Keskitaso

Ympyrä ja piirretty kulma. visuaalinen opas (2019)

Perustermit.

Kuinka hyvin muistat kaikki piiriin liittyvät nimet? Varmuuden vuoksi muistamme - katso kuvia - päivitä tietosi.

Ensinnäkin - Ympyrän keskipiste on piste, josta kaikki ympyrän pisteet ovat samalla etäisyydellä.

Toiseksi - säde - jana, joka yhdistää ympyrän keskustan ja pisteen.

Säteitä on paljon (niin monta kuin ympyrässä on pisteitä), mutta kaikilla säteillä on sama pituus.

Joskus lyhyesti säde he kutsuvat sitä segmentin pituus"keskipiste on ympyrän piste", ei itse jana.

Ja tässä on mitä tapahtuu jos yhdistät kaksi pistettä ympyrässä? Myös leikkaus?

Joten tätä segmenttiä kutsutaan "sointu".

Kuten säteen tapauksessa, halkaisijaa kutsutaan usein janan pituudeksi, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä ja kulkee keskustan läpi. Muuten, miten halkaisija ja säde liittyvät toisiinsa? Katso tarkkaan. Tietysti, säde puoli halkaisija.

Sointujen lisäksi on myös sekantti.

Muistatko yksinkertaisimman?

Keskikulma on kahden säteen välinen kulma.

Ja nyt piirretty kulma

Sisäänkirjoitettu kulma on kulma kahden jänteen välillä, jotka leikkaavat ympyrän pisteessä.

Tässä tapauksessa he sanovat, että merkitty kulma perustuu kaareen (tai jänteeseen).

Katso kuvaa:

Kaarien ja kulmien mittaus.

Ympärysmitta. Kaaret ja kulmat mitataan asteina ja radiaaneina. Ensinnäkin tutkinnoista. Kulmien suhteen ei ole ongelmia - sinun on opittava mittaamaan kaari asteina.

Astemitta (kaariarvo) on vastaavan keskikulman arvo (asteina).

Mitä sana "vastaava" tarkoittaa tässä? Katsotaanpa tarkkaan:

Näetkö kaksi kaaria ja kaksi keskikulmaa? No, suurempi kaari vastaa suurempaa kulmaa (ja se on ok, että se on suurempi), ja pienempi kaari vastaa pienempää kulmaa.

Joten sovimme: kaari sisältää saman määrän asteita kuin vastaava keskikulma.

Ja nyt kauheasta - radiaaneista!

Mikä eläin tämä "radiaani" on?

Kuvittele tämä: radiaanit ovat tapa mitata kulma... säteissä!

Radiaanikulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Sitten herää kysymys - kuinka monta radiaania on suoristetussa kulmassa?

Toisin sanoen: kuinka monta sädettä "sopii" puoliympyrään? Tai toisella tavalla: kuinka monta kertaa puoliympyrän pituus on suurempi kuin säde?

Tämän kysymyksen esittivät tiedemiehet muinaisessa Kreikassa.

Ja niin pitkän etsinnän jälkeen he havaitsivat, että kehän ja säteen suhdetta ei haluta ilmaista "ihmisluvuilla", kuten jne.

Ja tätä asennetta ei ole edes mahdollista ilmaista juurien kautta. Eli käy ilmi, että ei voida sanoa, että puolet ympyrästä on kaksi kertaa tai kertaa säde! Voitteko kuvitella kuinka mahtavaa oli löytää ihmisiä ensimmäistä kertaa! Puoliympyrän pituuden ja säteen suhteelle "normaalit" luvut riittivät. Minun piti kirjoittaa kirje.

Joten on luku, joka ilmaisee puoliympyrän pituuden suhteen säteeseen.

Nyt voimme vastata kysymykseen: kuinka monta radiaania on suorassa kulmassa? Siinä on radiaani. Juuri siksi, että puolet ympyrästä on kaksi kertaa sädettä suurempi.

Muinaiset (ja ei niin) ihmiset kautta aikojen (!) he yrittivät laskea tämän salaperäisen luvun tarkemmin, ilmaista sitä paremmin (ainakin suunnilleen) "tavallisten" lukujen kautta. Ja nyt olemme mahdottoman laiskoja - kaksi merkkiä kiireen jälkeen riittää meille, olemme tottuneet

Ajattele sitä, tämä tarkoittaa esimerkiksi, että ympyrän y, jonka säde on yksi, on suunnilleen yhtä pitkä, ja tätä pituutta on yksinkertaisesti mahdotonta kirjoittaa "ihmisnumerolla" - tarvitset kirjaimen. Ja sitten tämä ympärysmitta on yhtä suuri. Ja tietysti säteen ympärysmitta on yhtä suuri.

Palataan radiaaneihin.

Olemme jo havainneet, että suora kulma sisältää radiaanin.

Mitä meillä on:

Niin iloinen, se on iloinen. Samalla tavalla saadaan levy, jolla on suosituimmat kulmat.

Kirjatun ja keskikulman arvojen välinen suhde.

On hämmästyttävä tosiasia:

Sisäänkirjoitetun kulman arvo on puolet vastaavan keskikulman arvosta.

Katso, miltä tämä lausunto näyttää kuvasta. "Vastaava" keskikulma on sellainen, jossa päät osuvat yhteen piirretyn kulman päiden kanssa ja kärki on keskellä. Ja samaan aikaan "vastaavan" keskikulman on "katsottava" samasta jänteestä () kuin merkitty kulma.

Miksi niin? Katsotaanpa ensin yksinkertaista tapausta. Anna yhden sointeista kulkea keskustan läpi. Loppujen lopuksi sitä tapahtuu joskus, eikö?

Mitä täällä tapahtuu? Harkitse. Se on tasakylkinen - loppujen lopuksi ja ovat säteitä. Joten (merkitsi niitä).

Katsotaan nyt. Tämä on ulkokulma! Muistamme, että ulkoinen kulma on yhtä suuri kuin kahden sisäisen kulman summa, jotka eivät ole sen vieressä, ja kirjoita:

Eli! Odottamaton vaikutus. Mutta kaiverrelle on myös keskuskulma.

Joten tässä tapauksessa osoitimme, että keskikulma on kaksi kertaa merkitty kulma. Mutta se on tuskallisen erikoistapaus: onko totta, että sointu ei aina mene suoraan keskeltä? Mutta ei mitään, nyt tämä erikoistapaus auttaa meitä paljon. Katso: toinen tapaus: anna keskustan olla sisällä.

Tehdään näin: piirrä halkaisija. Ja sitten... näemme kaksi kuvaa, jotka on jo analysoitu ensimmäisessä tapauksessa. Siksi meillä on jo

Joten (piirustuksessa a)

No, viimeinen tapaus jää: keskusta on kulman ulkopuolella.

Teemme samoin: piirrä halkaisija pisteen läpi. Kaikki on sama, mutta summan sijaan - ero.

Siinä kaikki!

Muodostetaan nyt kaksi pääasiallista ja erittäin tärkeää seurausta väitteestä, jonka mukaan sisäänkirjoitettu kulma on puolet keskikulmasta.

Seuraus 1

Kaikki piirretyt kulmat, jotka leikkaavat saman kaaren, ovat yhtä suuret.

Havainnollistamme:

On olemassa lukemattomia samaan kaareen perustuvia piirrettyjä kulmia (meillä on tämä kaari), ne voivat näyttää täysin erilaisilta, mutta niillä kaikilla on sama keskikulma (), mikä tarkoittaa, että kaikki nämä piirretyt kulmat ovat keskenään yhtä suuret.

Seuraus 2

Halkaisijaan perustuva kulma on suora kulma.

Katso: mikä kulma on keskeinen?

Varmasti,. Mutta hän on tasa-arvoinen! No, siksi (sekä monet kirjoitetut kulmat perustuvat) ja on yhtä suuri.

Kahden sointeen ja sekanttien välinen kulma

Mutta entä jos meitä kiinnostava kulma EI ole kirjoitettu eikä keskeinen, vaan esimerkiksi näin:

vai näin?

Onko mahdollista ilmaista sitä jotenkin joidenkin keskeisten kulmien kautta? Osoittautuu, että voit. Katsokaa, olemme kiinnostuneita.

a) (kuten ulkokulma). Mutta - kaiverrettu, kaaren perusteella - . - kaiverrettu, kaaren perusteella - .

Kauneudesta he sanovat:

Painteiden välinen kulma on puolet tähän kulmaan sisältyvien kaarien kulma-arvojen summasta.

Tämä on kirjoitettu lyhyyden vuoksi, mutta tietysti tätä kaavaa käytettäessä sinun on pidettävä mielessä keskikulmat

b) Ja nyt - "ulkopuolella"! Kuinka olla? Kyllä, melkein sama! Vasta nyt (taas käyttää ulkokulman ominaisuutta). Se on nyt.

Ja se tarkoittaa . Tuodaan kauneutta ja lyhyyttä levyihin ja muotoiluihin:

Sekanttien välinen kulma on yhtä suuri kuin puolet tähän kulmaan sisältyvien kaarien kulma-arvojen erosta.

No, nyt sinulla on kaikki perustiedot ympyrään liittyvistä kulmista. Eteenpäin, tehtävien hyökkäykseen!

YMPYRÄ JA SISÄKULMA. KESKITASO

Mikä on ympyrä, tietääkö viisivuotiaskin lapsi? Matemaatikoilla, kuten aina, on tästä aiheesta epämääräinen määritelmä, mutta emme anna sitä (katso), vaan muistamme, miksi ympyrään liittyviä pisteitä, viivoja ja kulmia kutsutaan.

Tärkeät ehdot

Ensinnäkin:

ympyrän keskusta- piste, josta etäisyydet ympyrän kaikkiin pisteisiin ovat samat.

Toiseksi:

Tässä on toinen hyväksytty ilmaisu: "sointu supistaa kaaren." Tässä, tässä kuvassa, esimerkiksi sointu supistaa kaaren. Ja jos sointu yhtäkkiä kulkee keskustan läpi, sillä on erityinen nimi: "halkaisija".

Muuten, miten halkaisija ja säde liittyvät toisiinsa? Katso tarkkaan. Tietysti,

Ja nyt - kulmien nimet.

Luonnollisesti, eikö niin? Kulman sivut tulevat ulos keskeltä, mikä tarkoittaa, että kulma on keskellä.

Tässä kohtaa joskus vaikeuksia. Kiinnittää huomiota - MITÄÄN kulma ympyrän sisällä ei ole piirretty, mutta vain sellainen, jonka kärki "istuu" itse ympyrässä.

Katsotaanpa eroa kuvista:

He myös sanovat eri tavalla:

Tässä on yksi hankala kohta. Mikä on "vastaava" tai "oma" keskikulma? Vain kulma, jonka kärki on ympyrän keskellä ja päättyy kaaren päihin? Ei varmasti sillä tavalla. Katso kuvaa.

Yksi niistä ei kuitenkaan näytä edes kulmalta - se on suurempi. Mutta kolmiossa ei voi olla enempää kulmia, mutta ympyrässä - voi hyvin! Joten: pienempi kaari AB vastaa pienempää kulmaa (oranssi) ja suurempi kaari suurempaa. Aivan kuten, eikö niin?

Sisäänkirjoitetun ja keskikulman välinen suhde

Muista hyvin tärkeä lause:

Oppikirjoissa he haluavat kirjoittaa saman tosiasian näin:

Totta, keskikulmalla muotoilu on yksinkertaisempi?

Mutta silti, löydetään vastaavuus näiden kahden muotoilun välillä ja samalla opitaan löytämään kuvioista "vastaava" keskikulma ja kaari, johon merkitty kulma "nojaa".

Katso, tässä on ympyrä ja piirretty kulma:

Missä on sen "vastaava" keskikulma?

Katsotaanpa uudestaan:

Mikä on sääntö?

Mutta! Tässä tapauksessa on tärkeää, että piirretyt ja keskikulmat "näyttävät" kaaren samalta puolelta. Esimerkiksi:

Kummallista kyllä, sininen! Koska kaari on pitkä, pidempi kuin puolet ympyrästä! Joten älä koskaan mene sekaisin!

Mitä seurauksia voidaan päätellä sisäänkirjoitetun kulman "puolisuudesta"?

Ja tässä esimerkiksi:

Halkaisijaan perustuva kulma

Olet jo huomannut, että matemaatikot puhuvat kovasti samasta asiasta. erilaisia ​​sanoja? Miksi se on heille? Katsos, vaikka matematiikan kieli on muodollinen, se on elävää, ja siksi, kuten tavallisessa kielessä, joka kerta, kun haluat sanoa sen mukavammalla tavalla. No, olemme jo nähneet, mikä on "kulma lepää kaarella". Ja kuvittele, samaa kuvaa kutsutaan "kulma lepää jänteellä". millä? Kyllä, tietysti, sillä joka vetää tätä kaaria!

Milloin on kätevämpää luottaa sointuun kuin kaariin?

No, varsinkin kun tämä jänne on halkaisijaltaan.

Tällaiseen tilanteeseen on hämmästyttävän yksinkertainen, kaunis ja hyödyllinen lausunto!

Katso: tässä on ympyrä, halkaisija ja kulma, joka lepää sen päällä.

YMPYRÄ JA SISÄKULMA. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

1. Peruskäsitteet.

3. Kaarien ja kulmien mittaukset.

Radiaanikulma on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Tämä on luku, joka ilmaisee puoliympyrän pituuden suhteen säteeseen.

Säteen ympärysmitta on yhtä suuri kuin.

4. Kirjatun ja keskikulman arvojen välinen suhde.

Piirretyn ja keskikulman käsite

Otetaan ensin käyttöön keskuskulman käsite.

Huomautus 1

Ota huomioon, että tutkinnon mitta keskikulma on yhtä suuri kuin kaaren astemitta, jolla se lepää.

Esittelemme nyt sisäänkirjoitetun kulman käsitteen.

Määritelmä 2

Kulmaa, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivut leikkaavat saman ympyrän, kutsutaan sisäänkirjoitetuksi kulmaksi (kuva 2).

Kuva 2. Merkitty kulma

Sisäänkirjoitetun kulman lause

Lause 1

Sisäänkirjoitetun kulman mitta on puolet sen katkaiseman kaaren mittasta.

Todiste.

Annetaan ympyrä, jonka keskipiste on pisteen $O$. Merkitse sisäänkirjoitettua kulmaa $ACB$ (kuva 2). Seuraavat kolme tapausta ovat mahdollisia:

• Säde $CO$ osuu yhteen kulman jonkin puolen kanssa. Olkoon tämä $CB$-puoli (kuva 3).

Kuva 3

Tässä tapauksessa kaari $AB$ on pienempi kuin $(180)^(()^\circ )$, joten keskikulma $AOB$ on yhtä suuri kuin kaari $AB$. Koska $AO=OC=r$, kolmio $AOC$ on tasakylkinen. Näin ollen kantakulmat $CAO$ ja $ACO$ ovat yhtä suuret. Kolmion ulkokulman lauseen mukaan meillä on:

• Säde $CO$ jakaa sisäkulman kahteen kulmaan. Leikkaa se ympyrän pisteessä $D$ (kuva 4).

Kuva 4

Saamme

• Säde $CO$ ei jaa sisäkulmaa kahteen kulmaan, eikä se ole yhdensuuntainen sen minkään sivun kanssa (kuva 5).

Kuva 5

Tarkastellaan erikseen kulmia $ACD$ ja $DCB$. Kohdassa 1 todistetulla perusteella saamme

Saamme

Lause on todistettu.

Tuodaan seuraukset tästä lauseesta.

Seuraus 1: Kirjatut kulmat, jotka leikkaavat saman kaaren, ovat yhtä suuret.

Seuraus 2: Sisäänkirjoitettu kulma, joka leikkaa halkaisijan, on suora kulma.

Useimmiten matematiikan kokeeseen valmistautuminen alkaa perusmääritelmien, kaavojen ja lauseiden toistamisella, mukaan lukien aihe "Keski- ja ympyräkulmaan piirretty". Yleensä tätä planimetrian osaa tutkitaan lukio. Ei ole yllättävää, että monet opiskelijat kohtaavat tarpeen toistaa peruskäsitteet ja lauseet aiheesta "Ympyrän keskikulma". Kun koululaiset ovat selvittäneet algoritmin tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi, he voivat luottaa saavansa kilpailupisteitä yhtenäisen valtionkokeen läpäisyn tulosten perusteella.

Kuinka valmistautua sertifiointitestiin helposti ja tehokkaasti?

Kuroa kiinni ennen kuin luovutat sinkun valtion tentti, monet lukiolaiset kohtaavat löytämisongelman tarvittavat tiedot aiheesta "Keski- ja piirretyt kulmat ympyrässä". Aina koulukirja ei ole käsillä. Ja kaavojen etsiminen Internetistä vie joskus paljon aikaa.

"pumppaa" taitoja ja parantaa tietämystä niin vaikeassa geometrian osassa kuin planimetria, koulutusportaali. Shkolkovo kutsuu lukiolaisia ​​ja heidän opettajiaan rakentamaan yhtenäiseen valtiokokeeseen valmistautumisprosessia uudella tavalla. Asiantuntijamme esittävät kaiken perusmateriaalin mahdollisimman helposti saatavilla olevassa muodossa. Luettuaan "Teoreettinen viittaus" -osiossa olevat tiedot opiskelijat oppivat, mitä ominaisuuksia ympyrän keskikulmalla on, kuinka löytää sen arvo jne.

Sitten, vahvistaaksesi hankitut tiedot ja kehittääksesi taitoja, suosittelemme, että suoritat asianmukaiset harjoitukset. Suuri valikoima Tehtävät ympyrään piirretyn kulman arvon löytämiseksi ja muut parametrit on esitetty "Katalogi"-osiossa. Asiantuntijamme kirjoittivat jokaiselle harjoitukselle yksityiskohtaisen ratkaisun kulun ja osoittivat oikean vastauksen. Sivuston tehtävälistaa täydennetään ja päivitetään jatkuvasti.

Lukiolaiset voivat valmistautua tenttiin harjoittelemalla harjoituksia, esimerkiksi etsimällä keskikulman arvoa ja ympyrän kaaren pituutta verkossa missä tahansa Venäjän alueella.

Tarvittaessa valmis tehtävä voidaan tallentaa "Suosikit"-osioon, jotta voit palata siihen myöhemmin ja analysoida uudelleen sen ratkaisun periaatetta.

Tämä on kahden muodostama kulma sointuja joka alkaa yhdestä pisteestä ympyrällä. Sisäänkirjoitetun kulman sanotaan olevan luottaa sen sivujen väliin suljetulla kaarella.

Kirjattu kulma yhtä suuri kuin puolet kaaresta, jolla se lepää.

Toisin sanoen, merkitty kulma sisältää niin monta astetta, minuuttia ja sekuntia kuin kaaren asteet, minuutit ja sekunnit on suljettu puoleen kaaresta, johon se perustuu. Perusteita varten analysoimme kolme tapausta:

Ensimmäinen tapaus:

Keskus O sijaitsee sivulla merkitty kulma ABS. Piirretään säde AO, saadaan ΔABO, jossa OA = OB (säteinä) ja vastaavasti ∠ABO = ∠BAO. Tähän liittyen kolmio, kulma AOC on ulkoinen. Ja se tarkoittaa häntä on yhtä suuri kuin summa kulmat ABO ja BAO tai yhtä suuri kuin kaksoiskulma ABO. Joten ∠ABO on puolikas keskikulma AOC. Mutta tämä kulma mitataan kaarella AC. Toisin sanoen sisäänkirjoitettu kulma ABC mitataan puolella kaaresta AC.

Toinen tapaus:

Keskus O sijaitsee sivujen välissä merkitty kulma ABC Piirrettyään halkaisijan BD jaamme kulman ABC kahteen kulmaan, joista yksi mitataan ensimmäisessä tapauksessa määritetyn mukaisesti puolikkaalla kaaria AD, ja toinen puoli kaari-CD:stä. Ja vastaavasti kulma ABC mitataan (AD + DC) / 2, ts. 1/2 AC.

Kolmas tapaus:

Center O sijaitsee ulkopuolella merkitty kulma ABS. Kun halkaisija BD on piirretty, meillä on: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Mutta kulmat ABD ja CBD mitataan aiemmin perusteltuun puolikkaaseen perustuen kaaria AD ja CD. Ja koska ∠ABС mitataan arvolla (AD-CD)/2, eli puolet AC-kaaresta.

Seuraus 1. Kaikki , jotka perustuvat samaan kaariin, ovat samoja, eli ne ovat keskenään samanarvoisia. Koska jokainen niistä mitataan puolella samasta kaaria .

Seuraus 2. Kirjattu kulma halkaisijan perusteella - oikea kulma. Koska jokainen tällainen kulma mitataan puoliympyrällä ja sisältää vastaavasti 90 °.

Kirjattu kulma, ongelmateoria. Ystävät! Tässä artikkelissa puhumme tehtävistä, joiden ratkaisemiseksi on tiedettävä sisäänkirjoitetun kulman ominaisuudet. Tämä on koko ryhmä tehtäviä, ne sisältyvät kokeeseen. Useimmat niistä ratkaistaan ​​hyvin yksinkertaisesti, yhdessä vaiheessa.

On vaikeampia tehtäviä, mutta ne eivät aiheuta sinulle paljon vaikeuksia, sinun on tiedettävä piirretyn kulman ominaisuudet. Analysoimme vähitellen kaikki tehtävien prototyypit, kutsun sinut blogiin!

Nyt tarvittava teoria. Muista, mikä keskuskulma, jänne, kaari, johon nämä kulmat perustuvat:

Ympyrän keskikulmaa kutsutaan litteäksi kulmaksihuippu sen keskellä.

Ympyrän osa, joka on tasaisen kulman sisälläkutsutaan ympyrän kaareksi.

Ympyrän kaaren astemitta on astemittavastaava keskikulma.

Kulmaa kutsutaan ympyrään piirretyksi, jos kulman kärki sijaitseeympyrällä, ja kulman sivut leikkaavat tämän ympyrän.

Janaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, kutsutaansointu. Pisin sointu kulkee ympyrän keskipisteen läpi ja sitä kutsutaanhalkaisija.

Ratkaistaksesi ympyrään piirrettyjen kulmien tehtäviä,sinun on tiedettävä seuraavat ominaisuudet:

1. Kirjattu kulma on yhtä suuri kuin puolet samaan kaareen perustuvasta keskikulmasta.

2. Kaikki samaan kaareen perustuvat piirretyt kulmat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki samaan jänteeseen perustuvat sisäänkirjoitetut kulmat, joiden kärjet ovat tämän jänteen samalla puolella, ovat yhtä suuret.

4. Mikä tahansa samaan jänteeseen perustuva kulmapari, jonka kärjet ovat jänteen vastakkaisilla puolilla, laskevat yhteen 180°.

Seuraus: Ympyrään piirretyn nelikulmion vastakkaiset kulmat laskevat yhteen 180 astetta.

5. Kaikki halkaisijaan perustuvat sisäänkirjoitetut kulmat ovat suoria.

Yleensä tämä ominaisuus on seuraus ominaisuudesta (1), tämä on sen erityistapaus. Katso - keskikulma on yhtä suuri kuin 180 astetta (ja tämä kehittynyt kulma ei ole muuta kuin halkaisija), mikä tarkoittaa, että ensimmäisen ominaisuuden mukaan merkitty kulma C on yhtä suuri kuin sen puolikas, eli 90 astetta.

Tietoa annettua omaisuutta auttaa ratkaisemaan monia ongelmia ja usein auttaa välttämään tarpeettomia laskelmia. Kun hallitset sen hyvin, pystyt ratkaisemaan yli puolet tämäntyyppisistä ongelmista suullisesti. Kaksi seurausta voidaan tehdä:

Seuraus 1: jos kolmio on piirretty ympyrään ja yksi sen sivuista osuu yhteen tämän ympyrän halkaisijan kanssa, niin kolmio on suorakulmainen (vertex oikea kulma makaa ympyrän päällä).

Seuraus 2: kuvattujen noin keskipiste suorakulmainen kolmio ympyrä on sama kuin sen hypotenuusan keskipiste.

Myös monet stereometristen ongelmien prototyypit ratkaistaan ​​käyttämällä tätä ominaisuutta ja näitä seurauksia. Muista itse tosiasia: jos ympyrän halkaisija on piirretyn kolmion sivu, tämä kolmio on suorakulmainen (halkaisijaa vastapäätä oleva kulma on 90 astetta). Voit tehdä kaikki muut johtopäätökset ja johtopäätökset itse, sinun ei tarvitse opettaa niitä.

Pääsääntöisesti puolet piirretyn kulman tehtävistä annetaan luonnoksella, mutta ilman merkintää. Päättelyprosessin ymmärtämiseksi ongelmia ratkaistaessa (alla artikkelissa) esitellään kärkipisteiden (nurkkien) nimitykset. Kokeessa et voi tehdä tätä.Harkitse tehtäviä:

Mikä on terävä sisäänkirjoitettu kulma, joka katkaisee ympyrän säteen suuruisen jänteen? Kerro vastauksesi asteina.

Rakennetaan keskikulma annetulle sisäänkirjoitetulle kulmille, merkitään kärjet:

Ympyrään piirretyn kulman ominaisuuden mukaan:

Kulma AOB on yhtä suuri kuin 60 0, koska kolmio AOB on tasasivuinen ja tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin 60 0 . Kolmion sivut ovat yhtä suuret, koska ehto sanoo, että jänne on yhtä suuri kuin säde.

Siten sisäänkirjoitettu kulma DIA on 30 0 .

Vastaus: 30

Etsi jänne, johon kulma 30 0 lepää, piirrettynä ympyrään, jonka säde on 3.

Tämä on pohjimmiltaan käänteinen ongelma (edellinen). Rakennetaan keskusnurkkaus.

Se on kaksi kertaa niin suuri kuin piirretty, eli kulma AOB on 60 0 . Tästä voimme päätellä, että kolmio AOB on tasasivuinen. Siten jänne on yhtä suuri kuin säde, eli kolme.

Vastaus: 3

Ympyrän säde on 1. Laske tylpän kulman arvo kahden juuria vastaavan jänteen perusteella. Kerro vastauksesi asteina.

Rakennetaan keskikulma:

Kun tiedämme säteen ja jänteen, voimme löytää keskikulman DIA. Tämä voidaan tehdä kosinilain avulla. Kun tiedämme keskikulman, voimme helposti löytää sisäänkirjoitetun kulman ACB.

Kosinilause: kolmion minkä tahansa sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa kaksinkertaistamatta näiden sivujen tuloa niiden välisen kulman kosinilla.

Siksi toinen keskikulma on 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan kulma DIA on sen puolikas eli 135 astetta.

Vastaus: 135

Etsi jänne, johon 120 asteen kulma, kolmen juuri, on merkitty sädeympyrään.

Yhdistä pisteet A ja B ympyrän keskipisteeseen. Kutsutaan sitä O:

Tiedämme säteen ja piirretyn kulman DIA. Voimme löytää keskikulman AOB (suurempi kuin 180 astetta), sitten löytää kulman AOB kolmiosta AOB. Ja sitten kosinilauseen avulla laske AB.

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan keskikulma AOB (joka on suurempi kuin 180 astetta) on yhtä suuri kuin kaksinkertainen sisäänkirjoitettu kulma, eli 240 astetta. Tämä tarkoittaa, että kulma AOB kolmiossa AOB on 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Kosinusten lain mukaan:

Vastaus: 3

Etsi piirretty kulma kaaren perusteella, joka on 20 % ympyrästä. Kerro vastauksesi asteina.

Sisäänkirjoitetun kulman ominaisuuden mukaan se on puolet samaan kaareen perustuvan keskikulman koosta, tässä tapauksessa puhutaan kaaresta AB.

Sanotaan, että kaari AB on 20 prosenttia kehästä. Tämä tarkoittaa, että myös keskikulma AOB on 20 prosenttia 360 0 :sta.* Ympyrä on 360 asteen kulma. tarkoittaa,

Siten sisäänkirjoitettu kulma ACB on 36 astetta.

Vastaus: 36

ympyrän kaari AC, ei sisällä pisteitä B, on 200 astetta. Ja ympyrän BC kaari, joka ei sisällä pisteitä A, on 80 astetta. Etsi sisäänkirjoitettu kulma ACB. Kerro vastauksesi asteina.

Merkitään selvyyden vuoksi kaaria, joiden kulmamitat on annettu. 200 astetta vastaava kaari - sininen väri, 80 astetta vastaava kaari on punainen, muu ympyrä on keltainen.

Siten kaaren AB astemitta (keltainen) ja siten keskikulma AOB on: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Sisäänkirjoitettu kulma DAB on puolet keskikulmasta AOB, eli 40 astetta.

Vastaus: 40

Mikä on piirretty kulma ympyrän halkaisijan perusteella? Kerro vastauksesi asteina.