Լուծել Քրամերի մեթոդով առցանց՝ մանրամասն լուծումով։ Գծային հավասարումներ. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում. Կրամերի մեթոդը. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր

Այս պարբերությունը յուրացնելու համար դուք պետք է կարողանաք բացել «երկու առ երկու» և «երեքը երեք» որակավորումները։ Եթե ​​որակավորումները վատ են, խնդրում ենք ուսումնասիրել դասը Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Մենք նախ մանրամասնորեն դիտարկում ենք Կրամերի կանոնը երկու անհայտ երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? «Ի վերջո, ամենապարզ համակարգը կարելի է լուծել դպրոցական մեթոդով, կիսամյակային հավելումներով։

Փաստն այն է, որ նույնիսկ եթե երբեմն, բայց կա այդպիսի խնդիր՝ լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես օգտագործել Կրամերի կանոնը ավելի բարդ գործի համար՝ երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք խորհուրդ է տրվում լուծել հենց Քրամերի կանոնի համաձայն։

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե ​​, ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
և

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Հավասարման արմատները գտնվում են բանաձևերով.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ՈրոշումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում ստորակետով տասնորդական կոտորակներ են։ Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է մաթեմատիկայի գործնական առաջադրանքներում, ես այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մի փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում, անշուշտ, կստանաք սարսափելի շքեղ ֆրակցիաներ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման դիզայնը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Դուք կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և հանել անդամ առ անդամ, սակայն այստեղ կհայտնվեն նույն կոտորակները:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

;

Պատասխանել: ,

Երկու արմատներն էլ ունեն անսահման պոչեր և հայտնաբերված են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ առաջադրանքը լուծվում է ըստ պատրաստի բանաձևերի, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Այս մեթոդը կիրառելիս. պարտադիրՀանձնարարության հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Այսպիսով, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմը չհարգելու համար:

Ավելորդ չի լինի ստուգել, ​​ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք մոտավոր արժեքները փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում: Արդյունքում, փոքր սխալով պետք է ձեռք բերել թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմում:

Օրինակ 8

Ձեր պատասխանն արտահայտեք սովորական ոչ պատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա անկախ լուծման օրինակ է (նուրբ դիզայնի օրինակ և պատասխան դասի վերջում):

Մենք դիմում ենք Քրամերի կանոնի քննարկմանը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե ​​, ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Քրամերի կանոնը չի օգնի, պետք է օգտագործել Գաուսի մեթոդը։

Եթե ​​, ապա համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեքով» դեպքը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկուսը երկու» գործից, ազատ տերմինների սյունակը հաջորդաբար «քայլում է» ձախից աջ հիմնական որոշիչի սյունակների երկայնքով:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ՈրոշումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ուստի համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Փաստորեն, այստեղ կրկին մեկնաբանելու ոչինչ չկա, քանի որ որոշումն ընդունված է արդեն պատրաստի բանաձեւերով։ Բայց կան մի քանի նշում.

Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատվող կոտորակներ, օրինակ՝ .
Ես խորհուրդ եմ տալիս հետեւյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ​​ձեռքի տակ համակարգիչ չկա, մենք անում ենք հետևյալը.

1) Հաշվարկներում կարող է սխալ լինել. Հենց որ հանդիպեք «վատ» կրակոցի, անմիջապես պետք է ստուգեք՝ արդյոք պայմանը ճիշտ է վերագրված. Եթե ​​պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա անհրաժեշտ է վերահաշվարկել որոշիչները՝ օգտագործելով մեկ այլ տողում (սյունակում) ընդլայնումը:

2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, տառասխալ է կատարվել հանձնարարության պայմանում։ Այս դեպքում հանգիստ ու ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ առաջադրանքը լուծեք մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշում կայացնելուց հետո այն կազմել մաքուր օրինակի վրա: Իհարկե, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով, դե, իսկապես սիրում է մինուս դնել ցանկացած վատ բանի համար: Ինչպես վարվել կոտորակների հետ, մանրամասն ներկայացված է Օրինակ 8-ի պատասխանում:

Եթե ​​ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա այն ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, առավել ձեռնտու է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ), դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որում սխալ եք թույլ տվել: Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը՝ օգտագործելով մատրիցային մեթոդը։

Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ կան համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ.

Այստեղ առաջին հավասարման մեջ փոփոխական չկա, երկրորդում՝ փոփոխական։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և ԶԳՈՒՇՏ գրել հիմնական որոշիչը.
– բացակայող փոփոխականների փոխարեն դրվում են զրոներ:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել այն շարքում (սյունակում), որում գտնվում է զրոն, քանի որ նկատելիորեն ավելի քիչ հաշվարկներ կան։

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա ինքնալուծման օրինակ է (վերջնական նմուշ և պատասխան դասի վերջում):

4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Դուք կարող եք կենդանի օրինակ տեսնել «Determinant Properties» դասում: Որոշիչի հերթականության կրճատում - 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են: Չնայած առաջադրանքն արդեն շատ է հիշեցնում բախտավոր ուսանողի կրծքին դրված պրոֆեսորի կոշիկը։

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը, ըստ էության, հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Այս բաժինն ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել հակադարձ մատրիցը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Համապատասխան հղումները կտրվեն, երբ բացատրությունը առաջանա:

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ՈրոշումՄենք գրում ենք համակարգը մատրիցային ձևով.
, որտեղ

Խնդրում ենք նայեք հավասարումների համակարգին և մատրիցներին: Ինչ սկզբունքով ենք տարրեր գրում մատրիցների մեջ, կարծում եմ բոլորը հասկանում են։ Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայում էին հավասարումների մեջ, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ դնել։

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը բանաձևով.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը :

Նախ, եկեք զբաղվենք որոշիչով.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողով։

Ուշադրություն. Եթե ​​, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման միջոցով (Գաուսի մեթոդ):

Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք 9 անչափահաս և դրանք գրեք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը տողի համարն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, մինչդեռ, օրինակ, տարրը գտնվում է 3-րդ շարքում, 2-րդ սյունակում:

Լուծման ընթացքում ավելի լավ է մանրամասն նկարագրել անչափահասների հաշվարկը, թեև որոշակի փորձով դրանք կարող են ճշգրտվել՝ բանավոր սխալներով հաշվելու համար։

Առաջին մասում դիտարկեցինք որոշ տեսական նյութ, փոխարինման եղանակը, ինչպես նաև համակարգի հավասարումների տերմին առ անդամ գումարելու եղանակը։ Բոլոր նրանց, ովքեր եկել են կայք այս էջի միջոցով, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ առաջին մասը: Միգուցե որոշ այցելուների համար նյութը չափազանց պարզ կլինի, բայց գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ընթացքում ես մի շարք շատ կարևոր դիտողություններ և եզրակացություններ արեցի ընդհանրապես մաթեմատիկական խնդիրների լուծման վերաբերյալ:

Իսկ այժմ մենք կվերլուծենք Կրամերի կանոնը, ինչպես նաև հակադարձ մատրիցով գծային հավասարումների համակարգի լուծումը (մատրիցի մեթոդ): Բոլոր նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և հստակ, գրեթե բոլոր ընթերցողները կկարողանան սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը վերը նշված մեթոդներով:

Մենք նախ մանրամասնորեն դիտարկում ենք Կրամերի կանոնը երկու անհայտ երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? «Ի վերջո, ամենապարզ համակարգը կարելի է լուծել դպրոցական մեթոդով, կիսամյակային հավելումներով։

Փաստն այն է, որ նույնիսկ եթե երբեմն, բայց կա այդպիսի խնդիր՝ լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես օգտագործել Կրամերի կանոնը ավելի բարդ գործի համար՝ երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք խորհուրդ է տրվում լուծել հենց Քրամերի կանոնի համաձայն։

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե ​​, ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
և

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Հավասարման արմատները գտնվում են բանաձևերով.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ՈրոշումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում ստորակետով տասնորդական կոտորակներ են։ Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է մաթեմատիկայի գործնական առաջադրանքներում, ես այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մի փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում, անշուշտ, կստանաք սարսափելի շքեղ ֆրակցիաներ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման դիզայնը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Դուք կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և հանել անդամ առ անդամ, սակայն այստեղ կհայտնվեն նույն կոտորակները:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

;

Պատասխանել: ,

Երկու արմատներն էլ ունեն անսահման պոչեր և հայտնաբերված են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ առաջադրանքը լուծվում է ըստ պատրաստի բանաձևերի, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Այս մեթոդը կիրառելիս. պարտադիրՀանձնարարության հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Այսպիսով, համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմը չհարգելու համար:

Ավելորդ չի լինի ստուգել, ​​ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք մոտավոր արժեքները փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում: Արդյունքում, փոքր սխալով պետք է ձեռք բերել թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմում:

Օրինակ 8

Ձեր պատասխանն արտահայտեք սովորական ոչ պատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա անկախ լուծման օրինակ է (նուրբ դիզայնի օրինակ և պատասխան դասի վերջում):

Մենք դիմում ենք Քրամերի կանոնի քննարկմանը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե ​​, ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Քրամերի կանոնը չի օգնի, պետք է օգտագործել Գաուսի մեթոդը։

Եթե ​​, ապա համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեքով» դեպքը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկուսը երկու» գործից, ազատ տերմինների սյունակը հաջորդաբար «քայլում է» ձախից աջ հիմնական որոշիչի սյունակների երկայնքով:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ՈրոշումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ուստի համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Փաստորեն, այստեղ կրկին մեկնաբանելու ոչինչ չկա, քանի որ որոշումն ընդունված է արդեն պատրաստի բանաձեւերով։ Բայց կան մի քանի նշում.

Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատվող կոտորակներ, օրինակ՝ .
Ես խորհուրդ եմ տալիս հետեւյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ​​ձեռքի տակ համակարգիչ չկա, մենք անում ենք հետևյալը.

1) Հաշվարկներում կարող է սխալ լինել. Հենց որ հանդիպեք «վատ» կրակոցի, անմիջապես պետք է ստուգեք՝ արդյոք պայմանը ճիշտ է վերագրված. Եթե ​​պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա անհրաժեշտ է վերահաշվարկել որոշիչները՝ օգտագործելով մեկ այլ տողում (սյունակում) ընդլայնումը:

2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, տառասխալ է կատարվել հանձնարարության պայմանում։ Այս դեպքում հանգիստ ու ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ առաջադրանքը լուծեք մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշում կայացնելուց հետո այն կազմել մաքուր օրինակի վրա: Իհարկե, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով, դե, իսկապես սիրում է մինուս դնել ցանկացած վատ բանի համար: Ինչպես վարվել կոտորակների հետ, մանրամասն ներկայացված է Օրինակ 8-ի պատասխանում:

Եթե ​​ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա այն ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, առավել ձեռնտու է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ), դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որում սխալ եք թույլ տվել: Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը՝ օգտագործելով մատրիցային մեթոդը։

Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ կան համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ.

Այստեղ առաջին հավասարման մեջ փոփոխական չկա, երկրորդում՝ փոփոխական։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և ԶԳՈՒՇՏ գրել հիմնական որոշիչը.
– բացակայող փոփոխականների փոխարեն դրվում են զրոներ:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել այն շարքում (սյունակում), որում գտնվում է զրոն, քանի որ նկատելիորեն ավելի քիչ հաշվարկներ կան։

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա ինքնալուծման օրինակ է (վերջնական նմուշ և պատասխան դասի վերջում):

4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Դուք կարող եք կենդանի օրինակ տեսնել «Determinant Properties» դասում: Որոշիչի հերթականության կրճատում - 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են: Չնայած առաջադրանքն արդեն շատ է հիշեցնում բախտավոր ուսանողի կրծքին դրված պրոֆեսորի կոշիկը։

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցը

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը, ըստ էության, հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Այս բաժինն ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել հակադարձ մատրիցը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Համապատասխան հղումները կտրվեն, երբ բացատրությունը առաջանա:

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ՈրոշումՄենք գրում ենք համակարգը մատրիցային ձևով.
, որտեղ

Խնդրում ենք նայեք հավասարումների համակարգին և մատրիցներին: Ինչ սկզբունքով ենք տարրեր գրում մատրիցների մեջ, կարծում եմ բոլորը հասկանում են։ Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայում էին հավասարումների մեջ, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ դնել։

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը բանաձևով.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը :

Նախ, եկեք զբաղվենք որոշիչով.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողով։

Ուշադրություն. Եթե ​​, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման միջոցով (Գաուսի մեթոդ):

Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք 9 անչափահաս և դրանք գրեք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը տողի համարն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, մինչդեռ, օրինակ, տարրը գտնվում է 3-րդ շարքում, 2-րդ սյունակում:

Գաբրիել Կրամեր - շվեյցարացի մաթեմատիկոս, Յոհան Բեռնուլիի աշակերտը և ընկերը, գծային հանրահաշվի հիմնադիրներից մեկը։ Կրամերը դիտարկել է քառակուսի մատրիցով կամայական թվով գծային հավասարումների համակարգ։ Նա ներկայացրել է համակարգի լուծումը կոտորակների սյունակի տեսքով՝ ընդհանուր հայտարարով՝ մատրիցայի որոշիչով։ Կրամերի մեթոդը հիմնված է գծային հավասարումների համակարգերի լուծման որոշիչ գործոնների օգտագործման վրա, որոնք կարող են զգալիորեն արագացնել լուծման գործընթացը։ Այս մեթոդը կարող է կիրառվել այնքան գծային հավասարումների համակարգ լուծելիս, որքան անհայտներ կան յուրաքանչյուր հավասարման մեջ: Հիմնական բանը այն է, որ համակարգի որոշիչը չպետք է հավասար լինի «0»-ի, ապա լուծման մեջ կարելի է օգտագործել Կրամերի մեթոդը, եթե «0»-ն՝ այս մեթոդը չի կարող օգտագործվել։ Նաև այս մեթոդը կարող է կիրառվել եզակի լուծումով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար:

Կրամերի թեորեմ. Եթե ​​համակարգի որոշիչը զրոյական չէ, ապա գծային հավասարումների համակարգը ունի մեկ լուծում, իսկ անհայտը հավասար է որոշիչների հարաբերակցությանը: Հայտարարը պարունակում է համակարգի որոշիչը, իսկ համարիչը՝ համակարգի որոշիչից ստացված որոշիչը՝ գործակիցներն անհայտով փոխարինելով ազատ անդամներով։ Այս թեորեմը վերաբերում է ցանկացած կարգի գծային հավասարումների համակարգին:

Ենթադրենք, մեզ տրված է SLAE այսպիսին.

\[\ձախ\(\սկիզբ (մատրիցան) 3x_1 + 2x_2 =1 \\ x_1 + 4x_2 = -3 \վերջ (մատրիցան) \ աջ.\]

Ըստ Քրամերի թեորեմի՝ մենք ստանում ենք.

Պատասխան՝ \

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել հավասարումը Քրամերի մեթոդով առցանց լուծիչով:

Հավասարումը կարող եք լուծել մեր կայքէջում՝ https: // կայքում: Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարում: Ձեզ մնում է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչի մեջ: Կարող եք նաև դիտել տեսանյութի հրահանգը և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր Vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Թող գծային հավասարումների համակարգը պարունակի այնքան հավասարումներ, որքան անկախ փոփոխականների թիվը, այսինքն. ունի ձևը

Գծային հավասարումների նման համակարգերը կոչվում են քառակուսային։ Համակարգի (1.5) անկախ փոփոխականների գործակիցներից կազմված որոշիչը կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ։ Մենք այն կնշենք հունարեն D տառով: Այսպիսով.

. (1.6)

Եթե ​​հիմնական որոշիչում կամայական է ( ժրդ) սյունակ, փոխարինիր այն համակարգի ազատ անդամների սյունակով (1.5), ապա մենք կարող ենք ավելին ստանալ nՕժանդակ որոշիչներ.

(ժ = 1, 2, …, n). (1.7)

Կրամերի կանոնԳծային հավասարումների քառակուսի համակարգերի լուծումը հետևյալն է. Եթե ​​(1.5) համակարգի D հիմնական որոշիչը զրոյական չէ, ապա համակարգը նույնպես ունի յուրահատուկ լուծում, որը կարելի է գտնել բանաձևերով.

(1.8)

Օրինակ 1.5.Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը

.

Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Քանի որ D¹0, համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը (1.8).

Այսպիսով,

Մատրիցային գործողություններ

1. Մատրիցի բազմապատկում թվով:Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

2. Մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է նրա բոլոր տարրերը բազմապատկել այս թվով։ այսինքն

. (1.9)

Օրինակ 1.6. .

Մատրիցային ավելացում.

Այս գործողությունը ներդրվում է միայն նույն կարգի մատրիցների համար։

Երկու մատրիցա ավելացնելու համար անհրաժեշտ է մեկ մատրիցի տարրերին ավելացնել մյուս մատրիցայի համապատասխան տարրերը.

(1.10)
Մատրիցային գումարման գործողությունը ունի ասոցիատիվության և փոխադարձության հատկություններ:

Օրինակ 1.7. .

Մատրիցային բազմապատկում.

Եթե ​​մատրիցային սյունակների թիվը ԲԱՅՑհամապատասխանում է մատրիցային տողերի քանակին AT, ապա այդպիսի մատրիցների համար ներկայացվում է բազմապատկման գործողությունը.

2

Այսպիսով, մատրիցը բազմապատկելիս ԲԱՅՑչափերը մ´ nդեպի մատրիցա ATչափերը n´ կմենք ստանում ենք մատրիցա Հետչափերը մ´ կ. Այս դեպքում մատրիցայի տարրերը Հետհաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերի համաձայն.

Խնդիր 1.8.Հնարավորության դեպքում գտե՛ք մատրիցների արտադրյալը ԱԲև ԲԱ:

Որոշում. 1) աշխատանք գտնել ԱԲ, ձեզ անհրաժեշտ են մատրիցային տողեր Աբազմապատկել մատրիցային սյունակներով Բ:

2) արվեստի գործեր ԲԱգոյություն չունի, քանի որ մատրիցայի սյունակների թիվը Բչի համապատասխանում մատրիցային տողերի քանակին Ա.

Հակադարձ մատրիցա. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային եղանակով

Մատրիցա Ա- 1-ը կոչվում է քառակուսի մատրիցի հակադարձ ԲԱՅՑեթե հավասարությունը պահպանվում է.

որտեղով Ինշանակում է նույնականության մատրիցը, ինչ մատրիցը ԲԱՅՑ:

.

Որպեսզի քառակուսի մատրիցը հակադարձ ունենա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրա որոշիչը լինի ոչ զրոյական: Հակադարձ մատրիցը հայտնաբերվում է բանաձևով.

, (1.13)

որտեղ Ա իջ- տարրերին հանրահաշվական հավելումներ այժմատրիցներ ԲԱՅՑ(նկատի ունեցեք, որ մատրիցայի տողերին հանրահաշվական հավելումներ ԲԱՅՑդասավորված են հակադարձ մատրիցում՝ համապատասխան սյունակների տեսքով):

Օրինակ 1.9.Գտեք հակադարձ մատրիցը Ա- 1-ից մինչև մատրիցա

.

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը բանաձևով (1.13), որը դեպքի համար n= 3-ը նման է.

.

Եկեք գտնենք det Ա = | Ա| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Քանի որ սկզբնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի:

1) Գտեք հանրահաշվական գումարումներ Ա իջ:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու հարմարության համար սկզբնական մատրիցայի տողերի հանրահաշվական հավելումները տեղադրեցինք համապատասխան սյունակներում։

Ստացված հանրահաշվական հավելումներից կազմում ենք նոր մատրիցա և այն բաժանում det որոշիչով. Ա. Այսպիսով, մենք կստանանք հակադարձ մատրիցը.

Ոչ զրոյական հիմնական որոշիչով գծային հավասարումների քառակուսի համակարգերը կարող են լուծվել հակադարձ մատրիցով: Դրա համար համակարգը (1.5) գրված է մատրիցային ձևով.

որտեղ

Ձախ կողմում գտնվող հավասարության երկու կողմերը (1.14) բազմապատկելով Ա- 1, մենք ստանում ենք համակարգի լուծումը.

, որտեղ

Այսպիսով, քառակուսի համակարգի լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համակարգի հիմնական մատրիցին հակադարձ մատրիցը և այն աջ կողմում բազմապատկել ազատ տերմինների սյունակի մատրիցով:

Խնդիր 1.10.Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

օգտագործելով հակադարձ մատրիցա:

Որոշում.Մենք համակարգը գրում ենք մատրիցային ձևով.

որտեղ համակարգի հիմնական մատրիցն է, անհայտների սյունն է և ազատ անդամների սյունակն է։ Քանի որ համակարգի հիմնական որոշիչ , ապա համակարգի հիմնական մատրիցը ԲԱՅՑունի հակադարձ մատրիցա ԲԱՅՑ- մեկ. Հակադարձ մատրիցը գտնելու համար ԲԱՅՑ-1, հաշվարկեք մատրիցայի բոլոր տարրերի հանրահաշվական լրացումները ԲԱՅՑ:

Ստացված թվերից կազմում ենք մատրիցա (ավելին, հանրահաշվական հավելումներ մատրիցայի տողերին. ԲԱՅՑգրիր համապատասխան սյունակներում) և բաժանիր այն D որոշիչով: Այսպիսով, մենք գտանք հակադարձ մատրիցը.

Համակարգի լուծումը գտնված է բանաձևով (1.15).

Այսպիսով,

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում սովորական Հորդանանի բացառություններով

Թող տրվի գծային հավասարումների կամայական (ոչ պարտադիր քառակուսի) համակարգ.

(1.16)

Պահանջվում է համակարգին լուծում գտնել, այսինքն. փոփոխականների այնպիսի մի շարք, որը բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարությունները (1.16). Ընդհանուր դեպքում համակարգը (1.16) կարող է ունենալ ոչ միայն մեկ լուծում, այլև անսահման թվով լուծումներ։ Այն կարող է նաև ընդհանրապես լուծումներ չունենալ։

Նման խնդիրներ լուծելիս կիրառվում է դպրոցական դասընթացից անհայտները վերացնելու հայտնի մեթոդը, որը կոչվում է նաև սովորական Հորդանանի վերացումների մեթոդ։ Այս մեթոդի էությունը կայանում է նրանում, որ համակարգի (1.16) հավասարումներից մեկում փոփոխականներից մեկն արտահայտվում է այլ փոփոխականներով: Այնուհետև այս փոփոխականը փոխարինվում է համակարգի այլ հավասարումներով: Արդյունքը մի համակարգ է, որը պարունակում է մեկ հավասարում և մեկ պակաս փոփոխական, քան սկզբնական համակարգը: Հիշվում է այն հավասարումը, որից փոփոխականն արտահայտվել է։

Այս գործընթացը կրկնվում է այնքան ժամանակ, մինչև համակարգում մնա վերջին հավասարումը: Անհայտները վերացնելու գործընթացում որոշ հավասարումներ կարող են վերածվել իսկական ինքնությունների, օրինակ. Նման հավասարումները բացառվում են համակարգից, քանի որ դրանք վավեր են փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար և, հետևաբար, չեն ազդում համակարգի լուծման վրա: Եթե ​​անհայտները վերացնելու գործընթացում առնվազն մեկ հավասարումը դառնում է հավասարություն, որը չի կարող բավարարվել փոփոխականների որևէ արժեքի համար (օրինակ՝ ), ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը լուծում չունի:

Եթե ​​լուծելու ընթացքում անհամապատասխան հավասարումներ չեն առաջացել, ապա դրա մեջ մնացած փոփոխականներից մեկը հայտնաբերվում է վերջին հավասարումից: Եթե ​​վերջին հավասարման մեջ մնում է միայն մեկ փոփոխական, ապա այն արտահայտվում է որպես թիվ։ Եթե ​​մյուս փոփոխականները մնան վերջին հավասարման մեջ, ապա դրանք համարվում են պարամետրեր, և դրանց միջոցով արտահայտված փոփոխականը կլինի այս պարամետրերի ֆունկցիան։ Այնուհետև կատարվում է այսպես կոչված «հակադարձ շարժումը»։ Գտնված փոփոխականը փոխարինվում է վերջին մտապահված հավասարման մեջ, իսկ երկրորդ փոփոխականը գտնվում է: Այնուհետև գտնված երկու փոփոխականները փոխարինվում են նախավերջին մտապահված հավասարման մեջ և գտնում են երրորդ փոփոխականը, և այսպես շարունակ՝ մինչև առաջին մտապահված հավասարումը:

Արդյունքում ստանում ենք համակարգի լուծումը։ Այս լուծումը կլինի միակը, եթե գտնված փոփոխականները թվեր են։ Եթե ​​առաջին հայտնաբերված փոփոխականը, իսկ հետո մնացած բոլորը կախված են պարամետրերից, ապա համակարգը կունենա անսահման թվով լուծումներ (պարամետրերի յուրաքանչյուր հավաքածու համապատասխանում է նոր լուծման): Բանաձևերը, որոնք թույլ են տալիս գտնել համակարգի լուծում՝ կախված որոշակի պարամետրերի շարքից, կոչվում են համակարգի ընդհանուր լուծում:

Օրինակ 1.11.

x

Առաջին հավասարումը անգիր անելուց հետո և երկրորդ և երրորդ հավասարումների մեջ բերելով համանման տերմիններ՝ հանգում ենք համակարգին.

Էքսպրես yերկրորդ հավասարումից և այն փոխարինել առաջին հավասարմամբ.

Հիշեք երկրորդ հավասարումը, և առաջինից մենք գտնում ենք զ:

Հակադարձ շարժում կատարելով՝ մենք հաջորդաբար գտնում ենք yև զ. Դա անելու համար մենք նախ փոխարինում ենք վերջին մտապահված հավասարման մեջ, որից մենք գտնում ենք y:

.

Այնուհետև մենք փոխարինում ենք և մտնում առաջին մտապահված հավասարումը որտեղից մենք գտնում ենք x:

Խնդիր 1.12.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը՝ վերացնելով անհայտները.

. (1.17)

Որոշում.Արտահայտենք փոփոխականը առաջին հավասարումից xև այն փոխարինիր երկրորդ և երրորդ հավասարումներով.

.

Հիշեք առաջին հավասարումը

Այս համակարգում առաջին և երկրորդ հավասարումները հակասում են միմյանց: Իսկապես, արտահայտելով y , մենք ստանում ենք, որ 14 = 17: Այս հավասարությունը չի բավարարվում փոփոխականների որևէ արժեքի համար x, y, և զ. Հետևաբար, համակարգը (1.17) անհամապատասխան է, այսինքն. լուծում չունի.

Ընթերցողներին առաջարկվում է ինքնուրույն ստուգել, ​​որ սկզբնական համակարգի (1.17) հիմնական որոշիչը հավասար է զրոյի:

Դիտարկենք համակարգ, որը (1.17) համակարգից տարբերվում է միայն մեկ ազատ տերմինով:

Խնդիր 1.13.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը՝ վերացնելով անհայտները.

. (1.18)

Որոշում.Ինչպես նախկինում, մենք արտահայտում ենք փոփոխականը առաջին հավասարումից xև այն փոխարինիր երկրորդ և երրորդ հավասարումներով.

.

Հիշեք առաջին հավասարումը իսկ նմանատիպ տերմիններ ներկայացնում ենք երկրորդ և երրորդ հավասարումներում։ Մենք հասնում ենք համակարգին.

արտահայտելով yառաջին հավասարումից և այն փոխարինելով երկրորդ հավասարմամբ , մենք ստանում ենք նույնականությունը 14 = 14, որը չի ազդում համակարգի լուծման վրա, և, հետևաբար, այն կարող է բացառվել համակարգից։

Վերջին մտապահված հավասարության մեջ փոփոխականը զկդիտարկվի որպես պարամետր: Մենք հավատում ենք . Հետո

Փոխարինող yև զառաջին մտապահված հավասարության մեջ և գտնել x:

.

Այսպիսով, համակարգը (1.18) ունի լուծումների անսահման հավաքածու, և ցանկացած լուծում կարելի է գտնել բանաձևերով (1.19)՝ ընտրելով պարամետրի կամայական արժեքը։ տ:

(1.19)
Այսպիսով, համակարգի լուծումները, օրինակ, փոփոխականների հետևյալ խմբերն են (1; 2; 0), (2; 26; 14) և այլն: Բանաձևերը (1.19) արտահայտում են համակարգի ընդհանուր (ցանկացած) լուծումը (1.18): ):

Այն դեպքում, երբ սկզբնական համակարգը (1.16) ունի բավականաչափ մեծ թվով հավասարումներ և անհայտներ, սովորական Հորդանանի վերացման նշված մեթոդը ծանր է թվում: Այնուամենայնիվ, դա այդպես չէ: Բավական է դուրս բերել համակարգի գործակիցների մեկ քայլով վերահաշվարկի ալգորիթմը ընդհանուր տեսքով և խնդրի լուծումը ձևակերպել հատուկ Հորդանանի աղյուսակների տեսքով։

Թող տրվի գծային ձևերի (հավասարումների) համակարգ.

, (1.20)
որտեղ xj- անկախ (ցանկալի) փոփոխականներ, այժ- հաստատուն գործակիցներ
(ես = 1, 2,…, մ; ժ = 1, 2,…, n): Համակարգի աջ մասերը y i (ես = 1, 2,…, մ) կարող են լինել և՛ փոփոխականներ (կախված), և՛ հաստատուններ: Պահանջվում է այս համակարգի լուծումներ գտնել՝ վերացնելով անհայտները։

Դիտարկենք հետևյալ գործողությունը, որն այսուհետ կոչվում է «Հորդանանի սովորական բացառությունների մեկ քայլ»։ կամայականից ( rրդ) հավասարություն, մենք արտահայտում ենք կամայական փոփոխական ( x s) և փոխարինել մյուս բոլոր հավասարումներով: Իհարկե, դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե մի rs¹ 0. Գործակից մի rsկոչվում է լուծող (երբեմն ուղղորդող կամ հիմնական) տարր։

Մենք կստանանք հետևյալ համակարգը.

. (1.21)

Սկսած սՀամակարգի հավասարությունը (1.21), մենք հետագայում կգտնենք փոփոխականը x s(այլ փոփոխականների հայտնաբերումից հետո): ՍԵրրորդ տողը հիշվում է և հետագայում դուրս է մնում համակարգից: Մնացած համակարգը կպարունակի մեկ հավասարում և մեկ պակաս անկախ փոփոխական, քան սկզբնական համակարգը:

Հաշվարկենք ստացված համակարգի գործակիցները (1.21) սկզբնական համակարգի գործակիցներով (1.20): Սկսենք նրանից rրդ հավասարումը, որը փոփոխականն արտահայտելուց հետո x sՄնացած փոփոխականների միջոցով այսպիսի տեսք կունենան.

Այսպիսով, նոր գործակիցները rրդ հավասարումը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևերով.

(1.23)
Այժմ հաշվենք նոր գործակիցները բ ij(ես¹ r) կամայական հավասարման. Դա անելու համար մենք փոխարինում ենք (1.22) արտահայտված փոփոխականը: x sմեջ եսհամակարգի րդ հավասարումը (1.20):

Նման պայմանները բերելուց հետո մենք ստանում ենք.

(1.24)
Հավասարությունից (1.24) ստանում ենք բանաձևեր, որոնցով հաշվարկվում են (1.21) համակարգի մնացած գործակիցները (բացառությամբ. rրդ հավասարումը):

(1.25)
Գծային հավասարումների համակարգերի փոխակերպումը սովորական Հորդանանի վերացումների մեթոդով ներկայացված է աղյուսակների (մատրիցների) տեսքով։ Այս աղյուսակները կոչվում են «Հորդանանի սեղաններ»:

Այսպիսով, խնդիրը (1.20) կապված է հետևյալ Հորդանանի աղյուսակի հետ.

Աղյուսակ 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	ա 11	ա 12		ա 1ժ		ա 1ս		ա 1n
…………………………………………………………………..
y i=	ա i 1	ա i 2		այժ		ա է		մի ին
…………………………………………………………………..
y r=	ա ռ 1	ա ռ 2		a rj		մի rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	մի մ 1	մի մ 2		մի մջ		մի ms		ամն

Հորդանանի աղյուսակ 1.1-ը պարունակում է ձախ գլխի սյունակը, որտեղ գրված են համակարգի աջ մասերը (1.20), և վերին գլխի տողը, որտեղ գրված են անկախ փոփոխականները:

Աղյուսակի մնացած տարրերը կազմում են համակարգի գործակիցների հիմնական մատրիցը (1.20): Եթե ​​բազմապատկենք մատրիցը ԲԱՅՑվերնագրի վերնագրի տողի տարրերից կազմված մատրիցին, ապա մենք ստանում ենք ձախ վերնագրի սյունակի տարրերից բաղկացած մատրիցը։ Այսինքն, ըստ էության, Հորդանանի աղյուսակը գծային հավասարումների համակարգ գրելու մատրիցային ձև է. Այս դեպքում հետևյալ Հորդանանի աղյուսակը համապատասխանում է համակարգին (1.21).

Աղյուսակ 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	բ 11	բ 12		բ 1 ժ		բ 1 ս		բ 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	բ i 1	բ i 2		բ ij		բ է		աղբարկղ
…………………………………………………………………..
x s =	բր 1	բր 2		բ րջ		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	բ մ 1	բ մ 2		bmj		բ ms		bmn

Թույլատրելի տարր մի rs թավով կնշենք. Հիշեցնենք, որ Հորդանանի բացառությունների մեկ քայլն իրականացնելու համար լուծվող տարրը պետք է լինի ոչ զրոյական: Թույլատրելի տարր պարունակող աղյուսակի տողը կոչվում է թույլատրելի տող: Enable տարրը պարունակող սյունակը կոչվում է enable սյունակ: Տվյալ աղյուսակից հաջորդ աղյուսակ անցնելիս մեկ փոփոխական ( x s) աղյուսակի վերևի վերնագրի տողից տեղափոխվում է ձախ վերնագրի սյունակ և, ընդհակառակը, համակարգի ազատ անդամներից մեկը ( y r) աղյուսակի ձախ վերնագրի սյունակից տեղափոխվում է վերնագրի վերևի տող:

Եկեք նկարագրենք Հորդանանի աղյուսակից (1.1) աղյուսակ (1.2) անցնելու գործակիցների վերահաշվարկման ալգորիթմը, որը բխում է (1.23) և (1.25) բանաձևերից:

1. Միավորող տարրը փոխարինվում է հակադարձ թվով.

2. Թույլատրելի գծի մնացած տարրերը բաժանվում են թույլատրելի տարրով և փոխում նշանը հակառակի.

3. Միավորող սյունակի մնացած տարրերը բաժանվում են միացնող տարրի.

4. Տարրերը, որոնք ներառված չեն լուծվող տողում և լուծվող սյունակում, վերահաշվարկվում են ըստ բանաձևերի.

Վերջին բանաձեւը հեշտ է հիշել, եթե նկատում եք, որ այն տարրերը, որոնք կազմում են կոտորակը , գտնվում են խաչմերուկում ես-օհ և r-րդ տողերն ու ժրդ և ս-րդ սյունակները (լուծող տող, լուծվող սյունակ և այն տողն ու սյունը, որոնց խաչմերուկում գտնվում է վերահաշվարկվող տարրը): Ավելի ճիշտ՝ բանաձեւն անգիր անելիս կարող եք օգտագործել հետևյալ աղյուսակը.

-21 -26 -13 -37

Կատարելով Հորդանանի բացառությունների առաջին քայլը՝ աղյուսակ 1.3-ի ցանկացած տարր, որը գտնվում է սյունակներում x 1 ,…, x 5 (նշված բոլոր տարրերը հավասար չեն զրոյի): Դուք չպետք է ընտրեք միայն վերջին սյունակում միացնող տարրը, քանի որ անհրաժեշտ է գտնել անկախ փոփոխականներ x 1 ,…, x 5 . Մենք ընտրում ենք, օրինակ, գործակիցը 1 փոփոխականով x 3-ը աղյուսակ 1.3-ի երրորդ շարքում (ակտիվացնող տարրը նշված է թավերով): Աղյուսակ 1.4-ին անցնելիս փոփոխականը xՎերևի վերնագրի տողից 3-ը փոխարինվում է ձախ վերնագրի սյունակի 0-ի հաստատունով (երրորդ տող): Միևնույն ժամանակ, փոփոխականը x 3-ն արտահայտվում է մնացած փոփոխականներով:

լար x 3 (Աղյուսակ 1.4) կարելի է, նախապես հիշելով, բացառել աղյուսակ 1.4-ից: Աղյուսակ 1.4-ում բացառվում է նաև վերնագրի վերնագրի տողում զրո ունեցող երրորդ սյունակը: Բանն այն է, որ անկախ այս սյունակի գործակիցներից բ i 3 յուրաքանչյուր 0 հավասարման դրան համապատասխանող բոլոր անդամները բ i 3 համակարգ հավասար կլինի զրոյի։ Հետեւաբար, այդ գործակիցները չեն կարող հաշվարկվել: Մեկ փոփոխականի վերացում x 3 և հիշելով հավասարումներից մեկը՝ հանգում ենք աղյուսակ 1.4-ին համապատասխան համակարգի (գծը հատած. x 3). Աղյուսակ 1.4-ում ընտրելը որպես լուծող տարր բ 14 = -5, անցեք աղյուսակ 1.5: Աղյուսակ 1.5-ում մենք հիշում ենք առաջին տողը և չորրորդ սյունակի հետ միասին այն բացառում ենք աղյուսակից (վերևում զրոյով):

Աղյուսակ 1.5 Աղյուսակ 1.6

Վերջին 1.7 աղյուսակից մենք գտնում ենք. x 1 = - 3 + 2x 5 .

Արդեն գտնված փոփոխականները հաջորդաբար փոխարինելով մտապահված տողերի մեջ՝ մենք գտնում ենք մնացած փոփոխականները.

Այսպիսով, համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ փոփոխական x 5, կարող եք կամայական արժեքներ նշանակել: Այս փոփոխականը գործում է որպես պարամետր x 5 = տ. Մենք ապացուցեցինք համակարգի համատեղելիությունը և գտանք դրա ընդհանուր լուծումը.

x 1 = - 3 + 2տ

x 2 = - 1 - 3տ

x 3 = - 2 + 4տ . (1.27)
x 4 = 4 + 5տ

x 5 = տ

Պարամետր տալը տտարբեր արժեքներ, մենք ստանում ենք սկզբնական համակարգի անսահման թվով լուծումներ: Այսպիսով, օրինակ, համակարգի լուծումը հետևյալ փոփոխականների բազմությունն է (- 3; - 1; - 2; 4; 0):

Կրամերի մեթոդը հիմնված է գծային հավասարումների համակարգերի լուծման որոշիչ գործոնների օգտագործման վրա։ Սա մեծապես արագացնում է լուծման գործընթացը:

Կրամերի մեթոդը կարող է օգտագործվել այնքան գծային հավասարումների համակարգ լուծելու համար, որքան անհայտներ կան յուրաքանչյուր հավասարման մեջ։ Եթե ​​համակարգի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա լուծման մեջ կարող է օգտագործվել Կրամերի մեթոդը, եթե այն հավասար է զրոյի, ապա չի կարող։ Բացի այդ, Կրամերի մեթոդով կարելի է լուծել գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք ունեն յուրահատուկ լուծում։

Սահմանում. Անհայտների գործակիցներից կազմված որոշիչը կոչվում է համակարգի որոշիչ և նշանակվում է (դելտա):

Որոշիչներ

ստացվում են համապատասխան անհայտների գործակիցները ազատ թվերով փոխարինելով.

;

.

Կրամերի թեորեմ. Եթե ​​համակարգի որոշիչը զրոյական չէ, ապա գծային հավասարումների համակարգը ունի մեկ լուծում, իսկ անհայտը հավասար է որոշիչների հարաբերակցությանը: Հայտարարը պարունակում է համակարգի որոշիչը, իսկ համարիչը՝ համակարգի որոշիչից ստացված որոշիչը՝ գործակիցներն անհայտով փոխարինելով ազատ անդամներով։ Այս թեորեմը վերաբերում է ցանկացած կարգի գծային հավասարումների համակարգին:

Օրինակ 1Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը.

Համաձայն Կրամերի թեորեմմենք ունենք:

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2):

առցանց հաշվիչ, Քրամերի լուծման մեթոդ.

Երեք դեպք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեջ

Ինչպես երևում է Կրամերի թեորեմները, գծային հավասարումների համակարգը լուծելիս կարող է առաջանալ երեք դեպք.

Առաջին դեպք. գծային հավասարումների համակարգը ունի եզակի լուծում

(համակարգը հետևողական է և հստակ)

Երկրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ

(համակարգը հետևողական է և անորոշ)

** ,

դրանք. անհայտների և ազատ անդամների գործակիցները համաչափ են։

Երրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի

(համակարգը անհամապատասխան է)

Այսպիսով, համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nփոփոխականները կոչվում են անհամատեղելիեթե լուծումներ չունի, և համատեղեթե այն ունի գոնե մեկ լուծում. Հավասարումների միասնական համակարգ, որն ունի միայն մեկ լուծում, կոչվում է որոշակի, և մեկից ավելի անորոշ.

Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ

Թող համակարգը

.

Քրամերի թեորեմի հիման վրա

………….
,

որտեղ
-

համակարգի նույնացուցիչ: Մնացած որոշիչները ստացվում են՝ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով համապատասխան փոփոխականի (անհայտ) գործակիցներով.

Օրինակ 2

Հետևաբար, համակարգը որոշակի է: Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք որոշիչները

Քրամերի բանաձևերով մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, (1; 0; -1) համակարգի միակ լուծումն է:

3 X 3 և 4 X 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ Քրամերի լուծման մեթոդը։

Եթե ​​մեկ կամ մի քանի հավասարումների գծային հավասարումների համակարգում փոփոխականներ չկան, ապա որոշիչում դրանց համապատասխանող տարրերը հավասար են զրոյի։ Սա հաջորդ օրինակն է։

Օրինակ 3Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

.

Որոշում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Ուշադիր նայեք հավասարումների համակարգին և համակարգի որոշիչին և կրկնեք այն հարցի պատասխանը, թե որ դեպքերում են որոշիչի մեկ կամ մի քանի տարրերը հավասար զրոյի: Այսպիսով, որոշիչը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար, համակարգը որոշակի է։ Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք անհայտների որոշիչները

Քրամերի բանաձևերով մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, համակարգի լուծումն է (2; -1; 1):

3 X 3 և 4 X 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ Քրամերի լուծման մեթոդը։

Էջի վերևում

Մենք շարունակում ենք համակարգերի լուծումը՝ օգտագործելով Cramer մեթոդը միասին

Ինչպես արդեն նշվեց, եթե համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի, իսկ անհայտների որոշիչները հավասար չեն զրոյի, ապա համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ։ Եկեք պատկերացնենք հետևյալ օրինակով.

Օրինակ 6Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

Որոշում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի, հետևաբար գծային հավասարումների համակարգը կա՛մ անհամապատասխան է և որոշակի, կա՛մ անհետևողական, այսինքն՝ չունի լուծումներ։ Պարզաբանելու համար մենք հաշվարկում ենք անհայտների որոշիչները

Անհայտների որոշիչները հավասար չեն զրոյի, հետևաբար՝ համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ։

3 X 3 և 4 X 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ Քրամերի լուծման մեթոդը։

Գծային հավասարումների համակարգերի խնդիրներում կան նաև այնպիսիք, որտեղ, բացի փոփոխականներ նշանակող տառերից, կան նաև այլ տառեր։ Այս տառերը նշանակում են ինչ-որ թիվ, ամենից հաճախ իրական թիվ: Գործնականում նման հավասարումները և հավասարումների համակարգերը հանգեցնում են ցանկացած երևույթի և առարկայի ընդհանուր հատկությունները գտնելու խնդիրների: Այսինքն՝ դուք հորինել եք ինչ-որ նոր նյութ կամ սարք, և դրա հատկությունները նկարագրելու համար, որոնք սովորական են՝ անկախ պատճենների չափից կամ քանակից, պետք է լուծել գծային հավասարումների համակարգ, որտեղ փոփոխականների համար որոշ գործակիցների փոխարեն տառեր կան։ Պետք չէ հեռուն փնտրել օրինակների համար:

Հաջորդ օրինակը նմանատիպ խնդրի համար է, մեծանում է միայն որոշ իրական թվեր նշող հավասարումների, փոփոխականների և տառերի թիվը:

Օրինակ 8Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

Որոշում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Անհայտների համար որոշիչներ գտնելը