Ogólne i szczegółowe rozwiązanie systemu. Jak rozwiązać układ równań liniowych? Metoda Gaussa i układy równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań

Decyzja. A= . Znajdź r(A). Jak matryca A ma rząd 3x4, więc najwyższy rząd młodszych to 3. W tym przypadku wszystkie drugorzędne trzeciego rzędu są równe zeru (sprawdź sam). Znaczy, r(A)< 3. Возьмем главный podstawowy małoletni = -5-4 = -9 ≠ 0. Stąd r(A) =2.

Rozważać matryca Z = .

Mniejsza trzecia zamówienie ≠ 0. Stąd r(C) = 3.

Od r(A) ≠ r(C) , to system jest niespójny.

Przykład 2 Określ zgodność układu równań

Rozwiąż ten system, jeśli jest kompatybilny.

Decyzja.

A = , C = . Oczywiście, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Ponieważ detC = 0, to r(C)< 4. Rozważać drobny trzeci zamówienie, znajdujący się w lewym górnym rogu macierzy A i C: = -23 ≠ 0. Stąd r(A) = r(C) = 3.

Numer nieznany w układzie n=3. System ma więc unikalne rozwiązanie. W tym przypadku czwarte równanie jest sumą pierwszych trzech i można je zignorować.

Zgodnie ze wzorami Cramera otrzymujemy x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Metoda macierzowa. Metoda Gaussa

system n równania liniowe z n niewiadome można rozwiązać metoda macierzowa zgodnie ze wzorem X \u003d A -1 B (dla Δ ≠ 0), który otrzymuje się z (2) przez pomnożenie obu części przez A -1 .

Przykład 1. Rozwiąż układ równań

metodą macierzową (w rozdziale 2.2 układ ten został rozwiązany za pomocą wzorów Cramera)

Decyzja. Δ=10 ≠ 0 A = - macierz nieosobliwa.

= (zweryfikuj to samodzielnie, wykonując niezbędne obliczenia).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Odpowiedź: .

Z praktycznego punktu widzenia metoda i formuły macierzowe Kramer wiążą się z dużą ilością obliczeń, dlatego preferowane jest Metoda Gaussa, który polega na sukcesywnej eliminacji niewiadomych. W tym celu układ równań sprowadza się do równoważnego układu z trójkątną macierzą rozszerzoną (wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zeru). Te akcje nazywane są ruchem bezpośrednim. Z powstałego układu trójkątnego zmienne są znajdowane za pomocą kolejnych podstawień (wstecz).

Przykład 2. Rozwiąż system metodą Gaussa

(Ten system został rozwiązany powyżej przy użyciu wzoru Cramera i metody macierzowej).

Decyzja.

Bezpośredni ruch. Piszemy macierz rozszerzoną i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci trójkąta:

~ ~ ~ ~ .

Otrzymać system

Ruch wsteczny. Z ostatniego równania, które znajdujemy X 3 = -6 i podstaw tę wartość do drugiego równania:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Odpowiedź: .

2.5. Ogólne rozwiązanie układu równań liniowych

Niech będzie dany układ równań liniowych = b ja(i=). Niech r(A) = r(C) = r, tj. system jest oparty na współpracy. Dowolna niezerowa molowa rzędu r to podstawowy małoletni. Bez utraty ogólności przyjmiemy, że podstawowy minor znajduje się w pierwszych r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) wierszach i kolumnach macierzy A. Odrzucając ostatnie równania m-r układu, piszemy skrócony system:

który jest odpowiednikiem oryginału. Nazwijmy niewiadome x 1 ,….x r podstawowe , i x r +1 ,…, x r uwolnić i przenieść wyrazy zawierające wolne niewiadome na prawą stronę równań układu obciętego. Otrzymujemy system z uwzględnieniem podstawowych niewiadomych:

które dla każdego zestawu wartości wolnych niewiadomych x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r ma jedyne rozwiązanie x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), znalezione przez regułę Cramera.

Odpowiednie rozwiązanie skrócony, a więc oryginalny system ma postać:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - ogólne rozwiązanie systemu.

Jeżeli w rozwiązaniu ogólnym swobodnym niewiadomym podano jakieś wartości liczbowe, to otrzymujemy rozwiązanie układu liniowego, zwanego prywatnym.

Przykład. Ustal kompatybilność i znajdź całościowe rozwiązanie systemu

Decyzja. A = , С = .

Więc jak r(A)= r(C) = 2 (zobacz sam), to oryginalny system jest kompatybilny i ma nieskończoną liczbę rozwiązań (ponieważ r< 4).

Metoda macierzowa Rozwiązania SLAU służy do rozwiązywania układów równań, w których liczba równań odpowiada liczbie niewiadomych. Metoda najlepiej nadaje się do rozwiązywania układów niskiego rzędu. Macierzowa metoda rozwiązywania układów równań liniowych opiera się na wykorzystaniu własności mnożenia macierzy.

Innymi słowy w ten sposób metoda macierzy odwrotnej, nazywany tak, ponieważ rozwiązanie sprowadza się do zwykłego równania macierzowego, dla którego rozwiązania trzeba znaleźć macierz odwrotną.

Metoda rozwiązania macierzowego SLAE z wyznacznikiem większym lub mniejszym od zera wygląda następująco:

Załóżmy, że istnieje SLE (układ równań liniowych) z n nieznany (na dowolnym polu):

Tak więc łatwo przełożyć to na formę macierzową:

AX=B, gdzie A jest główną matrycą systemu, B oraz X- kolumny wolnych prętów i rozwiązania systemu odpowiednio:

Pomnóż to równanie macierzowe po lewej przez A-1- odwrotność macierzy do macierzy A: A -1 (AX) = A -1 B.

Ponieważ A-1 A=E, znaczy, X=A -1 B. Prawa strona równania podaje kolumnę rozwiązań układu początkowego. Warunkiem stosowalności metody macierzowej jest niezdegeneracja macierzy A. Warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, aby wyznacznik macierzy A:

detA≠0.

Do jednorodny układ równań liniowych, tj. jeśli wektor B=0 obowiązuje odwrotna zasada: system AX=0 jest rozwiązaniem nietrywialnym (tj. nie równym zeru) tylko wtedy, gdy detA=0. To połączenie między rozwiązaniami jednorodnych i niejednorodnych układów równań liniowych nazywa się alternatywa dla Fredholma.

Zatem rozwiązanie SLAE metodą macierzową wykonuje się według wzoru . Lub rozwiązanie SLAE znajduje się za pomocą odwrotna macierz A-1.

Wiadomo, że macierz kwadratowa ALE zamówienie n na n istnieje macierz odwrotna A-1 tylko jeśli jego wyznacznik jest niezerowy. W ten sposób system n liniowe równania algebraiczne z n niewiadome rozwiązuje się metodą macierzową tylko wtedy, gdy wyznacznik głównej macierzy układu nie jest równy zeru.

Pomimo ograniczeń w możliwości zastosowania tej metody oraz trudności obliczeniowych dla dużych wartości współczynników i układów wyższego rzędu, metoda może być łatwo zaimplementowana na komputerze.

Przykład rozwiązania niejednorodnego SLAE.

Najpierw sprawdźmy, czy wyznacznik macierzy współczynników dla nieznanych SLAE nie jest równy zero.

Teraz znajdujemy macierz sojuszu, przetransponuj i zastąp do wzoru na wyznaczenie macierzy odwrotnej.

Podstawiamy zmienne we wzorze:

Teraz znajdujemy niewiadome, mnożąc macierz odwrotną i kolumnę wyrazów wolnych.

Więc, x=2; y=1; z=4.

Przechodząc ze zwykłej postaci SLAE do postaci macierzowej, należy uważać na kolejność nieznanych zmiennych w równaniach systemowych. na przykład:

NIE pisz jako:

Należy najpierw uporządkować nieznane zmienne w każdym równaniu układu, a dopiero potem przejść do zapisu macierzowego:

Ponadto należy uważać na oznaczenie nieznanych zmiennych, zamiast x 1 , x 2 , …, x n mogą być inne litery. Na przykład:

w formie macierzowej piszemy:

Stosując metodę macierzową, lepiej jest rozwiązywać układy równań liniowych, w których liczba równań pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu nie jest równy zeru. Gdy w systemie jest więcej niż 3 równania, znalezienie macierzy odwrotnej będzie wymagało większego wysiłku obliczeniowego, dlatego w tym przypadku do rozwiązania zaleca się użycie metody Gaussa.

Jednak w praktyce rozpowszechnione są jeszcze dwa przypadki:

– system jest niespójny (brak rozwiązań);
System jest spójny i posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Notatka : termin „spójność” sugeruje, że system ma przynajmniej jakieś rozwiązanie. W wielu zadaniach wymagane jest wstępne sprawdzenie systemu pod kątem kompatybilności, jak to zrobić - zobacz artykuł na temat ranga macierzy.

W przypadku tych systemów stosowana jest najbardziej uniwersalna ze wszystkich metod rozwiązania - Metoda Gaussa. W rzeczywistości metoda „szkolna” również doprowadzi do odpowiedzi, ale w matematyce wyższej zwyczajowo używa się metody gaussowskiej sukcesywnej eliminacji niewiadomych. Osoby, które nie są zaznajomione z algorytmem metody Gaussa, proszę najpierw zapoznać się z lekcją metoda Gaussa dla manekinów.

Same podstawowe transformacje macierzy są dokładnie takie same, różnica będzie na końcu rozwiązania. Najpierw rozważ kilka przykładów, w których system nie ma rozwiązań (niespójne).

Przykład 1

Co od razu rzuca się w oczy w tym systemie? Liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych. Jeśli liczba równań jest mniejsza niż liczba zmiennych, to możemy od razu powiedzieć, że system jest albo niespójny, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań. I pozostaje tylko się dowiedzieć.

Początek rozwiązania jest dość zwyczajny - piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci krokowej:

(1) W lewym górnym kroku musimy uzyskać +1 lub -1. W pierwszej kolumnie nie ma takich liczb, więc zmiana kolejności wierszy nie zadziała. Jednostka będzie musiała zostać zorganizowana niezależnie i można to zrobić na kilka sposobów. Zrobiłem tak: do pierwszej linii dodaj trzecią linię pomnożoną przez -1.

(2) Teraz otrzymujemy dwa zera w pierwszej kolumnie. Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3. Do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 5.

(3) Po wykonaniu transformacji zawsze warto sprawdzić, czy możliwe jest uproszczenie łańcuchów wynikowych? Mogą. Drugą linię dzielimy przez 2, jednocześnie uzyskując w drugim kroku żądane -1. Podziel trzecią linię przez -3.

(4) Dodaj drugą linię do trzeciej linii.

Prawdopodobnie wszyscy zwracali uwagę na złą linię, która okazała się wynikiem elementarnych przekształceń: . Oczywiste jest, że tak być nie może. Rzeczywiście przepisujemy wynikową macierz powrót do układu równań liniowych:

Jeżeli w wyniku przekształceń elementarnych otrzymamy ciąg postaci, gdzie jest liczbą niezerową, to układ jest niespójny (nie ma rozwiązań) .

Jak nagrać zakończenie zadania? Narysujmy białą kredą: „w wyniku elementarnych przekształceń uzyskuje się linię formy, gdzie” i podajmy odpowiedź: układ nie ma rozwiązań (niespójne).

Jeżeli zgodnie z warunkiem wymagane jest BADANIE systemu pod kątem kompatybilności, to konieczne jest wydanie rozwiązania w bardziej solidnym stylu uwzględniającym koncepcję rząd macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Należy pamiętać, że nie ma tu ruchu wstecznego algorytmu Gaussa - nie ma rozwiązań i po prostu nie ma nic do znalezienia.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Ponownie przypominam, że twoja ścieżka rozwiązania może różnić się od mojej ścieżki rozwiązania, algorytm Gaussa nie ma silnej „sztywności”.

Jeszcze jedna cecha techniczna rozwiązania: przekształcenia elementarne można zatrzymać Natychmiast, jak tylko linia jak , gdzie . Rozważmy przykład warunkowy: załóżmy, że po pierwszej transformacji otrzymujemy macierz . Matryca nie została jeszcze zredukowana do formy schodkowej, ale nie ma potrzeby dalszych elementarnych przekształceń, gdyż pojawiła się linia formy, gdzie . Należy od razu odpowiedzieć, że system jest niezgodny.

Gdy układ równań liniowych nie ma rozwiązań, jest to prawie dar, ponieważ otrzymuje się krótkie rozwiązanie, czasami dosłownie w 2-3 krokach.

Ale wszystko na tym świecie jest zrównoważone, a problem, w którym system ma nieskończenie wiele rozwiązań, jest po prostu dłuższy.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych

Istnieją 4 równania i 4 niewiadome, więc układ może mieć albo pojedyncze rozwiązanie, albo nie mieć rozwiązań, albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek to było, ale metoda Gaussa w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi. Na tym polega jego wszechstronność.

Początek znów jest standardowy. Piszemy rozszerzoną macierz systemu i za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy ją do postaci schodkowej:

To wszystko, a ty się bałeś.

(1) Zwróć uwagę, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2, więc 2 jest w porządku w lewym górnym szczeblu. Do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez -4. Do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez -2. Do czwartej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez -1.

Uwaga! Wielu może ulec pokusie z czwartej linii odjąć Pierwsza linia. Można to zrobić, ale nie jest to konieczne, doświadczenie pokazuje, że prawdopodobieństwo błędu w obliczeniach wzrasta kilkakrotnie. Po prostu dodaj: do czwartej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 - Dokładnie!

(2) Ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, dwa z nich można usunąć.

Tutaj znowu trzeba pokazać zwiększona uwaga, ale czy linie są naprawdę proporcjonalne? W przypadku reasekuracji (zwłaszcza w przypadku czajnika) nie byłoby zbyteczne pomnożenie drugiego rzędu przez -1 i podzielenie czwartego rzędu przez 2, co daje trzy identyczne rzędy. I dopiero potem usuń dwa z nich.

W wyniku elementarnych przekształceń rozszerzona macierz układu zostaje zredukowana do postaci schodkowej:

Podczas wykonywania zadania w zeszycie wskazane jest, aby te same notatki zrobić ołówkiem dla jasności.

Przepisujemy odpowiedni układ równań:

„Zwykłe” jedyne rozwiązanie systemu tutaj nie pachnie. Nie ma też złej linii. Oznacza to, że jest to trzeci pozostały przypadek – system ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czasami, pod warunkiem, konieczne jest zbadanie kompatybilności systemu (czyli udowodnienie, że rozwiązanie w ogóle istnieje), możesz o tym przeczytać w ostatnim akapicie artykułu Jak znaleźć rangę macierzy? Ale na razie podzielmy podstawy:

Nieskończony zbiór rozwiązań systemu jest w skrócie zapisany w postaci tzw ogólne rozwiązanie systemowe .

Znajdziemy ogólne rozwiązanie układu wykorzystując ruch wsteczny metody Gaussa.

Najpierw musimy określić, jakie mamy zmienne podstawowy, a jakie zmienne wolny. Nie trzeba zawracać sobie głowy pojęciami algebry liniowej, wystarczy pamiętać, że takie są zmienne bazowe oraz wolne zmienne.

Zmienne podstawowe zawsze „siedzą” ściśle na stopniach macierzy.
W tym przykładzie podstawowymi zmiennymi są i

Darmowe zmienne to wszystko pozostały zmienne, które nie uzyskały kroku. W naszym przypadku są dwa z nich: - zmienne wolne.

Teraz potrzebujesz wszystko zmienne bazowe wyrazić tylko przez wolne zmienne.

Odwrotny ruch algorytmu Gaussa tradycyjnie działa od dołu do góry.
Z drugiego równania układu wyrażamy zmienną podstawową:

Teraz spójrz na pierwsze równanie: . Najpierw podstawiamy do niego znalezione wyrażenie:

Pozostaje wyrazić zmienną podstawową w postaci zmiennych swobodnych:

Rezultat jest tym, czego potrzebujesz - wszystko zmienne bazowe ( i ) są wyrażone tylko przez wolne zmienne :

Właściwie ogólne rozwiązanie jest gotowe:

Jak zapisać ogólne rozwiązanie?
Zmienne swobodne są wpisywane do rozwiązania ogólnego „samodzielnie” i ściśle na swoich miejscach. W takim przypadku wolne zmienne należy zapisać na drugiej i czwartej pozycji:
.

Otrzymane wyrażenia dla podstawowych zmiennych i oczywiście musi być napisany na pierwszej i trzeciej pozycji:

Dając darmowe zmienne wartości arbitralne, jest nieskończenie wiele prywatne decyzje. Najpopularniejszymi wartościami są zera, ponieważ dane rozwiązanie jest najłatwiejsze do uzyskania. Zastąp w ogólnym rozwiązaniu:

to prywatna decyzja.

One to kolejna słodka para, podstawmy do ogólnego rozwiązania:

to kolejne szczególne rozwiązanie.

Łatwo zauważyć, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań(ponieważ możemy podać darmowe zmienne każdy wartości)

Każdy konkretne rozwiązanie musi spełniać do każdego równanie systemowe. To podstawa do „szybkiego” sprawdzenia poprawności rozwiązania. Weźmy na przykład konkretne rozwiązanie i wstawmy je po lewej stronie każdego równania w oryginalnym układzie:

Wszystko musi się połączyć. I przy każdym konkretnym rozwiązaniu, które otrzymasz, wszystko powinno również zbiegać się.

Ale, ściśle mówiąc, weryfikacja konkretnego rozwiązania czasami myli; jakieś konkretne rozwiązanie może spełnić każde równanie systemu, a samo rozwiązanie ogólne jest faktycznie znalezione niepoprawnie.

Dlatego weryfikacja rozwiązania ogólnego jest bardziej dokładna i wiarygodna. Jak sprawdzić wynikowe rozwiązanie ogólne ?

To proste, ale dość żmudne. Musimy wziąć wyrażenia podstawowy zmienne, w tym przypadku i i wstaw je po lewej stronie każdego równania układu.

Po lewej stronie pierwszego równania układu:

Po lewej stronie drugiego równania układu:


Otrzymano prawą stronę oryginalnego równania.

Przykład 4

Rozwiąż system za pomocą metody Gaussa. Znajdź rozwiązanie ogólne i dwa prywatne. Sprawdź ogólne rozwiązanie.

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Tutaj, nawiasem mówiąc, znowu liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych, co oznacza, że ​​od razu wiadomo, że system będzie albo niespójny, albo będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań. Co jest ważne w samym procesie decyzyjnym? Uwaga i znowu uwaga. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I jeszcze kilka przykładów wzmacniających materiał

Przykład 5

Rozwiąż układ równań liniowych. Jeśli system ma nieskończenie wiele rozwiązań, znajdź dwa konkretne rozwiązania i sprawdź rozwiązanie ogólne

Decyzja: Napiszmy macierz rozszerzoną systemu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadzamy ją do postaci schodkowej:

(1) Dodaj pierwszą linię do drugiej linii. Do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 2. Do czwartego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3.
(2) Do trzeciej linii dodaj drugą linię pomnożoną przez -5. Do czwartej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez -7.
(3) Trzecia i czwarta linia są takie same, usuwamy jedną z nich.

Oto takie piękno:

Zmienne bazowe znajdują się na stopniach, więc są zmiennymi bazowymi.
Jest tylko jedna wolna zmienna, która nie uzyskała kroku:

Ruch wsteczny:
Podstawowe zmienne wyrażamy w postaci zmiennej swobodnej:
Z trzeciego równania:

Rozważ drugie równanie i wstaw do niego znalezione wyrażenie:

Rozważ pierwsze równanie i zastąp znalezione wyrażenia i do niego:

Tak, kalkulator liczący zwykłe ułamki jest nadal wygodny.

Więc ogólne rozwiązanie to:

Po raz kolejny, jak to się stało? Wolna zmienna zajmuje samotnie swoje czwarte miejsce. Otrzymane wyrażenia dla zmiennych podstawowych również zajęły swoje miejsca porządkowe.

Sprawdźmy natychmiast rozwiązanie ogólne. Praca dla czarnych, ale już to zrobiłem, więc łap =)

Podstawiamy trzech bohaterów , , po lewej stronie każdego równania układu:

Otrzymane są odpowiednie prawe strony równań, więc rozwiązanie ogólne jest znalezione poprawnie.

Teraz od znalezionego rozwiązania ogólnego otrzymujemy dwa konkretne rozwiązania. Szef kuchni jest tutaj jedyną wolną zmienną. Nie musisz łamać sobie głowy.

Niech więc to prywatna decyzja.
Niech więc to kolejne szczególne rozwiązanie.

Odpowiedź: Wspólna decyzja: , rozwiązania szczególne: , .

Nie powinienem był tutaj pamiętać o czarnych... ...bo przeróżne sadystyczne motywy przyszły mi do głowy i przypomniałem sobie słynną fotozhaba, w której Ku Klux Klansmeni w białych kombinezonach biegają po boisku po czarnej piłce gracz. Siedzę i uśmiecham się cicho. Wiesz, jak rozpraszające….

Dużo matematyki szkodzi, więc podobny końcowy przykład samodzielnego rozwiązania.

Przykład 6

Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych.

Sprawdziłem już ogólne rozwiązanie, odpowiedzi można zaufać. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego, najważniejsze jest to, że ogólne rozwiązania są zgodne.

Zapewne wielu zauważyło w rozwiązaniach nieprzyjemny moment: bardzo często, podczas odwrotnego przebiegu metody Gaussa, musieliśmy bawić się zwykłymi ułamkami. W praktyce jest to prawdą, przypadki, w których nie ma ułamków, są znacznie rzadsze. Bądź przygotowany mentalnie, a co najważniejsze technicznie.

Zajmę się niektórymi cechami rozwiązania, których nie znaleziono w rozwiązanych przykładach.

Ogólne rozwiązanie systemu może czasami zawierać stałą (lub stałe), na przykład: . Tutaj jedna z podstawowych zmiennych jest równa liczbie stałej: . Nie ma w tym nic egzotycznego, to się zdarza. Oczywiście w tym przypadku każde konkretne rozwiązanie będzie zawierało piątkę na pierwszej pozycji.

Rzadko, ale są systemy, w których liczba równań jest większa niż liczba zmiennych. Metoda Gaussa sprawdza się w najcięższych warunkach, należy spokojnie sprowadzić rozszerzoną macierz układu do postaci schodkowej według standardowego algorytmu. Taki system może być niespójny, może mieć nieskończenie wiele rozwiązań i, co dziwne, może mieć unikalne rozwiązanie.

Metoda Gaussa ma wiele wad: nie można stwierdzić, czy system jest spójny, czy nie, dopóki nie zostaną przeprowadzone wszystkie przekształcenia konieczne w metodzie Gaussa; metoda Gaussa nie jest odpowiednia dla systemów ze współczynnikami literowymi.

Rozważ inne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Metody te wykorzystują pojęcie rzędu macierzy i redukują rozwiązanie dowolnego układu łącznego do rozwiązania układu, do którego stosuje się reguła Cramera.

Przykład 1 Znajdź ogólne rozwiązanie następującego układu równań liniowych, korzystając z podstawowego układu rozwiązań zredukowanego układu jednorodnego i szczególnego rozwiązania układu niejednorodnego.

1. Tworzymy macierz A oraz rozszerzona macierz systemu (1)

2. Poznaj system (1) dla kompatybilności. Aby to zrobić, znajdujemy szeregi matryc A oraz https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jeśli się okaże, że to system (1) niekompatybilny. Jeśli to zrozumiemy , to ten system jest spójny i my go rozwiążemy. (Badanie spójności jest oparte na twierdzeniu Kroneckera-Capelliego).

a. Znaleźliśmy rA.

Znaleźć rA, rozważymy kolejno niezerowe elementy drugorzędne pierwszego, drugiego itd. rzędów macierzy A i otaczających ich nieletnich.

M1=1≠0 (1 jest pobierany z lewego górnego rogu macierzy ALE).

Graniczy M1 drugi wiersz i druga kolumna tej macierzy. . Kontynuujemy granicę M1 druga linia i trzecia kolumna..gif" width = "37" height = "20 src = ">. Teraz obramujemy niezerową mniejszą М2′ drugie zamówienie.

Mamy: (ponieważ dwie pierwsze kolumny są takie same)

(ponieważ druga i trzecia linia są proporcjonalne).

Widzimy to rA=2, i jest podstawą poboczną macierzy A.

b. Znaleźliśmy .

Wystarczająco podstawowy małoletni М2′ matryce A granica z kolumną wolnych członków i wszystkimi liniami (mamy tylko ostatnią linię).

. Wynika z tego, że М3′′ pozostaje podstawą drobnej matrycy https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Jak М2′- podstawa minor macierzy A systemy (2) , to ten system jest równoważny systemowi (3) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (2) (dla М2′ znajduje się w pierwszych dwóch wierszach macierzy A).

(3)

Ponieważ podstawowym nieletnim jest https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

W tym systemie dwie wolne niewiadome ( x2 oraz x4 ). Więc FSR systemy (4) składa się z dwóch rozwiązań. Aby je znaleźć, przypisujemy wolne niewiadome do (4) wartości na pierwszym miejscu x2=1 , x4=0 , i wtedy - x2=0 , x4=1 .

Na x2=1 , x4=0 otrzymujemy:

.

Ten system ma już Jedyną rzeczą rozwiązanie (można je znaleźć zgodnie z regułą Cramera lub dowolną inną metodą). Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:

Jej decyzja będzie x1= -1 , x3=0 . Biorąc pod uwagę wartości x2 oraz x4 , które podaliśmy, otrzymujemy pierwsze fundamentalne rozwiązanie systemu (2) : .

Teraz wstawiamy (4) x2=0 , x4=1 . Otrzymujemy:

.

Rozwiązujemy ten system za pomocą twierdzenia Cramera:

.

Otrzymujemy drugie podstawowe rozwiązanie systemu (2) : .

Rozwiązania β1 , β2 i makijaż FSR systemy (2) . Wtedy jego ogólnym rozwiązaniem będzie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tutaj C1 , C2 są arbitralnymi stałymi.

4. Znajdź jeden prywatny decyzja niejednorodny system(1) . Jak w akapicie 3 zamiast systemu (1) rozważ równoważny system (5) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (1) .

(5)

Wolne niewiadome przenosimy na prawą stronę x2 oraz x4.

(6)

Dajmy darmowe niewiadome x2 oraz x4 dowolne wartości, na przykład x2=2 , x4=1 i podłącz je do (6) . Zdobądźmy system

Ten system ma unikalne rozwiązanie (ponieważ jego wyznacznik М2′0). Rozwiązując go (za pomocą twierdzenia Cramera lub metody Gaussa) otrzymujemy x1=3 , x3=3 . Biorąc pod uwagę wartości wolnych niewiadomych x2 oraz x4 , dostajemy szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego(1)α1=(3,2,3,1).

5. Teraz pozostaje napisać rozwiązanie ogólne α układu niejednorodnego(1) : jest równy sumie prywatna decyzja ten system i ogólne rozwiązanie jego zredukowanego układu jednorodnego (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znaczy: (7)

6. Badanie. Aby sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś system (1) Potrzebujemy ogólnego rozwiązania (7) zastąpić w (1) . Jeśli każde równanie staje się tożsamością ( C1 oraz C2 powinny zostać zniszczone), to rozwiązanie zostanie znalezione poprawnie.

Zastąpimy (7) na przykład tylko w ostatnim równaniu układu (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Otrzymujemy: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Gdzie -1=-1. Mamy tożsamość. Robimy to ze wszystkimi innymi równaniami systemu (1) .

Komentarz. Weryfikacja jest zwykle dość uciążliwa. Możemy polecić następującą „częściową weryfikację”: w całościowym rozwiązaniu systemu (1) przypisać pewne wartości do dowolnych stałych i podstawić powstałe konkretne rozwiązanie tylko do odrzuconych równań (tj. do tych równań z (1) które nie są zawarte w (5) ). Jeśli zdobędziesz tożsamości, to bardziej prawdopodobne, rozwiązanie systemu (1) znalezione poprawnie (ale takie sprawdzenie nie daje pełnej gwarancji poprawności!). Na przykład, jeśli w (7) umieścić C2=- 1 , C1=1, to otrzymujemy: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Podstawiając do ostatniego równania układu (1), otrzymujemy: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Mamy tożsamość.

Przykład 2 Znajdź ogólne rozwiązanie układu równań liniowych (1) , wyrażając główne niewiadome w kategoriach wolnych.

Decyzja. Jak w Przykład 1 skomponować macierze A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> tych macierzy. Teraz zostawiamy tylko te równania układu (1) , których współczynniki są zawarte w tej podstawowej podrzędnej (tzn. mamy dwa pierwsze równania) i rozważamy układ z nich złożony, który jest równoważny układowi (1).

Przenieśmy wolne niewiadome na prawą stronę tych równań.

system (9) rozwiązujemy metodą Gaussa, uznając właściwe części za wolne człony.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opcja 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opcja 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opcja 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opcja 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Układ równań liniowych jest sumą n równań liniowych, z których każde zawiera k zmiennych. Jest napisane tak:

Wielu, gdy po raz pierwszy staje w obliczu wyższej algebry, błędnie uważa, że ​​liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą zmiennych. W algebrze szkolnej zwykle tak jest, ale w przypadku algebry wyższej jest to, ogólnie rzecz biorąc, nieprawda.

Rozwiązaniem układu równań jest ciąg liczb (k 1 , k 2 , ..., k n ), który jest rozwiązaniem każdego równania układu, tj. podstawiając do tego równania zamiast zmiennych x 1 , x 2 , ..., x n daje poprawną równość liczbową.

W związku z tym rozwiązanie układu równań oznacza znalezienie zbioru wszystkich jego rozwiązań lub udowodnienie, że zbiór ten jest pusty. Ponieważ liczba równań i liczba niewiadomych mogą nie być takie same, możliwe są trzy przypadki:

1. System jest niespójny, tj. zestaw wszystkich rozwiązań jest pusty. Dość rzadki przypadek, który można łatwo wykryć niezależnie od metody rozwiązania systemu.
2. System jest spójny i zdefiniowany, tj. ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wersja klasyczna, dobrze znana od czasów szkolnych.
3. System jest spójny i niezdefiniowany, tj. ma nieskończenie wiele rozwiązań. To najtrudniejsza opcja. Nie wystarczy stwierdzić, że „układ ma nieskończony zbiór rozwiązań” – trzeba opisać, jak ten zbiór jest zorganizowany.

Zmienna x i nazywana jest dozwoloną, jeśli jest zawarta tylko w jednym równaniu układu i ze współczynnikiem równym 1. Innymi słowy, w pozostałych równaniach współczynnik dla zmiennej x i musi być równy zero.

Jeśli wybierzemy jedną dozwoloną zmienną w każdym równaniu, otrzymamy zestaw dozwolonych zmiennych dla całego układu równań. Sam system, napisany w tej formie, będzie również nazywany dozwolony. Ogólnie rzecz biorąc, jeden i ten sam początkowy system można sprowadzić do różnych dozwolonych systemów, ale to nas teraz nie dotyczy. Oto przykłady dozwolonych systemów:

Oba systemy są dozwolone ze względu na zmienne x 1 , x 3 i x 4 . Jednak z takim samym sukcesem można argumentować, że drugi system jest dozwolony w odniesieniu do x 1 , x 3 i x 5 . Wystarczy przepisać ostatnie równanie w postaci x 5 = x 4 .

Rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek. Załóżmy, że mamy w sumie k zmiennych, z których r jest dozwolone. Wtedy możliwe są dwa przypadki:

1. Liczba dozwolonych zmiennych r jest równa całkowitej liczbie zmiennych k : r = k . Otrzymujemy układ k równań, w którym r = k dozwolonych zmiennych. Taki system jest oparty na współpracy i określony, ponieważ x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Liczba dozwolonych zmiennych r jest mniejsza niż całkowita liczba zmiennych k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Zatem w powyższych układach zmienne x 2 , x 5 , x 6 (dla pierwszego systemu) i x 2 , x 5 (dla drugiego) są wolne. Przypadek, w którym istnieją wolne zmienne, lepiej sformułować jako twierdzenie:

Uwaga: to bardzo ważny punkt! W zależności od tego, jak napiszesz ostateczny system, ta sama zmienna może być zarówno dozwolona, ​​jak i darmowa. Większość zaawansowanych nauczycieli matematyki zaleca zapisywanie zmiennych w porządku leksykograficznym, tj. indeks rosnąco. Jednak wcale nie musisz stosować się do tej rady.

Twierdzenie. Jeżeli w układzie n równań zmienne x 1 , x 2 , ..., x r są dozwolone, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k są wolne, to:

1. Jeśli ustawimy wartości wolnych zmiennych (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a następnie znajdziemy wartości x 1 , x 2 , . .., x r , otrzymujemy jedno z rozwiązań.
2. Jeżeli wartości zmiennych wolnych w dwóch rozwiązaniach są takie same, to wartości zmiennych dozwolonych są również takie same, tj. rozwiązania są równe.

Jakie jest znaczenie tego twierdzenia? Aby uzyskać wszystkie rozwiązania dozwolonego układu równań, wystarczy wyróżnić zmienne swobodne. Następnie przypisując różne wartości wolnym zmiennym otrzymamy gotowe rozwiązania. To wszystko - w ten sposób możesz uzyskać wszystkie rozwiązania systemu. Nie ma innych rozwiązań.

Wniosek: dozwolony układ równań jest zawsze spójny. Jeśli liczba równań w dozwolonym układzie jest równa liczbie zmiennych, układ będzie określony, jeśli mniej, będzie nieokreślony.

I wszystko byłoby dobrze, ale pojawia się pytanie: jak uzyskać rozwiązany z oryginalnego układu równań? Do tego jest