Անկյունի աստիճանի չափում. Անկյունի ճառագայթային չափումը: Փոխարկել աստիճանները ռադիանի և հակառակը

Այս հոդվածում մենք կապ կհաստատենք անկյունի չափման հիմնական միավորների՝ աստիճանների և ռադիանների միջև: Այս կապը մեզ ի վերջո թույլ կտա իրականացնել աստիճանները վերածելով ռադիանի և հակառակը. Որպեսզի այդ պրոցեսները դժվարություններ չառաջացնեն, մենք կստանանք աստիճանները ռադիանի փոխարկելու բանաձև և ռադիաններից աստիճանների փոխարկելու բանաձև, որից հետո մանրամասն կվերլուծենք օրինակների լուծումները։

Էջի նավարկություն.

Հարաբերությունները աստիճանների և ռադիանների միջև

Աստիճանների և ռադիանների միջև կապը կհաստատվի, եթե հայտնի լինեն անկյան և՛ աստիճանը, և՛ ռադիանի չափերը (անկյան աստիճանը և ռադիանի չափը կարելի է գտնել բաժնում):

Վերցնենք կենտրոնական անկյուն, հիմնվելով r շառավղով շրջանագծի տրամագծի վրա։ Այս անկյան չափը կարող ենք հաշվարկել ռադիաններով. դրա համար հարկավոր է աղեղի երկարությունը բաժանել շրջանագծի շառավղի երկարության վրա։ Այս անկյունը համապատասխանում է աղեղի երկարությանը, կեսը շրջապատ, այսինքն, . Այս երկարությունը բաժանելով r շառավիղի երկարության վրա՝ ստանում ենք մեր վերցրած անկյան ճառագայթային չափումը։ Այսպիսով, մեր անկյունը ռադ է: Մյուս կողմից, այս անկյունը ընդլայնված է, այն հավասար է 180 աստիճանի։ Հետևաբար, պի ռադիանները 180 աստիճան են:

Այսպիսով, դա արտահայտվում է բանաձևով π ռադիաններ = 180 աստիճան, այսինքն .

Աստիճանները ռադիանի և ռադիանները աստիճանների փոխարկելու բանաձևեր

Ձևի հավասարությունից, որը մենք ստացանք նախորդ պարբերությունում, հեշտ է բխել ռադիանները աստիճանների և աստիճանները ռադիանի փոխարկելու բանաձևեր.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով pi-ի` ստանում ենք մեկ ռադիան աստիճաններով արտահայտող բանաձև. . Այս բանաձևը նշանակում է, որ մեկ ռադիանի անկյան աստիճանի չափումը 180/π է։ Եթե ​​փոխանակենք հավասարության ձախ և աջ մասերը, ապա երկու մասերը բաժանենք 180-ի, ապա կստանանք ձևի բանաձևը. . Մեկ աստիճանն արտահայտում է ռադիաններով։

Մեր հետաքրքրասիրությունը բավարարելու համար մենք հաշվարկում ենք մեկ ռադիանի անկյան մոտավոր արժեքը աստիճաններով և մեկ աստիճանի անկյան արժեքը ռադիաններով։ Դա անելու համար վերցրեք pi ճշգրիտ թվի արժեքը մինչև տասը հազարերորդական, փոխարինեք այն բանաձևերով և , և կատարեք հաշվարկները: Մենք ունենք եւ . Այսպիսով, մեկ ռադիանը մոտավորապես 57 աստիճան է, իսկ մեկ աստիճանը 0,0175 ռադիան է:

Վերջապես ստացված հարաբերություններից և եկեք անցնենք ռադիանները աստիճանների և հակառակը փոխարկելու բանաձևերին, ինչպես նաև դիտարկենք այս բանաձևերի կիրառման օրինակները:

Ռադիանները աստիճանների փոխարկելու բանաձևընման է: . Այսպիսով, եթե հայտնի է անկյան արժեքը ռադիաններով, ապա այն բազմապատկելով 180-ով և բաժանելով pi-ով, կստանանք այս անկյան արժեքը աստիճաններով:

Օրինակ.

Տրվում է 3,2 ռադիանի անկյուն: Որքա՞ն է այս անկյան չափը աստիճաններով:

Որոշում.

Մենք օգտագործում ենք ռադիաններից աստիճանների փոխարկելու բանաձևը, ունենք

Պատասխան.

.

Աստիճանները ռադիանի փոխարկելու բանաձևունի ձևը . Այսինքն, եթե հայտնի է անկյան արժեքը աստիճաններով, ապա այն բազմապատկելով pi-ով և բաժանելով 180-ով, կստանանք այս անկյան արժեքը ռադիաններով: Դիտարկենք լուծման օրինակ.

Անկյունները չափվում են աստիճաններով կամ ռադիաններով: Կարևոր է հասկանալ չափման այս միավորների միջև կապը: Այս հարաբերությունների ըմբռնումը թույլ է տալիս գործել անկյուններով և անցում կատարել աստիճաններից ռադիանների և հակառակը: Այս հոդվածում մենք ստանում ենք աստիճանները ռադիանի և ռադիանների աստիճանների փոխարկելու բանաձև, ինչպես նաև վերլուծում ենք պրակտիկայի մի քանի օրինակ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հարաբերությունները աստիճանների և ռադիանների միջև

Աստիճանների և ռադիանների միջև հարաբերություններ հաստատելու համար դուք պետք է իմանաք անկյան աստիճանը և ռադիանի չափը: Օրինակ՝ վերցնենք կենտրոնական անկյուն, որը հիմնված է r շառավղով շրջանագծի տրամագծի վրա: Այս անկյան ճառագայթային չափումը հաշվարկելու համար հարկավոր է աղեղի երկարությունը բաժանել շրջանագծի շառավղի երկարության վրա։ Դիտարկվող անկյունը համապատասխանում է աղեղի երկարությանը, որը հավասար է π · r շրջանագծի երկարության կեսին: Աղեղի երկարությունը բաժանեք շառավղով և ստացեք անկյան ճառագայթային չափը՝ π · r r = π rad:

Այսպիսով, խնդրո առարկա անկյունը π ռադիան է: Մյուս կողմից, դա ուղիղ անկյուն է, որը հավասար է 180°-ի։ Ուստի 180° = π rad:

Աստիճանների կապը ռադիանների հետ

Ռադիանների և աստիճանների միջև կապն արտահայտվում է բանաձևով

π ռադիաններ = 180°

Ռադիանները աստիճանների փոխարկելու բանաձևեր և հակառակը

Վերևում ստացված բանաձևից կարելի է ստանալ այլ բանաձևեր՝ անկյունները ռադիանից աստիճանի և աստիճանից ռադիանի փոխակերպելու համար։

Մեկ ռադիանը արտահայտե՛ք աստիճաններով: Դա անելու համար շառավիղի ձախ և աջ մասերը բաժանում ենք pi-ով:

1 ռադ \u003d 180 π ° - 1 ռադիանում անկյան աստիճանի չափումը 180 պ է:

Կարող եք նաև մեկ աստիճան արտահայտել ռադիաններով:

1 ° = π 180 ռ ա դ

Դուք կարող եք կատարել անկյունների արժեքների մոտավոր հաշվարկներ ռադիաններով և հակառակը: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք π թվի արժեքները մինչև տասը հազարերորդական և դրանք փոխարինում ստացված բանաձևերում:

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Այսպիսով, մեկ ռադիանում կա մոտ 57 աստիճան:

1 ° = π 180 ռադ = 3,1416 180 ռադ = 0,0175 ռադ

Մեկ աստիճանը պարունակում է 0,0175 ռադիան:

Ռադիանները աստիճանների փոխարկելու բանաձևը

x ra d = x 180 π °

Անկյունը ռադիանից աստիճանի փոխարկելու համար անկյունը ռադիաններով բազմապատկեք 180-ով և բաժանեք pi-ի:

Աստիճանները ռադիանի և ռադիանները աստիճանների վերածելու օրինակներ

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1. Ռադիաններից աստիճանների փոխակերպում

Թող α = 3, 2 ռադ: Դուք պետք է իմանաք այս անկյան աստիճանի չափը:

Եկեք նայենք նկարին։ \(AB \) վեկտորը \(A \) կետի նկատմամբ «շրջվել» է որոշակի քանակությամբ։ Այսպիսով, այս պտույտի չափը նախնական դիրքի համեմատ կլինի անկյուն \(\ալֆա\).

Էլ ի՞նչ պետք է իմանաք անկյուն հասկացության մասին: Դե, անկյան միավորներ, իհարկե։

Անկյունը և՛ երկրաչափության, և՛ եռանկյունաչափության մեջ կարելի է չափել աստիճաններով և ռադիաններով:

\(1()^\circ \) (մեկ աստիճան) անկյունը շրջանագծի կենտրոնական անկյուն է, որը հիմնված է շրջանաձև աղեղի վրա, որը հավասար է շրջանագծի \(\dfrac(1)(360) \) մասին:

Այսպիսով, ամբողջ շրջանը կազմված է \(360 \) «կտորներից» շրջանաձև կամարներից, կամ շրջանագծի նկարագրած անկյունը \(360()^\circ \) է:

Այսինքն՝ վերևի նկարը ցույց է տալիս \(\beta \) անկյունը, որը հավասար է \(50()^\circ \)-ին, այսինքն՝ այս անկյունը հիմնված է \(\dfrac(50)(360) չափի շրջանաձև աղեղի վրա։ ) \) շրջագծի.

\(1 \) ռադիաններով անկյունը շրջանագծի կենտրոնական անկյուն է, որը հիմնված է շրջանաձև աղեղի վրա, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին։

Այսպիսով, նկարում պատկերված է \(\գամմա \) անկյունը, որը հավասար է \(1 \) ռադիանի, այսինքն, այս անկյունը հիմնված է շրջանաձև աղեղի վրա, որի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին (երկարությունը \ (AB \) հավասար է \(BB" \) երկարությանը կամ \(r \) շառավիղը հավասար է աղեղի երկարությանը \(l \) ) Այսպիսով, աղեղի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով.

\(l=\theta \cdot r \) , որտեղ \(\theta \) կենտրոնական անկյունն է ռադիաններով:

Դե, իմանալով սա, կարո՞ղ եք պատասխանել, թե քանի ռադիան է պարունակում շրջանով նկարագրված անկյուն: Այո, դրա համար անհրաժեշտ է հիշել շրջանագծի շրջագծի բանաձեւը։ Ահա նա.

\(L=2\pi \cdot r\)

Դե, հիմա եկեք փոխկապակցենք այս երկու բանաձևերը և ստանանք, որ շրջանագծի նկարագրած անկյունը \(2\pi \) է: Այսինքն, արժեքը աստիճաններով և ռադիաններով փոխկապակցելով՝ մենք ստանում ենք, որ \(2\pi =360()^\circ \) . Համապատասխանաբար, \(\pi =180()^\circ \) . Ինչպես տեսնում եք, ի տարբերություն «աստիճանների», «ռադիան» բառը բաց է թողնվում, քանի որ չափման միավորը սովորաբար պարզ է համատեքստից։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներտարրական ֆունկցիաներ են, որոնց արգումենտն է ներարկում. Միջոցով եռանկյունաչափական ֆունկցիաներնկարագրում է կողմերի հարաբերությունները և սուր անկյուններուղղանկյուն եռանկյունու մեջ. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման ոլորտները չափազանց բազմազան են։ Այսպիսով, օրինակ, ցանկացած պարբերական գործընթաց կարող է ներկայացվել որպես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումար (Ֆուրիեի շարք): Այս ֆունկցիաները հաճախ հայտնվում են դիֆերենցիալ և ֆունկցիոնալ հավասարումներ լուծելիս։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներառում են հետևյալ 6 ֆունկցիաները. սինուս, կոսինուս, շոշափող, կոտանգենս, հատվածև զուգորդող. Այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի համար կա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական սահմանումը հարմար կերպով ներկայացվում է օգտագործելով միավոր շրջան. Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս շառավղով շրջան r= 1. Շրջանակի վրա կետ է նշվում Մ(x, y): Անկյուն շառավիղի վեկտորի միջև Օ.Մև դրական առանցքի ուղղությունը Եզհավասար է α .

սինուսանկյուն α yմիավորներ Մ(x, y) դեպի շառավիղ r: մեղք α = y/r. Այնքանով, որքանով r= 1, ապա սինուսը հավասար է կետի օրդինատին Մ(x, y).

կոսինուսանկյուն α xմիավորներ Մ(x, y) դեպի շառավիղ r՝ cos α = x/r = x

շոշափողանկյուն α կոչվում է օրդինատի հարաբերակցություն yմիավորներ Մ(x, y) իր աբսցիսային x:թան α = y/x, x ≠ 0

Կոտանգենսանկյուն α կոչվում է աբսցիսայի հարաբերակցություն xմիավորներ Մ(x, y) իր կարգադրությանը y: կատու α = x/y, y ≠ 0

Սեկանտանկյուն α շառավիղի հարաբերակցությունն է rաբսցիսային xմիավորներ Մ(x, y): վրկ α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Cosecantանկյուն α շառավիղի հարաբերակցությունն է rձեռնադրողին yմիավորներ Մ(x, y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Մեկ պրոյեկցիոն շրջանակում x, yմիավորներ Մ(x, y) և շառավիղը rկազմել ուղղանկյուն եռանկյուն, որում x, yեն ոտքերը, և r- հիպոթենուզա. Հետևաբար, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերը նշված սահմանումները, որոնք կիրառվում են ուղղանկյուն եռանկյունու նկատմամբ, ձևակերպված են հետևյալ կերպ. սինուսանկյուն α հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է: կոսինուսանկյուն α հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է: շոշափողանկյուն α կոչվում է հակառակ ոտքը հարակից. Կոտանգենսանկյուն α կոչեց հարակից ոտքը դեպի հակառակը:

սինուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ y= մեղք x, տիրույթ: x ∈ ℜ , միջակայք՝ −1 ≤ sin x ≤ 1

Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ y= cos x, տիրույթ: x ∈ ℜ , միջակայք՝ −1 ≤ cos x ≤ 1

շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկ y= ttg x, տիրույթ: x ∈ ℜ , x ≠ (2կ + 1)π /2, միջակայք՝ −∞< tg x < ∞

Կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը y=ctg x, տիրույթ: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, միջակայք՝ −∞< ctg x < ∞