Sini on positiivinen. trigonometrinen ympyrä. Trigonometristen funktioiden perusarvot
Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.
Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ...keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä yhteisen mielipiteen saavuttamiseksi paradoksien olemuksesta tieteellinen yhteisö toistaiseksi se ei ole ollut mahdollista ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.
Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseksi ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus saavuttaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.
Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".
Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:
Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.
Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta se ei ole täydellinen ratkaisu Ongelmia. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.
Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:
Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.
Tässä aporiassa looginen paradoksi se selviää hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että joka hetki lentävä nuoli lepää eri pisteissä avaruudessa, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (luonnollisesti tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua). Mihin haluan keskittyä Erityistä huomiota, on se, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia mahdollisuuksia tutkimiseen.
Keskiviikkona 4.7.2018
Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.
Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Samanlainen absurdin logiikka tuntevia olentoja koskaan ymmärrä. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.
Kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.
Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.
Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä elementtejä. Tästä hauskuus alkaa.
Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumeroita, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Tässä matemaatikko alkaa kouristisesti muistaa fysiikkaa: erilaisia kolikoita saatavilla eri määrä lika, kristallirakenne ja jokaisen kolikon atomijärjestely on ainutlaatuinen...
Ja nyt minulla on eniten kiinnostusta Kysy: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.
Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.
Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".
sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018
Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.
Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.
Selvitetään mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.
1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.
2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.
3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.
4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.
Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.
Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan lukujärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa numerojärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. FROM suuri numero 12345 En halua huijata päätäni, ota huomioon artikkelin numero 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme harkitse jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.
Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia tuloksia.
Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.
Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toimet saman suuren eri mittayksiköillä johtavat erilaisia tuloksia Kun niitä on vertailtu, sillä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.
Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.
Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?
Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.
Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,
Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:
Itse yritän nähdäkseni kakkaavassa ihmisessä miinus neljä astetta (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.
1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkaava mies" tai numero "kaksikymmentäkuusi". heksadesimaalijärjestelmä laskeminen. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.
Voit luoda useita tyypillisiä tuloksia - sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuudet. Tässä artikkelissa tarkastellaan kolmea pääominaisuutta. Ensimmäinen niistä osoittaa kulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin etumerkit riippuen siitä, kumman koordinaattineljänneksen kulmasta on α. Seuraavaksi tarkastellaan jaksollisuusominaisuutta, joka määrittää kulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvojen invarianssin, kun tämä kulma muuttuu kokonaislukumäärällä kierroksia. Kolmas ominaisuus ilmaisee vastakkaisten kulmien α ja −α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin välisen suhteen.
Jos olet kiinnostunut sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin funktioiden ominaisuuksista, niitä voidaan tutkia artikkelin vastaavassa osassa.
Sivulla navigointi.
Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin merkit neljänneksissä
Tämän kappaleen alapuolelta löytyy ilmaus "koordinaattineljänneksen kulmat I, II, III ja IV". Selvitetään, mitä nämä kulmat ovat.
Otetaan yksikköympyrä, merkitään siihen aloituspiste A(1, 0) ja käännetään sitä pisteen O ympäri kulman α verran, samalla kun oletetaan, että päästään pisteeseen A 1 (x, y) .
He sanovat että kulma α on koordinaattineljänneksen kulma I , II , III , IV jos piste A 1 on I, II, III ja IV neljänneksissä, vastaavasti; jos kulma α on sellainen, että piste A 1 on millä tahansa koordinaattisuorasta Ox tai Oy , niin tämä kulma ei kuulu mihinkään neljästä neljänneksestä.
Selvyyden vuoksi esitämme graafisen kuvan. Alla olevissa piirustuksissa on esitetty kiertokulmat 30 , -210 , 585 ja -45 astetta, jotka ovat koordinaattineljännesten kulmat I , II , III ja IV vastaavasti.
kulmat 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … asteet eivät kuulu mihinkään koordinaattineljänneksiin.
Selvitetään nyt, millä etumerkeillä on kiertokulman α sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot riippuen siitä, mikä neljänneskulma on α.
Sinille ja kosinille tämä on helppo tehdä.
Määritelmän mukaan kulman α sini on pisteen A 1 ordinaatta. On selvää, että I ja II koordinaattineljänneksillä se on positiivinen ja III ja IV neljänneksellä se on negatiivinen. Siten kulman α sinillä on I ja II neljänneksissä plusmerkki ja III ja VI neljänneksissä miinusmerkki.
Kulman α kosini puolestaan on pisteen A 1 abskissa. I ja IV vuosineljänneksellä se on positiivinen ja II ja III neljänneksellä negatiivinen. Siksi kulman α kosinin arvot I ja IV neljänneksissä ovat positiivisia ja II ja III neljänneksissä ne ovat negatiivisia.
Jotta voit määrittää merkit tangentin ja kotangentin neljänneksillä, sinun on muistettava niiden määritelmät: tangentti on pisteen A 1 ordinaatin suhde abskissaan ja kotangentti on pisteen A 1 abskissan suhde ordinaataan. Sitten alkaen numeronjakosäännöt samoilla ja eri merkeillä, tästä seuraa, että tangentilla ja kotangentilla on plusmerkki, kun pisteen A 1 abskissa- ja ordinaatomerkit ovat samat, ja miinusmerkki, kun pisteen A 1 abskissa- ja ordinaattamerkit ovat erilaiset. Siksi kulman tangentilla ja kotangentilla on +-merkki I- ja III-koordinaattineljänneksissä ja miinusmerkki II- ja IV-neljänneksissä.
Todellakin, esimerkiksi ensimmäisellä neljänneksellä pisteen A 1 sekä abskissa x että ordinaatta y ovat positiivisia, silloin sekä osamäärä x/y että osamäärä y/x ovat positiivisia, joten tangentilla ja kotangentilla on + merkit. . Ja toisella neljänneksellä abskissa x on negatiivinen ja ordinaatta y on positiivinen, joten sekä x / y että y / x ovat negatiivisia, jolloin tangentilla ja kotangentilla on miinusmerkki.
Siirrytään seuraavaan sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuuteen.
Jaksoisuusominaisuus
Nyt analysoimme kenties kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ilmeisintä ominaisuutta. Se koostuu seuraavista: kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä täydet kierrokset, tämän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot eivät muutu.
Tämä on ymmärrettävää: kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä kierroksia, pääsemme aina aloituspisteestä A pisteeseen A 1 yksikköympyrällä, joten sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot pysyvät ennallaan, koska pisteen A 1 koordinaatit ovat muuttumattomia.
Kaavoilla tarkasteltu sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuus voidaan kirjoittaa seuraavasti: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , jossa α on kiertokulma radiaaneina, z on mikä tahansa , jonka itseisarvo ilmaisee täyskierrosten lukumäärän, jolla kulma α muuttuu, ja numero z osoittaa käännöksen suunnan.
Jos kiertokulma α on annettu asteina, nämä kaavat kirjoitetaan uudelleen muotoon sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα, ctg(a+360°z)=ctga.
Otetaan esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä. Esimerkiksi, 
, koska 
, a 
. Tässä on toinen esimerkki: tai .
Tätä ominaisuutta yhdessä pelkistyskaavojen kanssa käytetään hyvin usein laskettaessa "suurien" kulmien sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvoja.
Käsiteltyä sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuutta kutsutaan joskus jaksollisuusominaisuudeksi.
Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuudet
Olkoon А 1 piste, joka saadaan alkupisteen А(1, 0) kiertämisestä pisteen O ympäri kulman α verran, ja piste А 2 on pisteen А kiertymisen tulos kulman verran. −α vastapäätä kulmaa α .
Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuus perustuu melko ilmeiseen tosiasiaan: edellä mainitut pisteet A 1 ja A 2 joko yhtyvät (at) tai sijaitsevat symmetrisesti akselin Ox ympärillä. Eli jos pisteellä A 1 on koordinaatit (x, y) , niin pisteellä A 2 on koordinaatit (x, −y) . Tästä eteenpäin sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmien mukaisesti kirjoitetaan yhtälöt ja.
Vertaamalla niitä saadaan muodon α ja −α vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien välisiin suhteisiin.
Tämä on katsottu ominaisuus kaavojen muodossa.
Otetaan esimerkkejä tämän ominaisuuden käytöstä. Esimerkiksi tasa-arvot ja 
.
On vain huomattava, että vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuutta, kuten edellistä ominaisuutta, käytetään usein laskettaessa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvoja, ja sen avulla voit päästä kokonaan pois negatiivisista kulmista.
Bibliografia.
- Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.
Monipuolinen. Jotkut niistä koskevat sitä, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja negatiivinen, missä neljänneksissä sini on positiivinen ja negatiivinen. Kaikki osoittautuu yksinkertaiseksi, jos osaat laskea näiden funktioiden arvot eri kulmissa ja tunnet funktioiden piirtämisperiaatteen kaavioon.
Mitkä ovat kosinin arvot
Jos tarkastelemme, meillä on seuraava kuvasuhde, joka määrittää sen: kulman kosini a on viereisen haaran BC suhde hypotenuusaan AB (kuva 1): cos a= BC/AB.
Samaa kolmiota käyttämällä voit löytää kulman sinin, tangentin ja kotangentin. Sini on vastakkaisen haarakulman AC suhde hypotenuusaan AB. Kulman tangentti löytyy, jos halutun kulman sini jaetaan saman kulman kosinilla; korvaamalla vastaavat kaavat sinin ja kosinin löytämiseksi, saadaan, että tg a\u003d AC / BC. Kotangentti, tangentin käänteisfunktiona, löytyy näin: ctg a= BC/AC.
Eli samoilla kulman arvoilla havaittiin, että suorakulmaisessa kolmiossa kuvasuhde on aina sama. Vaikuttaa siltä, että kävi selväksi, mistä nämä arvot ovat peräisin, mutta miksi negatiiviset luvut saadaan?
Tätä varten sinun on otettava huomioon suorakulmaisessa koordinaatistossa oleva kolmio, jossa on sekä positiivisia että negatiivisia arvoja.
Selvästi neljänneksistä, missä on kumpi
Mitä ovat suorakulmaiset koordinaatit? Jos puhumme kaksiulotteisesta avaruudesta, meillä on kaksi suunnattua suoraa, jotka leikkaavat pisteessä O - tämä on abskissa-akseli (Ox) ja ordinaatta-akseli (Oy). Pisteestä O suoran suunnassa ovat positiivisia lukuja, ja sisään kääntöpuoli- negatiivinen. Loppujen lopuksi se riippuu suoraan tästä, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä vastaavasti negatiivinen.
Ensimmäinen neljännes
Jos sijoitetaan suorakulmainen kolmio ensimmäisellä neljänneksellä (0 o - 90 o), jossa x- ja y-akselilla on positiivisia arvoja(segmentit AO ja VO sijaitsevat akseleilla, joissa arvoilla on "+"-merkki), niin sekä sinillä että kosinilla on myös positiiviset arvot ja niille annetaan arvo plusmerkillä. Mutta mitä tapahtuu, jos siirrät kolmion toiseen neljännekseen (90 o:sta 180 o:seen)?
Toinen neljännes
Näemme, että y-akselilla AO-jalka vastaanotti negatiivinen merkitys. Kulman kosini a nyt on tämä puoli suhteessa miinukseen, ja siksi sen lopullinen arvo tulee negatiiviseksi. Osoittautuu, että missä neljänneksessä kosini on positiivinen, riippuu kolmion sijainnista suorakulmaisessa koordinaatistossa. Ja tässä tapauksessa kulman kosini saa negatiivisen arvon. Mutta sinin osalta mikään ei ole muuttunut, koska sen merkin määrittämiseksi tarvitaan OB:n puoli, joka jäi tässä tapauksessa plusmerkillä. Tehdään yhteenveto kahdesta ensimmäisestä neljänneksestä.
Jotta saadaan selville, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja missä negatiivinen (samoin kuin sini ja muut trigonometriset funktiot), on tarkasteltava, mikä merkki on osoitettu yhdelle tai toiselle haaralle. Kulman kosinille a AO-jalka on tärkeä poskiontelolle - OB.
Ensimmäinen neljännes on toistaiseksi ainoa, joka vastaa kysymykseen: "Millä neljänneksillä on sini ja kosini yhtä aikaa positiivinen?". Katsotaanpa lisää, tuleeko näiden kahden funktion merkissä enemmän yhteensattumia.
Toisella neljänneksellä AO-osuuden arvo alkoi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että kosini muuttui negatiiviseksi. Positiivinen arvo tallennetaan sinille.
kolmas neljäsosa
Nyt molemmat jalat AO ja OB ovat tulleet negatiivisiksi. Muista kosinin ja sinin suhteet:
Cos a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB:llä on aina positiivinen etumerkki tietyssä koordinaattijärjestelmässä, koska sitä ei ole suunnattu kumpaankaan akselien määrittelemästä sivusta. Mutta jalat ovat tulleet negatiivisiksi, mikä tarkoittaa, että molempien funktioiden tulos on myös negatiivinen, koska jos suoritat kerto- tai jakooperaatioita numeroilla, joiden joukossa yhdellä ja vain yhdellä on miinusmerkki, niin tulos on myös tällä merkillä .
Tulos tässä vaiheessa:
1) Millä neljänneksellä kosini on positiivinen? Ensimmäisessä kolmesta.
2) Millä neljänneksellä sini on positiivinen? Ensimmäisessä ja toisessa kolmesta.
Neljäs vuosineljännes (270 o - 360 o)
Tässä AO-jalka saa jälleen plusmerkin ja siten myös kosinin.
Sinin osalta asiat ovat edelleen "negatiivisia", koska jalan OB jäi lähtöpisteen O alapuolelle.
johtopäätöksiä
Ymmärtääksesi, missä neljänneksissä kosini on positiivinen, negatiivinen jne., Sinun on muistettava kosinin laskemisen suhde: kulman vieressä oleva jalka, jaettuna hypotenuusalla. Jotkut opettajat suosittelevat tämän muistamista: k (osine) \u003d (k) kulma. Jos muistat tämän "huijauksen", ymmärrät automaattisesti, että sini on vastakohdan suhde jalan kulmaan hypotenuusaan.
On melko vaikeaa muistaa, missä neljänneksissä kosini on positiivinen ja mikä negatiivinen. Trigonometrisiä funktioita on monia, ja niillä kaikilla on omat arvonsa. Mutta silti tuloksena: positiiviset arvot sinille - 1, 2 neljännestä (0 o - 180 o); kosini 1:lle 4 neljännestä (0 o - 90 o ja 270 o - 360 o). Muilla vuosineljänneksillä funktioilla on miinusarvot.
Ehkä jonkun on helpompi muistaa, missä on mikä merkki funktion kuvan mukaan.
Sinin osalta voidaan nähdä, että nollasta 180 o:een harja on sin (x) arvojen rivin yläpuolella, mikä tarkoittaa, että funktio on tässä positiivinen. Kosinille se on sama: missä neljänneksessä kosini on positiivinen (kuva 7) ja missä negatiivinen, se voidaan nähdä siirtämällä viivaa cos (x) -akselin ylä- ja alapuolelle. Tämän seurauksena voimme muistaa kaksi tapaa määrittää sinin etumerkki, kosinifunktiot:
1. Kuvitteellisella ympyrällä, jonka säde on yhtä suuri (vaikka itse asiassa sillä ei ole väliä mikä ympyrän säde on, mutta oppikirjoissa tämä esimerkki on useimmiten annettu; tämä helpottaa havaitsemista, mutta samaan aikaan, jos et määritä, että tällä ei ole väliä, lapset voivat hämmentyä).
2. Kuvan mukaan funktion riippuvuus (x):stä itse argumentista x, kuten viimeisessä kuvassa.
Ensimmäistä menetelmää käyttämällä voit YMMÄRTÄÄ, mistä merkki tarkalleen riippuu, ja selitimme tämän yksityiskohtaisesti yllä. Näihin tietoihin rakennettu kuva 7 visualisoi tuloksena olevan funktion ja sen etumerkkijäsenyyden parhaalla mahdollisella tavalla.
Tämä artikkeli käsittelee kolmea pääominaisuutta trigonometriset funktiot: sini, kosini, tangentti ja kotangentti.
Ensimmäinen ominaisuus on funktion etumerkki riippuen siitä, mihin yksikköympyrän neljännekseen kulma α kuuluu. Toinen ominaisuus on jaksollisuus. Tämän ominaisuuden mukaan tigonometrinen funktio ei muuta arvoaan kulman muuttuessa kokonaislukumäärällä kierroksia. Kolmas ominaisuus määrittää, kuinka funktioiden sin, cos, tg, ctg arvot muuttuvat vastakkaisissa kulmissa α ja - α .
Yandex.RTB R-A-339285-1
Usein matemaattisessa tekstissä tai ongelman yhteydessä voit löytää lauseen: "ensimmäisen, toisen, kolmannen tai neljännen koordinaattineljänneksen kulma". Mikä se on?
Katsotaanpa yksikköympyrää. Se on jaettu neljään osaan. Merkitsemme ympyrään aloituspisteen A 0 (1, 0) ja kääntämällä sitä pisteen O ympäri kulman α verran, pääsemme pisteeseen A 1 (x, y) . Riippuen siitä, millä neljänneksellä piste A 1 (x, y) sijaitsee, kulmaa α kutsutaan vastaavasti ensimmäisen, toisen, kolmannen ja neljännen neljänneksen kulmaksi.
Selvyyden vuoksi annamme kuvan.
Kulma α = 30° on ensimmäisessä kvadrantissa. Kulma - 210° on toinen neljänneskulma. Kulma 585° on kolmannen neljänneksen kulma. Kulma - 45° on neljännen neljänneksen kulma.
Tässä tapauksessa kulmat ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° eivät kuulu mihinkään neljännekseen, koska ne sijaitsevat koordinaattiakseleilla.
Harkitse nyt merkkejä, jotka ovat sini, kosini, tangentti ja kotangentti riippuen siitä, missä neljänneksessä kulma on.
Määritä sinin merkit neljänneksissä muistamalla määritelmä. Sini on pisteen A 1 (x , y) ordinaatti. Kuvasta näkyy, että ensimmäisellä ja toisella neljänneksellä se on positiivinen ja kolmannella ja nelinkertainen negatiivinen.
Kosini on pisteen A 1 (x, y) abskissa. Tämän mukaisesti määritämme ympyrän kosinin merkit. Kosini on positiivinen ensimmäisellä ja neljännellä neljänneksellä ja negatiivinen toisella ja kolmannella neljänneksellä.
Tangentin ja kotangentin etumerkit määrittämiseksi neljänneksillä muistamme myös näiden trigonometristen funktioiden määritelmät. Tangentti - pisteen ordinaatin suhde abskissaan. Tämä tarkoittaa, että erimerkkisten lukujen jakosäännön mukaan, kun ordinaatalla ja abskissalla on samat merkit, ympyrän tangentin etumerkki on positiivinen ja kun ordinaatalla ja abskissalla on erilaisia merkkejä- negatiivinen. Samalla tavalla määritetään kotangentin merkit neljänneksissä.
Tärkeää muistaa!
- Kulman α sinillä on plusmerkki 1. ja 2. neljänneksellä ja miinusmerkki 3. ja 4. neljänneksellä.
- Kulman α kosinissa on plusmerkki 1. ja 4. neljänneksessä ja miinusmerkki 2. ja 3. neljänneksessä.
- Kulman α tangentissa on plusmerkki 1. ja 3. neljänneksellä ja miinusmerkki 2. ja 4. neljänneksellä.
- Kulman α kotangentilla on plusmerkki 1. ja 3. neljänneksellä ja miinusmerkki 2. ja 4. neljänneksellä.
Jaksoisuusominaisuus
Jaksoisuusominaisuus on yksi trigonometristen funktioiden ilmeisimmistä ominaisuuksista.
Jaksoisuusominaisuus
Kun kulma muuttuu kokonaislukumäärällä täydet kierrokset, tietyn kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot pysyvät ennallaan.
Todellakin, kun kulmaa muutetaan kokonaislukumäärällä kierroksia, pääsemme aina yksikköympyrän aloituspisteestä A pisteeseen A 1 samoilla koordinaateilla. Vastaavasti sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot eivät muutu.
Matemaattisesti annettua omaisuutta on kirjoitettu näin:
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Mikä on tämän ominaisuuden käytännön sovellus? Jaksollisuusominaisuutta, kuten pelkistyskaavoja, käytetään usein suurten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvojen laskemiseen.
Annetaan esimerkkejä.
sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Katsotaanpa yksikköympyrää uudelleen.
Piste A 1 (x, y) on tulos, kun aloituspistettä A 0 (1, 0) käännetään ympyrän keskipisteen ympäri kulmalla α. Piste A 2 (x, - y) on tulos, kun aloituspistettä käännetään kulmalla - α.
Pisteet A 1 ja A 2 ovat symmetrisiä x-akselin suhteen. Siinä tapauksessa, että α = 0 °, ± 180 °, ± 360 °, pisteet A 1 ja A 2 ovat samat. Olkoon yhdellä pisteellä koordinaatit (x , y) ja toisella - (x , - y) . Muista sinin, kosinin, tangentin, kotangentin määritelmät ja kirjoita:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Tämä tarkoittaa vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuutta.
Vastakkaisten kulmien sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien ominaisuus
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Tämän ominaisuuden mukaan tasa-arvot
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Tarkasteltua ominaisuutta käytetään usein käytännön ongelmien ratkaisemisessa tapauksissa, joissa on tarpeen päästä eroon kulmien negatiivisista merkeistä trigonometristen funktioiden argumenteissa.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Kulmien laskeminen trigonometrisellä ympyrällä.
Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")
Se on melkein sama kuin edellisellä oppitunnilla. On kirveitä, ympyrä, kulma, kaikki on chin-chinaa. Lisätty neljännesnumerot (suuren neliön kulmissa) - ensimmäisestä neljänteen. Ja sitten yhtäkkiä kuka ei tiedä? Kuten näette, neljännekset (niitä kutsutaan myös kaunis sana"neljänneset") on numeroitu liikettä vastaan myötäpäivään. Lisätty kulma-arvot akseleille. Kaikki on selvää, ei röyhelöitä.
Ja lisäsi vihreän nuolen. Plussalla. Mitä hän tarkoittaa? Haluan muistuttaa, että kulman kiinteä puoli aina naulattu positiiviseen akseliin OH. Jos siis kierrämme kulman liikkuvaa puolta plus nuoli, eli nousevissa vuosineljänneksissä, kulma katsotaan positiiviseksi. Esimerkiksi kuvassa on +60° positiivinen kulma.
Jos lykkäämme kulmia vastakkaiseen suuntaan, myötäpäivään, kulma katsotaan negatiiviseksi. Vie hiiri kuvan päälle (tai kosketa kuvaa tabletissa), näet sinisen nuolen, jossa on miinus. Tämä on kulmien negatiivisen lukeman suunta. Negatiivinen kulma (-60°) on esitetty esimerkkinä. Ja näet myös kuinka akseleiden numerot ovat muuttuneet ... Käänsin ne myös negatiivisiksi kulmiksi. Kvadranttien numerointi ei muutu.
Tästä yleensä alkavat ensimmäiset väärinkäsitykset. Kuinka niin!? Ja jos ympyrän negatiivinen kulma osuu yhteen positiivisen kanssa!? Ja yleensä käy ilmi, että samaa liikkuvan puolen (tai numeerisen ympyrän pisteen) sijaintia voidaan kutsua sekä negatiiviseksi että positiiviseksi kulmaksi!?
Joo. Tarkalleen. Oletetaan, että 90 asteen positiivinen kulma muodostaa ympyrän täysin sama asema negatiivisena kulmana miinus 270 astetta. Positiivinen kulma, esimerkiksi +110° astetta, kestää täysin sama asentoon, koska negatiivinen kulma on -250°.
Ei ongelmaa. Kaikki on oikein.) Positiivisen tai negatiivisen kulman laskennan valinta riippuu tehtävän ehdosta. Jos tilanne ei kerro mitään pelkkää tekstiä kulman merkistä (kuten "määritä pienin positiivinen kulma" jne.), sitten työskentelemme meille sopivien arvojen kanssa.
Poikkeuksena (ja miten ilman niitä ?!) ovat trigonometriset epätasa-arvot, mutta siellä hallitsemme tämän tempun.
Ja nyt sinulle kysymys. Mistä tiedän, että 110° kulman sijainti on sama kuin -250° kulman sijainti?
Vihjaan, että tämä johtuu koko liikevaihdosta. 360°... Etkö ole selvä? Sitten piirrämme ympyrän. Piirrämme paperille. Kulman merkitseminen noin 110°. Ja uskoa kuinka paljon on jäljellä täyteen kierrokseen. Vain 250° jäljellä...
Sain sen? Ja nyt - huomio! Jos kulmat 110° ja -250° ovat ympyrän sisällä sama
asema, mitä sitten? Kyllä, se, että kulmat ovat 110 ° ja -250 ° täysin sama
sini, kosini, tangentti ja kotangentti!
Nuo. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja niin edelleen. Tämä on nyt todella tärkeää! Ja sinänsä - on paljon tehtäviä, joissa on tarpeen yksinkertaistaa lausekkeita ja pohjana myöhempään pelkistyskaavojen ja muiden trigonometrian monimutkaisuuksien kehittämiseen.
Tietysti otin 110 ° ja -250 ° satunnaisesti, puhtaasti esimerkiksi. Kaikki nämä yhtäläisyydet toimivat kaikilla kulmilla, jotka ovat samassa paikassa ympyrässä. 60° ja -300°, -75° ja 285° ja niin edelleen. Huomaan heti, että näiden parien kulmat - eri. Mutta heillä on trigonometrisiä toimintoja - sama.
Luulen, että ymmärrät mitä negatiiviset näkökulmat ovat. Se on melko yksinkertaista. Vastapäivään on positiivinen luku. Matkan varrella se on negatiivinen. Harkitse kulmaa positiivinen tai negatiivinen riippuu meistä. Meidän halusta. No, ja tietysti enemmän tehtävästä... Toivottavasti ymmärrät kuinka trigonometrisissa funktioissa siirrytään negatiivisista positiivisiin kulmiin ja päinvastoin. Piirrä ympyrä, likimääräinen kulma ja katso kuinka paljon puuttuu ennen täyttä käännöstä, ts. jopa 360°.
Kulmat yli 360°.
Käsitellään kulmia, jotka ovat suurempia kuin 360 °. Ja sellaisia asioita tapahtuu? Niitä on tietysti. Kuinka piirtää ne ympyrään? Ei ole ongelma! Oletetaan, että meidän on ymmärrettävä, missä neljänneksessä 1000 asteen kulma putoaa? Helposti! Teemme yhden täyden kierroksen vastapäivään (kulma annettiin meille positiivinen!). Kelaa taaksepäin 360°. No, mennään eteenpäin! Toinen käännös - se on jo osoittautunut 720 °. Kuinka paljon on jäljellä? 280°. Se ei riitä täyteen käännökseen ... Mutta kulma on yli 270 ° - ja tämä on kolmannen ja neljännen neljänneksen välinen raja. Joten 1000°:n kulmamme osuu neljännelle neljännekselle. Kaikki.
Kuten näet, se on melko yksinkertaista. Muistutan vielä kerran, että kulma 1000° ja kulma 280°, jotka saimme hylkäämällä "ylimääräiset" täyskäännökset, ovat tarkasti ottaen eri kulmat. Mutta näiden kulmien trigonometriset funktiot täysin sama! Nuo. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Jos olisin sini, en huomaisi eroa näiden kahden kulman välillä...
Miksi tämä kaikki on välttämätöntä? Miksi meidän täytyy kääntää kulmia yhdestä toiseen? Kyllä, kaikki samasta syystä.) Ilmaisujen yksinkertaistamiseksi. Ilmaisujen yksinkertaistaminen on itse asiassa koulumatematiikan päätehtävä. No, matkan varrella pää harjoittelee.)
No, harjoitellaanko?)
Vastaamme kysymyksiin. Yksinkertaista aluksi.
1. Millä neljänneksellä kulma -325° putoaa?
2. Millä neljänneksellä kulma 3000° putoaa?
3. Millä neljänneksellä kulma -3000° putoaa?
On ongelma? Tai epävarmuutta? Siirrymme kohtaan 555, Käytännön työ trigonometrisen ympyrän kanssa. Siellä, tämän ensimmäisellä oppitunnilla " käytännön työ..." kaikki on yksityiskohtaista ... Sisältö sellaisia epävarmuuden kysymyksiä ei pitäisi!
4. Mikä on sin555°:n merkki?
5. Mikä on tg555°:n merkki?
Päättäväinen? Erinomainen! Epäillä? On välttämätöntä § 555 ... Muuten, siellä opit piirtämään tangentin ja kotangentin trigonometriseen ympyrään. Erittäin hyödyllinen asia.
Ja nyt viisaammat kysymykset.
6. Tuo lauseke sin777° pienimmän positiivisen kulman siniin.
7. Tuo lauseke cos777° suurimman negatiivisen kulman kosiniin.
8. Muunna lauseke cos(-777°) pienimmän positiivisen kulman kosiniksi.
9. Tuo lauseke sin777° suurimman negatiivisen kulman siniin.
Mitä, kysymykset 6-9 ymmällään? Totu siihen, kokeessa ei ole sellaisia muotoja... Olkoon niin, minä käännän sen. Vain sinulle!
Sanat "pienennä lauseke ..." tarkoittavat lausekkeen muuttamista niin, että sen arvo on ei ole muuttunut a ulkomuoto muutettu tehtävän mukaisesti. Joten tehtävissä 6 ja 9 meidän on saatava sini, jonka sisällä on pienin positiivinen kulma. Kaikella muulla ei ole väliä.
Annan vastaukset järjestyksessä (sääntöjemme vastaisesti). Mutta mitä tehdä, on vain kaksi merkkiä ja vain neljä neljäsosaa ... Et hajoa vaihtoehdoissa.
6. sin57°.
7.cos (-57°).
8.cos57°.
9.-sin(-57°)
Oletan, että vastaukset kysymyksiin 6-9 hämmentyivät joitain ihmisiä. Erityisesti -sin (-57°), eikö?) Todellakin, kulmien laskennan perussäännöissä on tilaa virheille ... Siksi minun piti tehdä oppitunti: "Kuinka määrittää funktioiden merkit ja antaa kulmat trigonometriselle ympyrälle?" Kohdassa 555. Siellä tehtävät 4 - 9 on järjestetty. Hyvin lajiteltu, kaikkine sudenkuoppineen. Ja he ovat täällä.)
Seuraavalla oppitunnilla käsittelemme salaperäisiä radiaaneja ja numeroa "Pi". Opi muuttamaan asteet helposti ja oikein radiaaneiksi ja päinvastoin. Ja olemme yllättyneitä huomatessamme, että tämä perustieto sivustolla riittää jo ratkaista joitain epätyypillisiä trigonometriapulmia!
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.