Համակարգի ընդհանուր և առանձնահատուկ լուծում. Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը: Գաուսի մեթոդը և անսահման թվով լուծումներով գծային հավասարումների համակարգեր

Որոշում. A= . Գտեք r(A): Ինչպես մատրիցա A-ն ունի 3x4 կարգ, ապա անչափահասների ամենաբարձր կարգը 3 է: Ավելին, երրորդ կարգի բոլոր անչափահասները հավասար են զրոյի (ստուգեք ինքներդ): Միջոցներ, r(A)< 3. Возьмем главный հիմնական անչափահաս = -5-4 = -9 ≠ 0. Հետեւաբար r(A) =2:

Հաշվի առեք մատրիցա Հետ = .

Փոքր երրորդ պատվեր ≠ 0. Այսպիսով, r(C) = 3:

Քանի որ r(A) ≠ r(C) , ապա համակարգը անհամապատասխան է:

Օրինակ 2Որոշեք հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը

Լուծեք այս համակարգը, եթե այն հետևողական է:

Որոշում.

A =, C = . Ակնհայտորեն, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4: Քանի որ detC = 0, ապա r(C)< 4. Հաշվի առեք անչափահաս երրորդ պատվեր, որը գտնվում է A և C մատրիցի վերին ձախ անկյունում: = -23 ≠ 0. Այսպիսով, r(A) = r(C) = 3:

Թիվ անհայտ համակարգում n=3. Այսպիսով, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում. Այս դեպքում չորրորդ հավասարումը առաջին երեքի գումարն է և կարող է անտեսվել:

Ըստ Քրամերի բանաձեւերիմենք ստանում ենք x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23:

2.4. Մատրիցային մեթոդ. Գաուսի մեթոդ

համակարգ nգծային հավասարումներհետ nանհայտները կարելի է լուծել մատրիցային մեթոդ X \u003d A -1 B բանաձևի համաձայն (Δ ≠ 0), որը ստացվում է (2)-ից՝ երկու մասերը բազմապատկելով A -1-ով:

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումների համակարգ

մատրիցային մեթոդով (Բաժին 2.2-ում այս համակարգը լուծվել է Cramer բանաձևերի միջոցով)

Որոշում. Δ=10 ≠ 0 A = - ոչ եզակի մատրիցա:

= (Սա ինքներդ ստուգեք՝ կատարելով անհրաժեշտ հաշվարկները):

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x=.

Պատասխանել: .

Գործնական տեսանկյունիցմատրիցային մեթոդ և բանաձևեր Կրամերըկապված են մեծ քանակությամբ հաշվարկների հետ, ուստի նախապատվությունը տրվում է Գաուսի մեթոդ, որը բաղկացած է անհայտների հաջորդական վերացումից։ Դա անելու համար հավասարումների համակարգը վերածվում է համարժեք համակարգի՝ եռանկյունաձև ընդլայնված մատրիցով (հիմնական անկյունագծից ցածր գտնվող բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի): Այս գործողությունները կոչվում են ուղիղ շարժում: Ստացված եռանկյուն համակարգից փոփոխականները հայտնաբերվում են՝ օգտագործելով հաջորդական փոխարինումներ (հետընթաց):

Օրինակ 2. Համակարգը լուծել Գաուսի մեթոդով

(Այս համակարգը լուծվել է վերևում՝ օգտագործելով Cramer բանաձևը և մատրիցային մեթոդը):

Որոշում.

Ուղիղ շարժում. Մենք գրում ենք ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերում ենք եռանկյունաձև ձևի.

~ ~ ~ ~ .

Ստացեք համակարգ

Հակադարձ շարժում:Վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք X 3 = -6 և այս արժեքը փոխարինեք երկրորդ հավասարմամբ.

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Պատասխանել: .

2.5. Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծում

Թող տրվի գծային հավասարումների համակարգ = բ i(ես=). Թող r(A) = r(C) = r, այսինքն. համակարգը համագործակցային է: r կարգի ցանկացած ոչ զրոյական մինոր է հիմնական անչափահաս.Առանց ընդհանրության կորստի, մենք ենթադրում ենք, որ հիմնական մինորը գտնվում է A մատրիցայի առաջին r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) տողերում և սյունակներում: Անտեսելով համակարգի վերջին m-r հավասարումները՝ մենք գրում ենք կրճատված համակարգ: :

որը համարժեք է բնօրինակին։ Անվանենք անհայտները x 1,….x rհիմնական, և x r +1,…, x rազատել և ազատ անհայտները պարունակող անդամները տեղափոխել կտրված համակարգի հավասարումների աջ կողմ: Մենք ստանում ենք համակարգը հիմնական անհայտների նկատմամբ.

որը ազատ անհայտների արժեքների յուրաքանչյուր հավաքածուի համար x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-rունի միակ լուծումը x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r),հայտնաբերվել է Քրամերի կանոնով։

Համապատասխան որոշումկրճատվել է, և, հետևաբար, սկզբնական համակարգը ունի ձևը.

Х(С 1 ,…, С n-r) = - համակարգի ընդհանուր լուծում.

Եթե ​​ընդհանուր լուծման մեջ ազատ անհայտներին տրվում են որոշ թվային արժեքներ, ապա ստանում ենք գծային համակարգի լուծումը, որը կոչվում է մասնավոր։

Օրինակ. Ստեղծել համատեղելիություն և գտնել համակարգի ընդհանուր լուծումը

Որոշում. A = , С = .

Այսպիսով ինչպես r(A)= r(C) = 2 (տես ինքներդ), ապա սկզբնական համակարգը համատեղելի է և ունի անսահման թվով լուծումներ (քանի որ r< 4).

Մատրիցային մեթոդ SLAU լուծումներօգտագործվում է հավասարումների համակարգեր լուծելու համար, որոնցում հավասարումների թիվը համապատասխանում է անհայտների թվին: Մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է ցածր կարգի համակարգերի լուծման համար: Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մատրիցային մեթոդը հիմնված է մատրիցային բազմապատկման հատկությունների կիրառման վրա։

Այս կերպ, այլ կերպ ասած հակադարձ մատրիցային մեթոդ,այսպես կոչված, քանի որ լուծումը վերածվում է սովորական մատրիցային հավասարման, որի լուծման համար անհրաժեշտ է գտնել հակադարձ մատրիցը:

Մատրիցային լուծման մեթոդ SLAE-ը զրոյից մեծ կամ փոքր որոշիչով հետևյալն է.

Ենթադրենք կա SLE (գծային հավասարումների համակարգ) հետ nանհայտ (կամայական դաշտում).

Այսպիսով, հեշտ է այն թարգմանել մատրիցային ձևի.

AX=B, որտեղ Ահամակարգի հիմնական մատրիցն է, Բև X- համակարգի ազատ անդամների և լուծումների սյունակները, համապատասխանաբար.

Ձախ կողմում գտնվող այս մատրիցային հավասարումը բազմապատկեք Ա -1- հակադարձ մատրիցա մատրիցին A: A −1 (AX)=A −1 B.

Որովհետեւ A −1 A=E, նշանակում է, X=A −1 B. Հավասարման աջ կողմը տալիս է սկզբնական համակարգի լուծումների սյունակ: Մատրիցային մեթոդի կիրառելիության պայմանը մատրիցայի ոչ այլասերվածությունն է Ա. Դրա համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է մատրիցայի որոշիչը Ա:

detA≠0.

Համար գծային հավասարումների միատարր համակարգ, այսինքն. եթե վեկտոր B=0, գործում է հակառակ կանոնը՝ համակարգը AX=0ոչ տրիվիալ (այսինքն՝ զրոյի հավասար չէ) լուծում է միայն այն դեպքում, երբ detA=0. Գծային հավասարումների միատարր և անհամասեռ համակարգերի լուծումների այս կապը կոչվում է այլընտրանք Ֆրեդհոլմին.

Այսպիսով, SLAE-ի լուծումը մատրիցային մեթոդով կատարվում է ըստ բանաձևի . Կամ, SLAE լուծումը գտնվել է օգտագործելով հակադարձ մատրիցա Ա -1.

Հայտնի է, որ քառակուսի մատրիցա ԲԱՅՑպատվեր nվրա nկա հակադարձ մատրիցա Ա -1միայն այն դեպքում, եթե դրա որոշիչը զրոյական չէ: Այսպիսով համակարգը nգծային հանրահաշվական հավասարումների հետ nանհայտները լուծվում են մատրիցային մեթոդով միայն այն դեպքում, եթե համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի:

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան սահմանափակումներ այս մեթոդի կիրառման հնարավորության վրա և առկա են հաշվողական դժվարություններ գործակիցների և բարձրակարգ համակարգերի մեծ արժեքների համար, մեթոդը հեշտությամբ կարող է իրականացվել համակարգչի վրա:

Անհամասեռ SLAE-ի լուծման օրինակ:

Նախ ստուգենք՝ արդյոք անհայտ SLAE-ների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ՞ զրոյի։

Այժմ մենք գտնում ենք դաշինքի մատրիցա, փոխադրեք այն և փոխարինեք հակադարձ մատրիցը որոշելու բանաձևով:

Մենք փոխարինում ենք փոփոխականները բանաձևում.

Այժմ մենք գտնում ենք անհայտները՝ բազմապատկելով հակադարձ մատրիցը և ազատ անդամների սյունակը:

Այսպիսով, x=2; y=1; z=4.

SLAE-ի սովորական ձևից մատրիցային ձևի անցնելիս զգույշ եղեք համակարգի հավասարումների անհայտ փոփոխականների հերթականության հետ: օրինակ:

ՄԻ գրեք այսպես.

Նախ անհրաժեշտ է համակարգել անհայտ փոփոխականները համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ և միայն դրանից հետո անցնել մատրիցային նշումին.

Բացի այդ, դուք պետք է զգույշ լինեք անհայտ փոփոխականների նշանակման հետ, փոխարենը x 1, x 2, …, x nկարող են լինել այլ տառեր: Օրինակ:

մատրիցային ձևով մենք գրում ենք.

Օգտագործելով մատրիցային մեթոդը, ավելի լավ է լուծել գծային հավասարումների համակարգեր, որոնցում հավասարումների թիվը համընկնում է անհայտ փոփոխականների թվի հետ, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի: Երբ համակարգում կա 3-ից ավելի հավասարումներ, հակադարձ մատրիցը գտնելու համար ավելի շատ հաշվողական ջանքեր կպահանջվեն, հետևաբար, այս դեպքում նպատակահարմար է օգտագործել Գաուսի մեթոդը լուծելու համար:

Այնուամենայնիվ, գործնականում տարածված է ևս երկու դեպք.

– Համակարգը անհամապատասխան է (լուծումներ չունի);
Համակարգը հետևողական է և ունի անսահման շատ լուծումներ։

Նշում «Հետևողականություն» տերմինը ենթադրում է, որ համակարգը գոնե ինչ-որ լուծում ունի։ Մի շարք առաջադրանքներում պահանջվում է նախապես ուսումնասիրել համակարգը համատեղելիության համար, ինչպես դա անել. տե՛ս հոդվածը մատրիցային աստիճան.

Այս համակարգերի համար օգտագործվում է լուծման բոլոր մեթոդներից ամենաունիվերսալը. Գաուսի մեթոդ. Փաստորեն, «դպրոցական» մեթոդը նույնպես կհանգեցնի պատասխանին, սակայն բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է օգտագործել անհայտների հաջորդական վերացման Գաուսի մեթոդը։ Նրանք, ովքեր ծանոթ չեն Գաուսի մեթոդի ալգորիթմին, խնդրում ենք նախ ուսումնասիրել դասը Գաուսի մեթոդը կեղծիքների համար.

Տարրական մատրիցային փոխակերպումները հենց նույնն են, տարբերությունը կլինի լուծման վերջում։ Նախ, հաշվի առեք մի քանի օրինակ, որտեղ համակարգը լուծումներ չունի (անհետևողական):

Օրինակ 1

Ի՞նչն է անմիջապես գրավում ձեր աչքը այս համակարգում: Հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից։ Եթե ​​հավասարումների թիվը փոքր է փոփոխականների թվից, ապա անմիջապես կարող ենք ասել, որ համակարգը կա՛մ անհետեւողական է, կա՛մ անսահման շատ լուծումներ ունի։ Եվ մնում է միայն պարզել։

Լուծման սկիզբը բավականին սովորական է. մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն բերում ենք փուլային ձևի.

(1) Վերին ձախ քայլում մենք պետք է ստանանք +1 կամ -1: Առաջին սյունակում նման թվեր չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը չի աշխատի: Միավորը պետք է կազմակերպվի ինքնուրույն, և դա կարելի է անել մի քանի ձևով։ Ես արեցի սա՝ առաջին տողին ավելացրո՛ւ երրորդ տողը, բազմապատկած -1-ով:

(2) Այժմ մենք ստանում ենք երկու զրո առաջին սյունակում: Երկրորդ տողին ավելացնում ենք 3-ով բազմապատկած առաջին տողը, երրորդ տողին՝ 5-ով բազմապատկած առաջին տողը։

(3) Փոխակերպումը կատարելուց հետո միշտ խորհուրդ է տրվում տեսնել, թե արդյոք հնարավոր է պարզեցնել ստացված տողերը: Կարող է. Երկրորդ տողը բաժանում ենք 2-ի, միաժամանակ երկրորդ քայլին ստանալով ցանկալի -1։ Երրորդ տողը բաժանեք -3-ի:

(4) Երկրորդ տողը ավելացրեք երրորդ տողին:

Հավանաբար բոլորը ուշադրություն են դարձրել վատ գծի վրա, որը պարզվել է տարրական փոխակերպումների արդյունքում. . Հասկանալի է, որ այդպես չի կարող լինել։ Իսկապես, մենք վերագրում ենք ստացված մատրիցը վերադառնալ գծային հավասարումների համակարգ.

Եթե ​​տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է ձևի տող, որտեղ ոչ զրոյական թիվ է, ապա համակարգը անհամապատասխան է (լուծումներ չունի):

Ինչպե՞ս գրանցել առաջադրանքի ավարտը: Սպիտակ կավիճով նկարենք՝ «տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է ձևի գիծ, ​​որտեղ» և պատասխանում ենք՝ համակարգը լուծումներ չունի (անհետևողական)։

Եթե, ըստ պայմանի, պահանջվում է ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐԵԼ համակարգը համատեղելիության համար, ապա անհրաժեշտ է լուծում տալ ավելի կոշտ ոճով, որը ներառում է հայեցակարգը. մատրիցային աստիճանը և Քրոնեկեր-Կապելի թեորեմը.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ Գաուսի ալգորիթմի հակադարձ շարժում չկա. լուծումներ չկան և պարզապես գտնելու ոչինչ չկա:

Օրինակ 2

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Կրկին հիշեցնում եմ ձեզ, որ ձեր լուծման ճանապարհը կարող է տարբերվել իմ լուծման ճանապարհից, Գաուսի ալգորիթմը չունի ուժեղ «կոշտություն»:

Լուծման ևս մեկ տեխնիկական առանձնահատկություն. տարրական փոխակերպումները կարող են դադարեցվել Միանգամից, հենց որ մի տող նման , որտեղ . Դիտարկենք պայմանական օրինակ. ենթադրենք, որ առաջին փոխակերպումից հետո մենք ստանում ենք մատրիցա . Մատրիցը դեռ չի վերածվել աստիճանական ձևի, բայց հետագա տարրական փոխակերպումների կարիք չկա, քանի որ հայտնվել է ձևի մի տող, որտեղ . Անմիջապես պետք է պատասխանել, որ համակարգը անհամատեղելի է։

Երբ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, սա գրեթե նվեր է, քանի որ կարճ լուծում է ստացվում, երբեմն բառացիորեն 2-3 քայլով:

Բայց այս աշխարհում ամեն ինչ հավասարակշռված է, և խնդիրը, որի դեպքում համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի, պարզապես ավելի երկար է:

Օրինակ 3

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

Կան 4 հավասարումներ և 4 անհայտներ, ուստի համակարգը կարող է կամ ունենալ մեկ լուծում, կամ չունենալ լուծումներ, կամ ունենալ անսահման շատ լուծումներ: Ինչ էլ որ լիներ, բայց Գաուսի մեթոդը ամեն դեպքում մեզ կտանի պատասխանի։ Դրանում է նրա բազմակողմանիությունը:

Սկիզբը կրկին ստանդարտ է: Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Այսքանը, և դուք վախենում էիք:

(1) Նկատի ունեցեք, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը բաժանվում են 2-ի, ուստի 2-ը լավ է վերին ձախ մասում: Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը` բազմապատկելով -4-ով: Երրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը` բազմապատկելով -2-ով: Չորրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը` բազմապատկելով -1-ով:

Ուշադրություն.Շատերը կարող են գայթակղվել չորրորդ տողից հանելառաջին տող. Դա կարելի է անել, բայց պարտադիր չէ, փորձը ցույց է տալիս, որ հաշվարկներում սխալվելու հավանականությունը մի քանի անգամ մեծանում է։ Պարզապես գումարեք: Չորրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը, բազմապատկելով -1 - ճիշտ!

(2) Վերջին երեք տողերը համաչափ են, որոնցից երկուսը կարող են ջնջվել:

Այստեղ կրկին անհրաժեշտ է ցույց տալ ավելացել է ուշադրությունը, բայց տողերն իսկապե՞ս համամասնական են։ Վերաապահովագրության համար (հատկապես թեյնիկի համար) ավելորդ չէր լինի երկրորդ շարքը բազմապատկել -1-ով, իսկ չորրորդ շարքը բաժանել 2-ի, արդյունքում երեք միանման տողեր: Եվ միայն դրանից հետո հեռացնել դրանցից երկուսը։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում համակարգի ընդլայնված մատրիցը վերածվում է աստիճանական ձևի.

Նոթատետրում առաջադրանք կատարելիս խորհուրդ է տրվում նույն գրառումները կատարել մատիտով՝ պարզության համար:

Մենք վերագրում ենք հավասարումների համապատասխան համակարգը.

Համակարգի «սովորական» միակ լուծումն այստեղ հոտ չի գալիս։ Վատ գիծ էլ չկա։ Սա նշանակում է, որ սա մնացած երրորդ դեպքն է՝ համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ։ Երբեմն, պայմանով, անհրաժեշտ է ուսումնասիրել համակարգի համատեղելիությունը (այսինքն ապացուցել, որ լուծում ընդհանրապես գոյություն ունի), այս մասին կարող եք կարդալ հոդվածի վերջին պարբերությունում: Ինչպե՞ս գտնել մատրիցայի աստիճանը:Բայց առայժմ եկեք բաժանենք հիմունքները.

Համակարգի լուծումների անսահման բազմությունը համառոտ գրված է այսպես կոչվածի տեսքով ընդհանուր համակարգի լուծում .

Մենք կգտնենք համակարգի ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդի հակադարձ շարժումը։

Նախ պետք է որոշենք, թե ինչ փոփոխականներ ունենք հիմնական, և որ փոփոխականները անվճար. Պետք չէ անհանգստանալ գծային հանրահաշվի տերմիններով, բավական է հիշել, որ այդպիսիք կան հիմք փոփոխականներև ազատ փոփոխականներ.

Հիմնական փոփոխականները միշտ «նստում» են խիստ մատրիցայի աստիճանների վրա.
Այս օրինակում հիմնական փոփոխականներն են և

Ազատ փոփոխականները ամեն ինչ են մնացածըփոփոխականներ, որոնք քայլ չեն ստացել: Մեր դեպքում դրանք երկուսն են՝ - ազատ փոփոխականներ։

Այժմ դուք պետք է բոլորը հիմք փոփոխականներարտահայտել միայն միջոցով ազատ փոփոխականներ.

Գաուսի ալգորիթմի հակադարձ շարժումը ավանդաբար աշխատում է ներքևից վեր:
Համակարգի երկրորդ հավասարումից մենք արտահայտում ենք հիմնական փոփոխականը.

Այժմ նայեք առաջին հավասարմանը. . Նախ, մենք դրա մեջ փոխարինում ենք գտնված արտահայտությունը.

Մնում է հիմնական փոփոխականն արտահայտել ազատ փոփոխականների առումով.

Արդյունքն այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է - բոլորըարտահայտված են հիմնական փոփոխականները ( և ): միայն միջոցովանվճար փոփոխականներ.

Փաստորեն, ընդհանուր լուծումը պատրաստ է.

Ինչպե՞ս գրել ընդհանուր լուծումը:
Ազատ փոփոխականները գրվում են ընդհանուր լուծման մեջ «ինքնուրույն» և խիստ իրենց տեղերում։ Այս դեպքում ազատ փոփոխականները պետք է գրվեն երկրորդ և չորրորդ դիրքերում.
.

Ստացված արտահայտությունները հիմնական փոփոխականների համար և ակնհայտորեն անհրաժեշտ է գրել առաջին և երրորդ հորիզոնականներում.

Անվճար փոփոխականներ տալը կամայական արժեքներ, անսահման շատ են մասնավոր որոշումներ. Ամենահայտնի արժեքները զրոներն են, քանի որ կոնկրետ լուծումը ամենահեշտն է ստացվում: Փոխարինող ընդհանուր լուծման մեջ.

մասնավոր որոշում է։

Նրանք ևս մեկ քաղցր զույգ են, եկեք փոխարինենք ընդհանուր լուծմանը.

մեկ այլ կոնկրետ լուծում է:

Հեշտ է տեսնել, որ հավասարումների համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ(քանի որ մենք կարող ենք տալ անվճար փոփոխականներ ցանկացածարժեքներ)

Յուրաքանչյուրըկոնկրետ լուծումը պետք է բավարարի յուրաքանչյուրինհամակարգի հավասարումը. Սա լուծման ճիշտության «արագ» ստուգման հիմքն է։ Վերցրեք, օրինակ, որոշակի լուծում և այն փոխարինեք սկզբնական համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

Ամեն ինչ պետք է հավաքվի: Եվ ցանկացած կոնկրետ լուծում, որը դուք ստանում եք, ամեն ինչ նույնպես պետք է համընկնի:

Բայց, խստորեն ասած, որոշակի լուծման ստուգումը երբեմն խաբում է. ինչ-որ կոնկրետ լուծում կարող է բավարարել համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը, իսկ ընդհանուր լուծումը իրականում սխալ է գտնվել:

Հետևաբար, ընդհանուր լուծման ստուգումն ավելի մանրակրկիտ և հուսալի է: Ինչպես ստուգել ստացված ընդհանուր լուծումը ?

Դա հեշտ է, բայց բավականին հոգնեցուցիչ: Պետք է արտահայտություններ ընդունել հիմնականփոփոխականներ, այս դեպքում և , և դրանք փոխարինեք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում:

Համակարգի առաջին հավասարման ձախ կողմում.

Համակարգի երկրորդ հավասարման ձախ կողմում.


Ստացվում է սկզբնական հավասարման աջ կողմը:

Օրինակ 4

Համակարգը լուծել Գաուսի մեթոդով: Գտեք ընդհանուր լուծում և երկու մասնավոր: Ստուգեք ընդհանուր լուծումը:

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Այստեղ, ի դեպ, դարձյալ հավասարումների թիվը պակաս է անհայտների թվից, ինչը նշանակում է, որ անմիջապես պարզ է դառնում, որ համակարգը կա՛մ կլինի անհետևողական, կա՛մ կունենա անսահման թվով լուծումներ։ Ի՞նչն է կարևոր հենց որոշման գործընթացում: Ուշադրություն և կրկին ուշադրություն. Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Եվ ևս մի երկու օրինակ՝ նյութն ամրապնդելու համար

Օրինակ 5

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ. Եթե ​​համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ, գտեք երկու կոնկրետ լուծում և ստուգեք ընդհանուր լուծումը

ՈրոշումԳրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և տարրական փոխակերպումների օգնությամբ այն հասցնենք աստիճանական ձևի.

(1) Առաջին տողը ավելացրեք երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացնում ենք 2-ով բազմապատկած առաջին տողը, չորրորդ տողին՝ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը։
(2) Երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը՝ բազմապատկված -5-ով: Չորրորդ տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը` բազմապատկելով -7-ով։
(3) Երրորդ և չորրորդ տողերը նույնն են, մենք ջնջում ենք դրանցից մեկը:

Ահա այսպիսի գեղեցկություն.

Հիմնական փոփոխականները նստած են աստիճանների վրա, ուստի դրանք բազային փոփոխականներ են:
Կա միայն մեկ անվճար փոփոխական, որը քայլ չի ստացել.

Հակադարձ շարժում.
Մենք արտահայտում ենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականի առումով.
Երրորդ հավասարումից.

Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը և դրանում փոխարինեք գտնված արտահայտությունը.

Դիտարկենք առաջին հավասարումը և փոխարինեք գտնված արտահայտությունները և դրանում փոխարինեք.

Այո, սովորական կոտորակները հաշվող հաշվիչը դեռ հարմար է։

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Եվս մեկ անգամ ինչպե՞ս եղավ։ Ազատ փոփոխականը միայնակ է իր օրինական չորրորդ տեղում: Ստացված արտահայտությունները հիմնական փոփոխականների համար նույնպես գրավեցին իրենց հերթական տեղերը:

Եկեք անմիջապես ստուգենք ընդհանուր լուծումը: Աշխատեք սևամորթների համար, բայց ես դա արդեն արել եմ, այնպես որ բռնեք =)

Մենք երեք հերոսի փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում.

Ստացված են հավասարումների համապատասխան աջ կողմերը, ուստի ընդհանուր լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Հիմա գտնված ընդհանուր լուծումից մենք ստանում ենք երկու կոնկրետ լուծում. Այստեղ խոհարարը միակ անվճար փոփոխականն է: Պետք չէ գլուխդ կոտրել։

Թող ապա մասնավոր որոշում է։
Թող ապա մեկ այլ կոնկրետ լուծում է:

ՊատասխանելԸնդհանուր որոշում. , առանձնահատուկ լուծումներ. , .

Ես չպետք է հիշեի այստեղ սևամորթների մասին ... ... քանի որ գլխումս եկան ամենատարբեր սադիստական ​​դրդապատճառներ, և ես հիշեցի հայտնի ֆոտոժաբանը, որտեղ սպիտակ կոմբինիզոնով Կու Կլյուքս Կլանսմենները սև ֆուտբոլից հետո վազում են դաշտով մեկ: խաղացող. Նստում եմ ու լուռ ժպտում. Դուք գիտեք, թե որքան շեղում է ուշադրությունը…

Շատ մաթեմատիկան վնասակար է, ուստի նման վերջնական օրինակ անկախ լուծման համար:

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը.

Ես արդեն ստուգել եմ ընդհանուր լուծումը, պատասխանին կարելի է վստահել։ Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմ լուծումից, գլխավորն այն է, որ ընդհանուր լուծումները համընկնեն։

Հավանաբար, շատերը լուծումների մեջ նկատել են մի տհաճ պահ՝ շատ հաճախ Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքի ժամանակ մենք ստիպված էինք լինում ջութակ անել սովորական կոտորակների հետ։ Գործնականում դա ճիշտ է, դեպքերը, երբ կոտորակներ չկան, շատ ավելի քիչ են տարածված: Պատրաստ եղեք հոգեպես, և ամենակարևորը՝ տեխնիկապես։

Կանդրադառնամ լուծման որոշ առանձնահատկությունների վրա, որոնք չգտնվեցին լուծված օրինակներում։

Համակարգի ընդհանուր լուծումը երբեմն կարող է ներառել հաստատուն (կամ հաստատուններ), օրինակ՝ . Այստեղ հիմնական փոփոխականներից մեկը հավասար է հաստատուն թվի. Սրա մեջ էկզոտիկ բան չկա, դա լինում է։ Ակնհայտ է, որ այս դեպքում ցանկացած կոնկրետ լուծում առաջին դիրքում կպարունակի հնգյակ:

Հազվադեպ, բայց կան համակարգեր, որոնցում հավասարումների թիվն ավելի մեծ է, քան փոփոխականների թիվը. Գաուսի մեթոդն աշխատում է ամենադժվար պայմաններում, պետք է հանգիստ կերպով համակարգի ընդլայնված մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի՝ ստանդարտ ալգորիթմի համաձայն: Նման համակարգը կարող է լինել անհետևողական, կարող է ունենալ անսահման շատ լուծումներ և, որքան էլ տարօրինակ է, կարող է ունենալ եզակի լուծում:

Գաուսի մեթոդն ունի մի շարք թերություններ. անհնար է իմանալ, արդյոք համակարգը հետևողական է, թե ոչ, քանի դեռ չեն կատարվել Գաուսի մեթոդում անհրաժեշտ բոլոր փոխակերպումները. Գաուսի մեթոդը հարմար չէ տառային գործակից ունեցող համակարգերի համար:

Դիտարկենք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման այլ մեթոդներ: Այս մեթոդները օգտագործում են մատրիցայի աստիճանի հայեցակարգը և ցանկացած համատեղ համակարգի լուծումը նվազեցնում են այն համակարգի լուծմանը, որի վրա կիրառվում է Քրամերի կանոնը։

Օրինակ 1Գտե՛ք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգի ընդհանուր լուծումը՝ օգտագործելով կրճատված միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգը և անհամասեռ համակարգի որոշակի լուծումը.

1. Պատրաստում ենք մատրիցա Աև համակարգի ընդլայնված մատրիցը (1)

2. Ուսումնասիրեք համակարգը (1) համատեղելիության համար: Դա անելու համար մենք գտնում ենք մատրիցների շարքերը Աև https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">):Եթե պարզվի, որ , ապա համակարգը (1) անհամատեղելի. Եթե ​​մենք դա ստանանք , ուրեմն այս համակարգը հետևողական է, և մենք այն կլուծենք։ (Հետևողականության ուսումնասիրությունը հիմնված է Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի վրա):

ա. Մենք գտնում ենք ՌԱ.

Գտնել ՌԱ, մենք կդիտարկենք մատրիցայի առաջին, երկրորդ և այլն կարգերի հաջորդաբար ոչ զրոյական փոքրեր Աև նրանց շրջապատող անչափահասները։

M1=1≠0 (1-ը վերցված է մատրիցայի վերին ձախ անկյունից ԲԱՅՑ).

Սահմանամերձ M1այս մատրիցայի երկրորդ շարքը և երկրորդ սյունակը: . Մենք շարունակում ենք սահմանը M1երկրորդ տողը և երրորդ սյունակը..gif" width="37" height="20 src=">: Այժմ սահմանում ենք ոչ զրոյական փոքրը М2′երկրորդ կարգ.

Մենք ունենք: (քանի որ առաջին երկու սյունակները նույնն են)

(որովհետև երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են):

Մենք դա տեսնում ենք rA=2, և մատրիցայի հիմնական մինորն է Ա.

բ. Մենք գտնում ենք.

Բավականաչափ հիմնական անչափահաս М2′մատրիցներ Ասահմանը ազատ անդամների սյունակով և բոլոր տողերով (մենք ունենք միայն վերջին տողը):

. Այստեղից հետևում է, որ М3′′մնում է մատրիցայի հիմնական մինորը https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Ինչպես М2′- մատրիցայի հիմնական մինորը Ահամակարգեր (2) , ապա այս համակարգը համարժեք է համակարգին (3) , որը բաղկացած է համակարգի առաջին երկու հավասարումներից (2) (համար М2′գտնվում է A մատրիցի առաջին երկու շարքերում):

(3)

Քանի որ հիմնական մինորը https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Այս համակարգում երկու անվճար անհայտներ ( x2 և x4 ): Այսպիսով FSR համակարգեր (4) բաղկացած է երկու լուծումից. Դրանք գտնելու համար մենք ազատ անհայտներ ենք հատկացնում (4) արժեքները նախ x2=1 , x4=0 , եւ հետո - x2=0 , x4=1 .

ժամը x2=1 , x4=0 մենք ստանում ենք.

.

Այս համակարգն արդեն ունի միակ բանը լուծում (այն կարելի է գտնել Քրամերի կանոնով կամ ցանկացած այլ մեթոդով): Առաջին հավասարումը երկրորդից հանելով՝ ստանում ենք.

Նրա որոշումը կլինի x1= -1 , x3=0 . Հաշվի առնելով արժեքները x2 և x4 , որը մենք տվել ենք, ստանում ենք համակարգի առաջին հիմնարար լուծումը (2) : .

Այժմ մենք դնում ենք (4) x2=0 , x4=1 . Մենք ստանում ենք.

.

Մենք լուծում ենք այս համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի թեորեմը.

.

Մենք ստանում ենք համակարգի երկրորդ հիմնարար լուծումը (2) : .

Լուծումներ β1 , β2 և դիմահարդարվել FSR համակարգեր (2) . Հետո դրա ընդհանուր լուծումը կլինի

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Այստեղ C1 , C2 կամայական հաստատուններ են:

4. Գտեք մեկը մասնավոր որոշումը տարասեռ համակարգ(1) . Ինչպես պարբերությունում 3 , համակարգի փոխարեն (1) հաշվի առեք համարժեք համակարգը (5) , որը բաղկացած է համակարգի առաջին երկու հավասարումներից (1) .

(5)

Ազատ անհայտները տեղափոխում ենք աջ կողմեր x2և x4.

(6)

Եկեք անվճար անհայտներ տանք x2 և x4 կամայական արժեքներ, օրինակ, x2=2 , x4=1 և միացրեք դրանք (6) . Եկեք ձեռք բերենք համակարգը

Այս համակարգն ունի եզակի լուծում (քանի որ դրա որոշիչը М2′0): Լուծելով այն (օգտագործելով Կրամերի թեորեմը կամ Գաուսի մեթոդը) մենք ստանում ենք x1=3 , x3=3 . Հաշվի առնելով անվճար անհայտների արժեքները x2 և x4 , ստանում ենք անհամասեռ համակարգի հատուկ լուծում(1)α1=(3,2,3,1).

5. Հիմա մնում է գրել Անհամասեռ համակարգի α ընդհանուր լուծում(1) : այն հավասար է գումարին մասնավոր որոշումայս համակարգը և նրա կրճատված միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2):

Դա նշանակում է: (7)

6. Փորձաքննություն.Ստուգելու համար, արդյոք դուք ճիշտ եք լուծել համակարգը (1) , մեզ ընդհանուր լուծում է պետք (7) փոխարինել մեջ (1) . Եթե ​​յուրաքանչյուր հավասարում դառնում է ինքնություն ( C1 և C2 պետք է ոչնչացվի), ապա լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Մենք կփոխարինենք (7) օրինակ՝ միայն համակարգի վերջին հավասարման մեջ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ստանում ենք՝ (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Որտեղ -1=-1: Մենք ինքնություն ստացանք։ Մենք դա անում ենք համակարգի մյուս բոլոր հավասարումներով (1) .

Մեկնաբանություն.Ստուգումը սովորաբար բավականին դժվար է: Մենք կարող ենք խորհուրդ տալ հետևյալ «մասնակի ստուգումը»՝ համակարգի ընդհանուր լուծման մեջ (1) որոշ արժեքներ վերագրեք կամայական հաստատուններին և ստացված կոնկրետ լուծումը փոխարինեք միայն մերժված հավասարումների մեջ (այսինքն՝ այդ հավասարումների մեջ. (1) որոնք ներառված չեն (5) ): Եթե ​​դուք ինքնություն եք ստանում, ապա ավելի հավանական է, համակարգի լուծում (1) ճիշտ է հայտնաբերվել (բայց նման ստուգումը ճիշտության լիարժեք երաշխիք չի տալիս): Օրինակ, եթե ներս (7) դնել C2=- 1 , C1=1, ապա ստանում ենք՝ x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0: Փոխարինելով համակարգի վերջին հավասարմանը (1)՝ ունենք. - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , այսինքն՝ –1=–1։ Մենք ինքնություն ստացանք։

Օրինակ 2Գտեք գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը (1) , հիմնական անհայտներն արտահայտելով ազատների տեսքով։

Որոշում.Ինչպես մեջ օրինակ 1, կազմել մատրիցներ Աև https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> այս մատրիցներից: Այժմ թողնում ենք համակարգի միայն այդ հավասարումները. (1) , որի գործակիցները ներառված են այս հիմնական մինորում (այսինքն՝ մենք ունենք առաջին երկու հավասարումները) և դիտարկենք դրանցից բաղկացած համակարգը, որը համարժեք է (1) համակարգին։

Եկեք ազատ անհայտները տեղափոխենք այս հավասարումների աջ կողմերը:

համակարգ (9) լուծում ենք Գաուսի մեթոդով՝ ճիշտ մասերը դիտարկելով որպես ազատ անդամներ։

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Տարբերակ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Տարբերակ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Տարբերակ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Տարբերակ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Գծային հավասարումների համակարգը n գծային հավասարումների միություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է k փոփոխականներ։ Գրված է այսպես.

Շատերը, երբ առաջին անգամ բախվում են ավելի բարձր հանրահաշիվին, սխալմամբ կարծում են, որ հավասարումների թիվը պետք է անպայմանորեն համընկնի փոփոխականների թվի հետ։ Դպրոցական հանրահաշիվում դա սովորաբար այդպես է, բայց բարձրագույն հանրահաշվի դեպքում դա, ընդհանուր առմամբ, ճիշտ չէ:

Հավասարումների համակարգի լուծումը թվերի հաջորդականությունն է (k 1 , k 2 , ..., k n ), որը համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման լուծումն է, այսինքն. x 1, x 2, ... փոփոխականների փոխարեն այս հավասարման մեջ փոխարինելիս x n-ը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն:

Համապատասխանաբար, լուծել հավասարումների համակարգը նշանակում է գտնել դրա բոլոր լուծումների բազմությունը կամ ապացուցել, որ այդ բազմությունը դատարկ է: Քանի որ հավասարումների թիվը և անհայտների թիվը կարող են նույնը չլինել, հնարավոր է երեք դեպք.

1. Համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն. բոլոր լուծումների հավաքածուն դատարկ է: Բավականին հազվագյուտ դեպք, որը հեշտությամբ հայտնաբերվում է, անկախ նրանից, թե որ մեթոդը լուծել համակարգը:
2. Համակարգը հետևողական է և սահմանված, այսինքն. ունի ճիշտ մեկ լուծում. Դասական տարբերակը, որը հայտնի է դեռ դպրոցական տարիներից:
3. Համակարգը հետևողական է և չսահմանված, այսինքն. ունի անսահման շատ լուծումներ: Սա ամենադժվար տարբերակն է։ Բավական չէ նշել, որ «համակարգն ունի լուծումների անսահման հավաքածու», անհրաժեշտ է նկարագրել, թե ինչպես է դասավորված այս բազմությունը։

x i փոփոխականը կոչվում է թույլատրված, եթե այն ներառված է համակարգի միայն մեկ հավասարման մեջ, այն էլ 1 գործակցով: Այսինքն, մնացած հավասարումներում x i փոփոխականի գործակիցը պետք է հավասար լինի զրոյի:

Եթե ​​յուրաքանչյուր հավասարման մեջ ընտրենք մեկ թույլատրելի փոփոխական, ապա կստանանք թույլատրված փոփոխականների մի շարք հավասարումների ամբողջ համակարգի համար: Ինքը՝ այս ձևով գրված համակարգը, նույնպես կկոչվի թույլատրված։ Ընդհանուր առմամբ, միևնույն սկզբնական համակարգը կարող է կրճատվել տարբեր թույլատրելի համակարգերի, բայց դա մեզ հիմա չի վերաբերում։ Ահա թույլատրված համակարգերի օրինակներ.

Երկու համակարգերն էլ թույլատրվում են x 1, x 3 և x 4 փոփոխականների նկատմամբ: Այնուամենայնիվ, նույն հաջողությամբ կարելի է պնդել, որ երկրորդ համակարգը թույլատրված է x 1, x 3 և x 5-ի նկատմամբ: Բավական է վերաշարադրել վերջին հավասարումը x 5 = x 4 ձևով:

Այժմ դիտարկենք ավելի ընդհանուր դեպք: Ենթադրենք ընդհանուր առմամբ ունենք k փոփոխականներ, որոնցից r-ն թույլատրված է։ Այնուհետև հնարավոր է երկու դեպք.

1. Թույլատրված փոփոխականների թիվը r հավասար է k փոփոխականների ընդհանուր թվին.r=k: Մենք ստանում ենք k հավասարումների համակարգ, որտեղ r = k թույլատրելի փոփոխականներ: Նման համակարգը համագործակցային է և որոշակի, քանի որ x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Թույլատրված փոփոխականների թիվը r փոքր է k :r փոփոխականների ընդհանուր թվից< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Այսպիսով, վերը նշված համակարգերում x 2 , x 5 , x 6 (առաջին համակարգի համար) և x 2, x 5 (երկրորդի համար) փոփոխականներն անվճար են։ Այն դեպքը, երբ կան ազատ փոփոխականներ, ավելի լավ է ձևակերպել որպես թեորեմ.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, սա շատ կարևոր կետ է: Կախված նրանից, թե ինչպես եք գրում վերջնական համակարգը, նույն փոփոխականը կարող է լինել և՛ թույլատրված, և՛ անվճար: Մաթեմատիկայի առաջադեմ ուսուցիչներից շատերը խորհուրդ են տալիս փոփոխականները գրել բառարանագրական կարգով, այսինքն. աճող ինդեքս. Այնուամենայնիվ, դուք ընդհանրապես պետք չէ հետևել այս խորհրդին:

Թեորեմ. Եթե ​​n հավասարումների համակարգում x 1 , x 2 , ..., x r փոփոխականները թույլատրված են, իսկ x r + 1 , x r + 2 , ..., x k ազատ են, ապա.

1. Եթե ​​սահմանենք ազատ փոփոխականների արժեքները (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), ապա գտնենք x 1, x 2, արժեքները: .., x r, մենք ստանում ենք լուծումներից մեկը:
2. Եթե ​​երկու լուծումներում ազատ փոփոխականների արժեքները նույնն են, ապա թույլատրելի փոփոխականների արժեքները նույնպես նույնն են, այսինքն. լուծումները հավասար են.

Ո՞րն է այս թեորեմի իմաստը: Հավասարումների թույլատրված համակարգի բոլոր լուծումները ստանալու համար բավական է առանձնացնել ազատ փոփոխականներ։ Այնուհետև ազատ փոփոխականներին տարբեր արժեքներ վերագրելով՝ կստանանք պատրաստի լուծումներ։ Այսքանը. այս կերպ Դուք կարող եք ստանալ համակարգի բոլոր լուծումները: Այլ լուծումներ չկան։

Եզրակացություն. թույլատրված հավասարումների համակարգը միշտ համահունչ է: Եթե ​​թույլատրված համակարգում հավասարումների թիվը հավասար է փոփոխականների թվին, ապա համակարգը կլինի որոշակի, եթե ավելի քիչ՝ անորոշ:

Եվ ամեն ինչ լավ կլիներ, բայց հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս ստանալ լուծվածը սկզբնական հավասարումների համակարգից։ Դրա համար կա