Kuidas ruutu välja tõmmata. Ruutjuur. Ruutjuurtega toimingud. Moodul. Ruutjuurte võrdlus

Arvutamine (või ekstraheerimine) ruutjuur saab toota mitmel viisil, kuid kõiki ei saa öelda, et need oleksid väga lihtsad. Lihtsam on muidugi kasutada kalkulaatorit. Kuid kui see pole võimalik (või soovite ruutjuure olemust mõista), võin teile soovitada minna järgmiselt, selle algoritm on järgmine:

Kui teil pole nii pikkadeks arvutusteks jõudu, soovi või kannatust, võite kasutada jämedat valikut, mille plussiks on see, et see on uskumatult kiire ja piisava leidlikkusega täpne. Näide:

Kui ma käisin koolis (60ndate alguses), õpetati meid võtma suvalise arvu ruutjuurt. Tehnika on lihtne, väliselt sarnane veerujaotusquot ;-ga, kuid selle siinkohal väljatoomiseks kulub pool tundi ja 4-5 tuhat tähemärki teksti. Aga miks sul seda vaja on? Kas teil on telefon või mõni muu vidin, on olemas kalkulaator nm-des. Igas arvutis on kalkulaator. Isiklikult eelistan selliseid arvutusi teha Excelis.

Sageli nõutakse koolis ruutjuurte leidmist erinevad numbrid. Aga kui oleme harjunud selleks kogu aeg kalkulaatorit kasutama, siis eksamitel sellist võimalust pole, seega tuleb õppida juurt ilma kalkulaatori abita otsima. Ja seda on põhimõtteliselt võimalik teha.

Algoritm on järgmine:

Kõigepealt vaadake oma numbri viimast numbrit:

Näiteks,

Nüüd peate määrama ligikaudu vasakpoolseima rühma juure väärtuse

Kui numbril on rohkem kui kaks rühma, peate leidma juure järgmiselt:

Kuid järgmine arv peaks olema täpselt suurim, peate selle valima järgmiselt:

Nüüd peame moodustama uue arvu A, lisades ülaltoodud jäägile järgmise rühma.

Meie näidetes:

Najna veerg ja kui vaja on rohkem kui viisteist tähemärki, puhkavad enamasti arvutid ja kalkulaatoritega telefonid. Jääb üle kontrollida, kas metoodika kirjeldus võtab 4-5 tuhat tähemärki.

Berm suvaline arv, komast loeme numbripaare paremale ja vasakule

Näiteks 1234567890.098765432100

Numbripaar on nagu kahekohaline arv. Kahekohalise numbri juur on üks ühele. Valime ühe väärtusega, mille ruut on väiksem kui esimene numbripaar. Meie puhul on see 3.

Nagu veeruga jagamisel, kirjutame esimese paari alla selle ruudu ja lahutame esimesest paarist. Tulemus on alla joonitud. 12 - 9 = 3. Lisage sellele erinevusele teine ​​numbripaar (see on 334). Bermide arvust vasakul on juba leitud tulemuse selle osa kahekordistunud väärtus täiendatud numbriga (meil on 2 * 6 = 6), nii et kui korrutada saamata arvuga, siis see ei tohi ületada teise numbripaari arvu. Saame, et leitud arv on viis. Jälle leiame erinevuse (9), lammutame järgmise numbripaari, saades 956, kirjutame uuesti välja tulemuse kahekordistunud osa (70), täiendame seda uuesti soovitud arvuga ja nii edasi, kuni see peatub. Või arvutuste nõutava täpsusega.

Esiteks, ruutjuure arvutamiseks peate hästi tundma korrutustabelit. Enamik lihtsaid näiteid on 25 (5 korda 5 = 25) ja nii edasi. Kui võtate numbreid keerulisemaks, saate kasutada see tabel, kus ühikud on horisontaalsed ja kümned vertikaalsed.



Seal on hea viis kuidas leida arvu juur ilma kalkulaatorite abita. Selleks vajate joonlauda ja kompassi. Põhimõte on see, et leiate joonlaualt väärtuse, mis teil on juure all. Näiteks pange märk 9 lähedale. Teie ülesandeks on jagada see arv võrdseks arvuks segmentideks, st kaheks 4,5 cm pikkuseks reaks ja paarislõiguks. Lihtne on arvata, et lõpuks saate 3 3-sentimeetrist segmenti.

Meetod ei ole lihtne ja suured numbrid ei sobi, kuid seda peetakse ilma kalkulaatorita.

aastal õpetati ilma kalkulaatori abita ruutjuure väljavõtmise meetod nõukogude aeg koolis 8. klassis.

Selleks peate jagama mitmekohalise numbri paremalt vasakule kahekohalisteks tahkudeks :

Juure esimene number on kogu vasaku külje juur, antud juhul 5.

Lahutage 31-st 5 ruudus, 31-25 = 6 ja lisage kuuele järgmine tahk, saame 678.

Viie kahekordistamiseks valitakse järgmine number x

10x*x oli maksimum, aga alla 678.

x=6, sest 106*6=636,

nüüd arvutame 678 - 636 = 42 ja lisame järgmise tahu 92, saame 4292.

Jällegi otsime maksimaalset x-i, nii et 112x*x lt; 4292.

Vastus: juur on 563

Nii et saate jätkata nii kaua, kui soovite.

Mõnel juhul võite proovida juurarvu laiendada kaheks või enamaks ruutteguriks.

Samuti on kasulik meelde jätta tabel (või vähemalt osa sellest) - naturaalarvude ruudud vahemikus 10 kuni 99.



Pakun välja enda leiutatud variandi ruutjuure veergu ekstraheerimiseks. See erineb üldtuntust, välja arvatud numbrite valik. Aga nagu ma hiljem teada sain, seda meetodit eksisteeris juba palju aastaid enne minu sündi. Suur Isaac Newton kirjeldas seda oma raamatus General Arithmetic või raamatus aritmeetilise sünteesi ja analüüsi kohta. Seega esitan siin oma nägemuse ja põhjenduse Newtoni meetodi algoritmile. Te ei pea algoritmi pähe õppima. Vajadusel saate lihtsalt visuaalse abivahendina kasutada joonisel olevat diagrammi.







Tabelite abil ei saa te arvutada, vaid leida ruutjuuri ainult tabelites olevate arvude põhjal. Lihtsaim viis juurte arvutamiseks pole mitte ainult ruut, vaid ka muud kraadid, kasutades järjestikuste lähenduste meetodit. Näiteks arvutame 10739 ruutjuure, asendame kolm viimast numbrit nullidega ja eraldame 10000 juure, saame 100 miinusega, seega võtame arvu 102 ja paneme selle ruutu, saame 10404, mis on samuti väiksem. kui määratud, võtame jälle 103*103=10609 miinusega, võtame 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, võtame veelgi rohkem 103,6 * 103,6 \u003d 10732, võtame 103,6 * 103,6 \u003d 10732, võtame 103,5 * 103,5 * 103,6 \u003d 10732, mis on juba 103,7 * 6,3 * 103.0 üleliigne. Võite võtta 10739 ruutjuure ligikaudu võrdseks 103,6-ga. Täpsemalt 10739=103.629... . . Samamoodi arvutame kuupjuure, kõigepealt 10 000-st saame ligikaudu 25 * 25 * 25 = 15625, mis on üle, võtame 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, võtame natuke rohkem kui 22,06 * 22,06 * 22.06 = 10735, mis on antud väärtusele väga lähedane.

juur n naturaalarvu aste a numbrile helistatakse n mille võimsus on võrdne a. Juur on tähistatud järgmiselt: . Sümbolit √ kutsutakse juurmärk või radikaali märk, number a - juurnumber, n - juureksponent.

Nimetatakse tegevust, mille abil leitakse antud astme juur juure ekstraheerimine.

Kuna juure mõiste definitsiooni järgi n aste

siis juure ekstraheerimine- tegevus, astmele tõstmise vastand, mille abil leitakse antud astme ja antud astendaja jaoks astme alus.

Ruutjuur

Arvu ruutjuur a on arv, mille ruut on a.

Tehet, mille abil ruutjuur arvutatakse, nimetatakse ruutjuure võtmiseks.

Ruutjuure ekstraheerimine- ruudustamiseks (või arvu teise astmeni tõstmise) vastupidine toiming. Arvu ruudustamisel tuleb leida selle ruut. Ruutjuure eraldamisel on arvu ruut teada, sellest tuleb leida arv ise.

Seetõttu saate tehtud toimingu õigsuse kontrollimiseks tõsta leitud juure teisele astmele ja kui aste on võrdne juurarvuga, siis leiti juur õigesti.

Kaaluge ruutjuure eraldamist ja selle kontrollimist näitega. Arvutame või (juureksponenti väärtusega 2 tavaliselt ei kirjutata, kuna 2 on väikseim eksponent ja tuleb meeles pidada, et kui juurmärgi kohal pole eksponenti, siis eeldatakse eksponendit 2), selleks vajame arvu leidmiseks on teiseks tõstmisel aste 49. Ilmselgelt on see arv 7, kuna

7 7 = 7 2 = 49.

Ruutjuure arvutamine

Kui antud arv on 100 või väiksem, saab selle ruutjuure arvutada korrutustabeli abil. Näiteks 25 ruutjuur on 5, sest 5 x 5 = 25.

Nüüd kaaluge võimalust leida suvalise arvu ruutjuur ilma kalkulaatorit kasutamata. Võtame näiteks numbri 4489 ja hakkame samm-sammult arvutama.

1. Teeme kindlaks, millistest numbritest peaks soovitud juur koosnema. Kuna 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 ja 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, saab selgeks, et soovitud juur peab olema suurem kui 10 ja väiksem kui 100, st. koosnevad kümnetest ja ühest.
2. Leidke juure kümnete arv. Kümnetega korrutades saadakse sadu, meie arv on 44, seega peab juur sisaldama nii palju kümneid, et kümnete ruut annab ligikaudu 44 sadu. Seetõttu peaks juurtes olema 6 kümnendit, sest 60 2 \u003d 3600 ja 70 2 \u003d 4900 (see on liiga palju). Nii saime teada, et meie juur sisaldab 6 kümmet ja mitut, kuna see on vahemikus 60 kuni 70.
3. Korrutustabel aitab määrata juurtes olevate ühikute arvu. Vaadates arvu 4489, näeme, et selle viimane number on 9. Nüüd vaatame korrutustabelit ja näeme, et 9 ühikut saab ainult numbrite 3 ja 7 ruudustamisel. Seega on arvu juur 63 või 67.
4. Saadud numbreid 63 ja 67 kontrollime ruudustades: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Õpilased küsivad alati: „Miks ma ei saa matemaatikaeksamil kalkulaatorit kasutada? Kuidas eraldada arvu ruutjuur ilma kalkulaatorita? Proovime sellele küsimusele vastata.

Kuidas arvutada välja arvu ruutjuur ilma kalkulaatori abita?

Tegevus ruutjuure ekstraheerimine ruudustamise vastand.

√81= 9 9 2 =81

Kui me võtame positiivse arvu ruutjuure ja ruudume tulemuse, saame sama arvu.

Väikestest arvudest, mis on naturaalarvude täpsed ruudud, näiteks 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, saab verbaalselt eraldada ruutjuured. Tavaliselt õpetatakse koolis naturaalarvude ruutude tabelit kuni kahekümneni. Seda tabelit teades on lihtne eraldada ruutjuured arvudest 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Arvudest, mis on suuremad kui 400, saate mõne näpunäite abil välja võtta valikumeetodi abil. Proovime selle meetodi kaalumiseks näidet.

Näide: Eraldage arvu 676 juur.

Märkame, et 20 2 \u003d 400 ja 30 2 \u003d 900, mis tähendab 20< √676 < 900.

Naturaalarvude täpsed ruudud lõpevad 0-ga; üks; 4; 5; 6; üheksa.
Arvu 6 annavad 4 2 ja 6 2 .
Seega, kui juur on võetud 676-st, siis on see kas 24 või 26.

Jääb üle kontrollida: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Vastus: √676 = 26 .

Rohkem näide: √6889 .

Alates 80 2 \u003d 6400 ja 90 2 \u003d 8100, siis 80< √6889 < 90.
Arvu 9 annavad 3 2 ja 7 2, siis √6889 on kas 83 või 87.

Kontrollige: 83 2 = 6889.

Vastus: √6889 = 83 .

Kui teil on seda valikumeetodiga raske lahendada, saate juuravaldise faktoriseerida.

Näiteks, leia √893025.

Tegurime arvu 893025, pea meeles, sa tegid seda kuuendas klassis.

Saame: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Rohkem näide: √20736. Faktoriseerime arvu 20736:

Saame √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Muidugi eeldab faktooring jagamiskriteeriumide tundmist ja faktooringuoskusi.

Ja lõpuks on olemas ruutjuure reegel. Vaatame seda reeglit näitega.

Arvuta √279841.

Mitmekohalise täisarvu juure eraldamiseks jagame selle paremalt vasakule tahkudeks, millest igaüks sisaldab 2 numbrit (vasakul äärmisel küljel võib olla üks number). Kirjutage nii 27'98'41

Juure esimese numbri (5) saamiseks eraldame ruutjuure suurimast täpsest ruudust, mis sisaldub esimeses vasakpoolses küljes (27).
Seejärel lahutatakse esimesest tahust juure esimese numbri ruut (25) ja erinevusele omistatakse (lammutatakse) järgmine tahk (98).
Saadud arvust 298 vasakule kirjutavad nad juure kahekohalise numbri (10), jagavad sellega eelnevalt saadud arvu kõigi kümnete arvu (29/2 ≈ 2), kogevad jagatist (102 ∙ 2 = 204 ei tohiks olla suurem kui 298) ja kirjutage (2) pärast juure esimest numbrit.
Seejärel lahutatakse saadud jagatis 204 298-st ja järgmine tahk (41) omistatakse (lammutatakse) erinevusele (94).
Saadud arvust 9441 vasakule kirjutavad nad juure numbrite topeltkorrutise (52 ∙ 2 = 104), jagavad selle korrutisega arvu 9441 kõigi kümnete arvu (944/104 ≈ 9), kogemus jagatis (1049 ∙ 9 = 9441) peaks olema 9441 ja kirjutage see üles (9) pärast juure teist numbrit.

Saime vastuseks √279841 = 529.

Samamoodi ekstrakt kümnendkohtade juured. Ainult radikaalarv tuleb tahkudeks jagada nii, et koma jääks tahkude vahele.

Näide. Leidke väärtus √0,00956484.

Peate lihtsalt meeles pidama, et kui koma Sellel on paaritu number kümnendkohad, täpset ruutjuurt sellest välja ei võeta.

Niisiis, nüüd olete näinud juure ekstraheerimiseks kolme võimalust. Valige endale sobivaim ja harjutage. Et õppida probleeme lahendama, tuleb need lahendada. Ja kui teil on küsimusi,.

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Fakt 1.
\(\bullet\) Võtke mõned mitte negatiivne arv\(a\) (st \(a\geqslant 0\) ). Siis (aritmeetika) ruutjuur arvust \(a\) kutsutakse selline mittenegatiivne arv \(b\), selle ruudustamisel saame arvu \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama mis )\quad a=b^2\] Definitsioonist tuleneb, et \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Need piirangud on ruutjuure olemasolu oluline tingimus ja neid tuleks meeles pidada!
Tuletage meelde, et iga arv ruudus annab mittenegatiivse tulemuse. See tähendab, \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Mis on \(\sqrt(25)\)? Teame, et \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Kuna definitsiooni järgi peame leidma mittenegatiivse arvu, siis \(-5\) ei sobi, seega \(\sqrt(25)=5\) (kuna \(25=5^2\) ).
Väärtuse \(\sqrt a\) leidmist nimetatakse arvu \(a\) ruutjuure võtmiseks ja arvu \(a\) nimetatakse juuravaldiseks.
\(\bullet\) Definitsiooni põhjal on avaldised \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) jne. pole mõtet.

2. fakt.
Kiirete arvutuste jaoks on kasulik õppida naturaalarvude ruutude tabelit vahemikus \(1\) kuni \(20\): \[\begin(massiiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiivi)\]

Fakt 3.
Mida saab teha ruutjuurtega?
\(\bullet\) Summa või vahe ruutjuured EI VÕRDNE summa või vahe ruutjuurega, s.t. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Seega, kui on vaja arvutada näiteks \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , siis esialgu tuleb leida väärtused \(\sqrt(25)\) ja \(\sqrt (49)\ ) ja seejärel liita need kokku. Seega \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kui \(\sqrt a\) või \(\sqrt b\) väärtusi \(\sqrt a+\sqrt b\) lisades ei leita, siis sellist avaldist edasi ei teisendata ja see jääb samaks. Näiteks summas \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) leiame \(\sqrt(49)\) - see on \(7\) , kuid \(\sqrt 2\) ei saa olla mis tahes viisil teisendatud, sellepärast \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lisaks ei saa seda väljendit kahjuks kuidagi lihtsustada.\(\bullet\) Ruutjuurte korrutis/jagatis võrdub korrutise/jagatise ruutjuurega, st. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eeldusel, et võrdsuse mõlemad osad on mõistlikud)
Näide: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Neid omadusi kasutades on mugav leida suurte arvude ruutjuuri neid faktoriseerides.
Kaaluge näidet. Otsige üles \(\sqrt(44100)\) . Alates \(44100:100=441\) , siis \(44100=100\cdot 441\) . Jaguvuse kriteeriumi kohaselt jagub arv \(441\) arvuga \(9\) (kuna selle numbrite summa on 9 ja jagub 9-ga), seega \(441:9=49\) , see tähendab \(441=9\ cdot 49\) .
Seega saime: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Vaatame teist näidet: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näitame, kuidas ruutjuuremärgi alla numbreid sisestada, kasutades avaldise \(5\sqrt2\) näidet (lühend väljendist \(5\cdot \sqrt2\) ). Kuna \(5=\sqrt(25)\) , siis \ Pange tähele ka seda, et näiteks
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miks nii? Selgitame näitega 1). Nagu te juba aru saite, ei saa me arvu \(\sqrt2\) kuidagi teisendada. Kujutage ette, et \(\sqrt2\) on mingi arv \(a\) . Vastavalt sellele pole avaldis \(\sqrt2+3\sqrt2\) midagi muud kui \(a+3a\) (üks arv \(a\) pluss veel kolm sama arvu \(a\) ). Ja me teame, et see on võrdne nelja sellise arvuga \(a\) , see tähendab \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Tihti öeldakse "juurt ei saa eraldada", kui mõne arvu väärtuse leidmisel pole võimalik juure (radikaali) märgist \(\sqrt () \ \) lahti saada. Näiteks võite juurutada arvu \(16\), kuna \(16=4^2\) , seega \(\sqrt(16)=4\) . Kuid arvust \(3\) juure eraldamine, st \(\sqrt3\) leidmine on võimatu, sest pole sellist arvu, mis ruudus annaks \(3\) .
Sellised arvud (või selliste arvudega avaldised) on irratsionaalsed. Näiteks numbrid \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) jne. on irratsionaalsed.
Irratsionaalsed on ka arvud \(\pi\) (arv "pi", ligikaudu võrdne \(3,14\) ), \(e\) (seda arvu nimetatakse Euleri arvuks, ligikaudu võrdne \(2) ,7\) ) jne.
\(\bullet\) Pange tähele, et iga arv on kas ratsionaalne või irratsionaalne. Ja koos kõik ratsionaalne ja kõik irratsionaalsed arvud moodustavad komplekti nimega reaal(reaal)arvude komplekt. Seda komplekti tähistatakse tähega \(\mathbb(R)\) .
See tähendab, et kõik arvud, mis on Sel hetkel me teame, et neid nimetatakse reaalarvudeks.

Fakt 5.
\(\bullet\) Reaalarvu moodul \(a\) on mittenegatiivne arv \(|a|\), mis võrdub kaugusega reaalarvu punktist \(a\) kuni \(0\) rida. Näiteks \(|3|\) ja \(|-3|\) on 3, kuna kaugused punktidest \(3\) ja \(-3\) kuni \(0\) on sama ja võrdne \(3 \) .
\(\bullet\) Kui \(a\) on mittenegatiivne arv, siis \(|a|=a\) .
Näide: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kui \(a\) on negatiivne arv, siis \(|a|=-a\) .
Näide: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Nad ütlevad, et negatiivsete arvude puhul "sööb" moodul miinuse ja positiivsed arvud, aga ka arv \(0\) , jätab moodul muutmata.
AGA see reegel kehtib ainult numbrite kohta. Kui teil on mooduli märgi all tundmatu \(x\) (või mõni muu tundmatu), näiteks \(|x|\) , mille kohta me ei tea, kas see on positiivne, võrdne nulliga või negatiivne, siis me ei saa moodulist lahti saada. Sel juhul jääb see avaldis selliseks: \(|x|\) . \(\bullet\) Kehtivad järgmised valemid: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tingimusel ) a\geqslant 0\] Tihti tehakse järgmist viga: öeldakse, et \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) on sama asi. See kehtib ainult siis, kui \(a\) on positiivne arv või null. Aga kui \(a\) on negatiivne arv, siis see pole tõsi. Piisab, kui vaadelda sellist näidet. Võtame \(a\) asemel arvu \(-1\). Siis \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , kuid avaldist \((\sqrt (-1))^2\) pole üldse olemas (sest see on võimatu juurmärgi alla pane negatiivsed arvud!).
Seetõttu juhime teie tähelepanu asjaolule, et \(\sqrt(a^2)\) ei ole võrdne \((\sqrt a)^2\) ! Näide: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), sest \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kuna \(\sqrt(a^2)=|a|\) , siis \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (avaldis \(2n\) tähistab paarisarvu)
See tähendab, et juure eraldamisel arvust, mis on mingil määral, väheneb see aste poole võrra.
Näide:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (pange tähele, et kui moodul pole määratud, siis selgub, et arvu juur on võrdne \(-25) \) ; aga me mäletame , mis juure definitsiooni järgi ei saa olla: juure eraldamisel peaksime alati saama positiivse arvu või nulli)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kuna iga paarisastme arv ei ole negatiivne)

Fakt 6.
Kuidas võrrelda kahte ruutjuurt?
\(\bullet\) Ruutjuurte puhul tõene: kui \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aNäide:
1) võrrelge \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Esiteks teisendame teise avaldise järgmiseks \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seega, kuna \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Milliste täisarvude vahel on \(\sqrt(50)\) ?
Alates \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Võrrelge \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletame, et \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(joondatud) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisage üks mõlemale poole))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mõlemad osad ruut))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(joondatud)\] Näeme, et oleme saanud vale ebavõrdsuse. Seetõttu oli meie oletus vale ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Pange tähele, et teatud arvu lisamine ebavõrdsuse mõlemale poolele ei mõjuta selle märki. Võrratuse mõlema osa korrutamine/jagamine positiivse arvuga ei mõjuta samuti selle märki, kuid negatiivse arvuga korrutamine/jagamine muudab võrratuse märgi ümber!
Võrrandi/võrratuse mõlemat poolt saab ruutu panna AINULT KUI mõlemad pooled on mittenegatiivsed. Näiteks eelmise näite ebavõrdsuses saab ruudustada mõlemad pooled, ebavõrdsuses \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Pange tähele \[\begin(joondatud) &\sqrt 2\umbes 1,4\\ &\sqrt 3\umbes 1,7 \end(joondatud)\] Nende numbrite ligikaudse tähenduse teadmine aitab numbrite võrdlemisel! \(\bullet\) Selleks, et eraldada juur (kui see on eraldatud) mõnest suurest arvust, mida ruutude tabelis pole, peate esmalt määrama, milliste "sadade" vahel see on, seejärel milliste "kümnete" vahel. ja seejärel määrake selle numbri viimane number. Näitame näitega, kuidas see toimib.
Võtke \(\sqrt(28224)\) . Teame, et \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ja nii edasi. Pange tähele, et \(28224\) on vahemikus \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Seetõttu on \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(100\) ja \(200\) .
Nüüd teeme kindlaks, milliste “kümnete” vahel on meie arv (see on näiteks vahemikus \(120\) ja \(130\) ). Samuti teame ruutude tabelist, et \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne, siis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Seega näeme, et \(28224\) on \(160^2\) ja \(170^2\) vahel. Seetõttu on arv \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(160\) kuni \(170\) .
Proovime määrata viimase numbri. Tuletagem meelde, millised ühekohalised numbrid ruudustamisel annavad lõpus \ (4 \) ? Need on \(2^2\) ja \(8^2\) . Seetõttu lõpeb \(\sqrt(28224)\) numbriga 2 või 8. Kontrollime seda. Otsige üles \(162^2\) ja \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Seega \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matemaatika eksami adekvaatseks lahendamiseks on vaja kõigepealt tutvuda teoreetilise materjaliga, mis tutvustab arvukalt teoreeme, valemeid, algoritme jne. Esmapilgul võib tunduda, et see on üsna lihtne. Kuid allika leidmine, kus matemaatika ühtse riigieksami teooria esitatakse lihtsalt ja arusaadavalt mis tahes haridustasemega õpilastele, on tegelikult üsna keeruline ülesanne. Kooliõpikuid ei saa alati käepärast hoida. Ja matemaatika eksami põhivalemite leidmine võib isegi Internetis olla keeruline.

Miks on matemaatika teooria õppimine nii oluline, mitte ainult eksami sooritajatele?

1. Sest see avardab teie silmaringi. Matemaatika teoreetilise materjali õppimine on kasulik kõigile, kes soovivad saada vastuseid väga paljudele maailma tundmisega seotud küsimustele. Looduses on kõik korrastatud ja selge loogikaga. Just see peegeldub ka teaduses, mille kaudu on võimalik maailma mõista.
2. Sest see arendab intellekti. Matemaatika eksami teatmematerjale õppides, samuti erinevaid ülesandeid lahendades õpib inimene loogiliselt mõtlema ja arutlema, mõtteid õigesti ja selgelt sõnastama. Ta arendab analüüsi-, üldistus-, järelduste tegemise oskust.

Kutsume teid isiklikult hindama kõiki meie lähenemisviisi eeliseid õppematerjalide süstematiseerimisel ja esitamisel.

E. I. Ignatjev kirjutab oma esimese väljaande „In the Realm of Genuity” (1908) eessõnas: Tulemused on usaldusväärsed vaid siis, kui sissejuhatus matemaatiliste teadmiste valdkonda on tehtud lihtsal ja meeldival viisil, esemetel ja näidetel igapäevastest ja igapäevastest olukordadest, mis on valitud õige vaimukuse ja lõbustusega.

1911. aasta väljaande “The Role of Memory in Mathematics” eessõnas on E.I. Ignatjev kirjutab: "... matemaatikas ei tohiks meeles pidada valemeid, vaid mõtlemisprotsessi."

Ruutjuure eraldamiseks on kahekohaliste arvude jaoks ruutude tabelid, saate arvu jagada algteguriteks ja eraldada korrutisest ruutjuure. Ruudude tabelist ei piisa, juure faktooringuga eraldamine on aeganõudev ülesanne, mis samuti ei vii alati soovitud tulemuseni. Proovige eraldada ruutjuur arvust 209764? Lagundamine algteguriteks annab korrutise 2 * 2 * 52441. Katse-eksituse meetodil, valik - seda saab muidugi teha, kui olete kindel, et see on täisarv. See, kuidas ma välja pakun, võimaldab teil igal juhul võtta ruutjuure.

Kunagi instituudis (Permi Riiklik Pedagoogiline Instituut) tutvustati meile seda meetodit, millest ma nüüd tahan rääkida. Ma pole kunagi mõelnud, kas sellel meetodil on tõendeid, nii et nüüd pidin ise mõned tõendid tuletama.

Selle meetodi aluseks on arvu = koostis.

=&, st. &2=596334.

1. Jagage arv (5963364) paarideks paremalt vasakule (5`96`33`64)

2. Ekstraheerime vasakpoolse esimese rühma ruutjuure ( - number 2). Nii saame numbri & esimese numbri.

3. Leidke esimese numbri ruut (2 2 \u003d 4).

4. Leia vahe esimese rühma ja esimese numbri ruudu vahel (5-4=1).

5. Lammutame järgmised kaks numbrit (saime numbri 196).

6. Kahekordistame esimese leitud numbri, kirjutame selle joone taha vasakule (2*2=4).

7. Nüüd peate leidma numbri & teise numbri: leitud kahekordsest esimesest numbrist saab numbri kümnendite number, ühikute arvuga korrutamisel peate saama arvu, mis on väiksem kui 196 ( see on number 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 on & teine ​​number.

8. Leia erinevus (196-176=20).

9. Lammutame järgmise rühma (saame numbri 2033).

10. Kahekordistame arvu 24, saame 48.

11,48 kümneid arvus, kui korrutada ühikute arvuga, peaksime saama arvu, mis on väiksem kui 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Meie poolt leitud ühikute number (4) on arvu & kolmas koht.

Mina annan tõestuse järgmistel juhtudel:

1. Kolmekohalise arvu ruutjuure eraldamine;

2. Neljakohalise arvu ruutjuure eraldamine.

Ligikaudsed meetodid ruutjuure eraldamiseks (ilma kalkulaatorit kasutamata).

1. Vanad babüloonlased kasutasid oma x arvu ruutjuure ligikaudse väärtuse leidmiseks järgmist meetodit. Nad esitasid arvu x summana a 2 + b, kus a 2 on lähim x-le naturaalarvu a täpsele ruudule (a 2 ? x) ja kasutasid valemit . (1)

Kasutades valemit (1), eraldame ruutjuure näiteks arvust 28:

MK 5.2915026 abil 28 juure ekstraheerimise tulemus.

Nagu näete, annab Babüloonia meetod juure täpsele väärtusele hea ligikaudse hinnangu.

2. Isaac Newton töötas välja meetodi ruutjuure eraldamiseks, mis pärineb Aleksandria Heronist (umbes 100 pKr). See meetod (tuntud kui Newtoni meetod) on järgmine.

Las olla a 1- arvu esimene lähendus (1-na võite võtta naturaalarvu ruutjuure väärtused - täpne ruut, mis ei ületa X) .

Järgmine, täpsem lähendus a 2 numbrid leitud valemiga .