. Chińczycy jako pierwsi wykorzystali je do odpisywania długów lub pośrednich rozwiązań równań. Ale wykorzystanie było nadal tylko dodatnie (jednak jak spłata naszej karty kredytowej). Długie odrzucanie liczb ujemnych ułatwiał fakt, że nie wyrażały one konkretnych obiektów. Dziesięć monet to dziesięć monet, oto one, można je dotykać, można nimi kupować towary. Co oznacza „minus dziesięć monet”? Oczekuje się ich, nawet jeśli jest to dług. Nie wiadomo, czy dług ten zostanie zwrócony i czy „zarejestrowane” monety zamienią się w realne. Jeżeli przy rozwiązywaniu problemu uzyskano liczbę ujemną, uważano, że pojawiła się zła odpowiedź lub że w ogóle nie było odpowiedzi. Ta nieufna postawa utrzymywała się wśród ludzi przez długi czas, nawet Kartezjusz (XVII w.), który dokonał przełomu w matematyce, uważał liczby ujemne za „fałszywe”.

Zadania podręcznika pozwalają zapobiegać ewentualnym trudnościom w opanowaniu głównych tematów czwartego roku nauczania matematyki, pomagają rozwijać reprezentacje przestrzenne, obserwację geometryczną uczniów i kształtować umiejętności samokontroli.

Tworzenie reguł dla działań z liczbami ujemnymi

Rozważ równanie 9x-12=4x-2. Aby rozwiązać równanie, musisz przenieść wyrazy z nieznanym na jedną stronę i znane liczby na drugą. Można to zrobić na dwa sposoby.

Pierwszy sposób.

Przesuwamy część równania z niewiadomą w lewo, a pozostałe liczby w prawo. Okazuje się:

Znaleziono odpowiedź. W przypadku wszystkich czynności, które musieliśmy wykonać, nigdy nie uciekaliśmy się do używania liczb ujemnych.

Drugi sposób.

Teraz przenosimy część równania z niewiadomym na prawo, a pozostałe wyrazy na lewo. Otrzymujemy:

Aby znaleźć rozwiązanie, musimy podzielić jedną liczbę ujemną przez drugą. Jednak już otrzymaliśmy poprawną odpowiedź w poprzednim rozwiązaniu - jest to x równe dwóm. Dlatego pozostaje wydedukować, że (-10)/(-5)=2.

Co dowodzą nam te dwa sposoby rozwiązania tego samego równania? Pierwszą rzeczą, która staje się jasna, jest to, w jaki sposób wywnioskowano adekwatność operowania liczbami ujemnymi - uzyskana odpowiedź powinna być taka sama jak przy rozwiązywaniu za pomocą samych liczb naturalnych. Drugi punkt to fakt, że nie musisz już myśleć o wartościach, aby bezbłędnie uzyskać liczbę nieujemną. Możesz wybrać najwygodniejszy sposób rozwiązania, szczególnie w przypadku złożonych równań. Działania, które pozwoliły nie myśleć o pewnych operacjach (co trzeba zrobić, żeby były tylko liczby naturalne; która liczba jest większa, żeby od niej odjąć itd.) stały się pierwszymi krokami w kierunku „abstrakcji” matematyki .

Oczywiście nie wszystkie zasady działania z liczbami ujemnymi powstały w tym samym czasie. Zgromadzono rozwiązania, uogólniono przykłady, na podstawie których zaczęli stopniowo „wyciągać” główne aksjomaty. Wraz z rozwojem matematyki, wraz z wydaniem nowych zasad, pojawiły się nowe poziomy abstrakcji. Na przykład w XIX wieku udowodniono, że liczby całkowite i wielomiany mają ze sobą wiele wspólnego, chociaż wyglądają inaczej. Wszystkie można dodawać, odejmować i mnożyć. Reguły, których przestrzegają, wpływają na nich w jeden sposób. Co do dzielenia jednych liczb całkowitych przez inne, „czeka” tu ciekawy fakt – odpowiedź nie zawsze będzie liczbą całkowitą. To samo prawo dotyczy wielomianów.

Następnie ujawniono wiele innych zbiorów obiektów matematycznych, na których można było wykonywać takie operacje: formalne szeregi potęgowe, funkcje ciągłe ... Z biegiem czasu matematycy odkryli, że po zbadaniu właściwości operacji możliwe będzie zastosowanie wyników do wszystkich tych kolekcji przedmiotów. To samo dotyczy współczesnej matematyki.

Bardziej interesujące rzeczy:

• Cechy pracy nauczyciela matematyki w roku akademickim 2018/2019
• Typowe błędy popełniane przez nauczycieli podczas nauczania matematyki w szkole podstawowej
• Zajęcia pozalekcyjne z matematyki w szkole podstawowej

Podejście czysto matematyczne

Z biegiem czasu matematycy zidentyfikowali nowy termin - pierścień. Pierścień to zestaw elementów i operacji, które można na nich wykonać. Fundamentalne stają się reguły (same aksjomaty), którym podlegają działania, a nie natura elementów zbioru. W celu podkreślenia prymatu struktury, która powstaje po wprowadzeniu aksjomatów, zwykle używa się terminu „pierścień”: pierścień liczb całkowitych, pierścień wielomianów itp. Korzystając z aksjomatów i wychodząc z nich można ujawnić nowe właściwości pierścieni.

Formułujemy reguły pierścienia, podobne do aksjomatów operacji na liczbach całkowitych, i udowadniamy, że w każdym pierścieniu pomnożenie minusa przez minus daje plus.

Pierścień to zbiór zawierający dwie operacje binarne (każda operacja obejmuje dwa elementy pierścienia), tradycyjnie nazywane dodawaniem i mnożeniem, oraz następujące aksjomaty:

Dodawanie elementów pierścienia podlega prawom przemiennym (A + B = B + A dla dowolnych elementów A i B) i kombinacyjnym (A + (B + C) = (A + B) + C); pierścień ma specjalny element 0 (neutralny dodatek) taki, że A + 0 = A, a dla dowolnego elementu A istnieje element przeciwny (oznaczony (-A)) taki, że A + (-A) = 0;

Mnożenie jest zgodne z prawem kombinacji: A (B C) = (A B) C;

Dodawanie i mnożenie są powiązane z następującymi regułami rozszerzania nawiasów:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Wyjaśnijmy, że pierścienie w najogólniejszej konstrukcji nie wymagają, aby mnożenie było permutowalne, ani jego odwracalności (operacja dzielenia nie zawsze jest możliwa), ani istnienia jednostki - elementu neutralnego względem mnożenia. Jeśli wprowadzimy te aksjomaty, otrzymamy inne struktury algebraiczne, ale ze wszystkimi poprawnymi twierdzeniami udowodnionymi dla pierścieni.

Matematyka. 6 klasa. Zeszyt ćwiczeń nr 1.

Zeszyt ćwiczeń zawiera różnego rodzaju zadania do opanowania i utrwalenia nowego materiału, zadania o charakterze rozwojowym, zadania dodatkowe pozwalające na zróżnicowaną naukę. Zeszyt jest używany w połączeniu z podręcznikiem „Matematyka. Klasa 6 "(red. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir), który jest objęty systemem zestawów edukacyjnych i metodologicznych" Algorytm sukcesu ".

Następnym krokiem jest udowodnienie, że dla dowolnych elementów A i B dowolnego pierścienia jest prawdziwe: (-A) B = -(A B) i (-(-A)) = A.

Z tego otrzymujemy stwierdzenia o jednostkach:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Następnie musimy udowodnić kilka punktów. Po pierwsze, konieczne jest ustalenie istnienia tylko jednego przeciwieństwa dla każdego elementu. Załóżmy, że element A ma dwa przeciwstawne elementy: B i C. To znaczy A + B \u003d 0 \u003d A + C. Przeanalizujmy sumę A + B + C. Korzystając z praw przemiennych i asocjacyjnych, a także właściwości zero, otrzymujemy, że suma jest równa :

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Dlatego B = C.

Zauważ, że zarówno A, jak i (-(-A)) są przeciwne do elementu (-A). Stąd wnioskujemy, że elementy A i (-(-A)) muszą być równe.

tych. (-A) B jest przeciwieństwem A B, więc jest równe -(A B).

Zauważ, że 0 · B = 0 dla dowolnego elementu B.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

w ten sposób dodanie 0 B nie zmienia sumy. Okazuje się, że ten produkt jest równy zero.

Rzeczywiście, dlaczego? Najłatwiejsza odpowiedź brzmi: „Ponieważ takie są zasady pracy z liczbami ujemnymi”. Zasady, których uczymy się w szkole i stosujemy przez całe życie. Jednak podręczniki nie wyjaśniają, dlaczego zasady są takie, jakie są. Przypomnieliśmy sobie – to tyle i już nie zadawajmy pytania.

I zapytajmy...

Dawno temu znane były tylko liczby naturalne: 1, 2, 3, ... Używano ich do liczenia naczyń, zdobyczy, wrogów itp. Ale same liczby są raczej bezużyteczne - trzeba umieć sobie poradzić ich. Dodawanie jest jasne i zrozumiałe, a poza tym suma dwóch liczb naturalnych jest również liczbą naturalną (matematyk powiedziałby, że zbiór liczb naturalnych jest domknięty w operacji dodawania). Mnożenie jest w rzeczywistości tym samym dodawaniem, jeśli mówimy o liczbach naturalnych. W życiu często wykonujemy czynności związane z tymi dwiema operacjami (na przykład podczas zakupów dodajemy i mnożymy) i dziwnie jest pomyśleć, że nasi przodkowie spotykali się z nimi rzadziej - dodawanie i mnożenie opanowała ludzkość bardzo długo temu. Często konieczne jest podzielenie jednej wielkości przez drugą, ale tutaj wynik nie zawsze jest wyrażony liczbą naturalną - tak pojawiły się liczby ułamkowe.

Oczywiście odejmowanie jest również niezbędne. Ale w praktyce odejmujemy mniejszą liczbę od większej i nie ma potrzeby używania liczb ujemnych. (Jeśli mam 5 cukierków i daję 3 siostrze, to będę miał 5 - 3 = 2 cukierki, ale nie mogę dać jej 7 cukierków z całą ochotą.) To może wyjaśniać, dlaczego ludzie nie używali liczb ujemnych przez długi czas.


Liczby ujemne pojawiają się w indyjskich dokumentach z VII wieku naszej ery; Chińczycy najwyraźniej zaczęli z nich korzystać nieco wcześniej. Były używane do rozliczania długów lub w obliczeniach pośrednich, aby uprościć rozwiązywanie równań - było to tylko narzędzie do uzyskania pozytywnej odpowiedzi. Fakt, że liczby ujemne, w przeciwieństwie do liczb dodatnich, nie wyrażają obecności żadnego bytu, budził silną nieufność. Ludzie w dosłownym tego słowa znaczeniu unikali liczb ujemnych: jeśli problem otrzymał odpowiedź negatywną, wierzyli, że nie ma żadnej odpowiedzi. Ta nieufność utrzymywała się bardzo długo i nawet Kartezjusz, jeden z „założycieli” współczesnej matematyki, nazwał je „fałszywymi” (w XVII wieku!).

Rozważmy na przykład równanie 7x - 17 \u003d 2x - 2. Można je rozwiązać w następujący sposób: przesuń terminy z nieznanym na lewą stronę, a resztę na prawo, otrzymasz 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Dzięki temu w rozwiązaniu nie napotkaliśmy nawet liczb ujemnych.

Ale można było to zrobić w inny sposób: przenieść wyrazy z nieznanym na prawą stronę i otrzymać 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Aby znaleźć niewiadomą, musisz podzielić jedną liczbę ujemną przez drugą: x = (-15)/(-5). Ale poprawna odpowiedź jest znana i należy stwierdzić, że (-15)/(-5) = 3.

Co pokazuje ten prosty przykład? Po pierwsze, staje się jasna logika, która określiła zasady działań na liczbach ujemnych: wyniki tych działań muszą odpowiadać odpowiedziom uzyskanym w inny sposób, bez liczb ujemnych. Po drugie, pozwalając na użycie liczb ujemnych, pozbywamy się żmudnego (jeśli równanie okazuje się bardziej skomplikowane, z dużą liczbą wyrażeń) poszukiwania ścieżki rozwiązania, w której wszystkie działania wykonywane są tylko na liczbach naturalnych. Co więcej, nie możemy już za każdym razem myśleć o znaczeniu przeliczanych wielkości - a to już jest krok w kierunku przekształcenia matematyki w naukę abstrakcyjną.

Reguły działań na liczbach ujemnych nie powstały od razu, ale stały się uogólnieniem licznych przykładów, które pojawiły się przy rozwiązywaniu stosowanych problemów. Ogólnie rzecz biorąc, rozwój matematyki można warunkowo podzielić na etapy: każdy kolejny etap różni się od poprzedniego nowym poziomem abstrakcji w badaniu przedmiotów. Tak więc w XIX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że liczby całkowite i wielomiany, pomimo całej ich zewnętrznej odmienności, mają ze sobą wiele wspólnego: obie można dodawać, odejmować i mnożyć. Operacje te podlegają tym samym prawom - zarówno w przypadku liczb, jak i wielomianów. Ale dzielenie przez siebie liczb całkowitych, tak aby wynik znów był liczbami całkowitymi, nie zawsze jest możliwe. To samo dotyczy wielomianów.

Następnie odkryto inne zbiory obiektów matematycznych, na których można wykonać takie operacje: formalne szeregi potęgowe, funkcje ciągłe ... W końcu przyszło zrozumienie, że jeśli przestudiujesz właściwości samych operacji, wyniki można zastosować do wszystkich tych zbiory obiektów (takie podejście jest typowe dla całej współczesnej matematyki).

W rezultacie pojawiła się nowa koncepcja: pierścień. To tylko kilka elementów plus akcje, które można na nich wykonać. Podstawowymi regułami są tutaj tylko reguły (nazywa się je aksjomatami), które podlegają akcjom, a nie charakter elementów zbioru (tu jest, nowy poziom abstrakcji!). Chcąc podkreślić, że ważna jest struktura, która powstaje po wprowadzeniu aksjomatów, matematycy mówią: pierścień liczb całkowitych, pierścień wielomianów itp. Wychodząc z aksjomatów można wyprowadzić inne własności pierścieni.

Sformułujemy aksjomaty pierścienia (które oczywiście są podobne do zasad operacji na liczbach całkowitych), a następnie udowodnimy, że w dowolnym pierścieniu pomnożenie minusa przez minus daje plus.

Pierścień jest zbiorem składającym się z dwóch operacji binarnych (tj. w każdą operację zaangażowane są dwa elementy pierścienia), które tradycyjnie nazywa się dodawaniem i mnożeniem, oraz następującymi aksjomatami:

Dodawanie elementów pierścienia podlega prawom przemiennym (A + B = B + A dla dowolnych elementów A i B) i kombinacyjnym (A + (B + C) = (A + B) + C); pierścień ma specjalny element 0 (neutralny dodatek) taki, że A + 0 = A, a dla dowolnego elementu A istnieje element przeciwny (oznaczony (-A)) taki, że A + (-A) = 0;
- mnożenie jest zgodne z prawem kombinacji: A (B C) = (A B) C;
dodawanie i mnożenie są powiązane z następującymi regułami rozszerzania nawiasów: (A + B) C = A C + B C i A (B + C) = A B + A C.

Zauważmy, że pierścienie, w najogólniejszej konstrukcji, nie wymagają mnożenia, aby były permutowalne, ani nie są odwracalne (czyli nie zawsze można dzielić), ani nie wymagają istnienia jednostki, elementu neutralnego z w odniesieniu do mnożenia. Jeśli te aksjomaty zostaną wprowadzone, to uzyska się inne struktury algebraiczne, ale wszystkie twierdzenia udowodnione dla pierścieni będą w nich prawdziwe.

Teraz udowodnijmy, że dla dowolnych elementów A i B dowolnego pierścienia, po pierwsze, (-A) B = -(A B), a po drugie (-(-A)) = A. To łatwo implikuje stwierdzenia o jednostkach: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 i (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Aby to zrobić, musimy ustalić pewne fakty. Najpierw udowadniamy, że każdy element może mieć tylko jedno przeciwieństwo. Rzeczywiście, niech element A ma dwa przeciwstawne: B i C. To znaczy, A + B = 0 = A + C. Rozważ sumę A + B + C. Używając praw asocjacyjnych i przemiennych oraz własności zera, zrozum, że z jednej strony suma jest równa B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a z drugiej strony jest równa C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Stąd B = C.

Zauważ teraz, że zarówno A, jak i (-(-A)) są przeciwieństwami tego samego elementu (-A), więc muszą być równe.

Pierwszy fakt otrzymujemy w następujący sposób: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, czyli (-A) B jest przeciwne do A B, więc jest równe - (A B).

Aby być matematycznie rygorystycznym, wyjaśnijmy również, dlaczego 0·B = 0 dla dowolnego elementu B. Rzeczywiście, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Oznacza to, że dodanie 0 B nie zmienia sumy. Więc ten iloczyn jest równy zero.

A to, że w pierścieniu jest dokładnie jedno zero (w końcu aksjomaty mówią, że taki element istnieje, ale nic nie mówi się o jego wyjątkowości!), zostawimy czytelnikowi jako proste ćwiczenie.

Jewgienij Epifanow

Minus i plus to znaki liczb ujemnych i dodatnich w matematyce. Współdziałają ze sobą na różne sposoby, dlatego wykonując dowolne czynności z liczbami, na przykład dzielenie, mnożenie, odejmowanie, dodawanie itp., należy wziąć pod uwagę podpisać zasady. Bez tych zasad nigdy nie będziesz w stanie rozwiązać nawet najprostszego problemu algebraicznego lub geometrycznego. Bez znajomości tych zasad nie będziesz mógł studiować nie tylko matematyki, ale także fizyki, chemii, biologii, a nawet geografii.

Rozważmy bardziej szczegółowo podstawowe zasady znaków.

Dział.

Jeśli podzielimy „plus” przez „minus”, zawsze otrzymamy „minus”. Jeśli podzielimy „minus” przez „plus”, zawsze otrzymamy również „minus”. Jeśli podzielimy „plus” przez „plus”, otrzymamy „plus”. Jeśli podzielimy „minus” przez „minus”, to, co dziwne, otrzymamy również „plus”.

Mnożenie.

Jeśli pomnożymy „minus” przez „plus”, zawsze otrzymamy „minus”. Jeśli pomnożymy „plus” przez „minus”, zawsze otrzymamy również „minus”. Jeśli pomnożymy „plus” przez „plus”, to otrzymamy liczbę dodatnią, czyli „plus”. To samo dotyczy dwóch liczb ujemnych. Jeśli pomnożymy „minus” przez „minus”, otrzymamy „plus”.

Odejmowanie i dodawanie.

Opierają się na innych zasadach. Jeśli liczba ujemna jest większa w wartości bezwzględnej niż nasza dodatnia, to wynik będzie oczywiście ujemny. Na pewno zastanawiasz się, czym jest moduł i dlaczego w ogóle tu jest. Wszystko jest bardzo proste. Moduł to wartość liczby, ale bez znaku. Na przykład -7 i 3. Modulo -7 będzie tylko 7 , a 3 pozostanie 3. W rezultacie widzimy, że 7 jest większe, czyli okazuje się, że nasza liczba ujemna jest większa. Więc wyjdzie -7 + 3 \u003d -4. Można to uczynić jeszcze łatwiejszym. Po prostu umieść liczbę dodatnią na pierwszym miejscu, a wyjdzie 3-7 = -4, być może jest to bardziej zrozumiałe dla kogoś. Odejmowanie działa dokładnie w ten sam sposób.

Aby skonsolidować możliwość mnożenia liczb naturalnych, ułamków zwykłych i dziesiętnych;

Naucz się mnożyć liczby dodatnie i ujemne;

Rozwijanie umiejętności pracy w grupach

Rozwijaj ciekawość, zainteresowanie matematyką; umiejętność myślenia i mówienia na dany temat.

Ekwipunek: modele termometrów i domów, karty do liczenia w pamięci i pracy testowej, plakat z zasadami znaków do mnożenia.

Motywacja

Nauczyciel . Dziś zaczynamy zgłębiać nowy temat. Zbudujemy nowy dom. Powiedz mi, co decyduje o sile domu?

Sprawdźmy teraz jaki jest nasz fundament, czyli siła naszej wiedzy. Nie powiedziałem ci tematu lekcji. Jest zakodowany, czyli ukryty w zadaniu do liczenia ustnego. Bądź uważny i spostrzegawczy. Oto karty z przykładami. Rozwiązując je i dopasowując literę do odpowiedzi, poznasz nazwę tematu lekcji.

Nauczyciel. Więc to słowo to mnożenie. Ale już znamy mnożenie. Dlaczego musimy to studiować? Jakie liczby ostatnio spotkałeś?

[Z pozytywnym i negatywnym.]

Czy możemy je pomnożyć? Dlatego tematem lekcji będzie „Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych”.

Szybko i poprawnie rozwiązałeś przykłady. Położono dobry fundament. ( Nauczyciel na wzorcowym domu « leży» Fundacja.) Myślę, że dom będzie trwały.

Odkrywanie nowego tematu

Nauczyciel . Teraz zbudujmy ściany. Łączą podłogę i dach, czyli stary motyw z nowym. Teraz będziesz pracować w grupach. Każda grupa otrzyma problem do wspólnego rozwiązania, a następnie wyjaśni rozwiązanie klasie.

1. grupa

Temperatura powietrza spada o 2° co godzinę. Teraz termometr pokazuje zero stopni. Jaką temperaturę pokaże po 3 godzinach?

Decyzja grupowa. Ponieważ temperatura wynosi teraz 0, a co godzinę spada o 2°, oczywiste jest, że po 3 godzinach temperatura wyniesie -6°. Oznaczmy spadek temperatury jako –2°, a czas jako +3 godziny. Wtedy możemy założyć, że (–2) 3 = –6.

Nauczyciel . A co się stanie, jeśli przestawię czynniki, czyli 3 (–2)?

Studenci. Odpowiedź jest taka sama: -6, ponieważ używana jest przemienność mnożenia.

Temperatura powietrza spada o 2° co godzinę. Teraz termometr pokazuje zero stopni. Jaką temperaturę powietrza wskazywał termometr 3 godziny temu?

Decyzja grupowa. Ponieważ temperatura spadała co godzinę o 2°, a teraz wynosi 0, oczywiste jest, że 3 godziny temu było +6°. Oznaczmy spadek temperatury o -2°, a upływ czasu o -3 godziny. Wtedy możemy założyć, że (–2) (–3) = 6.

Nauczyciel . Nie wiesz jeszcze, jak mnożyć liczby dodatnie i ujemne. Ale rozwiązywali problemy, w których konieczne było pomnożenie takich liczb. Spróbuj wyprowadzić zasady mnożenia liczb dodatnich i ujemnych, dwóch liczb ujemnych. ( Uczniowie próbują wymyślić regułę.) Dobry. Teraz otwórzmy podręczniki i przeczytajmy zasady mnożenia liczb dodatnich i ujemnych. Porównaj swoją zasadę z tym, co jest napisane w podręczniku.

Zasada nr 1 Aby pomnożyć dwie liczby z różnymi znakami, musisz pomnożyć moduły tych liczb i umieścić znak „-” przed otrzymanym produktem.

Zasada 2. Aby pomnożyć dwie liczby z tymi samymi znakami, musisz pomnożyć moduły tych liczb i umieścić znak „+” przed otrzymanym produktem.

Nauczyciel. Jak zauważyłeś budując fundament, nie masz problemu z mnożeniem liczb naturalnych i ułamkowych. Problemy mogą pojawić się podczas mnożenia liczb dodatnich i ujemnych. Czemu?

Pamiętać! Mnożąc liczby dodatnie i ujemne:

1) określić znak;
2) znajdź iloczyn modułów.

Nauczyciel . W przypadku znaków mnożenia istnieją reguły mnemoniczne, które są bardzo łatwe do zapamiętania. W skrócie są one sformułowane w następujący sposób:

„+” „+” \u003d „+” - plus na plusie daje plus;
"-" "+" = "-" - minus plus daje minus;
„+” „-” \u003d „-” - plus minus daje minus;
„–” · „–” = „+” - minus razy minus daje plus.

(W zeszytach uczniowie zapisują zasadę znaków.)

Nauczyciel . Jeśli uważamy siebie i naszych przyjaciół za pozytywnych, a naszych wrogów za negatywnych, możemy powiedzieć tak:

Przyjaciel mojego przyjaciela jest moim przyjacielem.
Wróg mojego przyjaciela jest moim wrogiem.
Przyjaciel mojego wroga jest moim wrogiem.
Wróg mojego wroga jest moim przyjacielem.

Podstawowe rozumienie i zastosowanie badanego

Przykłady rozwiązania doustnego na tablicy. Uczniowie wypowiadają zasadę:

Nauczyciel . Wszystko jasne? Brak pytań? Więc mury są budowane. ( Nauczyciel stawia ściany.) Co teraz budujemy?

(Czterech uczniów zostaje powołanych do zarządu.)

Nauczyciel. Czy dach jest gotowy?

(Nauczyciel kładzie dach na wzorcowym domu.)

Uczniowie wykonują pracę w jednej wersji.

Po zakończeniu pracy wymieniają się zeszytami z sąsiadem. Nauczyciel zgłasza prawidłowe odpowiedzi, a uczniowie wystawiają sobie oceny.

Podsumowanie lekcji. Odbicie

Nauczyciel. Jaki był nasz cel na początku lekcji? Czy nauczyłeś się mnożyć liczby dodatnie i ujemne? ( Powtarzają zasady.) Jak widzieliście w tej lekcji, każdy nowy temat to dom, który trzeba budować kapitałowo, na lata. W przeciwnym razie wszystkie twoje budynki zawalą się po krótkim czasie. Dlatego wszystko zależy od Ciebie. Życzę wam, żeby szczęście zawsze się do was uśmiechało, sukcesów w opanowaniu wiedzy.

Zarejestruj zasady

podpisać zasady

Rozważmy bardziej szczegółowo podstawowe zasady znaków.

Jeśli podzielimy „plus” przez „minus”, zawsze otrzymamy „minus”. Jeśli podzielimy „minus” przez „plus”, zawsze otrzymamy również „minus”. Jeśli podzielimy „plus” przez „plus”, otrzymamy „plus”. Jeśli podzielimy „minus” przez „minus”, to, co dziwne, otrzymamy również „plus”.

Jeśli pomnożymy „minus” przez „plus”, zawsze otrzymamy „minus”. Jeśli pomnożymy „plus” przez „minus”, zawsze otrzymamy również „minus”. Jeśli pomnożymy „plus” przez „plus”, to otrzymamy liczbę dodatnią, czyli „plus”. To samo dotyczy dwóch liczb ujemnych. Jeśli pomnożymy „minus” przez „minus”, otrzymamy „plus”.

Opierają się na innych zasadach. Jeśli liczba ujemna jest większa w wartości bezwzględnej niż nasza dodatnia, to wynik będzie oczywiście ujemny. Na pewno zastanawiasz się, czym jest moduł i dlaczego w ogóle tu jest. Wszystko jest bardzo proste. Moduł to wartość liczby, ale bez znaku. Na przykład -7 i 3. Modulo -7 będzie tylko 7 , a 3 pozostanie 3. W rezultacie widzimy, że 7 jest większe, czyli okazuje się, że nasza liczba ujemna jest większa. Więc wyjdzie -7 + 3 \u003d -4. Można to uczynić jeszcze łatwiejszym. Po prostu umieść liczbę dodatnią na pierwszym miejscu, a wyjdzie 3-7 = -4, być może jest to bardziej zrozumiałe dla kogoś. Odejmowanie działa dokładnie w ten sam sposób.

Dlaczego minus razy minus równa się plus?

„Wróg mojego wroga jest moim przyjacielem”.

Dawno temu znane były tylko liczby naturalne: 1, 2, 3, . Były używane do liczenia naczyń, łupów, wrogów itp. Ale same liczby są dość bezużyteczne - musisz umieć sobie z nimi poradzić. Dodawanie jest jasne i zrozumiałe, poza tym suma dwóch liczb naturalnych jest również liczbą naturalną (matematyk powiedziałby, że zbiór liczb naturalnych jest domknięty w operacji dodawania). Mnożenie jest w rzeczywistości tym samym dodawaniem, jeśli mówimy o liczbach naturalnych. W życiu często wykonujemy czynności związane z tymi dwiema operacjami (na przykład podczas zakupów dodajemy i mnożymy) i dziwnie jest pomyśleć, że nasi przodkowie spotykali się z nimi rzadziej - dodawanie i mnożenie opanowała ludzkość bardzo długo temu. Często konieczne jest podzielenie jednej wielkości przez drugą, ale tutaj wynik nie zawsze jest wyrażany jako liczba naturalna - tak pojawiły się liczby ułamkowe.

Liczby ujemne pojawiają się w indyjskich dokumentach z VII wieku naszej ery; Chińczycy najwyraźniej zaczęli z nich korzystać nieco wcześniej. Były używane do rozliczania długów lub w obliczeniach pośrednich, aby uprościć rozwiązywanie równań - było to tylko narzędzie do uzyskania pozytywnej odpowiedzi. Fakt, że liczby ujemne, w przeciwieństwie do liczb dodatnich, nie wyrażają obecności żadnego bytu, budził silną nieufność. Ludzie w dosłownym tego słowa znaczeniu unikali liczb ujemnych: jeśli problem otrzymał odpowiedź negatywną, wierzyli, że nie ma żadnej odpowiedzi. Ta nieufność utrzymywała się bardzo długo i nawet Kartezjusz – jeden z „założycieli” współczesnej matematyki – nazwał je „fałszywymi” (w XVII wieku!).

7x - 17 = 2x - 2. Można to rozwiązać w ten sposób: przesuń terminy z nieznanym na lewą stronę, a resztę na prawo, to się okaże 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Ale można przypadkiem zrobić to inaczej: przesunąć terminy z nieznanym na prawą stronę i dostać 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​​​= (–5)x. Aby znaleźć nieznaną, musisz podzielić jedną liczbę ujemną przez drugą: x = (–15)/(–5). Ale poprawna odpowiedź jest znana i należy stwierdzić, że (–15)/(–5) = 3 .

. Po drugie, pozwalając na użycie liczb ujemnych, pozbywamy się żmudnego (jeśli równanie okazuje się bardziej skomplikowane, z dużą liczbą wyrażeń) poszukiwania ścieżki rozwiązania, w której wszystkie działania wykonywane są tylko na liczbach naturalnych. Co więcej, nie możemy już za każdym razem myśleć o znaczeniu przeliczanych wielkości - a to już jest krok w kierunku przekształcenia matematyki w naukę abstrakcyjną.

Reguły działań na liczbach ujemnych nie powstały od razu, ale stały się uogólnieniem licznych przykładów, które pojawiły się przy rozwiązywaniu stosowanych problemów. Ogólnie rzecz biorąc, rozwój matematyki można warunkowo podzielić na etapy: każdy kolejny etap różni się od poprzedniego nowym poziomem abstrakcji w badaniu przedmiotów. Tak więc w XIX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że liczby całkowite i wielomiany, pomimo całej ich zewnętrznej odmienności, mają ze sobą wiele wspólnego: obie można dodawać, odejmować i mnożyć. Operacje te podlegają tym samym prawom - zarówno w przypadku liczb, jak i wielomianów. Ale dzielenie przez siebie liczb całkowitych, tak aby wynik znów był liczbami całkowitymi, nie zawsze jest możliwe. To samo dotyczy wielomianów.

dzwonić aksjomaty

dzwonić

• A + B = B + A dla dowolnych elementów A oraz B) i skojarzone ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A i dla dowolnego elementu A (-A)), Co A + (–A) = 0 ;
• mnożenie jest zgodne z prawem kombinacji: A (B C) = (A B) C ;

Zauważmy, że pierścienie, w najogólniejszej konstrukcji, nie wymagają mnożenia, aby były permutowalne, ani odwracalności (czyli nie zawsze jest możliwe dzielenie), ani istnienia jednostki - elementu neutralnego w odniesieniu do mnożenia. Jeśli te aksjomaty zostaną wprowadzone, to uzyska się inne struktury algebraiczne, ale wszystkie twierdzenia udowodnione dla pierścieni będą w nich prawdziwe.

A istnieją dwa przeciwieństwa: B oraz Z. Tj A + B = 0 = A + C. Rozważ sumę A+B+C B: C: . Znaczy, B=C .

Zwróćmy teraz uwagę, że A, oraz (-(-A)) (-A)

Pierwszy fakt uzyskuje się w następujący sposób: to znaczy (–A) B naprzeciwko B, więc jest równe –(A B) .

0 B = 0 dla dowolnego elementu B. W rzeczy samej, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. To znaczy dodatek 0 zł

Zasady mnożenia minus przez minus





Z pewnym rozciągnięciem to samo wyjaśnienie jest odpowiednie dla produktu 1-5, jeśli założymy, że „suma” pojedynczego

termin jest równy temu terminowi. Ale iloczynu 0 5 lub (-3) 5 nie da się wyjaśnić w ten sposób: co oznacza suma zero lub minus trzy wyrazy?

Możliwe jest jednak przestawienie czynników

Jeśli chcemy, aby iloczyn się nie zmieniał przy przestawianiu czynników – tak jak to było w przypadku liczb dodatnich – musimy tym samym założyć, że

Przejdźmy teraz do produktu (-3) (-5). Ile to jest równe: -15 czy +15? Obie opcje mają sens. Z jednej strony minus w jednym czynniku już powoduje, że iloczyn jest ujemny - tym bardziej powinien być ujemny, jeśli oba czynniki są ujemne. Z drugiej strony w tabeli. 7 ma już dwa minusy, ale tylko jeden plus, a "dość" (-3)-(-5) powinno być równe +15. Więc co wolisz?



Oczywiście nie zmylisz się takimi rozmowami: ze szkolnego kursu matematyki mocno nauczyłeś się, że minus za minusem daje plus. Ale wyobraź sobie, że twój młodszy brat lub siostra pyta cię: dlaczego? Co to jest - kaprys nauczyciela, wskazanie wyższych autorytetów, czy twierdzenie, które można udowodnić?

Zwykle zasada mnożenia liczb ujemnych jest wyjaśniona na przykładach takich jak ten przedstawiony w tabeli. osiem.



Można to wyjaśnić w inny sposób. Napiszmy liczby z rzędu

Zapiszmy teraz te same liczby pomnożone przez 3:

Łatwo zauważyć, że każda liczba jest o 3 większa niż poprzednia.Teraz zapiszmy te same liczby w odwrotnej kolejności (zaczynając na przykład od 5 i 15):



W tym samym czasie liczba -15 okazała się być pod liczbą -5, więc 3 (-5) \u003d -15: plus przez minus daje minus.

Teraz powtórzmy tę samą procedurę, mnożąc liczby 1,2,3,4,5. o -3 (wiemy już, że plus razy minus równa się minus):

Każda kolejna liczba w dolnym wierszu jest mniejsza od poprzedniej o 3. Zapiszmy liczby w odwrotnej kolejności



Okazało się, że liczba -5 to 15, więc (-3) (-5) = 15.

Być może te wyjaśnienia zadowoliłyby twojego młodszego brata lub siostrę. Ale masz prawo zapytać, jak naprawdę jest i czy można udowodnić, że (-3) (-5) = 15?

Odpowiedź jest taka, że ​​można udowodnić, że (-3) (-5) musi być równe 15, jeśli tylko chcemy, aby zwykłe właściwości dodawania, odejmowania i mnożenia pozostały prawdziwe dla wszystkich liczb, w tym ujemnych. Zarys tego dowodu jest następujący.

Najpierw udowodnijmy, że 3 (-5) = -15. Co to jest -15? Jest to przeciwieństwo 15, czyli liczby, która dodaje 15 do 0. Musimy więc to udowodnić

(Używając w nawiasie 3, użyliśmy prawa rozdzielności ab + ac = a(b + c) dla - w końcu zakładamy, że jest ono prawdziwe dla wszystkich liczb, także ujemnych.) Tak więc (Uważny czytelnik zapyta nas dlaczego. Szczerze przyznajemy: dowód tego faktu - jak dyskusja o tym, czym jest zero w ogóle - pomijamy.)

Udowodnijmy teraz, że (-3) (-5) = 15. Aby to zrobić, piszemy



i pomnóż obie strony równania przez -5:

Otwórzmy wsporniki po lewej stronie:

tj. (-3) (-5) + (-15) = 0. Zatem liczba jest przeciwna do liczby -15, czyli równa 15. (Są też luki w tym rozumowaniu: należałoby udowodnić, że i że jest tylko jedna liczba przeciwna do -15.)

Reguła ujemna. Dlaczego minus razy minus równa się plus

Słuchając nauczyciela matematyki, większość uczniów postrzega materiał jako aksjomat. Jednocześnie niewiele osób próbuje dotrzeć do sedna i dowiedzieć się, dlaczego „minus” do „plus” daje znak „minus”, a po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych wychodzi dodatnia.

Prawa Matematyki

Większość dorosłych nie jest w stanie wyjaśnić sobie ani swoim dzieciom, dlaczego tak się dzieje. W szkole dokładnie nauczyli się tego materiału, ale nawet nie próbowali dowiedzieć się, skąd się wzięły takie zasady. Ale na próżno. Często współczesne dzieci nie są tak łatwowierne, muszą dotrzeć do sedna sprawy i zrozumieć, powiedzmy, dlaczego „plus” na „minus” daje „minus”. A czasami chłopczycy celowo zadają podchwytliwe pytania, aby cieszyć się chwilą, w której dorośli nie mogą udzielić zrozumiałej odpowiedzi. I to naprawdę katastrofa, jeśli młody nauczyciel wpadnie w bałagan.

Przy okazji należy zauważyć, że wspomniana powyżej zasada dotyczy zarówno mnożenia, jak i dzielenia. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej da tylko minus. Jeśli mówimy o dwóch cyfrach ze znakiem „-”, wynik będzie liczbą dodatnią. To samo dotyczy podziału. Jeśli jedna z liczb jest ujemna, to iloraz będzie również oznaczony znakiem „-”.

Aby wyjaśnić poprawność tego prawa matematyki, konieczne jest sformułowanie aksjomatów pierścienia. Ale najpierw musisz zrozumieć, co to jest. W matematyce zwyczajowo nazywa się pierścień zestawem, w którym zaangażowane są dwie operacje z dwoma elementami. Ale lepiej to zrozumieć na przykładzie.

Aksjomat pierścienia

Istnieje kilka praw matematycznych.

• Pierwsza z nich jest przemieszczalna, według niego, C + V = V + C.
• Drugi nazywa się asocjacyjnym (V + C) + D = V + (C + D).

Mnożenie (V x C) x D \u003d V x (C x D) również ich przestrzega.

Nikt nie odwołał zasad otwierania nawiasów (V + C) x D = V x D + C x D, prawdą jest również, że C x (V + D) = C x V + C x D.

Ponadto ustalono, że do pierścienia można wprowadzić specjalny, neutralny addycyjnie element, za pomocą którego prawdziwe będzie: C + 0 = C. Dodatkowo dla każdego C istnieje przeciwstawny element, który może być oznaczone jako (-C). W takim przypadku C + (-C) \u003d 0.

Wyprowadzenie aksjomatów dla liczb ujemnych

Akceptując powyższe stwierdzenia możemy odpowiedzieć na pytanie: "" Plus "na" minus "daje jaki znak?" Znając aksjomat o mnożeniu liczb ujemnych, trzeba potwierdzić, że rzeczywiście (-C) x V = -(C x V). A także, że prawdziwa jest następująca równość: (-(-C)) = C.

Aby to zrobić, musimy najpierw udowodnić, że każdy z elementów ma tylko jednego przeciwnego „brata”. Rozważmy następujący przykład dowodu. Spróbujmy sobie wyobrazić, że dwie liczby są przeciwne dla C - V i D. Z tego wynika, że ​​C + V = 0 i C + D = 0, czyli C + V = 0 = C + D. Pamiętając o prawach przesunięcia a jeśli chodzi o własności liczby 0, możemy rozważyć sumę wszystkich trzech liczb: C, V i D. Spróbujmy obliczyć wartość V. Logiczne jest, że V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ponieważ wartość C + D, jak przyjęto powyżej, jest równa 0. Stąd V = V + C + D.

Wartość D wyprowadza się w ten sam sposób: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na tej podstawie staje się jasne, że V = D.

Aby jednak zrozumieć, dlaczego „plus” na „minusie” daje „minus”, musisz zrozumieć, co następuje. Tak więc dla elementu (-C) przeciwieństwem są C i (-(-C)), czyli są sobie równe.

Wtedy jest oczywiste, że 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Wynika z tego, że C x V jest przeciwne do (-) C x V , co oznacza (- C) x V = -(C x V).

Dla pełnego rygoru matematycznego konieczne jest również potwierdzenie, że 0 x V = 0 dla dowolnego elementu. Jeśli postępujesz zgodnie z logiką, to 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Oznacza to, że dodanie produktu 0 x V w żaden sposób nie zmienia ustawionej kwoty. W końcu ten produkt jest równy zero.

Znając wszystkie te aksjomaty, można nie tylko wydedukować, ile daje „plus” przez „minus”, ale także co się dzieje, gdy mnoży się liczby ujemne.

Mnożenie i dzielenie dwóch liczb ze znakiem „-”

Jeśli nie zagłębisz się w matematyczne niuanse, możesz spróbować wyjaśnić zasady działania liczbami ujemnymi w prostszy sposób.

Załóżmy, że C - (-V) = D, na tej podstawie C = D + (-V), czyli C = D - V. Przenosimy V i otrzymujemy, że C + V = D. To znaczy C + V = C - (-V). Ten przykład wyjaśnia, dlaczego w wyrażeniu, w którym są dwa „minus” z rzędu, wspomniane znaki należy zmienić na „plus”. Zajmijmy się teraz mnożeniem.

(-C) x (-V) \u003d D, do wyrażenia można dodać i odjąć dwa identyczne produkty, co nie zmieni jego wartości: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Pamiętając o zasadach pracy z nawiasami, otrzymujemy:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Wynika z tego, że C x V \u003d (-C) x (-V).

Podobnie możemy udowodnić, że wynik dzielenia dwóch liczb ujemnych będzie dodatni.

Ogólne zasady matematyczne

Oczywiście takie wyjaśnienie nie jest odpowiednie dla uczniów szkół podstawowych, którzy dopiero zaczynają uczyć się abstrakcyjnych liczb ujemnych. Lepiej dla nich jest wyjaśniać na widocznych przedmiotach, manipulując znanym terminem przez lustro. Na przykład znajdują się tam wymyślone, ale nie istniejące zabawki. Mogą być wyświetlane ze znakiem „-”. Mnożenie dwóch zwierciadeł przenosi je do innego świata, utożsamianego z teraźniejszością, czyli w efekcie mamy liczby dodatnie. Ale pomnożenie abstrakcyjnej liczby ujemnej przez dodatnią daje tylko wynik znany wszystkim. W końcu „plus” pomnożony przez „minus” daje „minus”. To prawda, że ​​dzieci nie próbują zbyt mocno zagłębiać się we wszystkie matematyczne niuanse.

Chociaż, jeśli spojrzeć prawdzie w oczy, dla wielu osób, nawet z wyższym wykształceniem, wiele zasad pozostaje tajemnicą. Każdy przyjmuje za pewnik to, czego uczą ich nauczyciele, nie tracąc możliwości zagłębienia się we wszystkie zawiłości, którymi jest najeżona matematyka. "Minus" na "minus" daje "plus" - wszyscy o tym wiedzą bez wyjątku. Dotyczy to zarówno liczb całkowitych, jak i ułamkowych.

Minus i plus to znaki liczb ujemnych i dodatnich w matematyce. Współdziałają ze sobą na różne sposoby, dlatego wykonując dowolne czynności z liczbami, na przykład dzielenie, mnożenie, odejmowanie, dodawanie itp., należy wziąć pod uwagę podpisać zasady. Bez tych zasad nigdy nie będziesz w stanie rozwiązać nawet najprostszego problemu algebraicznego lub geometrycznego. Bez znajomości tych zasad nie będziesz mógł studiować nie tylko matematyki, ale także fizyki, chemii, biologii, a nawet geografii.

Odejmowanie i dodawanie.

Dwa negatywy dają potwierdzenie- to zasada, której nauczyliśmy się w szkole i którą stosujemy przez całe życie. Kto z nas zastanawiał się dlaczego? Oczywiście łatwiej jest zapamiętać to stwierdzenie bez dalszych pytań i nie zagłębiać się w istotę problemu. Teraz jest już wystarczająco dużo informacji, które trzeba „przetrawić”. Ale dla tych, którzy nadal są zainteresowani tym pytaniem, postaramy się wyjaśnić to matematyczne zjawisko.

Od czasów starożytnych ludzie posługiwali się dodatnimi liczbami naturalnymi: 1, 2, 3, 4, 5,... Za pomocą liczb liczono bydło, plony, wrogowie itp. Przy dodawaniu i mnożeniu dwóch liczb dodatnich zawsze otrzymywali liczbę dodatnią, dzieląc jedne wielkości przez inne nie zawsze otrzymywali liczby naturalne - tak pojawiły się liczby ułamkowe. A co z odejmowaniem? Od dzieciństwa wiemy, że lepiej dodać mniejsze do większego i odjąć mniejsze od większego, a znowu nie używamy liczb ujemnych. Okazuje się, że jak mam 10 jabłek, to mogę komuś dać tylko mniej niż 10 lub 10. Nie ma mowy, żebym dała 13 jabłek, bo ich nie mam. Przez długi czas liczby ujemne nie były potrzebne.

Dopiero od VII wieku naszej ery. Liczby ujemne były używane w niektórych systemach liczenia jako wartości pomocnicze, co umożliwiało uzyskanie w odpowiedzi liczby dodatniej.

Rozważ przykład, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Aby znaleźć odpowiedź, należy pozostawić terminy z niewiadomymi po lewej stronie, a resztę po prawej: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Podczas rozwiązywania tego równania nie ma nawet liczb ujemnych. Moglibyśmy przenieść terminy z niewiadomymi na prawą stronę i bez niewiadomych - na lewą: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Dzieląc liczbę ujemną przez ujemną, otrzymujemy odpowiedź pozytywną: x \u003d 7.

Działania z liczbami ujemnymi powinny prowadzić nas do tej samej odpowiedzi, co działania zawierające tylko liczby dodatnie. Nie możemy już myśleć o praktycznej nieprzydatności i sensowności działań - pomagają nam one rozwiązać problem znacznie szybciej, nie sprowadzając równania do postaci tylko z liczbami dodatnimi. W naszym przykładzie nie zastosowaliśmy skomplikowanych obliczeń, ale przy dużej liczbie terminów obliczenia z liczbami ujemnymi mogą ułatwić nam pracę.

Z biegiem czasu, po długich eksperymentach i obliczeniach, udało się zidentyfikować zasady, których przestrzegają wszystkie liczby i działania na nich (w matematyce nazywa się je aksjomatami). Stamtąd to się wzięło aksjomat, który mówi, że gdy pomnożysz dwie liczby ujemne, otrzymasz liczbę dodatnią.

www.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

1) Dlaczego minus jeden razy minus jeden równa się plus jeden?
2) Dlaczego minus jeden razy plus jeden równa się minus jeden?

„Wróg mojego wroga jest moim przyjacielem”.

Najłatwiejsza odpowiedź brzmi: „Ponieważ takie są zasady pracy z liczbami ujemnymi”. Zasady, których uczymy się w szkole i stosujemy przez całe życie. Jednak podręczniki nie wyjaśniają, dlaczego zasady są takie, jakie są. Najpierw spróbujemy zrozumieć to z historii rozwoju arytmetyki, a następnie odpowiemy na to pytanie z punktu widzenia współczesnej matematyki.

Dawno temu znane były tylko liczby naturalne: 1, 2, 3, . Były używane do liczenia naczyń, łupów, wrogów itp. Ale same liczby są dość bezużyteczne - musisz wiedzieć, jak sobie z nimi radzić. Dodawanie jest jasne i zrozumiałe, a poza tym suma dwóch liczb naturalnych jest również liczbą naturalną (matematyk powiedziałby, że zbiór liczb naturalnych jest domknięty w operacji dodawania). Mnożenie jest w rzeczywistości tym samym dodawaniem, jeśli mówimy o liczbach naturalnych. W życiu często wykonujemy czynności związane z tymi dwiema operacjami (na przykład podczas zakupów dodajemy i mnożymy) i dziwnie jest pomyśleć, że nasi przodkowie spotykali się z nimi rzadziej - dodawanie i mnożenie opanowała ludzkość bardzo długo temu. Często konieczne jest podzielenie jednej wielkości przez drugą, ale tutaj wynik nie zawsze jest wyrażony liczbą naturalną - tak pojawiły się liczby ułamkowe.

Oczywiście odejmowanie jest również niezbędne. Ale w praktyce odejmujemy mniejszą liczbę od większej i nie ma potrzeby używania liczb ujemnych. (Jeśli mam 5 cukierków i daję 3 siostrze, to będę miał 5 - 3 = 2 cukierki, ale nie mogę dać jej 7 cukierków z całą ochotą.) To może wyjaśniać, dlaczego ludzie nie używali liczb ujemnych przez długi czas.

Liczby ujemne pojawiają się w indyjskich dokumentach z VII wieku naszej ery; Chińczycy najwyraźniej zaczęli z nich korzystać nieco wcześniej. Były używane do rozliczania długów lub w obliczeniach pośrednich, aby uprościć rozwiązywanie równań - było to tylko narzędzie do uzyskania pozytywnej odpowiedzi. Fakt, że liczby ujemne, w przeciwieństwie do liczb dodatnich, nie wyrażają obecności żadnego bytu, budził silną nieufność. Ludzie w dosłownym tego słowa znaczeniu unikali liczb ujemnych: jeśli problem otrzymał odpowiedź negatywną, wierzyli, że nie ma żadnej odpowiedzi. Ta nieufność utrzymywała się bardzo długo i nawet Kartezjusz, jeden z „założycieli” współczesnej matematyki, nazwał je „fałszywymi” (w XVII wieku!).

Rozważmy na przykład równanie 7x - 17 = 2x - 2. Można to rozwiązać w ten sposób: przesuń terminy z nieznanym na lewą stronę, a resztę na prawo, to się okaże 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Przy takim rozwiązaniu nie spotkaliśmy nawet liczb ujemnych.

Co pokazuje ten prosty przykład? Po pierwsze, staje się jasna logika, która określiła zasady działania na liczbach ujemnych: wyniki tych działań muszą być zgodne z odpowiedziami uzyskanymi w inny sposób, bez liczb ujemnych. Po drugie, pozwalając na użycie liczb ujemnych, pozbywamy się żmudnego (jeśli równanie okazuje się bardziej skomplikowane, z dużą liczbą wyrażeń) poszukiwania ścieżki rozwiązania, w której wszystkie działania wykonywane są tylko na liczbach naturalnych. Co więcej, nie możemy już za każdym razem myśleć o znaczeniu przeliczanych wielkości - a to już jest krok w kierunku przekształcenia matematyki w naukę abstrakcyjną.

Reguły działań na liczbach ujemnych nie powstały od razu, ale stały się uogólnieniem licznych przykładów, które pojawiły się przy rozwiązywaniu stosowanych problemów. Ogólnie rzecz biorąc, rozwój matematyki można warunkowo podzielić na etapy: każdy kolejny etap różni się od poprzedniego nowym poziomem abstrakcji w badaniu przedmiotów. Tak więc w XIX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że liczby całkowite i wielomiany, pomimo całej ich zewnętrznej odmienności, mają ze sobą wiele wspólnego: obie można dodawać, odejmować i mnożyć. Operacje te podlegają tym samym prawom - zarówno w przypadku liczb, jak i wielomianów. Ale dzielenie przez siebie liczb całkowitych, tak aby wynik znów był liczbami całkowitymi, nie zawsze jest możliwe. To samo dotyczy wielomianów.

Następnie odkryto inne zbiory obiektów matematycznych, na których można wykonywać takie operacje: formalne szeregi potęgowe, funkcje ciągłe. W końcu przyszło zrozumienie, że jeśli przestudiujesz właściwości samych operacji, wyniki można następnie zastosować do wszystkich tych zbiorów obiektów (podejście to jest typowe dla całej współczesnej matematyki).

W rezultacie pojawiła się nowa koncepcja: dzwonić. To tylko kilka elementów plus akcje, które można na nich wykonać. Podstawowe zasady tutaj to tylko zasady (nazywają się aksjomaty), którym podlegają działania, a nie charakter elementów zbioru (tu jest nowy poziom abstrakcji!). Chcąc podkreślić, że ważna jest struktura, która powstaje po wprowadzeniu aksjomatów, matematycy mówią: pierścień liczb całkowitych, pierścień wielomianów itp. Wychodząc z aksjomatów można wyprowadzić inne własności pierścieni.

Sformułujemy aksjomaty pierścienia (które oczywiście są podobne do zasad operacji na liczbach całkowitych), a następnie udowodnimy, że w dowolnym pierścieniu pomnożenie minusa przez minus daje plus.

dzwonić nazywa się zbiorem z dwiema operacjami binarnymi (to znaczy, że w każdą operację zaangażowane są dwa elementy pierścienia), które tradycyjnie nazywa się dodawaniem i mnożeniem, oraz następującymi aksjomatami:

• dodanie elementów pierścienia jest zgodne z przemiennym ( A + B = B + A dla dowolnych elementów A oraz B) i skojarzone ( A + (B + C) = (A + B) + C) prawa; pierścień zawiera specjalny element 0 (dodatkowo neutralny) taki, że A + 0 = A i dla dowolnego elementu A istnieje przeciwny element (oznaczony (-A)), Co A + (–A) = 0 ;
• dodawanie i mnożenie są powiązane następującymi regułami rozwijania nawiasów: (A + B) C = A C + B C oraz A (B + C) = A B + A C .

Zauważmy, że pierścienie, w najogólniejszej konstrukcji, nie wymagają mnożenia, aby były permutowalne, ani nie są odwracalne (czyli nie zawsze można dzielić), ani nie wymagają istnienia jednostki, elementu neutralnego z w odniesieniu do mnożenia. Jeśli te aksjomaty zostaną wprowadzone, to uzyska się inne struktury algebraiczne, ale wszystkie twierdzenia udowodnione dla pierścieni będą w nich prawdziwe.

Teraz udowadniamy, że dla dowolnych elementów A oraz B arbitralny pierścień jest prawdziwy, po pierwsze, (–A) B = –(A B), i po drugie (–(–A)) = A. Z tego łatwo wynikają stwierdzenia dotyczące jednostek: (–1) 1 = –(1 1) = –1 oraz (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Aby to zrobić, musimy ustalić pewne fakty. Najpierw udowadniamy, że każdy element może mieć tylko jedno przeciwieństwo. Rzeczywiście, niech żywioł A istnieją dwa przeciwieństwa: B oraz Z. Tj A + B = 0 = A + C. Rozważ sumę A+B+C. Używając praw asocjacyjnych i przemiennych oraz własności zera, otrzymujemy, że z jednej strony suma jest równa B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a z drugiej strony jest równy C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Znaczy, B=C .

Zwróćmy teraz uwagę, że A, oraz (-(-A)) są przeciwieństwem tego samego elementu (-A), więc muszą być równe.

Pierwszy fakt wygląda tak: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tj (–A) B naprzeciwko B, więc jest równe –(A B) .

Aby być matematycznie rygorystycznym, wyjaśnijmy dlaczego 0 B = 0 dla dowolnego elementu B. W rzeczy samej, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. To znaczy dodatek 0 zł nie zmienia kwoty. Więc ten iloczyn jest równy zero.

A to, że w pierścieniu jest dokładnie jedno zero (w końcu aksjomaty mówią, że taki element istnieje, ale nic nie mówi się o jego wyjątkowości!), zostawimy czytelnikowi jako proste ćwiczenie.