Vidējais līmenis

Taisns trīsstūris. Pilns ilustrēts ceļvedis (2019)

LABAIS Trijstūris. PIRMAIS LĪMENIS.

Problēmās taisns leņķis nemaz nav nepieciešams - apakšējais kreisais, tāpēc jums jāiemācās atpazīt taisnleņķa trīsstūri šajā formā,

un tādās

un tādās

Kas ir labs taisnleņķa trīsstūrī? Nu... pirmkārt, ir īpaši skaisti vārdi viņa pusēm.

Uzmanību zīmējumam!

Atcerieties un nejauciet: kājas - divas, un hipotenūza - tikai viena(vienīgais, unikālais un garākais)!

Nu, mēs apspriedām nosaukumus, tagad vissvarīgākā lieta: Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma.

Šī teorēma ir daudzu problēmu risināšanas atslēga taisnleņķa trīsstūris. Pitagors to lieliski pierādīja neatminamiem laikiem, un kopš tā laika viņa ir devusi daudz labumu tiem, kas viņu pazīst. Un pats labākais viņā ir tas, ka viņa ir vienkārša.

Tātad, Pitagora teorēma:

Vai atceries joku: “Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm!”?

Uzzīmēsim šīs ļoti Pitagora bikses un apskatīsim tās.

Vai tas tiešām izskatās pēc šortiem? Nu, kurā pusēs un kur viņi ir vienādi? Kāpēc un no kurienes radās joks? Un šis joks ir saistīts tieši ar Pitagora teorēmu, precīzāk ar to, kā pats Pitagors formulēja savu teorēmu. Un viņš to formulēja šādi:

"Summa kvadrātu laukums, uzcelta uz kājām, ir vienāda ar kvadrātveida platība veidota uz hipotenūzas.

Vai tas neizklausās nedaudz savādāk, vai ne? Un tā, kad Pitagors uzzīmēja savas teorēmas apgalvojumu, izrādījās tieši šāds attēls.

Šajā attēlā mazo kvadrātu laukumu summa ir vienāda ar lielā kvadrāta laukumu. Un, lai bērni labāk atcerētos, ka kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu, kāds asprātīgs izdomāja šo joku par Pitagora biksēm.

Kāpēc mēs tagad formulējam Pitagora teorēmu

Vai Pitagors cieta un runāja par laukumiem?

Redziet, senos laikos nebija ... algebras! Nebija nekādu zīmju un tā tālāk. Nebija nekādu uzrakstu. Vai varat iedomāties, cik briesmīgi bija nabaga senajiem studentiem visu iegaumēt ar vārdiem??! Un mēs varam priecāties, ka mums ir vienkāršs Pitagora teorēmas formulējums. Atkārtosim vēlreiz, lai labāk atcerētos:

Tagad tam vajadzētu būt vienkāršam:

Hipotenūzas kvadrāts ir vienāda ar summu kāju kvadrāti.

Nu, tika apspriesta vissvarīgākā teorēma par taisnleņķa trīsstūri. Ja jūs interesē, kā tas tiek pierādīts, izlasiet nākamos teorijas līmeņus, un tagad dosimies tālāk ... tumšajā trigonometrijas mežā! Uz šausmīgi vārdi sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss taisnleņķa trijstūrī.

Patiesībā viss nemaz nav tik biedējoši. Protams, rakstā ir jāaplūko sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta "īstā" definīcija. Bet jūs tiešām nevēlaties, vai ne? Mēs varam priecāties: lai atrisinātu problēmas par taisnleņķa trīsstūri, varat vienkārši aizpildīt šādas vienkāršas lietas:

Kāpēc tas viss ir par stūri? Kur ir stūris? Lai to saprastu, jums jāzina, kā vārdos tiek rakstīti apgalvojumi 1-4. Skaties, saproti un atceries!

1.
Patiesībā tas izklausās šādi:

Kā ar leņķi? Vai ir kāda kāja, kas atrodas pretī stūrim, tas ir, pretējā kāja (stūrim)? Protams, ir! Tas ir katets!

Bet kā ar leņķi? Paskaties cieši. Kura kāja atrodas blakus stūrim? Protams, kaķis. Tātad leņķim kāja atrodas blakus, un

Un tagad, uzmanību! Paskaties, kas mums ir:

Skatiet, cik tas ir lieliski:

Tagad pāriesim uz tangensu un kotangensu.

Kā tagad to izteikt vārdos? Kāda ir kāja attiecībā pret stūri? Pretī, protams - tas "guļ" pretī stūrim. Un katets? Blakus stūrim. Tātad, ko mēs saņēmām?

Vai redzat, kā tiek apgriezti skaitītājs un saucējs?

Un tagad atkal stūri un veikta maiņa:

Kopsavilkums

Īsi pierakstīsim, ko esam iemācījušies.

Pitagora teorēma:

Galvenā taisnleņķa trijstūra teorēma ir Pitagora teorēma.

Pitagora teorēma

Starp citu, vai jūs labi atceraties, kas ir kājas un hipotenūza? Ja nē, tad paskaties bildē – atsvaidzini zināšanas

Pilnīgi iespējams, ka Pitagora teorēmu jūs jau esat izmantojis daudzas reizes, bet vai esat kādreiz domājis, kāpēc šāda teorēma ir patiesa. Kā jūs to pierādītu? Darīsim kā senie grieķi. Uzzīmēsim kvadrātu ar malu.

Redziet, cik viltīgi mēs sadalījām tās malas garuma segmentos un!

Tagad savienosim atzīmētos punktus

Šeit mēs tomēr atzīmējām kaut ko citu, bet jūs pats paskatieties uz attēlu un padomājiet, kāpēc.

Kāda ir lielākā kvadrāta platība? Pareizi,. Kā ar mazāko platību? Protams, . Paliek četru stūru kopējā platība. Iedomājieties, ka mēs paņēmām divus no tiem un atspiedāmies viens pret otru ar hipotenūzām. Kas notika? Divi taisnstūri. Tātad "spraudeņu" platība ir vienāda.

Tagad saliksim to visu kopā.

Pārveidosim:

Tā nu mēs viesojāmies pie Pitagora – senā veidā pierādījām viņa teorēmu.

Taisns trīsstūris un trigonometrija

Taisnleņķa trīsstūrim ir spēkā šādas attiecības:

Sinuss akūts leņķis vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu

Akūta leņķa kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu.

Akūtā leņķa tangenss ir vienāds ar pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecību.

Akūta leņķa kotangenss ir vienāds ar blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecību.

Un atkal tas viss šķīvja veidā:

Tas ir ļoti ērti!

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes

I. Uz divām kājām

II. Ar kāju un hipotenūzu

III. Pēc hipotenūzas un akūtā leņķa

IV. Gar kāju un akūtu leņķi

a)

b)

Uzmanību! Šeit ir ļoti svarīgi, lai kājas būtu "atbilstošas". Piemēram, ja tas notiek šādi:

TAD Trijstūri NAV VIENĀDI, neskatoties uz to, ka tiem ir viens identisks akūts leņķis.

Vajag abos trīsstūros kāja bija blakus, vai abos - pretī.

Vai esat ievērojuši, kā taisnleņķa trijstūra vienādības zīmes atšķiras no parastajām trīsstūru vienādības zīmēm? Apskatiet tēmu "un pievērsiet uzmanību tam, ka "parasto" trīsstūru vienlīdzībai ir nepieciešama to trīs elementu vienlīdzība: divas malas un leņķis starp tiem, divi leņķi un mala starp tiem vai trīs malas. Bet taisnleņķa trīsstūru vienādībai pietiek tikai ar diviem atbilstošiem elementiem. Tas ir lieliski, vai ne?

Aptuveni tāda pati situācija ar taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmēm.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes

I. Akūts stūris

II. Uz divām kājām

III. Ar kāju un hipotenūzu

Mediāna taisnleņķa trijstūrī

Kāpēc tas tā ir?

Apsveriet veselu taisnstūri, nevis taisnleņķa trīsstūri.

Zīmēsim diagonāli un apskatīsim punktu – diagonāļu krustošanās punktu. Ko jūs zināt par taisnstūra diagonālēm?

Un kas no tā izriet?

Tā nu tas notika

1. - mediāna:

Atcerieties šo faktu! Ļoti palīdz!

Vēl pārsteidzošāk ir tas, ka taisnība ir arī otrādi.

Ko var iegūt no tā, ka hipotenūzai piesaistītā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas? Apskatīsim attēlu

Paskaties cieši. Mums ir: , tas ir, attālumi no punkta līdz visiem trīs virsotnes trijstūri ir vienādi. Bet trijstūrī ir tikai viens punkts, attālumi, no kuriem aptuveni visas trīs trijstūra virsotnes ir vienādi, un tas ir APRAKSTS CENTRS. Kas tad notika?

Tātad sāksim ar šo "turklāt...".

Apskatīsim i.

Bet līdzīgos trīsstūros visi leņķi ir vienādi!

To pašu var teikt par un

Tagad uzzīmēsim to kopā:

Kādu labumu var iegūt no šīs "trīskāršās" līdzības.

Nu, piemēram - divas taisnleņķa trijstūra augstuma formulas.

Mēs rakstām atbilstošo pušu attiecības:

Lai atrastu augstumu, mēs atrisinām proporciju un iegūstam Pirmā formula "Augstums taisnleņķa trijstūrī":

Tātad, piemērosim līdzību: .

Kas tagad notiks?

Atkal mēs atrisinām proporciju un iegūstam otro formulu:

Ļoti labi jāatceras abas šīs formulas un ērtāk lietojamā. Pierakstīsim tos vēlreiz.

Pitagora teorēma:

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:.

Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes:

• uz divām kājām:
• gar kāju un hipotenūzu: vai
• gar kāju un blakus esošo akūto leņķi: vai
• gar kāju un pretējo akūto leņķi: vai
• pēc hipotenūzas un akūtā leņķa: vai.

Taisnleņķa trīsstūru līdzības pazīmes:

• viens ass stūris: vai
• no abu kāju proporcionalitātes:
• no kājas un hipotenūzas proporcionalitātes: vai.

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss taisnleņķa trijstūrī

• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa tangenss ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
• Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:.

Taisnstūra trīsstūra augstums: vai.

Taisnleņķa trijstūrī mediāna, kas novilkta no virsotnes pareizā leņķī, ir vienāds ar pusi no hipotenūzas: .

Taisnstūra trīsstūra laukums:

• caur katetriem:

Sinuss taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir attiecība pretī katetru hipotenūzai.
To apzīmē šādi: sin α.

Kosinuss taisnleņķa trijstūra akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
To apzīmē šādi: cos α.

Pieskares akūts leņķis α ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju.
To apzīmē šādi: tg α.

Kotangenss akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
To apzīmē šādi: ctg α.

Leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir atkarīgi tikai no leņķa lieluma.

Noteikumi:

Galvenā trigonometriskās identitātes taisnleņķa trīsstūrī:

(α - akūts leņķis pret kāju b un blakus kājai a . Sānu Ar - hipotenūza. β - otrais akūts leņķis).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Palielinoties asajam leņķimsinα untg α pieaugums, uncos α samazinās.

Jebkuram asam leņķim α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Skaidrojošs piemērs:

Ielaidiet taisnleņķa trīsstūri ABC
AB = 6,
BC = 3,
leņķis A = 30º.

Uzziniet leņķa A sinusu un leņķa B kosinusu.

Risinājums.

1) Pirmkārt, mēs atrodam leņķa B vērtību. Šeit viss ir vienkārši: tā kā taisnleņķa trijstūrī akūto leņķu summa ir 90º, tad leņķis B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Aprēķināt grēku A. Mēs zinām, ka sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim A pretējā kājiņa ir mala BC. Tātad:

BC 3 1
grēks A = -- = - = -
AB 6 2

3) Tagad mēs aprēķinām cos B. Mēs zinām, ka kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim B blakus esošā kājiņa ir tā pati puse BC. Tas nozīmē, ka mums atkal ir jāsadala BC uz AB - tas ir, jāveic tās pašas darbības, kas tiek veiktas, aprēķinot leņķa A sinusu:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultāts ir:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

No tā izriet, ka taisnleņķa trijstūrī viena akūta leņķa sinuss ir vienāds ar cita akūta leņķa kosinusu - un otrādi. Tas ir tieši tas, ko nozīmē mūsu divas formulas:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pārbaudīsim vēlreiz:

1) Pieņemsim, ka α = 60º. Aizvietojot α vērtību sinusa formulā, mēs iegūstam:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Pieņemsim, ka α = 30º. Aizvietojot α vērtību kosinusa formulā, mēs iegūstam:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Papildinformāciju par trigonometriju skatiet sadaļā Algebra)

Lekcija: Patvaļīga leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Sinuss, patvaļīga leņķa kosinuss

Lai saprastu, kas ir trigonometriskās funkcijas, mēs pagriežamies uz apli ar vienības rādiusu. Dotais aplis ir centrēts koordinātu plaknē sākuma punktā. Lai noteiktu dotās funkcijas, izmantosim rādiusa vektoru VAI, kas sākas no apļa centra un punkta R ir punkts uz apļa. Šis rādiusa vektors veido leņķi alfa ar asi Ak!. Tā kā apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, tad VAI = R = 1.

Ja no punkta R nometiet perpendikulu uz asi Ak!, tad iegūstam taisnleņķa trīsstūri ar hipotenūzu, kas vienāda ar vienu.

Ja rādiusa vektors pārvietojas pulksteņrādītāja virzienā, tad šo virzienu sauc negatīvs, bet, ja tas virzās pretēji pulksteņrādītāja virzienam - pozitīvs.

Leņķa sinuss VAI, ir punkta ordināta R vektori uz apļa.

Tas ir, lai iegūtu dotā leņķa alfa sinusa vērtību, ir jānosaka koordināte Plkst uz virsmas.

Kā dotā vērtība tika saņemts? Tā kā mēs zinām, ka taisnleņķa trijstūrī patvaļīga leņķa sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu, mēs iegūstam, ka

Un kopš tā laika R=1, tad sin(α) = y 0 .

Vienības aplī ordinātu vērtība nevar būt mazāka par -1 un lielāka par 1, kas nozīmē, ka

Sinus pieņem pozitīva vērtība vienības apļa pirmajā un otrajā ceturksnī, bet trešajā un ceturtajā - negatīvs.

Leņķa kosinuss dots aplis, ko veido rādiusa vektors VAI, ir punkta abscisa R vektori uz apļa.

Tas ir, lai iegūtu dotā leņķa alfa kosinusa vērtību, ir jānosaka koordināte X uz virsmas.

Patvaļīga leņķa kosinuss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu, mēs iegūstam, ka

Un kopš tā laika R=1, tad cos(α) = x 0 .

Vienības aplī abscisu vērtība nevar būt mazāka par -1 un lielāka par 1, kas nozīmē, ka

Vienības apļa pirmajā un ceturtajā kvadrantā kosinuss ir pozitīvs, bet otrajā un trešajā - negatīvs.

pieskarepatvaļīgs leņķis tiek aprēķināta sinusa attiecība pret kosinusu.

Ja mēs uzskatām taisnleņķa trīsstūri, tad tā ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo. Ja mēs runājam par vienības apli, tad šī ir ordinātu attiecība pret abscisu.

Spriežot pēc šīm sakarībām, var saprast, ka pieskare nevar pastāvēt, ja abscisu vērtība ir nulle, tas ir, 90 grādu leņķī. Pieskarei var būt visas pārējās vērtības.

Vienības apļa pirmajā un trešajā ceturksnī tangensa ir pozitīva, bet otrajā un ceturtajā - negatīva.

Atsauces dati pieskarei (tg x) un kotangensei (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.

Ģeometriskā definīcija

|BD| - apļa loka garums, kura centrs ir punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Pieskares ( tgα) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .

Kotangenss ( ctgα) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas ir vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| .

Pieskares

Kur n- vesels.

AT Rietumu literatūra tangenss ir definēts šādi:
.
;
;
.

Pieskares funkcijas grafiks, y = tg x

Kotangenss

Kur n- vesels.

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Ir pieņemts arī šāds apzīmējums:
;
;
.

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x

Pieskares un kotangensa īpašības

Periodiskums

Funkcijas y= tg x un y= ctg x ir periodiski ar periodu π.

Paritāte

Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepāra.

Definīcijas un vērtību jomas, augošā, dilstošā

Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( n- vesels skaitlis).

	y= tg x	y= ctg x
Darbības joma un nepārtrauktība
Vērtību diapazons	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Augošā		-
Dilstoša	-
Ekstrēmi	-	-
Nulles, y= 0
Krustošanās punkti ar y asi, x = 0	y= 0	-

Formulas

Izteiksmes sinusa un kosinusa izteiksmē

; ;
; ;
;

Formulas summas un starpības tangensam un kotangensam

Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt

Pieskares reizinājums

Pieskares summas un starpības formula

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības dažām argumenta vērtībām.

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē

;
;

Atvasinājumi

; .

.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Formulu atvasināšana tangensam > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi

Sēriju paplašināšana

Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, ir jāņem vairāki izvērsuma nosacījumi jaudas sērijas funkcijām grēks x un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā , . Rezultātā tiek iegūtas šādas formulas.

plkst.

plkst.
kur B n- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
;
;
kur .
Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas

Pieskares un kotangensas apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Arktangents, arktg

, kur n- vesels.

Loka tangenss, arcctg

, kur n- vesels.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.
G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata pētniekiem un inženieriem, 2012. gads.

Šajā rakstā mēs visaptveroši apskatīsim . Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.

Mēs nekavējoties uzskaitām galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Mēs tos pierakstām tabulā, un tālāk mēs sniedzam šo formulu atvasinājumus un sniedzam nepieciešamos paskaidrojumus.

Lapas navigācija.

Viena leņķa sinusa un kosinusa saistība

Dažreiz viņi runā nevis par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns . Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no pamata trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas ar un attiecīgi, un vienādības un izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Mēs to sīkāk apspriedīsim turpmākajos punktos.

Tas nozīmē, ka īpašu interesi rada vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.

Pirms trigonometriskās pamatidentitātes pierādīšanas sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.

Ļoti bieži tiek izmantota pamata trigonometriskā identitāte trigonometrisko izteiksmju transformācija. Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne mazāk bieži pamata trigonometriskā identitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.

Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu

Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar formas un viena leņķa sinusu un kosinusu uzreiz izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, , un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, .

Sakarā ar šo identitāšu acīmredzamību un bieži vien tangensa un kotangenta definīcijas tiek dotas nevis caur abscisu un ordinātu attiecību, bet gan caur sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa tangenss ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, bet kotangenss ir kosinusa attiecība pret sinusu.

Noslēdzot šo sadaļu, jāatzīmē, ka identitātes un turēt uz visiem tādiem leņķiem, kuriem ir jēga tajos esošajām trigonometriskajām funkcijām. Tātad formula ir derīga jebkuram citam, izņemot (pretējā gadījumā saucējs būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .

Attiecības starp tangensu un kotangensu

Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā divas iepriekšējās ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu. . Ir skaidrs, ka tas notiek visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.

Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes . Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš un , tad .

Tātad viena leņķa tangenss un kotangenss, pie kura tiem ir jēga, ir.