Մաթեմատիկայի ուսուցչին լսելիս աշակերտների մեծ մասը նյութն ընկալում է որպես աքսիոմա։ Միևնույն ժամանակ, քչերն են փորձում հասնել հատակին և պարզել, թե ինչու է «մինուս»-ից «պլյուս»-ը տալիս «մինուս» նշան, իսկ երկու բացասական թվերը բազմապատկելիս դուրս է գալիս դրականը:

Մաթեմատիկայի օրենքներ

Մեծահասակների մեծ մասը չեն կարողանում բացատրել իրենց կամ իրենց երեխաներին, թե ինչու է դա տեղի ունենում: Նրանք դպրոցում մանրակրկիտ կլանել էին այս նյութը, բայց չէին էլ փորձում պարզել, թե որտեղից են նման կանոնները։ Բայց ապարդյուն։ Հաճախ ժամանակակից երեխաներն այնքան էլ դյուրահավատ չեն, նրանք պետք է հասնեն խնդրին և հասկանան, ասենք, թե ինչու «պլյուս»-ը «մինուս»-ի վրա տալիս է «մինուս»: Եվ երբեմն թմբուկները դիտավորյալ խրթին հարցեր են տալիս, որպեսզի վայելեն այն պահը, երբ մեծերը չեն կարողանում հասկանալի պատասխան տալ: Եվ դա իսկապես աղետ է, եթե երիտասարդ ուսուցիչը դժվարության մեջ է ընկնում ...

Ի դեպ, պետք է նշել, որ վերը նշված կանոնը գործում է ինչպես բազմապատկման, այնպես էլ բաժանման համար։ Բացասական և դրական թվի արտադրյալը միայն մինուս կտա: Եթե ​​մենք խոսում ենք «-» նշանով երկու թվանշանի մասին, ապա արդյունքը կլինի դրական թիվ: Նույնը վերաբերում է բաժանմանը: Եթե ​​թվերից մեկը բացասական է, ապա գործակիցը նույնպես կլինի «-» նշանով։

Մաթեմատիկայի այս օրենքի ճիշտությունը բացատրելու համար անհրաժեշտ է ձեւակերպել օղակի աքսիոմները։ Բայց նախ պետք է հասկանալ, թե դա ինչ է: Մաթեմատիկայում ընդունված է օղակն անվանել մի շարք, որում ներգրավված են երկու տարրով երկու գործողություն։ Բայց դա ավելի լավ է հասկանալ օրինակով.

Օղակաձեւ աքսիոմա

Կան մի քանի մաթեմատիկական օրենքներ.

• Դրանցից առաջինը տեղաշարժվող է, ըստ նրա՝ C + V = V + C:
• Երկրորդը կոչվում է ասոցիատիվ (V + C) + D = V + (C + D):

Բազմապատկումը (V x C) x D \u003d V x (C x D) նույնպես ենթարկվում է դրանց:

Ոչ ոք չեղարկեց այն կանոնները, որոնցով բացվում են փակագծերը (V + C) x D = V x D + C x D, ճիշտ է նաև, որ C x (V + D) = C x V + C x D:

Բացի այդ, պարզվել է, որ օղակի մեջ կարող է ներմուծվել հատուկ, ավելացում-չեզոք տարր, որի միջոցով ճիշտ կլինի հետևյալը. C + 0 = C: Բացի այդ, յուրաքանչյուր C-ի համար կա հակառակ տարր, որը կարող է. նշանակվել որպես (-C): Այս դեպքում C + (-C) \u003d 0:

Բացասական թվերի աքսիոմների ածանցում

Ընդունելով վերը նշված պնդումները՝ մենք կարող ենք պատասխանել հարցին. «Պլյուս»-ը «մինուս»-ի վրա ի՞նչ նշան է տալիս: Իմանալով բացասական թվերի բազմապատկման աքսիոմը՝ անհրաժեշտ է հաստատել, որ իսկապես (-C) x V = -(C x V): Եվ նաև, որ ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը՝ (-(-C)) = C.

Դա անելու համար նախ պետք է ապացուցել, որ տարրերից յուրաքանչյուրն ունի միայն մեկ հակառակ «եղբայր»։ Նկատի առնենք հետևյալ ապացույցի օրինակը. Փորձենք պատկերացնել, որ երկու թվեր հակադիր են C - V-ի և D-ի համար: Այստեղից հետևում է, որ C + V = 0 և C + D = 0, այսինքն, C + V = 0 = C + D: Հիշելով տեղաշարժի օրենքները իսկ 0 թվի հատկությունների մասին կարող ենք դիտարկել բոլոր երեք թվերի գումարը՝ C, V և D: Փորձենք պարզել V-ի արժեքը: Տրամաբանական է, որ V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, քանի որ C + D-ի արժեքը, ինչպես ընդունվեց վերևում, հավասար է 0-ի: Հետևաբար, V = V + C + D:

D-ի արժեքը ստացվում է նույն կերպ՝ D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D: Դրա հիման վրա պարզ է դառնում, որ V = D:

Հասկանալու համար, թե ինչու, այնուամենայնիվ, «մինուսի» վրա «պլյուսը» տալիս է «մինուս», դուք պետք է հասկանաք հետևյալը. Այսպիսով, (-C) տարրի համար հակադիր են C-ն և (-(-C)), այսինքն՝ դրանք հավասար են միմյանց:

Այնուհետև ակնհայտ է, որ 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V: Սրանից հետևում է, որ C x V-ը հակառակ է (-) C x V-ին: , ինչը նշանակում է (- C) x V = -(C x V):

Լրիվ մաթեմատիկական խստության համար անհրաժեշտ է նաև հաստատել, որ ցանկացած տարրի համար 0 x V = 0: Եթե ​​հետևում եք տրամաբանությանը, ապա 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V: Սա նշանակում է, որ 0 x V արտադրանքը ավելացնելով սահմանված գումարը որևէ կերպ չի փոխվում: Ի վերջո, այս արտադրանքը հավասար է զրոյի:

Իմանալով այս բոլոր աքսիոմները՝ կարելի է եզրակացնել, թե ինչքան է տալիս «պլյուս»-ը «մինուս»-ով, այլ նաև, թե ինչ է տեղի ունենում բացասական թվերը բազմապատկելու դեպքում։

Երկու թվերի բազմապատկում և բաժանում «-» նշանով

Եթե ​​դուք չեք խորանում մաթեմատիկական նրբերանգների մեջ, ապա կարող եք փորձել ավելի պարզ կերպով բացատրել գործողության կանոնները բացասական թվերով։

Ենթադրենք, որ C - (-V) = D, դրա հիման վրա C = D + (-V), այսինքն, C = D - V: Մենք փոխանցում ենք V և ստանում ենք, որ C + V = D: Այսինքն, C. + V = C - (-V): Այս օրինակը բացատրում է, թե ինչու արտահայտությունում, որտեղ անընդմեջ երկու «մինուս» կա, նշված նշանները պետք է փոխվեն «գումարած»-ի։ Հիմա անդրադառնանք բազմապատկմանը։

(-C) x (-V) \u003d D, երկու նույնական արտադրյալները կարող են ավելացվել և հանվել արտահայտությանը, որը չի փոխի դրա արժեքը. (-C) x (-V) + (C x V) - (C) x V) \u003d Դ.

Հիշելով փակագծերի հետ աշխատելու կանոնները՝ մենք ստանում ենք.

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Սրանից հետևում է, որ C x V \u003d (-C) x (-V):

Նմանապես, մենք կարող ենք ապացուցել, որ երկու բացասական թվերի բաժանման արդյունքը կլինի դրական:

Ընդհանուր մաթեմատիկական կանոններ

Իհարկե, նման բացատրությունը հարմար չէ տարրական դասարանների աշակերտներին, ովքեր նոր են սկսում սովորել վերացական բացասական թվեր։ Ավելի լավ է, որ նրանք բացատրեն տեսանելի առարկաների վրա՝ շահարկելով ծանոթ տերմինը ապակու միջոցով: Օրինակ՝ այնտեղ գտնվում են հորինված, բայց գոյություն չունեցող խաղալիքներ։ Նրանք կարող են ցուցադրվել «-» նշանով: Երկու ապակե առարկաների բազմապատկումը դրանք տեղափոխում է մեկ այլ աշխարհ, որը հավասարվում է ներկային, այսինքն՝ արդյունքում ունենում ենք դրական թվեր։ Բայց վերացական բացասական թվի բազմապատկումը դրական թվով տալիս է միայն բոլորին ծանոթ արդյունք։ Ի վերջո, «պլյուսը» բազմապատկած «մինուսով» տալիս է «մինուս»: Ճիշտ է, երեխաները շատ չեն ջանում խորանալ մաթեմատիկական բոլոր նրբերանգների մեջ։

Թեև, եթե առերեսվում եք ճշմարտության հետ, շատերի համար, նույնիսկ բարձրագույն կրթությամբ, շատ կանոններ մնում են առեղծված: Յուրաքանչյուր ոք ինքն է ընդունում այն, ինչ իրենց ուսուցիչներն են սովորեցնում՝ չկորցնելով խորամուխ լինել այն բոլոր բարդությունների մեջ, որոնցով հղի է մաթեմատիկան: «Մինուսը» «մինուսի» վրա տալիս է «գումարած» - այս մասին բոլորը գիտեն առանց բացառության: Սա ճիշտ է ինչպես ամբողջ, այնպես էլ կոտորակային թվերի համար։

Line UMK G.K. Մուրավինա, Օ.Վ. Մուրավինա. Մաթեմատիկա (5-6)

Մաթեմատիկա

Ինչու՞ է մինուսը մինուսի չափով միշտ պլյուս տալիս:

Բնական թվերի առավելությունները

Նախ, եկեք սուզվենք թվաբանության պատմության մեջ: Միանգամայն բնական է, որ սկզբում մարդիկ օգտագործում էին միայն բնական թվեր՝ մեկ, երկու, երեք և այլն։ Դրանք օգտագործվել են իրերի իրական թիվը հաշվարկելու համար: Հենց այդպես, ամեն ինչից մեկուսացած, թվերն անօգուտ էին, ուստի սկսեցին ի հայտ գալ գործողություններ, որոնց օգնությամբ հնարավոր դարձավ թվերով գործել։ Միանգամայն տրամաբանական է, որ հավելումը դարձել է մարդու համար ամենաանհրաժեշտը։ Այս գործողությունը պարզ և բնական է. ավելի հեշտ դարձավ հաշվել իրերի քանակը, այժմ պետք չէր ամեն անգամ նորից հաշվել՝ «մեկ, երկու, երեք»: Հաշվի փոխարինումն այժմ հնարավոր է «մեկ գումարած երկու հավասար է երեքի» գործողության միջոցով: Բնական թվեր գումարվեցին, պատասխանը նույնպես բնական թիվ էր։

Բազմապատկումը ըստ էության նույն գումարումն էր։ Գործնականում հիմա էլ, օրինակ, գնումներ կատարելիս մենք օգտագործում ենք նաև գումարում և բազմապատկում, ինչպես վաղուց արել են մեր նախնիները։ Սակայն երբեմն անհրաժեշտ էր լինում կատարել հանման և բաժանման գործողություններ։ Եվ միշտ չէ, որ թվերը համարժեք էին. երբեմն այն թիվը, որից նրանք հանում էին, պակաս էր, քան հանված թիվը: Նույնը բաժանման դեպքում. Այսպիսով հայտնվեցին կոտորակային թվեր։

Բացասական թվերի տեսքը

Բացասական թվերի մասին գրառումները հայտնվեցին հնդկական փաստաթղթերում մ.թ.ա 7-րդ դարում: Այս մաթեմատիկական «փաստի» ավելի հին գրառումներ կան չինական փաստաթղթերում։

Կյանքում մենք ամենից հաճախ հանում ենք ավելի փոքր թիվ ավելի մեծ թվից: Օրինակ՝ ես ունեմ 100 ռուբլի, հացն ու կաթը՝ 65 ռուբլի; 100 - 65 = 35 ռուբլի փոփոխություն: Եթե ​​ես ուզում եմ գնել որևէ այլ ապրանք, որի արժեքը գերազանցում է իմ մնացած 35 ռուբլին, օրինակ՝ մեկ կաթ ավել, ապա որքան էլ ուզում եմ գնել, ավելի շատ գումար չունեմ, հետևաբար՝ չունեմ։ բացասական թվեր պետք չեն:

Այնուամենայնիվ, շարունակելով խոսել ժամանակակից կյանքի մասին, նշենք վարկային քարտերը կամ բջջային օպերատորի` զանգեր կատարելիս «մինուսի մեջ մտնելու» հնարավորությունը։ Հնարավոր է դառնում ավելի շատ գումար ծախսել, քան ունես, բայց պարտքը ոչ թե վերանում է, այլ պարտքի մեջ է մտնում։ Եվ ահա բացասական թվերն արդեն օգնության են հասնում. քարտի վրա կա 100 ռուբլի, հացն ու երկու կաթն ինձ կարժենա 110 ռուբլի; գնումից հետո իմ մնացորդը քարտի վրա -10 ռուբլի է:

Գործնականում նույն նպատակների համար նրանք առաջին անգամ սկսեցին օգտագործել բացասական թվեր։ Չինացիներն առաջինն են օգտագործել դրանք պարտքերը գրելու կամ հավասարումների միջանկյալ լուծումներում: Բայց օգտագործումը դեռևս միայն դրական թիվ էր (սակայն, ինչպես մեր վարկային քարտի մարումը): Բացասական թվերի երկարատև մերժմանը նպաստում էր այն, որ դրանք կոնկրետ առարկաներ չէին արտահայտում։ Տասը մետաղադրամը տասը մետաղադրամ է, ահա, կարող ես ձեռք տալ դրանց, կարող ես դրանցով ապրանք գնել։ Ի՞նչ է նշանակում «մինուս տասը մետաղադրամ»: Սպասվում են, եթե նույնիսկ դա պարտք է։ Հայտնի չէ, թե արդյոք այս պարտքը կվերադարձվի, և արդյոք «գրանցված» մետաղադրամները կվերածվեն իրականի։ Եթե ​​խնդիր լուծելիս ստացվել է բացասական թիվ, համարվել է, որ սխալ պատասխան է ստացվել կամ ընդհանրապես պատասխան չկա։ Այս անվստահությունը երկար ժամանակ պահպանվեց մարդկանց մեջ, նույնիսկ Դեկարտը (17-րդ դար), ով բեկում մտցրեց մաթեմատիկայի մեջ, բացասական թվերը համարում էր «կեղծ»։

Ձեռնարկի առաջադրանքները թույլ են տալիս կանխել մաթեմատիկայի դասավանդման չորրորդ տարվա հիմնական թեմաները յուրացնելու հնարավոր դժվարությունները, օգնել զարգացնել տարածական պատկերները, ուսանողների երկրաչափական դիտարկումը և ձևավորել ինքնատիրապետման հմտություններ:

Բացասական թվերով գործողությունների կանոնների ձևավորում

Դիտարկենք 9x-12=4x-2 հավասարումը։ Հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է անհայտով անդամները տեղափոխել մի կողմ, իսկ հայտնի թվերը մյուս կողմ: Դա կարելի է անել երկու եղանակով.

Առաջին ճանապարհը.

Անհայտով հավասարման մասը տեղափոխում ենք ձախ, իսկ մյուս թվերը՝ աջ։ Պարզվում է:

Պատասխանը գտնվեց: Բոլոր այն գործողությունների համար, որոնք մենք պետք է կատարեինք, մենք երբեք չենք դիմել բացասական թվեր օգտագործելու:

Երկրորդ ճանապարհը.

Այժմ անհայտով հավասարման մասը տեղափոխում ենք աջ, իսկ մնացած անդամները՝ ձախ։ Մենք ստանում ենք.

Լուծումը գտնելու համար անհրաժեշտ է մի բացասական թիվը բաժանել մյուսի։ Այնուամենայնիվ, մենք արդեն ստացել ենք ճիշտ պատասխանը նախորդ լուծման մեջ՝ սա x-ը հավասար է երկուսի: Հետևաբար, մնում է եզրակացնել, որ (-10)/(-5)=2:

Ի՞նչ են մեզ ապացուցում նույն հավասարումը լուծելու այս երկու եղանակները: Առաջին բանը, որ պարզ է դառնում, այն է, թե ինչպես է ստացվել բացասական թվերի հետ գործելու համարժեքությունը. ստացված պատասխանը պետք է լինի նույնը, ինչ միայն բնական թվերով լուծելիս: Երկրորդ կետը այն փաստն է, որ դուք այլևս կարիք չունեք մտածել արժեքների մասին, որպեսզի առանց ձախողման ստանաք ոչ բացասական թիվ: Դուք կարող եք ընտրել լուծելու ամենահարմար տարբերակը, հատկապես բարդ հավասարումների համար։ Գործողությունները, որոնք հնարավորություն տվեցին չմտածել որոշ գործողությունների մասին (ինչ է պետք անել, որ միայն բնական թվեր լինեն. ո՞ր թիվն է ավելի մեծ, որ դրանից հանենք և այլն), դարձան մաթեմատիկայի «աբստրակցիայի» առաջին քայլերը։ .

Բնականաբար, բացասական թվերով գործողության ոչ բոլոր կանոններն են ձևավորվել միաժամանակ։ Կուտակվեցին լուծումներ, ընդհանրացվեցին օրինակներ, որոնց հիման վրա սկսեցին աստիճանաբար «դուրս հանել» հիմնական աքսիոմները։ Մաթեմատիկայի զարգացմամբ, նոր կանոնների թողարկմամբ ի հայտ եկան վերացականության նոր մակարդակներ։ Օրինակ, տասնիններորդ դարում ապացուցվեց, որ ամբողջ թվերն ու բազմանդամները շատ ընդհանրություններ ունեն, թեև դրանք տարբեր տեսք ունեն: Բոլորը կարելի է գումարել, հանել և բազմապատկել։ Կանոնները, որոնց նրանք ենթարկվում են, ազդում են նրանց վրա մի կերպ. Ինչ վերաբերում է որոշ ամբողջ թվերի բաժանմանը մյուսների վրա, ապա այստեղ «սպասում» է մի հետաքրքիր փաստ՝ պատասխանը միշտ չէ, որ կլինի ամբողջ թիվ։ Նույն օրենքը վերաբերում է բազմանդամներին.

Այնուհետև բացահայտվեցին մաթեմատիկական առարկաների բազմաթիվ այլ հավաքածուներ, որոնց վրա հնարավոր էր կատարել նման գործողություններ՝ ֆորմալ հզորության շարքեր, շարունակական ֆունկցիաներ... Ժամանակի ընթացքում մաթեմատիկոսները պարզեցին, որ գործողությունների հատկությունները ուսումնասիրելուց հետո հնարավոր կլինի կիրառել արդյունքները օբյեկտների այս բոլոր հավաքածուներին: Նույնը վերաբերում է ժամանակակից մաթեմատիկային:

Ավելի հետաքրքիր բաներ.

• Մաթեմատիկայի ուսուցչի աշխատանքի առանձնահատկությունները 2018/2019 ուսումնական տարում
• Տիպիկ սխալներ, որոնք թույլ են տալիս ուսուցիչները տարրական դպրոցում մաթեմատիկա դասավանդելիս
• Արտադասարանական գործունեություն մաթեմատիկայից տարրական դպրոցում

Զուտ մաթեմատիկական մոտեցում

Ժամանակի ընթացքում մաթեմատիկոսները հայտնաբերել են նոր տերմին՝ օղակ: Օղակը տարրերի և գործողությունների մի շարք է, որոնք կարող են իրականացվել դրանց վրա: Հիմնական են դառնում կանոնները (հենց աքսիոմները), որոնց ենթակա են գործողությունները, և ոչ թե բազմության տարրերի բնույթը։ Աքսիոմների ներմուծումից հետո առաջացող կառուցվածքի առաջնայնությունն ընդգծելու համար սովորաբար օգտագործվում է «օղակ» տերմինը՝ ամբողջ թվերի օղակ, բազմանդամների օղակ և այլն։ Օգտվելով աքսիոմներից և դրանցից ելնելով կարելի է բացահայտել. օղակների նոր հատկություններ.

Մենք ձևակերպում ենք օղակի կանոնները, որոնք նման են ամբողջ թվերով գործողությունների աքսիոմներին և ապացուցում, որ ցանկացած օղակում մինուսը մինուսով բազմապատկելուց ստացվում է գումարած:

Օղակը երկու երկուական գործողություններով բազմություն է (յուրաքանչյուր գործողություն ներառում է օղակի երկու տարր), որոնք ավանդաբար կոչվում են գումարում և բազմապատկում, և հետևյալ աքսիոմները.

Օղակաձեւ տարրերի ավելացումը ենթարկվում է կոմուտատիվ (A + B = B + A ցանկացած A և B տարրերի համար) և կոմբինացիոն (A + (B + C) = (A + B) + C) օրենքներին. Օղակը ունի հատուկ տարր 0 (ավելացում չեզոք), այնպես, որ A + 0 = A, և A-ի ցանկացած տարրի համար կա հակառակ տարր (նշվում է (-A)), այնպես, որ A + (-A) = 0;

Բազմապատկումը ենթարկվում է համակցության օրենքին. A (B C) = (A B) C;

Գումարը և բազմապատկումը կապված են փակագծերի ընդլայնման հետևյալ կանոններով.

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C:

Հստակեցնենք, որ օղակները, ամենաընդհանուր կառուցվածքում, չեն պահանջում բազմապատկման փոխակերպման համար, ոչ էլ դրա հետադարձելիությունը (բաժանման գործողությունը միշտ չէ, որ հնարավոր է), ոչ էլ միավորի՝ չեզոք տարրի առկայությունը բազմապատկման նկատմամբ։ Եթե ​​ներմուծենք այս աքսիոմները, ապա կստանանք այլ հանրահաշվական կառուցվածքներ, սակայն օղակների համար ապացուցված բոլոր վավերական թեորեմներով:

Մաթեմատիկա. 6-րդ դասարան. Աշխատանքային տետր թիվ 1.

Աշխատանքային գրքույկը պարունակում է տարբեր տեսակի առաջադրանքներ նոր նյութի յուրացման և համախմբման համար, զարգացող բնույթի առաջադրանքներ, լրացուցիչ առաջադրանքներ, որոնք թույլ են տալիս տարբերակված ուսուցում: Նոթատետրը օգտագործվում է դասագրքի հետ համատեղ «Մաթեմատիկա. 6-րդ դասարան «(խմբ. Ա.Գ. Մերզլյակ, Վ.Բ. Պոլոնսկի, Մ.Ս. Յակիր), որն ընդգրկված է ուսումնական և մեթոդական փաթեթների համակարգում «Հաջողության ալգորիթմ»:

Հաջորդ քայլը պետք է ապացուցել, որ կամայական օղակի ցանկացած A և B տարրերի համար ճիշտ է հետևյալը. (-A) B = -(A B) և (-(-A)) = A:

Դրանից մենք ստանում ենք հայտարարություններ միավորների մասին.

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1:

Հաջորդը, մենք պետք է ապացուցենք որոշ կետեր: Նախ, անհրաժեշտ է հաստատել յուրաքանչյուր տարրի համար միայն մեկ հակադիր գոյություն: Ենթադրենք A տարրն ունի երկու հակադիր տարր՝ B և C: Այսինքն՝ A + B \u003d 0 \u003d A + C: Եկեք վերլուծենք A + B + C գումարը: Օգտագործելով կոմուտատիվ և ասոցիատիվ օրենքները, ինչպես նաև հատկությունները: զրո, ստանում ենք, որ գումարը հավասար է.

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C:

Հետևաբար, B = C:

Նկատի ունեցեք, որ և՛ A-ն, և՛ (-(-A))-ը հակադիր են (-A) տարրին: Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ A և (-(-A)) տարրերը պետք է հավասար լինեն:

դրանք. (-A) B-ն A B-ի հակառակն է, ուստի այն հավասար է -(A B):

Նկատի ունեցեք, որ 0 · B = 0 B-ի ցանկացած տարրի համար:

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

Այսպիսով, 0 B ավելացնելով գումարը չի փոխվում: Ստացվում է, որ այս արտադրյալը հավասար է զրոյի։

Իսկապես, ինչո՞ւ։ Ամենահեշտ պատասխանն է՝ «Որովհետև սրանք են բացասական թվերի հետ աշխատելու կանոնները»։ Այն կանոնները, որոնք մենք սովորում ենք դպրոցում և կիրառում մեր ողջ կյանքում: Սակայն դասագրքերը չեն բացատրում, թե ինչու են կանոններն այնպիսին, ինչպիսին կան։ Հիշեցինք՝ վերջ, և այլևս հարցը մի տվեք։

Եվ եկեք հարցնենք ...

Շատ վաղուց մարդկանց հայտնի էին միայն բնական թվերը՝ 1, 2, 3, ... Դրանք օգտագործվում էին հաշվելու համար նախատեսված սպասքը, որսը, թշնամիները և այլն։ նրանց. Հավելումը պարզ ու հասկանալի է, և բացի այդ, երկու բնական թվերի գումարը նույնպես բնական թիվ է (մաթեմատիկոսը կասեր, որ բնական թվերի բազմությունը փակվում է գումարման գործողությամբ)։ Բազմապատկումն իրականում նույն գումարումն է, եթե խոսքը բնական թվերի մասին է։ Կյանքում մենք հաճախ կատարում ենք գործողություններ՝ կապված այս երկու գործողությունների հետ (օրինակ՝ գնումներ կատարելիս մենք ավելացնում և բազմապատկում ենք), և տարօրինակ է կարծել, որ մեր նախնիները դրանց ավելի հազվադեպ են հանդիպել. առաջ. Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մի մեծությունը բաժանել մյուսի վրա, բայց այստեղ արդյունքը միշտ չէ, որ արտահայտվում է բնական թվով. այսպես են առաջացել կոտորակային թվերը։

Հանացումն, իհարկե, նույնպես անփոխարինելի է։ Բայց գործնականում մենք հակված ենք ավելի փոքր թվին հանել մեծ թվից, և կարիք չկա բացասական թվեր օգտագործել։ (Եթե ես ունենամ 5 կոնֆետ և 3-ը տամ քրոջս, ապա կունենամ 5 - 3 = 2 կոնֆետ, բայց ես չեմ կարող նրան 7 կոնֆետ տալ իմ ամբողջ ցանկությամբ:) Սա կարող է բացատրել, թե ինչու մարդիկ բացասական թվեր չեն օգտագործել: երկար ժամանակով.


Բացասական թվերը հայտնվում են մ.թ. 7-րդ դարի հնդկական փաստաթղթերում. չինացիները, ըստ երեւույթին, սկսել են դրանք օգտագործել մի փոքր ավելի վաղ։ Դրանք օգտագործվում էին պարտքերի հաշվառման համար կամ միջանկյալ հաշվարկներում՝ պարզեցնելու համար հավասարումների լուծումը. դա միայն դրական պատասխան ստանալու գործիք էր: Խիստ անվստահություն առաջացրեց այն փաստը, որ բացասական թվերը, ի տարբերություն դրականի, չեն արտահայտում որևէ էության առկայություն։ Մարդիկ բառի բուն իմաստով խուսափում էին բացասական թվերից՝ եթե խնդիրը բացասական պատասխան էր ստանում, հավատում էին, որ ընդհանրապես պատասխան չկա։ Այս անվստահությունը պահպանվեց շատ երկար ժամանակ, և նույնիսկ Դեկարտը, որը ժամանակակից մաթեմատիկայի «հիմնադիրներից» մեկն էր, դրանք անվանեց «կեղծ» (17-րդ դարում):

Դիտարկենք օրինակ 7x - 17 \u003d 2x - 2 հավասարումը: Այն կարելի է լուծել հետևյալ կերպ. անհայտով տերմինները տեղափոխեք ձախ կողմ, իսկ մնացածը աջ, կստանաք 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Սրանով մենք նույնիսկ բացասական թվեր չհանդիպեցինք լուծման մեջ։

Բայց դա կարելի էր այլ կերպ անել՝ անհայտով տերմինները տեղափոխել աջ կողմ և ստանալ 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x: Անհայտը գտնելու համար անհրաժեշտ է մեկ բացասական թիվը բաժանել մյուսի վրա՝ x = (-15)/(-5): Բայց ճիշտ պատասխանը հայտնի է, և մնում է եզրակացնել, որ (-15)/(-5) = 3:

Ի՞նչ է ցույց տալիս այս պարզ օրինակը: Նախ պարզ է դառնում այն ​​տրամաբանությունը, որը սահմանում է բացասական թվերի վրա գործողությունների կանոնները՝ այդ գործողությունների արդյունքները պետք է համապատասխանեն այլ կերպ՝ առանց բացասական թվերի ստացված պատասխաններին։ Երկրորդ, թույլ տալով բացասական թվերի օգտագործումը, մենք ազատվում ենք հոգնեցուցիչ (եթե հավասարումը պարզվում է, որ ավելի բարդ է, մեծ թվով տերմիններով) լուծում գտնելու ճանապարհը, որում բոլոր գործողությունները կատարվում են միայն բնական թվերի վրա: Ավելին, մենք այլևս չենք կարող ամեն անգամ մտածել փոխակերպվող մեծությունների իմաստալիցության մասին, և սա արդեն քայլ է մաթեմատիկան վերացական գիտության վերածելու ուղղությամբ:

Բացասական թվերի վրա գործողությունների կանոնները անմիջապես չեն ձևավորվել, այլ դարձել են բազմաթիվ օրինակների ընդհանրացում, որոնք առաջացել են կիրառական խնդիրներ լուծելիս: Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկայի զարգացումը պայմանականորեն կարելի է բաժանել փուլերի՝ յուրաքանչյուր հաջորդ փուլ նախորդից տարբերվում է օբյեկտների ուսումնասիրության վերացականության նոր մակարդակով։ Այսպիսով, 19-րդ դարում մաթեմատիկոսները հասկացան, որ ամբողջ թվերն ու բազմանդամները, չնայած իրենց արտաքին անհամապատասխանությանը, շատ ընդհանրություններ ունեն. երկուսն էլ կարելի է գումարել, հանել և բազմապատկել: Այս գործողությունները ենթարկվում են նույն օրենքներին՝ և՛ թվերի, և՛ բազմանդամների դեպքում։ Բայց ամբողջ թվերի բաժանումը միմյանց վրա, որպեսզի արդյունքը կրկին ամբողջ թվեր լինեն, միշտ չէ, որ հնարավոր է։ Նույնը վերաբերում է բազմանդամներին։

Այնուհետև հայտնաբերվեցին մաթեմատիկական առարկաների այլ հավաքածուներ, որոնց վրա կարելի է կատարել նման գործողություններ՝ ֆորմալ հզորության շարքեր, շարունակական ֆունկցիաներ... Վերջապես, հասկացվեց, որ եթե ուսումնասիրեք հենց գործողությունների հատկությունները, ապա արդյունքները կարող են կիրառվել այս բոլորի վրա։ առարկաների հավաքածուներ (այս մոտեցումը բնորոշ է բոլոր ժամանակակից մաթեմատիկայի համար):

Արդյունքում հայտնվեց նոր հայեցակարգ՝ մատանին։ Դա պարզապես տարրերի մի փունջ է, գումարած գործողություններ, որոնք կարող են իրականացվել դրանց վրա: Այստեղ հիմնարար կանոնները պարզապես կանոններն են (դրանք կոչվում են աքսիոմներ), որոնք ենթակա են գործողությունների, և ոչ թե բազմության տարրերի բնույթը (այստեղ դա վերացականության նոր մակարդակ է): Ցանկանալով ընդգծել, որ աքսիոմների ներմուծումից հետո առաջացող կառուցվածքն է կարևոր՝ մաթեմատիկոսներն ասում են՝ ամբողջ թվերի օղակը, բազմանդամների օղակը և այլն։ Սկսած աքսիոմներից՝ կարելի է բխել օղակների այլ հատկություններ։

Մենք կձևակերպենք օղակի աքսիոմները (որոնք, իհարկե, նման են ամբողջ թվերով գործողությունների կանոններին), ապա կապացուցենք, որ ցանկացած օղակում մինուսը մինուսով բազմապատկելուց ստացվում է գումարած։

Օղակը երկու երկուական գործողություններով բազմություն է (այսինքն, յուրաքանչյուր գործողության մեջ ներգրավված են օղակի երկու տարր), որոնք ավանդաբար կոչվում են գումարում և բազմապատկում, և հետևյալ աքսիոմները.

Օղակաձեւ տարրերի ավելացումը ենթարկվում է կոմուտատիվ (A + B = B + A ցանկացած A և B տարրերի համար) և կոմբինացիոն (A + (B + C) = (A + B) + C) օրենքներին. Օղակը ունի հատուկ տարր 0 (ավելացում չեզոք), այնպես, որ A + 0 = A, և A-ի ցանկացած տարրի համար կա հակառակ տարր (նշվում է (-A)), այնպես, որ A + (-A) = 0;
- բազմապատկումը ենթարկվում է համակցության օրենքին. A (B C) = (A B) C;
գումարումը և բազմապատկումը կապված են փակագծերի ընդլայնման հետևյալ կանոններով՝ (A + B) C = A C + B C և A (B + C) = A B + A C:

Մենք նշում ենք, որ օղակները, ամենաընդհանուր կառուցվածքում, չեն պահանջում բազմապատկում, որ փոխակերպելի լինեն, ոչ էլ շրջելի (այսինքն, միշտ չէ, որ հնարավոր է բաժանել), ոչ էլ պահանջում է միավորի, չեզոք տարրի առկայությունը։ վերաբերվում է բազմապատկմանը. Եթե ​​այս աքսիոմները ներկայացվեն, ապա ստացվում են այլ հանրահաշվական կառուցվածքներ, սակայն օղակների համար ապացուցված բոլոր թեորեմները դրանցում ճշմարիտ կլինեն։

Հիմա եկեք ապացուցենք, որ կամայական օղակի ցանկացած A և B տարրերի համար, առաջին հերթին, (-A) B = -(A B), և երկրորդը (-(-A)) = A: Սա հեշտությամբ ենթադրում է հայտարարություններ միավորների մասին. 1) 1 = -(1 1) = -1 և (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1:

Դա անելու համար մենք պետք է որոշ փաստեր հաստատենք։ Նախ մենք ապացուցում ենք, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է ունենալ միայն մեկ հակադիր։ Իսկապես, թող A տարրն ունենա երկու հակադիր՝ B և C: Այսինքն՝ A + B = 0 = A + C: Դիտարկենք A + B + C գումարը: Օգտագործելով ասոցիատիվ և փոխադարձ օրենքները և զրոյի հատկությունը՝ մենք ստացեք, որ մի կողմից գումարը հավասար է B-ի. B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, իսկ մյուս կողմից, այն հավասար է C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Հետևաբար, B = C:

Նկատի ունեցեք, որ և՛ A-ն, և՛ (-(-A)) նույն տարրի (-A) հակադիրներն են, ուստի դրանք պետք է հավասար լինեն:

Առաջին փաստը ստացվում է հետևյալ կերպ. (A B):

Մաթեմատիկորեն խիստ լինելու համար եկեք նաև բացատրենք, թե ինչու B-ի ցանկացած տարրի համար 0·B = 0: Իրոք, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B: Այսինքն՝ 0 B գումարելով գումարը չի փոխվում։ Այսպիսով, այս արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Իսկ այն, որ ռինգում կա ուղիղ մեկ զրո (ի վերջո, աքսիոմներն ասում են, որ այդպիսի տարր կա, բայց դրա եզակիության մասին ոչինչ չի ասվում!), որպես պարզ վարժություն կթողնենք ընթերցողին։

Եվգենի Եպիֆանով

Մինուսը և գումարածը մաթեմատիկայի մեջ բացասական և դրական թվերի նշաններ են: Նրանք իրենց հետ փոխազդում են տարբեր ձևերով, հետևաբար, թվերի հետ որևէ գործողություն կատարելիս, օրինակ՝ բաժանում, բազմապատկում, հանում, գումարում և այլն, անհրաժեշտ է հաշվի առնել. ստորագրել կանոնները. Առանց այս կանոնների, դուք երբեք չեք կարողանա լուծել նույնիսկ ամենապարզ հանրահաշվական կամ երկրաչափական խնդիրը: Առանց այս կանոնների իմացության, դուք չեք կարողանա սովորել ոչ միայն մաթեմատիկա, այլև ֆիզիկա, քիմիա, կենսաբանություն և նույնիսկ աշխարհագրություն:

Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք նշանների հիմնական կանոնները.

Բաժանում.

Եթե ​​«պլյուսը» բաժանենք «մինուսի», ապա միշտ ստանում ենք «մինուս»։ Եթե ​​«մինուսը» բաժանենք «պլյուսի» վրա, ապա միշտ էլ «մինուս» ենք ստանում։ Եթե ​​«գումարած»-ը բաժանենք «պլյուս»-ի, ապա կստանանք «գումարած»: Եթե ​​«մինուսը» բաժանենք «մինուսի», ապա, տարօրինակ կերպով, ստանում ենք նաև «գումարած»:

Բազմապատկում.

Եթե ​​«մինուսը» բազմապատկենք «գումարած»-ով, ապա միշտ ստանում ենք «մինուս»: Եթե ​​«պլյուսը» բազմապատկենք «մինուսով», ապա միշտ էլ «մինուս» ենք ստանում։ Եթե ​​«գումարած»-ը բազմապատկենք «գումարած»-ով, ապա ստացվում է դրական թիվ, այսինքն՝ «գումարած»: Նույնը վերաբերում է երկու բացասական թվերին: Եթե ​​«մինուսը» բազմապատկենք «մինուսով», կստանանք «գումարած»:

Հանում և գումարում.

Դրանք հիմնված են այլ սկզբունքների վրա։ Եթե ​​բացասական թիվն իր բացարձակ արժեքով ավելի մեծ է, քան մեր դրականը, ապա արդյունքն, իհարկե, բացասական կլինի։ Անշուշտ, դուք մտածում եք, թե ինչ է մոդուլը և ինչու է այն ընդհանրապես այստեղ: Ամեն ինչ շատ պարզ է. Մոդուլը թվի արժեք է, բայց առանց նշանի: Օրինակ -7 և 3: Modulo -7-ը կլինի ընդամենը 7, իսկ 3-ը կմնա 3: Արդյունքում մենք տեսնում ենք, որ 7-ն ավելի մեծ է, այսինքն՝ ստացվում է, որ մեր բացասական թիվն ավելի մեծ է: Այսպիսով, այն դուրս կգա -7 + 3 \u003d -4: Դա կարելի է նույնիսկ ավելի հեշտ դարձնել: Ուղղակի առաջին տեղում դրեք դրական թիվ, և դուրս կգա 3-7 = -4, երևի ինչ-որ մեկի համար դա ավելի հասկանալի է։ Հանացումն աշխատում է ճիշտ նույն կերպ։

Համախմբել բնական թվերը, սովորական և տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու ունակությունը.

Սովորեք բազմապատկել դրական և բացասական թվերը;

Զարգացնել խմբով աշխատելու կարողությունը

Զարգացնել հետաքրքրասիրությունը, հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ; թեմայի շուրջ մտածելու և խոսելու ունակություն.

ՍարքավորումներՋերմաչափերի և տների մոդելներ, մտավոր հաշվման և թեստային աշխատանքի քարտեր, բազմապատկման նշանների կանոններով պաստառ։

Մոտիվացիա

Ուսուցիչ . Այսօր մենք սկսում ենք նոր թեմա ուսումնասիրել։ Մենք պատրաստվում ենք նոր տուն կառուցել։ Ասա ինձ, ինչն է որոշում տան ամրությունը:

Հիմա եկեք ստուգենք, թե որն է մեր հիմքը, այսինքն՝ մեր գիտելիքների ուժը։ Ես ձեզ չասացի դասի թեման։ Այն կոդավորված է, այսինքն՝ թաքնված բանավոր հաշվելու առաջադրանքում։ Եղեք ուշադիր և ուշադիր: Ահա քարտեր օրինակներով: Լուծելով դրանք և համապատասխանեցնելով տառը պատասխանին, դուք կիմանաք դասի թեմայի անվանումը:

Ուսուցիչ. Այսպիսով, այդ բառը բազմապատկվում է: Բայց մենք արդեն ծանոթ ենք բազմապատկմանը։ Ինչու՞ պետք է այն ուսումնասիրենք: Ի՞նչ թվերի եք վերջերս հանդիպել:

[Դրականով և բացասականով:]

Կարո՞ղ ենք դրանք բազմապատկել: Ուստի դասի թեման կլինի «Դրական և բացասական թվերի բազմապատկումը»։

Դուք արագ և ճիշտ լուծեցիք օրինակները։ Լավ հիմք է դրվել։ ( Ուսուցիչը մոդելային տան վրա « պառկում է» հիմնադրամ.) Կարծում եմ, որ տունը երկարակյաց կլինի։

Նոր թեմայի ուսումնասիրություն

Ուսուցիչ . Հիմա եկեք պատեր կառուցենք։ Նրանք կապում են հատակն ու տանիքը, այսինքն՝ հին թեման նորի հետ։ Այժմ դուք կաշխատեք խմբերով։ Յուրաքանչյուր խմբի կտրվի խնդիր, որը պետք է միասին լուծեն, իսկ հետո դասարանին կբացատրեն լուծումը:

1-ին խումբ

Օդի ջերմաստիճանը ամեն ժամ իջնում ​​է 2°-ով։ Այժմ ջերմաչափը ցույց է տալիս զրո աստիճան: Ի՞նչ ջերմաստիճան ցույց կտա 3 ժամ հետո:

Խմբային որոշում. Քանի որ այժմ ջերմաստիճանը 0 է, և յուրաքանչյուր ժամվա ընթացքում ջերմաստիճանը նվազում է 2°-ով, ակնհայտ է, որ 3 ժամ հետո ջերմաստիճանը կլինի -6°։ Ջերմաստիճանի նվազումը նշանակենք –2°, իսկ ժամանակը` +3 ժամ: Այնուհետև կարող ենք ենթադրել, որ (–2) 3 = –6:

Ուսուցիչ . Իսկ ի՞նչ կլինի, եթե ես վերադասավորեմ գործոնները, այսինքն՝ 3 (–2):

Ուսանողները. Պատասխանը նույնն է՝ -6, քանի որ օգտագործվում է բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը։

Օդի ջերմաստիճանը ամեն ժամ իջնում ​​է 2°-ով։ Այժմ ջերմաչափը ցույց է տալիս զրո աստիճան: Օդի ինչ ջերմաստիճան է ցույց տվել ջերմաչափը 3 ժամ առաջ.

Խմբային որոշում. Քանի որ ամեն ժամ ջերմաստիճանը իջնում ​​էր 2°-ով, իսկ հիմա 0 է, ակնհայտ է, որ 3 ժամ առաջ +6° էր։ Ջերմաստիճանի նվազումը նշանակենք -2°-ով, իսկ անցած ժամանակը -3 ժամով։ Այնուհետև կարող ենք ենթադրել, որ (–2) (–3) = 6։

Ուսուցիչ . Դուք դեռ չգիտեք, թե ինչպես բազմապատկել դրական և բացասական թվերը։ Բայց նրանք լուծում էին խնդիրներ, որտեղ անհրաժեշտ էր բազմապատկել նման թվերը։ Փորձեք ինքներդ դուրս բերել դրական և բացասական թվերի, երկու բացասական թվերի բազմապատկման կանոնները: ( Ուսանողները փորձում են պարզել կանոնը.) Լավ. Հիմա բացենք դասագրքերը և կարդանք դրական և բացասական թվերի բազմապատկման կանոնները։ Համեմատե՛ք ձեր կանոնը դասագրքում գրվածի հետ։

Կանոն 1Տարբեր նշաններով երկու թվեր բազմապատկելու համար պետք է բազմապատկել այս թվերի մոդուլները և ստացված արտադրյալի դիմաց դնել «-» նշանը։

Կանոն 2. Երկու թվեր նույն նշաններով բազմապատկելու համար պետք է բազմապատկել այս թվերի մոդուլները և ստացված արտադրյալի դիմաց դնել «+» նշանը։

Ուսուցիչ. Ինչպես տեսաք հիմքը կառուցելիս, բնական և կոտորակային թվերը բազմապատկելու խնդիր չունեք։ Խնդիրներ կարող են առաջանալ դրական և բացասական թվերը բազմապատկելիս։ Ինչո՞ւ։

Հիշիր. Դրական և բացասական թվերը բազմապատկելիս.

1) որոշել նշանը.
2) գտնել մոդուլների արտադրյալը.

Ուսուցիչ . Բազմապատկման նշանների համար կան մնեմոնիկ կանոններ, որոնք շատ հեշտ է հիշել: Համառոտ դրանք ձևակերպված են հետևյալ կերպ.

«+» «+» \u003d «+» - գումարած գումարածը տալիս է գումարած;
«–» «+» = «–» - մինուս գումարածը տալիս է մինուս;
"+" "-" \u003d "-" - գումարած մինուսը տալիս է մինուս;
«–» · «–» = «+» - մինուս անգամ մինուսը տալիս է գումարած:

(Տետրերում սովորողները գրում են նշանների կանոնը:)

Ուսուցիչ . Եթե ​​մենք մեզ և մեր ընկերներին համարում ենք դրական, իսկ մեր թշնամիներին՝ բացասական, ապա կարող ենք այսպես ասել.

Իմ ընկերոջ ընկերն իմ ընկերն է։
Իմ ընկերոջ թշնամին իմ թշնամին է։
Իմ թշնամու ընկերն իմ թշնամին է։
Իմ թշնամու թշնամին իմ ընկերն է։

Ուսումնասիրվածի առաջնային ըմբռնում և կիրառում

Գրատախտակի վրա բանավոր լուծույթի օրինակներ: Ուսանողները ասում են կանոնը.

Ուսուցիչ . Ամեն ինչ պարզ է? Հարցեր չկա՞ն: Այսպիսով, պատերը կառուցված են: ( Ուսուցիչը պատեր է դնում.) Հիմա ի՞նչ ենք կառուցում։

(Գրատախտակ են կանչվում չորս ուսանողներ:)

Ուսուցիչ. Պատրա՞ստ է տանիքը։

(Ուսուցիչը տանիք է դնում մոդելային տան վրա:)

Աշակերտները աշխատանքն ավարտում են մեկ տարբերակով.

Աշխատանքն ավարտելուց հետո տետրեր են փոխանակում հարեւանի հետ։ Ուսուցիչը հայտնում է ճիշտ պատասխանները, իսկ աշակերտները միմյանց գնահատում են:

Դասի ամփոփում. Արտացոլում

Ուսուցիչ. Ո՞րն էր մեր նպատակը դասի սկզբում: Դուք սովորե՞լ եք, թե ինչպես բազմապատկել դրական և բացասական թվերը: ( Նրանք կրկնում են կանոնները.) Ինչպես տեսաք այս դասում, յուրաքանչյուր նոր թեմա տուն է, որը պետք է կապիտալ կառուցվի, տարիներ շարունակ։ Հակառակ դեպքում ձեր բոլոր շենքերը կարճ ժամանակ անց կփլուզվեն։ Հետեւաբար, ամեն ինչ կախված է ձեզանից: Մաղթում եմ, տղերք, որ բախտը միշտ ժպտա ձեզ, հաջողություն գիտելիքի յուրացման գործում։

Ստորագրեք կանոնները

ստորագրել կանոնները

Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք նշանների հիմնական կանոնները.

Եթե ​​«պլյուսը» բաժանենք «մինուսի», ապա միշտ ստանում ենք «մինուս»։ Եթե ​​«մինուսը» բաժանենք «պլյուսի» վրա, ապա միշտ էլ «մինուս» ենք ստանում։ Եթե ​​«գումարած»-ը բաժանենք «պլյուս»-ի, ապա կստանանք «գումարած»: Եթե ​​«մինուսը» բաժանենք «մինուսի», ապա, տարօրինակ կերպով, ստանում ենք նաև «գումարած»:

Եթե ​​«մինուսը» բազմապատկենք «գումարած»-ով, ապա միշտ ստանում ենք «մինուս»: Եթե ​​«պլյուսը» բազմապատկենք «մինուսով», ապա միշտ էլ «մինուս» ենք ստանում։ Եթե ​​«գումարած»-ը բազմապատկենք «գումարած»-ով, ապա ստացվում է դրական թիվ, այսինքն՝ «գումարած»: Նույնը վերաբերում է երկու բացասական թվերին: Եթե ​​«մինուսը» բազմապատկենք «մինուսով», կստանանք «գումարած»:

Դրանք հիմնված են այլ սկզբունքների վրա։ Եթե ​​բացասական թիվն իր բացարձակ արժեքով ավելի մեծ է, քան մեր դրականը, ապա արդյունքն, իհարկե, բացասական կլինի։ Անշուշտ, դուք մտածում եք, թե ինչ է մոդուլը և ինչու է այն ընդհանրապես այստեղ: Ամեն ինչ շատ պարզ է. Մոդուլը թվի արժեք է, բայց առանց նշանի: Օրինակ -7 և 3: Modulo -7-ը կլինի ընդամենը 7, իսկ 3-ը կմնա 3: Արդյունքում մենք տեսնում ենք, որ 7-ն ավելի մեծ է, այսինքն՝ ստացվում է, որ մեր բացասական թիվն ավելի մեծ է: Այսպիսով, այն դուրս կգա -7 + 3 \u003d -4: Դա կարելի է նույնիսկ ավելի հեշտ դարձնել: Ուղղակի առաջին տեղում դրեք դրական թիվ, և դուրս կգա 3-7 = -4, երևի ինչ-որ մեկի համար դա ավելի հասկանալի է։ Հանացումն աշխատում է ճիշտ նույն կերպ։

Ինչու է մինուսը բազմապատկած մինուսը հավասար է գումարածի:

«Իմ թշնամու թշնամին իմ ընկերն է».

Շատ վաղուց մարդկանց հայտնի էին միայն բնական թվերը՝ 1, 2, 3, ։ Դրանք օգտագործվում էին սպասք, թալան, թշնամիներ և այլն հաշվելու համար: Բայց թվերն ինքնին բավականին անիմաստ են. դուք պետք է կարողանաք կառավարել դրանք: Հավելումը պարզ ու հասկանալի է, բացի այդ, բնական թիվ է նաև երկու բնական թվերի գումարը (մաթեմատիկոսը կասեր, որ բնական թվերի բազմությունը փակվում է գումարման գործողության տակ)։ Բազմապատկումն իրականում նույն գումարումն է, եթե խոսքը բնական թվերի մասին է։ Կյանքում մենք հաճախ կատարում ենք գործողություններ՝ կապված այս երկու գործողությունների հետ (օրինակ՝ գնումներ կատարելիս մենք ավելացնում և բազմապատկում ենք), և տարօրինակ է կարծել, որ մեր նախնիները դրանց ավելի հազվադեպ են հանդիպել. առաջ. Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մի մեծությունը բաժանել մյուսի վրա, բայց այստեղ արդյունքը միշտ չէ, որ արտահայտվում է որպես բնական թիվ՝ այսպես են առաջացել կոտորակային թվերը։

Բացասական թվերը հայտնվում են մ.թ. 7-րդ դարի հնդկական փաստաթղթերում. չինացիները, ըստ երեւույթին, սկսել են դրանք օգտագործել մի փոքր ավելի վաղ։ Դրանք օգտագործվում էին պարտքերի հաշվառման համար կամ միջանկյալ հաշվարկներում՝ պարզեցնելու համար հավասարումների լուծումը. դա միայն դրական պատասխան ստանալու գործիք էր: Խիստ անվստահություն առաջացրեց այն փաստը, որ բացասական թվերը, ի տարբերություն դրականի, չեն արտահայտում որևէ էության առկայություն։ Մարդիկ բառի բուն իմաստով խուսափում էին բացասական թվերից՝ եթե խնդիրը բացասական պատասխան էր ստանում, հավատում էին, որ ընդհանրապես պատասխան չկա։ Այս անվստահությունը պահպանվեց շատ երկար ժամանակ, և նույնիսկ Դեկարտը, որը ժամանակակից մաթեմատիկայի «հիմնադիրներից» մեկն էր, դրանք անվանեց «կեղծ» (17-րդ դարում):

7x - 17 = 2x - 2. Դա կարելի է լուծել այսպես՝ անհայտով տերմինները տեղափոխեք ձախ կողմ, իսկ մնացածը աջ, կստացվի. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Բայց դա պատահաբար կարելի էր այլ կերպ անել՝ անհայտով տերմինները տեղափոխել աջ կողմ և ստանալ 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​= (–5)x. Անհայտը գտնելու համար անհրաժեշտ է մեկ բացասական թիվը բաժանել մյուսի. x = (–15)/(–5). Բայց ճիշտ պատասխանը հայտնի է, և մնում է եզրակացնել, որ (–15)/(–5) = 3 .

. Երկրորդ, թույլ տալով բացասական թվերի օգտագործումը, մենք ազատվում ենք հոգնեցուցիչ (եթե հավասարումը պարզվում է, որ ավելի բարդ է, մեծ թվով տերմիններով) լուծում գտնելու ճանապարհը, որում բոլոր գործողությունները կատարվում են միայն բնական թվերի վրա: Ավելին, մենք այլևս չենք կարող ամեն անգամ մտածել փոխակերպվող մեծությունների իմաստալիցության մասին, և սա արդեն քայլ է մաթեմատիկան վերացական գիտության վերածելու ուղղությամբ:

Բացասական թվերի վրա գործողությունների կանոնները անմիջապես չեն ձևավորվել, այլ դարձել են բազմաթիվ օրինակների ընդհանրացում, որոնք առաջացել են կիրառական խնդիրներ լուծելիս: Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկայի զարգացումը պայմանականորեն կարելի է բաժանել փուլերի՝ յուրաքանչյուր հաջորդ փուլ նախորդից տարբերվում է օբյեկտների ուսումնասիրության վերացականության նոր մակարդակով։ Այսպիսով, 19-րդ դարում մաթեմատիկոսները հասկացան, որ ամբողջ թվերն ու բազմանդամները, չնայած իրենց արտաքին անհամապատասխանությանը, շատ ընդհանրություններ ունեն. երկուսն էլ կարելի է գումարել, հանել և բազմապատկել: Այս գործողությունները ենթարկվում են նույն օրենքներին՝ և՛ թվերի, և՛ բազմանդամների դեպքում։ Բայց ամբողջ թվերի բաժանումը միմյանց վրա, որպեսզի արդյունքը կրկին ամբողջ թվեր լինեն, միշտ չէ, որ հնարավոր է։ Նույնը վերաբերում է բազմանդամներին։

մատանի աքսիոմներ

մատանի

• A + B = B + Aցանկացած տարրերի համար Աև Բ) և ասոցիատիվ ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = Aև ցանկացած տարրի համար Ա (–Ա)), ինչ A + (–A) = 0 ;
• Բազմապատկումը ենթարկվում է համակցության օրենքին. A (B C) = (A B) C ;

Նկատի ունեցեք, որ օղակները, ամենաընդհանուր կառուցվածքում, չեն պահանջում բազմապատկում, որպեսզի փոխակերպման լինեն, ոչ էլ այն շրջելի է (այսինքն, միշտ չէ, որ հնարավոր է բաժանել), ոչ էլ պահանջում է միավորի առկայությունը՝ չեզոք տարրի նկատմամբ։ բազմապատկել. Եթե ​​այս աքսիոմները ներկայացվեն, ապա ստացվում են այլ հանրահաշվական կառուցվածքներ, սակայն օղակների համար ապացուցված բոլոր թեորեմները դրանցում ճշմարիտ կլինեն։

Ակա երկու հակադրություն. Բև Հետ. այսինքն A + B = 0 = A + C. Հաշվի առեք գումարը A+B+C Բ: Գ: Նշանակում է, B=C .

Այժմ նկատենք, որ Ա, և (–(–A)) (–Ա)

Առաջին փաստը ստացվում է հետևյալ կերպ. (–Ա) Բհակառակը Ա Բ, ուրեմն այն հավասար է - (A B) .

0 B = 0ցանկացած տարրի համար Բ. Իսկապես, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Այսինքն՝ հավելումը 0 Բ

Մինուսը մինուսով բազմապատկելու կանոններ





Որոշակի ձգումով, նույն բացատրությունը հարմար է 1-5 արտադրանքի համար, եթե ենթադրենք, որ մեկ միավորի «գումարը».

ժամկետը հավասար է այս տերմինին: Բայց 0 5 կամ (-3) 5 արտադրյալը չի ​​կարելի բացատրել այսպես. ի՞նչ է նշանակում զրոյի կամ մինուս երեք անդամների գումարը:

Հնարավոր է, սակայն, վերադասավորել գործոնները

Եթե ​​մենք ցանկանում ենք, որ արտադրյալը չփոխվի, երբ գործոնները վերադասավորվեն, ինչպես դա եղավ դրական թվերի դեպքում, ապա դրանով պետք է ենթադրենք, որ

Այժմ անցնենք արտադրյալին (-3) (-5): Ինչի՞ է այն հավասար՝ -15 թե +15: Երկու տարբերակներն էլ իմաստ ունեն: Մի կողմից, մեկ գործոնի մինուսն արդեն արտադրանքը դարձնում է բացասական, առավել ևս այն պետք է բացասական լինի, եթե երկու գործոններն էլ բացասական են: Մյուս կողմից, Աղյուսակում. 7-ն արդեն ունի երկու մինուս, բայց միայն մեկ գումարած, իսկ «բավականին» (-3)-(-5) պետք է հավասար լինի +15-ի: Այսպիսով, ինչ եք նախընտրում:



Իհարկե, նման խոսակցությունները ձեզ չեն շփոթի. դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացից դուք հաստատապես իմացաք, որ մինուսը մինուս տալիս է պլյուս։ Բայց պատկերացրեք, որ ձեր կրտսեր եղբայրը կամ քույրը ձեզ հարցնում են՝ ինչո՞ւ: Ի՞նչ է դա՝ ուսուցչի քմահաճույք, բարձրագույն իշխանությունների ցուցում, թե՞ թեորեմ, որը կարելի է ապացուցել:

Սովորաբար բացասական թվերը բազմապատկելու կանոնը բացատրվում է Աղյուսակում ներկայացված օրինակների միջոցով: ութ.



Դա կարելի է բացատրել այլ կերպ. Գրենք թվեր անընդմեջ

Այժմ գրենք նույն թվերը՝ բազմապատկելով 3-ով.

Հեշտ է տեսնել, որ յուրաքանչյուր թիվ 3-ով ավելի է նախորդից, հիմա եկեք նույն թվերը գրենք հակառակ հերթականությամբ (սկսած, օրինակ, 5-ից և 15-ից).



Միևնույն ժամանակ, -15 թիվը պարզվեց, որ -5 թվի տակ է, ուստի 3 (-5) \u003d -15: գումարած մինուսը տալիս է մինուս:

Հիմա կրկնենք նույն ընթացակարգը՝ բազմապատկելով 1,2,3,4,5 թվերը։ -3-ով (մենք արդեն գիտենք, որ գումարած անգամ մինուս հավասար է մինուս).

Ներքևի տողի յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ նախորդից փոքր է 3-ով։ Եկեք թվերը գրենք հակառակ հերթականությամբ։



-5 թիվը ստացվեց 15, հետևաբար (-3) (-5) = 15:

Թերևս այս բացատրությունները կբավարարեն ձեր կրտսեր եղբորը կամ քրոջը։ Բայց դուք իրավունք ունեք հարցնելու, թե իրականում ինչպես են իրերը և հնարավո՞ր է ապացուցել, որ (-3) (-5) = 15:

Այստեղ պատասխանն այն է, որ կարելի է ապացուցել, որ (-3) (-5)-ը պետք է հավասար լինի 15-ի, եթե միայն ուզում ենք, որ գումարման, հանման և բազմապատկման սովորական հատկությունները ճշմարիտ մնան բոլոր թվերի համար, ներառյալ բացասականները: Այս ապացույցի ուրվագիծը հետևյալն է.

Նախ ապացուցենք, որ 3 (-5) = -15: Ինչ է -15: Սա 15-ի հակառակն է, այսինքն այն թիվը, որը գումարում է 15-ը 0-ի: Այսպիսով, մենք պետք է ապացուցենք, որ

(3-ը փակագծելով՝ մենք օգտագործել ենք ab + ac = a(b + c) բաշխման օրենքը - վերջիվերջո, մենք ենթադրում ենք, որ այն ճիշտ է մնում բոլոր թվերի համար, այդ թվում՝ բացասականների համար։) Այսպիսով, (Բծախնդիր ընթերցողը մեզ կհարցնի. ինչու: Մենք անկեղծորեն ընդունում ենք. այս փաստի ապացույցը, ինչպես քննարկումը, թե ինչ է զրոն ընդհանրապես, մենք բաց ենք թողնում:)

Այժմ ապացուցենք, որ (-3) (-5) = 15: Դա անելու համար մենք գրում ենք



և հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք -5-ով.

Եկեք բացենք ձախ կողմի փակագծերը.

այսինքն՝ (-3) (-5) + (-15) = 0։ Այսպիսով, թիվը հակառակ է -15 թվին, այսինքն՝ հավասար է 15-ի։ (Այս պատճառաբանության մեջ կան նաև բացեր. անհրաժեշտ կլինի ապացուցել, որ և որ կա միայն մեկ թիվ, որը հակառակ է -15-ին:)

Բացասական կանոն. Ինչու մինուս անգամ մինուս հավասար է գումարած

Մաթեմատիկայի ուսուցչին լսելիս աշակերտների մեծ մասը նյութն ընկալում է որպես աքսիոմա։ Միևնույն ժամանակ, քչերն են փորձում հասնել հատակին և պարզել, թե ինչու է «մինուս»-ից «պլյուս»-ը տալիս «մինուս» նշան, իսկ երկու բացասական թվերը բազմապատկելիս դուրս է գալիս դրականը:

Մաթեմատիկայի օրենքներ

Մեծահասակների մեծ մասը չեն կարողանում բացատրել իրենց կամ իրենց երեխաներին, թե ինչու է դա տեղի ունենում: Նրանք դպրոցում մանրակրկիտ կլանել էին այս նյութը, բայց չէին էլ փորձում պարզել, թե որտեղից են նման կանոնները։ Բայց ապարդյուն։ Հաճախ ժամանակակից երեխաներն այնքան էլ դյուրահավատ չեն, նրանք պետք է հասնեն խնդրին և հասկանան, ասենք, թե ինչու «պլյուս»-ը «մինուս»-ի վրա տալիս է «մինուս»: Եվ երբեմն թմբուկները դիտավորյալ խրթին հարցեր են տալիս, որպեսզի վայելեն այն պահը, երբ մեծերը չեն կարողանում հասկանալի պատասխան տալ: Եվ իսկապես աղետ է, եթե երիտասարդ ուսուցիչը խառնաշփոթի մեջ է ընկնում:

Ի դեպ, պետք է նշել, որ վերը նշված կանոնը գործում է ինչպես բազմապատկման, այնպես էլ բաժանման համար։ Բացասական և դրական թվի արտադրյալը միայն մինուս կտա: Եթե ​​մենք խոսում ենք «-» նշանով երկու թվանշանի մասին, ապա արդյունքը կլինի դրական թիվ: Նույնը վերաբերում է բաժանմանը: Եթե ​​թվերից մեկը բացասական է, ապա գործակիցը նույնպես կլինի «-» նշանով։

Մաթեմատիկայի այս օրենքի ճիշտությունը բացատրելու համար անհրաժեշտ է ձեւակերպել օղակի աքսիոմները։ Բայց նախ պետք է հասկանալ, թե դա ինչ է: Մաթեմատիկայում ընդունված է օղակն անվանել մի շարք, որում ներգրավված են երկու տարրով երկու գործողություն։ Բայց դա ավելի լավ է հասկանալ օրինակով.

Օղակաձեւ աքսիոմա

Կան մի քանի մաթեմատիկական օրենքներ.

• Դրանցից առաջինը տեղաշարժվող է, ըստ նրա՝ C + V = V + C:
• Երկրորդը կոչվում է ասոցիատիվ (V + C) + D = V + (C + D):

Բազմապատկումը (V x C) x D \u003d V x (C x D) նույնպես ենթարկվում է դրանց:

Ոչ ոք չեղարկեց այն կանոնները, որոնցով բացվում են փակագծերը (V + C) x D = V x D + C x D, ճիշտ է նաև, որ C x (V + D) = C x V + C x D:

Բացի այդ, պարզվել է, որ օղակի մեջ կարող է ներմուծվել հատուկ, ավելացում-չեզոք տարր, որի միջոցով ճիշտ կլինի հետևյալը. C + 0 = C: Բացի այդ, յուրաքանչյուր C-ի համար կա հակառակ տարր, որը կարող է. նշանակվել որպես (-C): Այս դեպքում C + (-C) \u003d 0:

Բացասական թվերի աքսիոմների ածանցում

Ընդունելով վերը նշված պնդումները՝ կարող ենք պատասխանել հարցին. «Գումարած «վրա» մինուս «ի՞նչ նշան է տալիս»։ Իմանալով բացասական թվերի բազմապատկման աքսիոմը՝ անհրաժեշտ է հաստատել, որ իսկապես (-C) x V = -(C x V): Եվ նաև, որ ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը՝ (-(-C)) = C.

Դա անելու համար նախ պետք է ապացուցել, որ տարրերից յուրաքանչյուրն ունի միայն մեկ հակառակ «եղբայր»։ Նկատի առնենք հետևյալ ապացույցի օրինակը. Փորձենք պատկերացնել, որ երկու թվեր հակադիր են C - V-ի և D-ի համար: Այստեղից հետևում է, որ C + V = 0 և C + D = 0, այսինքն, C + V = 0 = C + D: Հիշելով տեղաշարժի օրենքները իսկ 0 թվի հատկությունների մասին կարող ենք դիտարկել բոլոր երեք թվերի գումարը՝ C, V և D: Փորձենք պարզել V-ի արժեքը: Տրամաբանական է, որ V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, քանի որ C + D-ի արժեքը, ինչպես ընդունվեց վերևում, հավասար է 0-ի: Հետևաբար, V = V + C + D:

D-ի արժեքը ստացվում է նույն կերպ՝ D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D: Դրա հիման վրա պարզ է դառնում, որ V = D:

Հասկանալու համար, թե ինչու, այնուամենայնիվ, «մինուսի» վրա «պլյուսը» տալիս է «մինուս», դուք պետք է հասկանաք հետևյալը. Այսպիսով, (-C) տարրի համար հակադիր են C-ն և (-(-C)), այսինքն՝ դրանք հավասար են միմյանց:

Այնուհետև ակնհայտ է, որ 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V: Սրանից հետևում է, որ C x V-ը հակառակ է (-) C x V-ին: , ինչը նշանակում է (- C) x V = -(C x V):

Լրիվ մաթեմատիկական խստության համար անհրաժեշտ է նաև հաստատել, որ ցանկացած տարրի համար 0 x V = 0: Եթե ​​հետևում եք տրամաբանությանը, ապա 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V: Սա նշանակում է, որ 0 x V արտադրանքը ավելացնելով սահմանված գումարը որևէ կերպ չի փոխվում: Ի վերջո, այս արտադրանքը հավասար է զրոյի:

Իմանալով այս բոլոր աքսիոմները՝ կարելի է եզրակացնել, թե ինչքան է տալիս «պլյուս»-ը «մինուս»-ով, այլ նաև, թե ինչ է տեղի ունենում բացասական թվերը բազմապատկելու դեպքում։

Երկու թվերի բազմապատկում և բաժանում «-» նշանով

Եթե ​​դուք չեք խորանում մաթեմատիկական նրբերանգների մեջ, ապա կարող եք փորձել ավելի պարզ կերպով բացատրել գործողության կանոնները բացասական թվերով։

Ենթադրենք, որ C - (-V) = D, դրա հիման վրա C = D + (-V), այսինքն, C = D - V: Մենք փոխանցում ենք V և ստանում ենք, որ C + V = D: Այսինքն, C. + V = C - (-V): Այս օրինակը բացատրում է, թե ինչու արտահայտությունում, որտեղ անընդմեջ երկու «մինուս» կա, նշված նշանները պետք է փոխվեն «գումարած»-ի։ Հիմա անդրադառնանք բազմապատկմանը։

(-C) x (-V) \u003d D, երկու նույնական արտադրյալները կարող են ավելացվել և հանվել արտահայտությանը, որը չի փոխի դրա արժեքը. (-C) x (-V) + (C x V) - (C) x V) \u003d Դ.

Հիշելով փակագծերի հետ աշխատելու կանոնները՝ մենք ստանում ենք.

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Սրանից հետևում է, որ C x V \u003d (-C) x (-V):

Նմանապես, մենք կարող ենք ապացուցել, որ երկու բացասական թվերի բաժանման արդյունքը կլինի դրական:

Ընդհանուր մաթեմատիկական կանոններ

Իհարկե, նման բացատրությունը հարմար չէ տարրական դասարանների աշակերտներին, ովքեր նոր են սկսում սովորել վերացական բացասական թվեր։ Ավելի լավ է, որ նրանք բացատրեն տեսանելի առարկաների վրա՝ շահարկելով ծանոթ տերմինը ապակու միջոցով: Օրինակ՝ այնտեղ գտնվում են հորինված, բայց գոյություն չունեցող խաղալիքներ։ Նրանք կարող են ցուցադրվել «-» նշանով: Երկու ապակե առարկաների բազմապատկումը դրանք տեղափոխում է մեկ այլ աշխարհ, որը հավասարվում է ներկային, այսինքն՝ արդյունքում ունենում ենք դրական թվեր։ Բայց վերացական բացասական թվի բազմապատկումը դրական թվով տալիս է միայն բոլորին ծանոթ արդյունք։ Ի վերջո, «պլյուսը» բազմապատկած «մինուսով» տալիս է «մինուս»: Ճիշտ է, երեխաները շատ չեն ջանում խորանալ մաթեմատիկական բոլոր նրբերանգների մեջ։

Թեև, եթե առերեսվում եք ճշմարտության հետ, շատերի համար, նույնիսկ բարձրագույն կրթությամբ, շատ կանոններ մնում են առեղծված: Յուրաքանչյուր ոք ինքն է ընդունում այն, ինչ իրենց ուսուցիչներն են սովորեցնում՝ չկորցնելով խորամուխ լինել այն բոլոր բարդությունների մեջ, որոնցով հղի է մաթեմատիկան: «Մինուս»-ը «մինուս»-ի վրա տալիս է «գումարած» - սա բոլորը գիտեն առանց բացառության: Սա ճիշտ է ինչպես ամբողջ, այնպես էլ կոտորակային թվերի համար։

Մինուսը և գումարածը մաթեմատիկայի մեջ բացասական և դրական թվերի նշաններ են: Նրանք իրենց հետ փոխազդում են տարբեր ձևերով, հետևաբար, թվերի հետ որևէ գործողություն կատարելիս, օրինակ՝ բաժանում, բազմապատկում, հանում, գումարում և այլն, անհրաժեշտ է հաշվի առնել. ստորագրել կանոնները. Առանց այս կանոնների դուք երբեք չեք կարողանա լուծել նույնիսկ ամենապարզ հանրահաշվական կամ երկրաչափական խնդիրը: Առանց այս կանոնների իմացության, դուք չեք կարողանա սովորել ոչ միայն մաթեմատիկա, այլև ֆիզիկա, քիմիա, կենսաբանություն և նույնիսկ աշխարհագրություն:

Հանում և գումարում.

Երկու բացասական կողմը հաստատում է- Սա մի կանոն է, որը մենք սովորել ենք դպրոցում և կիրառում ենք մեր ողջ կյանքում։ Մեզանից ո՞վ զարմացավ, թե ինչու։ Իհարկե, այս հայտարարությունը ավելի հեշտ է անգիր անել առանց լրացուցիչ հարցերի և խորը չխորանալ հարցի էության մեջ։ Այժմ արդեն բավականաչափ տեղեկատվություն կա, որը պետք է «մարսվի»։ Բայց նրանց համար, ովքեր դեռ հետաքրքրված են այս հարցով, մենք կփորձենք բացատրել այս մաթեմատիկական երեւույթը։

Դեռ հին ժամանակներից մարդիկ օգտագործում էին դրական բնական թվեր՝ թվերի օգնությամբ հաշվում էին 1, 2, 3, 4, 5, ... Անասունները, բերքը, թշնամիները և այլն։ Երկու դրական թվեր գումարելիս և բազմապատկելիս նրանք միշտ ստանում էին դրական թիվ, որոշ մեծություններ մյուսների վրա բաժանելիս միշտ չէ, որ ստանում էին բնական թվեր՝ այսպես են առաջացել կոտորակային թվերը։ Ինչ վերաբերում է հանմանը: Մանկուց մենք գիտենք, որ ավելի լավ է փոքրը ավելացնել մեծին և փոքրը հանել մեծից, մինչդեռ կրկին բացասական թվեր չենք օգտագործում։ Ստացվում է, որ եթե ես ունեմ 10 խնձոր, ես կարող եմ միայն մեկին տալ 10-ից կամ 10-ից պակաս, ես ոչ մի կերպ չեմ կարող տալ 13 խնձոր, քանի որ ես դրանք չունեմ: Բացասական թվերի կարիք երկար ժամանակ չկար։

Միայն մ.թ.ա 7-րդ դարից։Բացասական թվերը որոշ հաշվառման համակարգերում օգտագործվել են որպես օժանդակ արժեքներ, ինչը հնարավորություն է տվել պատասխանում դրական թիվ ստանալ։

Դիտարկենք մի օրինակ, 6x - 30 \u003d 3x - 9: Պատասխանը գտնելու համար անհրաժեշտ է ձախ կողմում թողնել անհայտներով եզրույթները, իսկ մնացածը աջ կողմում՝ 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Այս հավասարումը լուծելիս նույնիսկ բացասական թվեր չկան: Մենք կարող էինք անհայտներով տերմիններ փոխանցել աջ կողմ, իսկ առանց անհայտների՝ ձախ կողմում՝ 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x): Բացասական թիվը բացասականի վրա բաժանելիս ստանում ենք դրական պատասխան՝ x \u003d 7:

Բացասական թվերով գործողությունները պետք է մեզ տանեն նույն պատասխանին, ինչ միայն դրական թվերով գործողությունները: Մենք այլևս չենք կարող մտածել գործողությունների գործնական անհամապատասխանության և իմաստալիցության մասին. դրանք օգնում են մեզ լուծել խնդիրը շատ ավելի արագ, առանց հավասարումը ձևի հասցնելու միայն դրական թվերով: Մեր օրինակում մենք չենք օգտագործել բարդ հաշվարկներ, սակայն մեծ թվով տերմինների դեպքում բացասական թվերով հաշվարկները կարող են հեշտացնել մեր աշխատանքը:

Ժամանակի ընթացքում, երկար փորձերից և հաշվարկներից հետո, հնարավոր եղավ բացահայտել այն կանոնները, որոնց ենթարկվում են բոլոր թվերն ու գործողությունները (մաթեմատիկայում դրանք կոչվում են աքսիոմներ): Ահա թե որտեղից է այն եկել աքսիոմա, որն ասում է, որ երբ դուք բազմապատկում եք երկու բացասական թիվ, ստացվում է դրական թիվ:

www.site, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

1) Ինչու է մինուս մեկ անգամ հանած մեկին հավասար գումարած մեկ:
2) Ինչո՞ւ է մինուս մեկ անգամ գումարած մեկ հավասար հանած մեկ:

«Իմ թշնամու թշնամին իմ ընկերն է».

Ամենահեշտ պատասխանն է՝ «Որովհետև սրանք են բացասական թվերի հետ աշխատելու կանոնները»։ Այն կանոնները, որոնք մենք սովորում ենք դպրոցում և կիրառում մեր ողջ կյանքում: Սակայն դասագրքերը չեն բացատրում, թե ինչու են կանոններն այնպիսին, ինչպիսին կան։ Մենք նախ կփորձենք դա հասկանալ թվաբանության զարգացման պատմությունից, իսկ հետո այս հարցին կպատասխանենք ժամանակակից մաթեմատիկայի տեսանկյունից։

Շատ վաղուց մարդկանց հայտնի էին միայն բնական թվերը՝ 1, 2, 3, ։ Դրանք օգտագործվում էին սպասք, թալան, թշնամիներ և այլն հաշվելու համար: Բայց թվերն իրենք բավականին անիմաստ են. դուք պետք է իմանաք, թե ինչպես վարվել դրանց հետ: Հավելումը պարզ ու հասկանալի է, և բացի այդ, երկու բնական թվերի գումարը նույնպես բնական թիվ է (մաթեմատիկոսը կասեր, որ բնական թվերի բազմությունը փակվում է գումարման գործողությամբ)։ Բազմապատկումն իրականում նույն գումարումն է, եթե խոսքը բնական թվերի մասին է։ Կյանքում մենք հաճախ կատարում ենք գործողություններ՝ կապված այս երկու գործողությունների հետ (օրինակ՝ գնումներ կատարելիս մենք ավելացնում և բազմապատկում ենք), և տարօրինակ է կարծել, որ մեր նախնիները դրանց ավելի հազվադեպ են հանդիպել. առաջ. Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մի մեծությունը բաժանել մյուսի վրա, բայց այստեղ արդյունքը միշտ չէ, որ արտահայտվում է բնական թվով. այսպես են առաջացել կոտորակային թվերը։

Հանացումն, իհարկե, նույնպես անփոխարինելի է։ Բայց գործնականում մենք հակված ենք ավելի փոքր թվին հանել մեծ թվից, և կարիք չկա բացասական թվեր օգտագործել։ (Եթե ես ունենամ 5 կոնֆետ և 3-ը տամ քրոջս, ապա կունենամ 5 - 3 = 2 կոնֆետ, բայց ես չեմ կարող նրան 7 կոնֆետ տալ իմ ամբողջ ցանկությամբ:) Սա կարող է բացատրել, թե ինչու մարդիկ բացասական թվեր չեն օգտագործել: երկար ժամանակով.

Բացասական թվերը հայտնվում են մ.թ. 7-րդ դարի հնդկական փաստաթղթերում. չինացիները, ըստ երեւույթին, սկսել են դրանք օգտագործել մի փոքր ավելի վաղ։ Դրանք օգտագործվում էին պարտքերի հաշվառման համար կամ միջանկյալ հաշվարկներում՝ պարզեցնելու համար հավասարումների լուծումը. դա միայն դրական պատասխան ստանալու գործիք էր: Խիստ անվստահություն առաջացրեց այն փաստը, որ բացասական թվերը, ի տարբերություն դրականի, չեն արտահայտում որևէ էության առկայություն։ Մարդիկ բառի բուն իմաստով խուսափում էին բացասական թվերից՝ եթե խնդիրը բացասական պատասխան էր ստանում, հավատում էին, որ ընդհանրապես պատասխան չկա։ Այս անվստահությունը պահպանվեց շատ երկար ժամանակ, և նույնիսկ Դեկարտը, որը ժամանակակից մաթեմատիկայի «հիմնադիրներից» մեկն էր, դրանք անվանեց «կեղծ» (17-րդ դարում):

Դիտարկենք, օրինակ, հավասարումը 7x - 17 = 2x - 2. Դա կարելի է լուծել այսպես՝ անհայտով տերմինները տեղափոխեք ձախ կողմ, իսկ մնացածը աջ, կստացվի. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Այս լուծմամբ մենք նույնիսկ բացասական թվերի չհանդիպեցինք։

Ի՞նչ է ցույց տալիս այս պարզ օրինակը: Նախ, պարզ է դառնում այն ​​տրամաբանությունը, որը սահմանել է բացասական թվերի վրա գործողությունների կանոնները. այս գործողությունների արդյունքները պետք է համապատասխանեն պատասխաններին, որոնք ստացվում են այլ կերպ՝ առանց բացասական թվերի. Երկրորդ, թույլ տալով բացասական թվերի օգտագործումը, մենք ազատվում ենք հոգնեցուցիչ (եթե հավասարումը պարզվում է, որ ավելի բարդ է, մեծ թվով տերմիններով) լուծում գտնելու ճանապարհը, որում բոլոր գործողությունները կատարվում են միայն բնական թվերի վրա: Ավելին, մենք այլևս չենք կարող ամեն անգամ մտածել փոխակերպվող մեծությունների իմաստալիցության մասին, և սա արդեն քայլ է մաթեմատիկան վերացական գիտության վերածելու ուղղությամբ:

Բացասական թվերի վրա գործողությունների կանոնները անմիջապես չեն ձևավորվել, այլ դարձել են բազմաթիվ օրինակների ընդհանրացում, որոնք առաջացել են կիրառական խնդիրներ լուծելիս: Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկայի զարգացումը պայմանականորեն կարելի է բաժանել փուլերի՝ յուրաքանչյուր հաջորդ փուլ նախորդից տարբերվում է օբյեկտների ուսումնասիրության վերացականության նոր մակարդակով։ Այսպիսով, 19-րդ դարում մաթեմատիկոսները հասկացան, որ ամբողջ թվերն ու բազմանդամները, չնայած իրենց արտաքին անհամապատասխանությանը, շատ ընդհանրություններ ունեն. երկուսն էլ կարելի է գումարել, հանել և բազմապատկել: Այս գործողությունները ենթարկվում են նույն օրենքներին՝ և՛ թվերի, և՛ բազմանդամների դեպքում։ Բայց ամբողջ թվերի բաժանումը միմյանց վրա, որպեսզի արդյունքը կրկին ամբողջ թվեր լինեն, միշտ չէ, որ հնարավոր է։ Նույնը վերաբերում է բազմանդամներին։

Հետո հայտնաբերվեցին մաթեմատիկական առարկաների այլ հավաքածուներ, որոնց վրա կարելի է կատարել նման գործողություններ՝ ֆորմալ հզորության շարքեր, շարունակական ֆունկցիաներ։ Ի վերջո, հասկացվեց, որ եթե ուսումնասիրում եք հենց գործողությունների հատկությունները, ապա արդյունքները կարող են կիրառվել օբյեկտների այս բոլոր հավաքածուների վրա (այս մոտեցումը բնորոշ է բոլոր ժամանակակից մաթեմատիկայի համար):

Արդյունքում հայտնվեց նոր հայեցակարգ. մատանի. Դա պարզապես տարրերի մի փունջ է, գումարած գործողություններ, որոնք կարող են իրականացվել դրանց վրա: Այստեղ հիմնարար կանոնները պարզապես կանոններն են (դրանք կոչվում են աքսիոմներ) որին ենթակա են գործողությունները, այլ ոչ թե բազմության տարրերի բնույթը (այստեղ աբստրակցիայի նոր մակարդակ է): Ցանկանալով ընդգծել, որ աքսիոմների ներմուծումից հետո առաջացող կառուցվածքն է կարևոր՝ մաթեմատիկոսներն ասում են՝ ամբողջ թվերի օղակը, բազմանդամների օղակը և այլն։ Սկսած աքսիոմներից՝ կարելի է բխել օղակների այլ հատկություններ։

Մենք կձևակերպենք օղակի աքսիոմները (որոնք, իհարկե, նման են ամբողջ թվերով գործողությունների կանոններին), ապա կապացուցենք, որ ցանկացած օղակում մինուսը մինուսով բազմապատկելուց ստացվում է գումարած։

մատանիկոչվում է երկու երկուական գործողություններով բազմություն (այսինքն, յուրաքանչյուր գործողության մեջ ներգրավված է օղակի երկու տարր), որոնք ավանդաբար կոչվում են գումարում և բազմապատկում, և հետևյալ աքսիոմները.

• Օղակաձեւ տարրերի ավելացումը ենթարկվում է փոխակերպմանը ( A + B = B + Aցանկացած տարրերի համար Աև Բ) և ասոցիատիվ ( A + (B + C) = (A + B) + C) օրենքներ; Օղակը պարունակում է հատուկ տարր 0 (չեզոք տարր՝ գումարման միջոցով), այնպես որ A + 0 = Aև ցանկացած տարրի համար Ակա հակառակ տարր (նշվում է (–Ա)), ինչ A + (–A) = 0 ;
• գումարումը և բազմապատկումը կապված են հետևյալ փակագծերի ընդլայնման կանոններով. (A + B) C = A C + B Cև A (B + C) = A B + A C .

Մենք նշում ենք, որ օղակները, ամենաընդհանուր կառուցվածքում, չեն պահանջում բազմապատկում, որ փոխակերպելի լինեն, ոչ էլ շրջելի (այսինքն, միշտ չէ, որ հնարավոր է բաժանել), ոչ էլ պահանջում է միավորի, չեզոք տարրի առկայությունը։ վերաբերվում է բազմապատկմանը. Եթե ​​այս աքսիոմները ներկայացվեն, ապա ստացվում են այլ հանրահաշվական կառուցվածքներ, սակայն օղակների համար ապացուցված բոլոր թեորեմները դրանցում ճշմարիտ կլինեն։

Այժմ մենք դա ապացուցում ենք ցանկացած տարրերի համար Աև Բկամայական օղակը ճիշտ է, նախ, (–A) B = – (A B), և երկրորդ (–(–Ա)) = Ա. Դրանից հեշտությամբ հետևում են ստորաբաժանումների մասին հայտարարությունները. (–1) 1 = –(1 1) = –1և (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Դա անելու համար մենք պետք է որոշ փաստեր հաստատենք։ Նախ մենք ապացուցում ենք, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է ունենալ միայն մեկ հակադիր։ Իրոք, թող տարրը Ակա երկու հակադրություն. Բև Հետ. այսինքն A + B = 0 = A + C. Հաշվի առեք գումարը A+B+C. Օգտագործելով ասոցիատիվ և կոմուտատիվ օրենքները և զրոյի հատկությունը՝ մենք ստանում ենք, որ մի կողմից գումարը հավասար է. Բ : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, իսկ մյուս կողմից՝ հավասար է Գ : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Նշանակում է, B=C .

Այժմ նկատենք, որ Ա, և (–(–A))հակադրվում են նույն տարրին (–Ա), ուրեմն նրանք պետք է հավասար լինեն։

Առաջին փաստը հետևյալն է. 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, այսինքն (–Ա) Բհակառակը Ա Բ, ուրեմն այն հավասար է - (A B) .

Մաթեմատիկորեն խիստ լինելու համար եկեք բացատրենք, թե ինչու 0 B = 0ցանկացած տարրի համար Բ. Իսկապես, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Այսինքն՝ հավելումը 0 Բգումարը չի փոխում. Այսպիսով, այս արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Իսկ այն, որ ռինգում կա ուղիղ մեկ զրո (ի վերջո, աքսիոմներն ասում են, որ այդպիսի տարր կա, բայց դրա եզակիության մասին ոչինչ չի ասվում!), որպես պարզ վարժություն կթողնենք ընթերցողին։