>> Մատրիցներ

4.1 Մատրիցներ. Մատրիցային գործողություններ

Mxn չափի ուղղանկյուն մատրիցը mxn թվերի հավաքածու է, որը դասավորված է ուղղանկյուն աղյուսակում, որը պարունակում է m տողեր և n սյունակներ: Մենք դա կգրենք ձևի մեջ

կամ կրճատվում է որպես A = (a i j) (i = ; j = ), a i j թվերը կոչվում են դրա տարրեր; առաջին ինդեքսը ցույց է տալիս տողի համարը, երկրորդը՝ սյունակի համարին: Նույն չափի A = (a i j) և B = (b i j)ները կոչվում են հավասար, եթե նրանց տարրերը նույն տեղերում զույգ-զույգ հավասար են, այսինքն՝ A = B, եթե a i j = b i j:

Մեկ տողից կամ մեկ սյունակից բաղկացած մատրիցը կոչվում է համապատասխանաբար - տող կամ սյունակ վեկտոր։ Սյունակի վեկտորները և տողերի վեկտորները պարզապես կոչվում են վեկտորներ:

Այս թվով նույնացվում է մեկ թվից բաղկացած մատրիցա։ mxn չափի A-ն, որի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, կոչվում է զրո և նշանակվում 0-ով: Նույն ինդեքսներով տարրերը կոչվում են հիմնական անկյունագծի տարրեր: Եթե ​​տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին, այսինքն m = n, ապա մատրիցը համարվում է n կարգի քառակուսի: Քառակուսի մատրիցները, որոնցում միայն հիմնական անկյունագծի տարրերը զրոյական չեն, կոչվում են անկյունագծային մատրիցներ և գրվում են հետևյալ կերպ.

.

Եթե ​​անկյունագծի a i i բոլոր տարրերը հավասար են 1-ի, ապա այն կոչվում է միավոր և նշվում է E տառով.

.

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է եռանկյունաձև, եթե հիմնական անկյունագծից վերև (կամ ներքև) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի: Տրանսպոզիցիան այն փոխակերպումն է, որի ժամանակ տողերն ու սյունակները փոխանակվում են՝ պահպանելով իրենց թվերը: Տրանսպոզիցիան վերևում նշվում է T-ով:

Եթե ​​(4.1)-ում մենք վերադասավորենք տողերը սյունակներով, ապա մենք ստանում ենք

,

որը կփոխանցվի A-ի նկատմամբ: Մասնավորապես, սյունակային վեկտորի փոխադրումը հանգեցնում է տողի վեկտորի և հակառակը:

B թվով A-ի արտադրյալը մատրից է, որի տարրերը ստացվում են A-ի համապատասխան տարրերից՝ բազմապատկելով b թվով. b A = (b a i j):

Նույն չափի A = (a i j) և B = (b i j) գումարը նույն չափի C = (c i j) է, որի տարրերը որոշվում են c i j = a i j + b i j բանաձևով:

AB արտադրյալը սահմանվում է այն ենթադրությամբ, որ A-ում սյունակների թիվը հավասար է B-ի տողերի թվին:

AB-ի արտադրյալը, որտեղ A = (a i j) և B = (b j k), որտեղ i = , j= , k=, տրված է որոշակի AB կարգով, C = (c i k), որի տարրերը որոշվում են հետևյալ կանոնը.

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Այլ կերպ ասած, AB արտադրյալի տարրը սահմանվում է հետևյալ կերպ. i-րդ շարքի և k-րդ C սյունակի տարրը հավասար է i-րդ շարքի A-ի տարրերի արտադրյալների գումարին. k-րդ սյունակի համապատասխան տարրերը B.

Օրինակ 2.1. Գտե՛ք AB-ի և .

Որոշում. Մենք ունենք՝ A 2x3 չափի, B՝ 3x3, ապա գոյություն ունի AB = C արտադրյալը և C-ի տարրերը հավասար են:

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10:

, իսկ BA արտադրանքը գոյություն չունի:

Օրինակ 2.2. Աղյուսակում ներկայացված են 1-ին և 2-րդ կաթնամթերքի օրական M 1, M 2 և M 3 խանութներ առաքվող ապրանքների քանակը, իսկ յուրաքանչյուր կաթնամթերքի միավորի առաքումը M 1 խանութ արժե 50 den: միավոր, խանութում M 2 - 70, իսկ M 3 - 130 den. միավորներ Հաշվեք յուրաքանչյուր գործարանի օրական տրանսպորտային ծախսերը:

կաթնամթերք

Որոշում. A-ով նշեք պայմանով մեզ տրված մատրիցը և ըստ
B - մատրիցա, որը բնութագրում է արտադրության միավորը խանութներին հասցնելու արժեքը, այսինքն.

,

Այնուհետև տրանսպորտային ծախսերի մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.

.

Այսպիսով, առաջին գործարանը օրական 4750 դեն է ծախսում տրանսպորտի վրա։ միավոր, երկրորդը՝ 3680 den.un.

Օրինակ 2.3. Կարի ձեռնարկությունը արտադրում է ձմեռային վերարկուներ, կիսասեզոնային վերարկուներ և անձրեւանոցներ։ Մեկ տասնամյակի համար նախատեսված արդյունքը բնութագրվում է X = (10, 15, 23) վեկտորով: Օգտագործվում են չորս տեսակի գործվածքներ՝ T 1 , T 2 , T 3 , T 4 ։ Աղյուսակը ցույց է տալիս գործվածքների սպառման դրույքաչափերը (մետրերով) յուրաքանչյուր ապրանքի համար: C = (40, 35, 24, 16) վեկտորը նշում է յուրաքանչյուր տեսակի գործվածքի մետրի արժեքը, իսկ P = (5, 3, 2, 2) վեկտորը - յուրաքանչյուրի գործվածքի մետրի տեղափոխման արժեքը: տիպ.

	Գործվածքների սպառում
Ձմեռային վերարկու
Դեմի վերարկու

1. Յուրաքանչյուր տեսակի գործվածքից քանի՞ մետր կպահանջվի հատակագիծը ավարտելու համար:

2. Գտեք գործվածքի արժեքը, որն օգտագործվում է յուրաքանչյուր տեսակի ապրանքի կարելու համար:

3. Որոշեք ամբողջ գործվածքի արժեքը, որն անհրաժեշտ է պլանն ավարտելու համար:

Որոշում. Եկեք A-ով նշանակենք մեզ տրված մատրիցը պայմանով, այսինքն.

,

այնուհետև պլանը ավարտելու համար անհրաժեշտ գործվածքների մետրերի քանակը գտնելու համար հարկավոր է X վեկտորը բազմապատկել A մատրիցով.

Գործվածքի արժեքը, որը ծախսվում է յուրաքանչյուր տեսակի արտադրանքի ձևավորման վրա, հայտնաբերվում է A մատրիցը և C T վեկտորը բազմապատկելով.

.

Պլանը ավարտելու համար անհրաժեշտ ամբողջ գործվածքի արժեքը կորոշվի բանաձևով.

Վերջապես, հաշվի առնելով տրանսպորտային ծախսերը, ամբողջ գումարը հավասար կլինի գործվածքի արժեքին, այսինքն՝ 9472 դեն։ միավորներ, գումարած արժեք

X A P T =
.

Այսպիսով, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (դենտ. միավորներ):

ՄԱՏՐԻՑԻ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ ՏԵՍԱԿՆԵՐԸ

Մատրիցայի չափը մ× nկոչվում է ամբողջություն m nթվեր, որոնք դասավորված են ուղղանկյուն աղյուսակում մգծեր և nսյունակներ. Այս աղյուսակը սովորաբար փակցվում է փակագծերում: Օրինակ, մատրիցը կարող է նման լինել.

Հակիրճության համար մատրիցը կարող է նշանակվել մեկ մեծատառով, օրինակ. ԲԱՅՑկամ AT.

Ընդհանուր առմամբ, չափի մատրիցա մ× nգրել այսպես

.

Մատրիցա կազմող թվերը կոչվում են մատրիցային տարրեր. Հարմար է մատրիցային տարրեր մատակարարել երկու ինդեքսներով այժԱռաջինը ցույց է տալիս տողի համարը, իսկ երկրորդը ցույց է տալիս սյունակի համարը: Օրինակ, ա 23– տարրը գտնվում է 2-րդ շարքում, 3-րդ սյունակում:

Եթե ​​մատրիցում տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին, ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի, և կոչվում է նրա տողերի կամ սյունակների թիվը որպեսզիմատրիցներ. Վերոնշյալ օրինակներում երկրորդ մատրիցը քառակուսի է՝ նրա կարգը 3 է, իսկ չորրորդ մատրիցը՝ նրա կարգը 1 է։

Կանչվում է մատրիցա, որտեղ տողերի թիվը հավասար չէ սյունակների թվին ուղղանկյուն. Օրինակներում սա առաջին մատրիցն է և երրորդը։

Կան նաև մատրիցներ, որոնք ունեն միայն մեկ տող կամ մեկ սյունակ։

Միայն մեկ տողով մատրից է կոչվում մատրիցա - տող(կամ տող) և մատրիցա, որն ունի միայն մեկ սյունակ, մատրիցա - սյունակ.

Կոչվում է մատրիցա, որտեղ բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի դատարկև նշվում է (0) կամ պարզապես 0-ով: Օրինակ.

.

հիմնական անկյունագիծՔառակուսի մատրիցը վերին ձախից դեպի ներքևի աջ անկյուն գնացող անկյունագիծն է:

Կոչվում է քառակուսի մատրիցա, որտեղ հիմնական անկյունագծից ներքև գտնվող բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի եռանկյունաձեւմատրիցա.

.

Քառակուսի մատրիցա, որտեղ բոլոր տարրերը, բացառությամբ, հավանաբար, հիմնական անկյունագծով գտնվող տարրերի, հավասար են զրոյի, կոչվում է. անկյունագծայինմատրիցա. Օրինակ, կամ.

Կոչվում է անկյունագծային մատրիցա, որտեղ բոլոր անկյունագծային մուտքերը հավասար են մեկի միայնակմատրիցա և նշվում է E տառով: Օրինակ, 3-րդ կարգի նույնականացման մատրիցն ունի ձև. .

ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԻ ՎՐԱ

Մատրիցային հավասարություն. Երկու մատրիցա Աև Բասում են, որ հավասար են, եթե ունեն նույն թվով տողեր և սյունակներ, և դրանց համապատասխան տարրերը հավասար են այժ = բ ij. Այսպիսով, եթե և , ապա A=B, եթե a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21և a 22 = b 22.

փոխադրում. Դիտարկենք կամայական մատրիցա Ա-ից մգծեր և nսյունակներ. Այն կարող է կապված լինել հետևյալ մատրիցայի հետ Բ-ից nգծեր և մսյունակներ, որտեղ յուրաքանչյուր տող մատրիցայի սյունն է Անույն թվով (հետևաբար յուրաքանչյուր սյունակ մատրիցայի տող է Անույն թվով): Այսպիսով, եթե , ապա .

Այս մատրիցը Բկանչեց փոխադրվածմատրիցա Ա, և անցումը Ադեպի B փոխադրում.

Այսպիսով, տրանսպոզիցիան մատրիցայի տողերի և սյունակների դերերի հակադարձումն է: Մատրիցը տեղափոխվում է մատրիցի Ա, սովորաբար նշվում է Ա Տ.

Հաղորդակցություն մատրիցայի միջև Աև դրա փոխադրումը կարող է գրվել որպես .

Օրինակ.Գտե՛ք տրվածին փոխանցված մատրիցը:

Մատրիցային ավելացում.Թող մատրիցները Աև Բբաղկացած է նույն թվով տողերից և նույն թվով սյունակներից, այսինքն. ունեն նույն չափերը. Այնուհետև մատրիցներն ավելացնելու համար Աև Բանհրաժեշտ է մատրիցացնել տարրերը Աավելացնել մատրիցային տարրեր Բնույն տեղերում կանգնած. Այսպիսով, երկու մատրիցների գումարը Աև Բկոչվում է մատրիցա Գ, որը որոշվում է կանոնով, օրինակ.

Օրինակներ.Գտեք մատրիցների գումարը.

Հեշտ է ստուգել, ​​որ մատրիցային գումարումը ենթարկվում է հետևյալ օրենքներին A+B=B+Aև ասոցիատիվ ( A+B)+Գ=Ա+(B+C).

Մատրիցը թվով բազմապատկելը.Մատրիցը բազմապատկելու համար Ամեկ թվով կանհրաժեշտ է մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր Աբազմապատկել այդ թվով: Այսպիսով, մատրիցային արտադրանքը Ամեկ թվով կկա նոր մատրիցա, որը որոշվում է կանոնով կամ .

Ցանկացած թվերի համար աև բև մատրիցներ Աև Բհավասարությունները կատարվում են.

Օրինակներ.

Մատրիցային բազմապատկում.Այս գործողությունն իրականացվում է հատուկ օրենքի համաձայն. Նախևառաջ, մենք նշում ենք, որ մատրիցային գործոնների չափերը պետք է համահունչ լինեն: Դուք կարող եք բազմապատկել միայն այն մատրիցները, որոնց առաջին մատրիցայի սյունակների թիվը համընկնում է երկրորդ մատրիցի տողերի թվի հետ (այսինքն՝ առաջին տողի երկարությունը հավասար է երկրորդ սյունակի բարձրությանը): աշխատանքմատրիցներ Աոչ մատրիցա Բկոչվում է նոր մատրիցա C=AB, որի տարրերը կազմված են հետևյալ կերպ.

Այսպիսով, օրինակ, արտադրանքը ստանալու համար (այսինքն՝ մատրիցով Գ) տարրը 1-ին շարքում և 3-րդ սյունակում 13-ից, 1-ին մատրիցում պետք է վերցնել 1-ին տողը, 2-րդում՝ 3-րդ, այնուհետև տողի տարրերը բազմապատկել սյունակի համապատասխան տարրերով և ավելացնել ստացված արտադրյալները։ Իսկ արտադրանքի մատրիցայի մյուս տարրերը ստացվում են՝ օգտագործելով երկրորդ մատրիցայի սյունակների կողմից առաջին մատրիցի տողերի նմանատիպ արտադրյալը:

Ընդհանուր առմամբ, եթե բազմապատկենք մատրիցը A = (aij)չափը մ× nդեպի մատրիցա B = (bij)չափը n× էջ, ապա մենք ստանում ենք մատրիցը Գչափը մ× էջ, որի տարրերը հաշվարկվում են հետևյալ կերպ՝ տարր գ ijստացվում է տարրերի արտադրյալի արդյունքում եսմատրիցայի րդ շարքը Ահամապատասխան տարրերի վրա ժ- մատրիցայի-րդ սյունակ Բև դրանց գումարումը։

Այս կանոնից հետևում է, որ միշտ կարող եք բազմապատկել նույն կարգի երկու քառակուսի մատրիցա, արդյունքում ստանում ենք նույն կարգի քառակուսի մատրիցա։ Մասնավորապես, քառակուսի մատրիցը միշտ կարող է բազմապատկվել ինքն իրենով, այսինքն. քառակուսի.

Մյուս կարևոր դեպքը մատրից-տողի բազմապատկումն է մատրից-սյունակով, իսկ առաջինի լայնությունը պետք է հավասար լինի երկրորդի բարձրությանը, արդյունքում ստանում ենք առաջին կարգի մատրիցա (այսինքն՝ մեկ տարր): Իսկապես,

.

Օրինակներ.

Այսպիսով, այս պարզ օրինակները ցույց են տալիս, որ մատրիցաները, ընդհանուր առմամբ, չեն փոխադրվում միմյանց հետ, այսինքն. A∙B ≠ B∙A . Հետևաբար, մատրիցները բազմապատկելիս պետք է ուշադիր հետևել գործոնների հերթականությանը:

Կարելի է ստուգել, ​​որ մատրիցային բազմապատկումը ենթարկվում է ասոցիատիվ և բաշխիչ օրենքներին, այսինքն. (AB)C=A(BC)և (A+B)C=AC+BC.

Դա նաև հեշտ է ստուգել քառակուսի մատրիցը բազմապատկելիս Աինքնության մատրիցին Ենույն կարգով մենք կրկին ստանում ենք մատրիցը Ա, ընդ որում AE=EA=A.

Կարելի է նշել հետևյալ հետաքրքիր փաստը. Ինչպես հայտնի է, 2 ոչ զրոյական թվերի արտադրյալը հավասար չէ 0-ի: Մատրիցների դեպքում դա կարող է չլինել, այսինքն. 2 ոչ զրոյական մատրիցների արտադրյալը կարող է հավասար լինել զրոյական մատրիցին:

օրինակ, եթե , ապա

.

ՈՐՈՇՈՂՆԵՐԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Թող տրվի երկրորդ կարգի մատրիցա՝ քառակուսի մատրիցա, որը բաղկացած է երկու տողից և երկու սյունակից .

Երկրորդ կարգի որոշիչԱյս մատրիցին համապատասխանող թիվը հետևյալն է. a 11 a 22 – a 12 a 21.

Որոշիչը նշվում է նշանով .

Այսպիսով, երկրորդ կարգի որոշիչը գտնելու համար անհրաժեշտ է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալից հանել երկրորդ անկյունագծի երկայնքով գտնվող տարրերի արտադրյալը:

Օրինակներ.Հաշվեք երկրորդ կարգի որոշիչները:

Նմանապես, մենք կարող ենք դիտարկել երրորդ կարգի մատրիցա և համապատասխան որոշիչ:

Երրորդ կարգի որոշիչ, որը համապատասխանում է երրորդ կարգի տրված քառակուսի մատրիցին, մի թիվ է, որը նշվում և ստացվում է հետևյալ կերպ.

.

Այսպիսով, այս բանաձևը տալիս է երրորդ կարգի որոշիչի ընդլայնումը առաջին շարքի տարրերի առումով. ա 11, ա 12, ա 13և երրորդ կարգի որոշիչի հաշվարկը նվազեցնում է երկրորդ կարգի որոշիչի հաշվարկին:

Օրինակներ.Հաշվիր երրորդ կարգի որոշիչը:

Նմանապես, կարելի է ներկայացնել չորրորդ, հինգերորդ և այլն որոշիչ հասկացությունները: պատվերներ՝ իջեցնելով դրանց կարգը՝ ընդլայնելով 1-ին շարքի տարրերի վրա, մինչդեռ տերմինների համար «+» և «-» նշանները փոխարինվում են:

Այսպիսով, ի տարբերություն մատրիցայի, որը թվերի աղյուսակ է, որոշիչը մի թիվ է, որը որոշակի ձևով վերագրվում է մատրիցին:

Գծային հանրահաշիվ 1

Մատրիցներ 1

Մատրիցային գործողություններ 2

Մատրիցային որոշիչները 6

Հակադարձ մատրիցա 13

Մատրիցայի վարկանիշ 16

Գծային անկախություն 21

Գծային հավասարումների համակարգեր 24

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ 27

Հակադարձ մատրիցային մեթոդ 27

Քառակուսի մատրիցով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդ՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը 29

Գաուսի մեթոդ (փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ) 31

Գծային հանրահաշվի մատրիցներ

Մատրիցա mxn չափը թվերի ուղղանկյուն աղյուսակ է, որը պարունակում է m տող և n սյունակ: Մատրիցը կազմող թվերը կոչվում են մատրիցային տարրեր։

Մատրիցները սովորաբար նշվում են լատինատառ մեծատառերով, իսկ տարրերը՝ նույն, բայց փոքրատառերով՝ կրկնակի ինդեքսավորմամբ։

Օրինակ, հաշվի առեք 2 x 3 մատրիցը A:

Այս մատրիցն ունի երկու տող (m= 2) և երեք սյունակ (n= 3), այսինքն. Այն բաղկացած է վեց տարրից a ij, որտեղ i-ն տողի համարն է, j-ը սյունակի համարն է: Այս դեպքում այն ​​վերցնում է արժեքներ 1-ից 2, և մեկից երեք (գրված
): Մասնավորապես, a 11 = 3, a 12 = 0, a 13 = -1, a 21 = 0, a 22 = 1,5, a 23 = 5:

Միևնույն չափի (mxn) A և B մատրիցները կոչվում են հավասար, եթե տարր առ տարր համընկնում են, այսինքն՝ a ij =b ij համար
, այսինքն. ցանկացած ii-ի և j-ի համար (կարող եք գրել i, j):

տողերի մատրիցամեկ տողով մատրիցա է և սյունակի մատրիցամեկ սյունակով մատրիցա է։

Օրինակ,
տողերի մատրիցա է, և
.

քառակուսի մատրիցա n-րդ կարգը մատրիցա է, տողերի թիվը հավասար է սյունակների թվին և հավասար է n-ի:

Օրինակ,
երկրորդ կարգի քառակուսի մատրից է։

Շեղանկյունմատրիցայի տարրերն այն տարրերն են, որոնց տողի համարը հավասար է սյունակի թվին (a ij ,i=j): Այս տարրերը ձևավորվում են հիմնական անկյունագիծմատրիցներ. Նախորդ օրինակում a 11 = 3 և a 22 = 5 տարրերը կազմում են հիմնական անկյունագիծը:

Անկյունագծային մատրիցաքառակուսի մատրից է, որտեղ բոլոր անջատված անկյունագծային տարրերը հավասար են զրոյի: Օրինակ,
երրորդ կարգի անկյունագծային մատրից է։ Եթե ​​բոլոր անկյունագծային տարրերը հավասար են մեկի, ապա մատրիցը կոչվում է միայնակ(սովորաբար նշվում է E տառով): Օրինակ,
երրորդ կարգի ինքնության մատրիցն է:

Մատրիցը կոչվում է դատարկեթե նրա բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի:

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է եռանկյունաձեւեթե նրա բոլոր տարրերը հիմնական անկյունագծից (կամ վերևում) հավասար են զրոյի: Օրինակ,
երրորդ կարգի եռանկյունաձև մատրիցա է։

Մատրիցային գործողություններ

Մատրիցների վրա կարող եք կատարել հետևյալ գործողությունները.

1. Մատրիցը թվով բազմապատկելը. A մատրիցի արտադրյալը  թվով B = A մատրիցն է, որի տարրերն են b ij = a ij ցանկացած ii-ի և j-ի համար:

Օրինակ, եթե
, ապա
.

2. Մատրիցային ավելացում. Նույն չափի m x n երկու A և B մատրիցների գումարը C \u003d A + B մատրիցն է, որի տարրերը ij \u003d a ij + b ij են i,j-ի համար:

Օրինակ, եթե
ապա

.

Նշենք, որ նախորդ գործողությունների միջոցով մենք կարող ենք որոշել մատրիցային հանումնույն չափը. տարբերություն A-B \u003d A + (-1) * B:

3. Մատրիցային բազմապատկում. mxn չափի A մատրիցի արտադրյալը nxp չափի B մատրիցով այնպիսի C մատրից է, որի յուրաքանչյուր տարր ij-ով հավասար է A մատրիցի i-րդ շարքի տարրերի արտադրյալների գումարին և B մատրիցի j-րդ սյունակի համապատասխան տարրերը, այսինքն.
.

Օրինակ, եթե

, ապա արտադրանքի մատրիցայի չափը կլինի 2 x 3, և այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Այս դեպքում ասվում է, որ A մատրիցը համահունչ է B մատրիցին:

Քառակուսի մատրիցների համար բազմապատկման գործողության հիման վրա սահմանվում է գործողությունը հզորացում. A քառակուսի մատրիցի A m (m > 1) ամբողջ դրական հզորությունը A-ին հավասար m մատրիցների արտադրյալն է, այսինքն.

Մենք ընդգծում ենք, որ մատրիցների գումարումը (հանումը) և բազմապատկումը սահմանվում են ոչ մի երկու մատրիցների համար, այլ միայն նրանց համար, որոնք բավարարում են դրանց չափման որոշակի պահանջները: Մատրիցների գումարը կամ տարբերությունը գտնելու համար դրանց չափը պետք է նույնը լինի։ Մատրիցների արտադրյալը գտնելու համար դրանցից առաջինի սյունակների թիվը պետք է համապատասխանի երկրորդի տողերի թվին (այդպիսի մատրիցները կոչվում են. համաձայնեցին).

Դիտարկենք դիտարկված գործողությունների որոշ հատկություններ, որոնք նման են թվերի վրա կատարվող գործողությունների հատկություններին։

1) գումարման կոմուտատիվ (տեղաշարժման) օրենքը.

A + B = B + A

2) ավելացման ասոցիատիվ (ասոցիատիվ) օրենքը.

(A + B) + C = A + (B + C)

3) գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ (բաշխիչ) օրենքը.

(A + B) = A + B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) բազմապատկման ասոցիատիվ (ասոցիատիվ) օրենքը.

 (AB) \u003d ( A) B \u003d A ( B)

A(BC) = (AB)C

Մենք շեշտում ենք, որ ընդհանուր դեպքում մատրիցների կոմուտատիվ բազմապատկման օրենքը ՉԻ բավարարվում, այսինքն. AB BA. Ավելին, AB-ի առկայությունը պարտադիր չէ, որ ենթադրի BA-ի գոյություն (մատրիցաները կարող են չհամապատասխանել, և այդ դեպքում դրանց արտադրյալը ընդհանրապես սահմանված չէ, ինչպես վերը նշված մատրիցային բազմապատկման օրինակում): Բայց նույնիսկ եթե երկու ստեղծագործություններն էլ գոյություն ունեն, դրանք սովորաբար տարբեր են:

Կոնկրետ դեպքում, ցանկացած քառակուսի A մատրիցի և նույն կարգի նույնական մատրիցի արտադրյալն ունի կոմուտատիվ օրենք, և այս արտադրյալը հավասար է A-ին (այստեղ նույնական մատրիցով բազմապատկումը նման է թվերի բազմապատկման ժամանակ մեկով բազմապատկմանը).

AE = EA = Ա

Իսկապես,

Եկեք ընդգծենք ևս մեկ տարբերություն մատրիցային բազմապատկման և թվերի բազմապատկման միջև: Թվերի արտադրյալը կարող է հավասար լինել զրոյի, եթե և միայն եթե դրանցից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի։ Սա չի կարելի ասել մատրիցների մասին, այսինքն. Ոչ զրոյական մատրիցների արտադրյալը կարող է հավասար լինել զրոյական մատրիցին: Օրինակ,

Եկեք շարունակենք դիտարկել մատրիցների վրա կատարվող գործողությունները:

4. Մատրիցային փոխադրումանցումային գործողություն է mxn չափի A մատրիցից nxm չափի A T մատրիցին, որում տողերն ու սյունակները փոխանակվում են.

%.

Փոխադրման գործողության հատկությունները.

1) Սահմանումից բխում է, որ եթե մատրիցը փոխադրվի երկու անգամ, մենք կվերադառնանք սկզբնական մատրիցին. (A T) T = A:

2) Տրանսպոզիցիոն նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործակիցը՝ (А) T =А T .

3) Տրանսպոզիցիան բաշխիչ է մատրիցային բազմապատկման և գումարման նկատմամբ. (AB) T =B T A T և (A+B) T =B T +A T:

Այս ուղեցույցը կօգնի ձեզ սովորել, թե ինչպես դա անել մատրիցային գործողություններմատրիցների գումարում (հանում), մատրիցի փոխադրում, մատրիցների բազմապատկում, մատրիցի հակադարձի հայտնաբերում։ Ամբողջ նյութը ներկայացված է պարզ և մատչելի ձևով, տրված են համապատասխան օրինակներ, այնպես որ նույնիսկ անպատրաստ մարդը կարող է սովորել, թե ինչպես կատարել գործողություններ մատրիցներով: Ինքնավերահսկման և ինքնաստուգման համար կարող եք անվճար ներբեռնել մատրիցային հաշվիչը >>>։

Կփորձեմ նվազագույնի հասցնել տեսական հաշվարկները, տեղ-տեղ հնարավոր են «մատների վրա» բացատրություններ և ոչ գիտական ​​տերմինների օգտագործում։ Կուռ տեսության սիրահարներ, խնդրում եմ քննադատությամբ չզբաղվեք, մեր խնդիրն է սովորել, թե ինչպես աշխատել մատրիցների հետ.

Թեմայի (ով է «վառվում») ԳԵՐ արագ պատրաստման համար գործում է ինտենսիվ pdf-դասընթաց. Մատրիցա, որոշիչ և օֆսեթ:

Մատրիցը որոշների ուղղանկյուն աղյուսակ է տարրեր. Ինչպես տարրերմենք կդիտարկենք թվերը, այսինքն՝ թվային մատրիցները։ ՏԱՐՐտերմին է. Ցանկալի է տերմինը հիշել, այն հաճախ է առաջանալու, պատահական չէ, որ այն ընդգծելու համար օգտագործել եմ համարձակ:

Նշանակում:մատրիցները սովորաբար նշվում են լատինատառ մեծատառերով

Օրինակ:Դիտարկենք երկու-երեք մատրիցա.

Այս մատրիցը բաղկացած է վեցից տարրեր:

Մատրիցի ներսում գտնվող բոլոր թվերը (տարրերը) գոյություն ունեն ինքնուրույն, այսինքն, որևէ հանման մասին խոսք չկա.

Դա պարզապես թվերի աղյուսակ է (հավաքածու):

Մենք էլ կհամաձայնվենք մի վերադասավորիրհամարը, եթե այլ բան նշված չէ բացատրության մեջ: Յուրաքանչյուր համար ունի իր գտնվելու վայրը, և դուք չեք կարող դրանք խառնել:

Քննարկվող մատրիցն ունի երկու տող.

և երեք սյունակ.

ՍՏԱՆԴԱՐՏերբ խոսում ենք մատրիցայի չափերի մասին, ապա սկզբումնշեք տողերի քանակը, և միայն դրանից հետո՝ սյունակների քանակը: Մենք հենց նոր բաժանեցինք երկու-երեք մատրիցան:

Եթե ​​մատրիցայի տողերի և սյունակների թիվը նույնն է, ապա մատրիցը կոչվում է. քառակուսի, Օրինակ: երեքից երեք մատրիցա է:

Եթե ​​մատրիցն ունի մեկ սյունակ կամ մեկ տող, ապա այդպիսի մատրիցներ նույնպես կոչվում են վեկտորներ.

Փաստորեն, մատրիցա հասկացությունը մեզ հայտնի է դեռ դպրոցական տարիներից, դիտարկենք, օրինակ, կետ «x» և «y» կոորդինատներով. Ըստ էության, կետի կոորդինատները գրվում են մեկ առ երկու մատրիցով: Ի դեպ, ահա ձեզ համար մի օրինակ, թե ինչու է կարևոր թվերի հերթականությունը. և դրանք հարթության երկու բոլորովին տարբեր կետեր են:

Հիմա անցնենք ուսումնասիրությանը։ մատրիցային գործողություններ:

1) Գործողություն առաջին. Մատրիցից մինուսի հեռացում (մինուսի ներմուծում մատրիցայի մեջ).

Վերադարձ դեպի մեր մատրիցան . Ինչպես հավանաբար նկատել եք, այս մատրիցայում չափազանց շատ բացասական թվեր կան: Սա շատ անհարմար է մատրիցով տարբեր գործողություններ կատարելու առումով, անհարմար է այդքան մինուսներ գրելը, իսկ դիզայնում ուղղակի տգեղ է երևում։

Եկեք տեղափոխենք մինուսը մատրիցից դուրս՝ փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Զրոյին, ինչպես հասկանում եք, նշանը չի փոխվում, զրոյական - այն նույնպես զրո է Աֆրիկայում:

Հակադարձ օրինակ. . Տգեղ տեսք ունի:

Մատրիցի մեջ մինուս ենք ներմուծում` փոխելով մատրիցի յուրաքանչյուր տարրի նշանը:

Դե, դա շատ ավելի գեղեցիկ է: Եվ, որ ամենակարեւորն է, ԱՎԵԼԻ ՀԵՇՏ կլինի մատրիցով ցանկացած գործողություն կատարելը։ Քանի որ կա այսպիսի մաթեմատիկական ժողովրդական նշան. որքան շատ մինուսներ, այնքան ավելի շատ շփոթություն և սխալներ.

2) Գործողություն երկրորդ. Մատրիցը թվով բազմապատկելը.

Օրինակ:

Դա պարզ է, մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է բոլորինբազմապատկել մատրիցային տարրը տրված թվով. Այս դեպքում երեք.

Մեկ այլ օգտակար օրինակ.

- մատրիցի բազմապատկումը կոտորակի վրա

Եկեք նախ նայենք, թե ինչ անել ԿԱՐԻՔ ՉԿԱ:

ԱՆՀՐԱԺԵՇՏ ՉԻ ՄԱՏՐԻՑԻ մեջ կոտորակի մուտքագրումը, նախ՝ դա միայն դժվարացնում է մատրիցով հետագա գործողությունները, և երկրորդ՝ ուսուցչի համար դժվարացնում է լուծումը ստուգելը (հատկապես եթե. - առաջադրանքի վերջնական պատասխանը):

Եվ հատկապես, ԿԱՐԻՔ ՉԿԱմատրիցայի յուրաքանչյուր տարր բաժանեք մինուս յոթի.

Հոդվածից Մաթեմատիկա կեղծիքների համար կամ որտեղից սկսել, մենք հիշում ենք, որ բարձրագույն մաթեմատիկայում ստորակետ ունեցող տասնորդական կոտորակները ամեն կերպ փորձում են խուսափել։

Միակ բանը ցանկալի էԱյս օրինակում անելը մատրիցայի մեջ մինուս մտցնելն է.

Բայց եթե ԲՈԼՈՐմատրիցային տարրերը բաժանվել են 7-ի առանց հետքի, ապա հնարավոր կլիներ (և անհրաժեշտ!) բաժանել։

Օրինակ:

Այս դեպքում դուք կարող եք ԱՆՀՐԱԺԵՇՏբազմապատկել մատրիցայի բոլոր տարրերը, քանի որ մատրիցայի բոլոր թվերը բաժանվում են 2-ի առանց հետքի.

Նշում. բարձրագույն մաթեմատիկայի տեսության մեջ չկա դպրոցական «բաժանում» հասկացություն։ «Սա բաժանվում է սրանով» արտահայտության փոխարեն միշտ կարող եք ասել «սա բազմապատկվում է կոտորակի վրա»: Այսինքն՝ բաժանումը բազմապատկման հատուկ դեպք է։

3) Գործողություն երրորդ. Մատրիցային փոխադրում.

Մատրիցը փոխադրելու համար հարկավոր է դրա տողերը գրել փոխադրված մատրիցայի սյունակներում:

Օրինակ:

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Այստեղ կա միայն մեկ տող և, ըստ կանոնի, սյունակում պետք է գրվի.

փոխադրված մատրիցն է:

Փոխանցված մատրիցը սովորաբար նշվում է վերևի աջ կողմում գտնվող վերնագրով կամ հարվածով:

Քայլ առ քայլ օրինակ.

Տրանսպոզիցիոն մատրիցա

Նախ, մենք առաջին տողը վերագրում ենք առաջին սյունակում.

Այնուհետև մենք վերագրում ենք երկրորդ տողը երկրորդ սյունակում.

Եվ վերջապես, մենք երրորդ տողը վերագրում ենք երրորդ սյունակում.

Պատրաստ. Կոպիտ ասած, փոխադրել նշանակում է մատրիցան իր կողմը շրջել։

4) Գործողություն չորրորդ. Մատրիցների գումարը (տարբերությունը):.

Մատրիցների գումարը պարզ գործողություն է։
ՈՉ ԲՈԼՈՐ ՄԱՏՐԻՑՆԵՐԸ ԿԱՐԵԼԻ Է ԾԱՔԵԼ: Մատրիցների գումարում (հանում) կատարելու համար անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն ՆՈՒՅՆ ՉԱՓԻ։

Օրինակ, եթե տրված է երկու-երկու մատրիցա, ապա այն կարող է ավելացվել միայն երկու-երկու մատրիցային և ոչ մի այլ:

Օրինակ:

Ավելացնել մատրիցներ և

Մատրիցներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց համապատասխան տարրերը:

Մատրիցների տարբերության համար կանոնը նման է. անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան տարրերի տարբերությունը.

Օրինակ:

Գտեք մատրիցների տարբերությունը ,

Իսկ ինչպե՞ս ավելի հեշտ լուծել այս օրինակը՝ չշփոթվելու համար։ Ցանկալի է ազատվել ավելորդ մինուսներից, դրա համար մատրիցին մինուս կավելացնենք.

Նշում. բարձրագույն մաթեմատիկայի տեսության մեջ չկա դպրոցական «հանում» հասկացություն։ «Սրանից հանիր սա» արտահայտության փոխարեն միշտ կարող ես ասել «սրան բացասական թիվ ավելացրու»։ Այսինքն՝ հանումը գումարման հատուկ դեպք է։

5) Գործողություն հինգ. Մատրիցային բազմապատկում.

Ի՞նչ մատրիցներ կարելի է բազմապատկել:

Որպեսզի մատրիցը բազմապատկվի մատրիցով, այնպես որ մատրիցայի սյունակների թիվը հավասար լինի մատրիցայի տողերի թվին.

Օրինակ:
Հնարավո՞ր է մատրիցը բազմապատկել մատրիցով:

Այսպիսով, դուք կարող եք բազմապատկել մատրիցայի տվյալները:

Բայց եթե մատրիցները վերադասավորվեն, ապա այս դեպքում բազմապատկումն այլևս հնարավոր չէ:

Հետևաբար, բազմապատկումն անհնար է.

Հազվադեպ չեն հնարքներով առաջադրանքները, երբ ուսանողին խնդրում են բազմապատկել մատրիցներ, որոնց բազմապատկումն ակնհայտորեն անհնար է։

Հարկ է նշել, որ որոշ դեպքերում հնարավոր է բազմապատկել մատրիցները երկու եղանակով։
Օրինակ, մատրիցների համար և՛ բազմապատկելը, և՛ բազմապատկումը հնարավոր են

Այսպիսով, առցանց մատրիցներ լուծելու ծառայություններ.

Matrix ծառայությունը թույլ է տալիս կատարել մատրիցների տարրական փոխակերպումներ։
Եթե ​​դուք ունեք ավելի բարդ փոխակերպման խնդիր, ապա այս ծառայությունը պետք է օգտագործվի որպես կոնստրուկտոր:

Օրինակ. Մատրիցային տվյալներ Աև Բ, պետք է գտնել Գ = Ա -1 * Բ + ԲՏ ,

1. Նախ պետք է գտնել հակադարձ մատրիցաԱ1 = Ա-1, օգտագործելով հակադարձ մատրիցը գտնելու ծառայությունը;
2. Հետագայում, մատրիցը գտնելուց հետո Ա1Արա մատրիցային բազմապատկումA2 = Ա1 * Բ, օգտագործելով մատրիցային բազմապատկման ծառայությունը;
3. Եկեք անենք դա մատրիցային փոխադրումA3 = Բ T (տրանսպոզիցիոն մատրիցա գտնելու ծառայություն);
4. Եվ վերջինը `գտեք մատրիցների գումարը Հետ = A2 + A3(մատրիցների գումարի հաշվարկման ծառայություն) - և մենք պատասխան ենք ստանում առավել մանրամասն լուծումով;

Մատրիցների արտադրանք

Սա առցանց ծառայություն է երկու քայլ:

• Մուտքագրեք առաջին գործոնի մատրիցը Ա
• Մուտքագրեք երկրորդ գործոնի մատրիցը կամ սյունակի վեկտորը Բ

Մատրիցի բազմապատկումը վեկտորով

Մատրիցի բազմապատկումը վեկտորով կարելի է գտնել ծառայության միջոցով Մատրիցային բազմապատկում
(Առաջին գործոնը կլինի տրված մատրիցը, երկրորդ գործոնը կլինի տվյալ վեկտորի տարրերից բաղկացած սյունակը)

Սա առցանց ծառայություն է երկու քայլ:

• Մուտքագրեք մատրիցը Ա, որի համար պետք է գտնել հակադարձ մատրիցը
• Ստացեք պատասխան հակադարձ մատրիցը գտնելու մանրամասն լուծումով

Մատրիցային որոշիչ

Սա առցանց ծառայություն է մեկ քայլ:

• Մուտքագրեք մատրիցը Ա, որի համար պետք է գտնել մատրիցայի որոշիչը

Մատրիցային փոխադրում

Այստեղ դուք կարող եք հետևել մատրիցային տրանսպոզիցիոն ալգորիթմին և սովորել, թե ինչպես ինքներդ լուծել նման խնդիրները:
Սա առցանց ծառայություն է մեկ քայլ:

• Մուտքագրեք մատրիցը Ա, որը պետք է փոխադրվի

Մատրիցային դասակարգում

Սա առցանց ծառայություն է մեկ քայլ:

• Մուտքագրեք մատրիցը Ա, որի համար անհրաժեշտ է գտնել կոչումը

Մատրիցային սեփական արժեքներ և մատրիցային սեփական վեկտորներ

Սա առցանց ծառայություն է մեկ քայլ:

• Մուտքագրեք մատրիցը Ա, որի համար անհրաժեշտ է գտնել սեփական վեկտորներ և սեփական արժեքներ (սեփական արժեքներ)

Մատրիցայի աստիճանականացում

Սա առցանց ծառայություն է երկու քայլ:

• Մուտքագրեք մատրիցը Ա, որը կբարձրացվի իշխանության
• Մուտքագրեք ամբողջ թիվ ք- աստիճան