Kā atrast funkcijas grafika parabolas virsotni. Kā atrast parabolas virsotni: trīs formulas

Ikviens zina, kas ir parabola. Bet kā to pareizi izmantot, kompetenti risinot dažādas praktiskas problēmas, mēs sapratīsim tālāk.

Pirmkārt, apzīmēsim pamatjēdzienus, ko algebra un ģeometrija piešķir šim terminam. Apsveriet visu iespējamie veidišī diagramma.

Mēs apgūstam visas šīs funkcijas galvenās īpašības. Izpratīsim līknes (ģeometrijas) konstruēšanas pamatus. Uzzināsim, kā atrast augšējo, citas šāda veida diagrammas pamatvērtības.

Noskaidrosim: kā atbilstoši vienādojumam pareizi sastādīta vajadzīgā līkne, kam jāpievērš uzmanība. Apskatīsim galveno praktiska izmantošanašī unikālā vērtība cilvēka dzīvē.

Kas ir parabola un kā tā izskatās

Algebra: šis termins attiecas uz kvadrātiskās funkcijas grafiku.

Ģeometrija: šī ir otrās kārtas līkne, kurai ir vairākas īpašas iezīmes:

Kanoniskais parabolas vienādojums

Attēlā parādīta taisnstūra koordinātu sistēma (XOY), ekstrēma, funkcijas virziens, kas zīmē zarus pa abscisu asi.

Kanoniskais vienādojums ir:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kur koeficients p ir parabolas (AF) fokusa parametrs.

Algebrā tas tiek rakstīts savādāk:

y = a x 2 + b x + c (atpazīstams modelis: y = x 2).

Kvadrātfunkcijas īpašības un grafiks

Funkcijai ir simetrijas ass un centrs (ekstrēmums). Definīcijas domēns ir visas x ass vērtības.

Funkcijas vērtību diapazons - (-∞, M) vai (M, +∞) ir atkarīgs no līknes zaru virziena. Parametrs M šeit nozīmē funkcijas vērtību rindas augšpusē.

Kā noteikt, kur ir vērsti parabolas zari

Lai no izteiksmes atrastu šāda veida līknes virzienu, pirms algebriskās izteiksmes pirmā parametra jānorāda zīme. Ja a ˃ 0, tad tie ir vērsti uz augšu. Pretējā gadījumā uz leju.

Kā atrast parabolas virsotni, izmantojot formulu

Ekstrēma atrašana ir galvenais solis daudzu praktisku problēmu risināšanā. Protams, jūs varat atvērt īpašu tiešsaistes kalkulatori bet labāk to izdarīt pašam.

Kā to definēt? Ir īpaša formula. Ja b nav vienāds ar 0, mums ir jāmeklē šī punkta koordinātas.

Formulas topu atrašanai:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Piemērs.

Ir funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Atradīsim šīs funkcijas virsotnes.

Šādai līnijai:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Mēs iegūstam virsotnes koordinātas (-2, -41).

Parabolas nobīde

Klasiskais gadījums ir, kad kvadrātfunkcijā y = a x 2 + b x + c otrais un trešais parametrs ir 0 un = 1 - virsotne atrodas punktā (0; 0).

Kustība pa abscisu vai ordinātu asīm ir saistīta ar attiecīgi parametru b un c izmaiņām. Līnijas nobīde plaknē tiks veikta tieši ar vienību skaitu, kas ir vienāds ar parametra vērtību.

Piemērs.

Mums ir: b = 2, c = 3.

Tas nozīmē, ka klasiskais līknes skats nobīdīsies par 2 vienībām pa abscisu asi un par 3 pa ordinātu asi.

Kā izveidot parabolu, izmantojot kvadrātvienādojumu

Skolēniem ir svarīgi iemācīties pareizi uzzīmēt parabolu atbilstoši dotajiem parametriem.

Analizējot izteiksmes un vienādojumus, varat redzēt:

1. Vēlamās taisnes krustpunktam ar ordinātu vektoru būs vērtība, kas vienāda ar c.
2. Visi grafika punkti (gar x asi) būs simetriski attiecībā pret funkcijas galveno galējību.

Turklāt krustojumus ar OX var atrast, zinot šādas funkcijas diskriminantu (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Lai to izdarītu, izteiksme ir jāpielīdzina nullei.

Parabolas sakņu klātbūtne ir atkarīga no rezultāta:

• D ˃ 0, tad x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, tad x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tad nav krustošanās punktu ar vektoru OX.

Mēs iegūstam parabolas konstruēšanas algoritmu:

• noteikt zaru virzienu;
• atrast virsotnes koordinātas;
• atrast krustpunktu ar y asi;
• atrodiet krustojumu ar x asi.

1. piemērs

Dota funkcija y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Ir nepieciešams izveidot parabolu. Mēs rīkojamies pēc algoritma:

1. a \u003d 1, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
2. galējās koordinātas: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. krustojas ar y asi pie vērtības y = 4;
4. atrodi diskriminantu: D = 25 - 16 = 9;
5. meklē saknes

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (desmit).

2. piemērs

Funkcijai y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 jums ir jāveido parabola. Mēs rīkojamies saskaņā ar iepriekš minēto algoritmu:

1. a \u003d 3, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
2. galējās koordinātas: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. ar y asi krustosies ar vērtību y \u003d -1;
4. atrodiet diskriminantu: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Tātad saknes:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

No iegūtajiem punktiem var uzbūvēt parabolu.

Virziens, ekscentriskums, parabolas fokuss

Pamatojoties kanoniskais vienādojums, fokusam F ir koordinātas (p/2, 0).

Taisnā līnija AB ir virziens (noteikta garuma parabolas akords). Viņas vienādojums ir x = -p/2.

Ekscentriskums (konstante) = 1.

Secinājums

Mēs izskatījām tēmu, kurā studenti mācās vidusskola. Tagad, aplūkojot parabolas kvadrātfunkciju, jūs zināt, kā atrast tās virsotni, kurā virzienā tiks virzīti zari, vai ir nobīde gar asīm, un, izmantojot konstruēšanas algoritmu, varat uzzīmēt tās grafiku.

Formas funkcija , kur tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.

Kvadrātfunkcijas grafiks − parabola.

Apsveriet šādus gadījumus:

I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA

T.i., ,

Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:

Atzīmēt punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. koordinātu plaknē (jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (šajā gadījumā 1. solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemam, jo ​​vienmērīgāka ir līkne), mēs iegūstam parabolu:

Ir viegli redzēt, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, tad iegūstam parabolu, kas ir simetriska ap asi (vēršis). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:

II GADĪJUMS, "A" ATŠĶIRĪGI NO VIENA

Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajā attēlā (skatīt iepriekš) skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordinātu reizina ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi strīdamies arī 2. un 3. attēla gadījumos.

Un, kad parabola "kļūst platāka", parabola:

Atgādināsim:

1)Koeficienta zīme ir atbildīga par zaru virzienu. With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos”, “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola, jo mazāka |a|, jo platāka parabola.

III GADĪJUMS, PARĀDĀS "C".

Tagad liksim spēlē (tas ir, mēs izskatīsim gadījumu, kad ), mēs izskatīsim formas parabolas. Ir viegli uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola pārvietosies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:

IV LIETAS, PARĀDĀS "b".

Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstāj būt vienāds.

Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .

Tātad šajā punktā (kā punktā (0; 0) jauna sistēma koordinātes) uzbūvēsim parabolu, kas jau ir mūsu spēkos. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu , tad no augšas mēs noliekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no augšas noliekam vienu atsevišķu segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.

Piemēram, parabolas virsotne:

Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas veidnes, jo mūsu gadījumā.

Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordinātu atrašanas ir ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:

1) parabola jāiziet cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas un asi (oy) krustošanās punkta ordināta, tā ir. Mūsu piemērā (iepriekš), parabola krustojas ar y asi pie , jo .

2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs uzreiz ņemam punktu (0; -2) un izveidojam parabolu simetriski ap simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.

3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mums ir sakne no diskriminanta - nevis vesels skaitlis, to veidojot, mums nav jēgas atrast saknes, taču mēs varam skaidri redzēt, ka mums būs divi krustošanās punkti ar (ak) ass (kopš virsraksta = "(!LANG: atveidoja QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tātad, strādāsim

Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā

1) noteikt zaru virzienu (a>0 - uz augšu, a<0 – вниз)

2) atrast parabolas virsotnes koordinātas pēc formulas , .

3) parabolas krustošanās punktu ar asi (oy) atrodam pēc brīvā termiņa, izveidojam punktu, kas ir simetrisks dotajam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka tas ir nav izdevīgi atzīmēt šo punktu, piemēram, jo ​​vērtība ir liela ... mēs izlaižam šo punktu ...)

4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0; 0)) uzbūvējam parabolu. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie paši vēl nav “izgājuši uz virsmas”), atrisinot vienādojumu

1. piemērs

2. piemērs

1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to izveidot būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?

Ņemsim kvadrātveida trinomu un atlasiet tajā pilnu kvadrātu: Skatiet, mēs saņēmām, ka , . Mēs iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad.

Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (nosacīti). Tas ir, mēs veicam 1. darbību; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).

2. piezīme. Ja parabola ir dota līdzīgā formā (tas ir, attēlota kā divu lineāru faktoru reizinājums), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar (x) asi. Šajā gadījumā - (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.

Parabola ir kvadrātfunkcijas grafiks. Šai līnijai ir nozīmīga fiziskā vērtība. Lai būtu vieglāk atrast parabolas virsotni, tā ir jāuzzīmē. Tad jūs varat viegli redzēt tās augšdaļu diagrammā. Bet, lai izveidotu parabolu, jums jāzina, kā atrast parabolas punktus un kā atrast parabolas koordinātas.

Parabolas punktu un virsotņu atrašana

AT vispārēja ideja kvadrātfunkcijai ir šāda forma: y = ax 2 + bx + c. grafiks dots vienādojums ir parabola. Ja vērtība a > 0, tās atzari ir vērsti uz augšu, bet, ja vērtība a ‹ 0 - uz leju. Lai izveidotu parabolu grafikā, jums jāzina trīs punkti, ja tā iet gar y asi. Pretējā gadījumā ir jāzina četri būvniecības punkti.

Atrodot abscisu (x), no dotās polinoma formulas jāņem koeficients pie (x) un pēc tam dala ar divkāršu koeficientu pie (x 2) un pēc tam jāreizina ar skaitli - 1.

Lai atrastu ordinātu, jāatrod diskriminants, pēc tam jāreizina ar -1 un pēc tam jādala ar koeficientu pie (x 2), pēc tā reizināšanas ar 4.

Tālāk, aizstājot skaitliskās vērtības, tiek aprēķināta parabolas virsotne. Visiem aprēķiniem ieteicams izmantot inženiertehnisko kalkulatoru, bet, zīmējot grafikus un parabolas, izmantojiet lineālu un lumogrāfu, tas ievērojami palielinās jūsu aprēķinu precizitāti.

Apsveriet šādu piemēru, lai palīdzētu mums saprast, kā atrast parabolas virsotni.

x 2 -9=0. Šajā gadījumā virsotņu koordinātas aprēķina šādi: punkts 1 (-0/(2*1); punkts 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)). Tādējādi virsotnes koordinātas ir vērtības (0; 9).

Virsotnes abscisu atrašana

Kad jūs zināt, kā atrast parabolu un varat aprēķināt tās krustošanās punktus ar x asi, varat viegli aprēķināt virsotnes abscisu.

Pieņemsim, ka (x 1) un (x 2) ir parabolas saknes. Parabolas saknes ir tās krustošanās punkti ar x asi. Šīs vērtības anulē šādu kvadrātvienādojumu: ax 2 + bx + c.

Turklāt |x 2 | > |x 1 |, tad parabolas virsotne atrodas vidū starp tām. Tādējādi to var atrast ar šādu izteiksmi: x 0 \u003d ½ (|x 2 | - |x 1 |).

Figūras laukuma atrašana

Lai atrastu figūras laukumu koordinātu plaknē, jums jāzina integrālis. Un, lai to pielietotu, pietiek zināt noteiktus algoritmus. Lai atrastu apgabalu, ko ierobežo parabolas, ir nepieciešams izveidot tā attēlu Dekarta koordinātu sistēmā.

Vispirms saskaņā ar iepriekš aprakstīto metodi nosaka ass augšdaļas koordinātu (x), pēc tam asi (y), pēc kuras tiek atrasta parabolas augšdaļa. Tagad ir jānosaka integrācijas robežas. Parasti tās ir norādītas problēmas priekšrakstā, izmantojot mainīgos (a) un (b). Šīs vērtības jāievieto attiecīgi integrāļa augšējā un apakšējā daļā. Tālāk ievadiet vispārējs skats funkcijas vērtību un reiziniet to ar (dx). Parabolas gadījumā: (x 2)dx.

Pēc tam vispārīgi jāaprēķina funkcijas antiatvasinātā vērtība. Lai to izdarītu, izmantojiet īpašu vērtību tabulu. Aizvietojot tur esošās integrācijas robežas, tiek atrasta atšķirība. Šī atšķirība būs apgabals.

Kā piemēru ņemiet vērā vienādojumu sistēmu: y \u003d x 2 +1 un x + y \u003d 3.

Tiek atrastas krustošanās punktu abscises: x 1 \u003d -2 un x 2 \u003d 1.

Mēs uzskatām, ka y 2 \u003d 3 un y 1 \u003d x 2 + 1, mēs aizstājam vērtības ar iepriekš minēto formulu un iegūstam vērtību, kas vienāda ar 4,5.

Tagad mēs esam iemācījušies atrast parabolu, kā arī, pamatojoties uz šiem datiem, aprēķiniet figūras laukumu, ko tas ierobežo.

Matemātikā ir vesels identitāšu cikls, starp kuriem nozīmīgu vietu ieņem kvadrātvienādojumi. Līdzīgas vienādības var atrisināt gan atsevišķi, gan grafiku uzzīmēšanai uz koordinātu ass. vienādojumi ir parabolas un taisnes vērsis krustošanās punkti.

Vispārējā forma

Kopumā tam ir šāda struktūra:

"x" lomā var uzskatīt gan atsevišķus mainīgos, gan veselas izteiksmes. Piemēram:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

Gadījumā, ja izteiksme darbojas kā x, ir nepieciešams to attēlot kā mainīgo un atrast Pēc tam pielīdzināt tiem polinomu un atrast x.

Tātad, ja (x + 7) \u003d a, tad vienādojums ir a 2 + 3a + 2 \u003d 0.

D=3 2 -4*1*2=1;

un 1 \u003d (-3-1) / 2 * 1 = -2;

un 2 = (-3 + 1) / 2 * 1 \u003d -1.

Ja saknes ir vienādas ar -2 un -1, mēs iegūstam sekojošo:

x+7=-2 un x+7=-1;

Saknes ir parabolas un x-ass krustošanās punkta x-koordinātu vērtība. Principā to vērtība nav tik svarīga, ja uzdevums ir tikai atrast parabolas virsotni. Bet sižeta veidošanai svarīga loma ir saknēm.

Atgriezīsimies pie sākotnējā vienādojuma. Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast parabolas virsotni, jums jāzina šāda formula:

kur x vp ir vēlamā punkta x-koordinātas vērtība.

Bet kā atrast parabolas virsotni bez y-koordinātas vērtības? Iegūto x vērtību aizstājam vienādojumā un atrodam vajadzīgo mainīgo. Piemēram, atrisināsim šādu vienādojumu:

Atrodiet parabolas augšdaļas x-koordinātas vērtību:

x VP \u003d -b / 2a \u003d -3 / 2 * 1;

Atrodiet parabolas augšdaļas y-koordinātas vērtību:

y \u003d 2x 2 + 4x-3 \u003d (-1,5) 2 + 3 * (-1,5) -5;

Rezultātā mēs iegūstam, ka parabolas augšdaļa atrodas punktā ar koordinātām (-1,5; -7,25).

Parabola ir punktu savienojums, kuram ir vertikāla līnija, tāpēc tās uzbūve nav sarežģīta. Visgrūtākais ir veikt pareizus punktu koordinātu aprēķinus.

Ir vērts maksāt Īpaša uzmanība uz kvadrātvienādojuma koeficientiem.

Koeficients a ietekmē parabolas virzienu. Gadījumā, ja viņam ir negatīva nozīme, zari būs vērsti uz leju, bet ar pozitīvu zīmi - uz augšu.

Koeficients b parāda, cik plata būs parabolas plecs. Jo lielāka tā vērtība, jo plašāka tā būs.

Koeficients c norāda parabolas nobīdi pa y asi attiecībā pret izcelsmi.

Mēs jau esam iemācījušies atrast parabolas virsotni, un, lai atrastu saknes, mums jāvadās pēc šādām formulām:

kur D ir diskriminants, kas nepieciešams, lai atrastu vienādojuma saknes.

x 1 \u003d (-b + V - D) / 2a

x 2 \u003d (-b-V - D) / 2a

Iegūtās x vērtības atbildīs nullei y vērtībām, jo tie ir krustošanās punkti ar x asi.

Pēc tam iegūtās vērtības atzīmējam parabolas augšpusē. Vairāk detalizēta grafika jāatrod vēl daži punkti. Lai to izdarītu, mēs atlasām jebkuru x vērtību, ko pieļauj definīcijas domēns, un aizstājam to funkcijas vienādojumā. Aprēķinu rezultāts būs punkta koordinātas gar y asi.

Lai vienkāršotu zīmēšanas procesu, varat novilkt vertikālu līniju cauri parabolas augšdaļai un perpendikulāri x asij. Tas būs ar kura palīdzību, kam ir viens punkts, jūs varat norādīt otru, kas atrodas vienādā attālumā no novilktās līnijas.

Daudzas tehniskas, ekonomiskas un sociālās problēmas prognozēts, izmantojot līknes. Visbiežāk izmantotais veids ir parabola vai, pareizāk sakot, puse no tās. Jebkuras paraboliskās līknes svarīga sastāvdaļa ir tās virsotne, kuras precīzu koordinātu noteikšana dažkārt spēlē galveno lomu ne tikai paša procesa attēlošanā, bet arī turpmākajos secinājumos. Šajā rakstā tiks apspriests, kā atrast tās precīzas koordinātas.

Saskarsmē ar

Meklēšanas sākums

Pirms pāriet uz parabolas virsotnes koordinātu atrašanu, iepazīsimies ar pašu definīciju un tās īpašībām. Klasiskā izpratnē parabola ir tāds punktu izkārtojums, kas atrodas tādā pašā attālumā no noteikta punkta(fokuss, punkts F), kā arī no taisnes, kas neiet caur punktu F. Apsveriet šī definīcija sīkāk 1. attēlā.

1. attēls. Parabolas klasiskais skats

Attēlā parādīta klasiskā forma. Fokuss ir punkts F. Šajā gadījumā virziens tiks uzskatīts par Y ass taisni (izcelta sarkanā krāsā). No definīcijas var pārliecināties, ka absolūti jebkuram līknes punktam, neskaitot fokusu, ir līdzīgs otrā pusē, kas noņemts tādā pašā attālumā no simetrijas ass kā pats. Turklāt attālums no jebkura no parabolas punktiem vienāds ar attālumu līdz virzienam. Raugoties uz priekšu, pieņemsim, ka funkcijas centram nav jāatrodas izcelsmē, un zarus var novirzīt dažādos virzienos.

Parabolai, tāpat kā jebkurai citai funkcijai, ir savs apzīmējums formulas veidā:

Šajā formulā burts "s" apzīmē parabolas parametru, kas ir vienāds ar attālumu no fokusa līdz virzienam. Ir arī cits ierakstīšanas veids, ko norāda GMT un kam ir šāda forma:

Šāda formula tiek izmantota, risinot uzdevumus no matemātiskās analīzes jomas, un tiek izmantota biežāk nekā tradicionālā (ērtības dēļ). Nākotnē koncentrēsimies uz otro ierakstu.

Tas ir interesanti!: pierādījums

Parabolas koeficientu un galveno punktu aprēķināšana

Starp galvenajiem parametriem ir ierasts iekļaut virsotnes atrašanās vietu uz abscisu ass, virsotnes koordinātas uz ordinātu ass un virziena parametru.

Virsotnes koordinātas skaitliskā vērtība uz x ass

Ja parabolas vienādojums ir dots klasiskā formā (1), tad abscisu vērtība vēlamajā punktā būs vienāds ar pusi no parametra s vērtības(puse attāluma starp virzienu un fokusu). Ja funkcija ir parādīta formā (2), tad nulle x aprēķina pēc formulas:

Tas ir, aplūkojot šo formulu, var apgalvot, ka virsotne atradīsies labajā pusē attiecībā pret y asi, ja viens no parametriem a vai b ir mazāks par nulli.

Virziena vienādojums tiek dots ar šādu vienādojumu:

Virsotnes vērtība uz y ass

Virsotnes atrašanās vietas skaitlisko vērtību formulai (2) uz y ass var atrast, izmantojot šādu formulu:

No tā mēs varam secināt, ka, ja a<0, то līknes virsotne atradīsies augšējā pusplaknē, pretējā gadījumā apakšā. Šajā gadījumā parabolas punktiem būs tādas pašas īpašības, kas tika minētas iepriekš.

Ja ir dots klasiskais apzīmējums, tad racionālāk būtu aprēķināt virsotnes atrašanās vietas vērtību uz abscisu ass un caur to arī turpmāko ordinātu vērtību. Ņemiet vērā, ka apzīmējumam (2) parabolas simetrijas ass klasiskajā attēlojumā sakritīs ar y asi.

Svarīgs! Risinot uzdevumus, izmantojot parabolas vienādojumu, vispirms izceliet galvenās vērtības, kas jau ir zināmas. Turklāt būtu noderīgi, ja tiktu noteikti trūkstošie parametri. Šāda pieeja dos vairāk "manevra telpas" jau iepriekš un racionālāku risinājumu. Praksē mēģiniet izmantot apzīmējumu (2). Tas ir vieglāk saprotams (nav "jāapgriež Dekarta koordinātes"), turklāt lielais vairums uzdevumu ir pielāgoti tieši šādai apzīmējuma formai.

Paraboliskā tipa līknes uzbūve

Izmantojot parasto apzīmējumu, pirms parabolas konstruēšanas ir jāatrod tās virsotne. Vienkārši sakot, jums ir jāveic šāds algoritms:

1. Atrodiet virsotnes koordinātu uz x ass.
2. Atrodiet virsotnes atrašanās vietas koordinātu uz Y ass.
3. Aizstājot dažādas atkarīgā mainīgā X vērtības, atrodiet atbilstošās Y vērtības un uzzīmējiet līkni.

Tie. algoritms nav nekas sarežģīts, galvenā uzmanība tiek pievērsta tam, kā atrast parabolas virsotni. Tālāko būvniecības procesu var uzskatīt par mehānisku.

Ja ir doti trīs punkti, kuru koordinātas ir zināmas, vispirms ir jāformulē pašas parabolas vienādojums un pēc tam jāatkārto iepriekš aprakstītā procedūra. Jo vienādojumā (2) ir 3 koeficienti, tad, izmantojot punktu koordinātas, mēs aprēķinām katru no tiem:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Formulās (5.1), (5.2), (5.3) attiecīgi tiek izmantoti tie punkti, kas ir zināmi (piemēram, A (, B (, C (.. Tādā veidā mēs atrodam parabolas vienādojumu 3 punktos). No praktiskā viedokļa šī pieeja nav pati "patīkamākā", taču tā dod skaidru rezultātu, uz kura pamata vēlāk tiek veidota pati līkne.

Konstruējot parabolu, vienmēr jābūt simetrijas asij. Simetrijas ass formula rakstīšanai (2) izskatīsies šādi:

Tie. nav grūti atrast simetrijas asi, kurai visi līknes punkti ir simetriski. Precīzāk, tas ir vienāds ar virsotnes pirmo koordinātu.

ilustratīvi piemēri

1. piemērs. Pieņemsim, ka mums ir parabolas vienādojums:

Nepieciešams atrast parabolas virsotnes koordinātas, kā arī pārbaudīt, vai punkts D (10; 5) pieder dotajai līknei.

Risinājums: Vispirms pārbaudām, vai minētais punkts pieder pie pašas līknes

No kurienes secinām, ka norādītais punkts nepieder pie dotās līknes. Atrodiet parabolas virsotnes koordinātas. No formulām (4) un (5) iegūstam šādu secību:

Izrādās, ka koordinātas augšpusē, punktā O, ir šādas (-1,25; -7,625). Tas nozīmē, ka mūsu parabolas izcelsme ir Dekarta sistēmas 3. kvadrantā koordinātas.

Piemērs 2. Atrodi parabolas virsotni, zinot tai piederošos trīs punktus: A (2;3), B (3;5), C (6;2). Izmantojot formulas (5.1), (5.2), (5.3), atrodam parabolas vienādojuma koeficientus. Mēs iegūstam sekojošo:

Izmantojot iegūtās vērtības, iegūstam šādu vienādojumu:

Attēlā dotā funkcija izskatīsies šādi (2. attēls):

2. attēls. Parabolas diagramma, kas iet cauri 3 punktiem

Tie. parabola grafikam, kas iet cauri trim dotajiem punktiem, virsotne būs 1. kvadrantā. Tomēr šīs līknes zari ir vērsti uz leju; ir parabolas nobīde no izcelsmes. Šādu konstrukciju varēja paredzēt, pievēršot uzmanību koeficientiem a, b, c.

Jo īpaši, ja a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 līkne tiks izstiepta, un, ja mazāka par 1, tā tiks saspiesta.

Konstante c ir atbildīga par līknes "kustību" pa y asi. Ja c>0, tad parabola "lož" uz augšu, pretējā gadījumā uz leju. Attiecībā uz koeficientu b ietekmes pakāpi var noteikt, tikai mainot vienādojuma formu, izveidojot to šādā formā:

Ja koeficients b>0, tad parabolas virsotnes koordinātas tiks nobīdītas pa labi par b vienībām, ja mazāk, tad par b vienībām pa kreisi.

Svarīgs! Metožu izmantošana parabolas nobīdes noteikšanai koordinātu plaknē dažkārt palīdz ietaupīt laiku, risinot uzdevumus vai uzzināt par parabolas iespējamo krustojumu ar citu līkni jau pirms uzbūves. Parasti viņi skatās tikai uz koeficientu a, jo tieši viņš sniedz skaidru atbildi uz uzdoto jautājumu.

Noderīgs video: kā atrast parabolas virsotni

Noderīgs video: kā viegli uzrakstīt parabolas vienādojumu no grafika

Secinājums

Tāds kā algebrisks process, piemēram, parabolas virsotņu noteikšana, nav grūts, bet tajā pašā laikā diezgan darbietilpīgs. Praksē viņi cenšas izmantot otro apzīmējuma formu, lai atvieglotu izpratni par grafisko risinājumu un risinājumu kopumā. Tāpēc mēs ļoti iesakām izmantot tieši šādu pieeju, un, ja jūs neatceraties virsotņu koordinātu formulas, tad vismaz ir krāpšanās lapa.