Pyramidi. Katkaistu pyramidi

Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka yksi pinta on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (Kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .

Sivujousi Pyramidiksi kutsutaan sivupinnan sitä puolta, joka ei kuulu pohjaan Korkeus pyramidi on etäisyys sen huipulta pohjan tasoon. Kaikki kylkiluut oikea pyramidi ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Huipusta vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta kutsutaan apoteema . diagonaalinen leikkaus Pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Sivupinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaksi. alueella koko pinta on kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summa.

Lauseet

1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskelle lähellä kantaa.

2. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu projisoidaan rajatun ympyrän keskelle lähellä kantaa.

3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat samalla tavalla kalteva pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi kaava on oikea:

Missä V- tilavuus;

S pää- peruspinta-ala;

H on pyramidin korkeus.

Säännölliselle pyramidille seuraavat kaavat ovat tosia:

Missä s- pohjan kehä;

h a- apoteemi;

H- korkeus;

S täynnä

S puoli

S pää- peruspinta-ala;

V on säännöllisen pyramidin tilavuus.

katkaistu pyramidi kutsutaan pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja leikkaustason väliin pyramidin pohjan suuntaisesti (kuva 17). Oikea katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on suljettu pohjan ja pyramidin pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Säätiöt katkaistu pyramidi - samanlaisia ​​polygoneja. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus Katkaistua pyramidia kutsutaan etäisyydeksi sen kantojen välillä. Diagonaalinen Katkaistu pyramidi on segmentti, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. diagonaalinen leikkaus Katkaistun pyramidin osaa kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu samaan pintaan.

Katkaistun pyramidin kaavat ovat voimassa:

(4)

Missä S 1 , S 2 - ylä- ja alapohjan alueet;

S täynnä on kokonaispinta-ala;

S puoli on sivuttainen pinta-ala;

H- korkeus;

V on katkaistun pyramidin tilavuus.

Tavalliselle katkaistulle pyramidille seuraava kaava on totta:

Missä s 1 , s 2 - pohjakehät;

h a- säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.

Esimerkki 1 Oikealla kolmion muotoinen pyramidi dihedraalinen kulma pohjassa on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).

Pyramidi on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että kanta on tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välissä: ts. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (rajoitetun ympyrän keskipiste ja kolmion piirretty ympyrä ABC). Sivurivan kaltevuuskulma (esim SB) on kulma itse reunan ja sen perustason projektion välillä. Kylkiluun SB tämä kulma on kulma SBD. Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN Ja OB. Olkoon segmentin pituus BD on 3 A. piste NOIN Jana BD on jaettu osiin: ja mistä löydämme NIIN: Meiltä löydät:

Vastaus:

Esimerkki 2 Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.

Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Kantojen pinta-alojen löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Tämä tarkoittaa kantojen pinta-alaa ja korvaamalla kaikki tiedot kaavaan laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:

Vastaus: 112 cm3.

Esimerkki 3 Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka kantat ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).

Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikas. Puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi sinun on tiedettävä pohjat ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Etsi se mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D- kohtisuoraan A 1 päälle AC. A 1 E\u003d 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytämiseen DE teemme lisäpiirustuksen, jossa kuvaamme ylhäältä katsottuna (kuva 20). Piste NOIN- ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK on piirretyn ympyrän säde ja OM on piirretyn ympyrän säde:

MK = DE.

Pythagoraan lauseen mukaan

Kasvojen sivualue:

Vastaus:

Esimerkki 4 Pyramidin pohjassa on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat A Ja b (a> b). Jokainen sivupinta muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin pyramidin pohjan taso j. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD on yhtä suuri kuin pinta-alojen ja puolisuunnikkaan pinta-alan summa ABCD.

Käytämme väitettä, että jos kaikki pyramidin pinnat ovat yhtä kallistettuja kannan tasoon nähden, niin kärki projisoidaan kantaan piirretyn ympyrän keskelle. Piste NOIN- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD perustasolle. Tasaisen hahmon ortogonaalisen projektion alaa koskevan lauseen mukaan saamme:

Samalla tavalla se tarkoittaa Siten ongelma rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD. Piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Piste NOIN on puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.

Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan, niin Pythagoraan lauseen mukaan meillä on

Määritelmä

Pyramidi on monikulmio, joka koostuu monikulmioista \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmioista, joilla on yhteinen kärki \(P\) (ei sijaitse monikulmion tasossa) ja vastakkaiset sivut, jotka ovat yhtäpitäviä monikulmion sivujen kanssa. monikulmio.
Nimitys: \(PA_1A_2...A_n\) .
Esimerkki: viisikulmainen pyramidi \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Kolmiot \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) jne. nimeltään sivupinnat pyramidit, segmentit \(PA_1, PA_2\) jne. - kylkiluut, monikulmio \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – perusta, piste \(P\) – kokous.

Korkeus Pyramidit ovat kohtisuora, joka on pudotettu pyramidin huipulta pohjan tasoon.

Pyramidia, jonka pohjassa on kolmio, kutsutaan tetraedri.

Pyramidi on ns oikea, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja jokin seuraavista ehdoista täyttyy:

\((a)\) pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret;

\((b)\) pyramidin korkeus kulkee rajatun ympyrän keskustan läpi lähellä kantaa;

\(c)\) sivurivat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa.

\(d)\) sivupinnat ovat kallistettuina perustasoon nähden samassa kulmassa.

säännöllinen tetraedri on kolmiopyramidi, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita.

Lause

Ehdot \((a), (b), (c), (d)\) ovat vastaavat.

Todiste

Piirrä pyramidin korkeus \(PH\) . Olkoon \(\alpha\) pyramidin kannan taso.

1) Osoitetaan, että \((a)\) tarkoittaa \((b)\) . Olkoon \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Koska \(PH\perp \alpha\) , niin \(PH\) on kohtisuorassa mihin tahansa tässä tasossa olevaan suoraan nähden, joten kolmiot ovat suorakulmaisia. Nämä kolmiot ovat siis yhtä suuret yhteisessä haarassa \(PH\) ja hypotenuusassa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Joten \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tämä tarkoittaa, että pisteet \(A_1, A_2, ..., A_n\) ovat samalla etäisyydellä pisteestä \(H\) , joten ne sijaitsevat samalla ympyrällä, jonka säde on \(A_1H\) . Tämä ympyrä on määritelmän mukaan rajattu polygonin \(A_1A_2...A_n\) ympärille.

2) Osoitetaan, että \((b)\) tarkoittaa \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) suorakaiteen muotoinen ja yhtä suuri kahdessa jalassa. Siksi niiden kulmat ovat myös yhtä suuret, joten \(\kulma PA_1H=\kulma PA_2H=...=\kulma PA_nH\).

3) Osoitetaan, että \((c)\) tarkoittaa \((a)\) .

Samanlainen kuin ensimmäinen piste, kolmiot \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) suorakaiteen muotoinen ja jalkaa pitkin ja terävä kulma. Tämä tarkoittaa, että niiden hypotenuusat ovat myös yhtä suuret, eli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Osoitetaan, että \((b)\) tarkoittaa \((d)\) .

Koska säännöllisessä monikulmiossa rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden keskipisteet ovat samat (yleensä tätä pistettä kutsutaan säännöllisen monikulmion keskipisteeksi), jolloin \(H\) on piirretyn ympyrän keskipiste. Piirretään kohtisuorat pisteestä \(H\) kannan sivuille: \(HK_1, HK_2\) jne. Nämä ovat piirretyn ympyrän säteet (määritelmän mukaan). Sitten TTP:n mukaan (\(PH\) on kohtisuora tasoon nähden, \(HK_1, HK_2\) jne. ovat projektioita, jotka ovat kohtisuorassa sivuihin) vino \(PK_1, PK_2\) jne. kohtisuorassa sivuihin \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastaavasti. Siis määritelmän mukaan \(\kulma PK_1H, \kulma PK_2H\) yhtä suuri kuin sivupintojen ja pohjan väliset kulmat. Koska kolmiot \(PK_1H, PK_2H, ...\) ovat yhtä suuret (suorassa kulmassa kahdella jalalla), sitten kulmat \(\kulma PK_1H, \kulma PK_2H, ...\) ovat tasa-arvoisia.

5) Osoitetaan, että \((d)\) tarkoittaa \((b)\) .

Neljännen pisteen tapaan kolmiot \(PK_1H, PK_2H, ...\) ovat yhtä suuret (suorakulmaisina jalkaa pitkin ja teräväkulmaisina), mikä tarkoittaa, että segmentit \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ovat tasa-arvoisia. Siten määritelmän mukaan \(H\) on kantaan kirjoitetun ympyrän keskipiste. Mutta siitä lähtien säännöllisissä monikulmioissa piirretyn ja rajatun ympyrän keskipisteet ovat samat, jolloin \(H\) on rajatun ympyrän keskipiste. Chtd.

Seuraus

Säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä

Säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeutta, joka on vedetty sen huipulta, kutsutaan apoteema.
Säännöllisen pyramidin kaikkien sivupintojen apoteemit ovat keskenään yhtä suuret ja ovat myös mediaaneja ja puolittajia.

Tärkeät muistiinpanot

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus putoaa kannan korkeuksien (tai puolittajien tai mediaanien) leikkauspisteeseen (kanta on säännöllinen kolmio).

2. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin korkeus putoaa kannan diagonaalien leikkauspisteeseen (kanta on neliö).

3. Oikea korkeus kuusikulmainen pyramidi putoaa kannan diagonaalien leikkauspisteeseen (kanta on säännöllinen kuusikulmio).

4. Pyramidin korkeus on kohtisuorassa mihin tahansa pohjassa olevaan suoraan nähden.

Määritelmä

Pyramidi on ns suorakulmainen jos yksi sen sivureunoista on kohtisuorassa kannan tasoon nähden.

Tärkeät muistiinpanot

1. Suorakaiteen muotoisen pyramidin pohjaan nähden kohtisuorassa oleva reuna on pyramidin korkeus. Eli \(SR\) on korkeus.

2. Koska \(SR\) kohtisuorassa mihin tahansa tyvestä lähtevään viivaan nähden \(\triangle SRM, \triangle SRP\) ovat suorakulmaisia ​​kolmioita.

3. Kolmiot \(\kolmio SRN, \kolmio SRK\) ovat myös suorakaiteen muotoisia.
Toisin sanoen mikä tahansa kolmio, jonka muodostaa tämä reuna ja tämän reunan kärjestä lähtevä diagonaali, joka sijaitsee pohjassa, on suorakulmainen.

\[(\Large(\text(pyramidin tilavuus ja pinta-ala)))\]

Lause

Pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa pyramidin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulosta: \

Seuraukset

Olkoon \(a\) pohjan sivu, \(h\) pyramidin korkeus.

1. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuus on \(V_(\teksti(oikea kolmio pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin tilavuus on \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Säännöllisen tetraedrin tilavuus on \(V_(\text(oikea tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Lause

Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta.

\[(\Large(\teksti(Katkaistu pyramidi)))\]

Määritelmä

Tarkastellaan mielivaltaista pyramidia \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Piirretään taso, joka on yhdensuuntainen pyramidin pohjan kanssa tietyn pisteen läpi, joka sijaitsee pyramidin sivureunassa. Tämä taso jakaa pyramidin kahdeksi monitahoiseksi, joista toinen on pyramidi (\(PB_1B_2...B_n\) ) ja toinen on ns. katkaistu pyramidi(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Katkaistulla pyramidilla on kaksi kantaa - polygonit \(A_1A_2...A_n\) ja \(B_1B_2...B_n\) , jotka ovat samankaltaisia ​​keskenään.

Katkaistun pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty jostakin ylemmän kannan pisteestä alemman pohjan tasoon.

Tärkeät muistiinpanot

1. Katkaistun pyramidin kaikki sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia.

2. Jana, joka yhdistää säännöllisen katkaistun pyramidin (eli säännöllisen pyramidin poikkileikkauksella saadun pyramidin) kantojen keskipisteet on korkeus.

Tässä on koottu perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa tenttiin valmistautuessa.

Harkitse tasoa, monikulmiota makaa siinä ja piste S, joka ei makaa siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen otsikko kolmion muotoinen pyramidi - tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon.

Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Säännöllisessä pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunojen reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P korkeuspohjalla, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiasta: työ pyramidien kanssa on 80-prosenttisesti rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Yksinkertaistaakseen viittauksia näihin kolmioihin matematiikan opettajan on helpompi nimetä niistä ensimmäinen apoteeminen, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuskaava:
1) , missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinta-ala.
3) , jossa MN on minkä tahansa kahden risteävän reunan etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuspohjan omaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa pyramidin pohjassa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kallistettuja pohjaa kohti
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan ohjaajan kommentti: Huomaa, että kaikki kohteet ovat yksi yhteistä omaisuutta: tavalla tai toisella sivupinnat osallistuvat kaikkialle (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta kätevämmän muotoilun muistamiseen: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää, kun osoitetaan, että kaikki apoteemiset kolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin rajatun ympyrän keskipiste lähellä pyramidin kantaa, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjassa
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistuneet korkeuteen

Jatkamme matematiikan tenttiin sisältyvien tehtävien tarkastelua. Olemme jo tutkineet tehtäviä, joissa ehto on annettu ja vaaditaan kahden annetun pisteen välisen etäisyyden tai kulman löytäminen.

Pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmio, muut pinnat ovat kolmioita ja niillä on yhteinen kärki.

Säännöllinen pyramidi on pyramidi, jonka pohjalla on säännöllinen monikulmio ja jonka huippu on projisoitu pohjan keskelle.

Säännöllinen nelikulmainen pyramidi - kanta on neliö Pyramidin huippu heijastuu pohjan (neliön) lävistäjien leikkauspisteeseen.

ML - apothem
∠MLO - kaksitahoinen kulma pyramidin pohjassa
∠MCO - pyramidin sivureunan ja pohjan tason välinen kulma

Tässä artikkelissa tarkastelemme tehtäviä oikean pyramidin ratkaisemiseksi. On löydettävä mikä tahansa elementti, sivupinta-ala, tilavuus, korkeus. Tietenkin sinun on tiedettävä Pythagoran lause, kaava pyramidin sivupinnan pinta-alalle, kaava pyramidin tilavuuden löytämiseksi.

Artikkelissa « » esitetään kaavat, jotka ovat välttämättömiä stereometrian ongelmien ratkaisemiseksi. Tehtävät ovat siis:

SABCD piste O- pohjakeskusS kärki, NIIN = 51, AC= 136. Etsi sivureunaSC.

Tässä tapauksessa pohja on neliö. Tämä tarkoittaa, että lävistäjät AC ja BD ovat yhtä suuret, ne leikkaavat ja puolittavat leikkauspisteessä. Huomaa, että tavallisessa pyramidissa sen huipulta laskettu korkeus kulkee pyramidin pohjan keskustan läpi. Joten SO on korkeus ja kolmioSOCsuorakulmainen. Sitten Pythagoraan lauseella:

Kuinka ottaa suuren luvun juuret.

Vastaus: 85

Päätä itse:

Oikealla nelikulmainen pyramidi SABCD piste O- pohjakeskus S kärki, NIIN = 4, AC= 6. Etsi sivureuna SC.

Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD piste O- pohjakeskus S kärki, SC = 5, AC= 6. Laske janan pituus NIIN.

Tavallisessa nelikulmaisessa pyramidissa SABCD piste O- pohjakeskus S kärki, NIIN = 4, SC= 5. Etsi janan pituus AC.

SABC R- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että AB= 7 ja SR= 16. Laske sivupinta-ala.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet pohjan kehän ja apoteemin tulosta (apoteemi on säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen ylhäältä vedettynä):

Tai voit sanoa näin: pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmen sivupinnan pinta-alojen summa. Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinnat ovat kolmioita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Tässä tapauksessa:

Vastaus: 168

Päätä itse:

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC R- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että AB= 1 ja SR= 2. Etsi sivupinnan pinta-ala.

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC R- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että AB= 1, ja sivupinta-ala on 3. Laske janan pituus SR.

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC L- kylkiluiden keskiosa eKr, S- ylhäältä. On tiedossa, että SL= 2, ja sivupinta-ala on 3. Laske janan pituus AB.

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC M. Kolmion pinta-ala ABC on 25, pyramidin tilavuus on 100. Selvitä janan pituus NEITI.

Pyramidin kanta on tasasivuinen kolmio. Siksi Mon pohjan keskus jaNEITI- säännöllisen pyramidin korkeusSABC. Pyramidin tilavuus SABC on yhtä kuin: tarkasta ratkaisu

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC kantamediaanit leikkaavat pisteessä M. Kolmion pinta-ala ABC on 3, NEITI= 1. Etsi pyramidin tilavuus.

Tavallisessa kolmiopyramidissa SABC kantamediaanit leikkaavat pisteessä M. Pyramidin tilavuus on 1, NEITI= 1. Etsi kolmion pinta-ala ABC.

Lopetetaan tähän. Kuten näet, tehtävät ratkaistaan ​​yhdessä tai kahdessa vaiheessa. Tulevaisuudessa pohdimme kanssasi muita ongelmia tästä osasta, jossa vallankumouskappaleita annetaan, älä missaa sitä!

Toivon sinulle menestystä!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.