Իռացիոնալ հավասարումներ. Սպառիչ ուղեցույց. Իռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումներ
Իռացիոնալ արտահայտությունները և դրանց փոխակերպումները
Անցյալ անգամ մենք հիշեցինք (կամ պարզեցինք, թե ինչպես է դա որևէ մեկին դուր գալիս), թե որն է , սովորեց նման արմատներ հանել, մաս առ մաս բաժանեց արմատների հիմնական հատկությունները և որոշեց չ բարդ օրինակներարմատներով։
Այս դասը կլինի նախորդի շարունակությունը և նվիրված կլինի ամենատարբեր արմատներ պարունակող արտահայտությունների լայն տեսականի փոխակերպմանը: Նման արտահայտությունները կոչվում են իռացիոնալ. Այստեղ կլինեն տառերով արտահայտություններ, և լրացուցիչ պայմաններ, և կոտորակներում իռացիոնալությունից ազատվելը, և արմատների հետ աշխատելու որոշ առաջադեմ հնարքներ։ Այն տեխնիկան, որը կքննարկվի այս դասում, լավ հիմք կդառնան ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ (և ոչ միայն) գրեթե ցանկացած մակարդակի բարդության խնդիրների լուծման համար: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Առաջին հերթին այստեղ կկրկնօրինակեմ արմատների հիմնական բանաձեւերն ու հատկությունները։ Թեմայից թեմա չցատկելու համար։ Այստեղ են:
ժամը
Այս բանաձեւերը պետք է հայտնի լինեն և կարողանան կիրառել: Եվ երկու ուղղությամբ՝ և՛ ձախից աջ, և՛ աջից ձախ: Հենց դրանց վրա է հիմնված ցանկացած բարդության արմատներով առաջադրանքների մեծ մասի լուծումը: Սկսենք ամենապարզից՝ բանաձևերի կամ դրանց համակցությունների անմիջական կիրառմամբ։
Բանաձևերի հեշտ կիրառում
Այս մասում կդիտարկվեն պարզ ու անվնաս օրինակներ՝ առանց տառերի, լրացուցիչ պայմանների և այլ հնարքների։ Այնուամենայնիվ, նույնիսկ նրանց մեջ, որպես կանոն, կան տարբերակներ. Եվ որքան շքեղ է օրինակը, այնքան շատ նման տարբերակներ։ Իսկ անփորձ ուսանողը ունի հիմնական խնդիրը- որտեղի՞ց սկսել Այստեղ պատասխանը պարզ է. չգիտես ինչ անել, արա այն, ինչ կարող ես. Եթե միայն ձեր գործողությունները ընթանային խաղաղ և ներդաշնակ մաթեմատիկայի կանոններին և չհակասեին դրանց։) Օրինակ՝ այսպիսի առաջադրանք.
Հաշվարկել.
Նույնիսկ այսպիսի պարզ օրինակում պատասխանի մի քանի ուղիներ հնարավոր են։
Առաջինը պարզապես արմատները բազմապատկելն է առաջին հատկությամբ և արդյունքից արմատ հանել.
Երկրորդ տարբերակը սա է՝ մի՛ դիպչիր, աշխատիր . Արմատի նշանի տակից հանում ենք գործակիցը, իսկ հետո՝ ըստ առաջին հատկության։ Սրա նման:
Դուք կարող եք որոշել, թե որն եք ցանկանում: Տարբերակներից ցանկացածում պատասխանը մեկն է՝ ութ։ Օրինակ, ինձ համար ավելի հեշտ է բազմապատկել 4-ը և 128-ը և ստանալ 512, իսկ խորանարդի արմատը հիանալի կերպով արդյունահանվում է այս թվից: Եթե ինչ-որ մեկը չի հիշում, որ 512-ը 8 խորանարդ է, ապա դա նշանակություն չունի. կարող եք գրել 512-ը որպես 2 9 (երկուսի առաջին 10 ուժերը, հուսով եմ հիշում եք) և օգտագործելով աստիճանի արմատի բանաձևը.
Մեկ այլ օրինակ.
Հաշվել.
Եթե դուք աշխատում եք առաջին հատկության վրա (ամեն ինչ քշում եք մեկ արմատի տակ), ապա դուք ստանում եք մեծ թիվ, որից հետո արմատը հանվում է, ինչպես նաև ոչ շաքար: Եվ փաստ չէ, որ այն հավասարապես կարդյունահանվի:) Հետևաբար, այստեղ օգտակար է թվի արմատի տակից գործոններ հանելը: Եվ հասցրեք այն առավելագույնին.
Եվ հիմա ամեն ինչ լավ է.
Մնում է ութն ու երկուսը մեկ արմատի տակ գրել (ըստ առաջին հատկության) և - գործը պատրաստ է։ :)
Հիմա ավելացնենք մի քանի կոտորակ:
Հաշվարկել.
Օրինակը բավականին պարզունակ է, բայց ունի նաև տարբերակներ։ Դուք կարող եք օգտագործել բազմապատկիչը՝ համարիչը փոխարկելու և հայտարարով կրճատելու համար.
Եվ դուք կարող եք անմիջապես օգտագործել արմատները բաժանելու բանաձևը.
Ինչպես տեսնում եք, այս և այն կողմ, ամեն ինչ ճիշտ է:) Եթե կես ճանապարհին չսայթաքեք և սխալվեք: Բայց որտեղ է սխալն այստեղ...
Այժմ դիտարկենք ամենավերջին օրինակը Տնային աշխատանքվերջին դաս.
Պարզեցնել.
Միանգամայն աներևակայելի արմատների և նույնիսկ բնադրված արմատների հավաքածու: Ինչպե՞ս լինել: Գլխավորը չվախենալն է։ Այստեղ մենք նախ նկատում ենք 2, 4 և 32 թվերի արմատների տակ՝ երկուսի ուժեր։ Առաջին բանը, որ պետք է անել, բոլոր թվերը երկուսի բերելն է. չէ՞ որ օրինակում որքան շատ նույնական թվեր լինեն և որքան քիչ տարբեր լինեն, այնքան ավելի հեշտ է։) Սկսենք առանձին առաջին գործոնից.
Թիվը կարելի է պարզեցնել՝ երկուսն արմատի տակ կրճատելով չորսը՝ արմատային ցուցիչով.
Այժմ, ըստ աշխատանքի արմատի.
.
Թվի մեջ հանում ենք արմատի նշանի դյուզը.
Իսկ արտահայտության հետ գործ ունենք ըստ արմատից արմատի բանաձեւի.
Այսպիսով, առաջին գործոնը կգրվի այսպես.
Բնադրված արմատները վերացել են, թվերը փոքրացել են, ինչն արդեն հաճելի է։ Պարզապես արմատները տարբեր են, բայց առայժմ մենք այդպես կթողնենք: Անհրաժեշտ կլինի՝ մենք կվերափոխենք նույնը։ Մենք վերցնում ենք երկրորդ գործոնը։)
Երկրորդ գործոնը փոխակերպում ենք նույն կերպ՝ ըստ արմատի բանաձեւի՝ արտադրանքից, իսկ արմատը՝ արմատից։ Անհրաժեշտության դեպքում մենք նվազեցնում ենք ցուցանիշները հինգերորդ բանաձևի համաձայն.
Մենք ամեն ինչ տեղադրում ենք բնօրինակ օրինակի մեջ և ստանում.
Մենք ստացանք բոլորովին այլ արմատների մի ամբողջ փունջի արտադրանք: Լավ կլինի, որ դրանք բոլորը հասցնենք մեկ ցուցանիշի, հետո կտեսնենք։ Դե, դա միանգամայն հնարավոր է: Արմատային ինդեքսներից ամենամեծը 12-ն է, իսկ մնացած բոլորը՝ 2, 3, 4, 6-ը, 12 թվի բաժանարարներն են։ Հետևաբար, հինգերորդ հատկության համաձայն բոլոր արմատները կբերենք մեկ ցուցիչի՝ 12-ի.
Մենք հաշվում ենք և ստանում.
Մենք լավ թիվ չենք ստացել, բայց դա լավ է: Մեզ հարցրին պարզեցնելարտահայտություն, ոչ հաշվել. Պարզեցվա՞ծ: Իհարկե! Իսկ պատասխանի տեսակը (ամբողջական կամ ոչ) այստեղ ոչ մի դեր չի խաղում։
Որոշ գումարում/հանում և կրճատված բազմապատկման բանաձևեր
Ցավոք, ընդհանուր բանաձևերհամար արմատների գումարում և հանումոչ մաթեմատիկայից: Այնուամենայնիվ, առաջադրանքներում շատ հաճախ այդ գործողությունները հայտնաբերվում են արմատներով: Այստեղ պետք է հասկանալ, որ ցանկացած արմատ ճիշտ նույն մաթեմատիկական պատկերակներն են, ինչ տառերը հանրահաշիվում։) Իսկ արմատների նկատմամբ կիրառվում են նույն տեխնիկան և կանոնները, ինչպես տառերը՝ փակագծեր բացելը, նմանները բերելը, կրճատված բազմապատկման բանաձևերը և այլն։
Օրինակ, բոլորին պարզ է, որ . Նմանատիպ նույնըԱրմատները հեշտությամբ կարելի է ավելացնել/հանել միմյանց միջև.
Եթե արմատները տարբեր են, ապա մենք ուղիներ ենք փնտրում դրանք նույնը դարձնելու համար՝ գործակից ավելացնելով/հեռացնելով կամ հինգերորդ հատկությամբ: Եթե լավ, դա ոչ մի կերպ չի պարզեցնում, ապա, միգուցե, փոխակերպումները ավելի բարդ են:
Դիտարկենք առաջին օրինակը։
Գտե՛ք արտահայտության արժեքը.
Երեք արմատներն էլ, թեև խորանարդ են, բայց տարբերթվեր։ Դրանք զուտ արդյունահանված չեն և ավելացվում/հանվում են միմյանցից: Ուստի ընդհանուր բանաձեւերի կիրառումն այստեղ չի գործում։ Ինչպե՞ս լինել: Եվ յուրաքանչյուր արմատից հանենք գործոնները։ Ամեն դեպքում, ավելի վատ չի լինի: Ավելին, այլ տարբերակներ, ըստ էության, չկան.
Այն է, .
Սա է ամբողջ լուծումը: Այստեղ մենք տարբեր արմատներից տեղափոխվեցինք նույնների օգնությամբ արմատի տակից հանելով բազմապատկիչը. Իսկ հետո նոր բերեցին նմանատիպեր։) Մենք հետագա որոշում ենք։
Գտեք արտահայտության արժեքը:
Տասնյոթի արմատով, հաստատ ոչինչ չեք կարող անել դրա դեմ: Աշխատում ենք ըստ առաջին հատկության՝ երկու արմատի արտադրանքից մեկ արմատ ենք պատրաստում.
Հիմա եկեք ավելի սերտ նայենք: Ի՞նչ ունենք խորանարդի մեծ արմատի տակ: Տարբերությունը kva է.. Դե իհարկե։ Քառակուսի տարբերություն.
Այժմ մնում է միայն արմատից հանել.
Հաշվարկել.
Այստեղ պետք է ցույց տալ մաթեմատիկական հնարամտություն։) Մոտավորապես այսպես ենք մտածում. «Այսպիսով, օրինակում, արմատների արտադրանքը. Մի արմատի տակ տարբերությունն է, իսկ մյուսի տակ՝ գումարը։ Շատ նման է քառակուսիների տարբերության բանաձևին. Բայց… Արմատները տարբեր են: Առաջինը քառակուսի է, իսկ երկրորդը՝ չորրորդ աստիճանի... Լավ կլիներ, որ դրանք նույնը լինեն։ Հինգերորդ գույքով կարելի է հեշտությամբ քառակուսի արմատպատրաստել չորրորդ արմատը. Դա անելու համար բավական է քառակուսի դնել արմատային արտահայտությունը:
Եթե դուք նույն մասին եք մտածել, ուրեմն հաջողության հասնելու ճանապարհի կեսն եք։ Միանգամայն ճիշտ! Առաջին գործոնը վերածենք չորրորդ արմատի։ Սրա նման:
Այժմ ոչինչ հնարավոր չէ անել, բայց դուք պետք է հիշեք տարբերության քառակուսու բանաձեւը: Միայն արմատներին դիմելիս: Եւ ինչ? Ինչու՞ են արմատները ավելի վատ, քան մյուս թվերը կամ արտահայտությունները: Մենք կառուցում ենք.
«Հմմ, լավ, նրանք կառուցել են, բա ի՞նչ: Բողկ ծովաբողկը ավելի քաղցր չէ։ Կանգ առեք Իսկ եթե արմատի տակից հանեք չորսը. Այնուհետև կհայտնվի նույն արտահայտությունը, ինչ երկրորդ արմատի տակ, միայն մինուսով, և դա հենց այն է, ինչին մենք փորձում ենք հասնել:
Ճիշտ! Եկեք ստանանք չորս.
.
Իսկ հիմա՝ տեխնոլոգիայի հարց.
Ահա թե ինչպես են բացահայտվում բարդ օրինակները։) Հիմա ժամանակն է պարապելու կոտորակներով։
Հաշվարկել.
Հասկանալի է, որ անհրաժեշտ է վերափոխել համարիչը։ Ինչպե՞ս: Գումարի քառակուսու բանաձևով, իհարկե։ Այլ տարբերակներ ունե՞նք։ :) Քառակուսում, բազմապատկիչներ հանում, ցուցիչների կրճատում (անհրաժեշտության դեպքում).
Ինչպես! Ստացանք հենց մեր կոտորակի հայտարարը:) Այսպիսով, ամբողջ կոտորակը, ակնհայտորեն, հավասար է մեկի.
Մեկ այլ օրինակ. Միայն հիմա կրճատված բազմապատկման մեկ այլ բանաձև:)
Հաշվարկել.
Հասկանալի է, որ տարբերության քառակուսին պետք է կիրառել բիզնեսում։ Մենք առանձին-առանձին գրում ենք հայտարարը և գնանք:
Արմատների տակից հանում ենք բազմապատկիչները.
հետևաբար,
Այժմ ամեն վատը հիանալի կերպով կրճատվել է, և պարզվում է.
Դե, եկեք գնանք հաջորդ մակարդակ: :)
Նամակներ և լրացուցիչ պայմաններ
Արմատներով տառային արտահայտությունները ավելի խորամանկ բան են, քան թվային արտահայտություններ, և նյարդայնացնող և շատ կոպիտ սխալների անսպառ աղբյուր է։ Եկեք արգելափակենք այս աղբյուրը:) Սխալները հայտնվում են այն պատճառով, որ բացասական թվեր և արտահայտություններ հաճախ են հայտնվում նման առաջադրանքներում: Դրանք կա՛մ տրվում են մեզ ուղղակի առաջադրանքի մեջ, կա՛մ թաքնված են տառեր և լրացուցիչ պայմաններ. Իսկ արմատների հետ աշխատելու գործընթացում մենք անընդհատ պետք է հիշենք, որ արմատներում նույնիսկ աստիճանթե՛ բուն արմատի տակ, թե՛ արմատը հանելու արդյունքում պետք է լինի ոչ բացասական արտահայտություն. Այս պարբերության առաջադրանքների հիմնական բանաձևը կլինի չորրորդ բանաձևը.
Տարօրինակ աստիճանի արմատներով հարցեր չկան. այնտեղ ամեն ինչ միշտ արդյունահանվում է պլյուսով, մինուսով: Իսկ մինուսը, եթե ինչ-որ բան, առաջ է բերվում։ Մենք անմիջապես կզբաղվենք արմատներով նույնիսկաստիճաններ։) Օրինակ՝ այսպիսի կարճ առաջադրանք։
Պարզեցնել. , եթե .
Թվում է, թե ամեն ինչ պարզ է. Կստացվի ընդամենը x։) Բայց ինչու այդ դեպքում լրացուցիչ պայման ? Նման դեպքերում օգտակար է գնահատել թվերով։ Զուտ ինքս ինձ համար։) Եթե, ապա x-ը բացասական թիվ է։ Մինուս երեք, օրինակ. Կամ մինուս քառասուն: Թող . Կարո՞ղ եք մինուս երեքը հասցնել չորրորդ աստիճանի: Իհարկե! Ստացվում է 81. Հնարավո՞ր է 81-ից հանել չորրորդ աստիճանի արմատը։ Ինչու ոչ? Կարող է Ստացեք երեք: Հիմա եկեք վերլուծենք մեր ամբողջ շղթան.
Ի՞նչ ենք մենք տեսնում։ Մուտքը բացասական էր, իսկ ելքը՝ դրական։ Դա մինուս երեք էր, հիմա գումարած երեք։) Վերադառնանք տառերին։ Անկասկած, մոդուլը կլինի հենց X, բայց միայն X-ն ինքն է մինուսով (ըստ պայմանի), իսկ արդյունահանման արդյունքը (թվաբանական արմատի շնորհիվ) պետք է լինի պլյուսով: Ինչպե՞ս ստանալ գումարած: Շատ պարզ! Դրա համար բավական է նախկինում բացասական թիվդրեք մինուս։) Եվ ճիշտ որոշումկարծես այսպես.
Ի դեպ, եթե օգտագործեինք բանաձեւը, ապա, հիշելով մոդուլի սահմանումը, անմիջապես կստանայինք ճիշտ պատասխանը։ Քանի որ
|x| = -x x-ում<0.
Արմատային նշանից հանեք գործոնը. , որտեղ .
Առաջին հայացքը արմատային արտահայտությունն է: Այստեղ ամեն ինչ կարգին է: Ամեն դեպքում, դա կլինի ոչ բացասական։ Մենք սկսում ենք արդյունահանել. Ըստ արտադրանքի արմատի բանաձևի, մենք արմատը հանում ենք յուրաքանչյուր գործոնից.
Որտեղի՞ց են առաջացել մոդուլները, կարծում եմ, այլեւս կարիք չկա բացատրելու։) Իսկ հիմա մենք վերլուծում ենք մոդուլներից յուրաքանչյուրը։
Բազմապատկիչ | ա | ուստի այն թողնում ենք անփոփոխ. նամակի հետ կապված որևէ պայման չունենքա. Մենք չգիտենք՝ դա դրական է, թե բացասական։ Հաջորդ մոդուլը |բ 2 | կարելի է ապահով կերպով բաց թողնել՝ ամեն դեպքում արտահայտությունըբ 2 ոչ բացասական: Իսկ ինչ վերաբերում է |գ 3 | - սա արդեն խնդիր է։) Եթե, ապա և գ 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть մինուսով: | գ 3 | = - գ 3 . Այսպիսով, ճիշտ լուծումը կլինի.
Իսկ հիմա՝ հակառակ խնդիր: Ամենահեշտը չէ, ես անմիջապես զգուշացնում եմ ձեզ:
Մուտքագրեք գործակից արմատի նշանի տակ: .
Եթե դուք անմիջապես գրեք լուծումը այսպես
Հետո դու ընկել է թակարդը. այն սխալ որոշում! Ինչ է պատահել?
Եկեք նայենք արմատի տակ արտահայտված արտահայտությանը. Չորրորդ աստիճանի արմատի տակ, ինչպես գիտենք, պետք է լինի ոչ բացասականարտահայտություն. Հակառակ դեպքում, արմատը իմաստ չունի։) Հետևաբար, Եվ սա իր հերթին նշանակում է, որ և, հետևաբար, ինքնին նույնպես ոչ դրական է։
Եվ այստեղ սխալն այն է, որ մենք արմատի տակ ենք դնում ոչ դրականթիվՉորրորդ իշխանությունը վերածում է այն ոչ բացասականև ստացվում է սխալ արդյունք՝ ձախ կողմում դիտավորյալ մինուս, իսկ աջում՝ արդեն պլյուս։ Եվ արմատի տակ բերեք նույնիսկաստիճանը մենք միայն իրավունք ունենք ոչ բացասականթվեր կամ արտահայտություններ. Իսկ մինուսը, եթե կա, թողեք արմատի դիմաց։) Ինչպես կարող ենք թվի մեջ ընտրել ոչ բացասական գործոն։, իմանալով, որ դա ինքնին բացասական է. Այո, ճիշտ նույնը: Դրեք մինուս։) Եվ որպեսզի ոչինչ չփոխվի, դա փոխհատուցեք ևս մեկ մինուսով։ Սրա նման:
Իսկ հիմա ոչ բացասական(-բ) թիվը հանգիստ մուտքագրվում է արմատի տակ՝ համաձայն բոլոր կանոնների.
Այս օրինակը հստակ ցույց է տալիս, որ, ի տարբերություն մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի, արմատներում ճիշտ պատասխանը միշտ չէ, որ ինքնաբերաբար բխում է բանաձևերից։ Պետք է մտածել և անձամբ ճիշտ որոշում կայացնել։) Հատկապես պետք է ավելի զգույշ լինեք մուտքի նշանների հետ իռացիոնալ հավասարումներ և անհավասարություններ.
Մենք գործ ունենք արմատների հետ աշխատելու հետևյալ կարևոր տեխնիկայի հետ. ազատվել իռացիոնալությունից.
Կոտորակների մեջ իռացիոնալությունից ազատվելը
Եթե արտահայտության մեջ արմատներ կան, ապա, հիշեցնեմ, նման արտահայտություն կոչվում է արտահայտություն իռացիոնալությամբ. Որոշ դեպքերում օգտակար է ազատվել հենց այս իռացիոնալությունից (այսինքն՝ արմատներից): Ինչպե՞ս կարող եք վերացնել արմատը: Մեր արմատը անհետանում է, երբ ... բարձրանում ենք դեպի իշխանություն: Ցուցանիշով կամ հավասար է արմատի ցուցիչին, կամ նրա բազմապատիկին: Բայց եթե արմատը բարձրացնենք հզորության (այսինքն՝ արմատն ինքն իրենով բազմապատկենք պահանջվող քանակով), ապա արտահայտությունը կփոխվի սրանից։ Լավ չէ։) Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայի մեջ կան թեմաներ, որտեղ բազմապատկումը բավականին ցավոտ է։ Կոտորակներով, օրինակ. Կոտորակի հիմնական հատկության համաձայն, եթե համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն (բաժանվեն) նույն թվով, ապա կոտորակի արժեքը չի փոխվի։
Ենթադրենք մեզ տրված է հետևյալ կոտորակը.
Հնարավո՞ր է արմատից ազատվել հայտարարի մեջ։ Կարող է Դա անելու համար արմատը պետք է խորանարդի կտրվի: Ի՞նչ ենք մեզ բաց թողնում լրիվ խորանարդի հայտարարում: Մեզ բացակայում է բազմապատկիչը, այսինքն.. Այսպիսով, կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք
Արմատը հայտարարի մեջ անհետացել է: Բայց… նա հայտնվեց համարիչում։ Անելու բան չկա, այդպիսին է ճակատագիրը։) Սա մեզ համար այլևս կարևոր չէ՝ մեզ խնդրել են արմատներից ազատել հայտարարը։ Ազատ արձակվե՞լ: Անկասկած.)
Ի դեպ, նրանք, ովքեր արդեն հակասում են եռանկյունաչափությանը, գուցե ուշադրություն դարձրին, որ օրինակ որոշ դասագրքերում և աղյուսակներում այլ կերպ են նշանակում՝ ինչ-որ տեղ, բայց ինչ-որ տեղ: Հարցն այն է, թե որն է ճիշտը: Պատասխան՝ ամեն ինչ ճիշտ է։) Եթե դա կռահեքուղղակի կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելու արդյունք է. :)
Ինչո՞ւ պետք է կոտորակներով ազատվենք իռացիոնալությունից: Ի՞նչ տարբերություն՝ արմատը համարիչի մեջ է, թե հայտարարի մեջ։ Հաշվիչը ամեն ինչ կհաշվի:) Դե, նրանց համար, ովքեր չեն բաժանվում հաշվիչից, գործնականում տարբերություն չկա... Բայց, նույնիսկ հաշվիչի վրա հաշվելով, կարող եք ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ բաժանելվրա ամբողջհամարը միշտ ավելի հարմար և արագ է, քան իռացիոնալ. Եվ ես կլռեմ սյունակի բաժանման մասին:)
Հետևյալ օրինակը միայն կհաստատի իմ խոսքերը.
Ինչպե՞ս այստեղ վերացնել քառակուսի արմատը հայտարարի մեջ: Եթե համարիչը և հայտարարը բազմապատկվեն արտահայտությամբ, ապա հայտարարը կլինի գումարի քառակուսին: Առաջին և երկրորդ թվերի քառակուսիների գումարը մեզ կտա միայն առանց արմատների թվեր, ինչը շատ հաճելի է։ Այնուամենայնիվ, այն կհայտնվի կրկնակի արտադրանքառաջին համարը երկրորդին, որտեղ երեքի արմատը դեռ կմնա: Չի կապում: Ինչպե՞ս լինել: Հիշեք կրճատ բազմապատկման ևս մեկ հրաշալի բանաձև: Այնտեղ, որտեղ չկա կրկնակի արտադրանք, այլ միայն քառակուսիներ.
Այնպիսի արտահայտություն, որը, երբ բազմապատկվում է ինչ-որ գումարով (կամ տարբերությամբ), հանգեցնում է քառակուսիների տարբերություն, Կոչվում է նաեւ կոնյուգացիոն արտահայտություն. Մեր օրինակում կից արտահայտությունը կլինի տարբերությունը: Այսպիսով, մենք համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք այս տարբերությամբ.
Ի՞նչ կարելի է ասել այստեղ։ Մեր մանիպուլյացիաների արդյունքում ոչ միայն անհետացավ հայտարարի արմատը, այլ ընդհանրապես անհետացավ կոտորակը։ :) Անգամ հաշվիչով երեքի արմատը երեքից հանելն ավելի հեշտ է, քան հայտարարի մեջ արմատ ունեցող կոտորակը հաշվելը։ Մեկ այլ օրինակ.
Ազատվել իռացիոնալությունից կոտորակի հայտարարում.
Ինչպե՞ս դուրս գալ այստեղից: Քառակուսիներով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը անմիջապես չեն գործում. հնարավոր չի լինի ամբողջությամբ վերացնել արմատները, քանի որ այս անգամ մեր արմատը քառակուսի չէ, այլ. խորանարդ. Անհրաժեշտ է, որ արմատը ինչ-որ կերպ բարձրացվի խորանարդի մեջ: Ուստի անհրաժեշտ է բանաձեւերից մի քանիսը կիրառել խորանարդիկներով։ Ինչ? Եկեք մտածենք. Հայտարարը գումարն է: Ինչպե՞ս ենք հասնում խորանարդի արմատին: Բազմապատկել թերի քառակուսի տարբերություն! Այսպիսով, մենք կկիրառենք բանաձևը խորանարդի գումարներ. Այս մեկը:
Ինչպես ամենք ունենք երեք, և ինչպես բհինգի խորանարդ արմատն է.
Եվ նորից կոտորակը անհետացավ։) Շատ հաճախ հանդիպող իրավիճակներ են, երբ կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելով՝ կոտորակն ինքն ամբողջությամբ անհետանում է արմատների հետ միասին։ Ինչպես եք սիրում այս օրինակը:
Հաշվարկել.
Պարզապես փորձեք ավելացնել այս երեք կոտորակները: Առանց սխալների! :) Մեկ ընդհանուր հայտարար արժե ինչ-որ բան: Բայց ի՞նչ, եթե փորձենք ազատվել յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի իռացիոնալությունից։ Դե, եկեք փորձենք.
Վայ, ինչ հետաքրքիր է: Բոլոր կոտորակները վերացել են: Ամբողջությամբ։ Եվ հիմա օրինակը լուծվում է երկու հաշվարկով.
Պարզ և էլեգանտ. Եվ առանց երկար ու հոգնեցուցիչ հաշվարկների։ :)
Դրա համար էլ կոտորակներով իռացիոնալությունից ազատվելու օպերացիան պետք է հնարավոր լինի անել։ Նման շքեղ օրինակներում միայն նա է փրկում, այո:) Իհարկե, ոչ ոք չեղարկեց ուշադրությունը: Կան առաջադրանքներ, որտեղ նրանց խնդրում են ազատվել իռացիոնալությունից համարիչ. Այս առաջադրանքները չեն տարբերվում դիտարկվածներից, միայն համարիչը մաքրվում է արմատներից:)
Ավելի բարդ օրինակներ
Մնում է հաշվի առնել արմատների հետ աշխատելու որոշ հատուկ տեխնիկա և պրակտիկա բացահայտել ոչ ամենապարզ օրինակները: Եվ այդ դեպքում ստացված տեղեկատվությունն արդեն բավական կլինի բարդության ցանկացած մակարդակի արմատներով առաջադրանքներ լուծելու համար: Այսպիսով, առաջ գնացեք:) Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչ անել բնադրված արմատների հետ, երբ արմատից արմատային բանաձևը չի գործում: Օրինակ, ահա մի օրինակ.
Հաշվարկել.
Արմատը արմատի տակ ... Բացի այդ, արմատների տակ գումարն է կամ տարբերությունը: Հետեւաբար, արմատից արմատի բանաձեւը (ցուցանիշների բազմապատկմամբ) այստեղ է Դա չի աշխատում. Այսպիսով, ինչ-որ բան պետք է արվի արմատական արտահայտություններ A: Մենք պարզապես այլ տարբերակներ չունենք: Նման օրինակներում ամենից հաճախ մեծ արմատի տակ գաղտնագրված է լրիվ քառակուսիորոշակի գումար: Կամ տարբերություններ. Իսկ քառակուսու արմատն արդեն հիանալի արդյունահանված է: Եվ հիմա մեր խնդիրն այն վերծանելն է։) Այսպիսի գաղտնազերծումն իրականացվում է գեղեցիկ միջոցով հավասարումների համակարգ. Այժմ դուք ինքներդ կարող եք տեսնել):
Այսպիսով, առաջին արմատի տակ ունենք այս արտահայտությունը.
Իսկ եթե չգուշակե՞ք։ Եկեք ստուգենք! Քառակուսում՝ օգտագործելով գումարի քառակուսի բանաձևը.
Ճիշտ է։) Բայց ... Որտեղի՞ց ինձ այս արտահայտությունը։ Երկնքի՞ց։
Ոչ։) Ազնվորեն մի քիչ ցածր կստանանք։ Պարզապես օգտագործելով այս արտահայտությունը, ես ցույց եմ տալիս, թե ինչպես են առաջադրանքների կազմողները ծածկագրում նման քառակուսիները: :) Ի՞նչ է 54-ը: այն առաջին և երկրորդ թվերի քառակուսիների գումարը. Եվ, ուշադրություն դարձրեք, արդեն առանց արմատների. Բայց արմատը մնում է կրկնակի արտադրանք, որը մեր դեպքում հավասար է . Հետևաբար, նման օրինակների բացահայտումը սկսվում է կրկնակի արտադրանքի որոնումից: Եթե դուք քանդեք սովորական ընտրությամբ: Եվ, ի դեպ, նշանների մասին. Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Եթե նախկինում կրկնապատկվել է գումարած, ապա գումարի քառակուսին: Եթե մինուս, ապա տարբերությունը։) Մենք ունենք պլյուս, որը նշանակում է գումարի քառակուսին։) Իսկ հիմա՝ վերծանման խոստացված վերլուծական մեթոդը։ համակարգի միջոցով։)
Այսպիսով, մեր արմատի տակ արտահայտությունը հստակ կախված է (ա+բ) 2, և մեր խնդիրն է գտնել աև բ. Մեր դեպքում քառակուսիների գումարը տալիս է 54։ Այսպիսով, մենք գրում ենք.
Այժմ ապրանքը կրկնապատկվում է: Մենք ունենք այն. Այսպիսով, մենք գրում ենք.
Մենք ստացել ենք հետևյալ համակարգը.
Մենք լուծում ենք սովորական փոխարինման մեթոդով. Երկրորդ հավասարումից, օրինակ, արտահայտում ենք և փոխարինում առաջինի մեջ.
Լուծենք առաջին հավասարումը.
Ստացել է երկքառակուսիհամարի հավասարումըա . Մենք համարում ենք տարբերակիչ.
Նշանակում է,
Մենք ստացել ենք չորս հնարավոր արժեքներա. Մենք չենք վախենում։ Այժմ մենք կվերացնենք ավելորդ ամեն ինչ:) Եթե հիմա հաշվարկենք համապատասխան արժեքները հայտնաբերված չորս արժեքներից յուրաքանչյուրի համար, ապա կստանանք մեր համակարգի չորս լուծում: Այստեղ են:
Եվ հետո հարց է՝ լուծումներից որն է մեզ սազում։ Եկեք մտածենք. Բացասական լուծումները կարող են անմիջապես հրաժարվել. քառակուսի դնելիս մինուսները «կվառվեն», և ամբողջ արմատական արտահայտությունն ամբողջությամբ չի փոխվի: Մնում են առաջին երկու տարբերակները: Դուք կարող եք դրանք ընտրել բոլորովին կամայական՝ տերմինների վերադասավորումից գումարն ամեն դեպքում չի փոխվում։) Թող, օրինակ, և .
Ընդհանուր առմամբ, արմատի տակ ստացանք հետևյալ քանակի քառակուսին.
Ամեն ինչ պարզ է։)
Իզուր չէ, որ ես այսքան մանրամասն նկարագրում եմ լուծման ընթացքը։ Որպեսզի պարզ լինի, թե ինչպես է վերծանումը տեղի ունենում:) Բայց կա մեկ խնդիր. Վերծանման վերլուծական մեթոդը, թեև հուսալի է, բայց շատ երկար և ծանրաբեռնված է. պետք է լուծել երկքառակուսի հավասարումը, ստանալ համակարգի չորս լուծում, իսկ հետո մտածել, թե որոնք ընտրել... Անհանգիստ: Համաձայն եմ, դժվար է: Այս մեթոդը անթերի է աշխատում այս օրինակներից շատերում: Այնուամենայնիվ, հաճախ լավ է կրճատել ձեր աշխատանքը և ստեղծագործաբար գտնել երկու թվերը: Ընտրություն։) Այո, այո։ Այժմ, օգտագործելով երկրորդ տերմինի (երկրորդ արմատ) օրինակը, ես ցույց կտամ ավելի հեշտ և արագ ճանապարհ՝ արմատի տակ գտնվող լրիվ քառակուսին ընտրելու համար։
Այսպիսով, այժմ մենք ունենք այս արմատը. 
.
Մենք մտածում ենք այսպես. «Արմատի տակ, ամենայն հավանականությամբ, կոդավորված ամբողջական քառակուսի է: Կրկնապատկված մինուսի դիմաց ժամանակը նշանակում է տարբերության քառակուսի: Առաջին և երկրորդ թվերի քառակուսիների գումարը մեզ տալիս է թիվը 54. Բայց որո՞նք են այս քառակուսիները: 1 և 53 49 և 5 ? Չափազանց շատ տարբերակներ ... Ոչ, ավելի լավ է սկսել քանդել կրկնակի արտադրանքով: Մերկարելի է գրել որպես. Մի անգամ աշխատանք կրկնակի, ապա անմիջապես մերժում ենք դյուցազունը։ Հետո դերի թեկնածուները a և b մնում են 7 և . Եվ հանկարծ 14-ն է և/2 ? Չի բացառվում։ Բայց մենք միշտ սկսում ենք պարզից:Այսպիսով, թող մի . Եկեք ստուգենք դրանք քառակուսիների գումարի համար.
Տեղի է ունեցել! Այսպիսով, մեր արմատային արտահայտությունը իրականում տարբերության քառակուսին է.
Ահա այսպիսի ճանապարհ-լույս, որպեսզի չխառնվի համակարգի հետ։ Դա միշտ չէ, որ աշխատում է, բայց շատ նման օրինակներում դա բավական է։ Այսպիսով, արմատների տակ լրիվ քառակուսիներ են: Մնում է միայն արմատները ճիշտ հանել և օրինակը հաշվել.
Եվ հիմա եկեք վերլուծենք արմատներում նույնիսկ ավելի ոչ ստանդարտ առաջադրանքը:)
Ապացուցեք, որ Ա թիվըամբողջ թիվ է, եթե .
Ոչինչ ուղղակիորեն չի արդյունահանվում, արմատները բնադրված են, և նույնիսկ տարբեր աստիճանի ... Մղձավանջ: Այնուամենայնիվ, խնդիրն իմաստ ունի։) Հետևաբար, դրա լուծման բանալին կա։) Եվ ահա բանալին։ Հաշվի առեք մեր հավասարությունը
ինչպես համարի հավասարումը Ա. Այո այո! Լավ կլիներ արմատներից ազատվել։ Մեր արմատները խորանարդ են, ուստի եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցնենք խորանարդի: Ըստ բանաձևի գումարի խորանարդ:
Խորանարդներն ու խորանարդ արմատները միմյանց փոխհատուցում են, և յուրաքանչյուր մեծ արմատի տակ մենք քառակուսիից վերցնում ենք մեկ փակագիծ և տարբերության և գումարի արտադրյալը դարձնում ենք քառակուսիների տարբերության.
Առանձին-առանձին մենք հաշվարկում ենք արմատների տակ գտնվող քառակուսիների տարբերությունը.
Թվաբանական արմատները փոխակերպելիս օգտագործվում են դրանց հատկությունները (տես կետ 35):
Դիտարկենք ռադիկալների ամենապարզ փոխակերպումների համար թվաբանական արմատների հատկությունների կիրառման մի քանի օրինակ։ Այս դեպքում բոլոր փոփոխականները կդիտարկվեն որպես միայն ոչ բացասական արժեքներ:
Օրինակ 1. Արտահանեք արմատը արտադրանքի որոշումից: Կիրառելով հատկությունը 1°, մենք ստանում ենք.
Օրինակ 2. Արմատի նշանի տակից հանել գործակիցը
Լուծում.
Նման փոխակերպումը կոչվում է ֆակտորինգ դուրս արմատային նշանի տակից: Փոխակերպման նպատակը արմատական արտահայտությունը պարզեցնելն է։
Օրինակ 3. Պարզեցնել
Լուծում. Ըստ 3° հատկության՝ սովորաբար փորձում ենք պարզեցնել արմատական արտահայտությունը, որի համար արմատի նշանից դուրս գործոններ են հանում։ Մենք ունենք
Օրինակ 4. Պարզեցնել
Լուծում. Արտահայտությունը փոխակերպում ենք՝ արմատի նշանի տակ գործակից ներմուծելով՝ ըստ հատկության 4° ունենք
Օրինակ 5. Պարզեցնել
Լուծում. 5° հատկությամբ մենք իրավունք ունենք արմատի չափանիշը և արմատական արտահայտության ցուցիչը բաժանել նույն բնական թվի։ Եթե դիտարկվող օրինակում նշված ցուցանիշները բաժանենք 3-ի, ապա կստանանք
Օրինակ 6. Պարզեցնել արտահայտությունները. ա)
Լուծում, ա) 1° հատկությամբ ստանում ենք, որ նույն աստիճանի արմատները բազմապատկելու համար բավական է բազմապատկել արմատական արտահայտությունները և ստացված արդյունքից հանել նույն աստիճանի արմատը։ Նշանակում է,
բ) Առաջին հերթին պետք է ռադիկալները իջեցնենք մեկ ցուցանիշի։ Ըստ 5° հատկության՝ կարող ենք արմատի չափանիշը և արմատային արտահայտության աստիճանը նույն բնական թվով բազմապատկել։ Հետևաբար, այնուհետև մենք ունենք Եվ հիմա արմատի ցուցիչները և արմատական արտահայտության աստիճանը 3-ի բաժանելով ստացված արդյունքում ստանում ենք.
Թիվ 1 մարզիչ
Թեմա՝ Փոխակերպել ուժը և իռացիոնալ արտահայտությունները
Մաթեմատիկա առարկայի ընտրովի ծրագիր 10-րդ դասարանի սովորողների համար
ԾրագիրԴիմում. Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերի կիրառում վերափոխում արտահայտությունները. Թեմա 4. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները և դրանց գրաֆիկները: Ամփոփել... . 16.01-20.01 18 վերափոխում ուժև իռացիոնալ արտահայտությունները. 23.01-27.01 19 ...
Ուսումնական նյութի հանրահաշվի օրացուցային-թեմատիկ պլանավորում և վերլուծության սկիզբ, դասարան 11
Օրացույց-թեմատիկ պլանավորումԵվ ռացիոնալ ցուցանիշ. վերափոխում ուժև իռացիոնալ արտահայտությունները. 2 2 2 սեպտեմբեր Լոգարիթմների հատկությունները. վերափոխումլոգարիթմական արտահայտությունները. 1 1 1 ... ամբողջությամբ վերաբերվել է դրանքուսանողներ, ովքեր ձգտում են բարձր...
Դասի թեման Դասի տեսակը (4)
Դաս... փոխակերպումներթվային և այբբենական արտահայտություններըՊարունակող աստիճան ... աստիճաններԻմանալ՝ հայեցակարգ աստիճանիռացիոնալ ցուցիչով; հիմնական հատկությունները աստիճաններ. Կարողանալ՝ գտնել իմաստը աստիճանՀետ իռացիոնալ... 3 կողմից թեմա « Աստիճանդրական թիվ...
Թեմա Աշխատանքի մեջ հոգեբանական գիտելիքների զարգացման մշակութային և պատմական հիմքերը Թեմա Աշխատանքը որպես սոցիալ-հոգեբանական իրականություն
ՓաստաթուղթԵվ այլն) թեմաաշխատուժը սերտորեն կապված է սոցիալ-տնտեսական փոխակերպումներ. Օրինակ, ... գիտակցության, բնազդների վերակառուցումը, իռացիոնալմիտումները, այսինքն. ներքին կոնֆլիկտներ ... պարզելով ներկայությունը և աստիճան արտահայտչականությունմարդն ունի որոշակի...
Քառակուսի արմատներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպում (1)
ԴասԽմբագրել է Ս.Ա. Տելյակովսկին. Թեմադաս: վերափոխում արտահայտություններըքառակուսի պարունակող...) փոխակերպումներարմատները արտադրանքից, կոտորակները և աստիճան, բազմապատկում ... (նույնականի հմտության ձևավորում փոխակերպումներ իռացիոնալ արտահայտությունները): Թիվ 421։ (գրատախտակի մոտ...
Արմատների հատկությունների հիմքում ընկած են հետևյալ երկու փոխակերպումները, որոնք կոչվում են արմատի նշանի տակ բերելը և արմատի նշանի տակից հանելը, որին այժմ դիմում ենք։
Արմատի նշանի տակ գործակից մուտքագրելը
Նշանի տակ գործակից մուտքագրելը նշանակում է , որտեղ B և C-ն որոշ թվեր կամ արտահայտություններ են, իսկ n-ը մեկից մեծ բնական թիվ, փոխարինել ձևի նույնական հավասար արտահայտությամբ կամ :
Օրինակ, իռացիոնալ արտահայտությունը արմատային նշանի տակ 2 գործոնն ավելացնելուց հետո ստանում է ձև:
Այս փոխակերպման տեսական հիմքերը, դրա իրականացման կանոնները, ինչպես նաև բոլոր տեսակի բնորոշ օրինակների լուծումները տրված են արմատային նշանի տակ գործոնը ներկայացնող հոդվածում։
Արմատի նշանի տակից հանելով բազմապատկիչը
Փոխակերպումը, որոշակի իմաստով, արմատային նշանի տակ գործոնի ներմուծման հակառակը, գործոնի հեռացումն է արմատային նշանի տակից։ Այն բաղկացած է նրանից, որ արմատը ներկայացնելու է որպես կենտ n-ի արտադրյալ կամ զույգ n-ի արտադրյալ, որտեղ B-ն և C-ն որոշ թվեր կամ արտահայտություններ են:
Օրինակ՝ վերադառնանք նախորդ պարբերությանը. գործոնը արմատի նշանի տակից հանելուց հետո իռացիոնալ արտահայտությունը ստանում է ձև: Մեկ այլ օրինակ. հանելով գործոնը արտահայտության արմատի նշանի տակից, ստացվում է մի արտադրյալ, որը կարող է վերագրվել որպես .
Ինչի վրա է հիմնված այս փոխակերպումը և ինչ կանոնների համաձայն է այն իրականացվում, մենք առանձին հոդվածում կվերլուծենք արմատային նշանի տակից գործոնի հեռացումը։ Նույն տեղում մենք տալիս ենք օրինակների լուծումներ և թվարկում եղանակներ՝ արմատական արտահայտությունը բազմապատկիչ հանելու համար հարմար ձևի բերելու համար։
Արմատներ պարունակող կոտորակների փոխակերպում
Իռացիոնալ արտահայտությունները կարող են պարունակել կոտորակներ, որոնց համարիչում և հայտարարում կան արմատներ։ Նման ֆրակցիաներով դուք կարող եք իրականացնել հիմնականներից որևէ մեկը Կոտորակների նույնական փոխակերպումներ.
Նախ, ոչինչ չի խանգարում ձեզ աշխատել համարիչի և հայտարարի արտահայտությունների հետ: Որպես օրինակ վերցնենք կոտորակը։ Համարիչում իռացիոնալ արտահայտությունն ակնհայտորեն նույնականորեն հավասար է , և, նկատի ունենալով արմատների հատկությունները, հայտարարի արտահայտությունը կարող է փոխարինվել արմատով: Արդյունքում, սկզբնական կոտորակը վերածվում է ձևի:
Երկրորդ՝ դուք կարող եք փոխել նշանը կոտորակից առաջ՝ փոխելով համարիչի կամ հայտարարի նշանը: Օրինակ՝ իռացիոնալ արտահայտության այսպիսի փոխակերպումներ կան. 
.
Երրորդ, երբեմն հնարավոր է և նպատակահարմար է կրճատել կոտորակը։ Օրինակ, ինչպես ինքներդ ձեզ մերժել մասնակի կրճատման հաճույքը 
իռացիոնալ արտահայտության, արդյունքում ստանում ենք 
.
Հասկանալի է, որ շատ դեպքերում կոտորակի կրճատումը կատարելուց առաջ պետք է գործոնավորել նրա համարիչի և հայտարարի արտահայտությունները, ինչը պարզ դեպքերում կարելի է հասնել կրճատված բազմապատկման բանաձևերով։ Եվ երբեմն փոփոխականի փոխարինումը օգնում է կրճատել կոտորակը, ինչը թույլ է տալիս սկզբնական կոտորակից իռացիոնալությամբ անցնել ռացիոնալ կոտորակի, որի հետ աշխատելն ավելի հարմարավետ և ծանոթ է:
Որպես օրինակ վերցնենք մի արտահայտություն. Եկեք ներմուծենք նոր փոփոխականներ և այս փոփոխականներում բնօրինակ արտահայտությունն ունի ձև: Կատարում է համարիչով
Հոդվածում բացահայտվում է իռացիոնալ արտահայտությունների և դրանցով փոխակերպումների իմաստը։ Դիտարկենք իռացիոնալ արտահայտությունների, փոխակերպման և բնորոշ արտահայտությունների հենց հայեցակարգը:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Որո՞նք են իռացիոնալ արտահայտությունները:
Երբ դպրոցում ծանոթանում ենք արմատին, ուսումնասիրում ենք իռացիոնալ արտահայտություններ հասկացությունը։ Նման արտահայտությունները սերտորեն կապված են արմատների հետ։
Սահմանում 1
Իռացիոնալ արտահայտություններարտահայտություններ են, որոնք արմատ ունեն։ Այսինքն՝ սրանք արտահայտություններ են, որոնք ունեն արմատականներ։
Այս սահմանման հիման վրա մենք ունենք, որ x - 1 , 8 3 3 6 - 1 2 3 , 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 բոլորն էլ իռացիոնալ տիպի արտահայտություններ են:
x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 արտահայտությունը դիտարկելիս մենք գտնում ենք, որ արտահայտությունը ռացիոնալ է: Ռացիոնալ արտահայտությունները ներառում են բազմանդամներ և հանրահաշվական կոտորակներ: Իռացիոնալները ներառում են լոգարիթմական կամ արմատական արտահայտությունների հետ աշխատելը:
Իռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները
Նման արտահայտությունները հաշվարկելիս անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել ODZ-ին։ Հաճախ դրանք պահանջում են լրացուցիչ փոխակերպումներ՝ ընդարձակվող փակագծերի, անդամների, խմբավորումների և այլնի տեսքով: Նման փոխակերպումների հիմքը թվերի հետ գործառնություններն են։ Իռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումները հետևում են խիստ կարգի.
Օրինակ 1
Փոխակերպեք 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 արտահայտությունը:
Լուծում
Անհրաժեշտ է 9 թիվը փոխարինել արմատ պարունակող արտահայտությամբ։ Հետո մենք ստանում ենք դա
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
Ստացված արտահայտությունն ունի նմանատիպ տերմիններ, ուստի եկեք կատարենք կրճատումը և խմբավորումը։ Ստացեք
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Պատասխան. 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Օրինակ 2
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 արտահայտությունը ներկայացրե՛ք որպես երկու իռացիոնալների արտադրյալ՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը:
Լուծումներ
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Մենք ներկայացնում ենք 9-ը 3 2-ի տեսքով և կիրառում ենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը.
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Նույնական փոխակերպումների արդյունքը հանգեցրեց երկու ռացիոնալ արտահայտությունների արդյունքին, որոնք պետք էր գտնել։
Պատասխան.
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
Դուք կարող եք կատարել մի շարք այլ փոխակերպումներ, որոնք վերաբերում են իռացիոնալ արտահայտություններին:
Արմատական արտահայտության փոխակերպում
Կարևոր է, որ արմատի նշանի տակ արտահայտությունը կարող է փոխարինվել դրան նույնական հավասար արտահայտությամբ։ Այս հայտարարությունը հնարավորություն է տալիս աշխատել արմատական արտահայտության հետ։ Օրինակ, 1 + 6-ը կարող է փոխարինվել 7-ով կամ 2 · a 5 4 - 6-ով 2 · a 4 · a 4 - 6-ով: Նրանք նույնականորեն հավասար են, ուստի փոխարինումը իմաստ ունի:
Երբ չկա a-ից տարբերվող 1, որտեղ a n \u003d a 1 n ձևի անհավասարությունը ճիշտ է, ապա այդպիսի հավասարություն հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ a \u003d a 1: Նման արտահայտությունների արժեքները հավասար են փոփոխականների ցանկացած արժեքին:
Արմատային հատկությունների օգտագործումը
Արմատային հատկությունները օգտագործվում են արտահայտությունները պարզեցնելու համար: a · b = a · b հատկությունը կիրառելու համար, որտեղ a ≥ 0, b ≥ 0, ապա 1 + 3 · 12 իռացիոնալ ձևից կարելի է նույնականորեն հավասար լինել 1 + 3 · 12-ի: Սեփականություն. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2, . . . , · n k , որտեղ a ≥ 0 նշանակում է, որ x 2 + 4 4 3 կարելի է գրել x 2 + 4 24 ձևով:
Արմատական արտահայտությունները փոխակերպելիս կան որոշ նրբերանգներ։ Եթե կա արտահայտություն, ապա - 7 - 81 4 \u003d - 7 4 - 81 4 մենք չենք կարող գրել, քանի որ a b n \u003d a n b n բանաձևը ծառայում է միայն ոչ բացասական a և դրական b-ի համար: Եթե գույքը ճիշտ է կիրառվում, ապա կստացվի 7 4 81 4 ձևի արտահայտություն։
Ճիշտ փոխակերպման համար օգտագործվում են իռացիոնալ արտահայտությունների փոխակերպումներ՝ օգտագործելով արմատների հատկությունները։
Արմատի նշանի տակ գործակից մուտքագրելը
Սահմանում 3Մուտքագրեք արմատի նշանի տակ– նշանակում է փոխարինել B · C n արտահայտությունը, իսկ B և C որոշ թվեր կամ արտահայտություններ են, որտեղ n-ը բնական թիվ է, որը մեծ է 1-ից, հավասար արտահայտությամբ, որն ունի B n · C n կամ - B n ձևը: · C n.
Եթե պարզեցնենք 2 x 3 ձևի արտահայտությունը, ապա այն արմատի տակ ավելացնելուց հետո կստանանք 2 3 x 3: Նման փոխակերպումները հնարավոր են միայն արմատային նշանի տակ գործոնի ներդրման կանոնների մանրամասն ուսումնասիրությունից հետո։
Արմատի նշանի տակից հանելով բազմապատկիչը
Եթե կա B n · C n ձևի արտահայտություն, ապա այն վերածվում է B · C n ձևի, որտեղ կան կենտ n, որոնք ընդունում են B · C n ձևը զույգ n-ով, B և C որոշ թվեր են: և արտահայտություններ։
Այսինքն, եթե վերցնենք 2 3 · x 3 ձևի իռացիոնալ արտահայտությունը, արմատի տակից հանենք գործոնը, ապա կստանանք 2 · x 3 արտահայտությունը: Կամ x + 1 2 · 7 կստացվի x + 1 · 7 նման արտահայտություն, որն ունի մեկ այլ նշում x + 1 · 7 ձևով:
Բազմապատկիչը արմատի տակից հանելը անհրաժեշտ է արտահայտությունը պարզեցնելու և դրա արագ փոխակերպման համար։
Արմատներ պարունակող կոտորակների փոխակերպում
Իռացիոնալ արտահայտությունը կարող է լինել կամ բնական թիվ կամ կոտորակ: Կոտորակային արտահայտությունները փոխակերպելու համար մեծ ուշադրություն է դարձվում դրա հայտարարին: Եթե վերցնենք (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3 ձևի կոտորակը, ապա համարիչը կստանա 5 x 4 ձևը և, օգտագործելով արմատների հատկությունները, կստանանք, որ հայտարարը կդառնա x 2: + 5 6. Բնօրինակ կոտորակը կարելի է գրել 5 x 4 x 2 + 5 6:
Նկատի ունեցեք, որ պետք է փոխել միայն համարիչի նշանը կամ միայն հայտարարը։ Մենք դա հասկանում ենք
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
Կոտորակի կրճատումն առավել հաճախ օգտագործվում է պարզեցնելիս: Մենք դա հասկանում ենք
3 x + 4 3 - 1 x x + 4 3 - 1 3 մենք կրճատում ենք x + 4 3 - 1-ով: Մենք ստանում ենք 3 · x x + 4 3 - 1 2 արտահայտությունը:
Կրճատումից առաջ անհրաժեշտ է կատարել փոխակերպումներ, որոնք պարզեցնում են արտահայտությունը և հնարավոր են դարձնում բարդ արտահայտությունը ֆակտորիզացնել։ Առավել հաճախ օգտագործվող բանաձևերն են կրճատ բազմապատկումը:
Եթե վերցնենք 2 · x - y x + y ձևի կոտորակը, ապա անհրաժեշտ է ներմուծել նոր փոփոխականներ u = x և v = x, ապա տրված արտահայտությունը կփոխի ձևը և կդառնա 2 · u 2 - v 2 u +: v. Համարիչը պետք է տարրալուծվի բազմանդամների՝ ըստ բանաձևի, այնուհետև մենք ստանում ենք դա
2 u 2 - v 2 u + v = 2 (u - v) u + v u + v = 2 u - v. Հակադարձ փոխարինումը կատարելուց հետո կգանք 2 · x - y ձևին, որը հավասար է սկզբնականին։
Կրճատումը մինչև նոր հայտարար թույլատրվում է, ապա անհրաժեշտ է համարիչը բազմապատկել լրացուցիչ գործակցով։ Եթե վերցնենք x 3 - 1 0, 5 · x ձևի կոտորակը, ապա կրճատում ենք մինչև x հայտարարը: դրա համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բազմապատկել 2 x արտահայտությամբ, այնուհետև մենք ստանում ենք x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x արտահայտությունը:
Կոտորակների կրճատումը կամ համանմանները բերելը անհրաժեշտ է միայն նշված կոտորակի ODZ-ի վրա: Համարն ու հայտարարը իռացիոնալ արտահայտությամբ բազմապատկելիս ստանում ենք, որ ազատվում ենք հայտարարի իռացիոնալությունից։
Ազատվել իռացիոնալությունից հայտարարի մեջ
Երբ արտահայտությունը փոխակերպմամբ ազատվում է հայտարարի արմատից, ապա դա կոչվում է ազատվել իռացիոնալությունից։ Դիտարկենք x 3 3 ձևի կոտորակի օրինակը: Իռացիոնալությունից ազատվելուց հետո ստանում ենք 9 3 · x 3 ձևի նոր կոտորակ:
Անցում արմատներից աստիճանների
Իռացիոնալ արտահայտությունների արագ փոխակերպման համար անհրաժեշտ են արմատներից դեպի իշխանություն անցումներ։ Եթե դիտարկենք a m n = a m n հավասարությունը, ապա պարզ է, որ դրա օգտագործումը հնարավոր է, երբ a-ն դրական թիվ է, m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ է։ Եթե դիտարկենք 5 - 2 3 արտահայտությունը, ապա հակառակ դեպքում մենք իրավունք ունենք այն գրել 5 - 2 3: Այս արտահայտությունները համարժեք են։
Երբ արմատի տակ կա բացասական թիվ կամ փոփոխականներով թիվ, ապա a m n = a m n բանաձևը միշտ չէ, որ կիրառելի է: Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է (- 8) 3 5 և (- 16) 2 4 արմատները փոխարինել հզորություններով, ապա մենք ստանում ենք, որ - 8 3 5 և - 16 2 4 ըստ a m n = a m n բանաձևի չեն աշխատում բացասական a-ի հետ: Արմատական արտահայտությունների թեման և դրանց պարզեցումները մանրամասն վերլուծելու համար անհրաժեշտ է ուսումնասիրել արմատներից իշխանություններին անցման մասին հոդվածը և հակառակը։ Պետք է հիշել, որ a m n = a m n բանաձևը կիրառելի չէ այս տեսակի բոլոր արտահայտությունների համար: Իռացիոնալությունից ազատվելը նպաստում է արտահայտության հետագա պարզեցմանը, վերափոխմանը և լուծմանը։
Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter