Rozwiąż online metodą Cramera ze szczegółowym rozwiązaniem. Równania liniowe. Rozwiązywanie układów równań liniowych. Metoda Cramera. Układy liniowych równań algebraicznych
Aby opanować ten akapit, musisz być w stanie otworzyć kwalifikatory „dwa po dwa” i „trzy po trzy”. Jeśli kwalifikacje są złe, zapoznaj się z lekcją Jak obliczyć wyznacznik?
Najpierw rozważymy szczegółowo regułę Cramera dla układu dwóch równań liniowych w dwóch niewiadomych. Po co? „W końcu najprostszy system można rozwiązać metodą szkolną, dodając semestr po semestrze!
Faktem jest, że nawet jeśli czasami, ale jest takie zadanie - rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera. Po drugie, prostszy przykład pomoże ci zrozumieć, jak używać reguły Cramera w przypadku bardziej złożonego przypadku — układu trzech równań z trzema niewiadomymi.
Ponadto istnieją układy równań liniowych z dwiema zmiennymi, które zaleca się rozwiązywać dokładnie według reguły Cramera!
Rozważ układ równań
W pierwszym kroku obliczamy wyznacznik , nazywa się głównym wyznacznikiem systemu.
Metoda Gaussa.
Jeżeli , to system ma unikalne rozwiązanie, a żeby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze dwa wyznaczniki:
oraz
W praktyce powyższe kwalifikatory można również oznaczać literą łacińską.
Pierwiastki równania znajdują się za pomocą wzorów:
,
Przykład 7
Rozwiąż układ równań liniowych 
Decyzja: Widzimy, że współczynniki równania są dość duże, po prawej stronie są ułamki dziesiętne z przecinkiem. Przecinek jest dość rzadkim gościem w praktycznych zadaniach z matematyki, wziąłem ten układ z problemu ekonometrycznego.
Jak rozwiązać taki system? Możesz spróbować wyrazić jedną zmienną w kategoriach innej, ale w tym przypadku na pewno dostaniesz okropne fantazyjne ułamki, z którymi praca jest wyjątkowo niewygodna, a projekt rozwiązania będzie wyglądał po prostu okropnie. Możesz pomnożyć drugie równanie przez 6 i odjąć wyraz po wyrazie, ale tutaj pojawią się te same ułamki.
Co robić? W takich przypadkach na ratunek przychodzą formuły Cramera.
;
;
Odpowiedź: ,
Oba pierwiastki mają nieskończone ogony i można je znaleźć w przybliżeniu, co jest całkiem akceptowalne (a nawet powszechne) w przypadku problemów ekonometrycznych.
Komentarze nie są tutaj potrzebne, ponieważ zadanie jest rozwiązywane według gotowych wzorów, jest jednak jedno zastrzeżenie. Korzystając z tej metody, obowiązkowy Fragment zadania to następujący fragment: "więc system ma unikalne rozwiązanie". W przeciwnym razie recenzent może ukarać cię za lekceważenie twierdzenia Cramera.
Nie będzie zbyteczne sprawdzanie, co jest wygodne do przeprowadzenia na kalkulatorze: podstawiamy przybliżone wartości po lewej stronie każdego równania systemu. W rezultacie z małym błędem należy uzyskać liczby znajdujące się po prawej stronie.
Przykład 8
Wyraź swoją odpowiedź zwykłymi niewłaściwymi ułamkami. Sprawdź.
To jest przykład samodzielnego rozwiązania (przykład dobrego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).
Przechodzimy do rozważenia reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi: 
Znajdujemy główny wyznacznik systemu: 
Jeżeli , to system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny (nie ma rozwiązań). W takim przypadku reguła Cramera nie pomoże, musisz użyć metody Gaussa.
Jeżeli , to system ma unikalne rozwiązanie, a żeby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze trzy wyznaczniki: 
, 
, 
I na koniec odpowiedź jest obliczana ze wzorów: 
Jak widać, przypadek „trzy na trzy” zasadniczo nie różni się od przypadku „dwa na dwa”, kolumna wolnych terminów sekwencyjnie „przechodzi” od lewej do prawej wzdłuż kolumn głównego wyznacznika.
Przykład 9
Rozwiąż system za pomocą formuł Cramera. 
Decyzja: Rozwiążmy system za pomocą formuł Cramera. 
, dzięki czemu system posiada unikalne rozwiązanie.
Odpowiedź: 
.
Właściwie nie ma tu ponownie nic szczególnego do komentowania, zważywszy, że decyzja podejmowana jest według gotowych wzorów. Ale jest kilka uwag.
Zdarza się, że w wyniku obliczeń otrzymuje się „złe” ułamki nieredukowalne, np.: .
Polecam następujący algorytm „leczenia”. Jeśli nie ma pod ręką komputera, robimy to:
1) W obliczeniach może być błąd. Gdy tylko trafisz na „zły” strzał, musisz natychmiast sprawdzić, czy czy warunek został przepisany poprawnie?. Jeśli warunek zostanie przepisany bez błędów, należy ponownie obliczyć wyznaczniki za pomocą rozwinięcia w innym wierszu (kolumnie).
2) Jeżeli w wyniku sprawdzenia nie znaleziono żadnych błędów, najprawdopodobniej popełniono literówkę w stanie zadania. W takim przypadku spokojnie i DOKŁADNIE rozwiąż zadanie do końca, a następnie koniecznie sprawdź i sporządzić go na czystym egzemplarzu po podjęciu decyzji. Oczywiście sprawdzenie odpowiedzi ułamkowej to nieprzyjemne zadanie, ale będzie to rozbrajający argument dla nauczyciela, który, no cóż, naprawdę lubi stawiać minus za każdą złą rzecz. Jak radzić sobie z ułamkami, jest szczegółowo opisane w odpowiedzi na przykład 8.
Jeśli masz pod ręką komputer, użyj zautomatyzowanego programu, aby go sprawdzić, który można pobrać bezpłatnie na samym początku lekcji. Nawiasem mówiąc, najkorzystniej jest skorzystać z programu od razu (nawet przed uruchomieniem rozwiązania), od razu zobaczysz etap pośredni, na którym popełniłeś błąd! Ten sam kalkulator automatycznie oblicza rozwiązanie systemu metodą macierzową.
Druga uwaga. Od czasu do czasu pojawiają się układy w równaniach, w których brakuje niektórych zmiennych, na przykład: 
Tutaj w pierwszym równaniu nie ma zmiennej, w drugim nie ma zmiennej. W takich przypadkach bardzo ważne jest prawidłowe i UWAŻNE zapisanie głównego wyznacznika: 
– w miejsce brakujących zmiennych wstawiane są zera.
Nawiasem mówiąc, racjonalne jest otwieranie determinant z zerami w rzędzie (kolumnie), w którym znajduje się zero, ponieważ jest zauważalnie mniej obliczeń.
Przykład 10
Rozwiąż system za pomocą formuł Cramera. 
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (wykończenie próbki i odpowiedź na końcu lekcji).
W przypadku układu 4 równań z 4 niewiadomymi, wzory Cramera zapisuje się według podobnych zasad. Możesz zobaczyć przykład na żywo w lekcji Determinant Properties. Zmniejszenie rzędu wyznacznika - pięć wyznaczników czwartego rzędu jest całkiem rozwiązywalnych. Chociaż zadanie już bardzo przypomina profesora buta na piersi szczęśliwego studenta.
Rozwiązanie systemu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej
Metoda macierzy odwrotnej jest zasadniczo przypadkiem szczególnym równanie macierzowe(Patrz przykład nr 3 określonej lekcji).
Aby przestudiować tę sekcję, musisz umieć rozwinąć wyznaczniki, znaleźć macierz odwrotną i wykonać mnożenie macierzy. Odpowiednie linki zostaną podane w miarę postępów w wyjaśnianiu.
Przykład 11
Rozwiąż system metodą macierzową
Decyzja: Piszemy system w postaci macierzowej:
, gdzie 
Proszę spojrzeć na układ równań i macierze. Na jakiej zasadzie zapisujemy elementy w macierzach, myślę, że wszyscy rozumieją. Jedyny komentarz: gdyby w równaniach brakowało jakichś zmiennych, to w odpowiednich miejscach macierzy należałoby umieścić zera.
Macierz odwrotną znajdujemy według wzoru:
, gdzie jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy .
Najpierw zajmijmy się wyznacznikiem:
Tutaj wyznacznik jest rozszerzony o pierwszą linię.
Uwaga! Jeżeli , to macierz odwrotna nie istnieje i nie można rozwiązać układu metodą macierzową. W tym przypadku system jest rozwiązywany przez eliminację niewiadomych (metoda Gaussa).
Teraz trzeba obliczyć 9 nieletnich i wpisać je do macierzy nieletnich 
Odniesienie: Warto znać znaczenie podwójnych indeksów dolnych w algebrze liniowej. Pierwsza cyfra to numer wiersza, w którym znajduje się element. Druga cyfra to numer kolumny, w której znajduje się element: 
Oznacza to, że podwójny indeks dolny oznacza, że element znajduje się w pierwszym wierszu, trzeciej kolumnie, podczas gdy np. element znajduje się w trzecim wierszu, drugiej kolumnie
W trakcie rozwiązywania lepiej szczegółowo opisać obliczenia nieletnich, chociaż przy pewnym doświadczeniu można je dostosować tak, aby liczenie z błędami było ustnie.
W pierwszej części rozważaliśmy materiał teoretyczny, metodę podstawienia, a także metodę dodawania członów do równań systemowych. Wszystkim, którzy weszli na stronę poprzez tę stronę, polecam przeczytanie pierwszej części. Być może niektórzy zwiedzający uznają ten materiał za zbyt prosty, ale w trakcie rozwiązywania układów równań liniowych poczyniłem szereg bardzo ważnych uwag i wniosków dotyczących rozwiązywania problemów matematycznych w ogóle.
A teraz przeanalizujemy regułę Cramera, a także rozwiązanie układu równań liniowych za pomocą macierzy odwrotnej (metoda macierzowa). Wszystkie materiały są przedstawione prosto, szczegółowo i przejrzyście, prawie wszyscy czytelnicy będą mogli dowiedzieć się, jak rozwiązywać systemy za pomocą powyższych metod.
Najpierw rozważymy szczegółowo regułę Cramera dla układu dwóch równań liniowych w dwóch niewiadomych. Po co? „W końcu najprostszy system można rozwiązać metodą szkolną, dodając semestr po semestrze!
Faktem jest, że nawet jeśli czasami, ale jest takie zadanie - rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera. Po drugie, prostszy przykład pomoże ci zrozumieć, jak używać reguły Cramera w przypadku bardziej złożonego przypadku — układu trzech równań z trzema niewiadomymi.
Ponadto istnieją układy równań liniowych z dwiema zmiennymi, które zaleca się rozwiązywać dokładnie według reguły Cramera!
Rozważ układ równań
W pierwszym kroku obliczamy wyznacznik , nazywa się głównym wyznacznikiem systemu.
Metoda Gaussa.
Jeżeli , to system ma unikalne rozwiązanie, a żeby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze dwa wyznaczniki:
oraz
W praktyce powyższe kwalifikatory można również oznaczać literą łacińską.
Pierwiastki równania znajdują się za pomocą wzorów:
,
Przykład 7
Rozwiąż układ równań liniowych 
Decyzja: Widzimy, że współczynniki równania są dość duże, po prawej stronie są ułamki dziesiętne z przecinkiem. Przecinek jest dość rzadkim gościem w praktycznych zadaniach z matematyki, wziąłem ten układ z problemu ekonometrycznego.
Jak rozwiązać taki system? Możesz spróbować wyrazić jedną zmienną w kategoriach innej, ale w tym przypadku na pewno dostaniesz okropne fantazyjne ułamki, z którymi praca jest wyjątkowo niewygodna, a projekt rozwiązania będzie wyglądał po prostu okropnie. Możesz pomnożyć drugie równanie przez 6 i odjąć wyraz po wyrazie, ale tutaj pojawią się te same ułamki.
Co robić? W takich przypadkach na ratunek przychodzą formuły Cramera.
;
;
Odpowiedź: ,
Oba pierwiastki mają nieskończone ogony i można je znaleźć w przybliżeniu, co jest całkiem akceptowalne (a nawet powszechne) w przypadku problemów ekonometrycznych.
Komentarze nie są tutaj potrzebne, ponieważ zadanie jest rozwiązywane według gotowych wzorów, jest jednak jedno zastrzeżenie. Korzystając z tej metody, obowiązkowy Fragment zadania to następujący fragment: "więc system ma unikalne rozwiązanie". W przeciwnym razie recenzent może ukarać cię za lekceważenie twierdzenia Cramera.
Nie będzie zbyteczne sprawdzanie, co jest wygodne do przeprowadzenia na kalkulatorze: podstawiamy przybliżone wartości po lewej stronie każdego równania systemu. W rezultacie z małym błędem należy uzyskać liczby znajdujące się po prawej stronie.
Przykład 8
Wyraź swoją odpowiedź zwykłymi niewłaściwymi ułamkami. Sprawdź.
To jest przykład samodzielnego rozwiązania (przykład dobrego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).
Przechodzimy do rozważenia reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi:
Znajdujemy główny wyznacznik systemu:
Jeżeli , to system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny (nie ma rozwiązań). W takim przypadku reguła Cramera nie pomoże, musisz użyć metody Gaussa.
Jeżeli , to system ma unikalne rozwiązanie, a żeby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze trzy wyznaczniki: 
, 
, 
I na koniec odpowiedź jest obliczana ze wzorów: 
Jak widać, przypadek „trzy na trzy” zasadniczo nie różni się od przypadku „dwa na dwa”, kolumna wolnych terminów sekwencyjnie „przechodzi” od lewej do prawej wzdłuż kolumn głównego wyznacznika.
Przykład 9
Rozwiąż system za pomocą formuł Cramera. 
Decyzja: Rozwiążmy system za pomocą formuł Cramera. 
, dzięki czemu system posiada unikalne rozwiązanie.
Odpowiedź: 
.
Właściwie nie ma tu ponownie nic szczególnego do komentowania, zważywszy, że decyzja podejmowana jest według gotowych wzorów. Ale jest kilka uwag.
Zdarza się, że w wyniku obliczeń otrzymuje się „złe” ułamki nieredukowalne, np.: .
Polecam następujący algorytm „leczenia”. Jeśli nie ma pod ręką komputera, robimy to:
1) W obliczeniach może być błąd. Gdy tylko trafisz na „zły” strzał, musisz natychmiast sprawdzić, czy czy warunek został przepisany poprawnie?. Jeśli warunek zostanie przepisany bez błędów, należy ponownie obliczyć wyznaczniki za pomocą rozwinięcia w innym wierszu (kolumnie).
2) Jeżeli w wyniku sprawdzenia nie znaleziono żadnych błędów, najprawdopodobniej popełniono literówkę w stanie zadania. W takim przypadku spokojnie i DOKŁADNIE rozwiąż zadanie do końca, a następnie koniecznie sprawdź i sporządzić go na czystym egzemplarzu po podjęciu decyzji. Oczywiście sprawdzenie odpowiedzi ułamkowej to nieprzyjemne zadanie, ale będzie to rozbrajający argument dla nauczyciela, który, no cóż, naprawdę lubi stawiać minus za każdą złą rzecz. Jak radzić sobie z ułamkami, jest szczegółowo opisane w odpowiedzi na przykład 8.
Jeśli masz pod ręką komputer, użyj zautomatyzowanego programu, aby go sprawdzić, który można pobrać bezpłatnie na samym początku lekcji. Nawiasem mówiąc, najkorzystniej jest skorzystać z programu od razu (nawet przed uruchomieniem rozwiązania), od razu zobaczysz etap pośredni, na którym popełniłeś błąd! Ten sam kalkulator automatycznie oblicza rozwiązanie systemu metodą macierzową.
Druga uwaga. Od czasu do czasu pojawiają się układy w równaniach, w których brakuje niektórych zmiennych, na przykład: 
Tutaj w pierwszym równaniu nie ma zmiennej, w drugim nie ma zmiennej. W takich przypadkach bardzo ważne jest prawidłowe i UWAŻNE zapisanie głównego wyznacznika: – w miejsce brakujących zmiennych wstawiane są zera.
Nawiasem mówiąc, racjonalne jest otwieranie determinant z zerami w rzędzie (kolumnie), w którym znajduje się zero, ponieważ jest zauważalnie mniej obliczeń.
Przykład 10
Rozwiąż system za pomocą formuł Cramera. 
To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (wykończenie próbki i odpowiedź na końcu lekcji).
W przypadku układu 4 równań z 4 niewiadomymi, wzory Cramera zapisuje się według podobnych zasad. Możesz zobaczyć przykład na żywo w lekcji Determinant Properties. Zmniejszenie rzędu wyznacznika - pięć wyznaczników czwartego rzędu jest całkiem rozwiązywalnych. Chociaż zadanie już bardzo przypomina profesora buta na piersi szczęśliwego studenta.
Rozwiązanie systemu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej
Metoda macierzy odwrotnej jest zasadniczo przypadkiem szczególnym równanie macierzowe(Patrz przykład nr 3 określonej lekcji).
Aby przestudiować tę sekcję, musisz umieć rozwinąć wyznaczniki, znaleźć macierz odwrotną i wykonać mnożenie macierzy. Odpowiednie linki zostaną podane w miarę postępów w wyjaśnianiu.
Przykład 11
Rozwiąż system metodą macierzową 
Decyzja: Piszemy system w postaci macierzowej:
, gdzie
Proszę spojrzeć na układ równań i macierze. Na jakiej zasadzie zapisujemy elementy w macierzach, myślę, że wszyscy rozumieją. Jedyny komentarz: gdyby w równaniach brakowało jakichś zmiennych, to w odpowiednich miejscach macierzy należałoby umieścić zera.
Macierz odwrotną znajdujemy według wzoru:
, gdzie jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych odpowiednich elementów macierzy .
Najpierw zajmijmy się wyznacznikiem:
Tutaj wyznacznik jest rozszerzony o pierwszą linię.
Uwaga! Jeżeli , to macierz odwrotna nie istnieje i nie można rozwiązać układu metodą macierzową. W tym przypadku system jest rozwiązywany przez eliminację niewiadomych (metoda Gaussa).
Teraz trzeba obliczyć 9 nieletnich i wpisać je do macierzy nieletnich
Odniesienie: Warto znać znaczenie podwójnych indeksów dolnych w algebrze liniowej. Pierwsza cyfra to numer wiersza, w którym znajduje się element. Druga cyfra to numer kolumny, w której znajduje się element:
Oznacza to, że podwójny indeks dolny oznacza, że element znajduje się w pierwszym wierszu, trzeciej kolumnie, podczas gdy np. element znajduje się w trzecim wierszu, drugiej kolumnie
Gabriel Kramer - szwajcarski matematyk, uczeń i przyjaciel Johanna Bernoulliego, jednego z twórców algebry liniowej. Cramer rozważał układ dowolnej liczby równań liniowych z macierzą kwadratową. Przedstawił rozwiązanie układu w postaci kolumny ułamków o wspólnym mianowniku – wyznaczniku macierzy. Metoda Cramera opiera się na wykorzystaniu wyznaczników w rozwiązywaniu układów równań liniowych, co może znacząco przyspieszyć proces rozwiązywania. Ta metoda może być stosowana do rozwiązywania układu tylu równań liniowych, ile jest niewiadomych w każdym równaniu. Najważniejsze, że wyznacznik systemu nie powinien być równy „0”, wówczas w rozwiązaniu można zastosować metodę Cramera, jeśli „0” - tej metody nie można zastosować. Metoda ta może być również zastosowana do rozwiązywania układów równań liniowych z unikalnym rozwiązaniem.
Twierdzenie Cramera. Jeżeli wyznacznik układu jest niezerowy, to układ równań liniowych ma jedno rozwiązanie, a niewiadoma jest równa stosunkowi wyznaczników. Mianownik zawiera wyznacznik systemu, a licznik zawiera wyznacznik otrzymany z wyznacznika systemu przez zastąpienie współczynników nieznanymi przez wolne terminy. Twierdzenie to dotyczy układu równań liniowych dowolnego rzędu.
Załóżmy, że mamy taki SLAE:
\[\lewo\(\begin(macierz) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(macierz)\prawo.\]
Zgodnie z twierdzeniem Cramera otrzymujemy:
Odpowiedź: \
Gdzie mogę rozwiązać równanie metodą Cramera za pomocą solvera online?
Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz również obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszego grona, zawsze chętnie Ci pomożemy.
Niech układ równań liniowych zawiera tyle równań, ile jest zmiennych niezależnych, tj. ma formę
Takie układy równań liniowych nazywane są kwadratowymi. Wyznacznik złożony ze współczynników zmiennych niezależnych układu (1.5) nazywany jest głównym wyznacznikiem układu. Oznaczymy to grecką literą D. Tak więc
. (1.6)
Jeśli w głównym wyznaczniku arbitralny ( j th) kolumnę, zastąp ją kolumną wolnych członków systemu (1.5), wtedy możemy uzyskać więcej n wyznaczniki pomocnicze:
(j = 1, 2, …, n). (1.7)
Zasada Cramera rozwiązywanie układów kwadratowych równań liniowych wygląda następująco. Jeżeli główny wyznacznik D systemu (1.5) jest niezerowy, to system ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć za pomocą wzorów:
(1.8)
Przykład 1.5. Rozwiąż układ równań metodą Cramera
.
Obliczmy główny wyznacznik systemu:
Od D¹0 system posiada unikalne rozwiązanie, które można znaleźć za pomocą wzorów (1.8):
Zatem,
Akcje macierzy
1. Mnożenie macierzy przez liczbę. Operacja mnożenia macierzy przez liczbę jest zdefiniowana w następujący sposób.
2. Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć wszystkie jej elementy przez tę liczbę. Tj
. (1.9)
Przykład 1.6. 
.
Dodawanie macierzy.
Ta operacja jest wprowadzana tylko dla macierzy tego samego rzędu.
Aby dodać dwie macierze, konieczne jest dodanie odpowiednich elementów drugiej macierzy do elementów jednej macierzy:
(1.10)
Operacja dodawania macierzy ma właściwości asocjatywności i przemienności.
Przykład 1.7. 
.
Mnożenie macierzy.
Jeśli liczba kolumn macierzy ALE pasuje do liczby wierszy macierzy W, to dla takich macierzy wprowadza się operację mnożenia:
2 
Tak więc przy mnożeniu macierzy ALE wymiary m´ n do matrycy W wymiary n´ k otrzymujemy macierz Z wymiary m´ k. W tym przypadku elementy macierzy Z obliczane są według następujących wzorów:
Problem 1.8. Znajdź, jeśli to możliwe, iloczyn macierzy AB oraz BA:
Decyzja. 1) Aby znaleźć pracę AB, potrzebujesz wierszy macierzy A pomnóż przez kolumny macierzy B:
2) Grafika BA nie istnieje, bo liczba kolumn macierzy B nie zgadza się z liczbą wierszy macierzy A.
Macierz odwrotna. Rozwiązywanie układów równań liniowych w sposób macierzowy
Matryca A- 1 nazywamy odwrotnością macierzy kwadratowej ALE jeśli równość jest zachowana:
gdzie przez I oznacza macierz jednostkową tego samego rzędu co macierz ALE:
.
Aby macierz kwadratowa miała odwrotność, konieczne i wystarczające jest, aby jej wyznacznik był niezerowy. Macierz odwrotna znajduje się według wzoru:
, (1.13)
gdzie A ij- algebraiczne dodatki do elementów aij matryce ALE(zauważ, że algebraiczne dodatki do wierszy macierzy ALE są ułożone w macierzy odwrotnej w postaci odpowiednich kolumn).
Przykład 1.9. Znajdź macierz odwrotną A- 1 do matrycy
.
Znajdujemy macierz odwrotną ze wzoru (1.13), która dla przypadku n= 3 wygląda tak:
.
Znajdźmy det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Ponieważ wyznacznik pierwotnej macierzy jest różny od zera, to macierz odwrotna istnieje.
1) Znajdź dodatki algebraiczne A ij:
Dla wygody znajdowania macierzy odwrotnej umieściliśmy dodatki algebraiczne w wierszach macierzy oryginalnej w odpowiednich kolumnach.
Z otrzymanych dodatków algebraicznych składamy nową macierz i dzielimy ją przez wyznacznik det A. W ten sposób otrzymamy macierz odwrotną:
Kwadratowe układy równań liniowych z niezerowym wyznacznikiem głównym można rozwiązywać za pomocą macierzy odwrotnej. W tym celu system (1.5) jest napisany w postaci macierzowej:
gdzie 
Mnożenie obu stron równości (1,14) po lewej przez A- 1 otrzymujemy rozwiązanie systemu:
, gdzie
Tak więc, aby znaleźć rozwiązanie układu kwadratowego, należy znaleźć macierz odwrotną do macierzy głównej układu i pomnożyć ją z prawej strony przez macierz kolumnową wyrazów swobodnych.
Problem 1.10. Rozwiąż układ równań liniowych
za pomocą macierzy odwrotnej.
Decyzja. System zapisujemy w postaci macierzowej: ,
gdzie 
jest główną macierzą systemu, jest kolumną niewiadomych i jest kolumną wolnych terminów. Ponieważ główny wyznacznik systemu 
, to główna macierz systemu ALE ma macierz odwrotną ALE-jeden . Aby znaleźć macierz odwrotną ALE-1 , oblicz dopełnienia algebraiczne do wszystkich elementów macierzy ALE:
Z otrzymanych liczb składamy macierz (dodatkowo algebraiczne do wierszy macierzy ALE napisz w odpowiednich kolumnach) i podziel przez wyznacznik D. W ten sposób znaleźliśmy macierz odwrotną:
Rozwiązanie układu znajduje się wzorem (1.15):
Zatem,
Rozwiązywanie układów równań liniowych przez zwykłe wyjątki Jordana
Niech dany będzie dowolny (niekoniecznie kwadratowy) układ równań liniowych:
(1.16)
Wymagane jest znalezienie rozwiązania systemu, tj. taki zbiór zmiennych, który spełnia wszystkie równości systemu (1.16). W ogólnym przypadku system (1.16) może mieć nie tylko jedno rozwiązanie, ale także nieskończoną liczbę rozwiązań. Może też w ogóle nie mieć rozwiązań.
Przy rozwiązywaniu takich problemów stosuje się znaną metodę eliminacji niewiadomych z kursu szkolnego, zwaną też metodą zwykłych eliminacji jordańskich. Istota tej metody polega na tym, że w jednym z równań układu (1.16) jedna ze zmiennych jest wyrażona w postaci innych zmiennych. Następnie ta zmienna jest podstawiona do innych równań układu. Wynikiem jest układ, który zawiera jedno równanie i jedną zmienną mniej niż oryginalny układ. Zapamiętuje się równanie, z którego wyrażono zmienną.
Proces ten jest powtarzany, aż w systemie pozostanie ostatnie równanie. W procesie eliminacji niewiadomych niektóre równania mogą na przykład przekształcić się w prawdziwe tożsamości. Takie równania są wykluczone z systemu, ponieważ są ważne dla dowolnych wartości zmiennych, a zatem nie wpływają na rozwiązanie systemu. Jeśli w procesie eliminacji niewiadomych przynajmniej jedno równanie stanie się równością, której nie można spełnić dla żadnych wartości zmiennych (na przykład ), to dochodzimy do wniosku, że układ nie ma rozwiązania.
Jeżeli w trakcie rozwiązywania niespójnych równań nie powstały, to jedna z pozostałych w nim zmiennych znajduje się z ostatniego równania. Jeżeli w ostatnim równaniu pozostaje tylko jedna zmienna, to jest ona wyrażona jako liczba. Jeżeli w ostatnim równaniu pozostaną inne zmienne, to są one uważane za parametry, a wyrażona przez nie zmienna będzie funkcją tych parametrów. Następnie wykonywany jest tak zwany „ruch wsteczny”. Znaleziona zmienna jest podstawiona do ostatniego zapamiętanego równania i znajduje się druga zmienna. Następnie dwie znalezione zmienne są podstawiane do przedostatniego zapamiętanego równania i znajduje się trzecia zmienna i tak dalej, aż do pierwszego zapamiętanego równania.
W efekcie otrzymujemy rozwiązanie systemu. To rozwiązanie będzie jedyne, jeśli znalezione zmienne są liczbami. Jeżeli pierwsza znaleziona zmienna, a potem wszystkie pozostałe zależą od parametrów, to system będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań (każdy zestaw parametrów odpowiada nowemu rozwiązaniu). Formuły pozwalające na znalezienie rozwiązania układu w zależności od określonego zestawu parametrów nazywane są ogólnym rozwiązaniem układu.
Przykład 1.11.
x
Po zapamiętaniu pierwszego równania 
i przynosząc podobne terminy w równaniach drugim i trzecim, dochodzimy do układu:
Wyrazić tak z drugiego równania i podstaw je do pierwszego równania:
Zapamiętaj drugie równanie, a od pierwszego znajdujemy z:
Wykonując ruch odwrotny, sukcesywnie znajdujemy tak oraz z. Aby to zrobić, najpierw podstawiamy do ostatniego zapamiętanego równania , z którego znajdujemy tak:
.
Następnie podstawiamy i do pierwszego zapamiętanego równania skąd znajdujemy x:
Problem 1.12. Rozwiąż układ równań liniowych, eliminując niewiadome:
. (1.17)
Decyzja. Wyraźmy zmienną z pierwszego równania x i zastąp go równaniami drugim i trzecim:
.
Zapamiętaj pierwsze równanie 
W tym układzie pierwsze i drugie równanie są ze sobą sprzeczne. Rzeczywiście, wyrażając tak 
otrzymujemy 14 = 17. Ta równość nie jest spełniona, dla dowolnych wartości zmiennych x, tak, oraz z. W konsekwencji system (1.17) jest niespójny, tj. nie ma rozwiązania.
Zachęca się czytelników do samodzielnego sprawdzenia, czy główny wyznacznik oryginalnego systemu (1.17) jest równy zero.
Rozważmy system, który różni się od systemu (1.17) tylko jednym wolnym terminem.
Problem 1.13. Rozwiąż układ równań liniowych, eliminując niewiadome:
. (1.18)
Decyzja. Tak jak poprzednio, wyrażamy zmienną z pierwszego równania x i zastąp go równaniami drugim i trzecim:
.
Zapamiętaj pierwsze równanie a podobne terminy przedstawiamy w równaniach drugim i trzecim. Dochodzimy do systemu:
wyrażający tak z pierwszego równania i podstawiając go do drugiego równania , otrzymujemy tożsamość 14 = 14, która nie wpływa na rozwiązanie systemu, a co za tym idzie może być wykluczona z systemu.
W ostatniej zapamiętanej równości zmienna z będą traktowane jako parametr. Wierzymy . Następnie
Zastąpić tak oraz z w pierwszą zapamiętaną równość i znajdź x:
.
Zatem system (1.18) ma nieskończony zbiór rozwiązań, a dowolne rozwiązanie można znaleźć za pomocą wzorów (1.19) wybierając dowolną wartość parametru t:
(1.19)
Tak więc rozwiązania systemu są na przykład następującymi zbiorami zmiennych (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Wzory (1.19) wyrażają ogólne (dowolne) rozwiązanie systemu (1.18 ).
W przypadku, gdy pierwotny układ (1.16) ma wystarczająco dużą liczbę równań i niewiadomych, wskazana metoda zwykłych eliminacji Jordana wydaje się kłopotliwa. Jednak tak nie jest. Wystarczy wyprowadzić algorytm przeliczania współczynników układu w jednym kroku w postaci ogólnej i sformalizować rozwiązanie problemu w postaci specjalnych tablic Jordana.
Niech dany będzie układ form liniowych (równań):
, (1.20)
gdzie xj- zmienne niezależne (pożądane), aij- stałe współczynniki
(ja = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Właściwe części systemu ja ja (ja = 1, 2,…, m) mogą być zarówno zmiennymi (zależnymi), jak i stałymi. Wymagane jest znalezienie rozwiązań tego systemu poprzez eliminację niewiadomych.
Rozważmy następującą operację, zwaną dalej „jednym krokiem zwykłych wyjątków jordańskich”. Z dowolnego ( r th) równość, wyrażamy dowolną zmienną ( x s) i zamień na wszystkie inne równości. Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy, gdy rs¹ 0. Współczynnik rs nazywany jest elementem rozstrzygającym (czasem prowadzącym lub głównym).
Otrzymamy następujący system:
. (1.21)
Od s równość systemu (1.21), następnie znajdziemy zmienną x s(po znalezieniu innych zmiennych). S Linia ta jest zapamiętywana, a następnie usuwana z systemu. Pozostały układ będzie zawierał jedno równanie i jedną mniej zmienną niezależną niż układ pierwotny.
Obliczmy współczynniki układu wynikowego (1,21) w kategoriach współczynników układu pierwotnego (1,20). Zacznijmy r równanie, które po wyrażeniu zmiennej x s przez resztę zmiennych będzie wyglądać tak:
Zatem nowe współczynniki r równania są obliczane według następujących wzorów:
(1.23)
Obliczmy teraz nowe współczynniki b ij(i¹ r) dowolnego równania. W tym celu podstawiamy zmienną wyrażoną w (1.22) x s w i równanie układu (1.20):
Po przedstawieniu podobnych warunków otrzymujemy:
(1.24)
Z równości (1,24) otrzymujemy wzory, za pomocą których obliczane są pozostałe współczynniki układu (1.21) (z wyjątkiem r równanie):
(1.25)
Przekształcenia układów równań liniowych metodą zwykłych eliminacji jordańskich przedstawiono w postaci tablic (macierzy). Te stoły nazywane są „stołami Jordan”.
Tak więc problem (1.20) jest powiązany z następującą tabelą Jordana:
Tabela 1.1
| x 1 | x 2 | … | xj | … | x s | … | x n | |
| tak 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| ja ja= | ja 1 | ja 2 | aij | jest | in | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| y r= | r 1 | r 2 | rj | rs | rn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n= | jestem 1 | jestem 2 | mj | ms | amni |
Tabela Jordan 1.1 zawiera lewą kolumnę nagłówkową, w której zapisane są prawe części systemu (1.20), oraz górny wiersz nagłówka, w którym zapisane są zmienne niezależne.
Pozostałe elementy tabeli tworzą główną macierz współczynników układu (1.20). Jeśli pomnożymy macierz ALE do macierzy składającej się z elementów górnego wiersza nagłówka, otrzymujemy macierz złożoną z elementów lewej kolumny nagłówka. Oznacza to, że w istocie tablica Jordana jest macierzową formą zapisu układu równań liniowych: . W tym przypadku systemowi (1.21) odpowiada poniższa tabela Jordan:
Tabela 1.2
| x 1 | x 2 | … | xj | … | y r | … | x n | |
| tak 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| yi = | b ja 1 | b ja 2 | b ij | b jest | b w | |||
| ………………………………………………………………….. | ||||||||
| x s = | br 1 | br 2 | b rj | brs | brn | |||
| …………………………………………………………………. | ||||||||
| y n = | bm 1 | bm 2 | bmj | b ms | bmn |
Element zezwalający rs podkreślimy pogrubioną czcionką. Przypomnijmy, że aby zaimplementować jeden krok wyjątków Jordana, element rozstrzygający musi być niezerowy. Wiersz tabeli zawierający element zezwalający nazywany jest wierszem zezwalającym. Kolumna zawierająca element enable nazywana jest kolumną enable. Przechodząc z danej tabeli do następnej tabeli, jedna zmienna ( x s) z górnego rzędu nagłówka tabeli zostaje przeniesiony do lewej kolumny nagłówka i odwrotnie, jeden z wolnych elementów systemu ( y r) jest przenoszony z lewej kolumny nagłówka tabeli do górnego wiersza nagłówka.
Opiszmy algorytm przeliczania współczynników w przejściu z tablicy Jordana (1.1) do tablicy (1.2), który wynika ze wzorów (1.23) i (1.25).
1. Element uruchamiający zastępuje się liczbą odwrotną:
2. Pozostałe elementy linii permisywnej dzielimy elementem permisywnym i zmieniamy znak na przeciwny: 
3. Pozostałe elementy kolumny aktywującej dzielą się na element aktywujący: 
4. Elementy, które nie są zawarte w rozstrzygającym wierszu i rozstrzyganej kolumnie są przeliczane według wzorów: 
Ta ostatnia formuła jest łatwa do zapamiętania, jeśli zauważysz, że elementy tworzące ułamek 
, są na skrzyżowaniu i-o I r-ta linia i j i s-ta kolumna (rozliczany wiersz, rozstrzygana kolumna oraz wiersz i kolumna, na przecięciu których znajduje się przeliczany element). Dokładniej, zapamiętując formułę 
możesz skorzystać z poniższego wykresu:
Wykonując pierwszy krok wyjątków jordańskich, dowolny element tabeli 1.3 znajdujący się w kolumnach x 1 ,…, x 5 (wszystkie podane elementy nie są równe zeru). Powinieneś wybrać nie tylko element włączający w ostatniej kolumnie, ponieważ trzeba znaleźć zmienne niezależne x 1 ,…, x 5 . Wybieramy np. współczynnik 1 ze zmienną x 3 w trzecim rzędzie tabeli 1.3 (element włączający zaznaczono pogrubioną czcionką). Po przejściu do tabeli 1.4 zmienna x 3 z górnego wiersza nagłówka jest zamieniane na stałą 0 z lewej kolumny nagłówka (trzeci wiersz). Jednocześnie zmienna x 3 wyraża się w pozostałych zmiennych.
strunowy x 3 (tab. 1.4) można, po uprzednim zapamiętaniu, wyłączyć z tabeli 1.4. Tabela 1.4 wyklucza również trzecią kolumnę z zerem w górnym wierszu nagłówka. Chodzi o to, że niezależnie od współczynników tej kolumny b ja 3 wszystkie odpowiadające mu terminy każdego równania 0 b ja 3 systemy będą równe zeru. Dlatego tych współczynników nie można obliczyć. Eliminacja jednej zmiennej x 3 i pamiętając jedno z równań, dochodzimy do układu odpowiadającego Tabeli 1.4 (z przekreśloną linią x 3). Wybór w tabeli 1.4 jako elementu rozstrzygającego b 14 = -5, przejdź do tabeli 1.5. W tabeli 1.5 zapamiętujemy pierwszy wiersz i wykluczamy go z tabeli wraz z czwartą kolumną (z zerem na górze).
Tabela 1.5 Tabela 1.6
Z ostatniej tabeli 1.7 znajdujemy: x 1 = - 3 + 2x 5 .
Kolejno zastępując już znalezione zmienne w zapamiętanych wierszach, znajdujemy pozostałe zmienne:
W ten sposób system ma nieskończoną liczbę rozwiązań. zmienny x 5 , możesz przypisać dowolne wartości. Ta zmienna działa jako parametr x 5 = t. Udowodniliśmy kompatybilność systemu i znaleźliśmy jego ogólne rozwiązanie:
x 1 = - 3 + 2t
x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t
x 5 = t
Podanie parametru t różne wartości, otrzymujemy nieskończoną ilość rozwiązań oryginalnego systemu. Na przykład rozwiązaniem systemu jest następujący zestaw zmiennych (- 3; - 1; - 2; 4; 0).
Metoda Cramera opiera się na wykorzystaniu wyznaczników do rozwiązywania układów równań liniowych. To znacznie przyspiesza proces rozwiązywania.
Metodę Cramera można wykorzystać do rozwiązania układu tylu równań liniowych, ile jest niewiadomych w każdym równaniu. Jeżeli wyznacznik układu nie jest równy zero, to w rozwiązaniu można zastosować metodę Cramera, jeśli jest równy zero, to nie może. Ponadto metoda Cramera może być wykorzystana do rozwiązywania układów równań liniowych, które mają unikalne rozwiązanie.
Definicja. Wyznacznik, złożony ze współczynników niewiadomych, nazywany jest wyznacznikiem układu i jest oznaczony przez (delta).
Determinanty
są otrzymywane przez zastąpienie współczynników przy odpowiednich niewiadomych przez wolne terminy:
;
.
Twierdzenie Cramera. Jeżeli wyznacznik układu jest niezerowy, to układ równań liniowych ma jedno rozwiązanie, a niewiadoma jest równa stosunkowi wyznaczników. Mianownik zawiera wyznacznik systemu, a licznik zawiera wyznacznik otrzymany z wyznacznika systemu przez zastąpienie współczynników nieznanymi przez wolne terminy. Twierdzenie to dotyczy układu równań liniowych dowolnego rzędu.
Przykład 1 Rozwiąż układ równań liniowych:
Według Twierdzenie Cramera mamy:
Tak więc rozwiązanie systemu (2):
kalkulator online, metoda rozwiązania Cramera.
Trzy przypadki rozwiązywania układów równań liniowych
Jak wynika z Twierdzenia Cramera, przy rozwiązywaniu układu równań liniowych mogą wystąpić trzy przypadki:
Przypadek pierwszy: układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie
(system jest spójny i określony)
Drugi przypadek: układ równań liniowych ma nieskończoną liczbę rozwiązań
(system jest spójny i nieokreślony)
** 
,
tych. współczynniki niewiadomych i wolnych terminów są proporcjonalne.
Przypadek trzeci: układ równań liniowych nie ma rozwiązań
(niespójny system)
Więc system m równania liniowe z n zmienne nazywa się niekompatybilny jeśli nie ma rozwiązań i połączenie jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. Nazywa się wspólny układ równań, który ma tylko jedno rozwiązanie niektórzy i więcej niż jeden niepewny.
Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych metodą Cramera
Niech system
.
Na podstawie twierdzenia Cramera
………….
,
gdzie 
-
identyfikator systemu. Pozostałe determinanty uzyskuje się zastępując kolumnę współczynnikami odpowiedniej zmiennej (nieznanej) wolnymi członkami:
Przykład 2
Dlatego system jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy determinanty
Według wzorów Cramera znajdujemy:
Tak więc (1; 0; -1) jest jedynym rozwiązaniem tego systemu.
Aby sprawdzić rozwiązania układów równań 3 X 3 i 4 X 4, możesz skorzystać z kalkulatora internetowego, metody rozwiązywania Cramera.
Jeżeli w układzie równań liniowych w jednym lub kilku równaniach nie ma zmiennych, to w wyznaczniku odpowiadające im elementy są równe zero! To jest następny przykład.
Przykład 3 Rozwiąż układ równań liniowych metodą Cramera:
.
Decyzja. Znajdujemy wyznacznik systemu:
Przyjrzyj się dokładnie układowi równań i wyznacznikowi układu i powtórz odpowiedź na pytanie, w jakich przypadkach jeden lub więcej elementów wyznacznika jest równy zero. Czyli wyznacznik nie jest równy zero, a więc system jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy wyznaczniki dla niewiadomych
Według wzorów Cramera znajdujemy:
Tak więc rozwiązanie systemu to (2; -1; 1).
Aby sprawdzić rozwiązania układów równań 3 X 3 i 4 X 4, możesz skorzystać z kalkulatora internetowego, metody rozwiązywania Cramera.
Na górze strony
Wspólnie kontynuujemy rozwiązywanie układów metodą Cramer
Jak już wspomniano, jeśli wyznacznik układu jest równy zero, a wyznaczniki niewiadomych nie są równe zeru, to układ jest niespójny, czyli nie ma rozwiązań. Zilustrujmy następujący przykład.
Przykład 6 Rozwiąż układ równań liniowych metodą Cramera:
Decyzja. Znajdujemy wyznacznik systemu:
Wyznacznik układu jest równy zero, dlatego układ równań liniowych jest albo niespójny i określony, albo niespójny, to znaczy nie ma rozwiązań. Dla wyjaśnienia obliczamy wyznaczniki dla niewiadomych
Wyznaczniki dla niewiadomych nie są równe zeru, dlatego układ jest niespójny, czyli nie ma rozwiązań.
Aby sprawdzić rozwiązania układów równań 3 X 3 i 4 X 4, możesz skorzystać z kalkulatora internetowego, metody rozwiązywania Cramera.
W zadaniach dotyczących układów równań liniowych występują również takie, w których oprócz liter oznaczających zmienne występują również inne litery. Te litery oznaczają pewną liczbę, najczęściej liczbę rzeczywistą. W praktyce takie równania i układy równań prowadzą do problemów ze znalezieniem ogólnych właściwości dowolnych zjawisk i obiektów. Czyli wymyśliłeś jakiś nowy materiał lub urządzenie i aby opisać jego właściwości, które są powszechne niezależnie od wielkości czy liczby kopii, musisz rozwiązać układ równań liniowych, w którym zamiast niektórych współczynników dla zmiennych są litery. Przykładów nie trzeba daleko szukać.
Następny przykład dotyczy podobnego problemu, wzrasta tylko liczba równań, zmiennych i liter oznaczających pewną liczbę rzeczywistą.
Przykład 8 Rozwiąż układ równań liniowych metodą Cramera:
Decyzja. Znajdujemy wyznacznik systemu:
Znajdowanie wyznaczników dla niewiadomych
