Iracionālie vienādojumi. Izsmeļošs ceļvedis. Iracionālu izteiksmju transformācijas

Iracionālas izteiksmes un to pārvērtības

Iepriekšējā reizē atcerējāmies (vai noskaidrojām - kā kādam patīk), kas ir , iemācījās iegūt šādas saknes, pa gabalu izjauca sakņu galvenās īpašības un nolēma to nedarīt sarežģīti piemēri ar saknēm.

Šī nodarbība būs turpinājums iepriekšējai un būs veltīta visdažādāko izteicienu, kas satur visu veidu saknes, transformācijai. Tādus izteicienus sauc neracionāli. Šeit būs gan izteicieni ar burtiem, gan papildu nosacījumi, gan atbrīvošanās no neracionalitātes daļskaitļos, gan daži uzlaboti triki darbā ar saknēm. Tie paņēmieni, kas tiks aplūkoti šajā nodarbībā, kļūs par labu pamatu gandrīz jebkuras sarežģītības pakāpes vienotā valsts eksāmena (un ne tikai) problēmu risināšanai. Tātad sāksim.

Pirmkārt, es šeit dublēšu sakņu pamatformulas un īpašības. Lai nepārlēktu no tēmas uz tēmu. Šeit tie ir:

plkst

Šīs formulas ir jāzina un jāspēj piemērot. Un abos virzienos – gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso. Tieši uz tiem balstās lielākās daļas uzdevumu risināšana ar jebkādas sarežģītības pakāpes saknēm. Sāksim ar vienkāršāko – ar formulu vai to kombināciju tiešu pielietojumu.

Vienkārša formulu pielietošana

Šajā daļā tiks aplūkoti vienkārši un nekaitīgi piemēri – bez burtiem, papildus nosacījumiem un citiem trikiem. Tomēr pat tajos, kā likums, ir iespējas. Un jo izdomātāks piemērs, jo vairāk šādu iespēju. Un nepieredzējušam studentam ir galvenā problēma- kur sākt? Atbilde šeit ir vienkārša - tu nezini ko darīt, dari ko vari. Ja nu vienīgi tava rīcība noritētu mierā un saskaņā ar matemātikas likumiem un nebūtu tiem pretrunā.) Piemēram, šāds uzdevums:

Aprēķināt:

Pat tik vienkāršā piemērā ir iespējami vairāki ceļi uz atbildi.

Pirmais ir vienkārši reizināt saknes ar pirmo īpašību un iegūt sakni no rezultāta:

Otrā iespēja ir šāda: nepieskarieties, strādājiet ar . Mēs izņemam faktoru no zem saknes zīmes, un pēc tam - saskaņā ar pirmo īpašumu. Kā šis:

Jūs varat izlemt, kas jums patīk. Jebkurā no iespējām atbilde ir viena - astoņas. Piemēram, man ir vieglāk reizināt ar 4 un 128 un iegūt 512, un kuba sakne ir lieliski iegūta no šī skaitļa. Ja kāds neatceras, ka 512 ir 8 kubi, tad tas nav svarīgi: jūs varat uzrakstīt 512 kā 2 9 (pirmie 10 divi pakāpes, ceru, ka atceraties?) Un izmantojot pakāpes saknes formulu:

Vēl viens piemērs.

Aprēķināt:.

Ja strādā pie pirmā īpašuma (visu dzen zem vienas saknes), tad sanāk dūšīgs cipars, no kura tad izvelk sakni - arī ne cukuru. Un tas nav fakts, ka tas tiks iegūts vienmērīgi.) Tāpēc šeit ir lietderīgi izņemt faktorus no skaitļa saknes. Un izmantojiet to maksimāli:

Un tagad viss ir kārtībā:

Atliek pierakstīt astoņus un divus zem vienas saknes (pēc pirmās īpašības) un - lieta gatava. :)

Tagad pievienosim dažas frakcijas.

Aprēķināt:

Piemērs ir diezgan primitīvs, taču tam ir arī iespējas. Varat izmantot reizinātāju, lai pārvērstu skaitītāju un samazinātu ar saucēju:

Un jūs varat nekavējoties izmantot formulu sakņu sadalīšanai:

Kā redzat, tā un tā - viss ir pareizi.) Ja nepaklūpi pusceļā un nepieļauj kļūdu. Bet kur šeit ir kļūda...

Tagad aplūkosim jaunāko piemēru mājasdarbs pēdējā nodarbība:

Vienkāršot:

Pilnīgi neiedomājams sakņu kopums un pat ligzdotas. Kā būt? Galvenais nebaidīties! Šeit mēs vispirms pamanām zem skaitļu 2, 4 un 32 saknēm - divu pakāpju. Vispirms visus skaitļus jāsaliek pa diviem: galu galā, jo vairāk vienādu skaitļu piemērā un jo mazāk dažādu, jo vieglāk.) Sāksim atsevišķi ar pirmo faktoru:

Skaitli var vienkāršot, samazinot divus zem saknes ar četriem saknes eksponentā:

Tagad, saskaņā ar produkta sakni:

.

Skaitlī mēs izņemam divkāršu saknes zīmei:

Un mēs nodarbojamies ar izteiksmi saskaņā ar saknes formulu no saknes:

Tātad pirmais faktors tiks uzrakstīts šādi:

Pazudušas ligzdotas saknes, skaitļi kļuvuši mazāki, kas jau tagad priecē. Tikai saknes ir atšķirīgas, bet pagaidām mēs to atstāsim. Vajadzēs - konvertēsim uz tādu pašu. Mēs ņemam otro faktoru.)

Otro faktoru mēs pārveidojam tādā pašā veidā, pēc formulas saknes no produkta un saknes no saknes. Ja nepieciešams, mēs samazinām rādītājus pēc piektās formulas:

Mēs visu ielīmējam sākotnējā piemērā un iegūstam:

Mēs saņēmām produktu no veselas kaudzes pilnīgi atšķirīgu sakņu. Būtu jauki tos visus novest pie viena rādītāja, un tad jau redzēs. Nu, tas ir pilnīgi iespējams. Lielākais no sakņu indeksiem ir 12, un visi pārējie - 2, 3, 4, 6 - ir skaitļa 12 dalītāji. Tāpēc mēs visas saknes saskaņā ar piekto īpašību saliksim vienā rādītājā - līdz 12:

Mēs saskaitām un iegūstam:

Mēs nesaņēmām skaistu numuru, bet tas ir labi. Mums jautāja vienkāršot izteiksme, nē skaitīt. Vienkāršoti? Protams! Un atbildes veids (vesels skaitlis vai ne) šeit nespēlē nekādu lomu.

Dažas saskaitīšanas/atņemšanas un saīsinātās reizināšanas formulas

Diemžēl, vispārīgas formulas priekš sakņu pievienošana un atņemšana ne matemātikā. Tomēr uzdevumos ļoti bieži šīs darbības ir atrodamas ar saknēm. Šeit ir jāsaprot, ka jebkuras saknes ir tieši tādas pašas matemātiskās ikonas kā burti algebrā.) Un uz saknēm attiecas tie paši paņēmieni un noteikumi, kas attiecas uz burtiem - iekavas atvēršana, līdzīgu likšana, saīsinātās reizināšanas formulas utt.

Piemēram, visiem ir skaidrs, ka . Līdzīgi tas pats Saknes var viegli pievienot/atņemt savā starpā:

Ja saknes atšķiras, tad meklējam veidu, kā tās padarīt vienādas - pievienojot/noņemot faktoru vai pēc piektās īpašības. Ja labi, tas nekādā veidā nevienkāršo, tad, iespējams, transformācijas ir sarežģītākas.

Apskatīsim pirmo piemēru.

Atrodiet izteiksmes vērtību: .

Visas trīs saknes, lai arī kubiskas, ir savādāk cipariem. Tie nav tikai iegūti un tiek pievienoti/atņemti viens no otra. Tāpēc vispārīgo formulu pielietošana šeit nedarbojas. Kā būt? Un izņemsim faktorus katrā saknē. Jebkurā gadījumā tas nebūs sliktāks.) Turklāt faktiski nav citu iespēju:

Tas ir, .

Tas ir viss risinājums. Šeit mēs pārcēlāmies no dažādām saknēm uz tām pašām ar palīdzību izņemot reizinātāju no saknes. Un tad viņi vienkārši atveda līdzīgus.) Mēs izlemjam tālāk.

Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ja sakne ir septiņpadsmit, jūs noteikti neko nevarat darīt. Mēs strādājam pēc pirmās īpašības - mēs veidojam vienu sakni no divu sakņu produkta:

Tagad apskatīsim to tuvāk. Kas mums ir zem lielās kuba saknes? Atšķirība ir kva.. Nu protams! Kvadrātveida atšķirība:

Tagad atliek tikai iegūt sakni: .

Aprēķināt:

Šeit jums ir jāparāda matemātiskā atjautība.) Mēs domājam aptuveni šādi: “Tātad, piemērā sakņu produkts. Zem vienas saknes ir starpība, bet zem otras ir summa. Ļoti līdzīgs kvadrātu atšķirības formulai. Bet... saknes ir dažādas! Pirmais ir kvadrātveida, bet otrais ir ceturtās pakāpes ... Būtu jauki padarīt tos vienādus. Ar piekto īpašumu var viegli no kvadrātsakne izveidojiet ceturto sakni. Lai to izdarītu, pietiek ar saknes izteiksmi kvadrātā.

Ja jūs domājāt par to pašu, tad esat pusceļā uz panākumiem. Diezgan pareizi! Pārvērtīsim pirmo faktoru par ceturto sakni. Kā šis:

Tagad neko nevar izdarīt, bet jums ir jāatceras atšķirības kvadrāta formula. Tikai uzklājot uz saknēm. Nu ko? Kāpēc saknes ir sliktākas par citiem skaitļiem vai izteiksmēm?! Mēs būvējam:

"Hmm, viņi to uzcēla, un ko tad? Redīsi mārrutki nav saldāki. Stop! Un ja izņem četrus zem saknes? Tad parādīsies tāds pats izteiciens kā zem otrās saknes, tikai ar mīnusu, un tieši to mēs cenšamies panākt!

Pa labi! Iegūsim četrus:

.

Un tagad - tehnoloģiju jautājums:

Tā atrisinās sarežģīti piemēri.) Tagad ir laiks vingrināties ar daļskaitļiem.

Aprēķināt:

Ir skaidrs, ka ir nepieciešams pārveidot skaitītāju. Kā? Pēc summas kvadrāta formulas, protams. Vai mums ir vēl kādas iespējas? :) Kvadrātošana, reizinātāju izņemšana, rādītāju samazināšana (kur nepieciešams):

Kā! Mēs saņēmām tieši mūsu daļskaitļa saucēju.) Tātad visa daļa, protams, ir vienāda ar vienu:

Vēl viens piemērs. Tikai tagad pie citas saīsinātās reizināšanas formulas.)

Aprēķināt:

Skaidrs, ka biznesā jāpiemēro starpības kvadrāts. Atsevišķi izrakstām saucēju un - braucam!

Mēs izņemam reizinātājus no saknēm:

Sekojoši,

Tagad viss sliktais ir lieliski samazināts, un izrādās:

Nu, pāriesim uz nākamo līmeni. :)

Vēstules un papildu noteikumi

Burtu izteiksmes ar saknēm ir sarežģītāka lieta nekā skaitliskās izteiksmes, un tas ir neizsmeļams kaitinošu un ļoti rupju kļūdu avots. Bloķēsim šo avotu.) Parādās kļūdas, jo šādos uzdevumos bieži parādās negatīvi skaitļi un izteiksmes. Tie ir vai nu mums doti tieši uzdevumā, vai arī paslēpti vēstules un papildu noteikumi. Un, strādājot ar saknēm, mums tas pastāvīgi jāatceras saknēs vienmērīgs grāds gan zem pašas saknes, gan saknes izvilkšanas rezultātā vajadzētu būt nenegatīva izteiksme. Galvenā formula šīs rindkopas uzdevumos būs ceturtā formula:

Ar nepāra pakāpes saknēm jautājumu nav - tur vienmēr viss tiek izvilkts ar plusu, ar mīnusu. Un mīnuss, ja kas, tiek celts uz priekšu. Mēs nekavējoties tiksim galā ar saknēm pat grādi.) Piemēram, tik īss uzdevums.

Vienkāršot: , ja .

Šķiet, ka viss ir vienkārši. Izrādīsies tikai x.) Bet kāpēc tad papildu nosacījums ? Šādos gadījumos ir lietderīgi novērtēt pēc skaitļiem. Tīri priekš sevis.) Ja, tad x ir negatīvs skaitlis. Mīnus trīs, piemēram. Vai mīnus četrdesmit. Ļaujiet . Vai jūs varat palielināt mīnus trīs līdz ceturtajai pakāpei? Protams! Izrādās 81. Vai no 81 var izvilkt ceturtās pakāpes sakni? Kāpēc ne? Var! Saņem trīs. Tagad analizēsim visu mūsu ķēdi:

Ko mēs redzam? Ievade bija negatīva, un izvade bija pozitīva. Bija mīnus trīs, tagad plus trīs.) Atgriezīsimies pie burtiem. Bez šaubām, modulo tas būs tieši X, bet tikai pats X ir ar mīnusu (pēc nosacījuma!), Un ekstrakcijas rezultātam (aritmētiskās saknes dēļ!) Jābūt ar plusu. Kā iegūt plusu? Ļoti vienkārši! Šim nolūkam pietiek iepriekš negatīvs skaitlis ielikt mīnusu.) Un pareizais lēmums izskatās šādi:

Starp citu, ja mēs izmantotu formulu, tad, atceroties moduļa definīciju, mēs uzreiz iegūtu pareizo atbildi. Tāpēc ka

|x| = -x pie x<0.

Izņemiet faktoru no saknes zīmes: , kur .

Pirmais skats ir saknes izteiksme. Šeit viss ir kārtībā. Jebkurā gadījumā tas nebūs negatīvs. Mēs sākam iegūt. Saskaņā ar produkta saknes formulu mēs izņemam sakni no katra faktora:

Manuprāt, tas vairs nav jāpaskaidro, no kurienes nāk moduļi.) Un tagad mēs analizējam katru no moduļiem.

Reizinātājs | a | tāpēc atstājam to nemainītu: vēstulei nav nekādu nosacījumua. Mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs. Nākamais modulis |b 2 | var droši izlaist: jebkurā gadījumā izteiksmib 2 nenegatīvs. Un kas par |c 3 | - tā jau ir problēma.) Ja, tad un c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть ar mīnusu: | c 3 | = - c 3 . Tātad pareizais risinājums būtu:

Un tagad - apgrieztais uzdevums. Nav tas vieglākais, es jūs uzreiz brīdinu!

Ievadiet koeficientu zem saknes zīmes: .

Ja jūs uzreiz uzrakstāt risinājumu šādi

tad tu iekrita lamatās. to nepareizs lēmums! Kas noticis?

Apskatīsim izteicienu zem saknes. Zem ceturtās pakāpes saknes, kā mēs zinām, vajadzētu būt nenegatīvs izteiksme. Citādi saknei nav nozīmes.) Tāpēc, Un tas savukārt nozīmē, ka un līdz ar to arī pats par sevi ir nepozitīvs: .

Un kļūda šeit ir tā, ka mēs ievedam zem saknes nepozitīvs numuru: ceturtā jauda to pārvērš nenegatīvs un tiek iegūts nepareizs rezultāts - pa kreisi apzināts mīnuss, bet pa labi jau pluss. Un ienest zem saknes pat grāds mums ir tikai tiesības nenegatīvs skaitļi vai izteiksmes. Un atstājiet mīnusu, ja tāds ir, saknes priekšā.) Kā mēs varam atlasīt skaitļa nenegatīvu faktoru, zinot, ka tas pats par sevi ir negatīvs? Jā, tieši tas pats! Ieliec mīnusu.) Un lai nekas nav mainījies, kompensē to ar vēl vienu mīnusu. Kā šis:

Un tagad nenegatīvs cipars (-b) tiek mierīgi ievadīts zem saknes saskaņā ar visiem noteikumiem:

Šis piemērs skaidri parāda, ka atšķirībā no citām matemātikas nozarēm pareizā atbilde saknēs ne vienmēr automātiski izriet no formulām. Jums ir jādomā un personīgi jāpieņem pareizais lēmums.) Īpaši uzmanīgāk vajadzētu būt ar pierakstīšanos iracionālie vienādojumi un nevienādības.

Mēs nodarbojamies ar šādu svarīgu tehniku ​​darbā ar saknēm - atbrīvojoties no iracionalitātes.

Atbrīvošanās no iracionalitātes daļskaitļos

Ja izteicienā ir saknes, tad, atgādināšu, šādu izteicienu sauc izteiksme ar iracionalitāti. Dažos gadījumos ir lietderīgi atbrīvoties no šīs iracionalitātes (ti, saknēm). Kā jūs varat likvidēt sakni? Mūsu sakne pazūd, kad ... paceļamies pie varas. Ar eksponentu, kas vienāds ar saknes eksponentu vai tā daudzkārtni. Bet, ja sakni paaugstināsim līdz pakāpei (t.i., reizinim sakni ar sevi nepieciešamo reižu skaitu), tad izteiksme mainīsies no šīs. Nav labi.) Tomēr matemātikā ir tēmas, kur reizināšana ir diezgan nesāpīga. Piemēram, daļskaitļos. Atbilstoši daļskaitļa pamatīpašībai, ja skaitītāju un saucēju reizina (dala) ar vienu un to pašu skaitli, tad daļdaļas vērtība nemainīsies.

Pieņemsim, ka mums ir dota šāda daļa:

Vai ir iespējams atbrīvoties no saknes saucējā? Var! Lai to izdarītu, saknei jābūt kubā. Kas mums pietrūkst pilnā kuba saucējā? Mums trūkst reizinātāja , t.i.. Tātad mēs reizinām daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar

Sakne saucējā ir pazudusi. Bet... viņš parādījās skaitītājā. Neko darīt, tāds liktenis.) Tas mums vairs nav svarīgi: mūs lūdza atbrīvot saucēju no saknēm. Atbrīvots? Neapšaubāmi.)

Starp citu, tie, kas jau ir pretrunā ar trigonometriju, iespējams, ir pievērsuši uzmanību tam, ka, piemēram, dažās mācību grāmatās un tabulās tie apzīmē atšķirīgi: kaut kur, bet kaut kur. Jautājums ir, kas ir pareizi? Atbilde: viss ir pareizi!) Ja jūs to uzminējatir vienkārši rezultāts atbrīvošanai no iracionalitātes daļskaitļa saucējā. :)

Kāpēc mums būtu jāatbrīvojas no iracionalitātes pa daļām? Kāda starpība, vai sakne ir skaitītājā vai saucējā? Kalkulators tik un tā visu aprēķinās.) Nu tiem, kas nešķiras no kalkulatora, tiešām praktiski nav nekādas atšķirības... Bet, pat rēķinoties ar kalkulatoru, var pievērst uzmanību, ka sadalīt uz vesels numurs vienmēr ir ērtāks un ātrāks nekā neracionāli. Un es klusēšu par sadalījumu kolonnā.)

Šis piemērs tikai apstiprinās manus vārdus.

Kā šeit noņemt kvadrātsakni saucējā? Ja skaitītāju un saucēju reizina ar izteiksmi, tad saucējs būs summas kvadrāts. Pirmā un otrā skaitļa kvadrātu summa mums dos tikai skaitļus bez saknēm, kas ir ļoti patīkami. Tomēr... tas uznirst dubults produkts no pirmā skaitļa uz otro, kur joprojām paliks sakne no trīs. Neveic kanālu. Kā būt? Atcerieties vēl vienu brīnišķīgu saīsinātās reizināšanas formulu! Kur nav dubultproduktu, bet ir tikai kvadrāti:

Tāda izteiksme, kura, reizinot ar kādu summu (vai starpību), noved pie kvadrātu atšķirība, ko sauc arī par konjugētā izteiksme. Mūsu piemērā blakus izteiksme būs atšķirība . Tātad mēs reizinām skaitītāju un saucēju ar šo starpību:

Ko te var teikt? Mūsu manipulāciju rezultātā pazuda ne tikai saucēja sakne - pazuda arī daļa! :) Pat ar kalkulatoru atņemt trīs sakni no trīs ir vieglāk, nekā saskaitīt daļskaitli ar sakni saucējā. Vēl viens piemērs.

Atbrīvojieties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā:

Kā no šejienes tikt ārā? Formulas saīsinātai reizināšanai ar kvadrātiem nedarbojas uzreiz - saknes pilnībā novērst nebūs iespējams tāpēc, ka šoreiz mūsu sakne nav kvadrāts, bet kub. Ir nepieciešams, lai sakne būtu kaut kā pacelta kubā. Tāpēc dažas formulas ir jāpiemēro ar kubiņiem. Kas? Padomāsim. Saucējs ir summa. Kā mēs iegūstam kubveida sakni? Reiziniet ar nepilnīga kvadrāta starpība! Tātad mēs pielietosim formulu kubu summas. Šis:

Kā a mums ir trīs, un kā b ir pieci kuba sakne:

Un atkal daļskaitlis pazuda.) Tādas situācijas, kad, atbrīvojoties no iracionalitātes daļskaitļa saucējā, pati daļa pilnībā izzūd kopā ar saknēm, ir ļoti izplatītas. Kā jums patīk šis piemērs!

Aprēķināt:

Vienkārši mēģiniet pievienot šīs trīs daļas! Bez kļūdām! :) Viens kopsaucējs ir ko vērts. Bet ko darīt, ja mēs mēģinātu atbrīvoties no iracionalitātes katras frakcijas saucējā? Nu, mēģināsim:

Oho, cik interesanti! Visas frakcijas ir pazudušas! Pilnīgi. Un tagad piemērs ir atrisināts divos veidos:

Vienkārši un eleganti. Un bez gariem un nogurdinošiem aprēķiniem. :)

Tāpēc ir jāspēj veikt atbrīvošanās no iracionalitātes operācija pa daļām. Šādos izdomātos piemēros tikai viņa glābj, jā.) Protams, neviens neatcēla uzmanību. Ir uzdevumi, kuros viņiem tiek lūgts atbrīvoties no iracionalitātes skaitītājs. Šie uzdevumi neatšķiras no apskatītajiem, tikai skaitītājs ir notīrīts no saknēm.)

Sarežģītāki piemēri

Atliek apsvērt dažus īpašus paņēmienus darbā ar saknēm un praktizēt ne vienkāršāko piemēru atšķetināšanu. Un tad jau ar saņemto informāciju pietiks, lai atrisinātu uzdevumus ar jebkuras sarežģītības pakāpes saknēm. Tātad - uz priekšu.) Vispirms izdomāsim, ko darīt ar ligzdotām saknēm, kad saknes formula no saknes nedarbojas. Piemēram, šeit ir piemērs.

Aprēķināt:

Sakne zem saknes... Turklāt zem saknēm ir summa jeb starpība. Tāpēc saknes formula no saknes (ar rādītāju reizinājumu) ir šeit Tas nedarbojas. Tātad kaut kas ir jādara radikālas izpausmes A: Mums vienkārši nav citu iespēju. Šādos piemēros visbiežāk zem lielas saknes tiek šifrēta pilns kvadrāts kādu summu. Vai atšķirības. Un laukuma sakne jau lieliski izvilkta! Un tagad mūsu uzdevums ir to atšifrēt.) Šāda atšifrēšana ir skaisti paveikta vienādojumu sistēma. Tagad jūs varat redzēt pats.)

Tātad, zem pirmās saknes mums ir šāda izteiksme:

Ja tu neuzminēji? Pārbaudīsim! Kvadrātēšana, izmantojot summas kvadrāta formulu:

Tieši tā.) Bet ... No kurienes es ņēmu šo izteicienu? No debesīm?

Nē.) Godīgi sakot, mēs to iegūsim nedaudz zemāk. Tikai izmantojot šo izteiksmi, es parādu, kā tieši uzdevumu kompilatori šifrē šādus kvadrātus. :) Kas ir 54? to pirmā un otrā skaitļa kvadrātu summa. Un, pievērsiet uzmanību, jau bez saknēm! Bet sakne paliek dubults produkts, kas mūsu gadījumā ir vienāds ar . Tāpēc šādu piemēru atšķetināšana sākas ar dubultprodukta meklēšanu. Ja atšķetinās ar parasto atlasi. Un, starp citu, par zīmēm. Šeit viss ir vienkārši. Ja iepriekš dubultots plus, tad summas kvadrāts. Ja mīnuss, tad starpība.) Mums ir pluss - kas nozīmē summas kvadrātu.) Un tagad - solītā analītiskā dekodēšanas metode. caur sistēmu.)

Tātad zem mūsu saknes izteiksme nepārprotami karājas (a+b) 2, un mūsu uzdevums ir atrast a un b. Mūsu gadījumā kvadrātu summa dod 54. Tātad mēs rakstām:

Tagad dubultojiet produktu. Mums tas ir. Tātad mēs rakstām:

Mums ir šāda sistēma:

Mēs risinām ar parasto aizstāšanas metodi. Mēs izsakām, piemēram, no otrā vienādojuma un aizstājam ar pirmo:

Atrisināsim pirmo vienādojumu:

Saņēmu divkvadrātveida vienādojums priekša . Mēs uzskatām diskriminantu:

nozīmē,

Mēs ieguvām pat četras iespējamās vērtībasa. Mēs nebaidāmies. Tagad mēs atsijāsim visu lieko.) Ja tagad aprēķināsim atbilstošās vērtības katrai no četrām atrastajām vērtībām, mēs iegūsim četrus mūsu sistēmas risinājumus. Šeit tie ir:

Un tad jautājums – kurš no risinājumiem mums ir piemērots? Padomāsim. Negatīvos risinājumus var uzreiz atmest: kvadrātā mīnusi “izdegs”, un visa radikālā izteiksme kopumā nemainīsies.) Paliek pirmās divas iespējas. Jūs varat tos izvēlēties pilnīgi patvaļīgi: summa tik un tā nemainās no terminu pārkārtošanas.) Ļaujiet, piemēram, un .

Kopumā zem saknes mēs saņēmām šādas summas kvadrātu:

Viss ir skaidrs.)

Ne velti tik sīki aprakstu risinājuma gaitu. Lai būtu skaidrs, kā notiek atšifrēšana.) Taču ir viena problēma. Analītiskā dekodēšanas metode, lai arī uzticama, ir ļoti gara un apgrūtinoša: jums ir jāatrisina bikvadrātiskais vienādojums, jāiegūst četri sistēmas risinājumi un tad jādomā, kurus izvēlēties... Apgrūtinoši? Piekrītu, tas ir grūti. Šī metode darbojas nevainojami lielākajā daļā šo piemēru. Tomēr bieži vien ir lieliski samazināt savu darbu un radoši atrast abus skaitļus. Izlase.) Jā, jā! Tagad, izmantojot otrā vārda (otrās saknes) piemēru, es parādīšu vienkāršāku un ātrāku veidu, kā atlasīt pilnu kvadrātu zem saknes.

Tātad tagad mums ir šī sakne: .

Mēs domājam šādi: “Zem saknes, visticamāk, ir šifrēts pilns kvadrāts. Laiki pirms dubultā mīnusa nozīmē starpības kvadrātu. Pirmā un otrā skaitļa kvadrātu summa dod mums skaitli 54. Bet kas ir šie kvadrāti? 1 un 53? 49 un 5 ? Pārāk daudz iespēju... Nē, labāk sākt atšķetināt ar dubulto produktu. Mūsuvar rakstīt kā. Reiz darbs dubultā, tad mēs uzreiz noraidām deuce. Pēc tam lomas kandidāti a un b paliek 7 un . Un pēkšņi ir 14 un/2 ? Nav izslēgts. Bet mēs vienmēr sākam ar vienkāršu! Tātad, ļaujiet, a. Pārbaudīsim tos kvadrātu summai:

Notika! Tātad mūsu saknes izteiksme faktiski ir starpības kvadrāts:

Šeit ir tāda ceļa gaisma, lai nesabojātos ar sistēmu. Tas ne vienmēr darbojas, bet daudzos šādos piemēros ar to pilnīgi pietiek. Tātad, zem saknēm ir pilni kvadrāti. Atliek tikai pareizi izvilkt saknes un saskaitīt piemēru:

Un tagad analizēsim vēl nestandarta uzdevumu saknēs.)

Pierādiet, ka skaitlis Air vesels skaitlis, ja .

Nekas netiek iegūts tieši, saknes ir ligzdotas, un pat dažādas pakāpes ... Murgs! Tomēr uzdevumam ir jēga.) Tāpēc tā risinājumam ir atslēga.) Un šeit ir atslēga. Apsveriet mūsu vienlīdzību

kā vienādojums priekš A. Jā jā! Būtu jauki atbrīvoties no saknēm. Mūsu saknes ir kubiskas, tāpēc paaugstināsim abas vienādojuma puses par kubu. Pēc formulas summas kubs:

Kubi un kubiskās saknes kompensē viens otru, un zem katras lielās saknes mēs ņemam vienu iekava no kvadrāta un starpības un summas reizinājumu pārvēršam kvadrātu starpībā:

Atsevišķi mēs aprēķinām kvadrātu starpību zem saknēm:

Pārvēršot aritmētiskās saknes, tiek izmantotas to īpašības (sk. 35. punktu).

Apskatīsim vairākus piemērus aritmētisko sakņu īpašību pielietošanai vienkāršākajām radikāļu transformācijām. Šajā gadījumā tiks uzskatīts, ka visiem mainīgajiem ir tikai nenegatīvas vērtības.

1. piemērs. Izņemiet sakni no produkta Lēmuma. Piemērojot īpašību 1°, mēs iegūstam:

2. piemērs. Izņemiet koeficientu zem saknes zīmes

Risinājums.

Šāda transformācija tiek saukta par faktorināciju no zem saknes zīmes. Transformācijas mērķis ir vienkāršot radikālo izteiksmi.

3. piemērs. Vienkāršojiet

Risinājums. Atbilstoši īpašībai 3° mēs parasti cenšamies vienkāršot radikālo izteiksmi, kam tie izņem faktorus, kas pārsniedz saknes zīmi. Mums ir

4. piemērs. Vienkāršojiet

Risinājums. Mēs pārveidojam izteiksmi, ieviešot faktoru zem saknes zīmes: Ar īpašību 4° mums ir

5. piemērs. Vienkāršojiet

Risinājums. Pēc īpašības 5° mums ir tiesības dalīt saknes eksponentu un radikālas izteiksmes eksponentu ar vienu un to pašu naturālo skaitli. Ja aplūkojamajā piemērā norādītos rādītājus sadalām ar 3, tad iegūstam

6. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmes: a)

Risinājums, a) Ar īpašību 1° iegūstam, ka vienas pakāpes sakņu reizināšanai pietiek ar sakņu izteiksmes reizināšanu un iegūtā rezultāta izņemšanu vienādas pakāpes sakni. nozīmē,

b) Vispirms mums jāsamazina radikāļi līdz vienam indeksam. Atbilstoši īpašībai 5° mēs varam reizināt saknes un saknes izteiksmes eksponentu ar vienu un to pašu naturālo skaitli. Tāpēc tālāk mums ir Un tagad rezultātā, kas iegūts, dalot saknes rādītājus un radikālas izteiksmes pakāpi ar 3, mēs iegūstam

Treneris numurs 1

Tēma: Spēka un iracionālu izteiksmju konvertēšana

1. Izvēles kursu programma matemātikā 10. klases skolēniem

   Programma

   Pieteikums. Trigonometrisko pamatformulu pielietojums uz transformācija izteiksmes. Temats 4. Trigonometriskās funkcijas un to grafiki. Rezumē.... 16.01-20.01 18 transformācija jauda un neracionāli izteiksmes. 23.01-27.01 19 ...

2. Mācību materiālu algebras kalendāri tematiskā plānošana un analīzes sākums, 11. klase

   Kalendāra tematiskā plānošana

   Un racionāls rādītājs. transformācija jauda un neracionāli izteiksmes. 2 2 2 septembris Logaritmu īpašības. transformācija logaritmisks izteiksmes. 1 1 1 ... pilnībā izskatīts tie studenti, kuri tiecas uz augstu...

3. Nodarbības tēma Nodarbības veids (4)

   Nodarbība

   ... pārvērtības ciparu un alfabēta izteiksmes kas satur grāds ... grādiem Zināt: koncepcija grāds ar iracionālu eksponentu; pamata īpašības grādiem. Spēt: atrast jēgu grāds Ar neracionāli... 3 pēc temats « Grāds pozitīvs skaitlis...

4. Tēma Darba psiholoģisko zināšanu attīstības kultūrvēsturiskie pamati Tēma Darbs kā sociāli psiholoģiskā realitāte

   Dokuments

   Un utt.) temats darbaspēks ir cieši saistīts ar sociāli ekonomisko pārvērtības. Piemēram, ... apziņas, instinktu pārstrukturēšana, neracionāli tendences, t.i. iekšējie konflikti ... klātbūtnes noskaidrošana un grāds izteiksmīgums cilvēkam ir noteikta...

5. Kvadrātsaknes saturošu izteiksmju konvertēšana (1)

   Nodarbība

   Rediģēja S.A. Teļakovskis. Temats nodarbība: transformācija izteiksmes satur kvadrātu...) pārvērtības saknes no produkta, frakcijas un grāds, reizināšana ... (identiskas prasmes veidošanās pārvērtības neracionāli izteiksmes). Nr.421. (pie tāfeles...

Sakņu īpašības ir pamatā sekojošām divām transformācijām, ko sauc par ievešanu zem saknes zīmes un izņemšanu no zem saknes zīmes, pie kurām tagad pievēršamies.

Koeficienta ievadīšana zem saknes zīmes

Koeficienta ievadīšana zem zīmes nozīmē izteiksmes , kur B un C ir daži skaitļi vai izteiksmes, un n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu, aizstāšanu ar identiski vienādu formas vai izteiksmi.

Piemēram, iracionāla izteiksme pēc faktora 2 pievienošanas zem saknes zīmes iegūst formu .

Šīs transformācijas teorētiskie pamati, tās īstenošanas noteikumi, kā arī visu veidu tipisku piemēru risinājumi ir sniegti rakstā, kas iepazīstina ar faktoru zem saknes zīmes.

Izņemot reizinātāju no zem saknes zīmes

Transformācija, zināmā nozīmē, pretēja faktora ieviešanai zem saknes zīmes, ir faktora noņemšana no zem saknes zīmes. Tas sastāv no saknes attēlošanas kā nepāra n reizinājumu vai pāra n reizinājumu, kur B un C ir daži skaitļi vai izteiksmes.

Piemēram, atgriezīsimies pie iepriekšējās rindkopas: pēc faktora izņemšanas no saknes zīmes iracionālā izteiksme iegūst formu . Vēl viens piemērs: faktora izņemšana no zem saknes zīmes izteiksmē iegūst reizinājumu, ko var pārrakstīt kā .

Uz ko šī transformācija ir balstīta un saskaņā ar kādiem noteikumiem tā tiek veikta, mēs atsevišķā rakstā analizēsim faktora izņemšanu no saknes zīmes. Turpat mēs sniedzam piemēru risinājumus un uzskaitām veidus, kā radikālo izteiksmi novest līdz reizinātāja izņemšanai ērtā formā.

Saknes saturošu frakciju konvertēšana

Iracionālās izteiksmēs var būt daļskaitļi, kuru skaitītājā un saucējā ir saknes. Ar šādām frakcijām jūs varat veikt jebkuru no galvenajām identiskas frakciju pārvērtības.

Pirmkārt, nekas neliedz jums strādāt ar izteiksmēm skaitītājā un saucējā. Kā piemēru ņemsim daļu. Iracionālā izteiksme skaitītājā acīmredzami ir identiski vienāda ar , un, atsaucoties uz sakņu īpašībām, izteiksmi saucējā var aizstāt ar sakni. Rezultātā sākotnējā daļa tiek pārvērsta formā .

Otrkārt, jūs varat mainīt zīmi pirms daļskaitļa, mainot skaitītāja vai saucēja zīmi. Piemēram, ir šādas iracionālas izteiksmes transformācijas: .

Treškārt, dažkārt ir iespējams un lietderīgi frakciju samazināt. Piemēram, kā liegt sev prieku samazināt daļu uz iracionālu izteiksmi , kā rezultātā mēs iegūstam .

Skaidrs, ka daudzos gadījumos pirms daļskaitļa samazināšanas ir jāfaktorē izteiksmes tās skaitītājā un saucējā, ko vienkāršos gadījumos var panākt ar saīsinātām reizināšanas formulām. Un dažreiz mainīgā lieluma aizstāšana palīdz samazināt daļskaitli, ļaujot pāriet no sākotnējās daļskaitļa ar iracionalitāti uz racionālu daļu, ar kuru ir ērtāk un pazīstamāk strādāt.

Kā piemēru ņemsim izteiksmi. Ieviesīsim jaunus mainīgos un šajos mainīgajos sākotnējai izteiksmei ir forma . Uzstājas skaitītājā

Raksts atklāj iracionālu izteicienu nozīmi un pārveidojumus ar tiem. Apsveriet pašu iracionālo izteiksmju, transformāciju un raksturīgo izteiksmju jēdzienu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas ir neracionāli izteicieni?

Iepazīstoties ar sakni skolā, pētām iracionālo izteicienu jēdzienu. Šādi izteicieni ir cieši saistīti ar saknēm.

1. definīcija

Iracionālas izpausmes ir izteicieni, kuriem ir sakne. Tas ir, tie ir izteicieni, kuriem ir radikāļi.

Pamatojoties uz šo definīciju, mēs iegūstam, ka x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3 ), 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 visas ir iracionāla tipa izteiksmes.

Apsverot izteiksmi x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3, mēs atklājam, ka izteiksme ir racionāla. Racionālās izteiksmēs ietilpst polinomi un algebriskās daļas. Neracionālie ietver darbu ar logaritmiskām izteiksmēm vai radikālām izteiksmēm.

Galvenie iracionālo izteiksmju transformāciju veidi

Aprēķinot šādas izteiksmes, ir jāpievērš uzmanība ODZ. Bieži vien tiem ir nepieciešamas papildu transformācijas, piemēram, paplašinot iekavas, veidojot līdzīgus dalībniekus, grupējot utt. Šādu pārveidojumu pamatā ir darbības ar skaitļiem. Iracionālo izteiksmju transformācijas notiek pēc stingras kārtības.

1. piemērs

Pārvērtiet izteiksmi 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 .

Risinājums

Ir nepieciešams aizstāt skaitli 9 ar izteiksmi, kas satur sakni. Tad mēs to saņemam

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Iegūtajai izteiksmei ir līdzīgi termini, tāpēc veiksim samazināšanu un grupēšanu. gūt

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Atbilde: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

2. piemērs

Attēlojiet izteiksmi x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 kā divu iracionālu reizinājumu, izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas.

Risinājumi

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Mēs attēlojam 9 formā 3 2, un mēs izmantojam kvadrātu starpības formulu:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Identisku pārveidojumu rezultāts noveda pie divu racionālu izteiksmju reizinājuma, kas bija jāatrod.

Atbilde:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Varat veikt vairākas citas transformācijas, kas attiecas uz neracionālām izteiksmēm.

Radikāla izteiksmes transformācija

Ir svarīgi, lai izteiksmi zem saknes zīmes varētu aizstāt ar identisku tai vienādu. Šis apgalvojums ļauj strādāt ar radikālu izteiksmi. Piemēram, 1 + 6 var aizstāt ar 7 vai 2 · a 5 4 - 6 ar 2 · a 4 · a 4 - 6 . Tie ir identiski vienādi, tāpēc aizstāšanai ir jēga.

Ja nav 1, kas atšķiras no a, kur ir patiesa formas a n \u003d a 1 n nevienādība, tad šāda vienlīdzība ir iespējama tikai tad, ja \u003d a 1. Šādu izteiksmju vērtības ir vienādas ar jebkuru mainīgo vērtību.

Saknes rekvizītu izmantošana

Saknes īpašības tiek izmantotas izteiksmju vienkāršošanai. Lai pielietotu īpašību a · b = a · b , kur a ≥ 0 , b ≥ 0 , tad no iracionālās formas 1 + 3 · 12 var kļūt identiski vienāds ar 1 + 3 · 12 . Īpašums. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2 , . . . , · n k , kur a ≥ 0 nozīmē, ka x 2 + 4 4 3 var uzrakstīt formā x 2 + 4 24 .

Pārvēršot radikālas izteiksmes, ir dažas nianses. Ja ir izteiksme, tad - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 mēs nevaram pierakstīt, jo formula a b n \u003d a n b n kalpo tikai nenegatīvam a un pozitīvam b. Ja īpašība ir piemērota pareizi, tad tiks iegūta 7 4 81 4 formas izteiksme.

Pareizai transformācijai tiek izmantotas iracionālu izteiksmju transformācijas, izmantojot sakņu īpašības.

Koeficienta ievadīšana zem saknes zīmes

3. definīcija

Ievadiet zem saknes zīmes– nozīmē aizstāt izteiksmi B · C n , un B un C ir daži skaitļi vai izteiksmes, kur n ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par 1 , ar vienādu izteiksmi, kuras forma ir B n · C n vai - B n · C n .

Ja formas izteiksmi vienkāršojam 2 x 3, tad pēc pievienošanas zem saknes iegūstam, ka 2 3 x 3. Šādas transformācijas ir iespējamas tikai pēc detalizētas noteikumu izpētes par faktora ievadīšanu zem saknes zīmes.

Izņemot reizinātāju no zem saknes zīmes

Ja ir formas B n · C n izteiksme, tad to reducē uz formu B · C n , kur ir nepāra n , kas iegūst formu B · C n ar pāra n , B un C ir daži skaitļi un izteicieni.

Tas ir, ja ņemam iracionālu izteiksmi formā 2 3 · x 3, izņemam koeficientu no zem saknes, tad iegūstam izteiksmi 2 · x 3 . Vai arī x + 1 2 · 7 iegūs tādu izteiksmi kā x + 1 · 7 , kurai ir cits apzīmējums formā x + 1 · 7 .

Reizinātāja izņemšana no saknes ir nepieciešama, lai vienkāršotu izteiksmi un tās ātru pārveidošanu.

Saknes saturošu frakciju konvertēšana

Iracionāla izteiksme var būt naturāls skaitlis vai daļskaitlis. Lai pārvērstu daļskaitļus, liela uzmanība tiek pievērsta tās saucējam. Ja ņemam formas daļu (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, tad skaitītājs pieņems formu 5 x 4, un, izmantojot sakņu īpašības, mēs iegūstam, ka saucējs kļūs x 2 + 5 6. Sākotnējo daļu var uzrakstīt kā 5 x 4 x 2 + 5 6 .

Ņemiet vērā, ka jāmaina tikai skaitītāja zīme vai tikai saucējs. Mēs to sapratām

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Vienkāršojot visbiežāk izmanto frakciju samazināšanu. Mēs to sapratām

3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 mēs samazinām par x + 4 3 - 1 . Iegūstam izteiksmi 3 · x x + 4 3 - 1 2 .

Pirms redukcijas ir nepieciešams veikt transformācijas, kas vienkāršo izteiksmi un dod iespēju faktorizēt sarežģītu izteiksmi. Visbiežāk izmantotās formulas ir saīsinātā reizināšana.

Ja ņemam daļu no formas 2 · x - y x + y, tad ir jāievieš jauni mainīgie u \u003d x un v \u003d x, tad dotā izteiksme mainīs formu un kļūs par 2 · u 2 - v 2 u + v. Skaitītājs pēc formulas jāsadala polinomos, tad mēs to iegūstam

2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v . Pēc apgrieztās aizstāšanas mēs nonāksim pie formas 2 · x - y , kas ir vienāda ar sākotnējo.

Ir atļauta samazināšana līdz jaunam saucējam, tad skaitītājs jāreizina ar papildu koeficientu. Ja ņemam daļskaitli no formas x 3 - 1 0, 5 · x, tad reducējam līdz saucējam x. šim nolūkam ir jāreizina skaitītājs un saucējs ar izteiksmi 2 x, tad mēs iegūstam izteiksmi x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Frakciju samazināšana vai līdzīgu pārvietošana ir nepieciešama tikai norādītās frakcijas ODZ. Reizinot skaitītāju un saucēju ar iracionālu izteiksmi, iegūstam, ka tiek vaļā no saucējā iracionalitātes.

Atbrīvošanās no iracionalitātes saucējā

Ja izteiksme transformācijas ceļā atbrīvojas no saucējā saknes, tad to sauc par atbrīvošanos no iracionalitātes. Aplūkosim formas x 3 3 daļskaitļa piemēru. Atbrīvojoties no iracionalitātes, iegūstam jaunu formas 9 3 · x 3 daļu.

Pāreja no saknēm uz grādiem

Pārejas no saknēm uz spējām ir nepieciešamas, lai ātri pārveidotu iracionālas izteiksmes. Ja ņemam vērā vienādību a m n = a m n , tad ir skaidrs, ka tās lietošana ir iespējama, ja a ir pozitīvs skaitlis, m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Ja mēs uzskatām izteiksmi 5 - 2 3 , tad pretējā gadījumā mums ir tiesības to rakstīt kā 5 - 2 3 . Šie izteicieni ir līdzvērtīgi.

Ja zem saknes ir negatīvs skaitlis vai skaitlis ar mainīgajiem, tad formula a m n = a m n ne vienmēr ir piemērojama. Ja šādas saknes (- 8) 3 5 un (- 16) 2 4 jāaizstāj ar pakāpēm, tad iegūstam, ka - 8 3 5 un - 16 2 4 pēc formulas a m n = a m n nedarbojas ar negatīvu a. lai detalizēti analizētu radikālo izteicienu tēmu un to vienkāršojumus, ir nepieciešams izpētīt rakstu par pāreju no saknēm uz pilnvarām un otrādi. Jāatceras, ka formula a m n = a m n nav piemērojama visām šāda veida izteiksmēm. Atbrīvošanās no iracionalitātes veicina izteiksmes tālāku vienkāršošanu, tās transformāciju un risinājumu.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter