Ko sauc par paralēlskaldni. kuboīds

Definīcija

daudzskaldnis mēs sauksim slēgtu virsmu, kas sastāv no daudzstūriem un ierobežo kādu telpas daļu.

Tiek saukti segmenti, kas ir šo daudzstūru malas ribas daudzstūris un paši daudzstūri - sejas. Daudzstūru virsotnes sauc par daudzskaldņa virsotnēm.

Mēs apsvērsim tikai izliektus daudzskaldņus (tas ir daudzskaldnis, kas atrodas katras plaknes vienā pusē, kurā atrodas tā seja).

Daudzstūri, kas veido daudzskaldni, veido tā virsmu. Telpas daļu, ko ierobežo noteikts daudzskaldnis, sauc par tās iekšpusi.

Definīcija: prizma

Apsveriet divus vienādus daudzstūrus \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\), kas atrodas paralēlās plaknēs tā, lai segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) ir paralēli. Daudzstūris, ko veido daudzstūri \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\) , kā arī paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), sauc par (\(n\)-ogles) prizma.

Daudzstūri \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\) tiek saukti par prizmas pamatiem, paralelogramu \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sānu virsmas, segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- sānu ribas.
Tādējādi prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas viena ar otru.

Apsveriet piemēru - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), kura pamatne ir izliekts piecstūris.

Augstums Prizma ir perpendikula no jebkura punkta uz vienas bāzes uz citas bāzes plakni.

Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnei, tad šādu prizmu sauc slīps(1. att.), pretējā gadījumā - taisni. Taisnai prizmai sānu malas ir augstumā, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri.

Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad prizmu sauc pareizi.

Definīcija: apjoma jēdziens

Tilpuma mērvienība ir vienības kubs (kubs ar izmēriem \(1\times1\times1\) vienības\(^3\) , kur mērvienība ir kāda mērvienība).

Var teikt, ka daudzskaldņa tilpums ir telpas daudzums, ko šis daudzskaldnis ierobežo. Citādi: šī ir vērtība skaitliskā vērtība kas parāda, cik reižu vienības kubs un tā daļas iekļaujas dotajā daudzskaldnī.

Apjomam ir tādas pašas īpašības kā laukumam:

1. Vienādu skaitļu tilpumi ir vienādi.

2. Ja daudzskaldnis sastāv no vairākiem nekrustojas daudzskaldņiem, tad tā tilpums ir vienāda ar summušo daudzskaldņu apjomi.

3. Apjoms ir nenegatīva vērtība.

4. Tilpums tiek mērīts cm\(^3\) (kubikcentimetros), m\(^3\) ( Kubikmetri) utt.

Teorēma

1. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.
Sānu virsmas laukums ir prizmas sānu virsmu laukumu summa.

2. Prizmas tilpums ir vienāds ar prizmas pamatlaukuma un augstuma reizinājumu: \

Definīcija: kaste

Paralēles Tā ir prizma, kuras pamats ir paralelograms.

Visas paralēlskaldņu skaldnes (to \(6\) : \(4\) sānu skaldnes un \(2\) pamatnes) ir paralelogrami, bet pretējās (paralēlas viena otrai) ir vienādi paralelogrami (2. att.).

Kastes diagonāle ir segments, kas savieno divas paralēlskaldņa virsotnes, kas neatrodas vienā virsotnē (to \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) utt.).

kuboīds ir taisnstūra paralēlskaldnis ar taisnstūri tā pamatnē.
Jo ir taisnstūra paralēlskaldnis, tad sānu skaldnes ir taisnstūri. Tātad kopumā visas taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes ir taisnstūri.

Visas kuboīda diagonāles ir vienādas (tas izriet no trīsstūru vienādības \(\trijstūris ACC_1=\trijstūris AA_1C=\trijstūris BDD_1=\trijstūris BB_1D\) utt.).

komentēt

Tādējādi paralēlskaldnim ir visas prizmas īpašības.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa sānu virsmas laukums ir vienāds ar \

Kvadrāts pilna virsma taisnstūra paralēlskaldnis ir vienāds ar \

Teorēma

Kuboīda tilpums ir vienāds ar trīs tā malu reizinājumu, kas iziet no vienas virsotnes (trīs kubīda izmēri): \

Pierādījums

Jo taisnstūra paralēlskaldnim sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, tad tās ir arī tā augstumi, tas ir, \(h=AA_1=c\) pamats ir taisnstūris \(S_(\text(galvenais))=AB\cdot AD=ab\). Lūk, no kurienes nāk formula.

Teorēma

Kuboīda diagonāle \(d\) tiek meklēta pēc formulas (kur \(a,b,c\) ir kuboīda izmēri)\

Pierādījums

Apsveriet att. 3. Jo bāze ir taisnstūris, tad \(\trijstūris ABD\) ir taisnstūris, tāpēc pēc Pitagora teorēmas \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jo visas sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, tad \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendikulāri jebkurai taisnei šajā plaknē, t.i. \(BB_1\perp BD\) . Tātad \(\trijstūris BB_1D\) ir taisnstūrveida. Tad pēc Pitagora teorēmas \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definīcija: kubs

Kubs ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādi kvadrāti.

Tādējādi trīs dimensijas ir vienādas viena ar otru: \(a=b=c\) . Tātad sekojošais ir patiess

Teorēmas

1. Kuba ar malu \(a\) tilpums ir \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Kuba diagonāle tiek meklēta pēc formulas \(d=a\sqrt3\) .

3. Kuba kopējais virsmas laukums \(S_(\text(pilnas kuba iterācijas))=6a^2\).

Paralēlskaldnis ir ģeometriska figūra, kuras visas 6 skaldnes ir paralelogrami.

Atkarībā no šo paralelogramu veida izšķir šādus paralēlskaldņu veidus:

• taisni;
• slīps;
• taisnstūrveida.

Taisns paralēlskaldnis ir četrstūra prizma, kuras malas veido 90° leņķi ar pamatplakni.

Taisnstūra paralēlskaldnis ir četrstūra prizma, kuras visas skaldnes ir taisnstūri. Kubs ir sava veida četrstūra prizma, kurā visas skalas un malas ir vienādas.

Figūras īpašības nosaka tās īpašības. Tie ietver šādus 4 paziņojumus:

Visu iepriekš minēto īpašību atcerēšanās ir vienkārša, tās ir viegli saprotamas un ir loģiski atvasinātas, pamatojoties uz veidu un īpašībām ģeometrisks ķermenis. Tomēr vienkārši paziņojumi var būt neticami noderīgi, risinot tipiskus USE uzdevumus un ietaupīs laiku, kas nepieciešams, lai nokārtotu pārbaudi.

Paralēles formulas

Lai rastu atbildes uz problēmu, nepietiek zināt tikai figūras īpašības. Jums var būt nepieciešamas arī dažas formulas, lai atrastu ģeometriskā ķermeņa laukumu un tilpumu.

Pamatu laukums tiek atrasts arī kā atbilstošais paralelograma vai taisnstūra indikators. Paralelograma pamatu var izvēlēties pats. Parasti, risinot problēmas, ir vieglāk strādāt ar prizmu, kuras pamatā ir taisnstūris.

Paralēles sānu virsmas atrašanas formula var būt nepieciešama arī testa uzdevumos.

Tipisku USE uzdevumu risināšanas piemēri

1. vingrinājums.

Ņemot vērā: kubisks ar izmēriem 3, 4 un 12 cm.
Nepieciešams Atrodiet vienas no figūras galvenajām diagonālēm garumu.
Lēmums: Jebkurš ģeometriskas problēmas risinājums jāsāk ar pareiza un skaidra zīmējuma izveidošanu, uz kura tiks norādīts “dots” un vēlamā vērtība. Zemāk redzamais attēls ir piemērs pareizs dizains uzdevuma nosacījumi.

Apsverot izdarīto zīmējumu un atceroties visas ģeometriskā ķermeņa īpašības, mēs nonākam pie vienīgā pareizā veida, kā to atrisināt. Izmantojot paralēlskaldņa īpašību 4, mēs iegūstam šādu izteiksmi:

Pēc vienkāršiem aprēķiniem iegūstam izteiksmi b2=169, tātad, b=13. Uzdevuma atbilde ir atrasta, tās meklēšanai un uzzīmēšanai vajadzētu aizņemt ne vairāk kā 5 minūtes.

Nodarbības mērķi:

1. Izglītība:

Iepazīstināt ar paralēlskaldņa jēdzienu un tā veidiem;
- formulēt (izmantojot analoģiju ar paralelogramu un taisnstūri) un pierādīt paralēlskaldņa un taisnstūra paralēlskaldņa īpašības;
- atkārtojiet jautājumus, kas saistīti ar paralēlismu un perpendikularitāti telpā.

2. Izstrāde:

Turpināt attīstīt skolēnos tādus izziņas procesus kā uztvere, izpratne, domāšana, uzmanība, atmiņa;
- veicināt elementu attīstību skolēnos radošā darbība kā domāšanas īpašības (intuīcija, telpiskā domāšana);
- veidot studentos spēju izdarīt secinājumus, tai skaitā pēc analoģijas, kas palīdz izprast priekšmeta savstarpējās sakarības ģeometrijā.

3. Izglītība:

Veicināt organizācijas, paradumu izglītošanu sistemātisks darbs;
- veicināt estētisko prasmju veidošanos ierakstu sagatavošanā, zīmējumu realizācijā.

Nodarbības veids: nodarbība-jauna materiāla apguve (2 stundas).

Nodarbības struktūra:

1. Organizatoriskais moments.
2. Zināšanu aktualizēšana.
3. Jauna materiāla apgūšana.
4. Mājas darbu apkopošana un likšana.

Aprīkojums: plakāti (slaidi) ar pierādījumiem, dažādu ģeometrisku ķermeņu modeļi, tai skaitā visu veidu paralēlskaldņi, grafprojektors.

Nodarbību laikā.

1. Organizatoriskais moments.

2. Zināšanu aktualizēšana.

Nodarbības tēmas pārskats, mērķu un uzdevumu formulēšana kopā ar skolēniem, tēmas apguves praktiskā nozīmes parādīšana, iepriekš pētītu ar šo tēmu saistīto jautājumu atkārtošana.

3. Jauna materiāla apgūšana.

3.1. Paralēlsūknis un tā veidi.

Tiek demonstrēti paralēlskaldņu modeļi, identificējot to pazīmes, kas palīdz formulēt paralēlskaldņa definīciju, izmantojot prizmas jēdzienu.

Definīcija:

Paralēles Tiek saukta prizma, kuras pamats ir paralelograms.

Tiek uzzīmēts paralēlskaldnis (1. attēls), paralēlskaldņa elementi ir uzskaitīti kā prizmas īpašs gadījums. Tiek parādīts 1. slaids.

Definīcijas shematisks apzīmējums:

No definīcijas tiek izdarīti secinājumi:

1) Ja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir prizma un ABCD ir paralelograms, tad ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir paralēlskaldnis.

2) Ja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralēlskaldnis, tad ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir prizma un ABCD ir paralelograms.

3) Ja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nav prizma vai ABCD nav paralelograms, tad
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - nav paralēlskaldnis.

4) . Ja ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nav paralēlskaldnis, tad ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nav prizma vai ABCD nav paralelograms.

Tālāk tiek apskatīti paralēlskaldņa īpašie gadījumi ar klasifikācijas shēmas uzbūvi (skat. 3. att.), demonstrēti modeļi un izdalītas taisna un taisnstūra paralēlskaldņa raksturīgās īpašības, formulētas to definīcijas.

Definīcija:

Paralēlskaldni sauc par taisnu, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei.

Definīcija:

Paralēlskaldni sauc taisnstūrveida, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei un pamatne ir taisnstūris (sk. 2. attēlu).

Pēc definīciju rakstīšanas shematiskā formā tiek formulēti secinājumi no tām.

3.2. Paralēlskaldņu īpašības.

Meklēt planimetriskas figūras, kuru telpiskie analogi ir paralēlskaldnis un taisnstūrveida paralēlskaldnis (paralelograms un taisnstūris). Šajā gadījumā mēs runājam par figūru vizuālo līdzību. Izmantojot secinājumu noteikumu pēc analoģijas, tabulas tiek aizpildītas.

Secinājumu noteikums pēc analoģijas:

1. Izvēlieties kādu no iepriekš pētītajiem figūras figūra līdzīgs šim.
2. Formulējiet izvēlētās figūras īpašību.
3. Formulējiet līdzīgu sākotnējās figūras īpašību.
4. Pierādīt vai atspēkot formulēto apgalvojumu.

Pēc īpašību formulēšanas katra no tām tiek pārbaudīta saskaņā ar šādu shēmu:

• pierādīšanas plāna apspriešana;
• slaidu demonstrācija (2.–6. slaids);
• pierādījumu reģistrēšana piezīmju grāmatiņās, ko veic skolēni.

3.3. Kubs un tā īpašības.

Definīcija: kubs ir kubs, kura visi trīs izmēri ir vienādi.

Pēc analoģijas ar paralēlskaldni studenti patstāvīgi veic definīcijas shematisku ierakstu, izvada no tā sekas un formulē kuba īpašības.

4. Mājas darbu apkopošana un likšana.

Mājasdarbs:

1. Izmantojot stundas izklāstu, saskaņā ar ģeometrijas mācību grāmatu 10.-11.klasei, L.S. Atanasjans un citi, pētījums 1. sadaļa, 4. sadaļa, 13. lpp., 2. sadaļa, 3. sadaļa, 24. lpp.
2. Pierādīt vai atspēkot paralēlskaldņa īpašību, tabulas 2. punkts.
3. Atbildiet uz drošības jautājumiem.

Testa jautājumi.

1. Ir zināms, ka tikai divas paralēlskaldņa sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnei. Kāda veida paralēlskaldnis?

2. Cik taisnstūra formas sānu skaldnes var būt paralēlskaldnis?

3. Vai ir iespējams paralēlskaldnis ar tikai vienu sānu virsmu:

1) perpendikulāri pamatnei;
2) ir taisnstūra forma.

4. Labajā paralēlskaldī visas diagonāles ir vienādas. Vai tas ir taisnstūrveida?

5. Vai taisnība, ka taisnā paralēlskaldnī diagonālie posmi ir perpendikulāri pamatnes plaknēm?

6. Noformulē teorēmu, kas ir pretēja teorēmai par taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrātu.

7. Kādas papildu pazīmes atšķir kubu no kuboīda?

8. Vai kubs būs paralēlskaldnis, kura visas malas vienā no virsotnēm ir vienādas?

9. Formulējiet teorēmu par taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrātu kuba gadījumam.

Vai (līdzvērtīgi) daudzskaldnis ar sešām skaldnēm un katra no tām - paralelograms.

Kastīšu veidi

Ir vairāki paralēlskaldņu veidi:

• Kuboīds ir stacionārs, kura visas sejas ir taisnstūri.
• Labais paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis ar 4 sānu malām, kas ir taisnstūri.
• Slīpa kaste ir kaste, kuras sānu malas nav perpendikulāras pamatnēm.

Galvenie elementi

Divas paralēlskaldņa malas, kurām nav kopīgas malas, sauc par pretējām, un tās, kurām ir kopīga mala, sauc par blakus esošām. Divas paralēlskaldņa virsotnes, kas nepieder vienai sejai, sauc par pretējām. Līnijas posmu, kas savieno pretējās virsotnes, sauc par paralēlskaldņa diagonāli. Trīs kuboīda šķautņu garumus, kuriem ir kopīga virsotne, sauc par tā izmēriem.

Īpašības

• Paralēlskaldnis ir simetrisks diagonāles viduspunktam.
• Jebkurš segments ar galiem, kas pieder paralēlskaldņa virsmai un iet caur tā diagonāles vidu, tiek sadalīts uz pusēm; jo īpaši visas paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm.
• Paralēlskaldņa pretējās skaldnes ir paralēlas un vienādas.
• Kuboīda diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu.

Pamatformulas

Labais paralēlskaldnis

Sānu virsmas laukums S b \u003d R o * h, kur R o ir pamatnes perimetrs, h ir augstums

Kopējais virsmas laukums S p \u003d S b + 2S o, kur S o ir bāzes laukums

Skaļums V=S o *h

kuboīds

Sānu virsmas laukums S b \u003d 2c (a + b), kur a, b ir pamatnes malas, c ir taisnstūra paralēlskaldņa sānu mala

Kopējais virsmas laukums S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Skaļums V=abc, kur a, b, c ir kuboīda izmēri.

Kubs

Virsmas laukums: $S=6a^2$
Skaļums: $V=a^3$, kur $a$- kuba mala.

Patvaļīga kaste

Tilpums un attiecības šķībajā lodziņā bieži tiek definētas, izmantojot vektoru algebru. Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar trīs vektoru jauktā reizinājuma absolūto vērtību, ko nosaka paralēlskaldņa trīs malas, kas nāk no vienas virsotnes. Attiecība starp paralēlskaldņa malu garumiem un leņķiem starp tām dod apgalvojumu, ka šo trīs vektoru Grama determinants ir vienāds ar to jauktā reizinājuma kvadrātu: 215 .

Matemātiskajā analīzē

Matemātiskajā analīzē zem n-dimensijas taisnstūra paralēlskaldņa $B$ saprast daudzus punktus $x\; =\; (x\_1,\backslash lpunkti,x\_n)$ laipns $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Parallelepiped"

Piezīmes

Saites

pareizi pareizi nav izliekta izliekts formulas, teorēmas, teorijas Cits

Paralēlpīni raksturojošs fragments

- Uz dit que les rivaux se sont samierinās žēlastību a l "angine ... [Viņi saka, ka sāncenši samierinājās, pateicoties šai slimībai.]
Vārds angīna tika atkārtots ar lielu prieku.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait vaaraeux. [Vecais grāfs ir ļoti aizkustinošs, viņi saka. Viņš raudāja kā bērns, kad ārsts teica, ka bīstams gadījums.]
Ak, ce serait une perte briesmīgi. C "est une femme ravissante. [Ak, tas būtu liels zaudējums. Tik jauka sieviete.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse," sacīja Anna Pavlovna, pienākdama. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde, - sacīja Anna Pavlovna ar smaidu pār savu entuziasmu. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Jūs runājat par nabaga grāfieni... Es nosūtīju, lai uzzinātu par viņas veselību. Man teica, ka viņai ir mazliet labāk. Ak, bez šaubām, šī ir skaistākā sieviete pasaulē. Mēs piederam dažādām nometnēm, bet tas man netraucē viņu cienīt pēc nopelniem. Viņa ir tik nelaimīga.] Anna Pavlovna piebilda.
Uzskatot, ka ar šiem vārdiem Anna Pavlovna nedaudz pacēla noslēpuma plīvuru pār grāfienes slimību, viens neuzmanīgs jauneklis atļāvās paust izbrīnu, ka viņus nesauca. slaveni ārsti, bet grāfieni ārstē šarlatāns, kurš var dot bīstamus līdzekļus.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes," Anna Pavlovna pēkšņi uzbruka nepieredzējušajam. jauns vīrietis. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Jūsu ziņas var būt precīzākas par manējām ... bet es esmu no labi avoti Es zinu, ka šis ārsts ir ļoti izglītots un prasmīgs cilvēks. Šis ir Spānijas karalienes dzīves ārsts.] - Un tā iznīcinot jaunekli, Anna Pavlovna vērsās pie Biļibina, kurš citā lokā, paņēmis ādu un, šķiet, gatavojās to izšķīdināt, teikt un mot, runāja. par austriešiem.
- Je trouve que c "est charmant! [Man tas šķiet burvīgi!] - viņš teica par diplomātisko papīru, zem kura Vitgenšteina paņemtie Austrijas karogi tika nosūtīti uz Vīni, le heros de Petropol [Petropolis varonis] (kā viņš sauca Pēterburgā).
- Kā, kā ir? Anna Pavlovna pagriezās pret viņu, pamodinot klusumu, lai dzirdētu mot, ko viņa jau zināja.
Un Bilibins atkārtoja šādus autentiskus viņa sastādītā diplomātiskā sūtījuma vārdus:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," Bilibins teica, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [Imperators sūta Austrijas reklāmkarogus, draudzīgus un maldīgus reklāmkarogus, kurus viņš atrada ārpusē. īsts ceļš.] pabeidza Bilibins, atraisīdams ādu.
- Burvīgs, burvīgs, [Šarmanīgs, burvīgs,] - teica princis Vasilijs.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Tas ir Varšavas ceļš, varbūt.] - Princis Hipolīts skaļi un negaidīti teica. Visi skatījās uz viņu, nesapratuši, ko viņš ar šo grib pateikt. Arī princis Hipolīts paskatījās apkārt ar apkārt jautrs pārsteigums.Viņš, tāpat kā citi, nesaprata, ko nozīmē viņa teiktie vārdi.Diplomātiskās karjeras laikā ne reizi vien pamanījis, ka pēkšņi šādi izteikti vārdi izrādījušies ļoti asprātīgi, un katram gadījumam teica šos vārdus: "Varbūt izdosies ļoti labi," viņš domāja, "un, ja neiznāks, tad varēs tur sakārtot." Patiešām, kamēr valdīja neveikls klusums, ienāca tā nepietiekami patriotiskā seja. Anna Pavlovna, un viņa, smaidot un kratīdama pirkstu Ipolitam, aicināja kņazu Vasiliju pie galda un, atnesusi viņam divas sveces un manuskriptu, lūdza viņu sākt.

Šajā nodarbībā ikviens varēs apgūt tēmu "Taisnstūra kaste". Nodarbības sākumā mēs atkārtosim, kas ir patvaļīgi un taisni paralēlskaldņi, atcerēsimies to pretējo virsmu un paralēlskaldņu diagonāļu īpašības. Pēc tam mēs apsvērsim, kas ir kuboīds, un apspriedīsim tā galvenās īpašības.

Tēma: Līniju un plakņu perpendikularitāte

Nodarbība: Kuboīds

Virsmu, kas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 un četriem paralelogramiem ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sauc. paralēlskaldnis(1. att.).

Rīsi. 1 Parallelelepiped

Tas ir: mums ir divi vienādi paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 (bāzes), tie atrodas paralēlās plaknēs tā, lai sānu malas AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 būtu paralēlas. Tādējādi tiek saukta virsma, kas sastāv no paralelogramiem paralēlskaldnis.

Tādējādi paralēlskaldņa virsma ir visu paralelogramu summa, kas veido paralēlskaldni.

1. Paralēlskaldņa pretējās skaldnes ir paralēlas un vienādas.

(skaitļi ir vienādi, tas ir, tos var apvienot ar pārklājumu)

Piemēram:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (pēc definīcijas vienādi paralelogrami),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (tā kā AA 1 B 1 B un DD 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās puses),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (jo AA 1 D 1 D un BB 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās virsmas).

2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un sadala šo punktu uz pusēm.

Paralēlskaldņa diagonāles AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B krustojas vienā punktā O, un katra diagonāle ar šo punktu tiek dalīta uz pusēm (2. att.).

Rīsi. 2 Paralēlskaldņa diagonāles krustojas un dala krustpunktu uz pusēm.

3. Ir trīs paralēlskaldņu vienādu un paralēlu malu četrkārši: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definīcija. Paralēlskaldni sauc par taisnu, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm.

Sānu malai AA 1 jābūt perpendikulārai pamatnei (3. att.). Tas nozīmē, ka taisne AA 1 ir perpendikulāra taisnēm AD un AB, kas atrodas pamatnes plaknē. Tāpēc sānu malās atrodas taisnstūri. Un pamati ir patvaļīgi paralelogrami. Apzīmējiet, ∠BAD = φ, leņķis φ var būt jebkurš.

Rīsi. 3 Labais lodziņš

Tātad labā kaste ir kaste, kuras sānu malas ir perpendikulāras kastes pamatnēm.

Definīcija. Paralēlstūri sauc par taisnstūrveida, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Pamati ir taisnstūri.

Paralēlstūris АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 ir taisnstūrveida (4. att.), ja:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sānu mala ir perpendikulāra pamatnes plaknei, tas ir, taisns paralēlskaldnis).

2. ∠BAD = 90°, t.i., pamatne ir taisnstūris.

Rīsi. 4 Cuboīds

Taisnstūra kastei ir visas patvaļīgas kastes īpašības. Bet ir arī papildu īpašības, kas izriet no kuboīda definīcijas.

Tātad, kuboīds ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Kuboīda pamatne ir taisnstūris.

1. Skaļveida formā visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 pēc definīcijas ir taisnstūri.

2. Sānu ribas ir perpendikulāras pamatnei. Tas nozīmē, ka visas kuboīda sānu malas ir taisnstūri.

3. Visi kuboīda divvirsmas leņķi ir taisni leņķi.

Aplūkosim, piemēram, taisnstūra paralēlskaldņa ar malu AB divstūrveida leņķi, t.i., divskaldņu leņķi starp plaknēm ABB 1 un ABC.

AB ir mala, punkts A 1 atrodas vienā plaknē - plaknē ABB 1, bet punkts D otrā - plaknē A 1 B 1 C 1 D 1. Tad aplūkoto divskaldņu leņķi var apzīmēt arī šādi: ∠А 1 АВD.

Paņemiet punktu A uz malas AB. AA 1 ir perpendikulāra malai AB plaknē ABB-1, AD ir perpendikulāra malai AB plaknē ABC. Tādējādi ∠A 1 AD ir dotā divskaldņa leņķa lineārais leņķis. ∠A 1 AD \u003d 90 °, kas nozīmē, ka divšķautņu leņķis pie malas AB ir 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Līdzīgi ir pierādīts, ka taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūra divvirsmas leņķi.

Kuboīda diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu.

Piezīme. Trīs šķautņu garumi, kas izplūst no vienas un tās pašas kuboīda virsotnes, ir kuboīda izmēri. Tos dažreiz sauc par garumu, platumu, augstumu.

Dots: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taisnstūrveida paralēlskaldnis (5. att.).

Pierādīt:.

Rīsi. 5 Cuboīds

Pierādījums:

Taisne CC 1 ir perpendikulāra plaknei ABC un līdz ar to taisnei AC. Tātad trīsstūris CC 1 A ir taisnleņķa trīsstūris. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Apsveriet taisnleņķa trīsstūris ABC. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Bet BC un AD ir taisnstūra pretējās malas. Tātad BC = AD. Pēc tam:

Kā , a , tad. Tā kā CC 1 = AA 1, tad kas bija jāpierāda.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Apzīmēsim paralēlskaldņa ABC izmērus kā a, b, c (skat. 6. att.), tad AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =