Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus on 6 sivua. Pyramidi

Pyramidit ovat: kolmio, nelikulmainen jne. riippuen siitä, mikä kanta on - kolmio, nelikulmio jne.
Pyramidia kutsutaan oikeaksi (kuva 286b), jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja toiseksi sen korkeus kulkee tämän monikulmion keskipisteen kautta.
Muuten pyramidia kutsutaan epäsäännölliseksi (kuva 286, c). Säännöllisessä pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä suuret toistensa kanssa (kuten kaltevat yhtäläisten projektioiden kanssa). Siksi kaikki säännöllisen pyramidin sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita.
Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin elementtien analyysi ja niiden esitys kompleksipiirustuksessa (kuva 287).

a) Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin monimutkainen piirustus. Pyramidin kanta sijaitsee tasolla P 1 ; pyramidin pohjan kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​projektioiden tason П 2 kanssa.
b) Kanta ABCDEF - kuusikulmio, joka sijaitsee projektioiden tasossa П 1 .
c) Lateral face ASF - kolmio, joka sijaitsee tasossa yleisasennossa.
d) Sivupinta FSE - profiilissa oleva kolmio - ulkoneva taso.
e) Reuna SE on segmentti yleisasemassa.
f) Edge SA - etusegmentti.
g) Pyramidin huippu S on avaruuden piste.
Päällä (Kuva 288 ja Fig. 289) näyttää esimerkkejä peräkkäisistä graafisista operaatioista suoritettaessa monimutkaista piirtämistä ja visuaalisia kuvia (aksonometria) pyramideista.

Annettu:
1. Alusta sijaitsee tasossa P 1.
2. Yksi alustan sivuista on yhdensuuntainen x 12 -akselin kanssa.
I. Integroitu piirustus.
Minä, a. Suunnittelemme pyramidin pohjan - polygonin, tämän ehdon mukaan, joka sijaitsee tasossa П 1 .
Suunnittelemme huippupisteen - avaruudessa sijaitsevan pisteen. Pisteen S korkeus on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus. Pisteen S vaakasuora projektio S 1 on pyramidin kannan projektion keskellä (ehdon mukaan).
Minä, b. Suunnittelemme pyramidin reunat - segmentit; tätä varten yhdistämme kantapisteiden ABCDE suorat projektiot pyramidin S huipun vastaaviin projektioihin. Pyramidin reunojen etuulokkeet S 2 C 2 ja S 2 D 2 on kuvattu katkoviivoilla näkymättöminä, pyramidin pintojen sulkemina (SBA ja SAE).
Minä, c. Pisteen K vaakasuora projektio K 1 sivupinnalla SBA on annettu, sen etuprojektio on löydettävä. Tätä varten piirrämme apulinjan S 1 F 1 pisteiden S 1 ja K 1 läpi, etsimme sen etuprojektion ja määritämme siitä pystysuoralla viestintälinjalla pisteen halutun etuprojektion K 2 paikan. K.
II. Pyramidin pinnan kehitys on litteä hahmo, joka koostuu sivupinnoista - identtisistä tasakylkistä kolmioista, joiden toinen sivu on yhtä suuri kuin pohjan sivu ja kaksi muuta - sivureunoihin ja säännöllisestä monikulmiosta - basso.
Pohjan sivujen luonnolliset mitat paljastuvat sen vaakasuorassa projektiossa. Ulkonemien kylkiluiden luonnollisia mittoja ei paljastettu.
Hypotenuusa S 2 ¯A 2 (kuva 288, 1 , b) suorakulmainen kolmio S 2 O 2 ¯A 2, jossa iso jalka on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus S 2 O 2 ja pieni on yhtä suuri kuin reunan vaakasuora projektio S 1 A 1 on reunan luonnollinen koko pyramidista. Lakaisu tulee rakentaa seuraavassa järjestyksessä:
a) mielivaltaisesta pisteestä S (vertex) piirretään kaari, jonka säde R on yhtä suuri kuin pyramidin reuna;
b) aseta piirretylle kaarelle sivuun viisi jännettä, joiden koko on R 1, joka vastaa pohjan sivua;
c) yhdistä pisteet D, C, B, A, E, D sarjaan keskenään ja pisteeseen S suorilla viivoilla, saadaan viisi tasakylkistä yhtä suuret kolmiot, jotka muodostavat tämän pyramidin sivupinnan kehityksen, leikattu reunaa pitkin SD ;
d) kiinnitämme mihin tahansa pintaan pyramidin pohjan - viisikulmion, käyttämällä kolmiomittausmenetelmää, esimerkiksi pintaan DSE.
Piste K siirretään pyyhkäisyyn apusuoraa käyttäen vaakaprojektioon otettua kokoa B 1 F 1 ja kylkiluun luonnollisen koon mukaan otettua kokoa A 2 K 2.
III. Pyramidin visuaalinen esitys isometriassa.
III, a. Kuvaamme pyramidin pohjan käyttämällä koordinaatteja (Kuva 288, 1 , a).
Kuvaamme pyramidin huipun käyttämällä koordinaatteja (kuva 288, 1 , a).
III, b. Kuvaamme pyramidin sivureunat yhdistämällä yläosan pohjan yläosaan. Reuna S"D" ja pohjan C"D" ja D"E" sivut on esitetty katkoviivoilla näkymättöminä, ja niitä sulkevat pyramidin C"S"B, B"S"A" pinnat. ja A"S"E".
III, e. Määritämme pyramidin K pinnan pisteen käyttämällä mittoja y F ja x K. Pyramidin dimetrisen kuvan kohdalla tulee noudattaa samaa järjestystä.
Kuva epäsäännöllisestä kolmiomaisesta pyramidista.

Annettu:
1. Alusta sijaitsee tasossa P 1.
2. Pohjan sivu BC on kohtisuorassa X-akselia vastaan.
I. Integroitu piirustus
Minä, a. Suunnittelemme pyramidin pohjan - tasakylkisen kolmion, joka sijaitsee tasossa P 1, ja yläosan S - avaruudessa sijaitsevan pisteen, jonka korkeus on yhtä suuri kuin pyramidin korkeus.
Minä, b. Suunnittelemme pyramidin - segmenttien reunat, joille yhdistämme pohjan kärkien samannimiset projektiot suorilla viivoilla pyramidin huipun samannimistisiin projektioihin. Kuvaamme lentokoneen pohjan sivun vaakasuoran projektion katkoviivalla, näkymätönnä, jonka sulkevat kaksi pyramidin ABS, ACS pintaa.
Minä, c. Sivupinnan etuprojektiossa A 2 C 2 S 2 on annettu pisteen D projektio D 2. Sen vaakaprojektio on löydettävä. Tätä varten piirrämme pisteen D 2 kautta apusuoran, joka on yhdensuuntainen x 12 -akselin kanssa - vaakasuuntaisen etuprojektion, sitten löydämme sen vaakaprojektion ja määritämme sen sijainnin pystysuoralla viestintälinjalla. haluttu pisteen D vaakaprojektio D 1.
II. Pyramidilakaisun rakentaminen.
Pohjan sivujen luonnolliset mitat paljastuvat vaakasuorassa projektiossa. Kylkiluun AS luonnollinen koko paljastuu etuprojektiossa; ulokkeissa ei ole ripojen BS ja CS luonnollista kokoa, näiden ripojen koko selviää kiertämällä niitä i-akselin ympäri, kohtisuorassa pyramidin S huipun läpi kulkevaa tasoa P 1 vastaan. Uusi frontaaliprojektio ¯C 2 S 2 on reunan CS luonnollinen arvo.
Pyramidin pinnan kehityksen rakentamisjärjestys:
a) piirrä tasakylkinen kolmio - pinta CSB, jonka kanta on yhtä suuri kuin pyramidin CB pohjan sivu, ja sivut- kylkiluun luonnollinen koko SC;
b) lisäämme kaksi kolmiota konstruoidun kolmion sivuille SC ja SB - pyramidin CSA ja BSA pinnat ja rakennetun kolmion kantaan CB - CBA-pyramidin kantaan, jolloin saadaan täydellinen tämän pyramidin pinnan avautuminen.
Piste D siirretään kehitykseen seuraavassa järjestyksessä: piirrä ensin vaakasuora viiva ASC-sivupinnan kehitykseen käyttämällä R 1 -ulottuvuutta ja määritä sitten pisteen D sijainti vaakaviivalla R:n avulla. 2-ulotteinen.
III. Visuaalinen esitys pyramidista ja frontaalista dimetrisestä projektiosta
III, a. Kuvaamme pyramidin kantaa A "B" C ja huippua S käyttämällä koordinaatteja (

Tilakuvioiden tilavuuksien laskenta on yksi stereometrian tärkeistä tehtävistä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kysymystä tällaisen monitahoisen tilavuuden määrittämisestä pyramidiksi ja annamme myös säännöllisen kuusikulmaisen.

Pyramidi kuusikulmainen

Aluksi pohditaan, mikä luku on, jota käsitellään artikkelissa.

Olkaamme mielivaltainen kuusikulmio, jonka sivut eivät välttämättä ole yhtä suuret toistensa kanssa. Oletetaan myös, että olemme valinneet avaruuden pisteen, joka ei ole kuusikulmion tasossa. Yhdistämällä kaikki jälkimmäisen kulmat valittuun pisteeseen, saamme pyramidin. Alla olevassa kuvassa näkyy kaksi erilaista pyramidia, joissa on kuusikulmainen kanta.

Voidaan nähdä, että kuusikulmion lisäksi kuvio koostuu kuudesta kolmiosta, joiden liitoskohtaa kutsutaan kärjeksi. Kuvattujen pyramidien ero on siinä, että oikean pyramidin korkeus h ei leikkaa kuusikulmaista kantaa sen geometrisessa keskipisteessä, kun taas vasemman hahmon korkeus putoaa täsmälleen tähän keskustaan. Tämän kriteerin ansiosta vasenta pyramidia kutsuttiin suoraksi ja oikeaa kaltevaksi.

Koska kuvan vasemman hahmon pohja muodostuu kuusikulmiosta, jonka sivut ja kulmat ovat yhtä suuret, sitä kutsutaan oikeaksi. Artikkelissa puhumme vain tästä pyramidista.

Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi käy seuraava kaava:

Tässä h on hahmon korkeuden pituus, S o sen pohjan pinta-ala. Määritetään tämän lausekkeen avulla säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin tilavuus.

Koska tarkasteltava kuvio perustuu tasasivuiseen kuusikulmioon, seuraavaa yleislauseketta n-kulmiolle voidaan käyttää laskemaan sen pinta-ala:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Tässä n on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin monikulmion sivujen (kulmien) lukumäärä, a on sen sivun pituus, kotangenttifunktio lasketaan sopivien taulukoiden avulla.

Kun käytetään lauseketta arvolle n = 6, saadaan:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √ 3/2 * a 2

Nyt on vielä korvattava tämä ilmaus yleinen kaava V-osalle:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Siten tarkasteltavan pyramidin tilavuuden laskemiseksi on tarpeen tietää sen kaksi lineaarista parametria: pohjan sivun pituus ja kuvion korkeus.

Esimerkki ongelmanratkaisusta

Osoitetaan, kuinka saatua lauseketta V 6:lle voidaan käyttää seuraavan ongelman ratkaisemiseen.

Tiedetään, että oikea tilavuus on 100 cm 3. On tarpeen määrittää pohjan sivu ja kuvion korkeus, jos tiedetään, että ne liittyvät toisiinsa seuraavalla yhtäläisyydellä:

Koska tilavuuden kaavaan sisältyy vain a ja h, mikä tahansa näistä parametreista voidaan korvata siihen ilmaistuna toisella. Esimerkiksi korvaamme a, saamme:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Figuurin korkeuden arvon löytämiseksi on otettava tilavuudesta kolmannen asteen juuri, joka vastaa pituuden mittaa. Korvaamme pyramidin tilavuusarvon V 6 tehtävän ehdosta, saamme korkeuden:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Koska pohjan sivu on ongelman ehdon mukaisesti kaksinkertainen löydetty arvoon, saamme sille arvon:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Kuusikulmaisen pyramidin tilavuus löytyy paitsi hahmon korkeuden ja sen pohjan sivun arvon kautta. Sen laskemiseen riittää tietää kaksi erilaista pyramidin lineaarista parametria, esimerkiksi apoteemi ja sivureunan pituus.

Piirustus on ensimmäinen ja erittäin tärkeä askel geometrisen ongelman ratkaisemisessa. Millainen pitäisi olla säännöllisen pyramidin piirros?

Muistetaan ensin rinnakkaiset suunnitteluominaisuudet:

- kuvion yhdensuuntaiset segmentit on kuvattu yhdensuuntaisina segmentteinä;

- yhdensuuntaisten viivojen ja yhden suoran segmenttien pituuksien suhde säilyy.

Piirustus säännöllisestä kolmiopyramidista

Piirrä ensin pohja. Koska ei-rinnakkaisten segmenttien kulmat ja pituuksien suhteet eivät säily rinnakkaisessa suunnittelussa, pyramidin pohjassa olevaa säännöllistä kolmiota edustaa mielivaltainen kolmio.

Tasasivuisen kolmion keskipiste on kolmion mediaanien leikkauspiste. Koska leikkauspisteen mediaanit jaetaan suhteessa 2:1, ylhäältä laskettuna, yhdistämme henkisesti pohjan yläosan vastakkaisen puolen keskelle, jaamme sen suunnilleen kolmeen osaan ja laitamme pisteen 2 osan etäisyys ylhäältä. Piirrä kohtisuora tästä pisteestä ylöspäin. Tämä on pyramidin korkeus. Piirrämme kohtisuoran niin pitkäksi, että sivureuna ei peitä korkeuden kuvaa.

piirustus oikein nelikulmainen pyramidi

Myös säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piirtäminen alkaa alustasta. Koska osien yhdensuuntaisuus säilyy, mutta kulmien suuruudet eivät, pohjan neliö on kuvattu suuntaviivana. toivottavaa terävä kulma tee tästä suunnikkaasta pienempi, niin sivupinnat ovat suurempia. Neliön keskipiste on sen diagonaalien leikkauspiste. Piirrämme diagonaalit, leikkauspisteestä palautamme kohtisuoran. Tämä kohtisuora on pyramidin korkeus. Valitsemme kohtisuoran pituuden niin, että sivureunat eivät sulaudu toisiinsa.

Piirustus säännöllisestä kuusikulmaisesta pyramidista

Koska yhdensuuntainen projektio säilyttää segmenttien yhdensuuntaisuuden, säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin kanta - säännöllinen kuusikulmio - on kuvattu kuusikulmiona, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä suuret. Säännöllisen kuusikulmion keskipiste on sen diagonaalien leikkauspiste. Jotta piirustus ei sotkeutuisi, emme piirrä diagonaaleja, vaan löydämme tämän pisteen suunnilleen. Siitä palautamme kohtisuoran - pyramidin korkeuden - niin, että sivureunat eivät sulaudu toisiinsa.

Päivämäärä: 19.1.2015

Jos tarvitset vaiheittaiset ohjeet kuinka rakentaa pyramidilakaisu, niin pyydän oppituntiamme. Arvioi ensin, onko pyramidisi auki samalla tavalla kuin kuvassa 1.

Jos se on käännetty 90 astetta, niin kuvassa "tunnetuiksi todellisiksi arvoiksi" merkitty reuna sinun tapauksessasi löytyy profiiliprojektiosta, joka sinun tulee rakentaa. Minun tapauksessani tätä ei vaadita, meillä on jo kaikki rakentamiseen tarvittavat määrät. On tärkeää muistaa, että tässä piirustuksessa vain etuprojektion reunat SA ja SD näytetään täysikokoisina. Kaikki muut projisoidaan pituusvääristyksellä. Lisäksi ylhäältä katsottuna kuusikulmion kaikki sivut projisoidaan täysikokoisina. Tämän perusteella aloitetaan.

1. Suuremman kauneuden saamiseksi piirretään ensimmäinen viiva vaakasuunnassa (kuva 1). Sitten piirretään leveä kaari, jonka säde on R=a, ts. jonka säde on yhtä suuri kuin pyramidin sivureunan pituus. Saamme pisteen A. Siitä teemme kaarelle kompassilla loven, jonka säde on r \u003d b (pyramidin pohjan sivun pituus). Otetaan piste B. Meillä on jo pyramidin ensimmäiset kasvot!

2. Pisteestä B tehdään toinen lovi samalla säteellä - saadaan piste C ja yhdistämällä se pisteisiin B ja S saadaan pyramidin toinen sivupinta (kuva 2).

3. Toistamalla nämä vaiheet tarvittavan määrän kertoja (kaikki riippuu siitä, kuinka monta pintaa pyramidillasi on), saamme tällaisen tuulettimen (kuva 3). Oikealla rakenteella sinun pitäisi saada kaikki pohjan pisteet, ja äärimmäiset tulee toistaa.

4. Tätä ei aina vaadita, mutta silti se on välttämätöntä: lisää pyramidin pohja sivupinnan kehitykseen. Uskon, että jokainen tähän asti lukenut osaa piirtää kuusi-kahdeksan viisikulmion (miten viisikulmion piirtäminen kuvataan yksityiskohtaisesti oppitunnissa) Vaikeus on siinä, että kuvio on piirrettävä oikea paikka ja oikeassa kulmassa. Piirrä akseli minkä tahansa pinnan keskeltä. Leikkauspisteestä kantaviivan kanssa piirrämme etäisyyden m kuvan 4 mukaisesti.


Piirretään kohtisuora tämän pisteen läpi, saadaan tulevan kuusikulmion akselit. Tuloksena olevasta keskustasta piirrämme ympyrän, kuten teit ylhäältä katsottuna. Huomaa, että ympyrän tulee kulkea sivupinnan kahden pisteen läpi (minun tapauksessani nämä ovat F ja A)

5. Kuva 5 esittää lopullisen taittamattoman kuvan kuusikulmaisesta prismasta.


Tämä viimeistelee pyramidipyyhkäisyn rakentamisen. Rakenna lakaisujasi, opi löytämään ratkaisuja, ole syövyttävä äläkä koskaan anna periksi. Kiitos käynnistä. Älä unohda suositella meitä ystävillesi :) Kaikkea hyvää!

tai kirjoita puhelinnumeromme muistiin ja kerro meistä ystävillesi - joku etsii luultavasti tapaa tehdä piirustuksia

tai luo muistiinpano oppitunneistamme sivullesi tai blogiisi - ja joku muu voi hallita piirustuksen.