Գծային հավասարումներ. Լուծում, օրինակներ.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Գծային հավասարումներ.

Գծային հավասարումները դպրոցական մաթեմատիկայի ամենադժվար թեման չեն: Բայց կան որոշ հնարքներ, որոնք կարող են տարակուսել նույնիսկ պատրաստված ուսանողին: Կհասկանա՞նք։)

Գծային հավասարումը սովորաբար սահմանվում է որպես ձևի հավասարում.

կացին + բ = 0 որտեղ ա և բ- ցանկացած թվեր:

2x + 7 = 0. Այստեղ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Այստեղ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Այստեղ a=12, b=1/2

Ոչ մի բարդ բան, չէ՞: Հատկապես եթե չես նկատում բառերը. «որտեղ a և b ցանկացած թվեր են»... Իսկ եթե նկատում եք, բայց անզգույշ մտածեք դրա մասին) Ի վերջո, եթե a=0, b=0(հնարավո՞ր է թվեր), այնուհետև ստանում ենք զվարճալի արտահայտություն.

Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Եթե, ասենք, a=0,ա b=5,Բավական անհեթեթ բան է ստացվում.

Ինչն է լարում և խաթարում վստահությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ, այո...) Հատկապես քննությունների ժամանակ։ Բայց այս տարօրինակ արտահայտություններից դուք նույնպես պետք է գտնեք X! Ինչն ընդհանրապես գոյություն չունի։ Եվ, զարմանալիորեն, այս X-ը շատ հեշտ է գտնել։ Մենք կսովորենք, թե ինչպես դա անել: Այս դասին.

Ինչպե՞ս ճանաչել գծային հավասարումը արտաքին տեսքով: Կախված է ինչից տեսքը.) Խաբեությունն այն է, որ գծային հավասարումները կոչվում են ոչ միայն ձևի հավասարումներ կացին + բ = 0 , այլ նաև ցանկացած հավասարումներ, որոնք վերածվում են այս ձևի փոխակերպումների և պարզեցումների միջոցով։ Իսկ ո՞վ գիտե՝ կրճատվել է, թե ոչ։)

Որոշ դեպքերում կարելի է հստակ ճանաչել գծային հավասարումը: Ասենք, եթե ունենք հավասարում, որում կան միայն առաջին աստիճանի անհայտներ, այո թվեր։ Իսկ հավասարումը` ոչ կոտորակները բաժանված են անհայտ , դա կարեւոր է! Եվ բաժանում ըստ թիվ,կամ թվային կոտորակ, վերջ: Օրինակ:

Սա գծային հավասարում է։ Այստեղ կան կոտորակներ, բայց չկան x-եր քառակուսիներ, խորանարդներ և այլն, իսկ հայտարարներում չկան x-եր, այսինքն. Ոչ բաժանում x-ով. Եվ ահա հավասարումը

չի կարելի անվանել գծային: Այստեղ x-երը բոլորն առաջին աստիճանի են, բայց կա արտահայտությամբ բաժանում x-ով. Պարզեցումներից և փոխակերպումներից հետո դուք կարող եք ստանալ գծային և քառակուսի հավասարում և այն, ինչ ցանկանում եք:

Ստացվում է, որ անհնար է պարզել գծային հավասարումը ինչ-որ բարդ օրինակում, քանի դեռ գրեթե չեք լուծել այն: Տխուր է: Բայց հանձնարարություններում, որպես կանոն, չեն հարցնում հավասարման ձևի մասին, չէ՞: Առաջադրանքներում հավասարումները դասավորված են որոշել.Սա ինձ ուրախացնում է։)

Գծային հավասարումների լուծում. Օրինակներ.

Գծային հավասարումների ամբողջ լուծումը բաղկացած է հավասարումների նույնական փոխակերպումներից: Ի դեպ, լուծումների հիմքում ընկած են այս փոխակերպումները (որքան երկուսը)։ մաթեմատիկայի բոլոր հավասարումները։Այսինքն՝ որոշումը ցանկացածՀավասարումը սկսվում է այս նույն փոխակերպումներով: Գծային հավասարումների դեպքում այն ​​(լուծումը) այս փոխակերպումների վրա ավարտվում է լիարժեք պատասխանով։ Հղմանը հետևելն իմաստ ունի, չէ՞) Ավելին, կան նաև գծային հավասարումներ լուծելու օրինակներ։

Սկսենք ամենապարզ օրինակից. Առանց որոգայթների։ Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.

x - 3 = 2 - 4x

Սա գծային հավասարում է։ X-երը բոլորն առաջին ուժի են, X-ով բաժանում չկա: Բայց իրականում մեզ չի հետաքրքրում, թե որն է հավասարումը: Մենք պետք է լուծենք այն: Այստեղ սխեման պարզ է. Հավաքեք ամեն ինչ x-ներով հավասարման ձախ կողմում, առանց x-երի (թվեր) աջ կողմում:

Դա անելու համար անհրաժեշտ է փոխանցել - 4 անգամ դեպի ձախ, նշանի փոփոխությամբ, իհարկե, բայց - 3 - դեպի աջ. Ի դեպ, սա է Հավասարումների առաջին նույնական փոխակերպումը.Զարմացա՞ծ: Այսպիսով, նրանք չեն հետևել հղմանը, բայց ապարդյուն ...) Մենք ստանում ենք.

x + 4x = 2 + 3

Մենք տալիս ենք նմանատիպ, մենք համարում ենք.

Ի՞նչ է մեզ անհրաժեշտ լիակատար երջանիկ լինելու համար: Այո, որպեսզի ձախ կողմում լինի մաքուր X: Հինգը խանգարում է: Ազատվել հինգի հետ հավասարումների երկրորդ նույնական փոխակերպումը:Այսինքն՝ հավասարման երկու մասերը բաժանում ենք 5-ի։ Ստանում ենք պատրաստի պատասխան.

Տարրական օրինակ, իհարկե։ Սա տաքացման համար է:) Շատ պարզ չէ, թե ինչու եմ այստեղ վերհիշել նույնական փոխակերպումները: ԼԱՎ. Ցուլի եղջյուրներից բռնում ենք։) Եկեք որոշենք ավելի տպավորիչ բան։

Օրինակ, ահա այս հավասարումը.

որտեղի՞ց սկսենք: X-ով` դեպի ձախ, առանց X-ով` աջ: Կարող է այդպես լինել: Փոքրիկ քայլեր երկար ճանապարհով: Եվ դուք կարող եք անմիջապես, համընդհանուր և հզոր ձևով: Եթե, իհարկե, ձեր զինանոցում չկան հավասարումների նույնական փոխակերպումներ:

Ես ձեզ հիմնական հարց եմ տալիս. Ի՞նչն է ձեզ ամենաշատը դուր գալիս այս հավասարման մեջ:

100-ից 95 հոգի կպատասխանեն. կոտորակները ! Պատասխանը ճիշտ է։ Այսպիսով, եկեք ձերբազատվենք նրանցից: Այսպիսով, մենք անմիջապես սկսում ենք երկրորդ նույնական փոխակերպումը. Ի՞նչ է անհրաժեշտ ձախ կողմում գտնվող կոտորակը բազմապատկելու համար, որպեսզի հայտարարն ամբողջությամբ կրճատվի: Ճիշտ է, 3. Իսկ աջի՞ն: 4-ով: Բայց մաթեմատիկան թույլ է տալիս մեզ բազմապատկել երկու կողմերը նույն թիվը. Ինչպե՞ս ենք մենք դուրս գալիս: Եկեք երկու կողմերը բազմապատկենք 12-ով: Նրանք. ընդհանուր հայտարարի. Հետո երեքը կկրճատվեն, իսկ չորսը։ Մի մոռացեք, որ դուք պետք է բազմապատկեք յուրաքանչյուր մասը ամբողջությամբ. Ահա թե ինչ տեսք ունի առաջին քայլը.

Ընդլայնելով փակագծերը.

Նշում! Համարիչ (x+2)Ես փակագծեր եմ վերցրել: Դա պայմանավորված է նրանով, որ կոտորակները բազմապատկելիս համարիչը բազմապատկվում է ամբողջի վրա, ամբողջությամբ: Եվ այժմ դուք կարող եք կրճատել կոտորակները և կրճատել.

Բացելով մնացած փակագծերը.

Ոչ թե օրինակ, այլ մաքուր հաճույք:) Այժմ մենք հիշում ենք ցածր դասարանների ուղղագրությունը. x-ով` դեպի ձախ, առանց x-ով` աջ:Եվ կիրառեք այս փոխակերպումը.

Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.

Եվ մենք երկու մասերը բաժանում ենք 25-ի, այսինքն. կրկին կիրառել երկրորդ փոխակերպումը.

Այսքանը: Պատասխան. X=0,16

Ուշադրություն դարձրեք. բնօրինակ շփոթեցնող հավասարումը հաճելի ձևի բերելու համար մենք օգտագործեցինք երկուսը (միայն երկուսը): նույնական փոխակերպումներ- թարգմանությունը ձախից աջ՝ նշանի փոփոխությամբ և հավասարման բազմապատկում-բաժանումով նույն թվով։ Սա համընդհանուր ճանապարհն է: Մենք այս կերպ ենք աշխատելու ցանկացած հավասարումներ! Բացարձակ ցանկացած: Այդ իսկ պատճառով ես անընդհատ կրկնում եմ այս նույնական փոխակերպումները։)

Ինչպես տեսնում եք, գծային հավասարումների լուծման սկզբունքը պարզ է. Մենք վերցնում ենք հավասարումը և պարզեցնում այն ​​նույնական փոխակերպումների օգնությամբ, մինչև ստանանք պատասխանը։ Այստեղ հիմնական խնդիրները հաշվարկների մեջ են, այլ ոչ թե լուծման սկզբունքի։

Բայց ... Ամենատարրական գծային հավասարումների լուծման գործընթացում այնպիսի անակնկալներ են լինում, որոնք կարող են մղել ուժեղ թմբիրի մեջ...) Բարեբախտաբար, կարող է լինել միայն երկու այդպիսի անակնկալ: Դրանք անվանենք հատուկ դեպքեր։

Հատուկ դեպքեր գծային հավասարումներ լուծելիս.

Անակնկալ նախ.

Ենթադրենք, դուք հանդիպում եք տարրական հավասարման, նման բան.

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Թեթևակի ձանձրանում ենք X-ով տեղափոխվում ձախ, առանց X-ով` աջ... Նշանի փոփոխությամբ ամեն ինչ չին-չինար է... Ստանում ենք.

2x-5x+3x=5-2-3

Մենք հավատում ենք, և ... Մենք ստանում ենք.

Ինքնին այս հավասարությունը վիճելի չէ։ Իրոք զրո զրո. Բայց X-ը չկա: Եվ պատասխանում պետք է գրենք. ինչին է հավասար x-ը:Թե չէ լուծումը չի հաշվում, հա...) Փակուղի՞։

Հանգիստ. Նման կասկածելի դեպքերում փրկում են ամենաընդհանուր կանոնները։ Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ: Ի՞նչ է նշանակում լուծել հավասարումը: Սա նշանակում է, գտե՛ք x-ի բոլոր արժեքները, որոնք, երբ փոխարինվեն սկզբնական հավասարման մեջ, մեզ ճիշտ հավասարություն կտան:

Բայց մենք ունենք ճիշտ հավասարություն արդենտեղի է ունեցել! 0=0, իսկապե՞ս որտե՞ղ: Մնում է պարզել, թե ինչ x-ով է սա ստացվում: X-ի ինչ արժեքներով կարելի է փոխարինել օրիգինալհավասարումը, եթե այս x-երը դեռևս զրոյի կհասցնե՞ք:Արի?)

Այո!!! X-երը կարող են փոխարինվել ցանկացած!Ինչ ես դու ուզում. Առնվազն 5, առնվազն 0,05, առնվազն -220: Նրանք դեռ կծկվեն։ Եթե ​​ինձ չեք հավատում, կարող եք ստուգել այն:) Փոխարինեք ցանկացած x արժեք օրիգինալհավասարում և հաշվարկում: Ամբողջ ժամանակը կլինի մաքուր ճշմարտություն 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 և այլն։

Ահա ձեր պատասխանը. x-ը ցանկացած թիվ է:

Պատասխանը կարելի է գրել տարբեր մաթեմատիկական նշաններով, էությունը չի փոխվում։ Սա լիովին ճիշտ և ամբողջական պատասխան է։

Անակնկալ երկրորդ.

Վերցնենք նույն տարրական գծային հավասարումը և դրանում փոխենք միայն մեկ թիվ։ Ահա թե ինչ ենք մենք որոշելու.

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Նույն նույն փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք մի հետաքրքիր բան.

Սրա նման. Լուծեց գծային հավասարում, ստացավ տարօրինակ հավասարություն. Մաթեմատիկորեն, մենք ունենք սխալ հավասարություն.Եվ խոսելով պարզ լեզու, սա ճիշտ չէ. Ռեյվ. Բայց, այնուամենայնիվ, այս անհեթեթությունը բավականին լավ պատճառ է ճիշտ որոշումհավասարումներ։)

Կրկին, մենք մտածում ենք ընդհանուր կանոններ. Այն, ինչ x-ը, երբ փոխարինվի սկզբնական հավասարման մեջ, կտա մեզ ճիշտհավասարություն? Այո, ոչ մեկը: Այդպիսի քսեր չկան։ Ինչ էլ որ փոխարինես, ամեն ինչ կկրճատվի, անհեթեթությունը կմնա։)

Ահա ձեր պատասխանը. լուծումներ չկան.

Սա նույնպես միանգամայն հիմնավոր պատասխան է։ Մաթեմատիկայի մեջ նման պատասխաններ հաճախ են լինում.

Սրա նման. Հիմա, հուսով եմ, x-երի կորուստը որևէ (ոչ միայն գծային) հավասարման լուծման գործընթացում ձեզ բոլորովին չի անհանգստացնի։ Գործը ծանոթ է։)

Այժմ, երբ մենք գործ ունենք բոլոր թակարդների հետ գծային հավասարումներ, իմաստ ունի լուծել դրանք։

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Առցանց հավասարումներ լուծելու ծառայությունը կօգնի ձեզ լուծել ցանկացած հավասարում: Օգտագործելով մեր կայքը, դուք ոչ միայն կստանաք հավասարման պատասխանը, այլև կտեսնեք մանրամասն լուծում, այսինքն՝ արդյունքի ստացման գործընթացի քայլ առ քայլ ցուցադրում։ Մեր ծառայությունը օգտակար կլինի ավագ դպրոցի աշակերտների և նրանց ծնողների համար: Աշակերտները կկարողանան պատրաստվել թեստերին, քննություններին, ստուգել իրենց գիտելիքները, իսկ ծնողները կկարողանան վերահսկել իրենց երեխաների կողմից մաթեմատիկական հավասարումների լուծումը։ Հավասարումներ լուծելու կարողությունը պարտադիր պահանջ է ուսանողների համար: Ծառայությունը կօգնի ձեզ ինքնուրույն սովորել և բարելավել ձեր գիտելիքները մաթեմատիկական հավասարումների ոլորտում։ Դրանով դուք կարող եք լուծել ցանկացած հավասարում` քառակուսի, խորանարդ, իռացիոնալ, եռանկյունաչափ և այլն: առցանց ծառայությունբայց անգին, քանի որ բացի ճիշտ պատասխանից, դուք ստանում եք յուրաքանչյուր հավասարման մանրամասն լուծում: Առցանց հավասարումներ լուծելու առավելությունները. Դուք կարող եք առցանց ցանկացած հավասարում լուծել մեր կայքում բացարձակապես անվճար: Ծառայությունը լիովին ավտոմատ է, պետք չէ որևէ բան տեղադրել ձեր համակարգչում, պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել տվյալները, և ծրագիրը լուծում կտա: Հաշվարկման ցանկացած սխալ կամ տպագրական սխալներ բացառվում են: Մեզ հետ առցանց ցանկացած հավասարում լուծելը շատ հեշտ է, այնպես որ համոզվեք, որ օգտագործեք մեր կայքը ցանկացած տեսակի հավասարումներ լուծելու համար: Ձեզ անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել տվյալները, և հաշվարկը կավարտվի վայրկյանների ընթացքում: Ծրագիրն աշխատում է ինքնուրույն, առանց մարդու միջամտության, և դուք ստանում եք ճշգրիտ և մանրամասն պատասխան։ Հավասարման լուծում ընդհանուր ձևով. Նման հավասարման դեպքում փոփոխական գործակիցները և ցանկալի արմատները փոխկապակցված են: Փոփոխականի ամենաբարձր հզորությունը որոշում է նման հավասարման կարգը: Դրա հիման վրա հավասարումների համար օգտագործեք տարբեր մեթոդներև լուծումներ գտնելու թեորեմներ։ Այս տեսակի հավասարումների լուծումը նշանակում է գտնել ցանկալի արմատները ընդհանուր ձևով: Մեր ծառայությունը թույլ է տալիս առցանց լուծել նույնիսկ ամենաբարդ հանրահաշվական հավասարումը: Դուք կարող եք ստանալ և՛ հավասարման ընդհանուր լուծումը, և՛ ձեր նշածների մասնավոր լուծումը: թվային արժեքներգործակիցները։ Կայքում հանրահաշվական հավասարումը լուծելու համար բավական է ճիշտ լրացնել միայն երկու դաշտ՝ տվյալ հավասարման ձախ և աջ մասերը։ Փոփոխական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարումներն ունեն անսահման թվով լուծումներ, և որոշակի պայմաններ դնելով լուծումների բազմությունից ընտրվում են կոնկրետները։ Քառակուսային հավասարում. Քառակուսի հավասարումը a>0-ի համար ունի ax^2+bx+c=0 ձև: Քառակուսի ձևի հավասարումների լուծումը ենթադրում է x-ի արժեքների հայտնաբերում, որոնց դեպքում բավարարվում է ax^2+bx+c=0 հավասարությունը։ Դրա համար դիսկրիմինանտի արժեքը հայտնաբերվում է D=b^2-4ac բանաձևով: Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա հավասարումը չունի իրական արմատներ (արմատները կոմպլեքս թվերի դաշտից են), եթե այն զրո է, ապա հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ, իսկ եթե դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, ապա. հավասարումն ունի երկու իրական արմատ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձևով. D \u003d -b + -sqrt / 2a: Քառակուսային հավասարումը առցանց լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է մուտքագրել նման հավասարման գործակիցները (ամբողջ թվեր, կոտորակներ կամ տասնորդական արժեքներ): Եթե ​​հավասարման մեջ կան հանման նշաններ, ապա պետք է հավասարման համապատասխան անդամների դիմաց մինուս դնես։ Կարող եք նաև առցանց քառակուսի հավասարում լուծել՝ կախված պարամետրից, այսինքն՝ հավասարման գործակիցների փոփոխականներից։ Ընդհանուր լուծումներ գտնելու մեր առցանց ծառայությունը հիանալի կերպով հաղթահարում է այս խնդիրը: Գծային հավասարումներ. Գծային հավասարումներ (կամ հավասարումների համակարգեր) լուծելու համար գործնականում օգտագործվում են չորս հիմնական մեթոդներ. Եկեք մանրամասն նկարագրենք յուրաքանչյուր մեթոդ: Փոխարինման մեթոդ. Փոխարինման մեթոդով հավասարումների լուծումը պահանջում է մեկ փոփոխականի արտահայտում մյուսների առումով: Դրանից հետո արտահայտությունը փոխարինվում է համակարգի այլ հավասարումներով: Այստեղից էլ գալիս է լուծման մեթոդի անվանումը, այսինքն՝ փոփոխականի փոխարեն փոխարինվում է դրա արտահայտությունը մնացած փոփոխականների միջոցով։ Գործնականում մեթոդը պահանջում է բարդ հաշվարկներ, թեև այն հեշտ է հասկանալ, ուստի առցանց նման հավասարումը լուծելը ժամանակ կխնայի և կհեշտացնի հաշվարկները: Պարզապես պետք է նշել անհայտների թիվը հավասարման մեջ և լրացնել տվյալները գծային հավասարումներից, այնուհետև ծառայությունը կկատարի հաշվարկը։ Գաուսի մեթոդ. Մեթոդը հիմնված է համակարգի ամենապարզ փոխակերպումների վրա՝ համարժեք եռանկյուն համակարգին հասնելու համար: Դրանից հերթով որոշվում են անհայտները։ Գործնականում պահանջվում է առցանց լուծել նման հավասարումը մանրամասն նկարագրություն, որի շնորհիվ դուք լավ կյուրացնեք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդը։ Գրի՛ր գծային հավասարումների համակարգը ճիշտ ձևաչափով և հաշվի առի՛ր անհայտների թիվը՝ համակարգը ճիշտ լուծելու համար: Կրամերի մեթոդը. Այս մեթոդը լուծում է հավասարումների համակարգեր այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի միայն որոշում. Այստեղ հիմնական մաթեմատիկական գործողությունը մատրիցային որոշիչների հաշվարկն է: Քրամերի մեթոդով հավասարումների լուծումն իրականացվում է առցանց, արդյունքը ստանում եք ակնթարթորեն՝ ամբողջական և մանրամասն նկարագրությամբ։ Բավական է միայն համակարգը լրացնել գործակիցներով և ընտրել անհայտ փոփոխականների քանակը։ մատրիցային մեթոդ. Այս մեթոդը բաղկացած է A մատրիցում անհայտների գործակիցների, X սյունակի անհայտների և B սյունակի ազատ անդամների գործակիցների հավաքումից: Այսպիսով, գծային հավասարումների համակարգը կրճատվում է մինչև մատրիցային հավասարում AxX=B ձևի: Այս հավասարումը ունի եզակի լուծում միայն այն դեպքում, եթե A մատրիցի որոշիչը զրոյական չէ, հակառակ դեպքում համակարգը չունի լուծումներ կամ անսահման թվով լուծումներ: Մատրիցային մեթոդով հավասարումների լուծումը հակադարձ մատրիցը A-ն է:

7-րդ դասարանի մաթեմատիկայի դասընթացում նախ հանդիպում են երկու փոփոխականներով հավասարումներ, սակայն դրանք ուսումնասիրվում են միայն երկու անհայտ ունեցող հավասարումների համակարգերի համատեքստում։ Դրա համար էլ տեսադաշտից դուրս է ամբողջ գիծըխնդիրներ, որոնցում որոշակի պայմաններ են ներկայացվում դրանք սահմանափակող հավասարման գործակիցների վրա: Բացի այդ, անտեսվում են նաև այնպիսի խնդիրների լուծման մեթոդները, ինչպիսիք են «Հավասարումը լուծիր բնական կամ ամբողջ թվերով», թեև ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ նյութերիսկ ընդունելության քննություններին այս կարգի խնդիրներն ավելի ու ավելի հաճախ են հանդիպում։

Ո՞ր հավասարումը կկոչվի երկու փոփոխական ունեցող հավասարում:

Այսպիսով, օրինակ, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, կամ xy = 12 հավասարումները երկու փոփոխական հավասարումներ են:

Դիտարկենք 2x - y = 1 հավասարումը: Այն վերածվում է իրական հավասարության x = 2 և y = 3 դեպքում, ուստի փոփոխական արժեքների այս զույգը քննարկվող հավասարման լուծումն է:

Այսպիսով, երկու փոփոխականներով ցանկացած հավասարման լուծումը դասավորված զույգերի բազմությունն է (x; y), այն փոփոխականների արժեքները, որոնք այս հավասարումը վերածում է իրական թվային հավասարության:

Երկու անհայտներով հավասարումը կարող է.

ա) ունեն մեկ լուծում.Օրինակ, x 2 + 5y 2 = 0 հավասարումը ունի եզակի լուծում (0; 0);

բ) ունեն բազմաթիվ լուծումներ.Օրինակ՝ (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0-ն ունի 4 լուծում՝ (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

մեջ) լուծումներ չունեն.Օրինակ, x 2 + y 2 + 1 = 0 հավասարումը լուծումներ չունի.

է) ունեն անսահման շատ լուծումներ:Օրինակ, x + y = 3: Այս հավասարման լուծումները կլինեն թվեր, որոնց գումարը 3 է: Այս հավասարման լուծումների բազմությունը կարելի է գրել որպես (k; 3 - k), որտեղ k-ն ցանկացած իրական թիվ է:

Երկու փոփոխականներով հավասարումներ լուծելու հիմնական մեթոդներն են արտահայտությունները գործոնների տարրալուծման, լրիվ քառակուսու ընտրության, քառակուսի հավասարման հատկությունների, արտահայտությունների սահմանափակության և գնահատման մեթոդների վրա հիմնված մեթոդները: Հավասարումը, որպես կանոն, վերածվում է ձևի, որտեղից կարելի է ստանալ անհայտներ գտնելու համակարգ։

Ֆակտորիզացիա

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը` xy - 2 = 2x - y:

Լուծում.

Մենք խմբավորում ենք պայմանները ֆակտորինգի նպատակով.

(xy + y) - (2x + 2) = 0: Յուրաքանչյուր փակագծից հանեք ընդհանուր գործակիցը.

y (x + 1) - 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Մենք ունենք.

y = 2, x-ը ցանկացած իրական թիվ է կամ x = -1, y-ը ցանկացած իրական թիվ է:

Այս կերպ, պատասխանը (x; 2), x € R և (-1; y), y € R ձևի բոլոր զույգերն են:

Զրոն չէ բացասական թվեր

Օրինակ 2

Լուծե՛ք հավասարումը. 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y):

Լուծում.

Խմբավորում:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0: Այժմ յուրաքանչյուր փակագիծ կարող է փլուզվել՝ օգտագործելով քառակուսի տարբերության բանաձևը:

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0:

Երկու ոչ բացասական արտահայտությունների գումարը զրո է միայն այն դեպքում, եթե 3x - 2 = 0 և 2y - 3 = 0:

Այսպիսով, x = 2/3 և y = 3/2:

Պատասխան՝ (2/3; 3/2):

Գնահատման մեթոդ

Օրինակ 3

Լուծե՛ք հավասարումը (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2:

Լուծում.

Յուրաքանչյուր փակագծում ընտրեք ամբողջական քառակուսին.

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Գնահատել փակագծերում տրված արտահայտությունների նշանակությունը.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 և (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, ապա հավասարման ձախ կողմը միշտ առնվազն 2 է: Հավասարությունը հնարավոր է, եթե.

(x + 1) 2 + 1 = 1 և (y - 2) 2 + 2 = 2, ուստի x = -1, y = 2:

Պատասխան՝ (-1; 2):

Ծանոթանանք երկրորդ աստիճանի երկու փոփոխականներով հավասարումների լուծման մեկ այլ մեթոդի։ Այս մեթոդն այն է, որ հավասարումը դիտարկվում է որպես քառակուսի ինչ-որ փոփոխականի նկատմամբ.

Օրինակ 4

Լուծե՛ք հավասարումը` x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0:

Լուծում.

Եկեք x-ի նկատմամբ հավասարումը լուծենք որպես քառակուսի: Գտնենք տարբերակիչը.

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2: Հավասարումը լուծում կունենա միայն այն դեպքում, երբ D = 0, այսինքն, եթե y = 4: Մենք y-ի արժեքը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ և գտնում ենք, որ x = 3:

Պատասխան՝ (3; 4):

Հաճախ երկու անհայտներով հավասարումների մեջ ցույց են տալիս փոփոխականների սահմանափակումներ.

Օրինակ 5

Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով՝ x 2 + 5y 2 = 20x + 2:

Լուծում.

Եկեք վերագրենք հավասարումը x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ձևով: Ստացված հավասարման աջ կողմը, երբ բաժանվում է 5-ի, ստանում է 2-ի մնացորդ: Հետևաբար, x 2-ը չի բաժանվում 5-ի: Բայց քառակուսին 5-ի չբաժանվող թվից ստացվում է 1-ի կամ 4-ի մնացորդ: Այսպիսով, հավասարությունն անհնար է, և լուծումներ չկան:

Պատասխան՝ արմատներ չկան։

Օրինակ 6

Լուծե՛ք հավասարումը (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3:

Լուծում.

Եկեք յուրաքանչյուր փակագծում ընտրենք ամբողջական քառակուսիները.

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Հավասարման ձախ կողմը միշտ մեծ է կամ հավասար է 3-ին: Հավասարությունը հնարավոր է, եթե |x| – 2 = 0 և y + 3 = 0. Այսպիսով, x = ± 2, y = -3:

Պատասխան՝ (2; -3) և (-2; -3):

Օրինակ 7

Հավասարումը բավարարող բացասական ամբողջ թվերի (x; y) յուրաքանչյուր զույգի համար
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, հաշվարկեք գումարը (x + y): Պատասխանեք ամենափոքր գումարին:

Լուծում.

Ընտրեք ամբողջական քառակուսիներ.

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Քանի որ x-ը և y-ն ամբողջ թվեր են, նրանց քառակուսիները նույնպես ամբողջ թվեր են: Երկու ամբողջ թվերի քառակուսիների գումարը, որը հավասար է 37-ի, կստանանք, եթե գումարենք 1 + 36։ Հետևաբար.

(x - y) 2 = 36 և (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 և (y + 2) 2 = 36:

Լուծելով այս համակարգերը և հաշվի առնելով, որ x-ը և y-ը բացասական են, գտնում ենք լուծումներ՝ (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8):

Պատասխան՝ -17։

Մի հուսահատվեք, եթե դժվարություններ ունեք երկու անհայտներով հավասարումներ լուծելիս։ Մի փոքր պրակտիկայի դեպքում դուք կկարողանաք տիրապետել ցանկացած հավասարման:

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես լուծել երկու փոփոխականներով հավասարումներ:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Հրահանգ

Փոխարինման մեթոդ Արտահայտե՛ք մեկ փոփոխական և այն փոխարինե՛ք մեկ այլ հավասարմամբ: Դուք կարող եք արտահայտել ցանկացած փոփոխական, որը ցանկանում եք: Օրինակ, արտահայտեք «y» երկրորդ հավասարումից.
x-y=2 => y=x-2 Այնուհետև միացրեք ամեն ինչ առաջին հավասարման մեջ.
2x+(x-2)=10 Տեղափոխեք ամեն ինչ առանց x-ի աջ կողմ և հաշվեք.
2x+x=10+2
3x=12 Այնուհետև «x»-ի համար հավասարման երկու կողմերը բաժանեք 3-ի.
x=4 Այսպիսով, դուք գտել եք «x. Գտեք «at. Դա անելու համար «x»-ը փոխարինեք այն հավասարման մեջ, որից արտահայտել եք «y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Ստուգեք. Դա անելու համար ստացված արժեքները փոխարինեք հավասարումների մեջ.
2*4+2=10
4-2=2
Անհայտը ճիշտ է գտնվել:

Ինչպես գումարել կամ հանել հավասարումներ Միանգամից ազատվել ցանկացած փոփոխականից: Մեր դեպքում դա ավելի հեշտ է անել «y.
Քանի որ «y»-ում «+» է, իսկ երկրորդում՝ «-», ապա կարող եք կատարել գումարման գործողությունը, այսինքն. Ձախ կողմը ավելացնում ենք ձախ, իսկ աջը՝ աջ.
2x+y+(x-y)=10+2Փոխակերպել.
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Փոխարինեք «x»-ը ցանկացած հավասարման մեջ և գտեք «y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 1-ին մեթոդի համաձայն՝ կարող ես գտնել այն, ինչ ճիշտ ես գտել։

Եթե ​​չկան հստակ սահմանված փոփոխականներ, ապա անհրաժեշտ է մի փոքր վերափոխել հավասարումները:
Առաջին հավասարման մեջ մենք ունենք «2x», իսկ երկրորդում՝ պարզապես «x. Որպեսզի գումարումը կամ «x»-ը փոքրանա, երկրորդ հավասարումը բազմապատկեք 2-ով.
x-y=2
2x-2y=4 Այնուհետև հանեք երկրորդ հավասարումը առաջին հավասարումից.
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
գտեք y \u003d 2 "x՝ արտահայտելով ցանկացած հավասարումից, այսինքն.
x=4

Առնչվող տեսանյութեր

Հուշում 2. Ինչպես լուծել գծային հավասարումը երկու փոփոխականներով

Հավասարումը, որը գրված է ընդհանուր ձևով ax + by + c \u003d 0, կոչվում է գծային հավասարում երկուով փոփոխականներ. Նման հավասարումն ինքնին պարունակում է անսահման թվով լուծումներ, ուստի խնդիրներում այն ​​միշտ լրացվում է ինչ-որ բանով՝ մեկ այլ հավասարում կամ սահմանափակող պայմաններ։ Կախված խնդրի ընձեռած պայմաններից՝ գծային հավասարում լուծե՛ք երկուսով փոփոխականներպետք է տարբեր ճանապարհներ.

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - գծային հավասարում երկու փոփոխականներով;
• - երկրորդ հավասարումը կամ լրացուցիչ պայմաններ.

Հրահանգ

Տրվելով երկու գծային հավասարումների համակարգ, լուծե՛ք այն հետևյալ կերպ. Ընտրեք հավասարումներից մեկը, որում գործակիցները նախկինում փոփոխականներփոքրացնել և արտահայտել փոփոխականներից մեկը, օրինակ՝ x. Այնուհետև y պարունակող այդ արժեքը միացրեք երկրորդ հավասարմանը: Ստացված հավասարման մեջ կլինի միայն մեկ փոփոխական y, բոլոր մասերը y-ով տեղափոխեք ձախ կողմ, իսկ ազատները՝ աջ: Գտե՛ք y և փոխարինե՛ք սկզբնական հավասարումներից որևէ մեկում, գտե՛ք x:

Երկու հավասարումների համակարգ լուծելու ևս մեկ տարբերակ կա. Հավասարումներից մեկը բազմապատկեք թվով, որպեսզի փոփոխականներից մեկի դիմաց գործակիցը, օրինակ, x-ի դիմաց, երկու հավասարումներում էլ նույնը լինի։ Այնուհետև հավասարումներից մեկը հանեք մյուսից (եթե աջ կողմը 0 չէ, հիշեք, որ նույն կերպ հանեք աջ կողմը): Դուք կտեսնեք, որ x փոփոխականն անհետացել է, և մնում է միայն մեկ y: Լուծե՛ք ստացված հավասարումը և y-ի գտած արժեքը փոխարինե՛ք սկզբնական հավասարություններից որևէ մեկով: Գտեք x.

Երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծման երրորդ եղանակը գրաֆիկական է: Գծե՛ք կոորդինատային համակարգ և գծե՛ք երկու ուղիղ գծերի գրաֆիկներ, որոնց հավասարումները նշված են ձեր համակարգում։ Դա անելու համար փոխարինեք ցանկացած երկու x արժեք հավասարման մեջ և գտեք համապատասխան y-ը, դրանք կլինեն գծին պատկանող կետերի կոորդինատները: Ամենահարմարն է գտնել խաչմերուկը կոորդինատային առանցքներով, պարզապես փոխարինեք x=0 և y=0 արժեքները: Այս երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները կլինեն առաջադրանքները։

Եթե ​​խնդրի պայմաններում կա միայն մեկ գծային հավասարում, ապա ձեզ տրվում են լրացուցիչ պայմաններ, որոնց շնորհիվ կարող եք լուծում գտնել։ Այս պայմանները գտնելու համար ուշադիր կարդացեք խնդիրը: Եթե փոփոխականներ x-ը և y-ն հեռավորություն, արագություն, քաշ են. ազատ զգալ սահմանել x≥0 և y≥0 սահմանը: Միանգամայն հնարավոր է, որ x-ը կամ y-ը թաքցնում են , խնձորների քանակը և այլն: - ապա արժեքները կարող են լինել միայն . Եթե ​​x-ը որդու տարիքն է, ապա պարզ է, որ նա չի կարող լինել հայրիկից մեծ, ուստի նշեք այն առաջադրանքի պայմաններում:

Աղբյուրներ:

• ինչպես լուծել հավասարումը մեկ փոփոխականով

Ինքն իրեն հավասարումըերեքի հետ անհայտունի բազմաթիվ լուծումներ, ուստի ամենից հաճախ այն լրացվում է ևս երկու հավասարումներով կամ պայմաններով: Կախված նրանից, թե որոնք են նախնական տվյալները, մեծապես կախված կլինի որոշման ընթացքը։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Հրահանգ

Եթե ​​երեք համակարգերից երկուսն ունեն երեք անհայտներից միայն երկուսը, փորձեք որոշ փոփոխականներ արտահայտել մյուսների առումով և միացնել դրանք: հավասարումըերեքի հետ անհայտ. Սրանով ձեր նպատակն այն սովորականի վերածելն է հավասարումըանհայտի հետ։ Եթե ​​սա է, ապա հետագա լուծումը բավականին պարզ է. գտնված արժեքը փոխարինեք այլ հավասարումներով և գտեք մնացած բոլոր անհայտները:

Հավասարումների որոշ համակարգեր կարելի է մի հավասարումից հանել մյուսով: Տեսեք՝ հնարավո՞ր է մեկից մեկը բազմապատկել կամ փոփոխականով, որպեսզի երկու անհայտ միանգամից կրճատվեն: Եթե ​​կա նման հնարավորություն, օգտագործեք այն, ամենայն հավանականությամբ, հետագա որոշումը դժվար չի լինի։ Մի մոռացեք, որ թվով բազմապատկելիս պետք է բազմապատկել ինչպես ձախ, այնպես էլ աջ կողմը։ Նմանապես, հավասարումները հանելիս հիշեք, որ աջ կողմը նույնպես պետք է հանվի:

Եթե ​​նախորդ մեթոդները չօգնեցին, օգտագործեք ընդհանուր ձևովԵրեքով ցանկացած հավասարումների լուծում անհայտ. Դա անելու համար վերագրեք հավասարումները a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 ձևերով: Այժմ կազմեք գործակիցների մատրիցա x (A), անհայտների մատրիցա (X) և ազատների մատրիցա (B): Ուշադրություն դարձրեք, գործակիցների մատրիցը բազմապատկելով անհայտների մատրիցով, դուք կստանաք մատրիցա, ազատ անդամների մատրիցա, այսինքն՝ A * X \u003d B:

Գտնելուց հետո (-1) հզորության A մատրիցը, նշե՛ք, որ այն չպետք է հավասար լինի զրոյի: Դրանից հետո ստացված մատրիցը բազմապատկեք B մատրիցով, արդյունքում կստանաք ցանկալի X մատրիցը՝ նշելով բոլոր արժեքները։

Դուք կարող եք նաև լուծում գտնել երեք հավասարումների համակարգի՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը: Դա անելու համար գտե՛ք համակարգի մատրիցին համապատասխան երրորդ կարգի ∆ որոշիչը։ Այնուհետև հաջորդաբար գտնեք ևս երեք որոշիչ ∆1, ∆2 և ∆3՝ փոխարինելով ազատ տերմինների արժեքները համապատասխան սյունակների արժեքների փոխարեն: Այժմ գտե՛ք x՝ x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆։

Աղբյուրներ:

• երեք անհայտներով հավասարումների լուծում

Հավասարումների համակարգի լուծումը բարդ և հետաքրքիր է: Որքան բարդ է համակարգը, այնքան ավելի հետաքրքիր է այն լուծել: Ամենից հաճախ մաթեմատիկայում ավագ դպրոցԿան երկու անհայտ հավասարումների համակարգեր, բայց բարձրագույն մաթեմատիկայում կարող են լինել ավելի շատ փոփոխականներ: Համակարգերը կարող են լուծվել մի քանի եղանակով.

Հրահանգ

Հավասարումների համակարգի լուծման ամենատարածված մեթոդը փոխարինումն է: Դա անելու համար դուք պետք է արտահայտեք մեկ փոփոխականը մյուսի միջոցով և այն փոխարինեք երկրորդով հավասարումըհամակարգեր՝ այսպիսով բերելով հավասարումըմեկ փոփոխականին: Օրինակ՝ հաշվի առնելով հավասարումները՝ 2x-3y-1=0; x+y-3=0:

Հարմար է երկրորդ արտահայտությունից արտահայտել փոփոխականներից մեկը՝ մնացած ամեն ինչը փոխանցելով արտահայտության աջ կողմ՝ չմոռանալով փոխել գործակցի նշանը՝ x = 3-y։

Մենք բացում ենք փակագծերը. 3-1; x \u003d 2.

Առաջին արտահայտության մեջ բոլոր անդամները 2-ն են, փակագծից կարող եք 2-ը հանել բազմապատկման բաշխիչ հատկությանը` 2 * (2x-y-3) = 0: Այժմ արտահայտության երկու մասերն էլ կարող են կրճատվել այս թվով, այնուհետև արտահայտել y, քանի որ դրա համար մոդուլային գործակիցը հավասար է մեկի՝ -y \u003d 3-2x կամ y \u003d 2x-3:

Ինչպես առաջին դեպքում, մենք այս արտահայտությունը փոխարինում ենք երկրորդով հավասարումըև ստանում ենք՝ 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2: Ստացված արժեքը փոխարինի՛ր արտահայտությամբ. y=2x -3;y=4-3=1.

Մենք տեսնում ենք, որ y-ի գործակիցը նույն արժեքն է, բայց տարբեր է նշանով, հետևաբար, եթե ավելացնենք այս հավասարումները, մենք լիովին կազատվենք y-ից՝ 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. x-ի արժեքը փոխարինում ենք համակարգի երկու հավասարումներից որևէ մեկով և ստանում y=1:

Առնչվող տեսանյութեր

Երկկողմանի հավասարումըներկայացնում է հավասարումըչորրորդ աստիճան ընդհանուր ձևորը ներկայացված է ax^4 + bx^2 + c = 0 արտահայտությամբ։ Դրա լուծումը հիմնված է անհայտների փոխարինման մեթոդի կիրառման վրա։ Այս դեպքում x^2-ը փոխարինվում է մեկ այլ փոփոխականով։ Այսպիսով, արդյունքը սովորական քառակուսի է հավասարումը, որը պետք է լուծվի։

Հրահանգ

Լուծիր քառակուսին հավասարումըփոխարինման արդյունքում: Դա անելու համար նախ հաշվարկեք արժեքը՝ D = b^2 ? 4ac. Այս դեպքում a, b, c փոփոխականները մեր հավասարման գործակիցներն են։

Գտե՛ք երկքառակուսի հավասարման արմատները: Դա անելու համար վերցրեք ստացված լուծումների քառակուսի արմատը: Եթե ​​եղել է մեկ որոշում, ապա կլինի երկու՝ դրական և բացասական նշանակությունքառակուսի արմատ. Եթե ​​երկու լուծում լիներ, երկքառակուսի հավասարումը կունենար չորս արմատ:

Առնչվող տեսանյութեր

Մեկը դասական ուղիներԳծային հավասարումների համակարգերի լուծումը Գաուսի մեթոդն է: Այն բաղկացած է փոփոխականների հաջորդական բացառումից, երբ պարզ փոխակերպումների օգնությամբ հավասարումների համակարգը վերածվում է քայլային համակարգի, որտեղից հաջորդաբար գտնվում են բոլոր փոփոխականները՝ սկսած վերջիններից։

Հրահանգ

Նախ, հավասարումների համակարգը բերեք այնպիսի ձևի, երբ բոլոր անհայտները կլինեն խիստ սահմանված կարգով: Օրինակ, բոլոր անհայտ X-երը կգան առաջինը յուրաքանչյուր տողում, բոլոր Y-երը կգան X-ից հետո, բոլոր Z-ները կգան Y-ից հետո և այլն: Յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմում անհայտներ չպետք է լինեն: Մտավոր որոշեք գործակիցները յուրաքանչյուր անհայտի դիմաց, ինչպես նաև յուրաքանչյուր հավասարման աջ կողմի գործակիցները:

Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք գծային հավասարումների մի ամբողջ շարք, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են ամենապարզը:

Սկզբից սահմանենք՝ ի՞նչ է գծային հավասարումը և դրանցից ո՞րը պետք է անվանել ամենապարզը։

Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որում կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանում:

Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է կառուցվածքը.

Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզների՝ օգտագործելով ալգորիթմը.

1. Բացեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
2. Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
3. Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում բերեք նման տերմիններ.
4. Ստացված հավասարումը բաժանեք $x$ փոփոխականի գործակցով։

Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մեքենայություններից հետո $x$ փոփոխականի գործակիցը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ դուք ստանում եք $0\cdot x=8$-ի նման մի բան, այսինքն. ձախ կողմում զրո է, իսկ աջ կողմում՝ ոչ զրոյական թիվ։ Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք մի քանի պատճառների, թե ինչու է այս իրավիճակը հնարավոր:
2. Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, այն է, երբ հավասարումը կրճատվել է մինչև $0\cdot x=0$: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $x$-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրոն հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.

Իսկ հիմա տեսնենք, թե ինչպես է այդ ամենն աշխատում իրական խնդիրների օրինակով։

Հավասարումների լուծման օրինակներ

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ և միայն ամենապարզները: Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ուղիղ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:

Նման կառույցները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.

1. Առաջին հերթին, դուք պետք է բացեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
2. Ապա բերեք նմանատիպ
3. Վերջապես, մեկուսացրեք փոփոխականը, այսինքն. այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ՝ այն տերմինները, որոնցում այն ​​պարունակվում է, տեղափոխվում է մի կողմ, իսկ այն, ինչ մնում է առանց դրա, տեղափոխվում է մյուս կողմ։

Այնուհետև, որպես կանոն, պետք է ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում բերել նմանատիպ, և դրանից հետո մնում է միայն բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ գծային հավասարումներում: Սովորաբար սխալներ են լինում կամ փակագծերը բացելիս, կամ «պլյուսները» ու «մինուսները» հաշվելիս։

Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ այնպես, որ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբությունները կվերլուծենք այսօրվա դասում։ Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, ամենաշատից պարզ առաջադրանքներ.

Պարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա

Սկսելու համար, թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
2. Առանձնացնել փոփոխականները, այսինքն. այն ամենը, ինչ պարունակում է «x», տեղափոխվում է մի կողմ, իսկ առանց «x»-ի՝ մյուս կողմ։
3. Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
4. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա։

Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, այն ունի որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց հետ։

Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում

Առաջադրանք թիվ 1

Առաջին քայլում մեզանից պահանջում են բացել փակագծերը։ Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս քայլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է մեկուսացնենք փոփոխականները: Նշում: մենք խոսում ենքմիայն անհատական ​​պայմանների մասին։ Եկեք գրենք.

Մենք տալիս ենք նույն պայմանները ձախ և աջ կողմում, բայց սա արդեն արվել է այստեղ: Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին. բաժանել գործակցի վրա.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ահա և ստացանք պատասխանը.

Առաջադրանք թիվ 2

Այս առաջադրանքում մենք կարող ենք դիտարկել փակագծերը, ուստի եկեք ընդլայնենք դրանք.

Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն կառուցվածքը, բայց եկեք գործենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. Sequester փոփոխականներ:

Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.

Ի՞նչ արմատներով է սա աշխատում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $x$-ը ցանկացած թիվ է։

Առաջադրանք թիվ 3

Երրորդ գծային հավասարումն արդեն ավելի հետաքրքիր է.

\[\ ձախ (6-x \աջ)+\ձախ (12+x \աջ)-\ձախ (3-2x \աջ)=15\]

Այստեղ մի քանի փակագծեր կան, բայց դրանք ոչնչով չեն բազմապատկվում, ուղղակի կանգնում են դրանց դիմաց տարբեր նշաններ. Եկեք բաժանենք դրանք.

Մենք կատարում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Եկեք հաշվարկենք.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը. մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Գծային հավասարումներ լուծելիս պետք է հիշել

Եթե ​​անտեսենք չափազանց պարզ առաջադրանքները, ապա ես կցանկանայի ասել հետևյալը.

• Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
• Եթե ​​նույնիսկ արմատներ կան, զրո կարող է մտնել դրանց մեջ - դրանում ոչ մի վատ բան չկա:

Զրոն նույն թիվն է, ինչ մնացածը, պետք չէ ինչ-որ կերպ խտրականացնել այն կամ ենթադրել, որ եթե զրո ես ստանում, ուրեմն սխալ ես արել։

Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի ընդլայնման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, երբ նրանց առջևում կա «մինուս», մենք այն հեռացնում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը. Եվ հետո մենք կարող ենք այն բացել ըստ ստանդարտ ալգորիթմների. մենք կստանանք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:

Սա հասկանալով պարզ փաստկպահի ձեզ միջնակարգ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներ թույլ չտալուց, երբ նման բաներ անելը սովորական է համարվում:

Բարդ գծային հավասարումների լուծում

Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների։ Այժմ կոնստրուկցիաները կբարդանան, և կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս։ Այնուամենայնիվ, դուք չպետք է վախենաք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի մտադրության համաձայն, մենք լուծենք գծային հավասարում, ապա փոխակերպման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր միանունները անպայմանորեն կկրճատվեն:

Օրինակ #1

Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերը բացելն է։ Եկեք դա անենք շատ ուշադիր.

Հիմա եկեք հաշվի առնենք գաղտնիությունը.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի պատասխանում գրում ենք հետևյալ կերպ.

\[\բազմազանություն \]

կամ առանց արմատների:

Օրինակ #2

Մենք կատարում ենք նույն քայլերը. Առաջին քայլը.

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա՝ աջ.

Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի այն գրում ենք այսպես.

\[\varnothing\],

կամ առանց արմատների:

Լուծման նրբերանգները

Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Այս երկու արտահայտությունների օրինակով մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների դեպքում ամեն ինչ կարող է այդքան էլ պարզ չլինել՝ կարող է լինել կամ մեկը, կամ ոչ մեկը, կամ անսահման շատ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսում էլ ուղղակի արմատներ չկան։

Բայց ես ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերի հետ և ինչպես բացել դրանք, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է։ Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.

Բացելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «x»-ով։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. բազմապատկել յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ. Ներսում կա երկու տերմին, համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկվում է:

Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր ու վտանգավոր փոխակերպումների ավարտից հետո կարելի է փակագծը բացել այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները ավարտված են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի առջև մինուս նշան կա, ինչը նշանակում է, որ ամեն ինչ ներքևում պարզապես փոխում է նշանները: Միևնույն ժամանակ, փակագծերն իրենք անհետանում են և, որ ամենակարևորն է, անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»:

Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.

Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ դարձնում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերին։ Քանի որ հավասարումներ լուծելը միշտ էլ տարրական փոխակերպումների հաջորդականություն է, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում լուծել նման պարզ հավասարումներ:

Իհարկե, կգա մի օր, երբ դուք այս հմտությունները կհղկեք դեպի ավտոմատիզմ: Այլևս պետք չէ ամեն անգամ այդքան փոխակերպումներ կատարել, ամեն ինչ կգրես մեկ տողով։ Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:

Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում

Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, դժվար թե կարելի է ամենապարզ խնդիր անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(3x-1 \աջ)-21((x)^(2))=3\]

Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.

Եկեք նահանջ անենք.

Ահա մի քանիսը, ինչպիսիք են.

Եկեք կատարենք վերջին քայլը.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ, չնայած այն բանին, որ լուծման ընթացքում ունեինք քառակուսի ֆունկցիայով գործակիցներ, այնուամենայնիվ, դրանք փոխադարձաբար ոչնչացվեցին, ինչը հավասարումը դարձնում է ճիշտ գծային, ոչ թե քառակուսի։

Առաջադրանք թիվ 2

\[\ ձախ (1-4x \աջ)\ձախ (1-3x \աջ)=6x\ձախ (2x-1 \աջ)\]

Եկեք ուշադիր կատարենք առաջին քայլը. առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Ընդհանուր առմամբ, փոխակերպումներից հետո պետք է ձեռք բերվեն չորս նոր տերմիններ.

Եվ հիմա ուշադիր կատարեք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.

«x»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց՝ աջ.

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Մենք ստացել ենք վերջնական պատասխան.

Լուծման նրբերանգները

Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր դիտողությունը հետևյալն է. հենց որ սկսենք բազմապատկել փակագծերը, որոնցում դրանից մեծ անդամ կա, ապա դա արվում է ըստ. հաջորդ կանոնըՄենք վերցնում ենք առաջին անդամը առաջինից և բազմապատկում յուրաքանչյուր տարրի հետ երկրորդից. այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում մենք ստանում ենք չորս ժամկետ.

Հանրահաշվական գումարի վրա

Վերջին օրինակով ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ $1-7$ ասելով հասկանում ենք պարզ շինարարություն՝ մեկից հանում ենք յոթը։ Հանրահաշվում մենք նկատի ունենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Այս հանրահաշվական գումարը տարբերվում է սովորական թվաբանական գումարից։

Հենց որ բոլոր փոխակերպումները կատարելիս, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում, դուք սկսում եք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառույցներ, դուք պարզապես հանրահաշիվում խնդիրներ չեք ունենա բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս:

Եզրափակելով, եկեք դիտարկենք ևս մի քանի օրինակ, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մեր նոր նայածները, և դրանք լուծելու համար մենք պետք է մի փոքր ընդլայնենք մեր ստանդարտ ալգորիթմը:

Կոտորակով հավասարումների լուծում

Նման առաջադրանքները լուծելու համար մեր ալգորիթմին պետք է ավելացվի ևս մեկ քայլ։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.

1. Բացեք փակագծերը.
2. Առանձին փոփոխականներ.
3. Նմանատիպ բերեք:
4. Բաժանել գործակցով.

Ավաղ, այս հրաշալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, լիովին տեղին չէ, երբ մեր առջև կոտորակներ կան։ Եվ այն, ինչ կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ ձախ և աջ:

Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Այո, դա շատ պարզ է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ալգորիթմին ավելացնել ևս մեկ քայլ, որը կարող է իրականացվել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ դրանից հետո, այն է՝ ձերբազատվել կոտորակներից։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Ազատվել կոտորակներից.
2. Բացեք փակագծերը.
3. Առանձին փոփոխականներ.
4. Նմանատիպ բերեք:
5. Բաժանել գործակցով.

Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»։ Իսկ ինչո՞ւ է դա հնարավոր անել թե՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, թե՛ դրանից առաջ։ Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են ըստ հայտարարի, այսինքն. ամենուր հայտարարը ընդամենը թիվ է: Հետևաբար, եթե հավասարման երկու մասերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։

Օրինակ #1

\[\frac(\ձախ(2x+1 \աջ)\ձախ(2x-3 \աջ))(4)=((x)^(2))-1\]

Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \աջ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot չորս \]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագծեր, չի նշանակում, որ դուք պետք է նրանցից յուրաքանչյուրը բազմապատկեք «չորսով»: Եկեք գրենք.

\[\ ձախ (2x+1 \աջ)\ձախ (2x-3 \աջ)=\ձախ (((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4\]

Հիմա եկեք բացենք այն.

Մենք կատարում ենք փոփոխականի առանձնացում.

Մենք իրականացնում ենք նմանատիպ պայմանների կրճատում.

\[-4x=-1\ձախ| :\left(-4 \աջ) \աջ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Վերջնական լուծումը ստացել ենք, անցնում ենք երկրորդ հավասարմանը։

Օրինակ #2

\[\frac(\ձախ(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ))(5)+((x)^(2))=1\]

Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.

\[\frac(\left(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Խնդիրը լուծված է.

Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի պատմել այսօր։

Հիմնական կետերը

Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.

• Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
• Փակագծեր բացելու ունակություն:
• Մի անհանգստացեք, եթե ինչ-որ տեղ ունեք քառակուսի ֆունկցիաներ, ամենայն հավանականությամբ, հետագա վերափոխումների գործընթացում դրանք կկրճատվեն։
• Գծային հավասարումների արմատները, նույնիսկ ամենապարզները, երեք տեսակի են՝ մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, արմատներ ընդհանրապես չկան։

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ըմբռնման համար: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք, լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, դեռ շատ հետաքրքիր բաներ են սպասում ձեզ: