Tā saucamie formas vienādojumi, kur nezināmais atrodas gan eksponentā, gan pakāpes bāzē.

Jūs varat norādīt pilnīgi skaidru algoritmu formas vienādojuma risināšanai. Šim nolūkam ir jāpievērš uzmanība tam, ka Ak) nē nulle, viens un mīnus viens, grādu vienādība ar vienādām bāzēm (pozitīvām vai negatīvām) ir iespējama tikai tad, ja rādītāji ir vienādi Tas ir, visas vienādojuma saknes būs vienādojuma saknes f(x) = g(x) Apgrieztais apgalvojums nav patiess, ja Ak)< 0 un daļējas vērtības f(x) un g(x) izteiksmes Ak) f(x) un

Ak) g(x) zaudē savu nozīmi. Tas ir, dodoties no f(x) = g(x)(par un var parādīties svešas saknes, kuras jāizslēdz, pārbaudot pēc sākotnējā vienādojuma. Un gadījumi a = 0, a = 1, a = -1 jāapsver atsevišķi.

Tātad, lai iegūtu pilnīgu vienādojuma risinājumu, mēs apsveram gadījumus:

a(x) = 0 f(x) un g(x) ir pozitīvi skaitļi, tad šis ir risinājums. Citādi nē

a(x) = 1. Šī vienādojuma saknes ir arī sākotnējā vienādojuma saknes.

a(x) = -1. Ja x vērtībai, kas apmierina šo vienādojumu, f(x) un g(x) ir vienas paritātes veseli skaitļi (vai nu abi ir pāra vai abi ir nepāra), tad šis ir risinājums. Citādi nē

Par un mēs atrisinām vienādojumu f(x)=g(x) un aizstājot iegūtos rezultātus sākotnējā vienādojumā, mēs nogriežam svešas saknes.

Eksponenciālo spēku vienādojumu risināšanas piemēri.

1. piemērs.

1) x - 3 = 0, x = 3. jo 3 > 0 un 3 2 > 0, tad x 1 = 3 ir risinājums.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 = 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Abi rādītāji ir pāra. Šis ir risinājums x 3 = 1.

4) x - 3? 0 un x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 vai x \u003d 1. Ja x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, šis risinājums ir x 4 \u003d 0. Ja x \ u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 — šis risinājums ir pareizs x 5 = 1.

Atbilde: 0, 1, 2, 3, 4.

2. piemērs.

Pēc aritmētikas definīcijas kvadrātsakne: x - 1 ? 0,x? viens.

1) x - 1 = 0 vai x = 1, = 0, 0 0 nav risinājums.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 neietilpst ODZ.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - nav sakņu.

Eksponenciālo vienādojumu risinājums. Piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kas eksponenciālais vienādojums? Šis ir vienādojums, kurā atrodas nezināmie (x) un izteiksmes ar tiem rādītājiem daži grādi. Un tikai tur! Tas ir svarīgi.

Lūk kur tu esi eksponenciālo vienādojumu piemēri:

3 x 2 x = 8 x + 3

Piezīme! Grādu bāzēs (zemāk) - tikai cipari. AT rādītājiem grādi (augšpusē) - plašs izteiksmju klāsts ar x. Ja pēkšņi vienādojumā x parādās kaut kur citur, nevis indikatorā, piemēram:

šis būs vienādojums jaukts tips. Šādiem vienādojumiem nav skaidru risināšanas noteikumu. Mēs tos pagaidām neapsvērsim. Šeit mēs tiksim galā ar eksponenciālo vienādojumu risinājums tīrākajā veidā.

Patiesībā pat tīri eksponenciālie vienādojumi ne vienmēr ir skaidri definēti. Bet tādi ir noteikti veidi eksponenciālie vienādojumi, kurus var un vajadzētu atrisināt. Šie ir veidi, kurus mēs apskatīsim.

Vienkāršāko eksponenciālo vienādojumu risinājums.

Sāksim ar kaut ko ļoti vienkāršu. Piemēram:

Pat bez teorijas ar vienkāršu atlasi ir skaidrs, ka x = 2. Nekas vairāk, vai ne!? Neviena cita x vērtība netiek rādīta. Un tagad apskatīsim šī sarežģītā eksponenciālā vienādojuma risinājumu:

Ko mēs esam izdarījuši? Mēs patiesībā tikko izmetām tos pašus dibenus (trīskāršus). Pilnīgi izmests. Un, kas iepriecina, trāpieties mērķī!

Patiešām, ja eksponenciālajā vienādojumā pa kreisi un pa labi ir tas pats skaitļi jebkurā pakāpē, šos skaitļus var noņemt un vienādi ar eksponentiem. Matemātika atļauj. Atliek atrisināt daudz vienkāršāku vienādojumu. Tas ir labi, vai ne?)

Tomēr atcerēsimies ironiski: Jūs varat noņemt pamatnes tikai tad, ja bāzes numuri atrodas pa kreisi un pa labi lieliskā izolācijā! Bez nekādiem kaimiņiem un koeficientiem. Teiksim vienādojumos:

2 x +2 x + 1 = 2 3 vai

Jūs nevarat noņemt dubultniekus!

Nu mēs esam apguvuši pašu svarīgāko. Kā pāriet no ļaunām eksponenciālām izteiksmēm uz vienkāršākiem vienādojumiem.

— Lūk, tie laiki! - tu saki. "Kurš iedos tik primitīvu uz kontroli un eksāmeniem!?"

Piespiests piekrist. Neviens nedarīs. Bet tagad jūs zināt, kur vērsties, risinot mulsinošus piemērus. Tas ir jāatceras, kad tas pats bāzes numurs atrodas kreisajā pusē - labajā pusē. Tad viss būs vieglāk. Patiesībā šī ir matemātikas klasika. Mēs ņemam sākotnējo piemēru un pārveidojam to uz vēlamo mums prāts. Pēc matemātikas likumiem, protams.

Apsveriet piemērus, kas prasa papildu pūles, lai tos padarītu vienkāršākos. Sauksim viņus vienkārši eksponenciālie vienādojumi.

Vienkāršu eksponenciālo vienādojumu risinājums. Piemēri.

Risinot eksponenciālos vienādojumus, galvenie noteikumi ir darbības ar pilnvarām. Bez zināšanām par šīm darbībām nekas nedarbosies.

Darbībām ar grādiem jāpievieno personisks novērojums un atjautība. Vai mums ir vajadzīgi vienādi bāzes skaitļi? Tāpēc piemērā mēs tos meklējam skaidrā vai šifrētā veidā.

Apskatīsim, kā tas tiek darīts praksē?

Sniegsim piemēru:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pirmais skatiens uz pamatojums. Viņi... Viņi ir dažādi! Divi un astoņi. Bet ir pārāk agri, lai būtu drosmi. Ir pienācis laiks to atcerēties

Divi un astoņi ir pakāpes radinieki.) Ir pilnīgi iespējams pierakstīt:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ja atceramies formulu no darbībām ar pilnvarām:

(a n) m = a nm ,

tas parasti darbojas lieliski:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Sākotnējais piemērs izskatās šādi:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Pārvedam 2 3 (x+1) pa labi (matemātikas elementārās darbības neviens neatcēla!), mēs iegūstam:

2 2 x \u003d 2 3 (x + 1)

Tas praktiski arī viss. Pamatnes noņemšana:

Mēs atrisinām šo briesmoni un iegūstam

Šī ir pareizā atbilde.

Šajā piemērā mums palīdzēja divu spēku zināšana. Mēs identificēts astoņniekā šifrētais divnieks. Šī metode (kopīgu pamatojumu šifrēšana saskaņā ar dažādi skaitļi) ir ļoti populārs eksponenciālo vienādojumu paņēmiens! Jā, pat logaritmos. Ir jāspēj atpazīt citu skaitļu pilnvaras skaitļos. Tas ir ārkārtīgi svarīgi eksponenciālo vienādojumu risināšanai.

Fakts ir tāds, ka jebkura skaitļa palielināšana līdz jebkuram jaudai nav problēma. Pavairot, kaut vai uz papīra lapas, un tas arī viss. Piemēram, katrs var pacelt 3 līdz piektajai pakāpei. 243 izrādīsies, ja zināt reizināšanas tabulu.) Bet eksponenciālajos vienādojumos daudz biežāk ir nepieciešams nevis palielināt līdz pakāpei, bet otrādi ... kāds skaitlis kādā mērā slēpjas aiz skaitļa 243, vai, teiksim, 343... Te tev nepalīdzēs neviens kalkulators.

Dažu skaitļu pilnvaras jums jāzina pēc redzes, jā ... Vai mēs trenējamies?

Nosakiet, kādas pilnvaras un kādi skaitļi ir skaitļi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Atbildes (protams, nekārtībā!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ja paskatās cieši, jūs varat redzēt dīvains fakts. Atbilžu ir vairāk nekā jautājumu! Nu gadās... Piemēram, 2 6 , 4 3 , 8 2 ir visi 64.

Pieņemsim, ka esat ņēmis vērā informāciju par skaitļu iepazīšanos.) Atgādināšu arī, ka eksponenciālo vienādojumu risināšanai mēs izmantojam viss matemātikas zināšanu krājums. Tai skaitā no zemākajām vidējām klasēm. Jūs taču neiegājāt tieši vidusskolā, vai ne?

Piemēram, risinot eksponenciālos vienādojumus, ļoti bieži palīdz kopējā faktora izlikšana iekavās (sveicināti 7. klasei!). Apskatīsim piemēru:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Un atkal pirmais skatiens – uz laukuma! Pakāpju pamati ir dažādi ... Trīs un deviņi. Un mēs vēlamies, lai tie būtu vienādi. Nu, šajā gadījumā vēlme ir diezgan iespējama!) Jo:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem darbībām ar grādiem:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Tas ir lieliski, jūs varat rakstīt:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

To pašu iemeslu dēļ mēs sniedzām piemēru. Tātad, kas būs tālāk!? Trīs nevar izmest ... Strupceļš?

Nepavisam. Atceroties universālāko un spēcīgāko lēmumu pieņemšanas likumu visi matemātikas uzdevumi:

Ja nezini, ko darīt, dari, ko vari!

Paskaties, viss veidojas).

Kas ir šajā eksponenciālajā vienādojumā var darīt? Jā, kreisā puse tieši prasa iekavas! Kopējais koeficients 3 2x skaidri norāda uz to. Pamēģināsim, un tad redzēsim:

3 2x (3 4–11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Piemērs paliek arvien labāks un labāks!

Atgādinām, ka, lai izslēgtu bāzes, mums ir nepieciešama tīra pakāpe, bez koeficientiem. Skaitlis 70 mūs traucē. Tātad mēs sadalām abas vienādojuma puses ar 70, iegūstam:

Ak-pa! Viss ir bijis labi!

Šī ir galīgā atbilde.

Gadās taču, ka izbraukšana uz tiem pašiem pamatiem tiek panākta, bet likvidācija netiek. Tas notiek cita veida eksponenciālajos vienādojumos. Iegūsim šo tipu.

Mainīgā lieluma maiņa eksponenciālo vienādojumu risināšanā. Piemēri.

Atrisināsim vienādojumu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pirmkārt - kā parasti. Pārejam uz bāzi. Uz divkosi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Mēs iegūstam vienādojumu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Un šeit mēs pakārt. Iepriekšējie triki nedarbosies, lai arī kā jūs to pagrieztu. Mums būs jāiegūst vēl viena spēcīga un daudzpusīga metode no arsenāla. To sauc mainīgā aizstāšana.

Metodes būtība ir pārsteidzoši vienkārša. Vienas sarežģītas ikonas (mūsu gadījumā 2 x) vietā mēs rakstām citu, vienkāršāku (piemēram, t). Šāda šķietami bezjēdzīga nomaiņa noved pie pārsteidzošiem rezultātiem!) Viss vienkārši kļūst skaidrs un saprotams!

Tātad ļaujiet

Tad 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Mēs savā vienādojumā visas pakāpes aizstājam ar x ar t:

Nu, ausma?) Vai vēl neesat aizmirsis kvadrātvienādojumus? Mēs atrisinām, izmantojot diskriminantu, mēs iegūstam:

Šeit galvenais ir neapstāties, kā tas notiek... Tā vēl nav atbilde, mums vajag x, nevis t. Atgriežamies pie Xs, t.i. veicot nomaiņu. Vispirms t 1:

Tas ir,

Tika atrasta viena sakne. Meklējam otro, no t 2:

Hm... Pa kreisi 2 x, pa labi 1... Aizkare? Jā, nemaz! Pietiek atcerēties (no darbībām ar grādiem, jā ...), ka vienotība ir jebkura skaitlis līdz nullei. Jebkurš. Kas jums nepieciešams, mēs to ievietosim. Mums vajag divus. Līdzekļi:

Tagad tas arī viss. Ir 2 saknes:

Šī ir atbilde.

Plkst eksponenciālo vienādojumu atrisināšana beigās dažkārt sanāk kāda neveikla izteiksme. Veids:

No septiņiem divnieks caur vienkāršu grādu nedarbojas. Viņi nav radinieki ... Kā es varu būt šeit? Kāds var būt apmulsis... Bet cilvēks, kurš šajā vietnē lasīja tēmu "Kas ir logaritms?" , tikai taupīgi pasmaidiet un ar stingru roku pierakstiet absolūti pareizo atbildi:

Eksāmena uzdevumos "B" šādas atbildes nevar būt. Ir nepieciešams konkrēts numurs. Bet uzdevumos "C" - viegli.

Šajā nodarbībā ir sniegti piemēri visbiežāk sastopamo eksponenciālo vienādojumu risināšanai. Izcelsim galveno.

Praktiski padomi:

1. Vispirms mēs skatāmies pamatojums grādiem. Paskatīsimies, vai tos nevar izdarīt tas pats. Mēģināsim to izdarīt, aktīvi izmantojot darbības ar pilnvarām. Neaizmirstiet, ka arī skaitļus bez x var pārvērst pakāpēs!

2. Mēs cenšamies eksponenciālo vienādojumu novest līdz formai, kad kreisais un labais ir tas pats skaitļi jebkurā pakāpē. Mēs izmantojam darbības ar pilnvarām un faktorizēšana. Ko var saskaitīt skaitļos - mēs skaitām.

3. Ja otrais padoms nedarbojās, mēs cenšamies piemērot mainīgā aizstāšanu. Rezultāts var būt vienādojums, kas ir viegli atrisināms. Visbiežāk - kvadrātveida. Vai daļskaitlis, kas arī tiek samazināts līdz kvadrātam.

4. Lai veiksmīgi atrisinātu eksponenciālos vienādojumus, ir jāzina dažu skaitļu pakāpes "pēc skata".

Kā ierasts, nodarbības beigās tiek aicināts nedaudz risināt.) Pašam. No vienkārša līdz sarežģītam.

Atrisiniet eksponenciālos vienādojumus:

Grūtāk:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Atrodiet sakņu produktu:

2 3 x + 2 x = 9

Vai notika?

Nu tad grūtākais piemērs(tomēr nolemts prātā...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Kas ir interesantāks? Tad jums ir slikts piemērs. Diezgan velkot uz paaugstinātas grūtības. Es došu mājienu, ka šajā piemērā glābj atjautība un universālākais noteikums visu matemātisko uzdevumu risināšanai.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Piemērs ir vienkāršāks atpūtai):

9 2 x - 4 3 x = 0

Un desertā. Atrodiet vienādojuma sakņu summu:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jā jā! Šis ir jaukta tipa vienādojums! Ko mēs šajā nodarbībā neapskatījām. Un ko tos uzskatīt, tie ir jāatrisina!) Šī nodarbība ir pilnīgi pietiekama, lai atrisinātu vienādojumu. Nu ir vajadzīga atjautība... Un jā, septītā klase tev palīdzēs (tas ir mājiens!).

Atbildes (nesakārtotas, atdalītas ar semikolu):

viens; 2; 3; 4; nav risinājumu; 2; -2; -5; 4; 0.

Vai viss ir izdevies? Labi.

Ir problēma? Nekādu problēmu! Īpašajā 555. sadaļā visi šie eksponenciālie vienādojumi ir atrisināti ar detalizētiem paskaidrojumiem. Kas, kāpēc un kāpēc. Un, protams, ir arī papildu vērtīga informācija par darbu ar visu veidu eksponenciālajiem vienādojumiem. Ne tikai ar šiem.)

Vēl viens interesants jautājums, kas jāapsver. Šajā nodarbībā mēs strādājām ar eksponenciālajiem vienādojumiem. Kāpēc es te ne vārda neteicu par ODZ? Starp citu, vienādojumos tā ir ļoti svarīga lieta ...

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

eksponenciālie vienādojumi. Kā jūs zināt, USE ietver vienkāršus vienādojumus. Mēs jau esam apsvēruši dažus - tie ir logaritmiski, trigonometriski, racionāli. Šeit ir eksponenciālie vienādojumi.

Nesenā rakstā mēs strādājām ar eksponenciālām izteiksmēm, tas noderēs. Paši vienādojumi tiek atrisināti vienkārši un ātri. Nepieciešams tikai zināt eksponentu īpašības un ... Par toTālāk.

Mēs uzskaitām eksponentu īpašības:

Jebkura skaitļa nulles jauda ir vienāda ar vienu.

Šī īpašuma sekas:

Vēl mazliet teorijas.

Eksponenciālais vienādojums ir vienādojums, kura eksponentā ir mainīgais, tas ir, šim vienādojumam ir šāda forma:

f(x) izteiksme, kas satur mainīgo

Eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodes

1. Pārveidojumu rezultātā vienādojumu var reducēt līdz formai:

Tad mēs izmantojam īpašumu:

2. Iegūstot formas vienādojumu a f (x) = b tiek izmantota logaritma definīcija, mēs iegūstam:

3. Pārveidojumu rezultātā var iegūt formas vienādojumu:

Tiek piemērots logaritms:

Izsaki un atrodi x.

Uzdevumos IZMANTOT opcijas pietiks izmantot pirmo metodi.

Tas ir, ir nepieciešams attēlot kreiso un labo daļu kā grādus ar vienu un to pašu bāzi, un tad mēs pielīdzinām rādītājus un atrisinām parasto lineāro vienādojumu.

Apsveriet vienādojumus:

Atrodiet 4. vienādojuma sakni 1-2x = 64.

Ir jāpārliecinās, ka kreisajā un labajā daļā ir eksponenciālas izteiksmes ar vienādu bāzi. Mēs varam attēlot 64 kā 4 pakāpē no 3. Mēs iegūstam:

4 1–2 x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Pārbaude:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Atbilde: -1

Atrodiet 3. vienādojuma sakni x-18 = 1/9.

Ir zināms, ka

Tātad 3 x-18 = 3 -2

Bāzes ir vienādas, mēs varam pielīdzināt rādītājus:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Pārbaude:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Atbilde: 16

Atrodiet vienādojuma sakni:

Atveidosim daļu 1/64 kā vienu ceturtdaļu pret trešo pakāpi:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Pārbaude:

Atbilde: 11

Atrodiet vienādojuma sakni:

Apzīmēsim 1/3 kā 3 -1 un 9 kā 3 kvadrātā, mēs iegūstam:

(3–1) 8–2x = 3 2

3–1∙ (8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Tagad mēs varam pielīdzināt rādītājus:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Pārbaude:

Atbilde: 5

26654. Atrodiet vienādojuma sakni:

Lēmums:

Atbilde: 8.75

Patiešām, neatkarīgi no tā, kādā pakāpē mēs palielinātu pozitīvu skaitli a, mēs nekādā veidā nevaram iegūt negatīvu skaitli.

Jebkurš eksponenciālais vienādojums pēc atbilstošām transformācijām tiek reducēts līdz viena vai vairāku vienkāršu pārveidojumu atrisināšanai.Šajā sadaļā mēs apsvērsim arī dažu vienādojumu risinājumu, nepalaidiet to garām!Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Lekcija: "Eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodes."

1 . eksponenciālie vienādojumi.

Vienādojumus, kuru eksponents satur nezināmus, sauc par eksponenciālajiem vienādojumiem. Vienkāršākais no tiem ir vienādojums ax = b, kur a > 0 un a ≠ 1.

1) B< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Ja b > 0, izmantojot funkcijas monotonitāti un saknes teorēmu, vienādojumam ir viena sakne. Lai to atrastu, b ir jāattēlo kā b = aс, ax = bс ó x = c vai x = logab.

Eksponenciālie vienādojumi, izmantojot algebriskas transformācijas, noved pie standarta vienādojumiem, kas tiek atrisināti, izmantojot šādas metodes:

1) samazināšanas metode līdz vienai bāzei;

2) novērtēšanas metode;

3) grafiskā metode;

4) jaunu mainīgo lielumu ieviešanas metode;

5) faktorizācijas metode;

6) eksponenciālie - jaudas vienādojumi;

7) eksponenciāls ar parametru.

2 . Samazināšanas metode uz vienu bāzi.

Metodes pamatā ir šāda grādu īpašība: ja divi grādi ir vienādi un to bāzes ir vienādas, tad to eksponenti ir vienādi, t.i., vienādojumu jāmēģina reducēt līdz formai.

Piemēri. Atrisiniet vienādojumu:

1 . 3x=81;

Attēlosim vienādojuma labo pusi formā 81 = 34 un uzrakstīsim vienādojumu, kas ir ekvivalents sākotnējam 3 x = 34; x = 4. Atbilde: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> un dodieties uz vienādojumu eksponentiem 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Atbilde: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Ņemiet vērā, ka skaitļi 0,2, 0,04, √5 un 25 ir 5 pakāpes. Izmantosim šīs priekšrocības un pārveidosim sākotnējo vienādojumu šādi:

, no kurienes 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, no kura atrodam risinājumu x = -1. Atbilde: -1.

5. 3x = 5. Pēc logaritma definīcijas x = log35. Atbilde: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Pārrakstīsim vienādojumu šādi: 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, t.i..png" width="181" height="49 src="> Tātad x - 4 =0, x = 4. Atbilde: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Izmantojot pakāpju īpašības, rakstām vienādojumu formā e x+1 = 2, x =1. Atbilde: 1.

Uzdevumu banka Nr.1.

Atrisiniet vienādojumu:

Pārbaudes numurs 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez saknēm
	1) 7;1 2) bez saknēm 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Tests #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez saknēm 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Novērtēšanas metode.

Saknes teorēma: ja funkcija f (x) palielinās (samazinās) intervālā I, skaitlis a ir jebkura vērtība, ko šajā intervālā ieņem f, tad vienādojumam f (x) = a intervālā I ir viena sakne.

Atrisinot vienādojumus ar novērtējuma metodi, tiek izmantota šī teorēma un funkcijas monotonitātes īpašības.

Piemēri. Atrisiniet vienādojumus: 1. 4x = 5 - x.

Lēmums. Pārrakstīsim vienādojumu kā 4x + x = 5.

1. ja x \u003d 1, tad 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ir patiess, tad 1 ir vienādojuma sakne.

Funkcija f(x) = 4x palielinās uz R un g(x) = x palielinās uz R => h(x)= f(x)+g(x) palielinās uz R kā pieaugošo funkciju summa, tātad x = 1 ir vienīgā vienādojuma 4x = 5 – x sakne. Atbilde: 1.

2.

Lēmums. Mēs pārrakstām vienādojumu formā .

1. ja x = -1, tad , 3 = 3-patiess, tāpēc x = -1 ir vienādojuma sakne.

2. pierādīt, ka tas ir unikāls.

3. F(x) = - samazinās uz R, un g(x) = - x - samazinās uz R => h(x) = f(x) + g(x) - samazinās uz R, jo summa funkciju samazināšanās. Tātad saskaņā ar saknes teorēmu x = -1 ir vienīgā vienādojuma sakne. Atbilde: -1.

Uzdevumu banka Nr.2. atrisināt vienādojumu

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metode jaunu mainīgo lielumu ieviešanai.

Metode ir aprakstīta 2.1. sadaļā. Jauna mainīgā ievadīšana (aizvietošana) parasti tiek veikta pēc vienādojuma nosacījumu pārveidošanas (vienkāršošanas). Apsveriet piemērus.

Piemēri. Rēšanas vienādojums: 1. .

Pārrakstīsim vienādojumu savādāk: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Lēmums. Pārrakstīsim vienādojumu savādāk:

Apzīmējiet https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nav piemērots.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionāls vienādojums. Mēs to atzīmējam

Vienādojuma atrisinājums ir x = 2,5 ≤ 4, tātad 2,5 ir vienādojuma sakne. Atbilde: 2.5.

Lēmums. Pārrakstīsim vienādojumu formā un abas puses sadalīsim ar 56x+6 ≠ 0. Iegūstam vienādojumu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, tātad..png" width="118" height="56">

Kvadrātvienādojuma saknes - t1 = 1 un t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Lēmums . Mēs pārrakstām vienādojumu formā

un ņemiet vērā, ka tas ir homogēns otrās pakāpes vienādojums.

Sadaliet vienādojumu ar 42x, iegūstam

Aizstāt https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Atbilde: 0; 0.5.

Uzdevumu banka #3. atrisināt vienādojumu

b)

G)

Tests #3 ar atbilžu izvēli. Minimālais līmenis.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) -log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez saknēm 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez saknēm 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Tests #4 ar atbilžu izvēli. Vispārējais līmenis.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5) 2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez saknēm

5. Faktorizācijas metode.

1. Atrisiniet vienādojumu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , no kurienes

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Lēmums. Izņemsim 6x vienādojuma kreisajā pusē un 2x labajā pusē. Iegūstam vienādojumu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Tā kā 2x>0 visiem x, mēs varam dalīt abas šī vienādojuma puses ar 2x, nebaidoties zaudēt risinājumus. Mēs iegūstam 3x = 1 - x = 0.

3.

Lēmums. Mēs atrisinām vienādojumu ar faktoringu.

Mēs izvēlamies binoma kvadrātu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ir vienādojuma sakne.

Vienādojums x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Tests #6 Vispārējais līmenis.

A1 (22x-1) (24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponenciālie - jaudas vienādojumi.

Eksponenciālajiem vienādojumiem ir pievienoti tā sauktie eksponenciālo spēku vienādojumi, t.i., vienādojumi formā (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ja zināms, ka f(x)>0 un f(x) ≠ 1, tad vienādojums, tāpat kā eksponenciālais, tiek atrisināts, vienādojot eksponentus g(x) = f(x).

Ja nosacījums neizslēdz f(x)=0 un f(x)=1 iespējamību, tad šie gadījumi jāņem vērā, risinot eksponenciālo jaudas vienādojumu.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Lēmums. x2 +2x-8 - ir jēga jebkuram x, jo polinoms, tāpēc vienādojums ir līdzvērtīgs kopai

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponenciālie vienādojumi ar parametriem.

1. Kurām parametra p vērtībām ir vienādojums 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) vienīgais lēmums?

Lēmums. Ieviesīsim izmaiņas 2x = t, t > 0, tad vienādojums (1) iegūs formu t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

(2) vienādojuma diskriminants ir D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Vienādojumam (1) ir unikāls risinājums, ja vienādojumam (2) ir viena pozitīva sakne. Tas ir iespējams šādos gadījumos.

1. Ja D = 0, tas ir, p = 1, tad (2) vienādojums būs t2 – 2t + 1 = 0, tātad t = 1, tāpēc vienādojumam (1) ir unikāls risinājums x = 0.

2. Ja p1, tad 9(p – 1)2 > 0, tad vienādojumam (2) ir divas dažādas saknes t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistēmu kopa apmierina uzdevuma nosacījumu

Aizstājot sistēmās t1 un t2, mums ir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Lēmums. Ļaujiet būt tad vienādojums (3) iegūs formu t2 – 6t – a = 0. (4)

Atradīsim parametra a vērtības, kurām vismaz viena (4) vienādojuma sakne apmierina nosacījumu t > 0.

Ieviesīsim funkciju f(t) = t2 – 6t – a. Ir iespējami šādi gadījumi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

2. gadījums. Vienādojumam (4) ir unikāls pozitīvs risinājums, ja

D = 0, ja a = – 9, tad (4) vienādojums būs (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

3. gadījums. Vienādojumam (4) ir divas saknes, bet viena no tām neapmierina nevienādību t > 0. Tas ir iespējams, ja

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Tādējādi pie a 0 vienādojumam (4) ir viena pozitīva sakne . Tad vienādojumam (3) ir unikāls risinājums

Priekš< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ja< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ja a = – 9, tad x = – 1;

ja a  0, tad

Salīdzināsim (1) un (3) vienādojumu risināšanas metodes. Ņemiet vērā, ka, atrisinot vienādojumu (1), tika reducēts uz kvadrātvienādojumu, kura diskriminants ir pilns kvadrāts; tādējādi pēc kvadrātvienādojuma sakņu formulas uzreiz tika aprēķinātas (2) vienādojuma saknes un pēc tam izdarīti secinājumi par šīm saknēm. Vienādojums (3) tika reducēts uz kvadrātvienādojumu (4), kura diskriminants nav ideāls kvadrāts, tāpēc, risinot (3) vienādojumu, ieteicams izmantot teorēmas par kvadrātvienādojumu un trīsnoma sakņu atrašanās vietu. grafiskais modelis. Ņemiet vērā, ka (4) vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vieta teorēmu.

Atrisināsim sarežģītākus vienādojumus.

3. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

Lēmums. ODZ: x1, x2.

Ieviesīsim aizstājēju. Pieņemsim, ka 2x = t, t > 0, tad pārveidojumu rezultātā vienādojums iegūs formu t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Atradīsim a vērtības, kurām vismaz viena sakne no vienādojums (*) apmierina nosacījumu t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Atbilde: ja a > - 13, a  11, a  5, tad ja a - 13,

a = 11, a = 5, tad nav sakņu.

Bibliogrāfija.

1. Guzejeva izglītības tehnoloģiju pamati.

2. Guzejeva tehnoloģija: no uzņemšanas līdz filozofijai.

M. "Direktors" 1996.gada 4.nr

3. Guzejevs un izglītības organizatoriskās formas.

4. Guzejevs un integrālās izglītības tehnoloģijas prakse.

M." sabiedrības izglītošana", 2001

5. Guzejevs no nodarbības - semināra formām.

Matemātika 2.skolā, 1987, 9. - 11.lpp.

6. Selevko izglītības tehnoloģijas.

M. "Tautas izglītība", 1998.g

7. Epiševas skolēni mācās matemātiku.

M. "Apgaismība", 1990. gads

8. Ivanovam sagatavot nodarbības - darbnīcas.

Matemātika 6.skolā, 1990., 1.lpp. 37-40.

9. Smirnova matemātikas mācīšanas modelis.

Matemātika 1.skolā, 1997, lpp. 32-36.

10. Tarasenko praktisko darbu organizēšanas veidi.

Matemātika 1.skolā, 1993, lpp. 27-28.

11. Par vienu no individuālā darba veidiem.

Matemātika 2.skolā, 1994, 63. - 64.lpp.

12. Hazankins Radošās prasmes skolas bērni.

Matemātika 2.skolā, 1989, 1. lpp. desmit.

13. Scanavi. Izdevējs, 1997. gads

14. uc Algebra un analīzes sākums. Didaktiskie materiāli priekš

15. Krivonogova uzdevumi matemātikā.

M. "Pirmais septembris", 2002. gads

16. Čerkasovs. Rokasgrāmata vidusskolēniem un

iestājoties augstskolās. "A S T - preses skola", 2002.g

17. Ževņaka pretendentiem uz universitātēm.

Minska un RF "Pārskats", 1996

18. Rakstisks D. Gatavošanās eksāmenam matemātikā. M. Rolfs, 1999. gads

19. un citi.. Mācīšanās atrisināt vienādojumus un nevienādības.

M. "Intelekts - centrs", 2003.g

20. un citi.Izglītojoši un apmācību materiāli, lai sagatavotos E G E.

M. "Intelekts - centrs", 2003. un 2004.g

21 un citi CMM varianti. Krievijas Federācijas Aizsardzības ministrijas testēšanas centrs, 2002, 2003

22. Goldberga vienādojumi. "Kvants" Nr.3, 1971.g

23. Volovičs M. Kā veiksmīgi mācīt matemātiku.

Matemātika, 1997, 3.nr.

24 Okuņevs uz nodarbību, bērni! M. Apgaismība, 1988. gads

25. Yakimanskaya - orientēta izglītība skolā.

26. Liimets strādā nodarbībā. M. Zināšanas, 1975. gads

Šī nodarbība ir paredzēta tiem, kas tikai sāk apgūt eksponenciālos vienādojumus. Kā vienmēr, sāksim ar definīciju un vienkāršiem piemēriem.

Ja tu lasi šo nodarbību, tad man ir aizdomas, ka tev jau ir vismaz minimāla izpratne par vienkāršākajiem vienādojumiem - lineārais un kvadrātveida: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ utt. Lai šādas konstrukcijas varētu atrisināt, tas ir absolūti nepieciešams, lai “neieslīgtu” tēmā, par kuru tiks runāts tagad.

Tātad, eksponenciālie vienādojumi. Ļaujiet man sniegt jums pāris piemērus:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Daži no tiem jums var šķist sarežģītāki, daži, gluži pretēji, ir pārāk vienkārši. Taču tos visus vieno viena svarīga iezīme: tajos ir eksponenciāla funkcija $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Tādējādi mēs ieviešam definīciju:

Eksponenciālais vienādojums ir jebkurš vienādojums, kas satur eksponenciālu funkciju, t.i. formas $((a)^(x))$ izteiksme. Papildus norādītajai funkcijai šādi vienādojumi var saturēt jebkuras citas algebriskas konstrukcijas - polinomus, saknes, trigonometriju, logaritmus utt.

Tad labi. Saprata definīciju. Tagad jautājums ir: kā atrisināt visas šīs muļķības? Atbilde ir vienlaikus vienkārša un sarežģīta.

Sāksim ar labajām ziņām: no savas pieredzes ar daudziem studentiem varu teikt, ka lielākajai daļai no viņiem eksponenciālie vienādojumi ir daudz vienkāršāki nekā tie paši logaritmi un vēl jo vairāk trigonometrija.

Bet ir arī sliktas ziņas: dažkārt visu veidu mācību grāmatu un eksāmenu uzdevumu sastādītājus apciemo "iedvesma", un viņu narkotiku iekaisušās smadzenes sāk ražot tik brutālus vienādojumus, ka ne tikai skolēniem kļūst problemātiski tos atrisināt - pat daudzi skolotāji iestrēgst tādas problēmas.

Tomēr nerunāsim par skumjām lietām. Un atgriezīsimies pie tiem trim vienādojumiem, kas tika doti pašā stāsta sākumā. Mēģināsim atrisināt katru no tiem.

Pirmais vienādojums: $((2)^(x))=4$. Nu, līdz kādai pakāpei jāpaaugstina skaitlis 2, lai iegūtu skaitli 4? Varbūt otrā? Galu galā $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — un esam ieguvuši pareizo skaitlisko vienādību, t.i. tiešām $x=2$. Nu, paldies, vāciņš, bet šis vienādojums bija tik vienkāršs, ka pat mans kaķis to spēja atrisināt. :)

Apskatīsim šādu vienādojumu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Bet šeit tas ir nedaudz grūtāk. Daudzi skolēni zina, ka $((5)^(2))=25$ ir reizināšanas tabula. Dažiem arī ir aizdomas, ka $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ būtībā ir definīcija negatīvās spējas(pēc analoģijas ar formulu $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Visbeidzot, tikai daži izredzētie uzmin, ka šos faktus var apvienot, un rezultāts ir šāds:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Tādējādi mūsu sākotnējais vienādojums tiks pārrakstīts šādi:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Un tagad tas jau ir pilnībā atrisināts! Vienādojuma kreisajā pusē ir eksponenciāla funkcija, vienādojuma labajā pusē ir eksponenciāla funkcija, nekur citur nav nekā cita, izņemot tās. Tāpēc ir iespējams “izmest” bāzes un muļķīgi pielīdzināt rādītājus:

Mēs ieguvām vienkāršāko lineāro vienādojumu, ko jebkurš students var atrisināt tikai pāris rindās. Labi, četrās rindās:

\[\begin(līdzināt)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(līdzināt)\]

Ja nesapratāt, kas notiek pēdējās četrās rindās, noteikti atgriezieties pie tēmas " lineārie vienādojumi' un atkārtojiet to. Jo bez skaidras šīs tēmas asimilācijas jums ir pāragri pieņemt eksponenciālos vienādojumus.

\[((9)^(x))=-3\]

Nu, kā jūs izlemjat? Pirmā doma: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tāpēc sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Tad mēs atceramies, ka, paaugstinot pakāpi līdz jaudai, rādītāji tiek reizināti:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Labā bultiņa ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(līdzināt)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(līdzināt)\]

Un par šādu lēmumu mēs saņemam godīgi pelnītu divnieku. Jo mēs ar pokemona līdzjūtību nosūtījām mīnusa zīmi trijnieka priekšā tieši šī trijnieka spēkam. Un jūs to nevarat darīt. Un tāpēc. Apskatiet dažādas trīskāršās spējas:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Sastādot šo planšetdatoru, tiklīdz es neizvirtu: un pozitīvi grādi apsvērts, un negatīvs, un pat daļējs ... nu, kur ir vismaz viens negatīvs skaitlis? Viņš nav! Un tā nevar būt, jo eksponenciālā funkcija $y=((a)^(x))$, pirmkārt, vienmēr aizņem tikai pozitīvas vērtības(neatkarīgi no tā, cik jūs reizinat vienu vai dalāt ar divi, tas joprojām būs pozitīvs skaitlis), un, otrkārt, šādas funkcijas bāze - skaitlis $a$ - pēc definīcijas ir pozitīvs skaitlis!

Nu, kā tad atrisināt vienādojumu $((9)^(x))=-3$? Nē, nav sakņu. Un šajā ziņā eksponenciālie vienādojumi ir ļoti līdzīgi kvadrātvienādojumiem - var arī nebūt sakņu. Bet, ja kvadrātvienādojumos sakņu skaitu nosaka diskriminants (diskriminants ir pozitīvs - 2 saknes, negatīvs - nav sakņu), tad eksponenciālajos vienādojumos viss ir atkarīgs no tā, kas atrodas pa labi no vienādības zīmes.

Tādējādi mēs formulējam galveno secinājumu: vienkāršākajam eksponenciālajam vienādojumam formā $((a)^(x))=b$ ir sakne tad un tikai tad, ja $b>0$. Zinot šo vienkāršo faktu, jūs varat viegli noteikt, vai jums piedāvātajam vienādojumam ir saknes vai nav. Tie. vai ir vērts to vispār risināt vai uzreiz pierakstīt, ka nav sakņu.

Šīs zināšanas mums palīdzēs vairāk nekā vienu reizi, kad mums būs jāizlemj vairāk izaicinošus uzdevumus. Tikmēr pietiekami daudz dziesmu tekstu - pienācis laiks izpētīt eksponenciālo vienādojumu risināšanas pamatalgoritmu.

Kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus

Tātad, formulēsim problēmu. Nepieciešams atrisināt eksponenciālo vienādojumu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Saskaņā ar "naivo" algoritmu, ko izmantojām iepriekš, skaitlis $b$ ir jāattēlo kā skaitļa $a$ pakāpe:

Turklāt, ja mainīgā $x$ vietā ir izteiksme, mēs iegūsim jaunu vienādojumu, kuru jau var atrisināt. Piemēram:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\bultiņa pa labi ((2)^(x))=((2)^(3))\labā bultiņa x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Labā bultiņa ((3)^(-x))=((3)^(4))\Labā bultiņa -x=4\Rightbultiņa x=-4; ' 2). \\\beigas(līdzināt)\]

Un dīvainā kārtā šī shēma darbojas aptuveni 90% gadījumu. Kā tad ir ar pārējiem 10%? Atlikušie 10% ir nedaudz "šizofrēniski" eksponenciālie vienādojumi šādā formā:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Ar kādu jaudu jums jāpaaugstina 2, lai iegūtu 3? Pirmajā? Bet nē: ar $((2)^(1))=2$ nepietiek. Otrajā? Neviens: $((2)^(2))=4$ ir par daudz. Ko tad?

Zinoši studenti droši vien jau ir uzminējuši: šādos gadījumos, kad nav iespējams atrisināt “smuki”, pie lietas tiek pieslēgta “smagā artilērija” - logaritmi. Atgādināšu, ka, izmantojot logaritmus, jebkuru pozitīvu skaitli var attēlot kā jebkura cita pozitīva skaitļa pakāpju (izņemot vienu):

Atcerieties šo formulu? Kad es stāstu saviem studentiem par logaritmiem, es jūs vienmēr brīdinu: šī formula (tā ir arī logaritmiskā pamatidentitāte vai, ja vēlaties, logaritma definīcija) jūs vajās ļoti ilgu laiku un "izradīsies" visvairāk. negaidītas vietas. Nu viņa parādījās. Apskatīsim mūsu vienādojumu un šo formulu:

\[\begin(līdzināt)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(līdzināt) \]

Ja pieņemam, ka $a=3$ ir mūsu sākotnējais skaitlis labajā pusē un $b=2$ ir pati eksponenciālās funkcijas bāze, uz kuru mēs tik ļoti vēlamies samazināt labo pusi, mēs iegūstam sekojošo:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightbult 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Labā bultiņa ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Labā bultiņa x=( (\log )_(2))3. \\\beigas(līdzināt)\]

Mēs saņēmām nedaudz dīvainu atbildi: $x=((\log )_(2))3$. Kādā citā uzdevumā ar šādu atbildi daudzi šaubītos un sāktu vēlreiz pārbaudīt savu risinājumu: ja nu kaut kur būtu kļūda? Es steidzos jūs iepriecināt: šeit nav kļūdu, un logaritmi eksponenciālo vienādojumu saknēs ir diezgan tipiska situācija. Tāpēc pierod. :)

Tagad mēs pēc analoģijas atrisinām atlikušos divus vienādojumus:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\labā bultiņa ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Labā bultiņa ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Labā bultiņa 2x=( (\log )_(4))11\Labā bultiņa x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\beigas(līdzināt)\]

Tas ir viss! Starp citu, pēdējo atbildi var uzrakstīt citādi:

Mēs bijām tie, kas ieviesām reizinātāju logaritma argumentā. Bet neviens neliedz mums pievienot šo faktoru bāzei:

Šajā gadījumā visas trīs iespējas ir pareizas - tas ir vienkārši dažādas formas tāda paša numura ieraksti. Kuru izvēlēties un pierakstīt šajā lēmumā, ir atkarīgs no jums.

Tādējādi esam iemācījušies atrisināt jebkurus eksponenciālos vienādojumus formā $((a)^(x))=b$, kur skaitļi $a$ un $b$ ir stingri pozitīvi. Tomēr skarbā realitāte mūsu pasaule ir līdzīga vienkāršus uzdevumus satiksimies ļoti, ļoti reti. Biežāk jūs saskaraties ar kaut ko līdzīgu:

\[\begin(līdzināt)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\beigas(līdzināt)\]

Nu, kā jūs izlemjat? Vai to vispār var atrisināt? Un ja jā, tad kā?

Nekādas panikas. Visi šie vienādojumi ātri un viegli tiek samazināti līdz vienkāršas formulas ko mēs jau esam apsvēruši. Jums tikai jāzina, lai atcerētos pāris trikus no algebras kursa. Un, protams, šeit nav noteikumu par darbu ar grādiem. Es par to visu tagad parunāšu. :)

Eksponenciālo vienādojumu pārveidošana

Vispirms ir jāatceras, ka jebkurš eksponenciālais vienādojums, lai cik sarežģīts tas būtu, tā vai citādi ir jāsamazina līdz vienkāršākajiem vienādojumiem - tiem, kurus mēs jau esam apsvēruši un kurus mēs zinām, kā atrisināt. Citiem vārdiem sakot, jebkura eksponenciālā vienādojuma risināšanas shēma ir šāda:

1. Pierakstiet sākotnējo vienādojumu. Piemēram: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Izdari kādu stulbu. Vai pat kaut kādas muļķības ar nosaukumu "pārveidojiet vienādojumu";
3. Izvadā iegūstiet vienkāršākās izteiksmes, piemēram, $((4)^(x))=4$ vai kaut ko līdzīgu. Turklāt viens sākotnējais vienādojums var dot vairākas šādas izteiksmes vienlaikus.

Ar pirmo punktu viss ir skaidrs - pat mans kaķis var uzrakstīt vienādojumu uz lapas. Arī ar trešo punktu, šķiet, ir vairāk vai mazāk skaidrs - mēs jau iepriekš esam atrisinājuši veselu kaudzi šādu vienādojumu.

Bet kā ir ar otro punktu? Kādas ir pārvērtības? Ko pārvērst par ko? Un kā?

Nu, izdomāsim. Vispirms es vēlos norādīt uz sekojošo. Visi eksponenciālie vienādojumi ir sadalīti divos veidos:

1. Vienādojums sastāv no eksponenciālām funkcijām ar vienādu bāzi. Piemērs: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula satur eksponenciālas funkcijas ar dažādām bāzēm. Piemēri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ un $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Sāksim ar pirmā tipa vienādojumiem – tos ir visvieglāk atrisināt. Un viņu risinājumā mums palīdzēs tāda tehnika kā stabilu izteiksmju atlase.

Stabilas izteiksmes izcelšana

Apskatīsim šo vienādojumu vēlreiz:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ko mēs redzam? Četri tiek paaugstināti dažādās pakāpēs. Bet visas šīs pakāpes ir vienkāršas mainīgā $x$ summas ar citiem skaitļiem. Tāpēc ir jāatceras noteikumi darbam ar grādiem:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\beigas(līdzināt)\]

Vienkārši sakot, eksponentu pievienošanu var pārvērst par pakāpju reizinājumu, un atņemšanu var viegli pārveidot par dalīšanu. Mēģināsim piemērot šīs formulas mūsu vienādojuma pakāpēm:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cpunkts 4. \ \\beigt(līdzināt)\]

Mēs pārrakstām sākotnējo vienādojumu, ņemot vērā šo faktu, un pēc tam apkopojam visus terminus kreisajā pusē:

\[\begin(līdzināt)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cpunkts 4 -vienpadsmit; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cpunkts \frac(1)(4)-((4)^(x))\cpunkts 4+11=0. \\\beigas(līdzināt)\]

Pirmie četri termini satur elementu $((4)^(x))$ — izņemsim to no iekavas:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\beigas(līdzināt)\]

Atliek abas vienādojuma daļas dalīt ar daļu $-\frac(11)(4)$, t.i. būtībā reiziniet ar apgriezto daļu - $-\frac(4)(11)$. Mēs iegūstam:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\beigas(līdzināt)\]

Tas ir viss! Mēs samazinājām sākotnējo vienādojumu līdz vienkāršākajam un saņēmām galīgo atbildi.

Tajā pašā laikā risināšanas procesā mēs atklājām (un pat izņēmām no iekavas) kopējo faktoru $((4)^(x))$ - tā ir stabilā izteiksme. To var norādīt kā jaunu mainīgo, vai arī varat to vienkārši precīzi izteikt un saņemt atbildi. Jebkurā gadījumā galvenais princips risinājumi ir šādi:

Atrodiet sākotnējā vienādojumā stabilu izteiksmi, kas satur mainīgo, kas ir viegli atšķirams no visām eksponenciālajām funkcijām.

Labā ziņa ir tā, ka gandrīz katrs eksponenciālais vienādojums pieļauj tik stabilu izteiksmi.

Taču ir arī sliktas ziņas: šādi izteicieni var būt ļoti viltīgi, un var būt diezgan grūti tos atšķirt. Tātad, aplūkosim citu problēmu:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Varbūt kādam tagad radīsies jautājums: “Paša, vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Šeit ir dažādas bāzes - 5 un 0,2. Bet mēģināsim pārveidot jaudu ar bāzi 0.2. Piemēram, atbrīvosimies no decimāldaļskaitļa, apvienojot to līdz parastajam:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kā redzat, cipars 5 joprojām parādījās, kaut arī saucējā. Tajā pašā laikā rādītājs tika pārrakstīts kā negatīvs. Un tagad mēs atceramies vienu no tiem būtiski noteikumi darbs ar grādiem:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightbult ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Šeit es, protams, nedaudz krāpjos. Tā kā pilnīgai izpratnei formula, kā atbrīvoties no negatīvajiem rādītājiem, bija jāuzraksta šādi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Labā bultiņa ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ pa labi))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

No otras puses, nekas neliedza mums strādāt tikai ar vienu frakciju:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ pa labi))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Bet šajā gadījumā jums ir jāspēj paaugstināt grādu uz citu pakāpi (es atgādinu: šajā gadījumā rādītāji tiek summēti). Bet man nevajadzēja “pārsist” daļskaitļus - varbūt kādam tas būs vieglāk. :)

Jebkurā gadījumā sākotnējais eksponenciālais vienādojums tiks pārrakstīts šādi:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\beigas(līdzināt)\]

Tātad izrādās, ka sākotnējo vienādojumu ir pat vieglāk atrisināt nekā iepriekš aplūkoto: šeit pat nav jāizceļ stabila izteiksme - viss ir samazināts pats par sevi. Atliek tikai atcerēties, ka $1=((5)^(0))$, no kurienes mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\beigas(līdzināt)\]

Tas ir viss risinājums! Mēs saņēmām galīgo atbildi: $x=-2$. Tajā pašā laikā es vēlos atzīmēt vienu triku, kas mums ievērojami vienkāršoja visus aprēķinus:

Eksponenciālajos vienādojumos noteikti atbrīvojieties no decimāldaļskaitļi, pārveidojiet tos par parastajiem. Tas ļaus jums redzēt vienādas grādu bāzes un ievērojami vienkāršos risinājumu.

Tagad pāriesim pie sarežģītākiem vienādojumiem, kuros ir dažādas bāzes, kuras parasti nav reducējamas viena ar otru, izmantojot pilnvaras.

Eksponenta rekvizīta izmantošana

Atgādināšu, ka mums ir vēl divi īpaši skarbi vienādojumi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\beigas(līdzināt)\]

Galvenā grūtība šeit ir tā, ka nav skaidrs, uz ko un uz kāda pamata vadīt. Kur ir fiksētās izteiksmes? Kur ir kopējie pamati? Nav nekā tāda.

Bet mēģināsim iet citu ceļu. Ja nav gatavs tās pašas bāzes, varat mēģināt tos atrast, ņemot vērā pieejamās bāzes.

Sāksim ar pirmo vienādojumu:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\beigas(līdzināt)\]

Bet galu galā jūs varat rīkoties pretēji - veidojiet skaitli 21 no skaitļiem 7 un 3. Īpaši viegli to izdarīt kreisajā pusē, jo abu grādu rādītāji ir vienādi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\beigas(līdzināt)\]

Tas ir viss! Jūs izņēmāt eksponentu no produkta un uzreiz ieguvāt skaistu vienādojumu, ko var atrisināt pāris rindās.

Tagad aplūkosim otro vienādojumu. Šeit viss ir daudz sarežģītāk:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Šajā gadījumā frakcijas izrādījās nesamazināmas, bet, ja kaut ko varēja samazināt, noteikti samaziniet. Tas bieži vien radīs interesantus pamatojumus, ar kuriem jūs jau varat strādāt.

Diemžēl mēs neko neesam izdomājuši. Bet mēs redzam, ka eksponenti produktā kreisajā pusē ir pretēji:

Ļaujiet man jums atgādināt: lai atbrīvotos no mīnusa zīmes eksponentā, jums vienkārši ir nepieciešams “apgriezt” daļu. Tātad, pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\beigas(līdzināt)\]

Otrajā rindā mēs tikko iekavējām produkta kopējo summu saskaņā ar noteikumu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, un pēdējā viņi vienkārši reizināja skaitli 100 ar daļu.

Tagad ņemiet vērā, ka skaitļi kreisajā pusē (pamatā) un labajā pusē ir nedaudz līdzīgi. Kā? Jā, acīmredzot: tās ir viena un tā paša skaitļa pilnvaras! Mums ir:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \pa labi))^(2)). \\\beigas(līdzināt)\]

Tādējādi mūsu vienādojums tiks pārrakstīts šādi:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \pa labi))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Tajā pašā laikā labajā pusē var iegūt arī grādu ar tādu pašu bāzi, kuram pietiek tikai “apgriezt” daļu:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Visbeidzot, mūsu vienādojums būs šāds:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\beigas(līdzināt)\]

Tas ir viss risinājums. Tās galvenā ideja ir saistīta ar to, ka pat dažādu iemeslu dēļ mēs cenšamies šos iemeslus reducēt uz vienu un to pašu. Tajā mums palīdz elementāras vienādojumu transformācijas un noteikumi darbam ar pilnvarām.

Bet kādus noteikumus un kad lietot? Kā saprast, ka vienā vienādojumā abas puses ar kaut ko jāsadala, bet citā - jāsadala eksponenciālās funkcijas bāze faktoros?

Atbilde uz šo jautājumu nāks ar pieredzi. Vispirms izmēģiniet savus spēkus vienkāršus vienādojumus un pēc tam pakāpeniski sarežģījiet uzdevumus - un ļoti drīz jūsu prasmes pietiks, lai atrisinātu jebkuru eksponenciālo vienādojumu no tā paša USE vai jebkuru neatkarīgu / pārbaudes darbu.

Un, lai palīdzētu jums šajā sarežģītajā uzdevumā, es iesaku manā vietnē lejupielādēt vienādojumu kopu neatkarīgam risinājumam. Visiem vienādojumiem ir atbildes, tāpēc jūs vienmēr varat pārbaudīt sevi.