Այսպես կոչված ձևի հավասարումներ, որտեղ անհայտը գտնվում է և՛ աստիճանի ցուցիչում, և՛ հիմքում:

Դուք կարող եք նշել ձևի հավասարման լուծման լիովին հստակ ալգորիթմ: Սրա համար պետք է ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ օ)ոչ զրո, մեկ և մինուս մեկ, նույն հիմքերով աստիճանների հավասարությունը (դրական թե բացասական) հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե ցուցանիշները հավասար են, այսինքն՝ հավասարման բոլոր արմատները կլինեն հավասարման արմատները։ f(x) = g(x)Հակառակ պնդումը ճիշտ չէ, եթե օ)< 0 և կոտորակային արժեքներ f(x)և g(x)արտահայտությունները օ) f(x) և

օ) g(x) կորցնում են իրենց նշանակությունը. Այսինքն, երբ գնալով f(x) = g(x)(համար և կողմնակի արմատներ կարող են հայտնվել, որոնք պետք է բացառել՝ ստուգելով սկզբնական հավասարման համաձայն։ Իսկ դեպքերը. a = 0, a = 1, a = -1պետք է դիտարկել առանձին:

Այսպիսով, հավասարման ամբողջական լուծման համար մենք դիտարկում ենք դեպքերը.

a(x) = 0 f(x)և g(x)դրական թվեր են, ուրեմն սա է լուծումը։ Հակառակ դեպքում՝ ոչ

a(x) = 1. Այս հավասարման արմատները նույնպես սկզբնական հավասարման արմատներն են։

a(x) = -1. Եթե ​​x-ի արժեքի համար, որը բավարարում է այս հավասարումը, f(x)և g(x)նույն հավասարության ամբողջ թվեր են (կամ երկուսն էլ զույգ են, կամ երկուսն էլ կենտ), ապա սա է լուծումը: Հակառակ դեպքում՝ ոչ

Համար և լուծում ենք հավասարումը f(x)=g(x)և ստացված արդյունքները փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ կտրում ենք կողմնակի արմատները։

Էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումների լուծման օրինակներ.

Օրինակ #1.

1) x - 3 = 0, x = 3. քանի որ 3 > 0 և 3 2 > 0, ապա x 1 = 3 լուծումն է:

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Երկու ցուցանիշներն էլ հավասար են: Սա լուծում է x 3 = 1:

4) x - 3? 0 և x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 կամ x \u003d 1: x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, այս լուծումը x 4 \u003d 0 է: u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - այս լուծումը ճիշտ է x 5 = 1:

Պատասխան՝ 0, 1, 2, 3, 4:

Օրինակ #2.

Թվաբանության սահմանմամբ քառակուսի արմատ: x - 1 ? 0, x? մեկ.

1) x - 1 = 0 կամ x = 1, = 0, 0 0 լուծում չէ:

2) x - 1 = 1 x 1 = 2:

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 չի տեղավորվում ODZ-ում:

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - արմատներ չկան:

Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում. Օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Ինչ էքսպոնենցիալ հավասարում? Սա այն հավասարումն է, որում անհայտները (x) և նրանց հետ արտահայտությունները գտնվում են ցուցանիշներըորոշ աստիճաններ. Եվ միայն այնտեղ! Դա կարեւոր է.

Ահա դու ես էքսպոնենցիալ հավասարումների օրինակներ:

3 x 2 x = 8 x + 3

Նշում! Աստիճանների հիմքերում (ներքևում) - միայն թվեր. AT ցուցանիշներըաստիճաններ (վերևում) - x-ով արտահայտությունների լայն տեսականի: Եթե, հանկարծ, x հայտնվի հավասարման մեջ որևէ այլ տեղ, քան ցուցիչը, օրինակ.

սա կլինի հավասարումը խառը տեսակ. Նման հավասարումները չունեն լուծման հստակ կանոններ։ Մենք դրանք առայժմ չենք դիտարկի։ Այստեղ մենք կզբաղվենք էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծումիր ամենամաքուր տեսքով:

Իրականում նույնիսկ մաքուր էքսպոնենցիալ հավասարումներմիշտ չէ, որ հստակ սահմանված են: Բայց կան որոշակի տեսակներէքսպոնենցիալ հավասարումներ, որոնք կարող են և պետք է լուծվեն: Սրանք այն տեսակներն են, որոնք մենք կդիտարկենք:

Պարզագույն էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում.

Սկսենք մի շատ հիմնական բանից: Օրինակ:

Նույնիսկ առանց որևէ տեսության, պարզ ընտրությամբ պարզ է դառնում, որ x = 2: Ոչ ավելին, այնպես չէ՞: X արժեքի այլ գլանակներ չկան: Եվ հիմա եկեք նայենք այս բարդ էքսպոնենցիալ հավասարման լուծմանը.

Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք, փաստորեն, պարզապես դուրս ենք նետել նույն հատակները (եռյակները): Ամբողջովին դուրս շպրտված։ Եվ, ինչ հաճելի է, նշեք:

Իսկապես, եթե ձախ և աջ կողմում գտնվող էքսպոնենցիալ հավասարման մեջ կան նույնըթվեր ցանկացած աստիճանի, այդ թվերը կարող են հեռացվել և հավասար ցուցիչներ: Մաթեմատիկան թույլ է տալիս։ Մնում է լուծել շատ ավելի պարզ հավասարում. Լավ է, չէ՞)

Այնուամենայնիվ, հեգնանքով հիշենք. Դուք կարող եք հեռացնել հիմքերը միայն այն դեպքում, երբ ձախ և աջ բազային համարները հիանալի մեկուսացված են:Առանց հարևանների ու գործակիցների։ Հավասարումների մեջ ասենք.

2 x +2 x + 1 = 2 3, կամ

Դուք չեք կարող հեռացնել կրկնակի!

Դե, մենք յուրացրել ենք ամենակարեւորը. Ինչպես չար էքսպոնենցիոնալ արտահայտություններից անցնել ավելի պարզ հավասարումների:

«Ահա այդ ժամանակները»: - դու ասում ես. «Վերահսկողության ու քննությունների վրա ո՞վ կտա նման պրիմիտիվ։

Ստիպված համաձայնել. Ոչ ոք չի անի: Բայց հիմա դուք գիտեք, թե ուր գնալ, երբ լուծում եք շփոթեցնող օրինակներ: Հարկավոր է հիշել այն, երբ նույն բազային համարը ձախ կողմում է՝ աջ։ Այդ դեպքում ամեն ինչ ավելի հեշտ կլինի։ Իրականում սա մաթեմատիկայի դասականն է։ Մենք վերցնում ենք բնօրինակ օրինակը և փոխակերպում այն ​​ցանկալիին մեզմիտք. Մաթեմատիկայի կանոններով, իհարկե։

Դիտարկենք օրինակներ, որոնք լրացուցիչ ջանքեր են պահանջում՝ դրանք հասցնելու ամենապարզին: Եկեք նրանց կանչենք պարզ էքսպոնենցիալ հավասարումներ.

Պարզ էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում. Օրինակներ.

Էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելիս հիմնական կանոններն են լիազորություններով գործողություններ.Առանց այդ գործողությունների իմացության, ոչինչ չի ստացվի:

Աստիճաններով գործողություններին պետք է ավելացնել անձնական դիտողականությունն ու հնարամտությունը։ Արդյո՞ք մեզ անհրաժեշտ են նույն բազային համարները: Այսպիսով, մենք փնտրում ենք դրանք օրինակում բացահայտ կամ կոդավորված ձևով:

Տեսնենք, թե ինչպես է դա արվում գործնականում:

Եկեք մեզ օրինակ բերենք.

2 2x - 8 x+1 = 0

Առաջին հայացքից հիմքերը.Նրանք... Նրանք տարբեր են։ Երկու և ութ. Բայց դեռ վաղ է հուսահատվելու համար: Ժամանակն է հիշել դա

Երկուսը և ութը աստիճանով հարազատ են:) Միանգամայն հնարավոր է գրել.

8 x+1 = (2 3) x+1

Եթե ​​հիշենք ուժերով գործողությունների բանաձևը.

(a n) m = a nm,

այն ընդհանուր առմամբ հիանալի է աշխատում.

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Բնօրինակ օրինակն այսպիսի տեսք ունի.

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Մենք փոխանցում ենք 2 3 (x+1)դեպի աջ (ոչ ոք չեղարկեց մաթեմատիկայի տարրական գործողությունները), մենք ստանում ենք.

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Դա գործնականում բոլորն է: Հիմքերի հեռացում.

Մենք լուծում ենք այս հրեշին և ստանում

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Այս օրինակում երկուսի ուժերն իմանալն օգնեց մեզ դուրս գալ: Մենք բացահայտվածութում, կոդավորված դյուզը: Այս տեխնիկան (ընդհանուր հիմքերի գաղտնագրում տարբեր թվեր) շատ տարածված տեխնիկա է էքսպոնենցիալ հավասարումների մեջ: Այո, նույնիսկ լոգարիթմներով: Պետք է կարողանալ թվերի մեջ ճանաչել այլ թվերի ուժերը։ Սա չափազանց կարևոր է էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման համար։

Փաստն այն է, որ որեւէ թիվ որեւէ ուժի հասցնելը խնդիր չէ։ Բազմապատկեք, նույնիսկ թղթի վրա, և վերջ: Օրինակ՝ բոլորը կարող են 3-ը հասցնել հինգերորդ իշխանության։ 243-ը կստացվի, եթե իմանաք բազմապատկման աղյուսակը:) Բայց էքսպոնենցիալ հավասարումների մեջ շատ ավելի հաճախ անհրաժեշտ է ոչ թե բարձրացնել մինչև մի ուժ, այլ հակառակը ... ինչ թիվ ինչ չափովթաքնվում է 243 թվի հետևում, կամ, ասենք, 343... Այստեղ ոչ մի հաշվիչ չի օգնի։

Դուք պետք է իմանաք որոշ թվերի ուժերը հայացքով, այո ... Պարապե՞նք:

Որոշեք, թե ինչ ուժեր և ինչ թվեր են թվերը.

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Պատասխաններ (խառնաշփոթ, իհարկե):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Եթե ​​ուշադիր նայեք, կարող եք տեսնել տարօրինակ փաստ. Ավելի շատ պատասխաններ կան, քան հարցեր: Դե, պատահում է... Օրինակ՝ 2 6, 4 3, 8 2-ը ամբողջ 64-ն է։

Ենթադրենք, դուք ի գիտություն եք ընդունել թվերի ծանոթության մասին տեղեկությունները։) Հիշեցնեմ նաև, որ էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելու համար դիմում ենք. ամբողջըմաթեմատիկական գիտելիքների պաշար. Այդ թվում՝ ցածր-միջին խավերից։ Չէ՞ որ դու անմիջապես ավագ դպրոց չես գնացել:

Օրինակ, էքսպոնենցիալ հավասարումներ լուծելիս շատ հաճախ օգնում է ընդհանուր գործակիցը փակագծերից դուրս դնելը (բարև 7-րդ դասարան): Տեսնենք մի օրինակ.

3 2x+4 -11 9 x = 210

Եվ կրկին, առաջին հայացքը - հիմքերի վրա: Աստիճանների հիմքերը տարբեր են ... Երեք և ինը: Եվ մենք ցանկանում ենք, որ նրանք նույնը լինեն: Դե, այս դեպքում ցանկությունը միանգամայն իրագործելի է։) Որովհետև.

9 x = (3 2) x = 3 2x

Համաձայն աստիճաններով գործողությունների նույն կանոնների.

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Դա հիանալի է, կարող եք գրել.

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Նույն պատճառներով օրինակ բերեցինք. Այսպիսով, ինչ է հաջորդը: Եռյակը չի կարելի դուրս նետել ... Փակուղի՞ն:

Ընդհանրապես. Հիշելով որոշման ամենահամընդհանուր և հզոր կանոնը բոլորըմաթեմատիկական առաջադրանքներ.

Եթե ​​չգիտես ինչ անել, արա այն, ինչ կարող ես:

Նայում ես, ամեն ինչ ձևավորվում է):

Ինչ է այս էքսպոնենցիալ հավասարման մեջ կարող էանել? Այո, ձախ կողմը ուղղակիորեն խնդրում է փակագծեր: 3 2x ընդհանուր գործակիցը հստակորեն հուշում է այս մասին: Եկեք փորձենք, և հետո կտեսնենք.

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Օրինակը գնալով ավելի ու ավելի լավանում է:

Հիշում ենք, որ հիմքերը վերացնելու համար անհրաժեշտ է մաքուր աստիճան՝ առանց որևէ գործակիցի։ 70 թիվը մեզ խանգարում է. Այսպիսով, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 70-ի, ստանում ենք.

Օփ-պա՜ Ամեն ինչ լավ է եղել:

Սա վերջնական պատասխանն է։

Պատահում է, սակայն, որ նույն հիմունքներով տաքսի դուրս գալը ստացվում է, իսկ դրանց լուծարում՝ ոչ։ Դա տեղի է ունենում մեկ այլ տեսակի էքսպոնենցիալ հավասարումների մեջ: Եկեք ստանանք այս տեսակը.

Փոփոխականի փոփոխություն էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման ժամանակ: Օրինակներ.

Եկեք լուծենք հավասարումը.

4 x - 3 2 x +2 = 0

Առաջին - ինչպես միշտ: Անցնենք հիմքին։ Դեպի դյուցազուն.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Մենք ստանում ենք հավասարումը.

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Եվ ահա մենք կկախենք: Նախորդ հնարքները չեն աշխատի, անկախ նրանից, թե ինչպես եք այն շրջում։ Մենք պետք է մեկ այլ հզոր և բազմակողմանի միջոցի զինանոցից դուրս գանք: Դա կոչվում է փոփոխական փոխարինում.

Մեթոդի էությունը զարմանալիորեն պարզ է. Մեկ բարդ պատկերակի փոխարեն (մեր դեպքում՝ 2 x), մենք գրում ենք մեկ այլ՝ ավելի պարզ (օրինակ՝ t): Նման թվացող անիմաստ փոխարինումը հանգեցնում է զարմանալի արդյունքների:) Ամեն ինչ պարզապես պարզ և հասկանալի է դառնում:

Ուրեմն թող

Այնուհետև 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Մեր հավասարման մեջ բոլոր հզորությունները x-ներով փոխարինում ենք t-ով.

Դե, լուսանում է?) Դեռ չե՞ք մոռացել քառակուսի հավասարումները։ Մենք լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով, ստանում ենք.

Այստեղ գլխավորը կանգ չառնելն է, ինչպես դա տեղի է ունենում... Սա դեռ պատասխանը չէ, մեզ x է պետք, ոչ թե t։ Մենք վերադառնում ենք Xs, այսինքն. փոխարինում կատարելով. Առաջինը t 1-ի համար:

Այն է,

Հայտնաբերվել է մեկ արմատ. Մենք փնտրում ենք երկրորդը, t 2-ից:

Հըմ... Ձախ 2 x, Աջ 1... Խո՞նց: Այո, բնավ ոչ։ Բավական է հիշել (աստիճաններով գործողություններից, այո ...), որ միասնությունն է ցանկացածթիվը զրոյի: Ցանկացած. Ինչ պետք է, մենք այն կդնենք։ Մեզ երկուսն է պետք։ Նշանակում է.

Հիմա այսքանը: Ստացել է 2 արմատ.

Սա է պատասխանը։

ժամը էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծումվերջում երբեմն ինչ-որ անհարմար արտահայտություն է ստացվում. Տիպ:

Յոթից, պարզ աստիճանի միջով անցումը չի աշխատում: Նրանք հարազատներ չեն... Ինչպե՞ս կարող եմ այստեղ լինել: Ինչ-որ մեկը կարող է շփոթվել ... Բայց այն մարդը, ով կարդում է այս կայքում «Ի՞նչ է լոգարիթմը» թեման: , միայն խնայողաբար ժպտացեք և ամուր ձեռքով գրեք բացարձակ ճիշտ պատասխանը.

Քննության «B» առաջադրանքներում նման պատասխան չի կարող լինել։ Պահանջվում է կոնկրետ թիվ։ Բայց առաջադրանքներում «C» - հեշտությամբ:

Այս դասը տալիս է ամենատարածված էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման օրինակներ: Առանձնացնենք գլխավորը.

Գործնական խորհուրդներ:

1. Առաջին հերթին մենք նայում ենք հիմքերըաստիճաններ։ Եկեք տեսնենք, թե արդյոք դրանք չեն կարող կատարվել նույնը.Փորձենք դա անել՝ ակտիվորեն օգտագործելով լիազորություններով գործողություններ.Մի մոռացեք, որ առանց x թվերը նույնպես կարող են աստիճանների վերածվել:

2. Փորձում ենք էքսպոնենցիալ հավասարումը բերել այն ձևի, երբ ձախ և աջը գտնվում են նույնըթվեր ցանկացած աստիճանի: Մենք օգտագործում ենք լիազորություններով գործողություններև ֆակտորիզացիա.Ինչ կարելի է հաշվել թվերով - մենք հաշվում ենք:

3. Եթե երկրորդ խորհուրդը չաշխատեց, մենք փորձում ենք կիրառել փոփոխականի փոխարինումը։ Արդյունքը կարող է լինել հեշտությամբ լուծվող հավասարում: Ամենից հաճախ - քառակուսի: Կամ կոտորակային, որը նույնպես նվազեցնում է քառակուսու:

4. Էքսպոնենցիալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար պետք է «տեսքով» իմանալ որոշ թվերի աստիճանները։

Սովորականի պես դասի վերջում ձեզ հրավիրում են մի փոքր լուծելու։) Ինքնուրույն։ Պարզից մինչև բարդ:

Լուծեք էքսպոնենցիալ հավասարումներ.

Ավելի դժվար.

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Գտեք արմատների արտադրանքը.

2 3-x + 2 x = 9

Տեղի է ունեցել?

Դե ուրեմն ամենադժվար օրինակը(որոշեց, այնուամենայնիվ, մտքում ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ի՞նչն է ավելի հետաքրքիր: Ապա ահա ձեզ համար վատ օրինակ. Բավականին ձգում է ավելացած դժվարությամբ: Ակնարկեմ, որ այս օրինակում խնայում է հնարամտությունը և բոլոր մաթեմատիկական առաջադրանքները լուծելու ամենահամընդհանուր կանոնը։)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Օրինակը ավելի պարզ է, հանգստանալու համար).

9 2 x - 4 3 x = 0

Եվ աղանդերի համար: Գտե՛ք հավասարման արմատների գումարը.

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Այո այո! Սա խառը տիպի հավասարում է: Ինչը մենք չենք հաշվի առել այս դասում: Իսկ ի՞նչ դիտարկել դրանք, դրանք պետք է լուծել։) Այս դասը բավական է հավասարումը լուծելու համար։ Դե, հնարամտություն է պետք ... Եվ այո, յոթերորդ դասարանը կօգնի ձեզ (սա հուշում է):

Պատասխաններ (խառնաշփոթ, բաժանված կիսատ-ստորակետներով).

մեկ; 2; 3; 4; լուծումներ չկան; 2; -2; -5; 4; 0.

Ամեն ինչ հաջողվա՞ծ է: Լավ:

Խնդիր կա? Ոչ մի խնդիր! Հատուկ 555 բաժնում այս բոլոր էքսպոնենցիալ հավասարումները լուծվում են մանրամասն բացատրություններով: Ինչ, ինչու և ինչու: Եվ, իհարկե, կա լրացուցիչ արժեքավոր տեղեկատվություն բոլոր տեսակի էքսպոնենցիալ հավասարումների հետ աշխատելու վերաբերյալ: Ոչ միայն սրանցով։)

Մի վերջին զվարճալի հարց, որը պետք է հաշվի առնել: Այս դասում մենք աշխատեցինք էքսպոնենցիալ հավասարումների հետ: Ինչու ես այստեղ մի բառ չասացի ՕՁ-ի մասին։Հավասարումների մեջ սա շատ կարևոր բան է, ի դեպ ...

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

էքսպոնենցիալ հավասարումներ։ Ինչպես գիտեք, USE-ն ներառում է պարզ հավասարումներ։ Մենք արդեն դիտարկել ենք մի քանիսը. սրանք լոգարիթմական, եռանկյունաչափական, ռացիոնալ են: Ահա էքսպոնենցիալ հավասարումներ.

Վերջերս մի հոդվածում մենք աշխատեցինք էքսպոնենցիալ արտահայտությունների հետ, դա օգտակար կլինի: Հավասարումներն ինքնին լուծվում են պարզ և արագ: Պահանջվում է միայն իմանալ ցուցիչների հատկությունները և ... Այս մասինՀետագա.

Մենք թվարկում ենք ցուցիչների հատկությունները.

Ցանկացած թվի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի։

Այս հատկության հետևանքը.

Մի քիչ ավելի տեսություն.

Էքսպոնենցիալ հավասարումը ցուցիչում փոփոխական պարունակող հավասարումն է, այսինքն՝ այս հավասարումը ունի հետևյալ ձևը.

զ(x) արտահայտություն, որը պարունակում է փոփոխական

Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդներ

1. Փոխակերպումների արդյունքում հավասարումը կարող է վերածվել ձևի.

Այնուհետև մենք կիրառում ենք գույքը.

2. Ձևի հավասարում ստանալիս ա զ (x) = բօգտագործվում է լոգարիթմի սահմանումը, ստանում ենք.

3. Փոխակերպումների արդյունքում կարող եք ստանալ ձևի հավասարում.

Լոգարիթմը կիրառվում է.

Արտահայտե՛ք և գտե՛ք x.

Առաջադրանքներում ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ ընտրանքներբավական կլինի օգտագործել առաջին մեթոդը։

Այսինքն՝ անհրաժեշտ է ձախ և աջ մասերը որպես աստիճաններ ներկայացնել նույն հիմքով, իսկ հետո հավասարեցնել ցուցիչները և լուծել սովորական գծային հավասարումը։

Դիտարկենք հավասարումները.

Գտեք 4-րդ հավասարման արմատը 1-2x = 64:

Պետք է համոզվել, որ ձախ և աջ մասերում նույն հիմքով արտահայտված արտահայտություններ կան։ Մենք կարող ենք 64-ը ներկայացնել որպես 4՝ 3-ի չափով: Ստանում ենք.

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

- 2x = 2

x = - 1

Փորձաքննություն:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Պատասխան՝ -1

Գտեք 3-րդ հավասարման արմատը x-18 = 1/9:

Հայտնի է, որ

Այսպիսով, 3 x-18 = 3 -2

Հիմքերը հավասար են, մենք կարող ենք հավասարեցնել ցուցանիշները.

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Փորձաքննություն:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Պատասխան՝ 16

Գտե՛ք հավասարման արմատը.

Ներկայացնենք 1/64 կոտորակը որպես մեկ չորրորդ երրորդ աստիճանի.

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Փորձաքննություն:

Պատասխան՝ 11

Գտե՛ք հավասարման արմատը.

Ներկայացնենք 1/3-ը որպես 3 -1, իսկ 9-ը որպես 3 քառակուսի, կստանանք.

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Այժմ մենք կարող ենք հավասարեցնել ցուցանիշները.

- 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Փորձաքննություն:

Պատասխան՝ 5

26654. Գտի՛ր հավասարման արմատը.

Որոշում:

Պատասխան՝ 8.75

Իսկապես, ինչ ուժով էլ դրական թիվ բարձրացնենք a, մենք ոչ մի կերպ չենք կարող բացասական թիվ ստանալ։

Ցանկացած էքսպոնենցիալ հավասարում համապատասխան փոխակերպումներից հետո վերածվում է մեկ կամ մի քանի պարզերի լուծման:Այս բաժնում մենք կքննարկենք նաև որոշ հավասարումների լուծումը, բաց մի թողեք այն:Այսքանը: Հաջողություն քեզ!

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ։

P.S. Շնորհակալ կլինեմ, եթե սոցիալական ցանցերում պատմեք կայքի մասին:

Դասախոսություն՝ «Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդներ».

1 . էքսպոնենցիալ հավասարումներ։

Ցուցանիշում անհայտներ պարունակող հավասարումները կոչվում են էքսպոնենցիալ հավասարումներ: Դրանցից ամենապարզը ax = b հավասարումն է, որտեղ a > 0 և a ≠ 1:

1) բ< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0-ի դեպքում, օգտագործելով ֆունկցիայի միապաղաղությունը և արմատային թեորեմը, հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այն գտնելու համար b-ն պետք է ներկայացվի որպես b = aс, ax = bс ó x = c կամ x = լոգաբ:

Էքսպոնենցիալ հավասարումները հանրահաշվական փոխակերպումների միջոցով հանգեցնում են ստանդարտ հավասարումների, որոնք լուծվում են հետևյալ մեթոդներով.

1) մեկ բազայի կրճատման մեթոդ.

2) գնահատման մեթոդ.

3) գրաֆիկական մեթոդ.

4) նոր փոփոխականների ներդրման եղանակը.

5) ֆակտորացման եղանակը.

6) էքսպոնենցիալ - հզորության հավասարումներ.

7) էքսպոնենցիալ պարամետրով.

2 . Մեկ հիմքի կրճատման մեթոդ.

Մեթոդը հիմնված է աստիճանների հետևյալ հատկության վրա. եթե երկու աստիճանները հավասար են, և դրանց հիմքերը հավասար են, ապա դրանց ցուցանիշները հավասար են, այսինքն՝ պետք է փորձել հավասարումը հասցնել ձևի։

Օրինակներ. Լուծե՛ք հավասարումը.

1 . 3x=81;

Ներկայացնենք հավասարման աջ կողմը 81 = 34 ձևով և գրենք բնօրինակին համարժեք հավասարումը 3 x = 34; x = 4. Պատասխան՝ 4:

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> և անցեք 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 ցուցիչների հավասարմանը; x = 0,5 Պատասխան՝ 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Նկատի ունեցեք, որ 0.2, 0.04, √5 և 25 թվերը 5-ի ուժեր են: Եկեք օգտվենք դրանից և վերափոխենք սկզբնական հավասարումը հետևյալ կերպ.

, որտեղից 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, որից գտնում ենք x = -1 լուծումը։ Պատասխան՝ -1.

5. 3x = 5. Լոգարիթմի սահմանմամբ x = log35: Պատասխան՝ log35:

6. 62x+4 = 33x: 2x+8.

Վերագրենք հավասարումը որպես 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, այսինքն..png" width="181" height="49 src="> Հետևաբար x - 4 =0, x = 4: Պատասխան՝ 4:

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Օգտագործելով հզորությունների հատկությունները, հավասարումը գրում ենք e.x+1 = 2, x =1. Պատասխան՝ 1.

No1 առաջադրանքների բանկ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Թիվ 1 թեստ.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3:	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) արմատներ չկան
	1) 7;1 2) արմատներ չկան 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Թեստ թիվ 2

Ա1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) առանց արմատների 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Գնահատման մեթոդ.

Արմատային թեորեմԵթե ​​f (x) ֆունկցիան մեծանում (նվազում է) I միջակայքում, a թիվը ցանկացած արժեք է, որը վերցված է f-ով այս միջակայքում, ապա f (x) = a հավասարումը ունի մեկ արմատ I միջակայքի վրա:

Գնահատման մեթոդով հավասարումներ լուծելիս օգտագործվում են այս թեորեմը և ֆունկցիայի միապաղաղության հատկությունները։

Օրինակներ. Լուծել հավասարումներ. 1. 4x = 5 - x.

Որոշում. Եկեք վերագրենք հավասարումը որպես 4x + x = 5:

1. եթե x \u003d 1, ապա 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ճիշտ է, ապա 1-ը հավասարման արմատն է:

F(x) = 4x ֆունկցիան մեծանում է R-ի վրա, իսկ g(x) = x-ը մեծանում է R => h(x)= f(x)+g(x)-ը մեծանում է R-ում որպես աճող ֆունկցիաների գումար, ուստի x = 1-ը 4x = 5 – x հավասարման միակ արմատն է: Պատասխան՝ 1.

2.

Որոշում. Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով .

1. եթե x = -1, ապա , 3 = 3-ճշմարիտ, ուստի x = -1 հավասարման արմատն է:

2. ապացուցել, որ այն եզակի է.

3. F(x) = - ֆունկցիան նվազում է R-ի վրա, իսկ g(x) = - x - նվազում է R => h(x) = f(x) + g(x) - նվազում է R-ի վրա, որպես գումար. նվազող գործառույթների. Այսպիսով, ըստ արմատի թեորեմի, x = -1 հավասարման միակ արմատն է: Պատասխան՝ -1.

No2 առաջադրանքների բանկ. լուծել հավասարումը

ա) 4x + 1 = 6 - x;

բ)

գ) 2x – 2 =1 – x;

4. Նոր փոփոխականների ներդրման մեթոդ.

Մեթոդը նկարագրված է 2.1 բաժնում: Նոր փոփոխականի (փոխարինման) ներդրումը սովորաբար իրականացվում է հավասարման պայմանների փոխակերպումներից (պարզեցումից) հետո։ Դիտարկենք օրինակներ։

Օրինակներ. Ռուտել հավասարում. 1. .

Եկեք վերագրենք հավասարումը այլ կերպ՝ https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> այսինքն..png" width="210" height = «45»>

Որոշում. Եկեք վերագրենք հավասարումը այլ կերպ.

Նշեք https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - հարմար չէ:

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - իռացիոնալ հավասարում. Մենք նշում ենք, որ

Հավասարման լուծումը x = 2,5 ≤ 4 է, ուստի 2,5-ը հավասարման արմատն է: Պատասխան՝ 2.5.

Որոշում. Եկեք վերագրենք հավասարումը ձևով և երկու կողմերը բաժանենք 56x+6 ≠ 0-ի։ Ստանում ենք հավասարումը.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, այսպես..png" width="118" height="56">

Քառակուսային հավասարման արմատները՝ t1 = 1 և t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Որոշում . Մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով

և նշենք, որ դա երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում է:

Հավասարումը բաժանեք 42x-ի, ստացվում է

Փոխարինեք https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">:

Պատասխան՝ 0; 0.5.

Առաջադրանքների բանկ #3. լուծել հավասարումը

բ)

է)

Թեստ թիվ 3 պատասխանների ընտրությամբ: Նվազագույն մակարդակ.

Ա1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0:	1) 2;1 2) -1;0 3) արմատներ չկան 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0:	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) արմատներ չկան 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Թեստ թիվ 4 պատասխանների ընտրությամբ: Ընդհանուր մակարդակ.

Ա1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) արմատներ չկան

5. Ֆակտորացման մեթոդ.

1. Լուծե՛ք հավասարումը` 5x+1 - 5x-1 = 24:

Լուծում..png" width="169" height="69"> , որտեղից

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2:

Որոշում. Եկեք հավասարման ձախ կողմում հանենք 6x, իսկ աջ կողմում՝ 2x։ Ստանում ենք 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x հավասարումը։

Քանի որ բոլոր x-ի համար 2x >0, մենք կարող ենք այս հավասարման երկու կողմերը բաժանել 2x-ի` առանց լուծումները կորցնելու վախի: Մենք ստանում ենք 3x = 1- x = 0:

3.

Որոշում. Հավասարումը լուծում ենք ֆակտորինգով։

Ընտրում ենք երկանդամի քառակուսին

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 հավասարման արմատն է:

Հավասարում x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19:

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Թեստ թիվ 6 Ընդհանուր մակարդակ.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Էքսպոնենցիալ - հզորության հավասարումներ:

Էքսպոնենցիալ հավասարումներին կից են, այսպես կոչված, էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումները, այսինքն՝ (f(x))g(x) = (f(x))h(x) ձևի հավասարումները:

Եթե ​​հայտնի է, որ f(x)>0 և f(x) ≠ 1, ապա հավասարումը, ինչպես և էքսպոնենցիալը, լուծվում է g(x) = f(x) ցուցիչները հավասարեցնելով:

Եթե ​​պայմանը չի բացառում f(x)=0 և f(x)=1-ի հնարավորությունը, ապա մենք պետք է հաշվի առնենք այս դեպքերը էքսպոնենցիալ հզորության հավասարումը լուծելիս։

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Որոշում. x2 +2x-8 - իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար, քանի որ բազմանդամ է, ուստի հավասարումը համարժեք է բազմությանը

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

բ)

7. Էքսպոնենցիալ հավասարումներ պարամետրերով.

1. p պարամետրի ինչ արժեքների համար ունի 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) հավասարումը: միայն որոշում?

Որոշում. Ներկայացնենք փոփոխությունը 2x = t, t > 0, ապա (1) հավասարումը կունենա t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 ձևը: (2)

(2) հավասարման դիսկրիմինանտն է D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2:

Հավասարումը (1) ունի եզակի լուծում, եթե (2) հավասարումը ունի մեկ դրական արմատ: Դա հնարավոր է հետևյալ դեպքերում.

1. Եթե D = 0, այսինքն՝ p = 1, ապա (2) հավասարումը կունենա t2 – 2t + 1 = 0 ձև, հետևաբար t = 1, հետևաբար, (1) հավասարումը ունի x = 0 եզակի լուծում։

2. Եթե p1, ապա 9(p – 1)2 > 0, ապա (2) հավասարումը ունի երկու տարբեր արմատ t1 = p, t2 = 4p – 3. Համակարգերի բազմությունը բավարարում է խնդրի պայմանը.

Փոխարինելով t1 և t2 համակարգերը, մենք ունենք

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Որոշում. Թող լինի ապա (3) հավասարումը կունենա t2 – 6t – a = 0 ձև: (4)

Եկեք գտնենք a պարամետրի արժեքները, որոնց համար (4) հավասարման առնվազն մեկ արմատը բավարարում է t > 0 պայմանը:

Ներկայացնենք f(t) = t2 – 6t – a ֆունկցիան: Հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Դեպք 2. (4) հավասարումը ունի եզակի դրական լուծում, եթե

D = 0, եթե a = – 9, ապա (4) հավասարումը կունենա (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1:

Դեպք 3. Բանաձևը (4) ունի երկու արմատ, բայց դրանցից մեկը չի բավարարում t > 0 անհավասարությանը: Սա հնարավոր է, եթե.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Այսպիսով, a 0 հավասարումը (4) ունի մեկ դրական արմատ . Այնուհետև (3) հավասարումը ունի եզակի լուծում

Համար< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Եթե< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
եթե a = – 9, ապա x = – 1;

եթե a  0, ապա

Եկեք համեմատենք (1) և (3) հավասարումների լուծման մեթոդները։ Նկատի ունեցեք, որ (1) հավասարումը լուծելիս այն վերածվել է քառակուսի հավասարման, որի դիսկրիմինանտը լրիվ քառակուսի է. Այսպիսով, (2) հավասարման արմատները անմիջապես հաշվարկվել են քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևով, այնուհետև եզրակացություններ են արվել այդ արմատների վերաբերյալ: Հավասարումը (3) վերածվեց քառակուսի հավասարման (4), որի դիսկրիմինանտը կատարյալ քառակուսի չէ, հետևաբար, (3) հավասարումը լուծելիս խորհուրդ է տրվում օգտագործել թեորեմներ քառակուսի եռանդամի արմատների գտնվելու վայրի վերաբերյալ և. գրաֆիկական մոդել: Նշենք, որ հավասարումը (4) կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով:

Եկեք լուծենք ավելի բարդ հավասարումներ.

Առաջադրանք 3. Լուծե՛ք հավասարումը

Որոշում. ՕՁ՝ x1, x2.

Ներկայացնենք փոխարինող։ Թող 2x = t, t > 0, ապա փոխակերպումների արդյունքում հավասարումը կստանա t2 + 2t – 13 – a = 0 ձև: (*) Գտեք a-ի արժեքները, որոնց համար առնվազն մեկ արմատ (*) հավասարումը բավարարում է t > 0 պայմանը։

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Պատասխան՝ եթե a > - 13, a  11, a  5, ապա եթե a - 13,

a = 11, a = 5, ապա արմատներ չկան:

Մատենագիտություն.

1. Գուզեևի կրթական տեխնոլոգիայի հիմքերը.

2. Գուզեևի տեխնոլոգիա՝ ընդունելությունից մինչև փիլիսոփայություն.

Մ.«Տնօրեն» թիվ 4, 1996 թ

3. Գուզեևը և կրթության կազմակերպչական ձևերը.

4. Գուզեևը և ինտեգրալ կրթական տեխնոլոգիայի պրակտիկան.

Մ. հանրային կրթություն», 2001 թ

5. Գուզեևը դասի ձևերից՝ սեմինար.

Մաթեմատիկան թիվ 2 դպրոցում, 1987 թ., էջ 9 - 11։

6. Սելևկոյի կրթական տեխնոլոգիաներ.

Մ.«Ժողովրդական կրթություն», 1998 թ

7. Էպիշևայի դպրոցականները սովորում են մաթեմատիկա։

Մ.«Լուսավորություն», 1990 թ

8. Իվանովը պատրաստել դասեր - սեմինարներ.

Մաթեմատիկան թիվ 6 դպրոցում, 1990, էջ. 37-40 թթ.

9. Մաթեմատիկայի դասավանդման Սմիրնովյան մոդել.

Մաթեմատիկան թիվ 1 դպրոցում, 1997, էջ. 32-36 թթ.

10. Տարասենկոյի գործնական աշխատանքի կազմակերպման ուղիները.

Մաթեմատիկան թիվ 1 դպրոցում, 1993, էջ. 27 - 28:

11. Անհատական ​​աշխատանքի տեսակներից մեկի մասին.

Մաթեմատիկա թիվ 2 դպրոցում, 1994 թ., էջ 63 - 64։

12. Խազանկին Ստեղծագործական հմտություններդպրոցականներ.

Մաթեմատիկա թիվ 2 դպրոցում, 1989, էջ. տասը.

13. Սկանավի. Հրատարակիչ, 1997 թ

14. et al. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը: Դիդակտիկ նյութերհամար

15. Կրիվոնոգովի առաջադրանքները մաթեմատիկայից.

M. «Առաջին սեպտեմբերի», 2002 թ

16. Չերկասով. Ձեռնարկ ավագ դպրոցի աշակերտների և

ընդունվելով համալսարաններ. «Ա Ս Թ - մամուլի դպրոց», 2002 թ

17. Ժևնյակ՝ բուհ դիմորդների համար։

Մինսկ և ՌԴ «Review», 1996 թ

18. Գրավոր Դ. Մաթեմատիկայի քննությանը նախապատրաստվելը. M. Rolf, 1999 թ

19. և այլն Սովորում ենք լուծել հավասարումներ և անհավասարություններ.

M. «Ինտելեկտ - կենտրոն», 2003 թ

20. և այլն Ուսումնական և ուսումնական նյութեր E G E-ին պատրաստվելու համար.

M. «Ինտելեկտ - կենտրոն», 2003 և 2004 թթ

21 և այլն: CMM-ի տարբերակները. Ռուսաստանի Դաշնության ՊՆ թեստավորման կենտրոն, 2002, 2003 թ

22. Գոլդբերգի հավասարումներ. «Քվանտ» թիվ 3, 1971 թ

23. Volovich M. Ինչպես հաջողությամբ դասավանդել մաթեմատիկա:

Մաթեմատիկա, 1997 թիվ 3։

24 Օկունև դասի համար, երեխաներ: Մ.Լուսավորություն, 1988 թ

25. Յակիմանսկայա - ուղղվածություն դպրոցում:

26. Լիիմետս աշխատում է դասին. M. Գիտելիք, 1975

Այս դասը նախատեսված է նրանց համար, ովքեր նոր են սկսում սովորել էքսպոնենցիալ հավասարումներ։ Ինչպես միշտ, եկեք սկսենք սահմանումից և պարզ օրինակներից:

Եթե ​​դուք կարդում եք այս դասը, ապա ես կասկածում եմ, որ դուք արդեն նվազագույնը հասկանում եք ամենապարզ հավասարումները՝ գծային և քառակուսի. $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ և այլն: Նման կոնստրուկցիաներ լուծել կարողանալը միանգամայն անհրաժեշտ է, որպեսզի «չկախվի» թեմայում, որը կքննարկվի հիմա։

Այսպիսով, էքսպոնենցիալ հավասարումներ: Թույլ տվեք ձեզ մի երկու օրինակ բերել.

\[((2)^(x))=4;\քառակուսի ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\քառակուսի ((9)^(x))=- 3\]

Նրանցից ոմանք կարող են ձեզ ավելի բարդ թվալ, ոմանք, ընդհակառակը, չափազանց պարզ են։ Բայց նրանց բոլորին միավորում է մեկ կարևոր հատկանիշ՝ պարունակում են $f\left(x \right)=((a)^(x))$ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա։ Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք սահմանումը.

Էքսպոնենցիալ հավասարումը ցանկացած հավասարում է, որը պարունակում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, այսինքն. $((a)^(x))$ ձևի արտահայտություն։ Բացի նշված ֆունկցիայից, նման հավասարումները կարող են պարունակել ցանկացած այլ հանրահաշվական կառուցվածք՝ բազմանդամներ, արմատներ, եռանկյունաչափություն, լոգարիթմներ և այլն։

Եղավ հետո. Հասկացել է սահմանումը. Հիմա հարցն այն է, թե ինչպես լուծել այս ամբողջ հիմարությունը: Պատասխանը միաժամանակ և՛ պարզ է, և՛ բարդ։

Սկսենք լավ նորությունից. բազմաթիվ ուսանողների հետ ունեցած իմ փորձից կարող եմ ասել, որ նրանցից շատերի համար էքսպոնենցիալ հավասարումները շատ ավելի հեշտ են, քան նույն լոգարիթմները, և նույնիսկ ավելին, եռանկյունաչափությունը:

Բայց կա նաև վատ լուրերԵրբեմն բոլոր տեսակի դասագրքերի և քննությունների խնդիրներ կազմողներին այցելում է «ներշնչանք», և նրանց թմրանյութով բորբոքված ուղեղը սկսում է այնպիսի դաժան հավասարումներ արտադրել, որ խնդրահարույց է դառնում ոչ միայն ուսանողների համար դրանք լուծելը, նույնիսկ շատ ուսուցիչներ են խրվում դրանց վրա: նման խնդիրներ.

Այնուամենայնիվ, չխոսենք տխուր բաների մասին։ Եվ վերադառնանք այդ երեք հավասարումներին, որոնք տրվեցին պատմության հենց սկզբում։ Փորձենք լուծել դրանցից յուրաքանչյուրը։

Առաջին հավասարումը՝ $((2)^(x))=4$: Լավ, ո՞ր ուժի վրա պետք է բարձրացնել 2 թիվը, որ ստանանք 4 թիվը։ Միգուցե երկրորդը. Ի վերջո, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — և մենք ստացել ենք ճիշտ թվային հավասարություն, այսինքն. իսկապես $x=2$: Դե, շնորհակալություն, գլխարկ, բայց այս հավասարումը այնքան պարզ էր, որ նույնիսկ իմ կատուն կարող էր լուծել այն: :)

Դիտարկենք հետևյալ հավասարումը.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Բայց այստեղ մի փոքր ավելի դժվար է։ Շատ ուսանողներ գիտեն, որ $(5)^(2))=25$-ը բազմապատկման աղյուսակն է: Ոմանք նաև կասկածում են, որ $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ ըստ էության սահմանումն է բացասական ուժեր(անալոգիա $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$ բանաձեւով):

Վերջապես, միայն ընտրված մի քանիսը կռահում են, որ այս փաստերը կարող են համակցվել, և արդյունքը հետևյալն է.

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Այսպիսով, մեր սկզբնական հավասարումը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Եվ հիմա սա արդեն ամբողջությամբ լուծված է: Հավասարման ձախ կողմում կա էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, աջ կողմում՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, նրանցից բացի ուրիշ ոչ մի տեղ չկա: Հետևաբար, կարելի է «դուրս գցել» հիմքերը և հիմարորեն հավասարեցնել ցուցանիշները.

Մենք ստացանք ամենապարզ գծային հավասարումը, որը ցանկացած ուսանող կարող է լուծել ընդամենը մի քանի տողում: Լավ, չորս տողով.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Եթե ​​չհասկացաք, թե ինչ է կատարվում վերջին չորս տողերում, անպայման վերադառնաք թեմային. գծային հավասարումներ' և կրկնել դա: Որովհետև առանց այս թեմայի հստակ յուրացման, ձեզ համար դեռ վաղ է էքսպոնենցիալ հավասարումներ վերցնելը:

\[((9)^(x))=-3\]

Դե, ինչպես եք որոշում: Առաջին միտքը՝ $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, այնպես որ սկզբնական հավասարումը կարելի է վերաշարադրել այսպես.

\[((\ձախ(((3)^(2)) \աջ))^(x))=-3\]

Այնուհետև հիշում ենք, որ աստիճանը մինչև հզորություն բարձրացնելիս ցուցանիշները բազմապատկվում են.

\[((\left(((3)^(2)) \աջ))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3) ^ (1)) \]

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Եվ նման որոշման համար մենք ստանում ենք ազնվորեն արժանի դյութ: Որովհետև մենք, պոկեմոնի համեստությամբ, երեքի դիմաց մինուս նշանն ուղարկեցինք հենց այս երեքի ուժին: Եվ դուք չեք կարող դա անել: Եվ ահա թե ինչու։ Նայեք եռյակի տարբեր ուժերին.

\[\սկիզբ(մատրիցան) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\վերջ(մատրիցան)\]

Կազմելով այս տախտակը, հենց որ ես այլասերված չեմ և դրական աստիճաններհամարվում է, և բացասական, և նույնիսկ կոտորակային ... լավ, որտեղ է առնվազն մեկը բացասական թիվ? Նա չէ! Եվ դա չի կարող լինել, քանի որ $y=((a)^(x))$ էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիան, առաջին հերթին, միշտ վերցնում է միայն դրական արժեքներ(ինչքան էլ մեկը բազմապատկես կամ երկուսով բաժանես, միեւնույն է, դա կլինի դրական թիվ), և երկրորդ՝ նման ֆունկցիայի հիմքը՝ $a$ թիվը, ըստ սահմանման դրական թիվ է։

Դե, ինչպե՞ս լուծել $((9)^(x))=-3$ հավասարումը: Չէ, արմատներ չկան։ Եվ այս առումով, էքսպոնենցիալ հավասարումները շատ նման են քառակուսայիններին. կարող են նաև արմատներ չլինեն: Բայց եթե քառակուսի հավասարումների մեջ արմատների թիվը որոշվում է դիսկրիմինանտով (տարբերիչը դրական է՝ 2 արմատ, բացասական՝ առանց արմատների), ապա էքսպոնենցիալ հավասարումների դեպքում ամեն ինչ կախված է նրանից, թե որն է հավասար նշանի աջ կողմում։

Այսպիսով, մենք ձևակերպում ենք հիմնական եզրակացությունը. $((a)^(x))=b$ ձևի ամենապարզ էքսպոնենցիալ հավասարումը ունի արմատ, եթե և միայն $b>0$-ի դեպքում: Իմանալով այս պարզ փաստը, դուք հեշտությամբ կարող եք որոշել, թե արդյոք ձեզ առաջարկված հավասարումը արմատներ ունի, թե ոչ: Նրանք. արժե՞ ընդհանրապես լուծել, թե՞ անմիջապես գրել, որ արմատներ չկան։

Այս գիտելիքը կօգնի մեզ ավելի քան մեկ անգամ, երբ մենք պետք է ավելի շատ որոշենք դժվար առաջադրանքներ. Միևնույն ժամանակ, բավական բառեր. ժամանակն է ուսումնասիրել էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծման հիմնական ալգորիթմը:

Ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումներ

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք խնդիրը. Անհրաժեշտ է լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումը.

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Համաձայն «միամիտ» ալգորիթմի, որը մենք օգտագործել ենք ավելի վաղ, անհրաժեշտ է $b$ թիվը ներկայացնել որպես $a$ թվի հզորություն.

Բացի այդ, եթե $x$ փոփոխականի փոխարեն լինի արտահայտություն, ապա մենք կստանանք նոր հավասարում, որն արդեն հնարավոր է լուծել։ Օրինակ:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((2)^(x))=8\Աջ սլաք ((2)^(x))=(2)^(3))\Աջ սլաք x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Աջ սլաք ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Աջ սլաք ((5)^(2x))=(5)^(3))\Աջ սլաք 2x=3\Աջ սլաք x=\frac(3)( 2). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Եվ որքան էլ տարօրինակ է, այս սխեման գործում է դեպքերի մոտ 90%-ում: Իսկ մնացած 10%-ի մասին հետո՞: Մնացած 10%-ը թեթևակի «շիզոֆրենիկ» էքսպոնենցիալ ձևի հավասարումներ են.

\[((2) ^ (x)) = 3; \ քառակուսի ((5) ^ (x)) = 15; \ քառակուսի ((4) ^ (2x)) = 11 \]

Ո՞ր ուժին է պետք բարձրացնել 2-ը 3 ստանալու համար: Առաջինում? Բայց ոչ՝ $((2)^(1))=2$-ը բավարար չէ: Երկրորդում? Ոչ մեկը. $((2)^(2))=4$-ը չափազանց շատ է: Ուրեմն ինչ?

Գիտակ ուսանողները երևի արդեն կռահել են՝ նման դեպքերում, երբ անհնար է «գեղեցիկ» լուծել, «ծանր հրետանին» միացված է գործին՝ լոգարիթմներին։ Հիշեցնեմ ձեզ, որ օգտագործելով լոգարիթմները, ցանկացած դրական թիվ կարելի է ներկայացնել որպես ցանկացած այլ դրական թվի ուժ (բացառությամբ մեկի).

Հիշում եք այս բանաձևը. Երբ ես իմ ուսանողներին պատմում եմ լոգարիթմների մասին, ես միշտ զգուշացնում եմ ձեզ. այս բանաձևը (դա նաև հիմնական լոգարիթմական ինքնությունն է կամ, եթե ցանկանում եք, լոգարիթմի սահմանումը) շատ երկար ժամանակ կհետապնդի ձեզ և առավելագույնս «կհայտնվի»: անսպասելի վայրեր. Դե, նա հայտնվեց: Եկեք նայենք մեր հավասարմանը և այս բանաձևին.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((2)^(x))=3 \\& a=((բ)^((\log )_(բ))ա)) \\\վերջ (հավասարեցնել) \]

Եթե ​​ենթադրենք, որ $a=3$-ը մեր սկզբնական թիվն է աջ կողմում, իսկ $b=2$-ն այն էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքն է, որին մենք այդքան ուզում ենք կրճատել աջ կողմը, ապա կստանանք հետևյալը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& a=((բ)^(((\log )_(b))a))\Աջ սլաք 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Աջ սլաք ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Աջ սլաք x=( (\log )_(2))3. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մի փոքր տարօրինակ պատասխան ստացանք՝ $x=((\log )_(2))3$: Ինչ-որ այլ առաջադրանքում, նման պատասխանով, շատերը կկասկածեին և կսկսեն կրկնակի ստուգել իրենց լուծումը. իսկ եթե ինչ-որ տեղ սխալ լիներ: Ես շտապում եմ հաճոյանալ ձեզ. այստեղ սխալ չկա, և էքսպոնենցիալ հավասարումների արմատներում լոգարիթմները բավականին բնորոշ իրավիճակ են: Ուրեմն վարժվիր։ :)

Այժմ մենք անալոգիայով լուծում ենք մնացած երկու հավասարումները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((5)^(x))=15\Աջ սլաք ((5)^(x))=((5)^((\log )_(5))15)) \Աջ սլաք x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Աջ սլաք ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Աջ սլաք 2x=( (\log )_(4))11\Աջ սլաք x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Ի դեպ, վերջին պատասխանը կարելի է այլ կերպ գրել.

Մենք էինք, որ լոգարիթմի փաստարկի մեջ մտցրեցինք բազմապատկիչը: Բայց ոչ ոք չի խանգարում մեզ ավելացնել այս գործոնը բազայի վրա.

Այս դեպքում բոլոր երեք տարբերակներն էլ ճիշտ են՝ ուղղակի տարբեր ձևերնույն թվի գրառումները։ Որն ընտրել և գրել այս որոշման մեջ՝ կախված է ձեզանից:

Այսպիսով, մենք սովորել ենք լուծել $((a)^(x))=b$ ձևի ցանկացած էքսպոնենցիալ հավասարումներ, որտեղ $a$ և $b$ թվերը խիստ դրական են։ Այնուամենայնիվ դաժան իրականությունմեր աշխարհն այդպիսին է պարզ առաջադրանքներկհանդիպի քեզ շատ, շատ հազվադեպ: Ավելի հաճախ դուք կհանդիպեք այսպիսի բանի.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Դե, ինչպես եք որոշում: Կարո՞ղ է սա ընդհանրապես լուծվել: Եվ եթե այո, ապա ինչպե՞ս:

Ոչ մի խուճապ: Այս բոլոր հավասարումները արագ և հեշտությամբ վերածվում են պարզ բանաձևերորը մենք արդեն քննարկել ենք։ Պարզապես պետք է իմանալ հանրահաշվի դասընթացից մի քանի հնարք հիշելու համար: Եվ իհարկե, այստեղ աստիճանների հետ աշխատելու կանոններ չկան։ Այս ամենի մասին հիմա կխոսեմ :)

Էքսպոնենցիալ հավասարումների փոխակերպում

Առաջին բանը, որ պետք է հիշել, այն է, որ ցանկացած էքսպոնենցիալ հավասարում, անկախ նրանից, թե որքան բարդ է այն, այս կամ այն ​​կերպ պետք է վերածվի ամենապարզ հավասարումների՝ հենց նրանք, որոնք մենք արդեն քննարկել ենք, և որոնք մենք գիտենք, թե ինչպես լուծել: Այլ կերպ ասած, ցանկացած էքսպոնենցիալ հավասարման լուծման սխեման ունի հետևյալ տեսքը.

1. Գրի՛ր սկզբնական հավասարումը։ Օրինակ՝ $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Հիմարություններ արեք: Կամ նույնիսկ ինչ-որ հիմարություն, որը կոչվում է «փոխակերպել հավասարումը».
3. Ելքում ստացեք ամենապարզ արտահայտությունները, ինչպիսիք են $((4)^(x))=4$ կամ նման այլ բան: Ընդ որում, մեկ սկզբնական հավասարումը կարող է միանգամից մի քանի նման արտահայտություն տալ։

Առաջին կետով ամեն ինչ պարզ է. նույնիսկ իմ կատուն կարող է տերևի վրա գրել հավասարումը: Երրորդ կետով նույնպես, կարծես թե, քիչ թե շատ պարզ է. վերևում արդեն լուծել ենք նման հավասարումների մի ամբողջ փունջ։

Բայց ինչ վերաբերում է երկրորդ կետին: Որո՞նք են փոխակերպումները: Ինչ փոխարկել ինչի: Իսկ ինչպե՞ս:

Դե, եկեք պարզենք: Նախ ուզում եմ նշել հետևյալը. Բոլոր էքսպոնենցիալ հավասարումները բաժանվում են երկու տեսակի.

1. Հավասարումը կազմված է նույն հիմքով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներից։ Օրինակ՝ $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Բանաձևը պարունակում է տարբեր հիմքերով էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներ։ Օրինակներ՝ $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ և $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$։

Սկսենք առաջին տիպի հավասարումներից՝ դրանք ամենահեշտ լուծվողն են: Իսկ դրանց լուծման հարցում մեզ կօգնի այնպիսի տեխնիկա, ինչպիսին է կայուն արտահայտությունների ընտրությունը։

Կարեւորելով կայուն արտահայտություն

Եկեք նորից նայենք այս հավասարմանը.

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ի՞նչ ենք մենք տեսնում։ Չորսը բարձրացվում են տարբեր աստիճանների: Բայց այս բոլոր ուժերը $x$ փոփոխականի պարզ գումարներն են այլ թվերի հետ: Հետևաբար, անհրաժեշտ է հիշել աստիճանների հետ աշխատելու կանոնները.

\[\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a) )^(y))). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Պարզ ասած, աստիճանների գումարումը կարող է վերածվել հզորությունների արտադրյալի, իսկ հանումը հեշտությամբ վերածվում է բաժանման: Փորձենք կիրառել այս բանաձևերը մեր հավասարման հզորությունների վրա.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))((4)^(1))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մենք վերագրում ենք սկզբնական հավասարումը, հաշվի առնելով այս փաստը, այնուհետև հավաքում ենք ձախ կողմում գտնվող բոլոր պայմանները.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - տասնմեկ; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Առաջին չորս տերմինները պարունակում են $((4)^(x))$ տարրը — եկեք այն հանենք փակագծից.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \աջ)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \աջ)=-11. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Մնում է հավասարման երկու մասերը բաժանել $-\frac(11)(4)$ կոտորակով, այսինքն. ըստ էության բազմապատկել շրջված կոտորակի վրա՝ $-\frac(4)(11)$: Մենք ստանում ենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \աջ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \աջ); \\& ((4) ^ (x)) = 4; \\& ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)); \\&x=1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Մենք սկզբնական հավասարումը հասցրինք ամենապարզին և ստացանք վերջնական պատասխանը:

Միևնույն ժամանակ, լուծման գործընթացում մենք հայտնաբերեցինք (և նույնիսկ փակագծից հանեցինք) ընդհանուր գործոնը $((4)^(x))$ - սա կայուն արտահայտությունն է։ Այն կարող է նշանակվել որպես նոր փոփոխական, կամ կարող եք պարզապես ճշգրիտ արտահայտել այն և ստանալ պատասխան: Ինչևէ, հիմնական սկզբունքըլուծումները հետևյալն են.

Բնօրինակ հավասարման մեջ գտե՛ք կայուն արտահայտություն, որը պարունակում է փոփոխական, որը հեշտությամբ տարբերվում է բոլոր էքսպոնենցիալ ֆունկցիաներից:

Լավ նորությունն այն է, որ գրեթե յուրաքանչյուր էքսպոնենցիալ հավասարում ընդունում է նման կայուն արտահայտություն:

Բայց կա նաև վատ նորություն. նման արտահայտությունները կարող են շատ խորամանկ լինել, և դրանք տարբերելը կարող է բավականին դժվար լինել։ Այսպիսով, եկեք նայենք մեկ այլ խնդրի.

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Երևի ինչ-որ մեկի մոտ հարց առաջանա. «Փաշա, քեզ քարկոծե՞լ են։ Ահա տարբեր հիմքեր՝ 5 և 0,2։ Բայց եկեք փորձենք փոխակերպել հզորությունը 0.2 հիմքով: Օրինակ՝ ազատվենք տասնորդական կոտորակից՝ հասցնելով այն սովորականին.

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\ձախ(x+1 \աջ)))=((\left(\frac(2)(10 ) \աջ))^(-\ձախ(x+1 \աջ)))=((\ձախ(\frac(1)(5) \աջ))^(-\ձախ(x+1 \աջ)) )\]

Ինչպես տեսնում եք, 5 թիվը դեռևս հայտնվեց, թեև հայտարարի մեջ։ Միաժամանակ ցուցանիշը վերաշարադրվել է որպես բացասական։ Եվ հիմա մենք հիշում ենք դրանցից մեկը էական կանոններաշխատել աստիճանների հետ.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \աջ))^( -\left(x+1 \աջ)))=((\left(\frac(5)(1) \աջ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Այստեղ, իհարկե, մի քիչ խաբեցի։ Որովհետև լիարժեք հասկանալու համար բացասական ցուցանիշներից ազատվելու բանաձևը պետք է գրվեր հետևյալ կերպ.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \աջ))^(n ))\Աջ սլաք ((\ձախ(\frac(1)(5) \աջ))^(-\ձախ(x+1 \աջ)))=((\left(\frac(5)(1) \ ճիշտ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Մյուս կողմից, մեզ ոչինչ չէր խանգարում աշխատել միայն մեկ կոտորակի հետ.

\[((\left(\frac(1)(5) \աջ))^(-\left(x+1 \աջ)))=((\left(((5)^(-1)) \ աջ))^(-\ձախ(x+1 \աջ)))=((5)^(\ձախ(-1 \աջ)\cdot \ձախ(-\ձախ(x+1 \աջ) \աջ) ))=((5)^(x+1))\]

Բայց այս դեպքում դուք պետք է կարողանաք աստիճանը բարձրացնել մեկ այլ աստիճանի (հիշեցնում եմ. այս դեպքում ցուցանիշները գումարվում են): Բայց ես ստիպված չէի «շրջել» կոտորակները, գուցե ինչ-որ մեկի համար դա ավելի հեշտ կլինի: :)

Ամեն դեպքում, սկզբնական էքսպոնենցիալ հավասարումը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+(5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, պարզվում է, որ սկզբնական հավասարումը նույնիսկ ավելի հեշտ է լուծել, քան նախկինում դիտարկվածը. այստեղ նույնիսկ կարիք չկա առանձնացնել կայուն արտահայտություն. ամեն ինչ ինքնին կրճատվել է: Մնում է միայն հիշել, որ $1=((5)^(0))$, որտեղից ստանում ենք.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է ամբողջ լուծումը: Ստացանք վերջնական պատասխանը՝ $x=-2$։ Միևնույն ժամանակ, ես կցանկանայի նշել մեկ հնարք, որը մեզ համար մեծապես պարզեցրեց բոլոր հաշվարկները.

Էքսպոնենցիալ հավասարումների դեպքում համոզվեք, որ ձերբազատվեք տասնորդական կոտորակներ, փոխակերպեք դրանք նորմալ: Սա թույլ կտա տեսնել աստիճանների նույն հիմքերը և մեծապես պարզեցնել լուծումը:

Այժմ անցնենք ավելի բարդ հավասարումների, որոնցում կան տարբեր հիմքեր, որոնք, ընդհանուր առմամբ, միմյանց չեն կրճատվում հզորությունների օգնությամբ։

Օգտագործելով ցուցիչ հատկությունը

Հիշեցնեմ, որ մենք ունենք երկու առավել խիստ հավասարումներ.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Հիմնական դժվարությունն այստեղ այն է, որ պարզ չէ, թե ինչ և ինչ հիմքով առաջնորդել։ Որտե՞ղ են ֆիքսված արտահայտությունները: Որտեղ են ընդհանուր հիմքերը: Սրանից ոչ մեկը չկա։

Բայց եկեք փորձենք գնալ այլ ճանապարհով: Եթե ​​պատրաստ չէ նույն հիմքերը, կարող եք փորձել գտնել դրանք՝ հաշվի առնելով առկա հիմքերը։

Սկսենք առաջին հավասարումից.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Աջ սլաք ((21)^(3x))=((\ ձախ(7\cdot 3 \աջ))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Բայց դուք կարող եք հակառակն անել՝ կազմելով 21 թիվը 7 և 3 թվերից: Հատկապես հեշտ է դա անել ձախ կողմում, քանի որ երկու աստիճանի ցուցանիշները նույնն են.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\ ձախ (7\cdot 3 \աջ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսքանը: Դուք հանեցիք ցուցանիշը արտադրյալից և անմիջապես ստացաք մի գեղեցիկ հավասարում, որը կարելի է լուծել մի քանի տողով:

Այժմ անդրադառնանք երկրորդ հավասարմանը։ Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի բարդ է.

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \աջ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Այս դեպքում կոտորակները պարզվեց, որ անկրճատելի են, բայց եթե ինչ-որ բան կարելի էր կրճատել, անպայման կրճատեք: Սա հաճախ հանգեցնում է հետաքրքիր հիմքերի, որոնց հետ դուք արդեն կարող եք աշխատել:

Ցավոք սրտի, մենք ոչինչ չենք մտածել։ Բայց մենք տեսնում ենք, որ արտադրյալի ձախ կողմում գտնվող ցուցիչները հակադիր են.

Հիշեցնեմ՝ ցուցիչում մինուս նշանից ազատվելու համար պարզապես պետք է «շրջել» կոտորակը: Այսպիսով, եկեք վերաշարադրենք սկզբնական հավասարումը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \աջ))^(x-1))=\frac(9) ) (100); \\& ((\ ձախ (100 \ cdot \frac (10) (27) \աջ)) ^ (x-1)) =\ frac (9) (100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \աջ))^(x-1))=\frac(9)(100): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Երկրորդ տողում մենք ուղղակի փակագծում ենք արտադրյալի ընդհանուր գումարը՝ համաձայն $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) կանոնի համաձայն. ))^ (x))$, իսկ վերջինում 100 թիվը պարզապես բազմապատկել են կոտորակի վրա։

Այժմ ուշադրություն դարձրեք, որ ձախ (հիմքում) և աջ կողմի թվերը փոքր-ինչ նման են: Ինչպե՞ս: Այո, ակնհայտ է. դրանք նույն թվի ուժեր են։ Մենք ունենք:

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3))=((\ձախ(\frac( 10)(3) \աջ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \ճիշտ))^(2)). \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Այսպիսով, մեր հավասարումը կվերագրվի հետևյալ կերպ.

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \աջ))^(3)) \աջ))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \ճիշտ))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \աջ))^(3)) \աջ))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \աջ))^(3\ձախ(x-1 \աջ)))=((\left(\frac(10)(3) \աջ))^(3x-3))\]

Միևնույն ժամանակ, աջ կողմում կարող եք նաև ստանալ նույն հիմքով աստիճան, որի համար բավական է պարզապես «շրջել» կոտորակը.

\[((\left(\frac(3)(10) \աջ))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \աջ))^(-2))\]

Ի վերջո, մեր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

\[\սկիզբ(հավասարեցնել)& ((\ ձախ (\frac(10)(3) \աջ))^(3x-3))=((\ձախ(\frac(10)(3) \աջ)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3): \\\վերջ (հավասարեցնել)\]

Սա է ամբողջ լուծումը: Նրա հիմնական գաղափարը հանգում է նրան, որ նույնիսկ տարբեր հիմքերով մենք փորձում ենք կեռիկով կամ խաբեբայությամբ այդ հիմքերը հասցնել նույն հիմքի: Դրանում մեզ օգնում են հավասարումների տարրական փոխակերպումները և հզորությունների հետ աշխատելու կանոնները։

Բայց ի՞նչ կանոններ և երբ օգտագործել: Ինչպե՞ս հասկանալ, որ մի հավասարման մեջ պետք է երկու կողմերը բաժանել ինչ-որ բանով, իսկ մյուսում` ֆակտորիզացնել էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը:

Այս հարցի պատասխանը կգա փորձի հետ: Փորձեք ձեր ուժերը սկզբում պարզ հավասարումների վրա, այնուհետև աստիճանաբար բարդացրեք առաջադրանքները, և շատ շուտով ձեր հմտությունները կբավականացնեն լուծելու նույն USE-ից ցանկացած էքսպոնենցիալ հավասարում կամ որևէ անկախ / թեստային աշխատանք:

Եվ այս դժվարին առաջադրանքում ձեզ օգնելու համար առաջարկում եմ ներբեռնել իմ կայքէջում մի շարք հավասարումներ՝ անկախ լուծման համար: Բոլոր հավասարումները ունեն պատասխաններ, այնպես որ դուք միշտ կարող եք ստուգել ինքներդ ձեզ: