Միջին մակարդակ

Շրջանագիծ և ներգծված անկյուն: տեսողական ուղեցույց (2019)

Հիմնական տերմիններ.

Որքա՞ն լավ եք հիշում շրջանակի հետ կապված բոլոր անունները: Համենայն դեպս, հիշում ենք՝ նայեք նկարներին, թարմացրեք ձեր գիտելիքները:

Նախ - Շրջանի կենտրոնը այն կետն է, որից շրջանագծի բոլոր կետերը նույն հեռավորությունն են:

Երկրորդ - շառավիղը - կենտրոնը և շրջանագծի մի կետը միացնող գծային հատված:

Շառավիղները շատ են (այնքան, որքան կետերը շրջանագծի վրա), բայց բոլոր շառավիղներն ունեն նույն երկարությունը:

Երբեմն կարճ շառավիղընրանք դա անվանում են հատվածի երկարությունը«կենտրոնը շրջանագծի մի կետ է», և ոչ թե հատվածը:

Եվ ահա թե ինչ է տեղի ունենում եթե շրջանագծի վրա միացնես երկու կետ? Նաև կտրվածք.

Այսպիսով, այս հատվածը կոչվում է «ակորդ».

Ինչպես շառավիղի դեպքում, տրամագիծը հաճախ կոչվում է շրջանագծի երկու կետերը միացնող և կենտրոնով անցնող հատվածի երկարություն։ Ի դեպ, տրամագիծն ու շառավիղը ինչպե՞ս են կապված: Ուշադիր նայեք. Իհարկե, շառավիղը կեսըտրամագիծը.

Բացի ակորդներից, կան նաև հատված.

Հիշու՞մ եք ամենապարզը.

Կենտրոնական անկյունը երկու շառավիղների միջև ընկած անկյունն է:

Իսկ այժմ մակագրված անկյունը

Ներգրված անկյունը երկու ակորդների միջև ընկած անկյունն է, որոնք հատվում են շրջանագծի մի կետում.

Այս դեպքում ասում են, որ մակագրված անկյունը հենվում է աղեղի (կամ ակորդի) վրա։

Նայիր նկարին:

Աղեղների և անկյունների չափում:

Շրջագիծ. Աղեղները և անկյունները չափվում են աստիճաններով և ռադիաններով: Նախ՝ աստիճանների մասին։ Անկյունների համար խնդիրներ չկան, դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես չափել աղեղը աստիճաններով:

Աստիճանի չափումը (աղեղային արժեքը) համապատասխան կենտրոնական անկյան արժեքն է (աստիճաններով):

Ի՞նչ է նշանակում այստեղ «համապատասխան» բառը: Եկեք ուշադիր նայենք.

Տեսնո՞ւմ եք երկու կամարները և երկու կենտրոնական անկյունները: Դե, ավելի մեծ աղեղը համապատասխանում է ավելի մեծ անկյան (և լավ է, որ այն ավելի մեծ է), իսկ ավելի փոքր աղեղը համապատասխանում է ավելի փոքր անկյան:

Այսպիսով, մենք պայմանավորվեցինք. աղեղը պարունակում է նույնքան աստիճան, որքան համապատասխան կենտրոնական անկյունը:

Իսկ հիմա սարսափելիի մասին՝ ռադիանների մասին:

Ինչպիսի՞ կենդանի է այս «ռադիանը»։

Պատկերացրեք սա. ռադիանները անկյունը չափելու միջոց են... շառավղով:

Ռադիանի անկյունը կենտրոնական անկյուն է, որի աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին։

Հետո հարց է առաջանում՝ քանի՞ ռադիան կա ուղղված անկյան տակ։

Այսինքն՝ քանի՞ շառավիղ է «տեղավորվում» կես շրջանի մեջ։ Կամ այլ կերպ՝ քանի՞ անգամ է կես շրջանագծի երկարությունը մեծ շառավղից:

Այս հարցը տվել են Հին Հունաստանի գիտնականները:

Եվ այսպես, երկար փնտրտուքներից հետո նրանք պարզեցին, որ շրջագծի և շառավղի հարաբերակցությունը չի ցանկանում արտահայտվել «մարդկային» թվերով, ինչպես և այլն։

Իսկ այս վերաբերմունքն անգամ արմատներով հնարավոր չէ արտահայտել։ Այսինքն՝ ստացվում է, որ չի կարելի ասել, որ շրջանագծի կեսը շառավիղից երկու անգամ կամ երկու անգամ է։ Պատկերացնու՞մ եք, թե որքան զարմանալի էր մարդկանց առաջին անգամ բացահայտելը: Կիսաշրջանի երկարության և շառավղի հարաբերության համար բավական էին «նորմալ» թվերը։ Ես պետք է նամակ մտնեի։

Այսպիսով, մի թիվ է, որն արտահայտում է կիսաշրջանի երկարության հարաբերակցությունը շառավղին:

Այժմ մենք կարող ենք պատասխանել հարցին՝ քանի՞ ռադիան կա ուղիղ անկյան տակ: Ունի ռադիան։ Հենց այն պատճառով, որ շրջանագծի կեսը երկու անգամ մեծ է շառավղից:

Հին (և ոչ այնքան) մարդիկ դարերի միջով (!) նրանք փորձել են ավելի ճշգրիտ հաշվարկել այս առեղծվածային թիվը, այն ավելի լավ (գոնե մոտավորապես) արտահայտել «սովորական» թվերի միջոցով։ Եվ հիմա մենք անհավանական ծույլ ենք. զբաղվածությունից հետո երկու նշան մեզ բավական է, մենք սովոր ենք

Մտածեք դրա մասին, սա նշանակում է, օրինակ, որ մեկ շառավղով շրջանագծի y երկարությունը մոտավորապես հավասար է, և պարզապես անհնար է գրել այս երկարությունը «մարդկային» թվով. ձեզ տառ է պետք: Եվ հետո այս շրջագիծը հավասար կլինի: Եվ իհարկե, շառավիղի շրջագիծը հավասար է։

Եկեք վերադառնանք ռադիաններին:

Մենք արդեն պարզել ենք, որ ուղիղ անկյունը պարունակում է ռադիան։

Ինչ ունենք.

Այնքան ուրախ, դա ուրախ է: Նույն կերպ ստացվում է ամենահայտնի անկյուններով ափսե։

Ներգծված և կենտրոնական անկյունների արժեքների հարաբերակցությունը:

Մի զարմանալի փաստ կա.

Ներգրված անկյան արժեքը համապատասխան կենտրոնական անկյան կեսն է:

Տեսեք, թե ինչպես է այս հայտարարությունը պատկերված նկարում։ «Համապատասխան» կենտրոնական անկյուն է համարվում այն ​​անկյունը, որի ծայրերը համընկնում են ներգծված անկյան ծայրերին, իսկ գագաթը գտնվում է կենտրոնում։ Եվ միևնույն ժամանակ, «համապատասխան» կենտրոնական անկյունը պետք է «նայի» նույն ակորդին () ինչ մակագրված անկյունը։

Ինչու այդպես? Եկեք նախ նայենք մի պարզ դեպքի. Թող ակորդներից մեկն անցնի կենտրոնով։ Ի վերջո, դա երբեմն պատահում է, այնպես չէ՞:

Ի՞նչ է կատարվում այստեղ։ Հաշվի առեք. Ի վերջո, այն հավասարաչափ է և շառավիղ է: Այսպիսով, (նշել է դրանք):

Հիմա եկեք նայենք. Սա արտաքին անկյունն է։ Հիշում ենք, որ արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն իրեն և գրենք.

Այն է! Անսպասելի ազդեցություն. Բայց մակագրվածի համար կա նաև կենտրոնական անկյուն։

Այսպիսով, այս դեպքում մենք ապացուցեցինք, որ կենտրոնական անկյունը կրկնակի է ներգծված անկյունից: Բայց դա ցավալիորեն առանձնահատուկ դեպք է. ճի՞շտ է, որ ակորդը միշտ չէ, որ ուղիղ կենտրոնով է անցնում: Բայց ոչինչ, հիմա այս հատուկ դեպքը մեզ շատ կօգնի։ Տես՝ երկրորդ դեպքը. թող կենտրոնը պառկի ներսում։

Եկեք դա անենք. գծեք տրամագիծ: Եվ հետո ... մենք տեսնում ենք երկու նկար, որոնք արդեն վերլուծվել են առաջին դեպքում: Հետեւաբար, մենք արդեն ունենք

Այսպիսով (գծանկարի վրա, ա)

Դե, մնում է վերջին դեպքը՝ կենտրոնը անկյունից դուրս է։

Մենք նույնն ենք անում՝ տրամագիծ գծեք կետի միջով: Ամեն ինչ նույնն է, բայց գումարի փոխարեն՝ տարբերություն։

Այսքանը:

Այժմ ձևավորենք երկու հիմնական և շատ կարևոր հետևանք այն պնդման, որ ներգծված անկյունը կենտրոնականի կեսն է։

Եզրակացություն 1

Նույն աղեղը հատող բոլոր ներգծված անկյունները հավասար են:

Մենք ցույց ենք տալիս.

Կան անհամար ներգծված անկյուններ, որոնք հիմնված են նույն աղեղի վրա (մենք ունենք այս աղեղը), դրանք կարող են բոլորովին այլ տեսք ունենալ, բայց բոլորն ունեն նույն կենտրոնական անկյունը (), ինչը նշանակում է, որ այս բոլոր ներգծված անկյունները միմյանց միջև հավասար են:

Հետևանք 2

Տրամագծի վրա հիմնված անկյունը ուղիղ անկյուն է։

Տեսեք, ո՞ր անկյունն է կենտրոնական:

Իհարկե, . Բայց նա հավասար է։ Դե, դրա համար (ինչպես նաև բազմաթիվ ներգծված անկյունների հիման վրա) և հավասար է.

Անկյուն երկու ակորդների և հատվածների միջև

Բայց ի՞նչ, եթե մեզ հետաքրքրող անկյունը ՉԻ մակագրված և ՉԻ կենտրոնական, այլ, օրինակ, այսպես.

կամ այսպես.

Հնարավո՞ր է դա ինչ-որ կերպ արտահայտել կենտրոնական տեսանկյուններից: Պարզվում է՝ կարող ես։ Տեսեք, մենք հետաքրքրված ենք:

ա) (ինչպես արտաքին անկյունի համար): Բայց - մակագրված, աղեղի հիման վրա - . - մակագրված, աղեղի հիման վրա - .

Գեղեցկության համար ասում են.

Ակորդների միջև անկյունը հավասար է այս անկյունում ընդգրկված աղեղների անկյունային արժեքների գումարի կեսին:

Սա գրված է հակիրճության համար, բայց, իհարկե, այս բանաձևն օգտագործելիս պետք է նկատի ունենալ կենտրոնական անկյունները

բ) Իսկ հիմա՝ «դրսում»։ Ինչպե՞ս լինել: Այո, գրեթե նույնը: Միայն հիմա (կրկին կիրառեք արտաքին անկյունի հատկությունը): Դա հիմա է։

Եվ դա նշանակում է. Արձանագրություններում և ձևակերպումներում բերենք գեղեցկություն և հակիրճություն.

Հատվածների միջև անկյունը հավասար է այս անկյան տակ գտնվող կամարների անկյունային արժեքների տարբերության կեսին:

Դե, հիմա դուք զինված եք շրջանագծի հետ կապված անկյունների մասին բոլոր հիմնական գիտելիքներով: Առաջ, դեպի առաջադրանքների հարձակում:

ՇՐՋԱՆԱԳԻՐ ԵՎ ՆԵՐԿԱՅԱՑՎԱԾ ԱՆԿՅՈՒՆ։ ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ինչ է շրջանը, նույնիսկ հինգ տարեկան երեխան գիտի, չէ՞: Մաթեմատիկոսները, ինչպես միշտ, ունեն անհասկանալի սահմանում այս թեմայի վերաբերյալ, բայց մենք այն չենք տա (տես), այլ ավելի շուտ կհիշենք, թե ինչպես են կոչվում շրջանագծի հետ կապված կետերը, ուղիղները և անկյունները:

Կարևոր պայմաններ

Նախ.

շրջանի կենտրոն- կետ, որից հեռավորությունները, որից մինչև շրջանագծի բոլոր կետերը նույնն են:

Երկրորդ.

Այստեղ մեկ այլ ընդունված արտահայտություն կա՝ «ակորդը սեղմում է աղեղը»։ Այստեղ, այստեղ նկարում, օրինակ, ակորդը սեղմում է աղեղը: Իսկ եթե ակորդը հանկարծ անցնում է կենտրոնով, ապա այն ունի հատուկ անվանում՝ «տրամագիծ»։

Ի դեպ, տրամագիծն ու շառավիղը ինչպե՞ս են կապված: Ուշադիր նայեք. Իհարկե,

Եվ հիմա `անկյունների անունները:

Բնականաբար, այդպես չէ՞։ Անկյունի կողքերը դուրս են գալիս կենտրոնից, ինչը նշանակում է, որ անկյունը կենտրոնական է։

Հենց այստեղ են երբեմն առաջանում դժվարություններ։ Ուշադրություն դարձնել - Շրջանակի ներսում ՈՉ մի անկյուն մակագրված չէ,բայց միայն մեկը, որի գագաթը «նստում է» հենց շրջանագծի վրա։

Տեսնենք նկարների տարբերությունը.

Նրանք նաև այլ կերպ են ասում.

Այստեղ կա մեկ բարդ կետ. Ի՞նչ է «համապատասխան» կամ «սեփական» կենտրոնական անկյունը: Ուղղակի անկյուն, որի գագաթն է շրջանագծի կենտրոնում և ավարտվում է աղեղի ծայրերում: Ոչ, իհարկե, այդ կերպ: Նայիր նկարին.

Դրանցից մեկը, սակայն, նույնիսկ անկյունի տեսք չունի՝ այն ավելի մեծ է։ Բայց եռանկյունու մեջ ավելի շատ անկյուններ չեն կարող լինել, բայց շրջանագծի մեջ՝ կարող է լավ: Այսպիսով՝ ավելի փոքր AB աղեղը համապատասխանում է ավելի փոքր անկյունին (նարնջագույն), իսկ ավելի մեծը՝ ավելի մեծին: Ճիշտ այնպես, ինչպես, այնպես չէ՞:

Ներգրված և կենտրոնական անկյունների փոխհարաբերությունները

Հիշեք մի շատ կարևոր հայտարարություն.

Դասագրքերում նրանք սիրում են նույն փաստը գրել այսպես.

Ճիշտ է, կենտրոնական անկյան դեպքում ձևակերպումն ավելի պարզ է:

Բայց այնուամենայնիվ, եկեք համապատասխանություն գտնենք երկու ձևակերպումների միջև և միևնույն ժամանակ սովորենք պատկերների մեջ գտնել «համապատասխան» կենտրոնական անկյունը և այն աղեղը, որի վրա «հենվում է» մակագրված անկյունը։

Տեսեք, ահա շրջանագիծ և ներգծված անկյուն.

Որտե՞ղ է նրա «համապատասխան» կենտրոնական անկյունը։

Եկեք նորից նայենք.

Ո՞րն է կանոնը։

Բայց! Այս դեպքում կարևոր է, որ մակագրված և կենտրոնական անկյունները «նայեն» աղեղի նույն կողմում։ Օրինակ:

Տարօրինակ կերպով, կապույտ: Քանի որ աղեղը երկար է, շրջանագծի կեսից ավելի երկար: Այնպես որ, երբեք մի շփոթվեք:

Ի՞նչ հետևանք կարելի է եզրակացնել մակագրված անկյան «կիսատությունից»։

Եվ ահա, օրինակ.

Անկյուն՝ հիմնված տրամագծի վրա

Դուք արդեն նկատել եք, որ մաթեմատիկոսները շատ են սիրում խոսել նույն բանի մասին։ տարբեր բառեր? Ինչու է դա նրանց համար: Հասկանում եք, թեև մաթեմատիկայի լեզուն ֆորմալ է, բայց այն կենդանի է, և հետևաբար, ինչպես սովորական լեզվով, ամեն անգամ ուզում եք դա ավելի հարմար ձևով ասել։ Դե, մենք արդեն տեսանք, թե ինչ է «անկյունը հենվում է աղեղի վրա»: Եվ պատկերացրեք, նույն պատկերը կոչվում է «անկյունը հենվում է ակորդի վրա»։ Ինչի՞ վրա։ Այո, իհարկե, նրա վրա, ով քաշում է այս կամարը:

Ե՞րբ է ավելի հարմար ապավինել ակորդին, քան աղեղին։

Դե, մասնավորապես, երբ այս ակորդը տրամագիծ է:

Նման իրավիճակի համար զարմանալիորեն պարզ, գեղեցիկ և օգտակար հայտարարություն կա:

Նայեք. ահա շրջան, տրամագիծ և անկյուն, որը հենվում է դրա վրա:

ՇՐՋԱՆԱԳԻՐ ԵՎ ՆԵՐԿԱՅԱՑՎԱԾ ԱՆԿՅՈՒՆ։ ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

1. Հիմնական հասկացություններ.

3. Աղեղների և անկյունների չափումներ.

Ռադիանի անկյունը կենտրոնական անկյուն է, որի աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին։

Սա կիսաշրջանի երկարության և շառավղի հարաբերակցությունն արտահայտող թիվ է։

Շառավիղի շրջագիծը հավասար է.

4. Ներգծված և կենտրոնական անկյունների արժեքների հարաբերակցությունը:

Ներգրված և կենտրոնական անկյուն հասկացություն

Նախ ներկայացնենք կենտրոնական անկյուն հասկացությունը։

Դիտողություն 1

Նշենք, որ աստիճանի չափումկենտրոնական անկյունը հավասար է աղեղի աստիճանի չափմանը, որի վրա այն հենվում է.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք ներգծված անկյուն հասկացությունը:

Սահմանում 2

Անկյուն, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա, և որի կողմերը հատում են նույն շրջանագիծը, կոչվում է ներգծված անկյուն (նկ. 2):

Նկար 2. Ներգրված անկյուն

Ներգրված անկյունի թեորեմ

Թեորեմ 1

Ներգրված անկյան չափը նրա կտրած աղեղի չափի կեսն է:

Ապացույց.

Եկեք մեզ տրվի շրջան, որը կենտրոնացած է $O$ կետում: Նշեք ներգծված անկյունը $ACB$ (նկ. 2): Հետևյալ երեք դեպքերը հնարավոր են.

• $CO$ ճառագայթը համընկնում է անկյան որոշ կողմի հետ։ Թող սա լինի $CB$ կողմը (նկ. 3):

Նկար 3

Այս դեպքում $AB$ աղեղը փոքր է $(180)^(()^\circ )$-ից, հետևաբար $AOB$ կենտրոնական անկյունը հավասար է $AB$ աղեղին: Քանի որ $AO=OC=r$, $AOC$ եռանկյունը հավասարաչափ է: Այսպիսով, $CAO$ և $ACO$ հիմքերի անկյունները հավասար են: Եռանկյան արտաքին անկյան թեորեմի համաձայն ունենք.

• Ray $CO$-ը ներքին անկյունը բաժանում է երկու անկյունների: Թող այն հատի շրջանագիծը $D$ կետում (նկ. 4):

Նկար 4

Մենք ստանում ենք

• $CO$ ճառագայթը ներքին անկյունը չի բաժանում երկու անկյունների և չի համընկնում նրա կողմերից որևէ մեկի հետ (նկ. 5):

Նկար 5

Առանձին դիտարկենք $ACD$ և $DCB$ անկյունները։ 1-ին կետում ապացուցվածով մենք ստանում ենք

Մենք ստանում ենք

Թեորեմն ապացուցված է.

Եկեք բերենք հետեւանքներըայս թեորեմից.

Հետևություն 1:Նույն աղեղը հատող ներգծված անկյունները հավասար են։

Հետևություն 2.Ներգրված անկյունը, որը կտրում է տրամագիծը, ուղիղ անկյուն է:

Ամենից հաճախ մաթեմատիկայի քննությանը նախապատրաստվելու գործընթացը սկսվում է հիմնական սահմանումների, բանաձևերի և թեորեմների կրկնությամբ, ներառյալ «Կենտրոնական և ներգծված շրջանագծի անկյունում» թեման: Որպես կանոն, պլանաչափության այս բաժինը ուսումնասիրվում է ավագ դպրոց. Զարմանալի չէ, որ շատ ուսանողներ բախվում են «Շրջանակի կենտրոնական անկյուն» թեմայով հիմնական հասկացությունների և թեորեմների կրկնության անհրաժեշտության հետ։ Հասկանալով նման խնդիրների լուծման ալգորիթմը՝ դպրոցականները կկարողանան հաշվել մրցակցային միավորներ ստանալը՝ հիմնվելով միասնական պետական ​​քննություն հանձնելու արդյունքների վրա։

Ինչպե՞ս հեշտությամբ և արդյունավետ կերպով պատրաստվել սերտիֆիկացման թեստին:

Սինգլին հանձնելուց առաջ հասնելը պետական ​​քննություն, ավագ դպրոցի շատ աշակերտներ բախվել են գտնելու խնդրին անհրաժեշտ տեղեկատվություն«Կենտրոնական և ներգծված անկյունները շրջանագծի մեջ» թեմայով։ Միշտ չէ, որ դպրոցական դասագիրքը ձեռքի տակ է: Իսկ ինտերնետում բանաձևերի որոնումը երբեմն շատ ժամանակ է պահանջում:

Մեր կրթական պորտալ. Շկոլկովոն ավագ դպրոցի աշակերտներին և նրանց ուսուցիչներին հրավիրում է նորովի կառուցել պետական ​​միասնական քննությանը նախապատրաստվելու գործընթացը։ Բոլոր հիմնական նյութերը ներկայացված են մեր մասնագետների կողմից առավել մատչելի ձևով: «Տեսական տեղեկանք» բաժնի տեղեկատվությունը վերանայելուց հետո ուսանողները կսովորեն, թե ինչ հատկություններ ունի շրջանագծի կենտրոնական անկյունը, ինչպես գտնել դրա արժեքը և այլն։

Այնուհետև ձեռք բերված գիտելիքները համախմբելու և հմտությունները զարգացնելու համար խորհուրդ ենք տալիս կատարել համապատասխան վարժություններ։ Մեծ ընտրություն«Կատալոգ» բաժնում ներկայացված են շրջանագծով ներգծված անկյան արժեքը գտնելու առաջադրանքները և այլ պարամետրեր: Յուրաքանչյուր վարժության համար մեր փորձագետները գրել են լուծման մանրամասն ընթացքը և նշել ճիշտ պատասխանը: Կայքում առաջադրանքների ցանկը մշտապես լրացվում և թարմացվում է:

Ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են պատրաստվել քննությանը` վարժություններ կատարելով, օրինակ` գտնելով կենտրոնական անկյան արժեքը և շրջանագծի աղեղի երկարությունը, առցանց` գտնվելով Ռուսաստանի ցանկացած մարզում:

Անհրաժեշտության դեպքում կատարված առաջադրանքը կարող է պահպանվել «Ֆավորիտներ» բաժնում, որպեսզի հետագայում վերադառնանք դրան և ևս մեկ անգամ վերլուծենք դրա լուծման սկզբունքը:

Սա երկու կողմից կազմված անկյունն է ակորդներսկիզբ է առնում շրջանագծի մի կետից: Ասվում է, որ մակագրված անկյուն է հենվում էնրա կողմերի միջև փակված աղեղի վրա:

Ներգրված անկյունհավասար է աղեղի կեսին, որի վրա այն հենվում է:

Այլ կերպ ասած, մակագրված անկյուններառում է այնքան աստիճաններ, րոպեներ և վայրկյաններ, որքան աղեղային աստիճաններ, րոպեները և վայրկյանները պարփակված են այն աղեղի կեսում, որի վրա այն հենվում է: Հիմնավորման համար մենք վերլուծում ենք երեք դեպք.

Առաջին դեպքը.

Կենտրոնը O-ն գտնվում է կողքի վրա մակագրված անկյուն ABS. Գծելով AO շառավիղը՝ ստանում ենք ΔABO, որում OA = OB (որպես շառավիղներ) և, համապատասխանաբար, ∠ABO = ∠BAO։ Սրա հետ կապված եռանկյուն, AOC անկյունը արտաքին է։ Իսկ դա նշանակում է, որ նա հավասար է գումարին ABO և BAO անկյունները կամ հավասար են կրկնակի ABO անկյան: Այսպիսով, ∠ABO-ն կեսն է կենտրոնական անկյունՀՕԿ. Բայց այս անկյունը չափվում է AC աղեղով: Այսինքն՝ ներգծված ABC անկյունը չափվում է AC աղեղի կեսով:

Երկրորդ դեպք.

O կենտրոնը գտնվում է կողմերի միջև մակագրված անկյուն ABC: Նկարելով BD տրամագիծը, մենք ABC անկյունը կբաժանենք երկու անկյունների, որոնցից, ըստ առաջին դեպքում սահմանվածի, մեկը չափվում է կիսով չափ. կամարներըմ.թ., իսկ աղեղային CD-ի մյուս կեսը: Եվ համապատասխանաբար, ABC անկյունը չափվում է (AD + DC) / 2-ով, այսինքն. 1/2 AC.

Երրորդ դեպք.

Կենտրոնը գտնվում է դրսում մակագրված անկյուն ABS. Նկարելով BD տրամագիծը՝ կունենանք՝ ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Բայց ABD և CBD անկյունները չափվում են՝ հիմնվելով նախկինում հիմնավորված կիսամյակների վրա կամարները AD և CD: Եվ քանի որ ∠ABС-ը չափվում է (AD-CD)/2-ով, այսինքն՝ AC աղեղի կեսը։

Հետևանք 1.Ցանկացած , հիմնվելով նույն աղեղի վրա, նույնն են, այսինքն՝ հավասար են միմյանց: Քանի որ նրանցից յուրաքանչյուրը չափվում է նույնի կեսով կամարները .

Հետևանք 2. Ներգրված անկյունտրամագծի հիման վրա - Աջ անկյունը. Քանի որ յուրաքանչյուր նման անկյուն չափվում է կիսաշրջանով և, համապատասխանաբար, պարունակում է 90 °:

Ներգրված անկյուն, խնդրի տեսություն: Ընկերներ! Այս հոդվածում կխոսենք առաջադրանքների մասին, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է իմանալ ներգծված անկյան հատկությունները։ այն ամբողջ խումբըառաջադրանքները, դրանք ներառված են քննության մեջ։ Դրանցից շատերը լուծվում են շատ պարզ՝ մեկ քայլով։

Կան ավելի բարդ առաջադրանքներ, բայց դրանք ձեզ համար մեծ դժվարություն չեն ներկայացնի, դուք պետք է իմանաք մակագրված անկյան հատկությունները։ Աստիճանաբար մենք կվերլուծենք առաջադրանքների բոլոր նախատիպերը, հրավիրում եմ ձեզ բլոգ:

Հիմա անհրաժեշտ տեսությունը. Հիշեք, թե ինչպիսի կենտրոնական և մակագրված անկյուն, ակորդ, աղեղ, որի վրա հիմնված են այս անկյունները.

Շրջանակի կենտրոնական անկյունը կոչվում է հարթ անկյունգագաթնակետ իր կենտրոնում.

Շրջանակի այն հատվածը, որը գտնվում է հարթ անկյունումկոչվում է շրջանագծի աղեղ:

Շրջանակի աղեղի աստիճանի չափը աստիճանի չափումն էհամապատասխան կենտրոնական անկյուն:

Անկյունը կոչվում է շրջանագծի մեջ ներգծված, եթե անկյան գագաթն ընկած էշրջանագծի վրա, և անկյան կողմերը հատում են այս շրջանագիծը:

Շրջանակի երկու կետերը միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում էակորդ. Ամենաերկար ակորդն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով և կոչվում էտրամագիծը.

Շրջանակով գծված անկյունների խնդիրները լուծելու համար.դուք պետք է իմանաք հետևյալ հատկությունները.

1. Ներգրված անկյունը հավասար է նույն աղեղի վրա հիմնված կենտրոնական անկյան կեսին:

2. Նույն աղեղի վրա հիմնված բոլոր ներգծված անկյունները հավասար են:

3. Նույն ակորդի վրա հիմնված բոլոր ներգծված անկյունները, որոնց գագաթները գտնվում են այս լարի նույն կողմում, հավասար են։

4. Նույն ակորդի վրա հիմնված ցանկացած զույգ անկյուն, որի գագաթները գտնվում են լարի հակառակ կողմերում, գումարվում են մինչև 180°:

Եզրակացություն. Շրջանակով գծված քառանկյան հակառակ անկյունների գումարը կազմում է 180 աստիճան:

5. Բոլոր մակագրված անկյունները, որոնք հիմնված են տրամագծի վրա, ուղիղ են:

Ընդհանուր առմամբ, այս գույքը սեփականության հետևանք է (1), սա նրա կոնկրետ դեպքն է: Նայեք - կենտրոնական անկյունը հավասար է 180 աստիճանի (իսկ այս զարգացած անկյունը ոչ այլ ինչ է, քան տրամագիծ), ինչը նշանակում է, որ ըստ առաջին հատկության ներգծված C անկյունը հավասար է իր կեսին, այսինքն՝ 90 աստիճանի։

Գիտելիք տրված գույքըօգնում է լուծել բազմաթիվ խնդիրներ և հաճախ թույլ է տալիս խուսափել ավելորդ հաշվարկներից: Լավ տիրապետելով դրան՝ դուք կկարողանաք բանավոր լուծել այս տեսակի խնդիրների կեսից ավելին։ Երկու հետևանք, որոնք կարող են առաջանալ.

Եզրակացություն 1. Եթե եռանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ, և նրա կողմերից մեկը համընկնում է այս շրջանագծի տրամագծին, ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է (գագաթ Աջ անկյունըընկած է շրջանագծի վրա):

Հետևություն 2. նկարագրվածի կենտրոնը ուղղանկյուն եռանկյունշրջանը համընկնում է նրա հիպոթենուսի միջին կետի հետ:

Ստերեոմետրիկ խնդիրների շատ նախատիպեր նույնպես լուծվում են՝ օգտագործելով այս հատկությունը և այս հետևանքները: Հիշեք ինքնին փաստը. եթե շրջանագծի տրամագիծը ներգծված եռանկյան կողմն է, ապա այս եռանկյունը ուղղանկյուն է (տրամագծի հակառակ անկյունը 90 աստիճան է): Մնացած բոլոր հետևություններն ու հետևանքները կարող եք ինքներդ անել, դրանք սովորեցնելու կարիք չկա։

Որպես կանոն, մակագրված անկյան խնդիրների կեսը տրվում է էսքիզով, բայց առանց նշումների։ Խնդիրներ լուծելիս (ներքևում հոդվածում) տրամաբանելու գործընթացը հասկանալու համար ներկայացվում են գագաթների (անկյունների) նշանակումները։ Քննության ժամանակ դուք չեք կարող դա անել:Հաշվի առեք առաջադրանքները.

Ո՞րն է սուր ներգծված անկյունը, որը կտրում է շրջանագծի շառավղին հավասար ակորդ: Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով:

Տրված ներգծված անկյան համար կառուցենք կենտրոնական անկյուն, նշենք գագաթները.

Ըստ շրջանագծով ներգծված անկյան հատկության.

AOB անկյունը հավասար է 60 0-ի, քանի որ AOB եռանկյունը հավասարակողմ է, իսկ հավասարակողմ եռանկյան մեջ բոլոր անկյունները հավասար են 60 0-ի: Եռանկյան կողմերը հավասար են, քանի որ պայմանն ասում է, որ ակորդը հավասար է շառավղին։

Այսպիսով, DIA ներգծված անկյունը 30 0 է:

Պատասխան՝ 30

Գտե՛ք այն ակորդը, որի վրա հենված է 30 0 անկյունը՝ մակագրված 3 շառավղով շրջանով։

Սա ըստ էության հակադարձ խնդիրն է (նախորդին): Եկեք կենտրոնական անկյուն կառուցենք։

Այն երկու անգամ մեծ է մակագրվածից, այսինքն՝ AOB անկյունը 60 0 է։ Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ AOB եռանկյունը հավասարակողմ է: Այսպիսով, ակորդը հավասար է շառավղին, այսինքն՝ երեք։

Պատասխան՝ 3

Շրջանակի շառավիղը 1 է: Գտե՛ք բութ ներգծված անկյան արժեքը՝ հիմնվելով երկուսի արմատին հավասար ակորդի վրա: Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով:

Եկեք կառուցենք կենտրոնական անկյունը.

Իմանալով շառավիղը և ակորդը, մենք կարող ենք գտնել կենտրոնական անկյուն DIA: Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով կոսինուսների օրենքը։ Իմանալով կենտրոնական անկյունը, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել ներգծված անկյունը ACB:

Կոսինուսի թեորեմ. Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, առանց այդ կողմերի արտադրյալը կրկնապատկելու նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսի վրա։

Այսպիսով, երկրորդ կենտրոնական անկյունը 360 0 է – 90 0 = 270 0 .

Ըստ ներգծված անկյան հատկության՝ DIA անկյունը հավասար է նրա կեսին, այսինքն՝ 135 աստիճան։

Պատասխան՝ 135

Գտե՛ք այն ակորդը, որի վրա 120 աստիճանի անկյունը՝ երեքի արմատը, մակագրված է շառավղով շրջանագծի մեջ։

A և B կետերը միացրեք շրջանագծի կենտրոնին: Եկեք այն անվանենք O:

Մենք գիտենք DIA շառավիղը և ներգծված անկյունը: Մենք կարող ենք գտնել AOB կենտրոնական անկյունը (ավելի քան 180 աստիճան), ապա գտնել AOB անկյունը AOB եռանկյան մեջ: Եվ հետո, օգտագործելով կոսինուսների թեորեմը, հաշվարկեք AB:

Ներգրված անկյան հատկությամբ կենտրոնական AOB անկյունը (որը մեծ է 180 աստիճանից) հավասար կլինի ներգծված անկյան կրկնակիին, այսինքն՝ 240 աստիճանի։ Սա նշանակում է, որ AOB անկյունը AOB եռանկյան մեջ 360 0 - 240 0 = 120 0 է:

Համաձայն կոսինուսների օրենքի.

Պատասխան՝ 3

Գտե՛ք ներգծված անկյունը՝ հիմնվելով այն աղեղի վրա, որը կազմում է շրջանագծի 20%-ը: Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով:

Ներգրված անկյան հատկությամբ այն նույն աղեղի վրա հիմնված կենտրոնական անկյան կիսով չափ է, այս դեպքում խոսքը AB աղեղի մասին է։

Ասում են, որ AB աղեղը շրջագծի 20 տոկոսն է։ Սա նշանակում է, որ կենտրոնական AOB անկյունը նույնպես 360 0-ի 20 տոկոսն է:* Շրջանակը 360 աստիճանի անկյուն է: Նշանակում է,

Այսպիսով, ACB մակագրված անկյունը 36 աստիճան է:

Պատասխան՝ 36

շրջանագծի աղեղ AC, միավորներ չպարունակող Բ, 200 աստիճան է։ Իսկ BC շրջանագծի աղեղը, որը կետեր չի պարունակում Ա, 80 աստիճան է։ Գտեք ներգծված ACB անկյունը: Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով:

Պարզության համար նշենք այն կամարները, որոնց անկյունային չափումները բերված են։ 200 աստիճանին համապատասխան աղեղ - Կապույտ գույն, 80 աստիճանին համապատասխան աղեղը կարմիր է, շրջանագծի մնացած մասը՝ դեղին.

Այսպիսով, AB աղեղի աստիճանի չափը (դեղին), և հետևաբար կենտրոնական AOB անկյունը կազմում է 360 0: – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

DAB ներգծված անկյունը AOB կենտրոնական անկյան կեսն է, այսինքն՝ հավասար 40 աստիճանի։

Պատասխան՝ 40

Ո՞րն է ներգծված անկյունը, որը հիմնված է շրջանագծի տրամագծի վրա: Տվեք ձեր պատասխանը աստիճաններով: